slides aulas teoricas 15 e 16

7/23/2019 Slides Aulas Teoricas 15 e 16

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RESUMO DAS AULAS ANTERIORES

Anlise de circuitos RC/RL

um s condensador ou bobine, resistncias, fontes de tenso e de corrente

resposta ao degrau como varia v(t) quando um condensador descarregado (Vc=0) se liga a uma fonte no

ideal (fonte de tenso ideal em srie com uma resistncia interna)?

v(t) = Vf - Vf et/RC (Vf a tenso em regime permanente)

resposta completa

Sinais e fasores - 1

como var a v quan o um con ensa or com a guma carga parc a ra uz a numatenso Vi) carregado ou descarregado tendendo para uma tenso Vf (final)?

v(t) = Vf + (Vi Vf ) . et t0RC t t0 e v(t0- ) = v(t0+)

i(t) = If + (Ii If ) . et t0L/R t t0 e i(t0- ) = i(t0+)


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ONDAS SINUSOIDAIS...



3/43

ANLISE DE CIRCUITOS EMCORRENTE ALTERNADA

Anlise de circuitos em corrente alternada

Anlise de circuitos cuja alimentao efectuada comrecurso a fontes de corrente alternada sinusoidal

As fontes de corrente alternada geram sinais


(tenso ou corrente) que so sinais sinusoidais

Vamos estudar apenas a resposta em regimepermanente ou resposta forada


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Vmv v(t) = Vmcos(t+)

SINAIS SINUSOIDAIS

Sinal sinusoidal

V - am litude mxima


-Vm

t0

m

T

- ngulo de fase (rad, graus)

- frequncia angular (rad/s)

T - perodo do sinal (s)f - frequncia (Hz, s-1)

= 2f = 2/T


5/43

Vmv

VmcostVmcos(t+)

SINAIS SINUSOIDAIS Fase


t0/

-VmDiferena de fase entre dois sinais: diferena de tempo entre as respectivaspassagens por zero; pode medir-se em unidades angulares: 1 perodo so360 ou 2: 15 com f=50Hz equivale a 20 ms (perodo) / 360 *15 = 0.833 ms

fase mede-se em radianosfrequncia angular mede-se em rad/s


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SINAIS SINUSOIDAIS

Valor mdio de um sinal peridico v(t) com perodo T

0

0

1V ( )t T

medt

v t dtT

+

= O valor mdio de um

sinal sinusoidal nulo


Valor eficaz de um sinal peridico v(t) com perodo T

0

0

21V V ( )t T

ef rmst

v t dt T

+

= =

O valor eficaz de um

sinal sinusoidal mV

2


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SINAIS SINUSOIDAIS

Interpretao do valor eficaz de um sinal peridicoO valor eficaz de um sinal peridico (tenso ou corrente) igual aovalor do sinal contnuo que fornece a mesma potncia mdia a umaresistncia R

+ +


ef

Se a soma de sinais sinusoidaisde frequncias diferentes, ento o seu valor eficaz

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 nV V V ... Vef ef ef ef = + + +

1 2( ) ( ) ( ) ... ( )nv t v t v t v t = + + +


8/43

SINAIS SINUSOIDAIS

Na rede elctrica domstica:

V = 230V (valor eficaz ou rms)

f = 50Hz (frequncia)Tenso instantnea: v(t) = 230. . cos( 2 . 50 . t + )2

Exemplo


A corrente instant nea numa resist ncia de 100 :i(t) = 230. .cos( 2 . 50 . t + ) / 100

Irms = Vrms / 100 = 2.3A (lei de Ohm)

Os multmetros bsicos na funo AC medem o valoreficaz de tenses e correntes sinusoidais numa gama defrequncias em torno de 50 Hz

2


9/43

RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES

Resposta a sinais sinusoidais

div Ri L= +

L

t= 0

i(t)+

v(t)

R

( )( ) V cos

(0) 0

mv t t

i

= +

=

Equao diferencial


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t

R L R L

= + +

+ +

Resposta do circuito ( corrente i(t) ) ao sinal sinusoidal v(t)

resposta transitria resposta em regimepermanente

onde: = atan( L / R )


10/43


L

t= 0

i(t)+

v(t)

R

Exemplo

Vm = 230 * = 325.3 V2R = 1


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t R L R L

= + +

+ +

L = 0.1 Hf = 50 Hz (= 314.15 rad/s)

constante de tempo: L/R = 0.1s

v(t) = 325.3 cos( 314.15 t + 45)


11/43

RESPOSTA DE CIRCUITOS LINEARES Exemplo

L

t= 0

i(t)+v(t)

R

Vm = 230 * = 325.3 V2


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t R L R L

= + +

+ +

regime permanente


R = 1

L = 0.1 Hf = 50 Hz (= 314.15 rad/s)v(t) = 325.3 cos( 314.15 t + 45)


12/43


L

t= 0

i(t)+

vL(t)

R

v(t)v(t)


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t R L R L

= + +

+ +

.


regime transitrio (tmax = )

i(t)


13/43


L

t= 0

i(t)+

vL(t)

R

v(t)


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t R L R L

= + +

+ +

.

regime permanente (tmax 5)

Em regime permanente, atenso e a corrente nabobine tm uma diferena

de fase de 90


14/43


L

t= 0

i(t)+

vL(t)

R

v(t)

5 ms ( do perodo ou 90 de fase)


( ) ( )2 2 2 2 2 2

V V( ) cos cos

Rt

m mLi t e t R L R L

= + +

+ +

.

regime permanente (tmax 5)

Em regime permanente, atenso e a corrente nabobine tm uma diferena

de fase de 90


15/43


Resposta a sinais sinusoidais (regime permanente)

A resposta em regime permanente um sinal sinusoisal

A frequncia da resposta igual frequncia do sinal da


A amplitude mxima da resposta em geral difere daamplitude do sinal de entrada

O ngulo de fase da resposta geralmente difere do ngulode fase do sinal de entrada


16/43

Steinmetz (1865 - 1923)



17/43

Domnio dos

tempos(expresso temporal)

Domnio das

frequncias(fasor, transformada fasorial

ou de Steinmetz

FASORES

Transformada fasorial


( )( ) V cosmv t t = + V V

V cos V sen

j

m m

m m

e

j

= =

= +

V

O fasor um nmero complexodeterminado a partir da amplitude e da fase dafuno sinusoidal

V j

me

=V

( )( ) V cosmv t t = +


18/43

FASORES

Um fasor um nmero complexo

Representa um vector no plano complexo Esse vector gira no sentido anti-horrio

com velocidade angular rad / s (=2f)

fasor

Re

Im


projeco do fasor (vector) correspondenteno eixo real

Retira a informao de frequncia do sinal

Em regime permanente e com fontessinusoidais todos os sinais tm a mesmafrequncia

v(t) = Vm.cos(t+)


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FASORES

Um fasor um nmero complexo

Representa um vector no plano complexo Esse vector gira no sentido anti-horrio

com velocidade angular rad / s (=2f)

fasor

Re

Im


projeco do fasor (vector) correspondenteno eixo real

Retira a informao de frequncia do sinal

Em regime permanente e com fontessinusoidais todos os sinais tm a mesmafrequncia

v(t) = Vm.cos(t+)


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RESUMO AULA 17

Introduo anlise de circuitos AC

resposta de circuitos RL e RC a sinais sinusoidais

reposta em regime permanente

representao de sinais sinusoidais no domnio das frequncias - fasores



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FASORES

( )( )( )

( ) V cos

V

m

j t

m

v t t

e

+

= +

= V Vjm m

e = = V

( )( )V V cosjm me F t = = +V

Transformadafasorial directa


( )

( )

V

V

j t jm

j j t

m

e e

e e

=

=

V cos V senm mj = +

( ) ( ) ( )1 V V V cosj j j tm m mF e e e t = = +

Transformadafasorial inversa


22/43

Vantagem da representao fasorial


R

vs(t)

L

C ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

10= + + +

t

s c

di tv t Ri t L i t dt v

dt C


1s R j Lj C

= + +V I I I

R jL

1/(jC)Vs

I


23/43

FASORES

Resposta a sinais sinusoidais

L

t= 0

i(t)+

v(t)

R

( )( ) I j t

rp mi t e

+=

podemos admitir que a equao dacorrente em regime permanente

.

( )( )( ) V j tmv t e += Sendo


Como os dois sinais devem verificar aequao diferencial do circuito:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

I I V

I V

I V

j t j t j t

m m m

j j t j j tm m

j j t j j t

m m

R e j L e e

R j L e e e e

R j L e e e e

+ + + + =

+ =

+ =

I j j t

me e

( )

V=

jj tme e

R j L

+

( )

VI =

jj m

m

ee

R j L

+


24/43

v(t) i(t)

RELAO FASORIAL V-I Resistncia

i(t)

+ v(t)

R I

+ V

R


T tv(t) = R.i(t) = R.Im cos(t + )

V = R.Im e j

V = R . I

-

Numa resistncia, a tenso e a corrente esto sempre em fase.

.


25/43

RELAO FASORIAL V-I Bobina

i(t)

+ v(t)

L I

+ V

Lv(t) i(t)

i(t) = Im cos(t + )v(t) = L di(t) / dt

v t = -.L.Im.sin t+


v(t) = Ldi/dt V = jLI

Numa bobina, a tenso est avanada de 90 em relao corrente.

t0 T/2 T 2T-T/2

90

v(t) = -.L.Im.cos(t+-90)V = -.L.Im. e j(-90)

V = -.L.Im. e j e-j90

V = j..L.Im. e j

.


26/43

C

RELAO FASORIAL V-I Condensador

i(t)

+ v(t)

C I

+ V

v(t) i(t)

v(t) = Vm cos(t + )i(t) = C dv(t) / dt

i t = -.C.Vm.sin t+


i(t) = Cdv/dt I = jCV ouV=(1/jC)I

Num condensador, a tenso est atrasada de 90 em relao corrente.

-T/2 0 T 2T t

90

i(t) = -.C.Vm.cos(t+-90)I = -.C.Vm.e j(-90)

I = -.C.Vm.e j e-j90

I = j..C.Vm.e j

.


27/43

Relao Impedncia Reactncia

IMPEDNCIA e REACTNCIA

V=ZI

Z = impedncia do elemento de circuito (complexo)

1/Z = Y = admitncia do elemento de circuito

Relao tenso-corrente num elemento passivo


asor aResistncia V= RI R 0

Bobina V = jLI jL L

Condensador V= I/ (jC) 1/(jC) -1/(C)

A unidade SI de impedncia o Ohm () e a unidade SI de admitncia o Siemens (S).


28/43

RELAO DE FASE ENTRE V e I

Num condensador a corrente aparece antes da tenso


A tenso vem antes da corrente numa bobine


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Vantagem da representao fasorial


R

vs(t)

L

C ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

10= + + +

t

s c

di tv t Ri t L i t dt v

dt C


1s

R j Lj C

= + +V I I I

R jL

1/(jC)Vs

I

I =Vs

R + jL + 1 / (jC)


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Anlise de circuitos em regime permanente sinusoidal1. substituir o circuito original pela sua representao fasorial, onde:

i) as fontes independentes so representadas pelos

respectivos fasores: v(t) = Vm cos(t+) V = Vm / = Vm ejii) os elementos R, L, C so representados pelas respectivas impedncias:

resistncia: R, bobine: jL, condensador: -j/(C) = 1/(jC)

RESUMO DA AULA 16


.

resistivos (todos os mtodos, exceto os que se referem ao clculo daspotncias envolvidas nos elementos do circuito)

3. resolver sistemas de equaes lineares de nmeros complexos...Matlab/Scilab/Octave operam com nmeros complexos naturalmente...x = 123 + 678j % nmero complexo (real e imaginria)

y = 5.6*exp(1.45j) % nmero complexo (mdulo e fase)r = real(y) % r a parte real de y

g = imag(y) % g a parte imaginria de y

m = abs(x) % m o mdulo de x

a = angle(x) % a o ngulo (fase) de x


31/43

Exemplo 1: calcular i(t)

( ) ( )750cos 5000 30 V

=5000 rad/s

sv t t

= +



Representaofasorial do circuito


32/43

Exemplo 1



programa em Matlab:

resultado:

converso de 30 para radianos


33/43

Leis de Kirchhoff (no domnio das frequncias)

+ V2

+

V

+

V

+

V

+ V3 V5 +

I1 II3


1 2 3 0

0

+ + =

+ + + =

I I I

V V V V


+ V7 4 5 6 7 0 + =V V V V

As leis de Kirchhoff das tenses permanecem vlidas no domnio dasfrequncias; assim, todos os mtodos antes estudados podem serusados directamente na representao fasorial dos circuitos decorrente alternada.


34/43

I

Associao de impedncias

Zn

Z2 Zn-1


eq 1 2 1Z Z Z ... Z Zn n= + + + +

SrieZ1+V


Z2 Zn eq 1 2 1

1 1 1 1 1...

Z Z Z Z Zn n= + + + +

+

V

Paralelo

Z1

eq 1 2 1Y Y Y ... Y Yn n= + + + +

I

ANLISE DE CIRCUITOS EM


35/43

Divisores de tenso / corrente


11

1 2

Z

Z Z=

+V V

Diviso de tenso+V2

I+

V Z2

Z1

+ V1

22

1 2

Z

Z Z=

+V V


2 1

11 2 1 2

Z Y

Z Z Y Y= =

+ +I I I

Diviso de corrente

1 22

1 2 1 2

Z Y

Z Z Y Y= =

+ +I I I

Z2Z1

I1 I2I+

V



36/43

Exemplo 2


No circuito, determinar as expresses, em regime permanente,

de v, i1, i2 e i3 .


( ) 58cos 2 10 A= si t t( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

5

5

1

5

2

5

3

40cos 2 10 36,87 V4cos 2 10 36,87 A

4 cos 2 10 90 A

8cos 2 10 53,13 A

=

=

=

= +

v t ti t t

i t t

i t t



37/43

Exemplo 3

No circuito, determinar o fasor de tenso V0 usandotransformao de fontes.



36,12 18,84 V

40,74 27,55 V

=

=

0V j



38/43

Circuitos equivalentes

+VTH

ZTH

a

Thvenin



a

b

Circuito

b

a

IN ZN

b

Norton



39/43

Exemplo 4

Determinar o equivalente de Thvenin do circuito relativamente

aos terminais b e c .


a b


c

TH

68 26 V

Z 1,54 10,62

=

=

THV j



40/43

Exemplo 5

Determinar o equivalente de Thvenin do circuito relativamente

aos terminais a e b.



a

b

TH

97,01 14,03 V

Z 91, 2 38, 4

=

=

THV

j



41/43

SobreposioQuando os circuitos contm fontes que geram sinais com frequncias

diferentes, obrigatrio usar sobreposio para efectuar a respectivaanlise.


2 0.5 F


+

1

+

1 H

- v +

12 cos2tV

5 cos(t+45) V

v(t) = 10.5 cos(2t+137.7) + 3.5 cos(t+32.9) V



42/43

Diagramas fasoriaisUma vez que as tenses e correntes so representadas por

nmeros complexos, possvel resolver circuitos simples usandoas representaes grficas dos fasores no plano complexo.


Im


Re



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Exemplo 6Analisar o efeito em Vs da adio de um condensador entre osterminais da carga (R2 || L2), admitindo que a tenso VL se mantmconstante.


R1

+

L1

I IR2VLIR2 IL2

IC


VR1

VL1

I VL

Vs

+

VL

Vs R2 L2I

IL2C

IC

IVL

Vs

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