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DECOM-FEEC-UNICAMPEA-513 – Circuitos Elétricos I

Capítulo 6

Independência das Equações


6.1 Grafo de uma Rede

Estudo de como os elementos de uma rede elétrica são conectados (topologia).

Topologia de redes: fornece um método sistemático para a determinação de

quantas equações são necessárias para a análise,

quantas delas são independentes e a escolha do melhor

conjunto de equações para a análise direta.

Problema a ser resolvido: análise de redes complicadas, geralmente não

planares e com muitos laços.

Circuitos não planares: não permitem a análise por malhas e a aplicação direta

da lei de Kirchhoff de tensão.


vg

1

a

b

cd

+ -

e

f

2 3

4 5

96

7

Circuito não planar: 15 laços.

(1, 3, 4, 5)(1, 3, 7, 9)(2, 3, 5, 6)(1, 2, 8, 9)(1, 2, 4, 6)(4, 5, 7, 9)(2, 3, 4, 5, 8, 9)(1, 2, 5, 6, 7, 9)(1, 3, 5, 6, 8, 9)(2, 3, 7, 8)(2, 3, 4, 6, 7, 9)(4, 6, 8, 9)(5, 6, 7, 8)(1, 3, 4, 6, 7, 8)(1, 2, 4, 5, 7, 8)

Desejamos obter um conjunto de equações independentes!

8


Desejamos saber quais laços são independentes.

Então, precisamos saber como os elementos são conectados ⇒ grafo de rede:

Contém 9 ramos e 6 nós (+1 nó se considerarmos o nó entre 9 e vg).

1

a

b

cd

e

f

2 3

4 5

96

7

ramo

nó de rede

8


Grafo de rede é conexo se existe um percurso de um ou mais ramos entre

quaisquer dois nós.

Exemplo de grafo de rede não conexo:

a

b

c

d

e

f g

sem ligação


6.2 Árvore e Co-Árvore

Árvore é uma porção conexa de um grafo (subgrafo) que contém todos os nós

mas nenhum laço.

Exemplo:

1

2 4

3

5 6

7 1

2

3

árvoregrafo

1

2

7

árvore

Total de árvores: 24

3 ramos determinam uma árvore, mais que isso formam um laço.

Combinação de 7 ramos 3 a 3 = 35, entretanto, 11 delas não são árvores.


1

2

3

árvore

Ramos do grafo que não estão na árvore são denominados enlaces .

Enlaces mais os seus nós = co-árvore da árvore correspondente.

Exemplo:

4

6

7

co-árvore

5


Generalização:

Grafo com B ramos e N nós:

• em qualquer árvore existem N nós e N − 1 ramos.

• número de enlaces em uma co-árvore qualquer é B – N + 1.

1

2

3

árvore

4

6

7

co-árvore

51

2 4

3

5 6

7

grafo

Grafo: B = 7 ramos e N = 4 nós:

Árvore: N = 4 nós e N − 1 = 3 ramos. Co-árvore: B – N + 1 = 4 enlaces .


todos os nós da árvore estarão no mesmo potencial

todas as tensões de enlace serão zero

Se todas as tensões dos ramos de uma árvore são reduzidas a zero

substituindo os ramos por curto-circuitos

6.3 Equações Independentes de Tensões

Então, tensões de enlace dependem das tensões de ramo da árvore.

Se uma tensão de enlace for independente das tensões da árvore, ela não pode

ser forçada a zero por curto-circuito no ramo da árvore.

Conclusão: As N – 1 tensões de ramo de uma árvore são independentes e

podem ser usadas para encontrar as tensões de enlace.


Exemplo:

v1

+ v2 – + v4 –

v3

v5

v6

+ –

+ ++

––

–

Pela lei de Kirchhoff de tensão:

316

215

234

vvv

vvv

vvv

−=

−=

−=

tensões de enlace tensões de ramo da árvore


Procedimento para se obter as equações de tensões de ramo da árvore:

• Abre-se um ramo da árvore separando-a em duas partes.

• Correntes fluem entre as duas partes através do ramo aberto e pelos

enlaces.

• Aplica-se a lei de Kirchhoff de corrente, a soma algébrica destas

correntes em um dado sentido é zero.

• Escreve-se a equação de tensões.

• Repete-se este procedimento para os outros ramos da árvore.


Exemplo:a

0,5 Ω

1 Ω

+-

20 V

2 Ω 11 A

+ v2 -b c

1 Ω

+

v1

-

d

a

20 – v1 – v2

+

20 – v1

–

+

v1

–

20 Vv2

v1 + v2

+

–

+

++

–

–

–b c

d

I

Imaginando ramo a-b (v1) aberto ⇒a árvore é dividida em 2 partes.

Estas partes são conectadas pelo ramo a-b e os enlaces: (a, c), (b, d) e (d, c)

como indicado pela linha marcada com I.

Correntes no sentido da seta: 0112

2011

1121 =−−−++ vvvv


20 −−−− v1 – v2

+

20 −−−− v1

–

+

v1

–

20 Vv2

v1 + v2

+

–

+

++

–

–

–

a

b c

d

II

Estas partes são conectadas pelo ramo b-c e os enlaces: (a, c) e (d, c) como

indicado pela linha marcada com II.

Correntes no sentido da seta: 0115,01221 =+−+− vvv

Imaginando ramo b-c (v2) aberto ⇒ a árvore é dividida em 2 partes.

a

0,5 Ω

1 Ω

+-

20 V

2 Ω 11 A

+ v2 -b c

1 Ω

+

v1

-

d

[ ] [ ]V 1 e V 8 21 == vvResolvendo as equações, obtemos


O conjunto de corte do grafo é o conjunto mínimo de elementos que, quando

cortado ou removido, separa este grafo em duas partes.

As duas partes determinadas por um corte no grafo serão ou um nó ou um

supernó.

Então, a soma algébrica das correntes que deixam qualquer das partes é zero.


Exemplo:

i1 i2

i3

i5i4 i6

i7

Grafo

CS

CS = conjunto de corte i7, i5, i3, i2

Lei de Kirchhoff de corrente: i2 – i3 + i5 + i7 = 0

Mesma equação para a Lei de Kirchhoff de corrente aplicada no supernó

contendo i6.

i1 i2

i3

i5i4 i6

i7

Árvore e enlaces


i1 i2

i3

i5i4 i6

i7

CS-1

CS-2

CS-3

CS-1: i1 – i2 = 0

CS-2: i4 + i5 – i3 + i2 = 0

CS-3: i2 – i3 + i6 = 0


i1 i2

i3

i5i4 i6

i7

Conjunto de corte não baseado na árvore dada:

Conjunto de corte incidente: elementos conectados (ou incidentes) ao nó a.

i1 – i3 + i5 + i4 = 0

a


Obs.: Na análise de circuito, onde as incógnitas são as tensões, precisamos

encontrar apenas os valores das N – 1 tensões de ramos de árvore

que constituem um conjunto independente.

Portanto, só N – 1 equações independentes de tensão são

necessárias para a análise.

Outro conjunto possível de N – 1 tensões independentes é o de nós de

não referência, usado no método nodal.


Exemplo: Relação das tensões de nós com as tensões dos ramos da árvore.

20 – v1 – v2

+

20 – v1

–

+

v1

–

20 Vv2

v1 + v2

+

–

+

++

–

–

–

a

b c

d

a

0,5 Ω

1 Ω

+-

20 V

2 Ω 11 A

+ v2 -b c

1 Ω

+

v1

-

d

nó de referência nó de referência

Tensões de nós de não referência: va, vb, vc

va = 20vb = 20 – v1vc = 20 – v1 – v2

v1 = va - vbv2 = vb - vc20 = va


6.4 Equações Independentes de Corrente

Forma sistemática para escrever as equações de laços para uma rede

genérica com B ramos e N nós.

Para uma dada árvore existem B – N + 1 enlaces.

Supondo que todas as correntes de enlaces são iguais a zero, isto é, que os

enlaces são circuitos abertos, e que a árvore não contém laços, então todas

as correntes da árvore dependem das correntes de enlace.

Assim, pode-se expressar as correntes da árvore em termos das correntes

de enlace.

Note que se a corrente de árvore for independente das correntes de enlace,

ela não poderá ser igualada a zero ao se abrir os enlaces.

Note ainda que se o enlace não for tornado um circuito aberto, existirá um

laço no grafo e uma corrente fluirá no enlace.


As B – N + 1 correntes de enlace são um conjunto independente.

A análise do circuito necessita de B – N + 1 equações independentes.

Processo sistemático para calcular B – N + 1 laços independentes:

• a partir da árvore adiciona-se um dos enlaces.

• determina-se o laço que contém aquele enlace.

• remove-se este enlace e adiciona-se outro à árvore, determinando

o 2º laço.

• continua-se até que os B – N + 1 laços sejam encontrados.

O conjunto é independente porque cada laço contém um enlace diferente.


Exemplo:

1

a

b

cd

e

f

2 3

4 5

9 6

78

Laço I: enlace 2 + ramos 1, 8, 9.

Laço II: enlace 3 + ramos 7, 9, 1.

Laço III: Enlace 4 + ramos 5, 7, 9.

Laço IV: Enlace 6 + ramos 5, 7, 8.


Exemplo:

11 A

i1

i1 – i2 + 11

11 – i2

i2

a

b c

d

11 + i1

Laço 1: 2i1 – 20 + 1·(i1 – i2 + 11) = 0

Laço 2: 1·i2 – 0,5·(11 – i2 ) – 1·(i1 – i2 + 11) = 0

Lei de Kirchhoff de tensão:

d

a

0,5 Ω

1 Ω

+-

20 V

2 Ω 11 A

b c

1 Ω

i1

i2

i1 = 6 A

i2 = 9 A


Caso geral para as redes planares:

1. Inicia-se por separar o circuito planar em M malhas.

2. Reconstrói-se o circuito uma malha de cada vez.

• Primeira malha tem o mesmo número k1 de nós e ramos.

3

21

4

1º ramo possui 2 nós e cada ramo

adicional acrescenta 1 nó, o último

ramo não adiciona nó.

4 ramos e 4 nós


3. Cada malha subseqüente é formada pela conexão de ramos e nós às

malhas anteriores.

• Cada ramo adicionado acrescenta um nó, a não ser no último

ramo onde nenhum nó é acrescentado. Assim, o número de nós

adicionado é menor em uma unidade que o número de ramos.


4. Se a segunda malha acrescenta k2 ramos, então ela adiciona k2 – 1 nós, e

assim por diante.

5. A última malha adiciona kM ramos e kM – 1 nós.

6. Se no grafo inteiro o número de ramos é B e o número de nós é N, temos:

k1 + k2 + ... + kM = B

(k1) + ( k2 – 1 ) + ... + ( kM – 1 ) = N

k1 + k2 + ... + kM – (M – 1) = N

B – (M – 1) = N

M = B – N + 1 Número de enlaces no grafo.


Correntes de malha constituem um conjunto de correntes que descreve

completamente uma rede planar.

Nº de correntes independentes de malha = Nº de correntes independentes de

enlace.

Pois, cada nova malha contém pelo menos um ramo inexistente na malha

anterior.


6.5 Aplicação em um Circuito

d

3v2

2 Ω

+-

10 V

1/3 Ω6 A

b

e

2 Ω

1/2 Ω

+ -

a

c

1/3 Ω+v2-

+v1-

2v1


v2

10 V3v2

v1

+

–

+

++

––

b

c e

a

d

2v1

–

+

6 A

I

Ramo b-e: 036222

1 =++++ aedcbc vv

vv

II

Ramo a-d: 0322 21 =+− vvvdc


v2

10 V3v2

v1

+

–+

++

––

b

c e

a

d

2v1

–

+

6 A

Por inspeção:

10

102103

3

1

21221

21

−=

−−=−+−=

−=

vv

vvvvvv

vvv

ae

dc

bc

036222

1 =++++ aedcbc vv

vv

0322 21 =+− vvvdc

Substituindo vbc, vdc e vbe nas expressões e resolvendo, obtemos:

[ ] [ ] V 20 e V 11 21 −=−= vv


6.6 Equivalência Estrela-Triângulo (Y −−−−∆ ∆ ∆ ∆ ou T−−−−ΠΠΠΠ)

+-

i1

v1 R3

R1 R21 2

+- v2

i2

3

+-

i1

v1 Rc

Ra

Rb

1 2

3

+-

i2

v2

( )

( ) 232132

231311

iRRiRv

iRiRRv

++=

++=

( )

( )212

211

iRRR

RRRi

RRR

RRv

iRRR

RRi

RRR

RRRv

cba

cab

cba

bc

cba

bc

cba

bac

++++

++=

+++

+++=


( ) 231311 iRiRRv ++=

( )211 i

RRR

RRi

RRR

RRRv

cba

bc

cba

bac++

+++

+=

( ) 232132 iRRiRv ++=

( )212 i

RRR

RRRi

RRR

RRv

cba

cab

cba

bc++

++++

=

( )

cba

bc

cba

bac

RRR

RRR

RRR

RRRRR

++=

+++=+

3

31( )

cba

cabRRR

RRRRR

+++=+ 32

cba

caRRR

RRR

++=1

cba

bcRRR

RRR

++=3

cba

baRRR

RRR

++=2

Resistência Y = Produto das resistências ∆ adjacentes

Soma das resistências ∆


3

313221R

RRRRRRRa

++=

Resistência ∆ = Soma do produto das resistências Y duas a duas

resistência Y oposta

Alternativamente, resolvendo as equações para o circuito triângulo:

1

313221R

RRRRRRRb

++=2

313221R

RRRRRRRc

++=

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