Círculo de Mohr – Estado Geral de Tensão

Professor : Roberto Assumpção

Alunos: RAs:

Lucas Martins Guido 071580Lucas de Oliveira Falleiros Calemes 074186Eduardo Hamaguchi Dias 081205Carina Marconi Germer 086305

Introdução� Dedução de uma formula para a determinação da

tensão normal em um plano de orientação arbitrária naquele ponto.

� Rotação de um elemento de volume em relação aos � Rotação de um elemento de volume em relação aos eixos principais de tensão.

� Como as transformações de tensão podem ser descritas por três diferentes círculos de Mohr.

Estado Geral de Tensão

� Considerando e .0≠= xzzx ττ 0≠zσ

� Para o desenvolvimento da formula usaremos o tetraedro com 3 de suas faces paralelas aos planos coordenados.

ΔA Área da Face ABCΔAλx,y,z Área das Faces perpendiculares aos eixos x, y, z, respectivamenteλx,y,z Cossenos diretores da linha QN

0)()()(

)()()(

)()()(

:0

=∆−∆−∆−

∆−∆−∆−

∆−∆−∆−∆

=∑

zzzyxzyxzzx

zyyzyyyxyyx

zxxzyxxyxxxn

n

AAA

AAA

AAAA

F

λλσλλλλλλλλλλλσλλλ

λλλλλλλλσσ

xzzxzyyzyxxyzzyyxxn λλτλλτλλτλσλσλσσ 222222 +++++=

222ccbbaan λσλσλσσ ++=

� Os planos coordenados correspondentes são conhecidos como planos principais de tensão.

σ São chamadas de tensões principais em Q.� σa,b,c São chamadas de tensões principais em Q.

Aplicação do Círculo de Mohr na Análise Tridimencional da Tensão

• Os círculos de diametros AB, BC, CA correspondem ao círculo de Mohr para rotação nos eixos c, a e brespectivamente.

• Qualquer outra transformação de eixos levaria à tensões representadas por um ponto localizado dentro tensões representadas por um ponto localizado dentro da área sombreada da figura.

minmaxmax 2

1 σστ −=

� Fazendo eixo z perpendicular ao plano de tensão, é um dos três eixos principais de tensão.

� No circulo de Mohr esse eixo corresponde à origem O.

0=== zxzzx σττ

� No circulo de Mohr esse eixo corresponde à origem O.

� Os pontos A e B correspondem aos outros dois eixos.

� A e B localizados em lados opostos da Origem� Planos de tensão de cisalhamento máximo estão a 45° dos planos principais,

que corresponde aos pontos A e B

� A e B do mesmo lado da Origem.

� Não corresponde a uma transformação de tensão dentro do plano xy.

� Se σa > σb > 0 , temos σmax = σa e σmin = 0

maxmax 2

1 στ =

• Retas normais aos planos de tensão de cisalhamento máxima Qe’ e Qd’ são obtidas rotacionando Qa em 45°dentro do plano za.

EXEMPLO 7.3� Para o estado plano de tensão mostrado na figura,

determine a) os três planos principais e as tensões principais, b)a tensão de cisalhamento máxima

� a) Planos Principais e Tensões Principais

MPaMPaMPayx

méd 5,322

2540

2=+=

+=

σσσ

MPaCXR 4,21)20()5,7( 22 =+==

MPaMPaCAOCOAa 9,534,215,32 =+=+==σMPaMPaBCOCOBb 1,114,215,32 =−=−==σ

5,7

202 ==

CF

FXtg pθ

04,692 =pθ op 7,34=θ

� b) Tensão de Cisalhamento Máxima

MPaMPaamáx 95,26)9,53(2

1

2

1 === στ

MPaMPaamáx 95,26)9,53(2

1

2

1 === στ