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1

MATEMÁTICA II

Helena Guerra

[email protected]

Ano Letivo 2012/13 – 1º Semestre

LICENCIATURA EM GESTÃO DE INFORMAÇÃO

LICENCIATURA EM SISTEMAS E TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO

Helena Guerra 2

� Noções topológicas em IR e em IRn

� Funções reais de N variáveis reais

Generalidades

Limites e continuidade

Cálculo diferencial em IRn

Cálculo integral em IRn

� Optimização

Optimização livre

Optimização com restrições de igualdade

Optimização com restrições de desigualdade

CONTEÚDO PROGRAMÁTICO

2

NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM IR E EM IRn

Helena Guerra 4

� Módulo ou Valor Absoluto

Algumas Propriedades:

• |x|=max{x, −x}

• |x|≤ a ⇔ x ≤ a ∧ x ≥ −a ⇔ −a ≤ x ≤ a

• |x|≥ a ⇔ x ≥ a ∨ x ≤ −a

• |x + y| ≤ |x| + |y|

• |x − y| ≤ |x| + |y|

• |xy|=|x||y|

O ESPAÇO IR

<−≥

= x se x

x se x x

0

0

3

Helena Guerra 5

� Noção de Distância

Sejam x e y números reais. A distância de x a y é dada por:

Propriedades que definem uma distância:

� d(x,y) ≥ 0, sendo d(x,y)=0 sse x=y

� d(x,y) = d(y,x) (simetria)

� d(x,z) ≤ d(x,y)+d(y,z) (desigualdade triangular)

||),(d yxyx −=

O ESPAÇO IR

Helena Guerra 6

� Definição

Sejam x∈IR e A⊂IR. Diz-se que:

x é um majorante do conjunto A se: x ≥ a, ∀a∈A

x é um minorante do conjunto A se: x ≤ a, ∀a∈A

Seja A⊂IR. Diz-se que:

A é conjunto majorado se admitir majorantes.

A é conjunto minorado se admitir minorantes.

A é conjunto limitado se admitir majorantes e minorantes.

O ESPAÇO IR

4

Helena Guerra 7

� Teorema

Um conjunto de números reais A é limitado se e só se ∃M>0: |x|≤M ∀x∈A.

Seja A⊂IR um conjunto majorado.

Supremo de A, sup(A), é o menor dos majorantes. Se o supremo

pertencer ao conjunto A então ele diz-se o máximo de A, max(A).

Seja B⊂IR um conjunto minorado.

Ínfimo de B, inf(B), é o maior dos minorantes. Se o ínfimo pertencer

ao conjunto B então ele diz-se o mínimo de B, min(B).

O ESPAÇO IR

� Definição

Helena Guerra 8

Indicar o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes, o

supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo (caso existam) dos

seguintes conjuntos:

A=[0,1]∪]2,3]∪{6,10}

B={-1}∪[0,+∞[

C=]-1,2]\{0}

Serão conjuntos limitados?

O ESPAÇO IR

� Exercício

5

Helena Guerra 9

Sejam a∈IR e r>0. Chama-se vizinhança do ponto a de raio r ao

conjunto:

Vr(a)=]a−r,a+r[

Noções topológicas são todas as noções que se exprimem através

da noção de vizinhança.

a−r a+ra

NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM IR

� Definição

Helena Guerra 10

Sejam a∈IR e A um conjunto de números reais. Diz-se que:

� a é ponto interior a A se

∃r>0 : Vr(a) ⊂ A

� a é ponto fronteiro a A se

∀r>0 : ( Vr(a)∩A≠∅ e Vr(a)∩(IR\A)≠∅ )

� a é ponto exterior a A se, se não for nem interior nem fronteiro, ou seja, se

∃r>0 : Vr(a) ⊂ IR\A


� Definição

6

Helena Guerra 11

Ao conjunto dos pontos interiores a A dá-se o nome de interior de A,

int(A).

Ao conjunto dos pontos exteriores a A dá-se o nome de exterior de A,

ext(A).

Ao conjunto dos pontos fronteiros a A dá-se o nome de fronteira de A,

fr(A).


� Definição

Helena Guerra 12

1) a é ponto exterior a A ⇔ a é ponto interior a IR\A

2) ∀A⊂IR tem-se que:

int(A) ∩ ext(A) = ∅int(A) ∩ fr(A) = ∅fr(A) ∩ ext(A) = ∅int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A) = IR


� Observações

7

Helena Guerra 13

Indicar o interior, a fronteira e o exterior dos seguintes conjuntos

A=[0,1]∪]2,3]∪{6,10}

B={-1}∪[0,+∞[

C=]-1,2]\{0}


� Exercício

Helena Guerra 14

Seja A um subconjunto de IR.

Chama-se fecho ou aderência de A ao conjunto

Um ponto x diz-se um ponto aderente de A se x∈

)A(frAA ∪=


� Definição

� Definição

Seja A um subconjunto de IR.

A é um conjunto aberto se A=int(A)

A é um conjunto fechado se A=

A

A

8

Helena Guerra

1) = int(A)∪fr(A)

2) A é fechado sse fr(A) ⊂ A

3) A é fechado sse IR\A é aberto isto é, IR\A=int(IR\A)=ext(A)

15

A


� Observações

� Definição

Sejam a∈IR e A⊂IR.

Diz-se que a é um ponto de acumulação de A se ∀r>0 Vr(a)∩A\{a}≠∅

Diz-se que a é um ponto isolado de A se ∃r>0 Vr(a)∩A={a}

O derivado de A (A’) é o conjunto dos pontos de acumulação de A.

Helena Guerra 16

Indique o interior, o exterior, a fronteira, os pontos de acumulação e ospontos isolados dos seguintes conjuntos.

A={x∈IR: 0<|x−3|≤5}

B={x∈IR: x3>x}

C=[0,1]∩Q

D=]-∞,0]∪Q

Indique também se os conjuntos são abertos, fechados e limitados.


� Exercício

9

Helena Guerra 17

É o produto cartesiano IR×IR× …×IR (n vezes), ou seja:

{ })n,...,1i(IR:),...,,(IR in21n

=∈= xxxx

O conjunto IRn com as seguintes operações é um espaço vectorialreal:

),...,,(),...,,(),...,,( nn2211n21n21 yxyxyxyyyxxx +++=+

)α,...,α,α(),...,,(α n21n21 xxxxxx =

IRαeIR),...,,(),,...,,(com nn21n21 ∈∈yyyxxx

O ESPAÇO IRn

� O que é o conjunto IRn

� Operações no conjunto IRn

Helena Guerra 18

É um número real não negativo, , que satisfaz as seguintespropriedades:

x

yxyx

xx

xxxx

+≤+

=

==≠>

λλ

0se0e0se0

nn21

2n

22

21 IR),...,,(com... ∈=+++= xxxxxxxx

O ESPAÇO IRn

� Norma de um vector

� Norma euclideana

10

Helena Guerra 19

Em IRn consideremos x=(x1,x2,…,xn) e y=(y1,y2,…,yn).

Chama-se distância euclideana de x a y ao número real não negativodado por:

2nn

222

211 )(...)()(),(d yxyxyxyx −++−+−=

O ESPAÇO IRn

� Distância euclideana

yxyx −=),(d

Helena Guerra 20

Sejam a∈IRn e r>0. Chama-se Bola (aberta) de centro a e raio r ao

conjunto:

{ } { }r:IR r),(d:IR )(B nnr <−∈=<∈= aaa xxxx

Bola é a generalização para IRn da noção de vizinhança.

Assim, se n=1, Br(a) é um intervalo (]a−r,a+r[); se n=2, Br(a) é um

círculo de centro a e raio r; se n=3, Br(a) é uma esfera.

NOÇÕES TOPOLÓGICAS EM IRn

� Definição

� Observação

11

Helena Guerra 21

Sejam a∈IRn e A um subconjunto de IRn. Diz-se que:

� a é ponto interior a A se

∃r>0 : Br(a) ⊂ A

� a é ponto fronteiro a A se

∀r>0 : ( Br(a)∩A≠∅ e Br(a)∩(IRn\A)≠∅ )

� a é ponto exterior a A se, se não for nem interior nem fronteiro, ou seja, se

∃r>0 : Br(a) ⊂ IRn\A


� Definição

Helena Guerra 22

Chama-se, respectivamente, interior, fronteira e exterior de A, ao

conjunto dos pontos interiores, fronteiros e exteriores de A, e

representam-se por int(A), fr(A) e ext(A).

Para qualquer A⊂IRn, os conjuntos int(A), fr(A) e ext(A) são disjuntos

entre si e int(A) ∪ ext(A) ∪ fr(A) = IRn


� Definição

� Observação

12

Helena Guerra 23

Seja A um subconjunto de IRn. Chama-se fecho ou aderência de A ao

conjunto

Seja A um subconjunto de IRn.

A é um conjunto aberto se A=int(A)

A é um conjunto fechado se

)A(frAA ∪=

AA =


� Definição

� Definição

Helena Guerra 24

Sejam a∈IRn e A⊂IRn.

Diz-se que a é um ponto de acumulação de A se ∀r>0 Br(a)∩A\{a}≠∅

Diz-se que a é um ponto isolado de A se ∃r>0 Br(a)∩A={a}

Um conjunto diz-se limitado se existir uma bola que o contenha.


� Definição

� Definição

13

Helena Guerra 25

Para cada um dos seguintes conjuntos:

- Represente-os graficamente.

- Determine o interior, o exterior, a fronteira, os pontos deacumulação e os pontos isolados.

- Trata-se de um conjunto aberto? E fechado? E limitado?

{ }21:IR),(A 222 <+<∈= yxyx

{ }yxyx ≥∈= :IR),(B 2

{ }2||:IR),(C 22 <∧≥∈= xxyyx


� Exercícios

FUNÇÕES REAIS COM N VARIÁVEIS REAIS:

GENERALIDADES

14

Helena Guerra 27

Função real a mais de uma variável é uma correspondência queassocia a cada elemento de um conjunto X⊆IRn (n>1) um e um sóelemento de um outro conjunto Y⊆IR, isto é:

X é o Domínio da função e Y={f(x):x∈X} o seu Contradomínio.

yxxxxxx =→⊆→⊆

),...,,(),...,,(

IRYIRX:

n21n21

n

f

f

GENERALIDADES

� Definição

Helena Guerra 28

Encontre o domínio das seguintes funções e represente-ograficamente:

y

xyx =),(f

( )22 yxyx += ln),(f

� Exemplo

( )yx

xyxyx

−−+−+=

212

ln),(f

GENERALIDADES

15

Helena Guerra 29

{ })(feD:IR),( f xyxyx =∈∈ 2

{ }),(feD),(:IR),,( f yxzyxzyx =∈∈ 3

(o que muitas vezes constitui uma linha no plano)

(o que muitas vezes constitui uma superfície no espaço)

� Gráfico de uma função f :IR→→→→IR

� Gráfico de uma função f :IR2→→→→IR

GENERALIDADES

Helena Guerra 30

Nem sempre o gráfico de uma função z=f(x,y) é simples de visualizar.Muitas vezes recorre-se ao desenho de curvas de nível.

Curva de nível de cota k é o conjunto de pontos do domínio para osquais a função toma um valor constante k, isto é:

Generalizando para funções f:IRn→IR, chama-se conjunto de nível, aoconjunto:

{ }k),(f:D),(L fk =∈= yxyx

{ }k),...,(f:D),...,(L nfnk =∈= xxxx 11

� Gráfico de uma função f:IR2→→→→IR

GENERALIDADES

16

Helena Guerra 31

Consideremos a seguinte função:

As curvas de nível desta função são circunferências:

22

2

yxyx +=

→

),(f

IRIR:f

{ }k:D),(Lk =+∈= 22 yxyx

� Exemplo

GENERALIDADES

Helena Guerra 32

x

y

3-3

k=9

� Exemplo (continuação)

GENERALIDADES

17

Helena Guerra 33

x

y

z

� Exemplo (continuação)

GENERALIDADES

Helena Guerra 34

Construir as curvas de nível das seguintes funções:

yxyx

yxyx

−=

+=2(2)

(1)

),(f

),(f

GENERALIDADES

� Exercício

Duas curvas de nível não se podem intersectar num ponto dodomínio. Porquê?

� Observação

18

FUNÇÕES REAIS COM N VARIÁVEIS REAIS:

LIMITE E CONTINUIDADE

Helena Guerra 36

Seja f:D⊂IR→IR e a um ponto de acumulação do domínio de f. Diz-seque l é limite de f no ponto a, , se:l=

→)(flim

ax

x

δε0ε0δ <−⇒<−∧∈>∃>∀ |)(f||a|D:, lxxx

Seja f:D⊂IRn→IR e a um ponto de acumulação do domínio de f. Diz-seque l ∈IR é limite de f no ponto a, , se:

δε00ε0δ <−⇒<−<∧∈>∃>∀ |)(f|||a||D:, lxxx

LIMITE DE UMA FUNÇÃO

� Em IR

� Em IRn

link

l=→

)(flima

xx

19

Helena Guerra 37

Prove que 03

22

2

00=

+→ yx

xy

yx ),(),(lim

Para provar, pela definição, que uma função f(x,y) tem um determinado limiteutilizamos frequentemente as seguintes desigualdades:

|||)(sen|

|)cos(|e|)(sen|

)y,(ye)y,(sejaouyyey

)y,(|y|e)y,(||sejaouy|y|ey||

xx

xx

xxxxxx

xxxxxx

≤≤≤

≤≤+≤+≤

≤≤+≤+≤

11

2222222222

2222

� Exemplo

� Observação


Helena Guerra 38

O limite de uma função quando existe é único.

Sejam f,g: D⊂IRn→IR funções que possuem limite no ponto a. Então:

( ) )(glim)(flim)(g)(flimaaa

xxxxxxx →→→

+=+

( ) )(flim)(flimaa

xxxx →→

= λλ

( )

=

→→→)(glim)(flim)(g)(flim

aaaxxxx

xxx

� Teorema

� Teorema


20

Helena Guerra 39

Contrariamente ao caso das funções IR→IR, para uma função IR2→IRexiste uma infinidade de caminhos que levam a um ponto a=(a1,a2).

� Limite de uma função segundo um caminho específico

Em IR

a

Em IR

a

Em IR2

a1

a2

Em IR2

a1

a2


Helena Guerra 40

No caso de uma função IR→IR, para que exista limite da função numponto terão de existir e serem iguais os limites laterais à esquerda e àdireita.

No caso de uma função IR2→IR. Se a função tiver num determinadoponto limite = b então os limites obtidos ao longo de qualquercaminho terão de ser iguais a b.

Assim, se existirem dois caminhos ao longo dos quais a função temlimites diferentes, pode concluir-se que a função não tem limite.

� Limite de uma função segundo um caminho específico


21

Helena Guerra 41

Quando iniciamos o cálculo do limite de uma função f:IR2→IR,podemos começar por calcular os limites iterados, isto é:

Se os limites iterados forem diferentes podemos imediatamenteconcluir que não existe limite da função, se forem iguais teremos decontinuar a análise.

→→→→)y,(flimlime)y,(flimlim

abybyaxx

xx

� Limites iterados ou sucessivos


Helena Guerra 42

Limites direccionais de uma função f:IR2→IR quando (x,y) tende(a,b), são os limites da função segundo rectas que passam por (a,b),isto é:

)y,(flim

b)a(my)b,a()y,(

x

xx

+−=→

Equação da recta que passa por (a,b)

e tem declive m.


� Limites direccionais

� Observações1. Se o limite direccional depende de m então a função não tem limite.

2. Se não depende de m, mas é diferente dos limites iterados então a função não tem limite.

3. Se não depende de m e é igual aos limites iterados, teremos que continuar a analisar afunção, calculando limites da função ao longo de outras curvas (parábolas, por ex.) ouentão provar pela definição.

22

Helena Guerra 43

Calcular o limite da seguinte função na origem :

Calcular os limites iterados. O que conclui?

Calcular os limites direccionais. O que conclui?

Calcular o limite da função na origem, ao longo da curva x=y2.

O que conclui?

42

2

y

y)y,(f

+=x

xx

� Exemplo


Helena Guerra 44

Quando iniciamos a análise da existência de limite de uma função f:IR2→IRnum ponto (a,b) calculamos:

(1) os limites iterados se são ≠s, f não tem limite.se são =s, continuamos a análise.

(2) os limites direccionais se são ≠s, f não tem limite.se são =s mas ≠ dos limites iterados, f não tem

limite.se são =s, continuamos a análise.

(3) provamos pela definição a existência desse limite.

� Resumo


23

Helena Guerra 45

Calcular o limite das seguintes funções na origem:

x

xx

52

3

+−=

y

y)y,(f

( )22x

xx

+=

y

y)y,(f

22

2

y

y)y,(f

+=

x

xx

� Exercício


Helena Guerra 46

Seja f:D⊂IRn→IR e a∈D∩D’.

Diz-se que f(x) é uma função contínua no ponto a se existir

limite da função no ponto a e

De forma equivalente, temos que f é contínua em a se

δε0ε0δ <−⇒<−∧∈>∃>∀ )a(f)(f||a||}a{\D:, xxx

)a(f)(flima

=→

xx

CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO

� Definição

� Observação

24

Helena Guerra 47

Sejam f e g funções de IRn em IR e a∈Df∩(Df)’∩ Dg∩(Dg)’.

Então, as funções f+g, fg, αf (α∈IR) e f/g (g(a)≠0) também sãocontínuas em a.

Uma função f diz-se contínua num conjunto X⊂IRn se for contínuaem todos os pontos do conjunto X.

� Teorema

� Definição


Helena Guerra 48

=

≠−+=

),()y,(se

),()y,(se)y(y

y

)y,(f

000

00222

x

xxx

x

x

Estudar a continuidade da função:

� Exemplos


25

FUNÇÕES REAIS COM N VARIÁVEIS REAIS

CÁLCULO DIFERENCIAL EM IRn

Helena Guerra 50

A derivada de uma função f:IR→IR num ponto a mede o efeito sobrea função da variação de x, isto é se nos afastarmos ligeiramente de a.

Seja f:D⊂IR→IR e a∈int(D). A derivada de f no ponto a é dada por:

x

x

x xx ∆−∆+⇔

∆∆

→∆→∆

)a(f)a(flim

)a(flim

00

h

)a(f)ha(flimh

−+→0

DERIVAÇÃO EM IR

� Definição

26

Helena Guerra 51

a a+h

f(a)

f(a+h)

PP

QQ

h

f(a+h)-f(a)

gráficode f

DERIVAÇÃO EM IR

A derivada da função f no ponto a, f ’(a), é o declive da recta tangente ao

gráfico de f no ponto (a , f (a)).

A recta tangente terá então a equação: )ax)(a('f)a(fy −+=

� Interpretação geométrica

Helena Guerra 52

Em IR, um função ser diferenciável num ponto é equivalente a ter derivada

finita nesse ponto.

Se a função for diferenciável num ponto a então podemos, para pontos

muito próximos de a, aproximar a função pela recta tangente à função no

ponto, isto é:|)a(|)a)(a('f)a(f)(f −+−+= xxx ο

|)a(|)a)(a('f)a(f)(f −+−=− xxx ο

Acréscimo da função entre a e x

Diferencial da função, df(a)

Infinitésimo de ordem superior a (x-a)

)a(f)(f)a(df −≅ x

DERIVAÇÃO EM IR

� Diferenciabilidade

)a)(a('f)a(df −= xDiferencial da

função f no ponto a

27

Helena Guerra 53

Seja f:D⊂IRn→IR uma função com n variáveis (x1,x2,…,xn) e

a=(a1,a2,…,an)∈int(D).

A derivada parcial em ordem a xi é dada por:

DERIVAÇÃO EM IRn - DERIVADAS PARCIAIS

h

)a,,a,a(f)a,,a,ha,a,,a(flim)a(

f nniii

hi

LLL 21111

0

−+=∂∂ +−

→x

� Definição

Helena Guerra 54

DERIVAÇÃO EM IRn - DERIVADAS PARCIAIS

� Geometricamente

),(f

11x∂

∂

28

Helena Guerra 55

Calcular, pela definição, as derivadas parciais da função no

ponto (1,1):

DERIVADAS PARCIAIS

� Exemplos

y

y)y,(f

+−=x

xx

Helena Guerra 56

Calcular as derivadas parciais das seguintes funções:

?)y,(y

f

),()y,(se

),()y,(sey

)(ysen

)y,(f)(

zyzy)z,y,(f)(

=∂∂

=

≠+

−=

++−+=

x

x

xx

xx

x

xxx

000

002

5321

22

23

DERIVADAS PARCIAIS

� Exemplos

29

Helena Guerra 57

Seja f:D⊂IRn→IR e a∈int(D). Ao vector de todas as derivadas parciais

de f chama-se gradiente de f no ponto a:

∂∂

∂∂

∂∂=∇ )a(

f),...,a(

f),a(

f)a(f

nxxx 21

VECTOR GRADIENTE

� Definição

� Exemplo

Determinar analiticamente e representar graficamente o gradiente da

seguinte função no ponto (1,1):

y)y,(f −= 2xx

Helena Guerra 58

Como já vimos, uma função IR→IR é diferenciável num ponto

a∈int(Df) se puder ser aproximada, numa vizinhança do ponto a, pela

recta tangente à função nesse ponto.

Sendo o erro de aproximação um infinitésimo de ordem superior a

|x−a| ou seja:

DIFERENCIABILIDADE

� Diferenciabilidade de uma função

0=−

−−−⇔→ |a|

)a)(a('f)a(f)(flim

a x

xx

x

⇔−+−+= |)a(|)a)(a('f)a(f)(f xxx ο

30

Helena Guerra 59

Sendo f:D⊂IR2→IR o conceito de diferenciabilidade generaliza-se.

Uma função diz-se diferenciável num ponto (a,b)∈int(Df) se puder ser

aproximada, numa vizinhança do ponto (a,b), pelo plano tangente ao

gráfico da função nesse ponto.

Assim, f é diferenciável num ponto (a,b) se, numa vizinhança deste ponto,

se tem:

DIFERENCIABILIDADE


( ))by,a(o)by)(b,a(y

f)a)(b,a(

f)b,a(f)y,(f −−+−

∂∂+−

∂∂+= xxx

x

0=−−

−∂∂−−

∂∂−−

⇔→ )by,a(

)by)(b,a(y

f)a)(b,a(

f)b,a(f)y,(f

lim)b,a()y,( x

xx

x

x

Helena Guerra 60

DIFERENCIABILIDADE


Fazendo u=x−−−−a e v=y−−−−b, temos de forma equivalente que:

000

=∂∂−

∂∂−−++

→ )v,u(

v)b,a(y

fu)b,a(

f)b,a(f)vb,ua(f

lim),()v,u(

x

f é diferenciável num ponto (a,b) se:

31

Helena Guerra 61

Seja f:D⊂IR2→IR uma função diferenciável num ponto (a,b). Diferencial

da função f no ponto (a,b) é dado por:

DIFERENCIABILIDADE

� Diferencial de uma função

)by)(b,a(y

f)a)(b,a(

f)b,a(df −

∂∂+−

∂∂= xx

Generalizando, se f:D⊂IRn→IR uma função diferenciável num ponto

a=(a1,a2,…, an), o diferencial da função f nesse ponto é dado por:

⇔−∂∂++−

∂∂+−

∂∂= )a)(a(

f...)a)(a(

f)a)(a(

f)a(df nn

nx

xx

xx

x22

211

1

dy)b,a(y

fd)b,a(

f)b,a(df

∂∂+

∂∂=⇔ xx

nn

d)a(f

...d)a(f

d)a(f

)a(df xx

xx

xx ∂

∂++∂∂+

∂∂=⇔ 2

21

1

Helena Guerra 62

Mostre que a seguinte função é diferenciável na origem:

DIFERENCIABILIDADE

� Exercício

=

≠+=

),()y,(se

),()y,(sey

y)y,(f

000

0022

3

x

xx

x

x

E nos restantes pontos do seu domínio? Justifique.

Se uma função é diferenciável num ponto então ela é contínua nesse

ponto.

(a recíproca não é verdadeira)

� Observação

32

Helena Guerra 63

Seja f:D⊂IR2→IR. A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto

(a,b,f(a,b)) é:

PLANO TANGENTE A UMA SUPERFÍCIE

� Equação do plano tangente

)by)(b,a(y

f)a)(b,a(

f)b,a(fz −

∂∂+−

∂∂+= xx

� Exemplo

Considere a seguinte função:

(1) Indique, justificando, o domínio de diferenciabilidade da função f.

(2) Escreva a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1,7)

)cos(y)y,(f xxx π24 22 −+=

Helena Guerra 64

Seja f:D⊂IRn→IR, a∈int(D) e u um vector de IRn.

Chama-se derivada de f no ponto a segundo o vector u ao

seguinte limite:

A esta derivada também se chama derivada direccional e, se o

vector tiver norma 1, chama-se ainda derivada dirigida.

t

)a(f)tua(flim)a(ft

'u

−+=→0

DERIVADA SEGUNDO UM VECTOR

� Definição

33

Helena Guerra 65


� Geometricamente

Helena Guerra 66

Calcular, pela definição, a derivada direccional

sendo f(x,y)=xy+2x2, a=(1,1) e u=(2,3).

As derivadas parciais são um caso particular de derivadas dirigidas,

onde os vectores que definem a direcção são os vectores da base

canónica.

)a(f 'u


� Exercício

� Observação

34

Helena Guerra 67

Seja f:D⊂IRn→IR. A função f é diferenciável em todo o ponto em que

(n-1) derivadas parciais sejam contínuas.

Se todas as derivadas parciais de uma função forem contínuas num

certo conjunto, então diz-se que a função é de classe C1, nesse

conjunto.

ALGUNS RESULTADOS

� Teorema

� Definição

Helena Guerra 68

Calcule a derivada dirigida da função f(x,y)=x2y no ponto a=(3,2)

segundo a direcção do vector u=(1,-2).

Se f:D⊂IRn→IR é diferenciável num ponto a então a derivada segundo um

vector u=(u1,u2,…,un) é dada por:

nn

'u u)a(

f...u)a(

fu)a(

f)a(f

xxx ∂∂++

∂∂+

∂∂= 2

21

1

ALGUNS RESULTADOS

� Teorema

� Exemplo

u)a(f ⋅∇

35

Helena Guerra 69

Seja f:D⊂IRn→IR uma função diferenciável no ponto a. A derivada dirigida

da função f no ponto a atinge o seu maior valor na direcção e sentido do

gradiente e o seu valor máximo é ||∇f (a)||.

(A direcção e sentido que nos devemos deslocar para que a função apresente

o maior acréscimo possível é a do gradiente)

O gradiente é perpendicular à curva de nível que passa pelo ponto onde é

calculado.

ALGUNS RESULTADOS

� Teorema

� Observação

Helena Guerra 70

Seja f:D⊂IRn→IR. Cada derivada parcial ∂f/∂xi pode ser novamente

derivável em ordem a x1, a x2, … , a xn.

A estas derivadas chamamos derivadas parciais de 2ª ordem.

Da mesma forma se definem as derivadas parciais de 3ª ordem, … ,

e de ordem n.

Uma função f diz-se de classe Ck num conjunto X se admitir derivadas

parciais contínuas até à ordem k, em todos os pontos do conjunto X.

� Definição

DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR

� Definição

36

Helena Guerra 71

32 23 yy)y,(f −+= xxx

Calcular as derivadas parciais de 2ª ordem da função:


� Exemplo

Helena Guerra 72

À matriz das n×n derivadas de 2ª ordem de uma função f:IRn→IR

chama-se Matriz Hessiana:

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2

2

2

2

1

2

2

2

22

2

12

21

2

21

2

21

2

nnn

n

n

fff

fff

fff

H

xxxxx

xxxxx

xxxxx

L

MOMM

L

L


� Matriz Hessiana

37

Helena Guerra 73

Seja f:D⊂IRn→IR (n>1). Se as derivadas parciais ∂f/∂xi e ∂f/∂xj forem

diferenciáveis, então:

A matriz Hessiana contém informação sobre a curvatura da função. Vamos

utilizá-la mais tarde para classificar os pontos de estacionaridade no estudo

dos extremos de uma função.

ijji

ff

xxxx ∂∂∂=

∂∂∂ 22


� Observações

� Teorema de Schwarz-Young

Helena Guerra 74

Seja f:IR2→IR. Se as derivadas parciais forem diferenciáveis, podemos

definir o 2º diferencial:

O diferencial de 2ª ordem é uma forma quadrática cuja matriz simétrica

associada é a matriz Hessiana.

[ ] [ ]

=

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

=∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

dy

dHdyd

dy

d

)b,a(y

f)b,a(

y

f

)b,a(y

f)b,a(

f

dyd

dy)b,a(y

fdyd)b,a(

y

fd)b,a(

f)b,a(fd

)b,a(x

xx

x

xxx

xx

xx

2

22

2

2

2

22

222

2

22 2

DIFERENCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

� Definição

38

Helena Guerra 75

Generalizando,


� Definição

22

222

2

22 2 dy)b,a(

y

fdyd)b,a(

y

fd)b,a(

f)b,a(fd

∂∂+

∂∂∂+

∂∂= x

xx

x

33

32

2

32

2

33

3

33 33 dy)b,a(

y

fdyd)b,a(

y

fdyd)b,a(

y

fd)b,a(

f)b,a(fd

∂∂+

∂∂∂+

∂∂∂+

∂∂= x

xx

xx

x

dy)b,a(y

fd)b,a(

f)b,a(df

∂∂+

∂∂= xx

…

)b,a(

kk f

ydyd)b,a(fd

∂∂+

∂∂=x

x

Helena Guerra 76

22 32 yy)y,(f −−= xxx

Determinar o diferencial de 2ª ordem da seguinte função:


� Exemplo

39

Helena Guerra 77

Sejam f e g: IR→IR duas funções diferenciáveis.

A função composta é definida da seguinte maneira:

A derivada da função composta é dada por:

[ ] ( ) )x(gf)x(gf)x(gx

CDfDfCDgDgfg

fg

o=→→

→⊆→

( ) [ ] )a(g)a(gf)a(gf ′′=′o

DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA

� Revisão para funções de IR em IR

( )gf o

( )gf o

( )gf o

Helena Guerra 78

Seja y=sen(x2+x).

y é a função composta entre as funções f (t)=sen(t) e g(x)=x2+x.

Assim,

Noutra notação: y=sen(t) onde t=x2+x

))(cos())(tcos(t

t

yy1212 2 ++=+=

∂∂

∂∂=

∂∂

xxxxxx

( ) ( )xxxxxxx +=+→+→ 222 senffg


� Revisão para funções de IR em IR – Exemplo 1

))(cos()('g))(g('f)'gf( 122 ++== xxxxxo

y xf g

t

( )gf o

40

Helena Guerra 79

Seja y=t2et e t=2x.

Calcularx∂

∂y


� Revisão para funções de IR em IR – Exemplo 2

Helena Guerra 80

Seja z=f(x,y) tal que x=ϕ(t) e y=ψ(t).

t

y

y

z

t

z

t

z

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ x

x

ψψψψ

)tln(ye)tcos(yyz ==−+= xxx onde23 22

?t

z =∂∂

z

y

x tf

f

ϕϕϕϕ

t


� Generalização para funções com mais de uma variável (Regra da Cadeia)

� Exemplo

41

Helena Guerra 81

Seja z=f (x,y) tal que x=ϕ(s,t) e y=ψ(s,t).

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

t

y

y

z

t

z

t

z

s

y

y

z

s

z

s

z

x

x

x

x

)tln(yet

syz === xx onde22

?s

ze?

t

z =∂∂=

∂∂

z

y

x

t

s

t

s


� Exemplo

� Generalização para funções com mais de uma variável (Regra da Cadeia)

Helena Guerra 82

Uma função f:D⊂IRn→IR diz-se homogénea de grau αααα se:

quaisquer que sejam x∈D e t>0 tais que tx∈D.

y

y)y,(f

yy)y,(f

−+=

−+=

x

xx

xxx 22 3

),...,,(ft)t,...,t,t(f)(ft)t(f nn xxxxxx 21α

21α =⇔= xx

FUNÇÕES HOMOGÉNEAS

� Definição

� Exemplos

42

Helena Guerra 83

Seja f:D⊂IRn→IR uma função diferenciável. Então, f é homogénea de

grau α sse satisfaz a seguinte igualdade:

Se f é uma função homogénea de grau α e diferenciável então as suas

derivadas parciais são também homogéneas e de grau α-1.

),...,,(ff

...ff

nn

n xxxx

xx

xx

x 212

21

1 α=∂∂++

∂∂+

∂∂

FUNÇÕES HOMOGÉNEAS

� Teorema de Euler

� Teorema

Helena Guerra 84

Seja g: IR2→IR uma função de classe de C∞(IR2) homogénea de grau α tal que

∇g(2,2)=(1,1). Considere também a seguinte função f: IR2→IR definida por:

a) Determine α de modo a que f seja também uma função homogénea e, neste

caso, indique o grau de homogeneidade de f.

b) Justifique que f é uma função diferenciável no ponto (1,1).

c) Determine

d) Considerando α=3, calcule

e) Encontre (TPC)

DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO HOMOGÉNEA

� Exercício

( )23 y,ygy)y,(f xxx +=

)y,(y

fx

∂∂

)y,(y

fx

x∂∂∂2

),(y

f11

∂∂

43

Helena Guerra 85

Seja f:D⊂IR→IR uma função diferenciável de classe Cn+1 numa vizinhança

V(a) do ponto a∈D e x∈V(a). Então:

0onde

22

=−

−

−+−++−′′

+−′+=

→ nn

a

nn

)n(

|a|

)a(Rlim

)a(R)a(!n

)a(f)a(

!

)a(f)a)(a(f)a(f)(f

x

x

xxxxx

x

L

FÓRMULA DE TAYLOR – FUNÇÕES DE IR EM IR

� Definição

Se a=0, a fórmula de Taylor tem a designação de Fórmula de McLaurin.

Helena Guerra 86

Escrever a fórmula de Taylor de ordem 4 em torno do ponto a=0, da

função f(x)=ex


� Exemplo

44

Helena Guerra 87

y = ex

x

y


� Exemplo (cont.)

Helena Guerra 88

(1) A fórmula de Taylor de uma determinada função em torno dum

ponto a dá-nos uma aproximação polinomial dessa função numa

vizinhança desse ponto.

(2) Podemos escrever a fórmula de Taylor da seguinte forma:

n

n

R!n

)a(d

!

)a(fd

!

)a(fd)a(df)a(f)(f +++++= L

32

32

x


� Observações

45

Helena Guerra 89

Seja f:D⊂IR2→IR uma função de classe Cn+1 numa bola centrada no

ponto (a,b)∈D, B(a,b), e (x,y)∈B(a,b). Então:

0onde

32

32

=−−

−−

−−+++++=

→ nn

)b,a()y,(

n

n

)by,a(

)by,a(Rlim

)by,a(R!n

)b,a(d

!

)b,a(fd

!

)b,a(fd)b,a(df)b,a(f)y,(f

x

x

xx

x

L

FÓRMULA DE TAYLOR – FUNÇÕES DE IR2 EM IR

� Definição

Helena Guerra 90

Desenvolvendo os diferenciais, tem-se:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

0onde

333

1

22

1

33

32

2

32

2

33

3

3

22

222

2

2

=−−

−−

−−++

+

−

∂∂+−−

∂∂∂+−−

∂∂∂+−

∂∂+

+

−

∂∂+−−

∂∂∂+−

∂∂+

+

−∂∂+−

∂∂+=

→ nn

)b,a()y,(

n

)by,a(

)by,a(Rlim

)b,a(R...

by)b,a(y

fbya)b,a(

y

fbya)b,a(

y

fa)b,a(

f

!

by)b,a(y

fbya)b,a(

y

fa)b,a(

f

!

by)b,a(y

fa)b,a(

f)b,a(f)y,(f

x

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x


� Definição (continuação)

46

Helena Guerra 91

A generalização para funções com mais de duas variáveis é imediata.

Considere a seguinte função:

a) Escrever a fórmula de Taylor de ordem 2 em torno do

ponto (a,b)=(1,1) da função f.

b) Determine um valor aproximado para f(1.1,0.9)


� Observação

� Exemplo

yf

xxx += )ln(y),(

INTEGRAIS DUPLOS

47

Helena Guerra 93

Diz-se que F(x) é uma primitiva da função f(x) num intervalo I, se

F’(x)=f(x), ∀x∈I.

Sendo F uma primitiva de f, Pf(x)=F(x)+C é a expressão geral de todas as

primitivas de f (C constante).

PRIMITIVAÇÃO - FUNÇÕES DE IR EM IR (REVISÃO)

� Definição

Helena Guerra 94

Calcular as seguintes primitivas:

(1) (3)

(2) (4)

( )xx 22 +P

++

x

x

2

1

1eP

( )( )23xx cosP

+ 1x

x

e

eP

Imediatas: resultam directamente da leitura das tabelas de derivadas

Por partes: (F é uma primitiva de f)

Por substituição:

( ) ( ))('g)(FP)(g)(F)(g)(fP xxxxxx −=

( ) ( )( ))t(')t(fP)(fP φφ=x

PRIMITIVAÇÃO - FUNÇÕES DE IR EM IR (REVISÃO)

� Métodos de Primitivação

� Exemplos

48

Helena Guerra 95

∫ =b

a

AÁread)(f xx y

xO

f

a b

)f( 0≥

A

Variável de integração

Função integranda

Limites de integração

INTEGRAÇÃO - FUNÇÕES DE IR EM IR (REVISÃO)

� Integral definido

Helena Guerra 96

1. 2.

3. 4.

5.

∫ =a

a

d)(f 0xx xxxx d)(fd)(fa

b

b

a∫∫ −=

∫∫∫ +=b

c

c

a

b

a

d)(fd)(fd)(f xxxxxx ∫∫ =a

b

b

a

d)(fkd)(kf xxxx

( ) ∫∫∫ +=+b

a

b

a

b

a

d)(gd)(fd)(g)(f xxxxxxx


� Algumas propriedades dos integrais

49

Helena Guerra 97

Sendo f:[a,b]→IR contínua e F uma primitiva de f então:

ba

b

a

)](F[)a(F)b(Fd)(f xxx =−=∫

Calcular ∫

+2

1

1x

xx d


� Regra de Barrow

� Exemplo

Helena Guerra 98

Por partes: (F é uma primitiva de f)

Por substituição: (onde x=ϕ(t), ϕ(α)=a e ϕ(β)=b)

∫∫ −=b

a

ba

b

a

d)('g)(F)](g)(F[d)(g)(f xxxxxxxx

∫∫ =β

α

φφ dt)t('))t((fd)(fb

a

xx


� Métodos de integração

� Teorema fundamental do cálculo integral

)(fdt)t(fd

d

a

xx

x

=

∫

é uma função

de x

50

Helena Guerra 99

Comecemos por considerar que a região de integração é rectangular:

volumedyd)y,(fb

a

d

c

=∫ ∫ xx

Função integranda

[a,b]××××[c,d]Região de integração

gráfico de f

INTEGRAIS DUPLOS

� Definição

Helena Guerra 100

Calcular ∫ ∫−

2

1

3

2

2 dydy xx

Verificar que .

Quando a região de integração é rectangular, é indiferente a ordem de

integração.

∫ ∫∫ ∫−−

=3

2

2

1

2

1

3

2

22 xxxx ddyydydy

INTEGRAIS DUPLOS

� Exemplo

� Observação

51

Helena Guerra 101

Quando a região de integração não é rectangular, a troca da ordem de

integração não é tão simples e exige alterações nos limites de integração.

∫∫∫∫SS

dydx)y,x(fedxdy)y,x(f

x

y y=x2

S

INTEGRAIS DUPLOS

� Observação

� Exemplo

Definir os limites de integração de:

Helena Guerra

Calcular onde a região de integração é dada por:

Trocar a ordem de integração…

102

x

y

S

xx

ddyyS

∫∫ 2

2

x

1=y

INTEGRAIS DUPLOS

� Exercício

52

Helena Guerra 103

Calcular sabendo que a região de integração D é o limitada pelas

rectas y=x, y=0 e x=1.

∫∫D

ddyye xx3

INTEGRAIS DUPLOS

� Exercício

Helena Guerra 104

Podemos utilizar integrais duplos para calcular a área duma determinada

região S. Assim,

= ∫∫∫∫ xyx dddydSdeÁrea

SS

1ou1

INTEGRAIS DUPLOS

� Aplicação ao cálculo de áreas:

53

Helena Guerra 105

Utilizando integrais duplos calcular a área limitada pelas curvas y=2−x2 e

y=x.

x

y

y=2−−−−x2

y=x

INTEGRAIS DUPLOS

� Exemplo

OPTIMIZAÇÃO

CONCEITOS INTRODUTÓRIOS

54

Helena Guerra 107

→ Formalizar o problema

(definir as variáveis de interesse, os objetivos e as restrições

do problema)

→ Encontrar a solução do problema.

INTRODUÇÃO

� Optimização

Helena Guerra 108

Podemos, em termos gerais, formalizar um problema de optimização da

seguinte forma:

onde,

(x1,x2,…,xn) são as variáveis de decisão

X⊂IRn é o conjunto de oportunidades (valores possíveis para as

variáveis de decisão; é dado pela restrições do problema)

f(x1,x2,…,xn) é a função objectivo (descrição matemática dos objectivos do

problema)

X),...,,(.a.s

),...,,(fmax

n

n)n,...,,(

∈xxx

xxxxxx

21

2121

INTRODUÇÃO

� Formalização do problema

55

Helena Guerra 109

(1) Optimização Livre

não existem restrições sobre as variáveis de decisão, isto é X=IRn.

(2) Optimização com restrições de igualdade

existem m<n restrições do tipo gj(x1,x2,…,xn)=bj (com j=1,…,m),funcionalmente independentes.

(3) Optimização com restrições de desigualdade

existem restrições de não negatividade (x≥0) e restrições dedesigualdade g(x)≤b.

INTRODUÇÃO

� Tipos de optimização

Helena Guerra 110

Consideremos uma função f:D⊂IRn→IR.

f tem um máximo global num ponto a∈D se: f(x)≤f(a), ∀x∈D (∗∗∗∗)

f tem um mínimo global num ponto a∈D se: f(a)≤f(x), ∀x∈D (∗∗∗∗∗∗∗∗)

A função f tem um máximo local ou relativo se a desigualdade (∗∗∗∗) é

satisfeita numa vizinhança do ponto a.

A função f tem um mínimo local ou relativo se a desigualdade (∗∗∗∗∗∗∗∗) é

satisfeita numa vizinhança do ponto a.

ALGUNS CONCEITOS IMPORTANTES

� Definição

56

Helena Guerra 111

Um subconjunto S de um espaço vectorial diz-se um conjunto convexo se

∀x,x’∈S, λx+(1-λ)x’∈S para todo o 0≤λ≤1.

A B

C D

A e B são conjuntos convexos. C e D são conjuntos não convexos

Se S1, S2, …, Sn são subconjuntos convexos de um espaço vectorial, então

S1∩S2∩…∩Sn também é convexo.


� Definição

� Exemplos

� Teorema

Helena Guerra 112

Uma função real f definida num conjunto convexo S diz-se uma funçãoconvexa se

∀x,x’∈S f[λx+(1-λ)x’] ≤ λf(x)+(1-λ)f(x’) ∀0<λ<1

Se a desigualdade for estrita então a função diz-se estritamente convexa.


� Definição

x

y

x x’

f(x)

f(x’)

λx+(1- λ)x’

f[λx+(1- λ)x’]

λf(x)+(1- λ)f(x’)

f

O segmento que une (x,f(x)) a (x’,f(x’)) está acima do gráfico da função ∀x.Logo a função é estritamente convexa.

57

Helena Guerra 113

Uma função real f definida num conjunto convexo S diz-se uma função

côncava se

∀x,x’∈S f[λx+(1-λ)x’] ≥λf(x)+(1-λ)f(x’) ∀0<λ<1.

Se a desigualdade for estrita então a função diz-se estritamente côncava.


� Definição

x

y

x

y

Função estritamente côncava. Função côncava (mas não estritamente côncava).

OPTIMIZAÇÃO LIVRE

58

Helena Guerra 115

Nos problemas de optimização livre não existem restrições sobre as

variáveis de decisão.

O conjunto de oportunidades é X=IRn.

Consideremos a hipótese de a função objectivo ser diferenciável.

OPTIMIZAÇÃO LIVRE

Helena Guerra 116

Seja f:D⊂IR→IR e a∈int(D). Se f’(a)=0 então a diz-se um ponto de

estacionaridade.

Ser ponto de estacionaridade é condição necessária para ser máximo ou

mínimo (extremo) local.

Seja f uma função classe Cn num intervalo I e a um ponto interior a I. Se

f ’(a)=f ’’(a)=...=f (n-1)(a)=0 e f (n)(a)≠0, então

a) Se n é par e,

� f (n)(a)<0, f tem máximo local em a

� f (n)(a)>0, f tem mínimo local em a

b) Se n é impar, a é ponto de inflexão;

OPTIMIZAÇÃO LIVRE - FUNÇÕES DE IR EM IR (REVISÃO)

� Definição

59

Helena Guerra 117

Encontrar os extremos locais das seguintes funções:

(1)

(2)

(3)

6833

23

++−= xxx

x )(f

32xx =)(f

4xx =)(f

Gráfico

Gráfico

Gráfico

OPTIMIZAÇÃO LIVRE - FUNÇÕES DE IR EM IR (REVISÃO)

� Exemplos

Helena Guerra 118

Seja f:D⊂IRn→IR e a∈int(D). É condição necessária para que a seja um

ponto de máximo (ou mínimo) local que:

∇f(a)=0 ⇔

Diz-se que a é um ponto de estacionaridade.

(as condições de 1ª ordem são necessárias para a existência de extremo local, mas

não são suficientes. É necessário analisar as derivadas parciais de 2ª ordem mais

exactamente o diferencial de 2ª ordem.)

=∂∂

=∂∂

0

01

)(f

...

)(f

na

a

x

x

OPTIMIZAÇÃO LIVRE - FUNÇÕES DE IRn EM IR

� Condições de 1ª ordem

60

Helena Guerra 119

Seja f:D⊆IRn→IR uma função de classe Cm (m>1) e a um seu ponto deestacionaridade:

(1) Se d2f(a)<0, ié, se a forma quadrática d2f(a) é definida negativa, entãoa função tem um máximo local em a.

(2) Se d2f(a)>0, ié, se a forma quadrática d2f(a) é definida positiva, então afunção tem um mínimo local em a.

(3) Se d2f(a)<0 e >0, isto é, se a forma quadrática d2f(a) é indefinida,então f(a) não é extremo. É um ponto de sela.

(lembre-se que d2f(a) é uma forma quadrática, cuja matriz simétrica associada é amatriz Hessiana)


� Condições de 2ª ordem

Helena Guerra 120

(4) Se d2f(a)≤0 [ou ≥0], isto é, se a forma quadrática d2f(a) é semidefinida

negativa [ou positiva], então temos que analisar as direcções singulares:

- se existir alguma direcção em que a primeira derivada dirigida que não se anula é de ordem

impar ou de ordem par mas de sinal contrário ao de d2f(a) fora das direcções singulares, então f(a)

não é extremo.

- se as derivadas dirigidas se continuam a anular ou a primeira que não se anula é de ordem

par e do mesmo sinal de d2f(a) fora das direcções singulares, então nada se pode concluir.


� Condições de 2ª ordem (continuação)

(5) Se d2f(a)=0, então temos que analisar os diferenciais de ordem

superior:

- se o primeiro diferencial que não se anula é de ordem impar, então f(a) não é extremo.

- se o primeiro diferencial que não se anula é de ordem par, então consideram-se as

condições dadas em (1), (2) e (3).

61

Helena Guerra 121


A função f(x,y)=x2−y2 tem um ponto de sela em (0,0)

Helena Guerra 122

Calcular os extremos locais das seguintes funções:

(1)

(2)

(3)

1328 223 ++−+= yy)y,(f xxxx

yeeye)y,(f 22 −−+= xxx


� Exemplos

242 222 +++++= zzyy)z,y,(f xxxx

62

OPTIMIZAÇÃO

COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE

Helena Guerra 124

Consideremos o seguinte problema:

Podemos incorporar a restrição na função objectivo e transformar o

problema de optimização com restrição de igualdade num problema de

optimização livre.

=+

=

6y.a.s

y)y,(fmaxy,

x

xxx

2666

xxxxx

x

xx

x −⇔−⇔

=+max)(max

y.a.s

ymaxy,

OPTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES DE IGUALDADE

63

Helena Guerra 125

Queremos então encontrar o máximo da função

Condições de 1ª ordem:

Condições de 2ª ordem:

Assim, o ponto (3,3) é ponto maximizante, isto é ponto onde a função

atinge um máximo.

g(3,3)=9 é máximo da função ao longo da recta x+y=6

30

26

=⇒=−=

xx

xx

)('f

)('f

0232 <−=⇒−= )(''f)(''f x


26 xxx −=)(f

Helena Guerra 126

Consideremos o seguinte problema:

= b)y,(g.a.s

)y,(fmax)y,(

x

xx


� Método dos Multiplicadores de Lagrange (caso mais simples: n=2 variáveis e m=1 restrição)

Vamos construir a função:

que é designada por Função Lagrangeana, as condições de 1ª ordem do

problema em estudo, são:

[ ])y,(gb)y,(f)y,,(L xxx −+= λλ

64

Helena Guerra 127

As condições de 1ª ordem do problema em estudo, são:

Das condições de 1ª ordem resultam os pontos de estacionaridade do

problema apresentado.


=∂∂

=∂∂

=∂∂

⇔=∇

0

0

0λ

0λ

y

)y,,(

L

L

L

Lx

x


Helena Guerra 128

Condições de 2ª ordem: temos que analisar a matriz Hessiana da função

Lagrangeana, chamada Matriz Hessiana Orlada, nos pontos de

estacionaridade encontrados nas condições de 1ª ordem:


∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

=

2

222

2

2

22

22

2

2

λ

λ

λλλ

yyy

y

y

H

LLL

LLL

LLL

x

xxx

x


65

Helena Guerra 129

Temos que analisar os sinais dos últimos (n-m) menores principais da

matriz Hessiana Orlada, o que para este caso significa que só temos de

analisar 2-1=1 menor principal:


( )( ) mínimo)(dealsinHSe

máximo)(dealsinHSe

m

m

⇒−=<

⇒−=> +

10

10 1


Helena Guerra 130

=+

=

6y.a.s

y)y,(fmaxy,

x

xxx

Resolver o seguinte problema de optimização pelo método dos

multiplicadores de Lagrange:

Gráfico


� Exemplo

66

Helena Guerra 131

Para resolver graficamente o problema:

1º) Desenhamos a restrição.

2º) Desenhamos as curvas de nível da função objetivo.

3ª) Procuramos a curva de nível que é tangente à restrição. O ponto

de tangência entre a curva de nível (Lk) e a restrição será um ponto

maximizante se pertencer à “última” curva de nível que toca a restrição. Ou

seja, corresponde ao maior valor de k (isto é da função) a intersectar a

restrição.

4º) Cálculo da solução.


� Resolução Gráfica

=+

=

6y.a.s

y)y,(fmaxy,

x

xxx

Helena Guerra 132

=+

+=

2

2

y.a.s

y)y,(foptimizary,

x

xxx

Gráfico


� Exercício

Resolver o seguinte problema de optimização:

a) Pelo método dos multiplicadores de Lagrange.b) Através da resolução gráfica.

67

Helena Guerra 133

Consideremos então o seguinte problema:

A função Lagrangeana para este problema é:


=

=

=

mnm

n

n)n,...,(

b),...,(g

b),...,(g

.a.s

),...,(fzmax

xx

xx

xxxx

1

111

11

L

( ) ( )),...,(gb...),...,(gb),...,(f),...,,,...,( nmmmnnnm xxxxxxxx 11111111 λλλλ −++−+=L

� Método dos Multiplicadores de Lagrange (caso geral: n variáveis e m restrições)

Helena Guerra 134

As condições de 1ª ordem são (n+m equações):

A resolução deste sistema conduz-nos aos pontos de estacionaridade do

problema (os candidatos a solução do problema)

==∂∂

==∂∂

⇔=∇)n,...,i(

)m,...,j(

),...,,,...,(

i

jnm

10

10λ

0λλ 11

x

xxL

L

L



68

Helena Guerra 135

Para as condições de 2ª ordem temos que analisar os sinais dos últimos

(n-m) menores principais (que designaremos por menores principais

relevantes) da matriz Hessiana orlada nos pontos de estacionaridade:

• Se os menores principais relevantes alternam de sinal começando

com o sinal de (-1)m+1 ⇒ Máximo

• Se os menores principais relevantes são todos do mesmo sinal e do

sinal de (-1)m ⇒ Mínimo



Helena Guerra 136

Determine os extremos das funções:

1222 =+−++= zy.a.szy)z,y,(f xxx

=+−=++

++=1

722

zy

zy.a.szy)z,y,(fx

xxx


� Exemplos

69

Helena Guerra 137

Considerando o problema:

O multiplicador de Lagrange λ dá aproximadamente o efeito no valor do

óptimo da função quando a constante b da restrição aumenta 1 unidade.

=

=

b)y,(g.a.s

)y,(fzmax)y,(

x

xx


� Significado dos multiplicadores de Lagrange

OPTIMIZAÇÃO

COM RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE

70

Helena Guerra 139

A formulação geral de um problema de optimização com restrições de

desigualdade é:

≥≥≤

≤

001

21

1211

11

n

mnm

n

nn,...,

,...,

b),...,,(g

...

b),...,,(g

.a.s

),...,(fmax

xx

xxx

xxx

xxxx

OPTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE

Helena Guerra 140

Um problema de optimização com restrições de desigualdade consiste em

encontrar, no conjunto de oportunidades (definido por todas as restrições) o

ponto onde a função objectivo toma o valor máximo.


71

Helena Guerra 141

Para resolver graficamente o seguinte problema:

1º) Desenhamos o conjunto de oportunidades.

2º) Desenhamos as curvas de nível da função objetivo.

3ª) Como se trata dum problema de minimização vamos

identificar a “primeira” curva de nível que intersecta o conjunto de

oportunidades.

4º) Cálculo da solução.

≥≥≤+

−≤−−−+−=

00

1223

632

44 22

y,

y

y

.a.s

)y()()y,(fmin

x

x

x

xx


Helena Guerra 142

Resolva graficamente os seguintes problemas:

(1) (2)

(3)

≥≥≤+

+=

00

4

22

y,

y.a.s

y)y,(fmax

x

x

xx

RESOLUÇÃO GRÁFICA

� Exercícios

≥≥≤≤

≥++=

00

2

2

2

2

y,

y

y

.a.s

y)y,(fmin

x

x

x

xx

≥≥≤

≥−+−=

00

2

02

1 22

y,

y

y

.a.s

y()y,(fmin

x

x

)xx

slides das aulas

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