tensões de mohr

7/23/2019 Tenses de Mohr

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-UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALRGICA DE VOLTA REDONDAPROFESSORA:SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONIDISCIPLINA:RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Transformao de Tenso ou Anlise de Tenso

Objetivos: Transformar os componentes de tenso, associados a um sistema de coordenadasparticular, em componentes associados a um sistema de coordenadas que tenha orientao diferente.

1- Equaes de Transformao2- Obteno das tenses normal mxima3- Tenses de cisalhamento mxima num ponto4- Orientao do elemento sobre o qual essas tenses atuam

Figura 1 - As ps desta turbina esto sujeitas a um padro de tenses complexo, ilustrado pelasfaixas sombreadas que aparecem nas ps quando so feitas de material transparente e vistas atravsde luz polarizada. Para um projeto adequado, os engenheiros devem ser capazes de determinar ondee em que direo ocorre s tenses mximas. (Cortesia do Measurements Group, Inc., Raleigh,Carolina do Norte, 27611,EUA)


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Transformao no Estado Plano de Tenses

Introduo:

Figura 2- Estado de tenso em um ponto.

O estado de tenso da Figura 2.a no encontrado com freqncia na prtica da engenharia.Aproximaes ou Simplificaes das cargas sobre o corpo, a fim de que a tenso produzida emum sistema estrutural ou mecnico seja analisado em um plano simples

Observaes gerais:

1- Em torno de um ponto, um elemento de superfcie podendo assumir uma infinidade deposies, ensejar o aparecimento de tenses diferentes no mesmo ponto, correspondentes acada uma dessas posies.

2- O estado de tenso num ponto o conjunto de todas as tenses ocorrendo em todos osplanos passando pelo ponto.

Observaes sobre o paraleleppedo de tenses:

1- Demonstra-se que o estado de tenso num ponto fica definido quando forem conhecidas astenses nesse ponto referentes aos trs planos ortogonais entre si, que se interceptam no

ponto considerado.

2- Para analisarmos o estado de tenso num ponto, imaginamos um paraleleppedo tri-retngulo situado com vrtice no ponto, em cujas facetas supe-se as tenses conhecidas.

3- Orientamos o nosso paraleleppedo considerado como um slido de dimensesinfinitesimais, tomando como origem o ponto em estudo e como eixos de referncia asarestas a ele concorrentes.

4- Nas trs faces do paraleleppedo que so visveis, ocorrem tenses iguais e de sentidosopostos.

5- O estado de tenses num ponto, no caso mais geral, ficar ento definido conhecendo-senove tenses, que so as que atuam nas faces do paraleleppedo elementar.


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Os diferentes estados de tenso num ponto

1- TiposEstado Triplo ou Tri-Axial As tenses que atuam nas faces do paraleleppedoelementar admitem componentes nas direes de todas as suas arestas.

Estado Plano, Duplo, ou Bi-Axial As tenses no paraleleppedo apresentamcomponentes paralelas a apenas dois eixos.

Estado Simples ou uniaxial Nas faces do paraleleppedo atuam tenses na direo deuma nica aresta

Estado de Cisalhamento Puro - Nas faces do paraleleppedo atuam apenas tensestangenciais. O simples valor yxxy = suficiente para definir o estado de tenso no

ponto.

Anlise das tenses no Estado Plano

O problema da anlise das tenses consiste em determinar as componentes da tenso num planoqualquer, a partir das componentes da tenso que atuam em trs planos ortogonais passando

pelo ponto e supostas previamente conhecidas.

Estado Geral Plano de tenses em um ponto:

Dois componentes de tenso normal, x ,y

e um componente de tenso de cisalhamento,xy

,

que atuam sobre as quatro faces do elemento.Conveno : Estado de tenso no plano x-y, Figura 2.c

Figura 3- Estado plano de tenso.

Objetivo: Supondo que o estado de tenso seja definido pelos componentes x , y , xy orientados ao longo dos eixos x, y, como na Figura 2.a, mostraremos como obter os


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4

componentes 'x , 'y e 'y'x , orientados ao longo dos eixos x, y, Figura 3.b, de modo que

representem o mesmo estado de tenso no ponto.

Procedimento para determinar os componentes 'x , 'y'x que atuam sobre a face xdo

elemento.

1- Secionar o elemento da Figura 4.a (Figura 4.c). rea secionada ( A ).2- Desenhar o diagrama de corpo livre do segmento, mostrando as foras que atuam sobre o

elemento, ou seja, multiplicam-se os componentes de tenso de cada face pela rea sobre aqual atuam.

3- Aplicar as equaes de equilbrio de fora nas direes xeypara obter os componentes detenso desconhecidos 'x , 'y'x .

4- Se 'y , que atua sobre a face +ydo elemento da Figura 4.b, tiver de ser determinado,considere um elemento como na Figura 4.d e depois seguir o procedimento j descrito.

Note que a tenso de cisalhamento no precisar ser determinada se ela j tiver sidocalculada, visto que ela atende a propriedade complementar de cisalhamento.

Figura 4-


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5

Ex: O estado plano de tenses em certo ponto da superfcie da fuselagem de um avio representado em um elemento, cuja orientao a ilustrada na Figura 5.a. Representar o estado detenso no ponto de um elemento orientado a 30 no sentido horrio em relao posio mostrada.

Figura 5-

Resposta:

Equaes Gerais de Transformao de Tenso para o Estado Plano.

Conveno de Sinal:

Figura 6- Conveno de sinais.

O componente das tenses normal ou de cisalhamento ser positivo caso atue na direopositiva da coordenada da face positiva do elemento, ou caso atue na direo negativa dacoordenada da face negativa do elemento como na Figura 6.a.

Para lembrar a conveno de sinais: A tenso normal positiva quando atua para fora de todasas faces e a tenso de cisalhamento positiva quando atua para cima na face direita do elemento.


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6

ngulo : Orientao do plano inclinado no qual devem ser determinados os componentes dastenses normal e de cisalhamento (Positivo no sentido anti-horrio), Figura 6.b.

Componentes das tenses normal e de cisalhamento.

Figura 7- Elemento no estado plano de tenses.

Deduo: Aula

Aplicam-se as equaes de equilbrio de fora para se determinar os componentesdesconhecidos das tenses normal e de cisalhamento, 'x , 'y'x .

Clculo de 'y

Figura 7.d.

Equaes Gerais de Transformao de tenso para o estado plano.

( ) ( )

2sen2cos22

xy

yxyx

'x +

++

= (1)

( ) ( )

2cos2sen2

xy'

yx

''x +

= (2)

Para determinar 'y , basta substituir por ( )90+ , Figura 7.d em (1) e assim tem-se:

( ) ( )

2sen2cos22 xyyxyx

'y

+

= (3)


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Tenses Principais e Tenso de Cisalhamento Mxima no Plano.

Prtica da Engenharia: importante determinar a orientao dos planos que fazem a tensonormal chegar ao mximo e ao mnimo, bem como a orientao dos planos que fazem a tenso

de cisalhamento chegar ao mximo.

Observaes:

1- Posio Principal: Posio para a qual as tenses tangenciais nas faces do paraleleppedoelementar so todas nulas, restando apenas tenses normais.

Estado Triplo de Tenses - Direes principais - Direes 1 -2-3Tenses Principais - 321 Planos Principais- Planos 1-2-3

Estado Plano de Tenses - Direes principais - Direes 1 -2Tenses Principais - 21 Planos Principais- Planos 1-2

Tenses Principais no Plano

Determinao da tenso normal mxima e mnima.

0d

d 'x =

(4)

( ) ( ) ( ) 02cos22send

d

pxypyx

p

'x =+=

=

(5)

Lembrando que:

( ) ( )

2cos2sen2

xy'

yx

''x +

= (6)

Dessa forma, de (5) e (6) tem-se:

02p=

0

p=

(7)

Nos planos em que agem os valores mximo e mnimo das tenses normais, a tenso decisalhamento nula.


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Importante:

1- Tenses Principais - Tenses normais mxima e mnima2min

1max

=

=

2- Planos Principais Planos de atuao das tenses principais3- Direes Principais Definem os planos principais

Posio dos Planos Principais

Resolvendo a eq. (5), obtemos a orientao p = dos planos de tenses normais mxima e

mnima.

( )( ) 2

2tgyx

xy

p

= (8)

p - ngulo que define o plano de tenso normal extrema.

Soluo de (8)

K3,2,1,0nn2

arctg2yx

xy

p =+

=

(9)

K3,2,1,0n2

n2arctg

2

1

yx

xy

p =+

=

(10)

Duas menores determinaes

==

yx

xy

1p

2arctg

2

10n

(11)

21n 1p2p

+== (12)

Os eixos principais so definidos por 1p e 2p atravs dos quais os planos principais ficam

determinados. Os planos principais so ortogonais entre si, como apresenta a Figura 8.b.

Figura 8 - Planos principais.


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Clculo das Tenses Principais

Figura 9 Orientao dos planos de tenses normais mxima e mnima.

Soluo : Duas razes 1p e 2p . Os valores de 1p2 e 2p2 esto defasados de 180. 1p e 2p

estaro defasados de 90.

Para calcularmos as tenses principais devemos substituir os valores de 1p2sen e 1p2cos , nas

equaes (1) e (3). Dessa forma, encontraram-se os valores do seno e co-seno a partir do tringulosapresentados na Figura 9. A montagem dos tringulos da Figura 9 se baseia na equao (8).

Supondo-se que xy e yx so quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:

Para 1p

( ) 2xy2

yx

xy1p2

2sen

+

= (13)

( ) 2xy2

yxyx

1p22

2cos

+

= (14)

Para 2p

( )2

xy

2

yx

xy2p 22sen

+

= (15)


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10

( ) 2xy2

yxyx

2p22

2cos

+

= (16)

Substituindo-se um dos conjuntos de equaes (13) e (14) ou (15) e (16) nas equaes (1) e (3)teremos:

2

xy

2

yxyx

2,122

+

+= (17)

A equao (17) nos d a tenso normal mxima ou mnima no plano a qual atua sobre um ponto emque 21 .As trincas na viga de concreto da Figura 10 foram provocadas por tenses de trao, apesar de elaest submetida tanto a momento interno como a cisalhamento. As equaes de transformao detenso so usadas para prever a direo das trincas, bem como as tenses normais principais que as

provocaram.

Figura 10 - Trincas numa viga de concreto.

Tenses Tangenciais Extremas e seus Planos

Planos de Tenses Tangenciais Extremas

Deriva-se a expresso (6) ( ) ( )

2cos2sen2 xy'yx

''x +

= em relao a e iguala-se esta

derivada a zero.

c - ngulo que define aqueles planos.

Dessa forma tem-se

( ) ( ) ( ) ( )xy

yx

ccxy'cyx

c

''x

22tg2sen22cos

d

d

==

=

(18)


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11

A Soluo da eq. (18) da seguinte forma:

K2,1,0nn2

arctg2xy

yx

c =+

=

(19)

Para as menores determinaes

==

xy

yx

1c2

arctg2

10n

(20)

21n 1c2c

+== (21)

Planos Principais x Planos de Tenses Tangenciais Extremas

yx

xy

p

22tg

= e ( )xy

yx

c

2

2tg

= (22)

As Concluses obtidas a partir das expresses (22) so as seguintes:

1 - ( )( )c

p2tg

12tg

=

2- Os ngulos c2 e p2 diferem de 90 ( )opc 9022 = 3- Os ngulos c e p diferem de 45 ( )opc 45= 4- O par de eixos ortogonais relativos s tenses de cisalhamento mximas, no plano xy, obtido

pela rotao de 45 nos eixos principais.

Tenses Tangenciais Extremas

Para calcularmos as tenses de cisalhamento mximas devemos substituir os valores de c2sen e

c2cos , na equao (2). Dessa forma, encontram-se os valores do seno e co-seno a partir dotringulos apresentados na Figura 11. A montagem dos tringulos da Figura 11 se baseia na equao18. O ngulo s

Figura 11- Tringulos formados a partir da expresso 18.


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Supondo-se que xy e yx so quantidades positivas ou ambas as quantidades negativas, temos:

Para 1c

( ) ( ) 2xy2

yx

yx1c2

2/2sen

+

= (23)

( ) 2xy

2

yx

xy1c2

2cos

+

= (24)

Substituindo-se as expresses (23) e (24) na eq. (2) teremos:

2

xy

2

yx

minmax

2

+

= (25)

max chamada de tenso mxima no plano, por que atua sobre o elemento no plano x-y.Substituindo-se os valores de c2sen e c2cos , na equao (1), verificamos que h uma tensonormal nos planos da tenso de cisalhamento mximo dada por:

2

yx

md

+= (26)

Como no caso das equaes de transformao de tenso, conveniente programar as equaes

anteriores de tal forma que sejam usadas numa calculadora de bolso.Concluses:1- As tenses tangenciais extremas diferem apenas em sinal. Seus valores absolutos so iguais. Isto,alis, est de acordo com a lei da reciprocidade das tenses, visto que max e min agem em planos

perpendiculares conforme demonstrado anteriormente. O sinal indicar o sentido da tensotangencial, conforme convenes estabelecidas anteriormente.

2- Tenses Principais

2

xy

2

yxyx

2,1

22

+

+=

3- Tenses tangenciais extremas

2

xy

2

yx

minmax

2

+

=

Donde

max21

max

yx

2min

max

yx

1max

2

2

2

=

+

==

++

==


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13

2

21max

= (27)

4- constante a soma das tenses normais que agem em dois planos ortogonais quaisquerpassando no ponto.

Suponha as tenses

e2

agindo em dois planos ortogonais entre si e dadas por

( ) ( )

2sen2cos22

xy

yxyx+

+

+= (28)

( ) ( )

2sen2cos22

xy

yxyx

2

+

=

(29)

Somando as expresses (28) e (29) chega-se a:

yx

2

+=+

(30)

5- Cada ponto admitir, pois um invariante caracterstico de seu estado de tenses, dado por:21yx

2

I

+=+=+=

(31)

Exerccios:

1- Em um ponto de um membro estrutural sujeito a tenses planas h tenses sobre os planoshorizontal e vertical atravs do ponto, como apresenta a Figura 12.

(a)Determine as tenses principais e as tenses tangenciais extremas no ponto.(b)Localize os planos sobre os quais estas tenses atuam e mostre as tenses num esboocompleto

Figura 12- Ponto de um membro estrutural.

Resposta:( )( )CMPa5,88TMPa5,108

2

1

=

=

, MPa5,98

minmax = ,

o1 12=

100 MPa

40 Mpa

80 M a


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2- Quando a carga de toro aplicada barra da Figura 13, produz um estado de tenso decisalhamento puro no material. Determinar: a) A tenso de cisalhamento mxima no plano e atenso normal mdia; e b) A tenso principal.

Figura 13- Carga de toro aplicada a uma barra

Resposta:o

2po

1p2,1

md

planonomax

45,135,

0

===

=

=

3- Resolver os exerccios resolvidos do Hibbeler em casa.


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Crculo de Tenses de Mohr

1- ConceitoObter graficamente uma soluo mais rpida para os problemas de transformao de tenses(Anlise das tenses no ponto)

Embora tenha sido inicialmente imaginado para solues grficas, o mtodo se presta muitobem para solues com calculadoras.

Base Terica:

Repetindo-se aqui as expresses (1) e (3) na seguinte forma

( ) ( )

2sen2cos22

xy

yxyx

'x +

=+

(32)

( ) ( )

2cos2sen

2

xy'

yx

''x +

= (33)

Elevando-se os dois membros das equaes (32) e (33) ao quadrado tem-se

( ) ( )2

xy

yx

2

yx

'x 2sen2cos22

+

=

+

(34)

( ) ( )2

xy'

yx2

''x 2cos2sen2

+

=

(35)

Expandindo-se as expresses (34) e (35) e eliminando-se o parmetro chega-se a:

2xy

2

yx2''x

2

yx

'x22

+

=+

+ (36)

Sabe-se que a equao cartesiana do crculo dada por:( ) ( ) 222 Rcyax =+ (37)

Fazendo-se uma relao da equao (36) com a equao (37) tem-se que:

x , y , xy so constantes conhecidas

'x e 'y'x so as variveis

mdyx

2a =+=

c=0

2xy

2

yx

2R

+

=

Dessa forma a expresso (36) torna-se:

( ) 22 ''x2

md'x R=+ (37)

Se estabelecermos eixos coordenados em que seja positivo para a direita e positivo para

baixo e representarmos a equao (37), teremos um crculo de raioR com centro em ( )0,md noeixo .Esse crculo chamado de crculo de Mohr e est ilustrado na Figura 14.


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Figura 14- Crculo de Tenses de Mohr.

Traado do Crculo de Mohr

1- Estabelecer um sistema de coordenadas tal que a abscissa represente a tenso normal ,com sentido positivo para a direita, e a ordenada represente a tenso de cisalhamento , com

sentido positivo para baixo. Figura 15.a

Figura 15.a Crculo de Mohr.


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2- Usando a conveno de sinal positiva para x , y e xy , como mostra a Figura 15.b,marcamos o centro do crculo, localizado no eixo a uma distncia

2

yx

md

+= da

origem.

Figura 15.b Plano fsico.

3- Marcar o ponto de referncia A de coordenadas )xyx,A . Esse ponto representa oscomponentes das tenses normal e de cisalhamento na face vertical direita do elemento e,como o eixo xcoincide com o eixox, isso significa que o0= .

4- Unir o pontoA ao centro Ce determinarCA usando trigonometria. Essa distncia representao raioR do crculo.

5- Traar o crculoTenses principais

1- PontosB eD da Figura 15.a - Definem as tenses normais extremas, 1 e 2 ( 21 ).Observe as tenses de cisalhamento que so nulas nesses pontos.

2- Essas tenses atuam sobre os planos definidos pelos ngulos 1p e 2p , como na Figura 15.c.Eles s representados no crculo pelos ngulos 1p2 (mostrado) e 2p2 e medidos da linha

de referncia radial CA para as linhas CB e CD, respectivamente.

Figura 15.c Planos principais.3- Apenas um desses ngulos precisa ser calculado pelo crculo, usando-se trigonometria, umavez que 1p e 2p , esto 90 afastados. A direo de rotao no crculo p2 (nesse caso no


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sentido anti-horrio) representa a mesma direo de rotao p a partir do eixo de referncia

(+x) para o plano principal (+x) como apresenta a Figura 15.c.

Tenso de Cisalhamento Mxima no Plano

1- Coordenadas do PontoEe F(Figura 16.a).2- Os ngulos 1c e 2c do a orientao dos planos que contm os componentes, Figura 15.d.

O ngulo 1c2 determinado por trigonometria a partir da Figura 15.a.

Figura 15.d- Tenso de cisalhamento mxima3- Nesse caso a rotao ocorre no sentido horrio e, desse modo, 1c deve estar no sentido

horrio no elemento.

Tenses num Plano Qualquer

1- Os componentes das tenses normal e de cisalhamento 'x e 'y'x que atuam sobre um plano

especificado definido pelo ngulo , como na Figura 15.e so obtidos no crculo usando-setrigonometria para determinar as coordenadas do ponto P na Figura 16.a.

Figura 15.e Tenses num plano qualquer.2- Para localizarP, o ngulo conhecido para o plano (nesse caso no sentido anti-horrio),

Figura 15.e deve ser medido no crculo na mesma direo de 2 (sentido anti-horrio), dalinha de referncia CA para a linha radial CP, Figura 15.a.


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Exerccio

1- A carga de toro Tproduz, no eixo, o estado de tenso mostrado na Figura 16.a. Desenharo circulo de Mohr para esse caso.

Figura 16 Barra submetida a toro.

2- Devido carga aplicada, o elemento no pontoA do cilindro macio da Figura 17.a est sujeito aoestado de tenso mostrado. Determinar as tenses principais que atuam nesse ponto.

Figura 17-Barra submetido a carregamento.

Resposta: ksi49,21 = , ksi5,142 =

Figura 17.c


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3- Estudar os exerccios resolvidos do Hibbeler.

Trabalho

Entregar at o dia 20 de outubro os exerccios do HIBBELER captulo 9, naseo problemas: 9.1, 9.7, 9.8, 9.9 e 9.14 e 9.66. Entregar os exerccios comseus respectivos enunciados.

Referncias Bibliogrficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Makron Books, 1995.2. Gere, J. M. Mecnica dos Materiais, Editora Thomson Learning3. HIBBELER, R.C. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Editora Livros Tcnicos e Cientficos, 2000.Observaes:

1- O presente texto baseado nas referncias citadas.2- Todas as figuras se encontram nas referncias citadas.

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