soma dos angulos internos material de geometria_geo plana 04

CASD Vestibulares Geometria 1

Matemática 2 Pedro Paulo

GGEEOOMMEETTRRIIAA PPLLAANNAA IIVV

1 – CLASSIFICAÇÃO De acordo com o gênero (número de lados), os polígonos podem receber as seguintes denominações:

Gênero Nome

Triângulo

Quadrilátero

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Undecágono

Dodecágono

Pentadecágono

Icoságono

Para outros valores de , diz-se “polígono de lados”.

2 –SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS Se são os ângulos internos de um triângulo, já sabemos que , como está ilustrado na figura abaixo, em que foi traçada por uma reta paralela a .

Figura 1: soma dos ângulos internos de um triângulo

Para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono com mais que três lados, basta dividí-lo em vários triângulos, como está ilustrado nas figuras abaixo:

Figura 2: soma dos ângulos internos de um quadrilátero

Na figura 2, o quadrilátero foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é , a soma dos ângulos do quadrilátero é .

Figura 3: soma dos ângulos internos de um pentágono

Na figura 3, o pentágono foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é , a soma dos ângulos do pentágono é .

Figura 4: soma dos ângulos internos de um hexágono

Na figura 4, o hexágono foi dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é , a soma dos ângulos do hexágono é .

De maneira geral, um polígono de lados pode ser dividido em triângulos. Como a soma dos ângulos de cada triângulo é , a soma dos ângulos internos de um polígono de lados é

2 Geometria CASD Vestibulares

3 –SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS Um ângulo externo de um polígono é o suplemento de um ângulo interno correspondente. Isso pode ser visualizado na figura abaixo:

Figura 5: ângulosexternos de um triângulo

No triângulo , são ângulos externos. Note que:

Sejam a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos.

Então Somando as três equações, tem-se que:

De maneira geral, se é um ângulo externo a um ângulo interno , tem-se que .

Em um polígono de lados, sejam a

soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos. Então .

Cada vértice do polígono tem uma equação da

forma . Somando as equações:

Logo, em qualquer polígono, independentemente do número de lados, a soma dos ângulos externos é

4 – NÚMERO DE DIAGONAIS Em um triângulo (que é um polígono com lados), o número de diagonais é , pois cada vértice é adjacente aos outros dois vértices. Em um polígono com mais lados, para calcular o número toral de diagonais, deve-se primeiro calcular o número de diagonais que sai de cada vértice, como está ilustrado na figura abaixo:

Figura 6: diagonais de um quadrilátero

Tomando o vértice do quadrilátero , temos que ele possui e como vértices adjacentes,

isto é, ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ são lados. Além disso, para traçar uma diagonal, não podemos ligar o ponto a ele mesmo. Logo, para traçar uma diagonal partindo do ponto , não podemos ligá-lo a pontos ): sobram

ponto para ser ligado ao ponto , que é o ponto . Então é diagonal! Tomando o vértice , sobram ponto para ser ligado, que é o ponto . Então é diagonal! Tomando o vértice , sobram ponto para ser ligado, que é o ponto . Então é diagonal! Tomando o vértice , sobram ponto para ser ligado, que é o ponto . Então é diagonal! Como são vértices, e de cada vértice sai diagonal, alguém pode pensar que o número total de diagonais é .

No entanto, note que a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ) e a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer a contagem correta, deve-se dividir o número total por . Portanto, o número de diagonais do quadrilátero é

Fazendo a conta, tem-se que:

De fato, na figura 6 pode-se ver que as únicas

diagonais do quadrilátero são e . Pode-se repetir o mesmo raciocício com um

pentágono, como está ilustrado na figura a seguir:


Figura 7: diagonais de um pentágono

Tomando o vértice do pentágono ,

temos que ele possui , e como vértices

adjacentes, isto é, ̅̅ ̅̅ e ̅̅ ̅̅ são lados. Além disso, para traçar uma diagonal, não podemos ligar o ponto a ele mesmo. Logo, para traçar uma diagonal partindo do ponto , não podemos ligá-lo a pontos ):

sobram pontos para serem ligados ao ponto , que são os pontos e . Então e são diagonais! Tomando o vértice , sobram pontos para serem ligados, que são os ponto e . Então e são diagonais! Tomando o vértice , sobram pontos para serem ligados, que são os ponto e . Então e são diagonais! Tomando o vértice , sobram pontos para serem ligados, que são os ponto e . Então e são diagonais!

Tomando o vértice , sobram pontos para serem ligados, que são os ponto e . Então e são diagonais! Como são vértices, e de cada vértice saem diagonais, alguém pode pensar que o número total de diagonais é .

No entanto, note que a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ) e a diagonal foi contada 2 vezes (1 vez saindo do vértice e 1 vez saindo do vértice ). Cada diagonal então é contada vezes. Portanto, para fazer a contagem correta, deve-se dividir o número total por . Portanto, o número de diagonais do pentágono é

Fazendo a conta, tem-se que:

De fato, na figura 7 pode-se ver que as únicas

diagonais do pentágono são , , e .

De maneira geral, em um polígono de lados, de cada um dos vértices saem diagonais. alguém pode pensar que o número total de diagonais é , mas como cada diagonal é contada vezes, deve-se dividir o produto por para fazer a contagem correta. Portanto, o número de diagonais do polígono de lados é

5 – POLÍGONOS REGULARES Diz-se que um polígono é equilátero quando todos os seus lados são congruentes.

Diz-se que um polígono é equiângulo quando todos os seus ângulos internos são congruentes.

Diz-se que um polígono é regular quando é equilátero e equiângulo, isto é, todos os seus lados e ângulos internos são congruentes.

5.1 – Ângulo interno Em um polígono regular de lados, todos os seus ângulos internos são iguais. Seja a medida de cada ângulo interno. Como a soma dos ângulos internos é , tem-se que:

5.2 – Ângulo externo Em um polígono regular de lados, todos os seus ângulos externos são iguais. Seja a medida de cada ângulo externo. Como a soma dos ângulos internos é , tem-se que:

5.3 – Diagonais que passam pelo centro Em um polígono regular de lados, seja o número de diagonais que passam pelo seu centro. Há duas possibilidades: é par ou é ímpar Caso 1: é par; nesse caso, existem pares de vértices opostos (por exemplo, em um quadrado com lados, há pares de vértices opostos: e , e ). Cada par de vértices opostos pode ser ligado por uma diagonal, que passa pelo centro (no caso do quadrado, as diagonais que passam pelo centro são e ).

Logo, no caso 1,

Caso 2: é ímpar; nesse caso, simplesmente nenhuma diagonal passa pelo centro

Logo, no caso 2, Observação: naturalmente, se de um total de

diagonais, diagonais passam pelo centro, o número de diagonais que não passam pelo centro é , nos dois casos acima.


Exercício Resolvido 1: Atividade para Sala nº 2, Geometria Plana IV

Resolução:

Na tabela, é possível verificar que o número de triângulos é dois a menos do que o número de lados

Resposta: Alternativa C

Exercício Resolvido 2:

A soma dos ângulos internos com a dos ângulos externos de um polígono regular vale . Determine o número de diagonais do polígono.

Resolução: Usando as fórmulas para a soma dos ângulos internos e a soma dos ângulos externos:

Calculando o número de diagonais:

Resposta: O polígono tem diagonais.

Exercício Resolvido 3: A soma dos ângulos internos de um polígono

regular é . Qual é o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo seu centro?

Resolução:

Da fórmula da soma dos ângulos internos:

O número total de diagonais é:

Como é par, diagonais passam

pelo centro do polígono. Logo o número de diagonais que não passam pelo centro é diagonais.

Resposta: diagonais do polígono não passam pelo seu centro.

Exercício Resolvido 4:

Aumentando o número de lados de um polígono em , seu número de diagonais aumenta em . Determine o número de diagonais desse polígono.

Resolução:

Seja o número de lados do polígono original. Então o seu número de diagonais é:

Para o polígono de lados, tem-se:

( )

O número de diagonais aumentou em , logo:

Calculando o número de diagonais do polígono

original, tem-se:

Resposta: O polígono tem diagonais.

Exercício Resolvido 5: Atividade Proposta nº 5, Geometria Plana IV

Resolução:

Como o polígono tem lados, a soma dos seus ângulos internos é , isto é, a soma de todos os ângulos é um múltiplo de . Seja a soma dos ângulos internos e o ésimo ângulo interno que falta. Então:

Assim, é um múltiplo de maior do que . Além disso, como é um ângulo interno, é menor do que . Então:

Logo, é um múltiplo de maior do que e menor do que . Logo só pode ser

Resposta: Alternativa D


EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Nível I 1. Atividade Proposta nº 4, Geometria Plana IV 2. Atividade Proposta nº 6, Geometria Plana IV 3. Atividade Proposta nº 1, Geometria Plana IV

4. (UNESP - 01) O número de diagonais de um

polígono convexo de lados é dado por

. Se o polígono possui diagonais,

seu número de lados é

a) b) c) d) e)

5. (MACKENZIE - 98). Os ângulos externos de um

polígono regular medem . Então, o número de

diagonais desse polígono é:

a) b) c) d) e)

6. (UFSCAR - 00) Um polígono regular com

exatamente diagonais tem

a) lados. b) lados. c) lados. d) lados. e) lados.

7. (UNITAU - 95) O polígono regular convexo em que

o no. de lados é igual ao n

o. de diagonais é o:

a) dodecágono. b) pentágono. c) decágono. d) hexágono. e) heptágono. 8. O ângulo interno de um polígono regular mede . Quantas diagonais passam pelo centro?

Nível II

9. (ITA - 01) De dois polígonos convexos, um tem a

mais que o outro lados e diagonais. Então, a

soma total dos números de vértices e de diagonais dos

dois polígonos é igual a:

a) b) c) d) e) 10. Atividade Proposta nº 3, Geometria Plana IV

11. Atividade Proposta nº 7, Geometria Plana IV


13. (ITA - 98) Considere as afirmações sobre

polígonos convexos:

I) Existe apenas um polígono cujo número de

diagonais coincide com o número de lados.

II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja

o quádruplo do número de lados.

III) Se a razão entre o número de diagonais e o de

lados de um polígono é um número natural, então o

número de lados do polígono é ímpar.

a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) é verdadeira. d) Apenas (III) é verdadeira. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras.

14. (UFAL - 00) Num polígono convexo de lados, a

soma das medidas dos ângulos internos é dada por

. Use essa informação e considere as

afirmativas referentes ao polígono não regular abaixo

representado.

( ) A soma das medidas dos ângulos internos do

polígono é necessariamente .

( ) A medida é necessariamente igual a

( ) A soma de e dá, necessariamente, .

( ) é igual a obrigatoriamente.

( ) , necessariamente.

15. (UNIFESP - 08) A soma de ângulos internos

de um polígono convexo de lados é . O ângulo

remanescente mede

a) b) c) d) e) 16. (FUVEST – 98) Dois ângulos internos de um polígono convexo medem cada um e os demais

ângulos internos medem cada um. O numero de lados do polígono é: a) b) c) d) e)


18. Atividade para Sala nº 1, Geometria Plana IV

19. Atividade para Sala nº 4, Geometria Plana IV


DICAS E FATOS QUE AJUDAM

1. Como o heptágono é regular, cada ângulo externo vale 2. Para formar o primeiro hexágono, Rafael precisará de palitos. Para formar cada um dos hexágonos seguintes, Rafael precisará de palitos. Como o total de hexágonos é , Rafael usa palitos em hexágono e palitos em hexágonos. Portanto, o total d palitos de que Rafael precisará é

3. Do enunciado, tem-se que . Além disso, sabe-se que . Então, tem-se:

4. Do enunciado, . Então, tem-se:

5. Determine o número de lados do polígono a partir do seu ângulo externo:

A partir do número de lados , determine o número de diagonais :

6. Resolva a equação :

Não se esqueça de que 7. Resolva a equação :

Não se esqueça de que 8. Determine o número de lados do polígono a partir do seu ângulo interno:

é ímpar!

9. Use a idéia do Exercício Resolvido 4

10. De cada vértice de um polígono de lados, partem diagonais. Então 11. Nesta questão, é mais simples olha para o ângulo externo . Como o ângulo interno é um número inteiro e , tem-se que o ângulo externo também é um número inteiro. Além disso, sabe-se que , logo é um divisor de . Sabe-se que o número possui divisores. No entanto, os valores de (correspondente a ) e (correspondente a ) devem ser desprezados, pois

12. A princípio, há três casos para o arranjo dos ladrilhos de forma a completar : são utilizados ou mais octógonos (caso 1), é utilizado octógono (caso 2) ou são utilizados octógonos (caso 3) Note na tabela que o ângulo interno do octógono é Caso 1: São utilizados ou mais octógonos para completar Isso é um absurdo, pois . Logo esse caso é impossível. Caso 2: É utilizado octógono para completar Nesse caso, restam para serem preenchidos apenas por ângulos internos de outro polígono. Mas isso é um absurdo, pois não é múltiplo de nenhum ângulo interno de polígono. Logo esse caso é impossível. Caso 3: São utilizados octógonos para completar Nesse caso, restam para serem preenchidos apenas por ângulos internos de outro polígono. Logo o espaço que falta deve ser preenchido por um quadrado. 13. Compare a expressão de com : No item I), resolva a equação ; No item II), resolva a equação ;

No item III), note que

Assim:

14. Lembre-se que o polígono não é regular 15. Use a idéia do Exercício Resolvido 5 16. Se o polígono tem lados, ele tem ângulos. Logo ângulos valem e ângulos valem . A soma deles é . Então:

17. Note que é o triplo do ângulo interno de um pentágono


18. A figura do problema é a seguinte:

Na figura, o ângulo interno de cada placa (que ´um pentágono regular) é , enquanto o ângulo interno do polígono de lados ( ágono) formado pela placa é Como é o ângulo interno de um polígono regular:

Da figura, tem-se que . Então:

Como é o ângulo interno do ágono regular:

19. A figura da questão é a seguinte:

é o número de triângulos formados: então, como em cada triângulo a soma dos ângulos internos é , a soma total dos ângulos internos seria Na figura acima, pode-se notar que ao redor de cada bolha tem-se ; então, como são bolhas, a soma dos ângulos internos ao redor de todas as bolhas é Finalmente, como o vidro é pentagonal,a soma dos ângulos internos do pentágono é .

Da figura acima, tem-se que:

GABARITO

1. E 2. B 3. B 4. E 5. D 6. C 7. B 8. Nenhuma diagonal passa pelo centro 9. B 10. B 11. B 12. B 13. B 14. V F V F V 15. D 16. B 17. D 18. C 19. C

soma dos angulos internos material de geometria_geo plana 04

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