exercicios progressao geometrica matematica gabarito

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1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Exercícios de Matemática Progressão Geométrica 1) (FUVEST-2010) Os números a 1 , a 2 , a 3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a 1 + 3, a 2 3, a 3 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a 1 > 0 e a 2 = 2, conclui-se que r é igual a a) 3 3 b) 2 3 3 c) 4 3 3 d) 2 3 3 e) 3 3 2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01 361 36 a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. 3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 2 1 . Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. 4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km 2 e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km 2 . Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km 2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. 5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em progressão aritmética. Um possível valor da soma dos quatro termos dessa seqüência é a) 10 b) 18 c) 12 d) 14 e) 20 6) (Mack-2007) cotg ... 12 6 3 é igual a a) 3 b) 3 c) 3 3 d) 3 3 e) 3 3 2 7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica a 1 ,a 2 ,a 3 , , , que a 1 > a e a 6 = 9 3 . Além disso, a progressão geométrica a 1 , a 5 , a 9 , ...tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a 2 a 7 vale a) 27 3 b) 3 3 c) 3 d) 3 3 e) 27 3 8) (UFC-2007) A seqüência (a n ) n1 tem seus termos dados pela fórmula a n = 2 1 n . Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência (b n ) n1 , onde b n = n a 2 para n 1. 9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006 é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,

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Page 1: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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Exercícios de Matemática Progressão Geométrica

1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma

progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2

– 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda

que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a

a) 33

b) 2

33

c) 4

33

d) 2

33

e) 33

2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1

milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira,

que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de

renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me

aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e

ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em

reais, que devo disponibilizar mensalmente é:

Dado: 1,01361 36

a) 290,00.

b) 286,00.

c) 282,00.

d) 278,00.

e) 274,00.

3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de

uma PG, de razão negativa, é 2

1. Além disso, a diferença

entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.

Nessas condições, determine:

a) A razão da PG.

b) A soma dos três primeiros termos da PG.

4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta

na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento,

registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de

3 km2 e a partir daí, durante um determinado período, a

quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em

progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a

área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a área total

desmatada nessa região atingiu 381 km2 nos n anos em que

ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.

5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o

primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão

geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em

progressão aritmética. Um possível valor da soma dos

quatro termos dessa seqüência é

a) 10

b) 18

c) 12

d) 14

e) 20

6) (Mack-2007) cotg

...

1263 é igual a

a) 3

b) 3

c) 3

3

d) 3

3

e) 3

32

7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica

a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a

progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9.

Nessas condições, o produto a2a7 vale

a) –27 3

b) –3 3

c) – 3

d) 3 3

e) 27 3

8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados

pela fórmula an = 2

1n . Calcule a soma dos dez primeiros

termos da seqüência (bn)n1, onde bn = na2 para n 1.

9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6

2 + 6

3 +

... + 62006

é igual a:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4

deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4

com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,

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de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior

dimensão resultante até a dobra anterior.

a) Escreva a expressão do termo geral da progressão

geométrica que representa a espessura do papel dobrado em

função do número k de dobras feitas.

b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o

formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o

papel seis vezes, quais serão as dimensões do

paralelepípedo?

11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen

...

81

8

27

8

9

8= cos x, com x [0,2[, é

a) 3

4,3

2

b) 6

7,6

5

c) 4

5,4

3

d) 6

11,6

e) 3

5,3

12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a

ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais

intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35

anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões

dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos

supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue

dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006

a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x

furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição,

determine, em função de x, o número total de furacões que

terão ocorrido no período de 1971 a 2320.

13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a

reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou

com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade

das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira

hora, são:

Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias

0 100

20 200

40 400

60 800

Supondo-se que as condições de reprodução continuem

válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do

experimento, a população de bactérias será de

a) 51.200

b) 102.400

c) 409.600

d) 819.200

e) 1.638.400

14) (Mack-2006) Dada a matriz A =

3

10

02

1

, considere a

seqüência formada por todas as potências inteiras e

positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se

todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo

determinante é

a) 3

1

b) 4

1

c) 6

1

d) 5

1

e) 2

1

15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números

x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro

n1, em que a é uma constante não nula.

a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência.

b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8.

16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x <

2

, é uma progressão geométrica, cos2x vale

a) 2

1

b) 2

3

c) - 2

1

d) - 2

3

e) - 2

2

17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática,

propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de

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presente, no final do ano, se suas notas, em todas as

disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos

comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e

(1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João

ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:

a) 6

b) 7

c) 8

d) 9

e) 10

18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no

instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada

minuto, a metade da distância que o separa do ponto B,

conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a

distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro

minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao

final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final

do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim,

sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza

linearmente em cada período considerado.

a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10

primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua

distância ao ponto B é inferior a 1 metro.

b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) =

distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do

instante t = 0.

19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro

circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1

litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta

ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao

contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas

grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão

geométrica. O valor de V é:

a) 6

b) 4

c) 9

d) 7

e) 5

20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2,

4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG

formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da

PA é

a) 2197

.

b) 2198

- 1.

c) 2198

.

d) 2198

+ 1.

e) 2199

.

21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio

montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página.

Supondo que o número de visitas à página, durante o ano,

dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de

Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi

a) 36.

b) 24.

c) 18.

d) 16.

e) 12.

22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30,

estão em progressão aritmética. Somando-se,

respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro

termos dessa progressão aritmética, obtemos três números

em progressão geométrica. Então, um dos termos da

progressão aritmética é

a) 9

b) 11

c) 12

d) 13

e) 15

23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da

Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma

coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com

mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser

desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica

chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela

Nasa. Se um computador, munido de um sistema de

inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada

um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que

precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que

o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10

anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada

em

a) aproximadamente 20 anos.

b) aproximadamente 40 anos.

c) aproximadamente 50 anos.

d) aproximadamente 80 anos.

e) aproximadamente 100 anos.

24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de

área 16 3 cm2 Unindo-se os pontos médios dos lados

desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero

T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como

vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo

triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e

assim por diante, indefinidamente. Determine:

a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em

centímetros;

b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2.

Page 4: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja

medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é

construído, unindo-se os pontos médios dos lados do

triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios

dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro

triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A

soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados

na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a

a) 16cm.

b) 18cm.

c) 20cm.

d) 24cm.

e) 32cm.

26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma

progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos

dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o

termo numericamente igual à razão da seqüência é o

a) quarto.

b) quinto.

c) sexto.

d) sétimo.

e) oitavo.

27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2,

a3, … satisfaz à lei de formação

an + 1 = 6an, se n é ímpar,

an + 1 = 3

1 an, se n é par.

Sabendo-se que a1 = 2

a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.

b) determine a37 e a38.

28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez

que é executado, reduz à metade o número de linhas

verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem

digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024

linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas

verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução

ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k

é:

a) 3

b) 4

c) 5

d) 6

e) 7

29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos

isósceles, cujas bases medem, em centímetros, 8, 4, 2, 1, ...

Sabendo que a soma da área dos infinitos triângulos

hachurados na figura é igual a 51, pode-se afirmar que a

área do retângulo de lados h e d é igual a

a) 68.

b) 102.

c) 136.

d) 153.

e) 192.

30) (UFRJ-1999) Uma progressão geométrica de 8 termos

tem primeiro termo igual a 10. O logaritmo decimal do

produto de seus termos vale 36. Ache a razão da

progressão.

31) (Fatec-1996) Num certo jogo de azar, apostando-se uma

quantia X, tem-se uma das duas possibilidades seguintes:

1) perde-se a quantia X apostada;

2) recebe-se a quantia 2X.

Uma pessoa jogou 21 vezes da seguinte maneira: na

primeira vez, apostou 1 centavo; na segunda vez, apostou 2

centavos, na terceira vez, apostou 4 centavos e assim por

diante, apostando em cada vez o dobro do que havia

apostado na vez anterior. Nas 20 primeiras vezes, ela

perdeu. Na 21ª vez, ela ganhou. Comparando-se a quantia

total T por ela desembolsada e a quantia Q recebida na 21ª

jogada, tem-se que Q é igual a:

a) 2

T

b) T

c) 2T

d) T-1

e) T+1

33) (UDESC-1996) Se o primeiro termo vale 2 e a razão é 3,

então os termos gerais da Progressão Aritmética e da

Progressão Geométrica correspondentes são:

a) 2 + 3n e 3

2.3n

b) 2 + 3n e 2

3 1n

c) 3n - 1 e 2.3n

d) 3 + 2n e 3.2n

e) 3n - 1 e 3

2.3n

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34) (PUC-SP-1997) O terceiro e o sétimo termos de uma

progressão geométrica valem, respectivamente, 10 e 18. O

quinto termo dessa progressão é:

a) 14

b) 30

c) 2 7

d) 6 5

e) 30

35) (FGV-2004) Dois amigos, Alfredo e Bruno, combinam

disputar a posse de um objeto num jogo de "cara ou coroa".

Alfredo lança 3 moedas e Bruno 2 moedas,

simultaneamente. Vence o jogo e, conseqüentemente, fica

com o objeto, aquele que conseguir o maior número de

caras. Ocorrendo empate, a experiência será repetida, tantas

vezes quantas forem necessárias, até que haja um vencedor.

Calcule:

a) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa na

primeira experiência.

b) a probabilidade de que Alfredo vença a disputa.

36) (Vunesp-2004) Considere os números complexos w = 2i

e z = (1 + i).

Determine:

a) z2 e (w

2 z + w), onde z indica o conjugado de z.

b) |z| e |w|. Mostre que a seqüência (1, |z|, |w|, |zw|, |w2|) é

uma progressão geométrica, determinando todos os seus

termos e a sua razão.

37) (Unicamp-2004) Suponha que, em uma prova, um aluno

gaste para resolver cada questão, a partir da segunda, o

dobro de tempo gasto para resolver a questão anterior.

Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto

a última, ele tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas

as questões, exceto as duas últimas, ele tenha gasto 31,5

minutos. Calcule:

a) O número total de questões da referida prova.

b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas

as questões da prova.

38) (FGV-2003) a) O 1º termo de uma progressão

geométrica é A, a razão é q e o último termo é B. Obtenha o

número de termos n desta progressão, em função de A, B e

q.

b) Um empréstimo de R$27.500,00 deve ser pago sem juros

em parcelas mensais. A 1ª parcela vale R$500,00 e, cada

parcela a partir da 2ª é R$50,00 superior à anterior. Quantas

parcelas são necessárias para pagar a dívida?

39) (CPCAR-2002) Uma bola é abandonada de uma certa

altura. Até que o movimento pare, a bola atinge o solo e

volta a subir repetidas vezes. Em cada subida, alcança 2

1

da altura em que se encontrava anteriormente. Se, depois do

terceiro choque com o solo, ela sobe 100 cm, a altura em

que foi abandonada a bola é, em metros, igual a

a) 0,8

b) 1

c) 8

d) 0,5

40) (CPCAR-2003) Um candidato do CPCAR 2003,

preparando-se para o teste de aptidão física, exercita-se

numa esteira percorrendo 3,8 km por dia. Para um

treinamento menos cansativo, ele inicia correndo a uma

velocidade de 12 km/h e a cada 10 minutos ele reduz a

velocidade pela metade. É correto afirmar que

a) o candidato completa o percurso de 3,8 km em menos de

45 minutos.

b) para percorrer a metade do percurso de 3,8 km ele gasta

mais de 10 minutos.

c) após 30 minutos, a velocidade atingida é de 6 km/h no

mínimo.

d) aos 40 minutos ele percorreu 3,5 km exatamente.

41) (UEL-2002) A figura construída segundo a seqüência

abaixo é denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de

Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo.

Partindo-se do cubo inicial, obtêm-se outros cubos

menores, com arestas iguais a 3

1da aresta deste. O cubo

central e os cubos do centro de cada face são removidos. O

procedimento se repete em cada um dos cubos menores

restantes. O processo é iterado infinitas vezes, gerando a

Esponja. Supondo que a medida da aresta do cubo inicial

seja igual a 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura

30?

Page 6: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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a)

30

9

8

b)

29

9

8

c)

30

8

9

d)

19

27

20

e)

19

20

27

42) (UFSCar-2001) Uma bola cai de uma altura de 30m e

salta, cada vez que toca o chão, dois terços da altura da qual

caiu. Seja h(n) a altura da bola no salto de número n. A

expressão matemática para h(n) é:

a) 30

n

3

2

b)

n(30)3

2

c) 20.n

d) .n

3

2

e)

n

3

2

43) (Mack-2002) Se construímos um seqüência infinita de

quadrados, sendo o primeiro de lado 1 e cada um dos outros

com lado igual à metade do lado do quadrado anterior,

então a soma das áreas desses quadrados é:

a) 2

b) 4

3

c) 5

4

d) 4

5

e) 3

4

44) (UFSCar-2003) Numa progressão geométrica, o primeiro

termo é 5x e a razão é 5. Se a soma dos quatro primeiros

termos é 3 900, pode-se afirmar que 5

5 2x

, é igual a

a) 25

1

b) 5

1

c) 1

d) 5

e) 25.

45) (UFES-1997) Em um rebanho de 15.000 reses, uma foi

infectada pelo vírus "mc1". Cada animal infectado vive dois

dias, ao final dos quais infecciona outros três animais. Se

cada rês é infectada uma única vez, em quanto tempo o

"mc1" exterminará a metade do rebanho?

46) (Vunesp-2003) Várias tábuas iguais estão em uma

madeireira. A espessura de cada tábua é 0,5cm. Forma-se

uma pilha de tábuas colocando-se uma tábua na primeira

vez e, em cada uma das vezes seguintes, tantas quantas já

houveram sido colocadas anteriormente.

Determine, ao final de 9 dessas operações,

a) quantas tábuas terá a pilha.

b) a altura, em metros, da pilha.

47) (FGV-2003) a) calcule

60

1j

1)(2j

.

b) Obtenha o 20o termo da progressão geométrica

,...

4

x,

2

x1,

2

.

48) (Unicamp-1994) Seja -1 um número complexo tal

que n = 1, onde n é um número inteiro positivo. Prove que,

se n for par, a expressão 1 - + 2

-

3 + ... + (-)

n é igual a

1; e, se n for ímpar, essa expressão é igual a

1

1

.

49) (Fuvest-2003) No plano cartesiano, os comprimentos de

segmentos consecutivos da poligonal, que começa na

origem 0 e termina em B (ver figura), formam uma

progressão geométrica de razão p, com 0 < p < 1. Dois

segmentos consecutivos são sempre perpendiculares. Então,

se OA = 1, a abscissa x do ponto B = (x, y) vale:

Page 7: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

7 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br

a) 4

12

p1

p1

b) 2

12

p1

p1

c) 2

16

p1

p1

d) 2

16

p1

p1

e) 4

20

p1

p1

50) (Mauá-2001) Determine x para que 4, x e 9 formem,

nessa ordem, uma progressão geométrica.

51) (AFA-1998) Seja f uma função real que satisfaz as

seguintes propriedades:

I. f(0) = 1;

II. 0 < f(1) < 1; e

III. f(x + y) = f(x).f(y) x, yR.

Então, a expressão f(0) + f(1) + f(2) + f(3) +...+ f(9) é

equivalente a

a) 1f(1)

1[f(1)]9

b) 1f(1)

1[f(1)]10

c) 1f(1)

f(1)[f(1)]9

d) 1f(1)

f(1)[f(1)]10

52) (ESPM-1995) O sétimo e o nono termos de uma

progressão geométrica de razão positiva valem

respectivamente 320 e 20. O oitavo termo dessa PG é:

a) 170

b) 2 85

c) 80

d) 40

e) 4

53) (AFA-1999) Uma bola é solta de uma altura de 128

metros em relação ao solo, e, ao atingir o mesmo, ela sobe a

metade da altura anterior. Esse movimento se repete até

atingir o solo pela décima vez. Nesse momento, quanto a

bola terá percorrido, em metros?

a) 255,50

b) 383,00

c) 383,50

d) 383,63

54) (AFA-1999) Se a seqüência de inteiros positivos (2, x, y)

é uma Progressão Geométrica e (x+1, y, 11) uma

Progressão Aritmética, então, o valor de x + y é

a) 11.

b) 12.

c) 13.

d) 14.

55) (UFRN-2002) As áreas dos quadrados abaixo estão em

progressão geométrica de razão 2.

Podemos afirmar que os lados dos quadrados estão em

a) progressão aritmética de razão 2.

b) progressão geométrica de razão 2.

c) progressão aritmética de razão 2 .

d) progressão geométrica de razão 2 .

56) (Unicamp-1998) Considere uma progressão geométrica

de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do

terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente

anteriores.

a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa

progressão.

b) Supondo que o primeiro termo seja 251

e q > 0,

calcule a soma dos três primeiros

termos dessa progressão.

57) (FMTM-2002) Dentre as seqüências dadas, aquela que

forma uma progressão geométrica é a seqüência

a) sen 6

, sen 4

, sen 3

b) sen2 6

, sen2 4

, sen2 3

.

Page 8: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

8 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br

c) tg 6

, tg 4

, tg 3

d) cos 6

, cos 4

, cos 3

e) cos2 6

, cos2 4

, cos2 3

.

58) (Vunesp-2000) No dia 1 de dezembro, uma pessoa

enviou pela internet uma mensagem para x pessoas. No dia

2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem no dia

1 enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3,

cada pessoa que recebeu a mensagem no dia 2 também

enviou a mesma para outras duas novas pessoas. E, assim,

sucessivamente. Se, do dia 1 até o final do dia 6 de

dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o

valor de x é:

a) 12.

b) 24.

c) 52.

d) 63.

e) 126.

59) (UFC-2002) Considere a função real de variável real

definida por f(x) = 2-x

. Calcule o valor de

f(0) - f(1) + f(2) - f(3) + f(4) - f(5) + ...

60) (Unicamp-1990) Construir "fractais” no computador

corresponde a um procedimento como o descrito a seguir.

A partir de um triângulo eqüilátero, de área A,

acrescentamos no meio de cada lado um outro triângulo

eqüilátero de lado igual á um terço do anterior; aos lados

livres destes triângulos acrescentamos triângulos de lados

iguais a um terço dos anteriores e assim sucessivamente

construímos uma figura com uma infinidade de triângulos

(veja o desenho). Calcule a área, em termos de A, da região

determinada por esse processo.

61) (Mack-1996) Num paralelepípedo retângulo a soma das

medidas de todas as arestas é 52 e a diagonal mede 91 .

Se as medidas das arestas estão em progressão geométrica,

então o seu volume é:

a) 216.

b) 108.

c) 81.

d) 64.

e) 27.

62) (Mack-1999) Seja a seqüência geométrica, de n termos

positivos, que se obtém inserindo-se k meios geométricos

entre 21

e 8. Se o produto de todos os termos é 32, então n

vale:

a) 5

b) 6

c) 7

d) 8

e) 9

63) (UFPR-2002) Uma cidade cuja população vem

diminuindo sistematicamente tem hoje 30000 habitantes. Se

o ritmo de diminuição se mantiver, então o número de

habitantes daqui a t anos, P(t), é calculado aplicando-se a

fórmula: P(t) = 30000(0,9)t. Supondo que o ritmo de

diminuição se mantenha, é correto afirmar: - Daqui a 2 anos, a população será menor que 24000.

- Os números P(1), P(2), P(3), ... , nesta ordem, formam

uma progressão geométrica.

- O tempo necessário, em anos, para que a população se

reduza à metade da atual é log0,9

log2log1

- P(20) = 0.

- Em cada período de um ano a população diminui

10%.

64) (Unicamp-modificada-1990) Construir "fractais” no

computador corresponde a um procedimento como o

descrito a seguir. A partir de um triângulo eqüilátero, de

área A, acrescentamos no meio de cada lado um outro

triângulo eqüilátero de lado igual á um terço do anterior;

aos segmentos livres destes triângulos acrescentamos

triângulos de lados iguais a um terço dos anteriores e assim

sucessivamente construímos uma figura com uma

infinidade de triângulos (veja o desenho). Calcule a área,

em termos de A, da região determinada por esse processo.

65) (Una-2001) Um funcionário de uma repartição pública

inicia um trabalho. Conseguindo despachar no primeiro dia

320 documentos, percebe que seu trabalho no dia seguinte

tem um rendimento de 90% em relação ao dia anterior,

repetindo-se este fato dia após dia. Se, para terminar o

trabalho, tem de despachar 3200 documentos, pode-se

concluir que:

a) O trabalho estará terminado em menos de 20 dias.

b) O trabalho estará terminado em menos de 26 dias.

c) O trabalho estará terminado em 58 dias.

d) O funcionário nunca terminará o trabalho.

Page 9: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

9 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br

66) (desconhecida-0) Um funcionário de uma repartição

pública inicia um trabalho. Consegue despachar, no

primeiro dia, 210 documentos e percebe que seu trabalho,

no dia seguinte, tem um rendimento de 90% em relação ao

dia anterior, repetindo-se esse fato dia após dia. Se para

terminar o trabalho tem de despachar 2100 documentos,

pode-se concluir que:

a) o trabalho estará terminado em menos de 20 dias;

b) o trabalho estará terminado em menos de 26 dias;

c) o trabalho estará terminado em 58 dias

d) o funcionário nunca terminará o trabalho;

e) o trabalho estará terminado em 60 dias;

67) (Fuvest-2002) Em um bloco retangular (isto é,

paralelepípedo reto retângulo) de volume 8

27, as medidas

das arestas concorrentes em um mesmo vértice estão em

progressão geométrica. Se a medida da aresta maior é 2, a

medida da aresta menor é:

a) 8

7

b) 8

8

c) 8

9

d) 8

10

e) 8

11

68) (UFSCar-0) A condição para que três números a,b e c

estejam, simultaneamente em progressão aritmética e

progressão geométrica é que:

a) ac = b2

b) a+c = 2b

c) a + c =b2

d) a = b = c

e) ac = 2b

69) (Fuvest-1977) O quinto e o sétimo termos de uma PG

valem, respectivamente, 10 e 16. O sexto termo dessa PG é:

a) 14

b) 10 6

c) 4

d) 4 10

e) 10

70) (Cesgranrio-0) Adicionando-se uma mesma constante a

cada um dos números 6, 10 e 15, nessa ordem, obtemos

uma PG de razão

a) 4

5

b) 2

3

c) 3

2

d) 4

e) 31

71) (Fuvest-1999) Seja (an) uma progressão geométrica de

1o termo a1 = 1 e razão q

2, onde q é um número inteiro

maior que 1. Seja (bn) uma progressão geométrica cuja

razão é q. Sabe-se que a11 = b17. Neste caso:

a) Determine o primeiro termo b1 em função de q.

b) Existe algum valor de n para o qual na = bn ?

c) Que condição n e m devem satisfazer para que an = bm ?

72) (Mack-2002) Numa seqüência infinita de círculos, cada

círculo, a partir do segundo, tem raio igual à metade do raio

do círculo anterior. Se o primeiro círculo tem raio 4, então a

soma das áreas de todos os círculos é:

a) 12

b) 15/4

c) 64/3

d) 32

e) 32/3

73) (Fuvest-1994) Na figura a seguir , A1B1=3, B1A2=2.

Calcule a soma dos infinitos segmentos:

A1B1+B1A2+A2B2+B2A3+...

Page 10: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

10 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br

Gabarito

1) Alternativa: E

2) Alternativa: B

3) a) -2

b) 22

3

4) Resposta: 7

5) Alternativa: D

6) Alternativa: D

7) Alternativa: A

Como ),,( 951 aaa estão em PG de razão 9, logo:

9.15 aa .

Da PG teremos:

33..9.39. 21156 aqaqaqaa

3.339. 44

26 qqqaa , pois

01 a e 02 a .

.27)3.(39. 7767 aaqaa

Logo: 327. 72 aa .

8)

S10 = 62 ( 2 + 1)

9) Alternativa: C

10) a) (0,1) 2kmm

b) 37,125mm; 26,25mm e 6,4mm.

11) Alternativa: B

12) Resp: 1023x.

13) Alternativa: C

14) Alternativa: E

15) a) 2048

b) 9840

16) Alternativa: C

17) Alternativa: B

18) a) 799,2 metros portanto a distância que o separa de B é

inferior a 1m.

b)

19) Alternativa: D

20) Alternativa: D

21) Alternativa: E

22) Alternativa: C

23) Alternativa: A

24) a) O lado mede 8cm e a altura mede 4 3 cm.

b) As áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2, são

respectivamente iguais a 4 3 e 256

3

25) Alternativa: D

26) Alternativa: A

27) a) 2 , 6 2 , 2 2 , 12 2 ,4 2 ,24 2 ,8 2 e 48

2

b)a37= 218

. 2 e a38 = 6.218

2

28) Alternativa: A

29) Alternativa: C

Page 11: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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30) Razão = 10

31) Alternativa: E

33) Alternativa: E

34) Alternativa: D

35) a) 8

1 +

8

3 .

4

3 +

8

3.4

1 =

2

1

b) 2

1+

32

10.

2

1+ (

32

10)

2.2

1+ ... (soma infinita de PG) =

11

8

36) a) 2i e -4 + 6i

b) |z| = 2 ,|w| = 2 e a seqüência é (1, 2 , 2, 2 2 , 4),

que é uma progressão geométrica de razão 2 . 37) a) 8 questões.

b) 127,5 minutos.

38) a) Supondo que seja possível determinar n, ou seja,

supondo que q0, A0 e q1, então temos que n = 1 +

A

Blogq .

b) 25 parcelas.

39) Alternativa: C

40) Alternativa: A

41) Alternativa: B

42) Alternativa: A

43) Alternativa: E

44) Alternativa: B

45) A sequência de animais mortos segue uma PG de razão

3: 1, 3, 9, 27,...

A soma dos n primeiros termos dessa PG é

S = 13

1)1(3n

> 7500 3

n > 15001 n > log315001 n

> 8,75

Então, S é maior que 7500 para 9 termos, de modo que em

18 dias (9 x 2) mais da metade do rebanho terá morrido.

Para 8 termos (16 dias) ainda não teremos metade do

rebanho morto.

46) a) 256 tábuas

b) 1,28m

47) a) S = 1 + 3 + ... + 119 = 3600

b) 19

19

2

x

48) 1 - + 2

-

3 + ... + (-)

n é a soma dos n+1 primeiros

termos da PG de a1 = 1 e q = -, portanto

1 - + 2 -

3 + ... + (-)

n =

1

11n

= 1

1()( n

)

Assim, se n for par, 1

1()( n

) = 1

1()( n

)

=

1

1

= 1 e

se n for ímpar, 1

1()( n

) = 1

1()( n

)

= 1

1

=

1

1

49) Alternativa: D

50) Resposta: x = 6 ou x = -6

51) Alternativa: B

52) Alternativa: C

53) Alternativa: C

54) Alternativa: B

55) Alternativa: D

56) a) q = 251

ou q = 251

b) S3 = -1- 5 57) Alternativa: C

58) Alternativa: A

59) R: S = q1

a1

=

)21(1

1

=

.32

60) Excetuando-se o 1

o triângulo (de área A), as áreas dos

demais formam uma PG infinita de razão 2/9 e cuja soma

infinita é 3A/7. Desta forma, a soma total das áreas é A+

3A/7 = 10A/7

61) Alternativa: E

Page 12: Exercicios Progressao Geometrica Matematica Gabarito

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62) Alternativa: A

63) F – V – V – F – V

64) Excetuando-se o 1

o triângulo (de área A), as áreas dos

demais formam uma PG infinita de razão 9

4 e cuja soma

infinita é 35

A. Desta forma, a soma total das áreas é A+ 3

5

A = 8

5

A.

65) Alternativa: D

66) Alternativa: D

67) Alternativa: C

Sejam x/q, x e xq as 3 arestas. Assim, o volume é x/q.x.xq

= x3 =

8

27 x =

2

3 . Como x é a aresta intermediária

entre a maior e a menor, ela é a média geométrica dessas

duas. Então, (2

3 )

2 = 2.m m =

8

9

68) Alternativa: D

69) Alternativa: D

70) Alternativa: A

71) a) b1 = q

4 b) sim, n = 5

c) 2n – m = 5

72) Alternativa: C

73) Temos 2 PGs infinitas de razão 4/9, uma iniciando em

A1B1 = 3 e englobando apenas os segmentos verticais e

outra iniciando em B1A2 = 2 englobando os inclinados. A

soma das duas PGs resulta em S = 9.