circulo de mohr

1

Módulo 06Critérios de Resistência

Prof.Dr. JosProf.Dr. Joséé Luiz P. Luiz P. MelgesMelgesDepartamento de Engenharia Civil Departamento de Engenharia Civil Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira -- UNESPUNESP

01

Critérios de Resistência

Finalidade: interpretar o perigo eventual de ruptura quando se tem solicitações combinadas (ex.:estado duplo ou triplo de tensão atuando no material de uma estrutura)

•1. INTRODUÇÃO

02

2

Exemplo – Barra Tracionada• Segurança contra a ruptura pode ser feita pela

comparação com ensaios de tração feitos com corpos-de-prova do mesmo material da barra.

Tensão atuante Tensão de ruptura

03

• No caso de solicitações mais complexas, seria incômodo pedir para cada combinação o respectivo ensaio.

“Adianta conhecer a resistência da barra à tração se, no final, ela vai trabalhar à flexão ?”

04

3

• O critério de resistência serve para interpretar tais casos, partindo de ensaios mais simples que os correspondentes àsolicitação que atua na estrutura.

• A variedade de materiais usados na engenharia não permite adotar um único critério de resistência.

05

• Além disso, certos materiais não se enquadram em nenhum dos critérios conhecidos, tendo-se, como exemplo, os materiais não homogêneos (concreto e madeira). Neste caso, julga-se a resistência de uma peça com base em uma série de valores empíricos estabelecidos por ensaios experimentais e codificados por normas técnicas.

06

4

• O critério de ruptura deve levar em conta o real mecanismo de ruptura do material.

• Basicamente, iremos trabalhar com dois “tipos” de materiais:

– Materiais dúcteis

– Materiais frágeis

07

• Materiais dúcteis (aço estrutural, alumínio, latão):

– Ruptura ocorre com GRANDE deformação– Condição:

• tensão atuante ≤ tensão de escoamento

08

5

• Materiais frágeis (concreto, ferro fundido, vidro):– Ruptura ocorre com PEQUENA deformação– Condição:

• tensão atuante ≤ tensão de ruptura

09

2. ESTADO PLANO DE TENSÕES

10

6

• Representação gráfica – “Círculo” de Mohr

Centro (σmedio) = (σ1 + σ2) / 2Raio (τmáximo) = (σ1 - σ2) / 2

Estado Plano de Tensões Principais

(no E.P.T analisamos apenas os pontos da circunferência)

11

3. ESTADO TRIPLO DE TENSÕES

12

7

• Representação gráfica – Círculo de Mohr

Estado Triplo de Tensões Principais

Construir círculos para planos: 1 e 2,1 e 3,2 e 3.

13

a) Plano -

Centro: σmed.(1-2) = (σ1+σ2) / 2

Raio: τmáx.(1-2) = (σ1 - σ2) / 2

14

8

b) Plano -Centro:σmed.(2-3) = (σ2 + σ3) / 2

Raio: τmáx.(2-3) = (σ2 - σ3) / 2

15

c) Plano -Centro: σmed.(1-3) = (σ1+σ3) / 2

Raio: τmáx.(1-3) = (σ1 - σ3) / 2

16

9

Analisando o que acontece nos 3 planos:

• τmáx = (σ1 - σ3) / 2 (pois σ3 ≤ σ2 ≤ σ1)

Área sombreada: lugar geométrico dos pontos representativos de todos os planos no espaço (para cada ponto dentro da área sombreada, vai existir um plano com σ e τ correspondentes) 17

4. CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA PARA MATERIAIS DÚCTEIS

Resistência à compressãoigual a resistência à tração: σ σc t=

18

10

4.1 Critério de Tresca(ou da máxima tensão de

cisalhamento• O escoamento dos

materiais dúcteis écaracterizado pelo deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas, provocado principalmente por tensões de cisalhamento.

criticoatuante.max τ≤τ

19

• Cálculo de τmáx.: τmáx = (σ1 - σ3) / 2

• Cálculo de τcrit.: Ensaio de Tração Simples

σ1 = σe (tens. escoamento)σ2 = σ3 = 0

Portanto: τcrit = (σ1 - σ3) / 2 = (σe - 0) / 2

τcrit = σe / 2

4.1.1 C4.1.1 Cáálculo das tensões:lculo das tensões: atuante.maxτ criticoτee

20

11

4.1.2 4.1.2 GrGrááfico da fico da região de região de seguranseguranççaa no Estado Plano de no Estado Plano de TensãoTensão

Para um Estado Plano de Tensão com tensões principais σa e σb,

pode-se construir um gráfico que represente uma região de segurança.

1o. Passo: representar um sistema de eixos σa e σb

21

2o. Passo: Determinação da região no 1o. quadrante:

1o.quadr.Supor σa e σb POSITIVOS, com σa > σb

Pelo círculo de Mohr: σ1 = σa , σ2 = σb,σ3 = 0

Condição (TRESCA):τmáx = σa / 2 ≤ τcrit = σe / 2, ∴ σa ≤ σe

22

12

Pelo círculo de Mohr: σ1 = σb , σ2 = σa,σ3 = 0

Condição (TRESCA):τmáx = σb / 2 ≤ τcrit = σe / 2, ∴ σb ≤ σe

Para o caso de σb > σa

Com isso, definimos a região segura no primeiro quadrante. 23


3o.

quadr.

Supor σa e σb NEGATIVOS, com -σa > -σb

Pelo círculo de Mohr: σ1 = 0, σ2 = -σa,σ3 = -σb.

Condição (TRESCA):τmáx = (0 - σb) / 2 = σb / 2 τcrit = σe / 2, ∴σb ≤ σe(ou, graficamente: -σb ≥ -σe )

24

13

Pelo círculo de Mohr: σ1 = 0, σ2 = -σb,σ3 = -σa

Para o caso de - σb > - σa

Com isso, definimos a região segura no 3o. quadrante.

Condição (TRESCA):τmáx = (0 - σa) / 2 = σa / 2 τcrit = σe / 2, ∴σa ≤ σe(ou, graficamente: -σa ≥ -σe )

25


4o. quadr.

Supor σa POSITIVO e σb NEGATIVO

Pelo círculo de Mohr: σ1 = σa , σ2 = 0,σ3 = -σb.

Condição (TRESCA):τmáx = [ σa - (- σb) ] / 2 = (σa + σb ) / 2 τcrit = σe / 2, ∴(σa + σb) ≤ σe σa ≤ σe + (- σb ) 26

14

Graficamente:

Para (-σb) = - σe,Então ⇒ σa ≤ σe + (- σe)

⇒ σa ≤ 0

Para (-σb) = - σe / 2,Então ⇒ σa ≤ σe + (- σe / 2 )

⇒ σa ≤ σe / 2

27

Para (-σb) = 0,Então ⇒ σa ≤ σe + 0

⇒ σa ≤ σe

Portanto:

28

15


2o.

quadr.Feita de modo análogo ao 4o. Passo, considerando σa NEGATIVO e σbPOSITIVOPortanto, a região segura, segundo o critério de TRESCA é:

29

• São mais perigosos os estados de tensão que se afastam do estado hidrostático. Ou seja, são as diferenças entre as tensões principais que causam a ruína do material.

4.2 Critério de de VON MISES(ou da máxima energia

de distorção)

30

16

a) Base ortonormal

b) Estado triplo de tensão princ.

c) Representar ETT princ. por vetor:

t e e e→ → → →

= + +σ σ σ1 1 2 2 3 3

FORMULAÇÃO -Necessário representar o estado de tensão como sendo um vetor

31

t t tnVetor na dir eixo hidrostaticoNao causa ruptura

dVetor perpendicular ao eixo hidrostaticoCausa ruptura

→ → →= +

.1 24444 34444 1 2444444 3444444

32

17

t t nd→ → →

= ∧

“Apelando” para a Geometria Analítica:

t e e ed→ → → →

=−

+−

+−( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ2 3

13 1

21 2

33 3 3

t d→

= − + − + −13 2 3

23 1

21 2

2( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ

(Medida do quanto o estado de tensão t→

se afasta do eixo hidrostático)

33

t→

→dt

é a medida do quanto o estado de tensão se afasta do eixo hidrostático)

t→

34

18

t td dCritico

→ →≤a) Condição do critério:

b) Cálculo de t dCritico

→ ENSAIO DE TRAÇÃO SIMPLES

σ1 = σe (tens. escoamento)σ2 = σ3 = 0

t dCritic

e e e e→

= − + − + − = +13

0 0 0 013

2 2 2 2 2( ) ( ) ( )σ σ σ σ

t dCritic

e→

=23

σ

35

t td dCritico

→ →≤

c) Voltando à Condição do critério:

13

232 3

23 1

21 2

2( ) ( ) ( )σ σ σ σ σ σ σ− + − + − ≤ e

12 2 3

23 1

21 2

2( ) ( ) ( )

( )

σ σ σ σ σ σ σ

σ

− + − + − ≤

i tensao ideal

e1 2444444444 3444444444

σ σi e≤36

19

d) Estado Plano de Tensões

σσ σ σ σ

τ12

22

2 2=

+±

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

x y x y

σ3 = 0

σ σ σ σ σi tensao ideal( ) ( ) ( ) ( )= − + − + −12

0 022

12

1 22

σ σ σ σ σi tensao ideal( ) = + −12

22

1 2

Portanto:

37

GrGrááfico da fico da região de seguranregião de seguranççaa nonoEstado Plano de TensãoEstado Plano de Tensão

IgualandoIgualando--se se σσii àà σσee ::

e212

22

1i σ=σσ−σ+σ=σ

ElevandoElevando--se os dois termos ao quadrado:se os dois termos ao quadrado:

2e

2221

21 σ=σ+σσ−σ

38

20

DividindoDividindo--se por :se por :2eσ

1.2

e

2

e

2

e

12

e

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

σσ

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛σσ

EqEq.de uma .de uma elipseelipse

39

e) Vigas(σy ≈ 0)

σσ σ

τ12

22

2 2= ±

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+x x

σ3 = 0

σ σ τi xtensao ideal( ) = +2 23

40

21

4.3 Comparação entre os critérios de resistência: Tresca e Von Mises

Com base em um Estado Duplo de Tensões:

41

Comparação - Tresca e Von Mises

Com base em um Estado Triplo de Tensões:

42

22

5. CRITÉRIOS DE RESISTÊNCIA PARA MATERIAIS FRÁGEIS

- Critério de Coulomb -

Resistência à compressãoé maior que a resistência à

tração. σ σc t>

43

• Região de segurança especificada pelo critério é construída a partir de 2 parâmetros:

– Resistência à tração

– Resistência à compressão

5.1 Introdução

44

23

Ensaio à tração ( ):σ t

σ1 = σt ,σ2 = σ3 = 0

Círculo de Mohr que representa o Estado Triplo de Tensão correspondente ao ensaio:

45

Ensaio à compressão ( ):cσ−

σ1 = σ2 = 0σ3 = -σc

Círculo de Mohr que representa o Estado Triplo de Tensão correspondente ao ensaio:

46

24

Região Segura – delimitada por retas que tangenciam as duas circunferências

47

∴ Dado um ETT (σ1, σ2, σ3), o material não rompe se todos os três círculos estiverem dentro da região segura.

48

25

Falha conceitual da teoria:ruína depende apenas do diâmetro do círculo maior, ou seja, não depende da tensão σ2, o que do ponto de vista físico é absurdo.

Ainda assim, o método apresenta bons resultados para materiais onde a resistência à compressão é maior que a resistência àtração (areia, solos, concreto, metais não dúcteis).

49

5.2 Estudo do fenômeno físicoConsidera-se a resistência à ruptura como

sendo uma espécie de atrito interno do material, que pode ser caracterizado por dois parâmetros:

τc = coesão(resistência ao cisalhamento naausência de tensões normais)

φ = ângulo de atrito interno50

26

5.2.1 Materiais sem coesão (τc = 0)(exemplo: areia)

51

Vamos imaginar um elemento comprimido, submetido a um determinado Estado Triplo de Tensão.

Sabemos que em um determinado plano θ, vão atuar tensões normal (σθ) e de cisalhamento (τθ):

52

27

Podemos representar a resultante da soma vetorial da tensão normal (σθ) com a tensão de cisalhamento (τθ) por um vetor de tensão t.

Pode-se também observar que vai haver um ângulo αentre o vetor de tensão t e a tensão normal σθ.

53

• Segundo o critério de Coulomb, a ruptura do material ocorre quando esse ângulo αé maior que o ângulo de atrito interno φ.

• Portanto, precisamos saber qual o maior ângulo α que pode ocorrer para aquele Estado de Tensão.

54

28

• Isso é fácil: o maior ângulo α que pode ocorrer é definido pela reta que tangencia o círculo de Mohr:

55

max13

13 tgousenσ−

τ=α

σ+σσ−σ

=α

56

29

• Enquanto α ≤ φ,não haveráruptura.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−=φ+φ−

≥σσ

245tg

sen1sen1 2

3

1 o

• Portanto:

• Desenvolvendo a expressão, chegamos a:

φ≤α sensen

φ≤σ+σσ−σ sen

13

13

57

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

−≥σ

σ

245tan2

max

min o

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ

+≤σ

σ

245tan2

min

max o

• Para evitar erros motivados pelo sinal negativo das tensões, pode-se escrever a condição do critério da seguinte maneira:

ou

58

30

5.2.2 Materiais com coesão (τc ≠ 0)(exemplo: argila)

59

Neste caso, o critério afirma que:

o material absorve, da tensão cisalhante existente (τ), uma parcela igual ao valor da coesão ( τc ),

e a ruptura se dá quando o ângulo do vetor restante de tensão (tr) com o eixo de σfor maior que o angulo φ.

60

31

61

• O material é caracterizado por dois parâmetros, que podem ser:

• Ângulo φ e coesão τc

• Resistências σt à tração e σc à compressão

ou

62

32

63

φ+

φτ=σ⎯→⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−

φτ

σ=φ

sen1cos2

2tg

2sen c

ttc

t

Relacionando um grupo de parâmetros com o outro:

φ−

φτ=σ⎯→⎯

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ+

φτ

σ=φ

sen1cos2

2tg

2sen c

ccc

c

64

33

( ) ( )ctc cos2

sen1cos2sen1

σφφ−

=σφφ+

=τ

Isolando o valor de τc nas expressões anteriores, tem-se que:

tc

tcsenσ+σσ−σ

=φ

65

GrGrááfico da fico da região de seguranregião de seguranççaa no Estado Planono Estado Plano de Tensãode Tensão

Para um Estado Plano de Tensão com tensões principais σa e σb,

pode-se construir um gráfico que represente uma região de segurança.

66

34

1o. Passo:representar um sistema de eixos σa e σb

67


1o.quadr.

Supor σa e σb POSITIVOS, com σa > σb

Pelo círculo de Mohr:σ1 = σa , σ2 = σb,σ3 = 0

Condição σ1 ≤ σt∴ σa ≤ σt

Diâmetro da maior circunferência sódepende de σ1, pois σ3 = 0

68

35

Pelo círculo de Mohr: σ1 = σb , σ2 = σa,σ3 = 0

Analogamente, Para o caso de σb > σa

Com isso, definimos a região segura no primeiro quadrante.

Condição σ1 ≤ σt∴ σb ≤ σt


69


3o.

quadr.

Supor σa e σb NEGATIVOS, com -σa > -σb

Pelo círculo de Mohr:σ1 = 0, σ2 = -σa,σ3 = -σb.

Condição:- σ3 ≥ - σc

∴ - σb ≥ - σc


70

36

Pelo círculo de Mohr:σ1 = 0, σ2 = -σb,σ3 = -σa

Analogamente, para o caso de - σb > - σa

Com isso, definimos a região segura no 3o. quadrante.

Condição:-σ3 ≥ -σc∴ -σa ≥ -σc


71

4o. Passo: Determinação da região no 4o. quadrante: 4o. quadr.

Supor σa POSITIVO e σb NEGATIVO, em uma situação limite, ou seja, a maior circunferência tangencia a reta que define a região segura.

Pelo círculo de Mohr: σ1 = σa , σ2 = 0,σ3 = -σb.

Diâmetro da maior circunferência depende de σ1 e de σ3.

72

37

Se diminuirmos o valor de σ3 sem alterar o valor de σ1, o Estado de Tensão deixa de ser seguro.

Portanto, se diminuirmos o valor de σ3 (ou aumentarmos o seu valor em módulo), teremos também que diminuir o valor de σ1.


73

No caso, reduzindo o valor de -σb para um valor - σb´ ( = - σb - c), podemos definir o valor da nova

tensão σa´ pela seguinte relação geométrica:


nciascircunferêdascentrososentreDistâncianciascircunferêdasraiososentreDiferençasen =φ

74

38

Portanto:

• Obs.: a montagem da expressão foi feita de modo a se ter coerência entre os sinais das tensões e o sinal do ângulo φ

2´)´(

2)(

2)(

2)´´(

senbaba

baba

σ−σ−

σ−σ

σ+σ−

σ+σ

=φ

75

Substituindo-σb´= -σb – ce desenvolvendo a expressão anterior, tem-se que:

( )( )φ+

φ−−σ=σ

sen1sen1c´ aa

constanteconstante

O valor da tensão σa´ varia linearmente em relação ao valor da redução da tensão σb, representado na expressão pelo termo c. 76

39

Graficamente, tem-se a seguinte região segura:

77


2o.

quadr.Análogo ao 3o. Passo, considerandoσa NEGATIVO e σb POSITIVO

Portanto, a região segura, segundo o critério de Coulomb é:

78

40

• Para um estado plano de tensão σ1 e σ2,com σ1 ≥ σ2, tem-se:

Se σ1 e σ2 são positivos, então σ1 ≤ σt

Se σ1 e σ2 são negativos, então ⎜σ2⎜ ≤ ⎜σc⎜

Se σ1 é positivo e σ2 é negativo, então 1

c

2

t

1 ≤σσ

+σσ

79

Estado de tensão é admissível quando:

Maxima tensao atuante Tensao admissivel onde≤ , :

Tensao admissivelTensao de escoamento ou Tensao de ruptura

Coeficiente de seguranca=

6. OBSERVAÇÃO FINAL

80

41

Agradecimentos:Agradecimentos:

Aos Professores Doutores RogAos Professores Doutores Rogéério de Oliveira rio de Oliveira Rodrigues e Haroldo de Rodrigues e Haroldo de MayoMayo Bernardes, Bernardes, pelo material didpelo material didáático disponibilizado.tico disponibilizado.

81

Este trabalho está disponível para download e teve como finalidade a elaboração de material didático para a

disciplina “Resistência dos Materiais II”.

A grande maioria das figuras, algumas delas adaptadas para este texto, foram obtidas pela internet, por meio do

site de busca www.google.com.br .

OBRIGADO PELA SUA ATENÇÃO!

José Luiz P. Melges

Ilha Solteira, 2006

82

42

FormulárioTRESCA:

• Ordenar tensões principais: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3• Calcular τmáx = (σ1 - σ3) / 2• Calcular τcrit = σe / 2• Comparar τmáx ≤ τcrit

τmáx ≤ τcrit

1

83

212

22

1i σσ−σ+σ=σ

2

)()()( 221

213

232

i

σ−σ+σ−σ+σ−σ=σ

ei σ≤σ

FormulárioVON MISES:

• Estado plano de tensão (σ1 e σ2 são as tensões principais no plano e σ3 = 0):

• Estado Triplo de Tensão:

• Não é necessário reordenar as tensões principais

• Vigas (Estado Plano de Tensão com σy y0)22

xi 3τ+σ=σ

2

84

43

( ) 222 ra =τ+−σ

σφ−τ=τ .tanc

FormulárioCOULOMB

• Equação da Reta: representa as combinações de tensões σ e τ que o material consegue suportar

• Equação do círculo: representa as combinações de tensões σ e τ às quais o material está submetido

• Equação do círculo:a = posição do centro da maior circunferência =

(σ1 + σ3) / 2r = raio da maior circunferência = (σ1 - σ3) / 2

• Ordenar tensões principais: σ1 ≥ σ2 ≥ σ3

• Equação da reta:

3

85

Formulário - COULOMB – continação 1• Como analisar ? Simples: substituir τreta no lugar de τcirculo (ou seja, igualar

τ calculado pela reta ao τ calculado pelo círculo) e desenvolver a expressão chega-se a uma equação do 2o. Grau em σ.

( ) ( ) 22c

2 r.tana =σφ−τ+−σ

• Se existirem duas raízes reais então o material rompe !(ou seja, existem dois valores de σ onde τcírculo = τreta

reta corta o círculo)

• Se existir uma raiz real então o material não rompe, mas está no limite !

(ou seja, existe um valor de σ onde τcírculo = τreta reta tangencia o círculo)

• Se não existirem raízes reais então o material não rompe !(ou seja, não existe valor de σ onde τcírculo = τreta reta não

corta o círculo)

4

86

44

Formulário - COULOMB – continação 2

• Considerar as tensões principais σ1 e σ2 que atuam no plano, com σ1 ≥ σ2.

Estado Plano:

t121 e/P σ≤σ→⊕σ⊕σ

c221 e/P σ≤σ→−σ−σ

1e/Pc

2

t

121 ≤

σ

σ+

σ

σ→−σ⊕σ

Relações de interesse:

φ+

φτ=σ

sen1cos2 c

t

φ−

φτ=σ

sen1cos2 c

c( ) ( )

ctc cos2sen1

cos2sen1

σφφ−

=σφφ+

=τ

tc

tcsenσ+σσ−σ

=φ

5

87

• FIM

88

circulo de mohr

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