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Sequências

1. (Uem 2013) Seja r um número inteiro positivo fixado. Considere a sequência numérica

definida por 1

n 1 n 1

a ra a a

e assinale o que for correto.

01) A soma dos 50 primeiros termos da sequência 1 2 3 4 5(a , a , a , a , a , ) é 2500r.

02) A sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é uma progressão geométrica.

04) A sequência 1 3 5 7 9(a , a , a , a , a , ) é uma progressão aritmética.

08) O vigésimo termo da sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é 202 r.

16) A soma dos 30 primeiros termos da sequência 2 4 6 8 10(a , a , a , a , a , ) é 930r.

2. (Unesp 2013) A sequência dos números 1 2 3 in , n , n , , n , está definida por

1

ii 1

i

n 3

,n 1n

n 2

para cada inteiro positivo i.

Determine o valor de 2013n .

3. (Espm 2012) Seja 1 2 3 nS a , a , a , ..., a , ... a sequência definida por

1 n 1 na 5 e a a para n 1. O produto dos infinitos termos dessa sequência é igual a:

a) 1

b) 10

c) 20 d) 25 e) 5 4. (Uftm 2011) Em uma sequência, o termo geral é dado por na 2n k, (n *), sendo k

uma constante. Determine: a) O valor do primeiro termo dessa sequência, sabendo-se que o quinto termo é igual a 21. b) A soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência.


5. (Uel 2011) Pontes de treliças são formadas por estruturas de barras, geralmente em forma

triangular, com o objetivo de melhor suportar cargas concentradas.

Nas figuras a seguir, há uma sequência com 1, 2 e 3 setores triangulares com as respectivas quantidades de barras de mesmo comprimento.

Observando nas figuras que o número de barras é função do número de setores triangulares, qual é o número N de barras para n setores triangulares?

a) n 1N 3 2 para n 1

b) N 3n para n 1

c) 2N 3n 2n para n 1

d) 2N 3 2(n 1) para n 1

e) N 1 2n para n 1

6. (Espm 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela

expressão 2nS 8n 1.

Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: a) 128 b) 132 c) 146 d) 150 e) 152 7. (Mackenzie 2011) Em uma sequência numérica, a soma dos n primeiros termos é 3n

2 + 2,

com n natural não nulo. O oitavo termo da sequência é a) 36 b) 39 c) 41 d) 43 e) 45


8. (G1 - cftmg 2011) A soma dos n primeiros termos de uma sequência e dada pela fórmula

3nS 3n 2n . Desse modo, a diferença entre o segundo e o primeiro termos dessa

sequencia e igual a a) 5. b) 18. c) 23. d) 33. 9. (Fgv 2011) Seja 1 2 3a ,a ,a ,... uma sequência com as seguintes propriedades:

I. 1a 1 .

II. 2n na n a , para qualquer n inteiro positivo.

III. 2n 1a 2 , para qualquer n inteiro positivo.

a) Indique os 16 primeiros termos dessa sequência.

b) Calcule o valor de 250a .

10. (Fgv 2011) a) Determine o quarto termo da sequência 1 2 3 n(a , a , a , , a , ) dada por:

n n 1a 2a 1 e 1a 1, com n 1.

b) O jogo “A torre de Hanói” tem sido jogado desde o século dezenove. É formado por três

hastes de plástico, metal ou madeira, diversos anéis de tamanhos diferentes e consiste em transferir e reconstruir a torre em torno de uma das duas hastes vazias, mas seguindo as regras:

1ª Somente um anel pode ser movido de cada vez. 2ª Nenhum anel pode ficar sobre um anel menor. Para uma torre com dois anéis, o menor número de movimentos necessários para transferi-

la é 3.

Use o desenho abaixo e mostre como transferir uma torre de 3 anéis no menor número

possível de movimentos.


c) O menor número de movimentos na para transferir uma torre de n anéis, n 1, , satisfaz a

relação: n n 1a 1 2(a 1). Qual é o menor número de movimentos necessários para

transferir uma torre com 6 anéis? 11. (Uem 2011) Considerando a seguinte equação de recorrência de números inteiros,

nn 1 nx x 5 , em que n é um número inteiro positivo e 1x 1 , assinale o que for correto.

01) nn

1x 5 1

4 para todo inteiro n >1.

02) nx é um número composto para todo n 2.

04) n n 1x x é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.

08) nx 781 para algum inteiro positivo n, n 2.

16) A sequência 1 2 3 nx ,x ,x ,...,x ,... é uma progressão aritmética.

12. (Uftm 2011) O quarto termo de uma progressão geométrica descrita pela sequência

n

na 3 , com n *, é

a) 1

.27

b) 1

.81

c) 1

.243

d) 1

.27

e) 1

.81

13. (G1 - cp2 2010) Qual é o próximo número da sequência abaixo?

18, 15, 30, 26, 42, 37, 54, _____


14. (Ufba 2010) Considerando-se as sequências (an) e (bn) definidas por

12n

n 2n 1 n,

b 1n

a 1 e n 2b bn 1

n 1

01) O produto de dois termos consecutivos quaisquer da sequência (an) é um número negativo. 02) Para qualquer n, tem-se −1 < an < 1. 04) A sequência (bn) é crescente.

08) Existe n tal que an = 1

2.

16) A sequência (bn) é uma progressão aritmética. 32) A sequência (an) é uma progressão geométrica de razão negativa. 15. (Ufrgs 2010) Na sequência 1, 3, 7,15..., cada termo, a partir do segundo, é obtido

adicionando-se uma unidade ao dobro do termo anterior. O 13º termo dessa sequência é

a) 211

-1. b) 2

11+1.

c) 212

-1. d) 2

12+1.

e) 213

-1. 16. (Fgv 2007) Considere a sequência cujo termo geral é an = (-1)

n (2 + 3n), onde n = 1, 2, 3, ...

.

a) Escreva os seis primeiros termos dessa sequência.

b) Calcule a soma dos 2007 primeiros termos dessa sequência.

17. (Fgv 2007) Duas sequências: (x1, x2, x3, ..., xn,...) e (y1, y2, y3, ..., yn, ...) são tais que:

1 2

n n n

1 2 3 n

y 1; y 4

x y / y 1

A sequência x , x , x ,..., x , ... é uma progressão geométrica de razão 2.

Escreva os 6 primeiros termos da sequência (y1, y2, y3, ..., yn, ...).

18. (Fuvest 2005) Uma sequência de números reais a1, a2, a3, ... satisfaz à lei de formação

an+1 = 6an , se n é ímpar

an+1 = (1

3) an, se n é par.

Sabendo-se que a1 = 2 ,

a) escreva os oito primeiros termos da sequência.

b) determine a37 e a38.


19. (Pucsp 2004) Na sequência de termo geral an = 5n + sen (n . ð/2), com n ∈ N*, a soma dos

20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a

a) 1800 b) 1874 c) 1896 d) 2000 e) 2024 20. (Unifesp 2003) A soma dos termos que são números primos da sequência cujo termo geral

é dado por an=3n+2, para n natural, variando de 1 a 5, é

a) 10. b) 16. c) 28. d) 33. e) 36.


Gabarito: Resposta da questão 1: 02 + 04 + 16 = 22. [01] Incorreto. Temos

1 2 3 50a a a a r 2r 3r 50r

r 50r50

2

1275r

2500r.

[02] Correto. De acordo com a lei de formação, vem

1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) (r, 2r, 4r, 8r,16r, ),

ou seja, a sequência 1 2 4 8 16(a , a , a , a , a , ) é uma progressão geométrica com primeiro

termo igual a r e razão 2r

2.r

[04] Correto. De fato,

1 3 5 7 9(a , a , a , a , a , ) (r, 3r, 5r, 7r, 9r, )

é uma progressão aritmética com primeiro termo igual a r e razão 3r r 2r.

[08] Incorreto. Conforme [02], vem 20 1 19 2020a r 2 2 r 2 r.

[16] Correto. Com efeito,

2 4 6 60a a a a 2r 4r 6r 60r

2r 60r30

2

930r.

Resposta da questão 2:

Temos 6k 1n 3, 6k 22

n ,5

6k 31

n ,4

6k 45

n ,7

6k 54

n3

e 6k 67

n ,2

para todo

k natural. Portanto, 2013 6 335 31

n n .4

Resposta da questão 3: [E]

Sabendo que

1

21a 5 5 e

1

2n 1 n n 1 na a a a , temos que a sequência S é igual a

11 1

82 4(5 , 5 , 5 , ).

Portanto, o produto dos infinitos termos de S é dado por


1

21 1 1 11 1 1

18 2 4 82 4 25 5 5 5 5 5.


a) Sabendo que o quinto termo é igual a 21, temos:

5a 21 21 2 5 k k 10.

Logo, o primeiro termo é:

1a 2 1 10 12.

b) Como n 1 na a 2(n 1) k (2n k) 2, para todo n natural positivo, temos que a

sequência é uma progressão aritmética de razão igual a 2. Desse modo,

50a 2 50 10 110

e, portanto, a soma dos cinquenta primeiros termos dessa sequência é dada por

1 5050

a aS 50 (12 110) 25 3050.

2


[E] Observa-se que cada figura tem duas barras a mais que a anterior, temos então uma P.A de razão 2: (3, 5, 7, ..) Portanto, a figura n, terá número de barras igual a:

N 3 2 n 1

N 2n 1 para n 1


[E]

Seja 10a o décimo termo da sequência. Como a soma dos dez primeiros termos é igual à soma

do décimo termo com a soma dos nove primeiros termos, temos que, 2 2

10 9 10 10 10a S S a 8 9 1 8 10 1 a 800 648 152 .


[E]

2 28 8 7a S S 3.8 2 (3.7 2) 45

Resposta da questão 8: [B]

31 1

31 2 2

a S 3 1 2 1 5

a a S 3 2 2 2 28

Portanto, 2 25 a 28 a 23


Resposta da questão 9: a) De acordo com a lei de formação da sequência, temos que:

1

2 21 1

3

4 2 2 2

5

6 2 3 3

7

8 2 4 4

9

10 2 5 5

11

12 2 6 6

13

14 2 7 7

15

16 2 8 8

a 1

a a 1 a 1 1 1

a 2

a a 2 a 2 1 2

a 2

a a 3 a 3 2 6

a 2

a a 4 a 4 2 8

a 2

a a 5 a 5 2 10

a 2

a a 6 a 6 6 36

a 2

a a 7 a 7 2 14

a 2

a a 8 a 8 8 64

Portanto, a sequência pedida é:

(1,1, 2, 2, 2, 6, 2, 8, 2,10, 2, 36, 2,14, 2, 64).

b) Observando que:

n1 2 (n 1)

2a 2 ,

com n , vem

50

(1 49)49

1 2 49 122522

a 2 2 2 .


a)

4 3

2

1

1

1

a 2a 1

2(2a 1) 1

2(2(2a 1) 1) 1

2(4a 2 1) 1

8a 7.

Como 1a 1, segue que 4a 8 1 7 15.


b)

c) Queremos calcular 6a .

n n 1 n n 1a 1 2(a 1) a 2a 1.

Do item (a) sabemos que 4a 15. Logo,

6 5

4

a 2a 1

2(2a 1) 1

2(2 15 1) 1

63.


01 + 04 + 08 = 13. 01) Correto. Temos que

12 1

23 2

n 2n 1 n 2

n 1n n 1

n 1 nn

n 1 n

x x 5

x x 5

x x 5

x x 5

5 1 5 5 4 1x x 5 x (5 1).

5 1 4 4

02) Incorreto. Para n 3, segue que 3

31 124

x (5 1) 31.4 4

Mas 31 é primo.

04) Correto. Reescrevendo a diferença obtida em (01), obtemos n 1

n n 15 5

x x .5

Portanto,

n n 1x x é divisível por 5, qualquer que seja o inteiro positivo n, n 2.

08) Correto. Sabendo que n

n1

x (5 1),4

vem que


n n1(5 1) 781 5 3125 n 5.

4

16) Incorreto. De (01), temos que 3 2 2 1x x x x . Portanto, a sequência

1 2 3 nx , x , x , , x , não é uma progressão aritmética.

Resposta da questão 12: [B]

a4 = (-3)-4

=4

1 1

81( 3)


48 Dividindo a sequência dada em duas outras sequências, temos: 18, 30, 42, 54.... (P.A de razão 12) e 15, 26, 37, ... (P.A de razão 11) Logo O termo pedido será 37 + 11 = 48 Resposta da questão 14: 01 + 02 + 04 + 16 = 23

Sequência A 1 4 9

, , ,... 2 5 10

sequencia B 3 5

1, , 2, ,... 2 2

01) Verdadeira (-1)n será positivo se n for par e negativo se n for ímpar.

02) Verdadeiro o módulo do numerador será sempre menor que o denominador. 04) Verdadeiro. 08) Falsa. 16) Verdade 32) Falsa. Resposta da questão 15:

[E]

O termo geral da sequência é an = 2n – 1

Logo a13 = 213

-1 Resposta da questão 16:

a) -5, 8, -11, 14, -17, 20

b) S = - 3014 Resposta da questão 17:

(1, 4, 8, 8, 4, 1) Resposta da questão 18:

a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 , 4 2 , 24 2 , 8 2 e 48 2 .

b) a37 = 218

. 2 e a38= 219

. 3 2



[D] Resposta da questão 20:

[D]

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