resistencia - mohr

8/9/2019 RESISTENCIA - MOHR

1/7

Univesidade Santa CecliaEngenharia Mecnica

Resistncia dos Materiais I

Prof. Jos Carlos Morilla 1 Analogia de Mohr

Analogia de Mohr

A analogia de Mohr se baseiano fato que a equao da linhaelstica e a equao dorelacionamento entre a cargaaplicada, a fora cortante e omomento fletor possuem a mesmaforma.

A expresso 1 a equao dalinha elstica e a expresso 2 arelao entre carga aplicada, fora

cortante e Momento fletor.

y2

2

EM

dxd

dxd

=

=

(1)

qdxdV

dxMd2

2

== (2)

onde q uma carga distribuda emum trecho.

Desta forma, ao imaginar que

a relaoyE

M

seja uma carga

distribuda em um trecho de barra, afora cortante em uma seo, oriundadesta carga, nada mais do que ongulo de deflexo nesta seo. Damesma maneira, o momento fletor emuma seo igual flecha que nelaocorre.

qdxdV

dxMd

EM

dxd

dxd

2

2

y2

2

==

=

=

ccc

h de se lembrar, entretanto,que:

a) O diagrama de momentosfletores feito com sinalinvertido.

b) A fora cortante e o momentofletor em uma seodependem da carga distribudano trecho e das condies devnculo com o restante daestrutura.

Assim, para que determinar ongulo de deflexo e a flecha emuma seo, usando esta analogia necessrio:

1. Determinar o diagrama demomentos fletores para aestrutura.

2. Consertar o sinal destediagrama invertendo-

3. Tomar cada valor de momentodeste diagrama e dividi-lo por

E 4. Analisar as condies de

vnculo da estrutura edeterminar o que serchamado de viga anloga .

5. Carregar a viga anloga com oresultado do item 3.

6. Determinar as reaes deapoio nesta viga anloga.

7. Na seo em que se desejaconhecer o ngulo de deflexoe a flecha, determinar a foracortante e o momento fletor.

Viga Anloga.Para facilitar a visualizao,

tudo o que se relacionar com a vigaanloga ter um asterisco ( *) em suarepresentao.


2/7




A viga anloga uma viga querespeita as condies dedeslocamento da viga original.

Seja por exemplo uma barraprismtica engastada em uma desuas extremidades, como mostra afigura 1.

S 1 S 2

A B

figura 1 Barra engastada na extremidade

direita.

Quando so analisadas aspossibilidades de deslocamento, dasextremidades da barra e dos pontosde apoio, se observa que

Na seo A (extremidade dadireita) pode existir qualquerque seja o deslocamento

(flechas e ngulo de deflexo) Na seo B (extremidade daesquerda) no existe qualquertipo de deslocamento, ou seja,independente da cargaaplicada a flecha e o ngulo dedeflexo so iguais a zero.

A viga anloga deve garantirque estes deslocamentos ocorram(ou no possam ocorrer).

Assim, lembrando que:

Viga Real Viga Anloga V*v vv v M*

A barra da figura 1 fica:

S 1 S 2

A B

A=0 A=0

B=0 B=0

figura 2 condies de deslocamento nas

extremidades e nos pontos de apoio de umabarra engastada.

Ao se tomar a relao daanalogia, se encontra:

Viga Real Viga AnlogaA 0 0V *A v vv v A 0 0M*A

B 0= 0V *B = v vv v B 0= 0M*B =

Desta maneira, a viga anlogadeve ser apoiada de maneira a

garantir as foras cortantes e osmomentos fletores nas sees A e Bda viga anloga.

Desta forma, a viga anlogafica:

S 1 S 2

A B

V*A=0M*A=0

V*B=0M*B=0

figura 3 viga anloga para a barra

da figura 2

Importante observar que naviga anloga, em relao viga real que existe apenas a mudana naforma de apoio. As posies dassees continuam as mesmas.


3/7




A figura 4 mostra algumasvigas anlogas para barras:

a

L

x

c b

L

c ab

x

Viga AnlogaViga Real

figura 4 Exemplos de vigas anlogas

Outro fato importante de senotar que, caso uma viga real sejaapoiada da maneira que arepresentada por uma das anlogasda figura 4, a viga anloga para estaser apoiada da forma que a realdesta, aqui representada.

Exemplo 1Determinar a flecha e o ngulo dedeflexo na extremidade livre dabarra quando se sabe que E e I soconstantes.

P

A

soluoO diagrama de momentos fletorespara esta barra fica:

P

A

A carga distribuda que ser aplicadana viga anloga :

P /E I

A viga anloga carregada com acarga distribuda da figura anteriorfica:

P /E I

A

Assim, o ngulo de deflexo e a

flecha na seo A (extremidade livreda barra real) ficam:

ll

==EP

21

V *AA

=

E2P 2

Al

(3)

32

EP

21

M*AAl

ll

==

=

E3P 3

Al

(4)


4/7


5/7


6/7




A viga anloga carregada fica:

As reaes de apoio para estasituao ficam:

R*A R*B

==

E4P

221

RR B*A*ll

==

E16P

RR2

B*

A* l

Assim, o ngulo de deflexo e aflecha na seo que se encontra nametade do comprimento da barraficam:

/2

R*A C

==

E4P

221

RV A**CCll

==

E4P

221

E16P

V2

*CC

lll

0V*CC == (9)

231

E4P

221

2RM A**CC

llll

==

6E4P

221

2E16P

M2

*CC

lllll

==

==

E48P

M3

*CC

l(10)

ExercciosUsando a analogia de Mohr,determinar a flecha na seo Sindicada na figura, quando se sabeque EI so constantes e valem:

E= 200 GPa I = 3x10 7 mm 4

4P l

E4P l

E4P l

E4P l


7/7




2m4m

5kN/m10kN

4m4m

2kN/m5kN

0,15m0,75m

1,5kN/m

500N

S

=

EkNm3,53 3

S

=

EkNm139 3

S2

=

EkNm03,0

3

2S

S1

resistencia - mohr

Documents