cap6- problemas resolvidos

Problemas Resolvidos do Captulo 6

TRABALHO E ENERGIA MECNICA

Ateno Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros so deixados para v. treinar

PROBLEMA 1 Resolva o problema 8 do Captulo 4 a partir da conservao de energia. (Problema 4.8 - Ummartelo atinge um prego com velocidade v, fazendo-o enterrar-se de uma profundidade l numa prancha de madeira.Mostre que a razo entre a fora mdia exercida sobre o prego e o peso do martelo igual a h/l, onde h a altura dequeda livre do martelo que o faria chegar ao solo com velocidade v. Estime a ordem de grandeza dessa razo paravalores tpicos de v e l. Soluo PROBLEMA 2 No sistema da figura, M 3 kg, m 1 kg e d 2 m. O suporte S retirado num dado instante.

(a) Usando conservao de energia, ache com que velocidade M chega ao cho. (b) Verifique o resultado, calculandoa acelerao do sistema pelas leis de Newton.

Soluo Considerando o nvel de referncia z 0 no cho, temosInicial Final

m z0 0 v0 0 z1 d v1 vM Z0 d V0 0 Z1 0 V1 V

Logo,

Ei 12 mv02 mgz0 12 MV0

2 MgZ0 MgdEf 12 mv1

2 mgz1 12 MV12 MgZ1 12 mv

2 mgd 12 MV2

Devido conservao da energia mecnica total, Ei Ef, encontra-se (v V)

Mgd 12 mV2 mgd 12 MV

2 12 m MV2 M mgd V 2M mgdm M

Portanto,

V 2 3 1 9, 8 23 1 4, 43 m/s.

Leis de Newton Como l1 l2 constante am aM a. Assim,T Mg Ma, T mg ma

ou

Prof. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica PR-6.1

Universidade Federal do Amazonas

mg ma Mg Ma m Ma M mg a M mgm M

Com esta acelerao e V2 2ad 2 M mgm M d V 2M mgdm M que a mesma encontrada anteriormente.

* * * PROBLEMA 3 Uma particula de massa m 1 kg, lanada sobre um trilho retilneo com velocidade de 3 m/s, estsujeita a uma fora Fx a bx, onde a 4 N, b 1 N/m, e x o deslocamento, em m, a partir da posio inicial. (a)Em que pontos do trilho a velocidade da partcula se anula? (b) Faa o grfico da velocidade da partcula entre essespontos. (c) A que tipo de lei de foras corresponde Fx ? Soluo Do teorema trabalho energia cintica,

Wx0x T T0Tomando a origem na posio de lanamento, v0 3 m/s e e x0 0. Como

Wx0x 0

xFx dx

0

xa bx dx a 0

xdx b

0

xxdx ax 12 bx

2.

e T 12 mv2 e T0 12 mv0

, encontra-se

ax 12 bx2 12 mv

2 12 mv02

ou (m 1,v0 3, a 4, b 1) 4x 12 x

2 92 12 v

2 v 9 8x x2 .(a) Logo, os pontos para os quais v 0, so obtidos pela soluo da equao 9 8x x2 0. Ou seja,

x 9 m e x 1 m.(b) Grfico v x:

1

2

3

4

v (m/s)

-8 -6 -4 -2 0x (m)

(c) Lei de Hooke.

PROBLEMA 4 No sistema da figura, onde as polias e os flos tm massa desprezvel, m1 1 kg e m2 2 kg. (a)O sistema solto com velocidade inicial nula quando as distncias ao teto so l1 e l2. Usando conservao daenergia, calcule as velocidades de m1 e m2 depois que m2 desceu uma distncia x2. (b) Calcule a partir da asaceleraes a1 e a2 das duas massas. (c) Verifique os resultados usando as leis de Newton.

Notas de Aula de Fsica I Trabalho e Energia Mecnica - Problemas Resolvidos PR-6.2


Soluo Vamos escolher o nvel de referncia z 0 no teto, com o sentido positivo do eixo z para cima. Comol2 2l1 constante, l2 2l1. Se l2 x2 (m2 desce) l1 12 l2

12 x2 (m1 sobe). Derivando a relao

l2 2l1 constante, obtm-se v2 2v1. A energia total antes dos blocos comearem a se mover vale(v10 0,v20 0, z10 l1, z20 l2

Ei 12 m1v102 m1gz10 12 m2v20

2 m2gz20 Ei m1gl1 m2gl2.

e, depois, v1 12 v,v2 v, z1 l1 12 x2, z2 l2 x2

Ef 12 m1v12 m1gz1 12 m2v2

2 m2gz2 Ef 12 m112 v

2 m1g l1 12 x2 12 m2v

2 m2gl2 x2 ou seja,

Ef 18 m1v2 m1gl1 12 m1gx2

12 m2v

2 m2gl2 m2gx2Da conservao da energia total, Ei Ef, encontra-se

m1gl1 m2gl2 18 m1v2 m1gl1 12 m1gx2

12 m2v

2 m2gl2 m2gx20 18 m1v

2 12 m1gx2 12 m2v

2 m2gx2 m1v2 4m1gx2 4m2v2 8m2gx2 0

ou

m1 4m2 v2 8m2 4m1 gx2 0de onde se obtm

v1 12 v 12

8m2 4m1 gx2m1 4m2

2m2 m1 gx2m1 4m2

v2 v 8m2 4m1 gx2m1 4m2 22m2 m1 gx2m1 4m2

Para os valores dados,

v1 2 2 1gx21 4 2 3gx23

v2 2 2 2 1gx21 4 2 2 3gx2

3



Para calculara a acelerao, usa-se Torricelli, z1 x22 ,z2 x2

v12 2a1z1 a1 v12

2z1 3gx2

9x2 13 g

v22 2a1z2 a2 v22

2z2 12gx2

92x2

23 g

Ou seja,

a1 13 g a2 23 g

* * * PROBLEMA 5 Um garoto quer atirar um pedregulho de massa igual a 50 g num passarinho pousado num galho5 m a sua frente e 2 m acima do seu brao. Para isso, utiliza um estilingue em que cada elstico se estica de 1 cm parauma fora aplicada de 1 N. O garoto aponta numa direo a 30 da horizontal. De que distncia deve puxar os elsticospara acertar no passarinho?

Soluo Para acertar o passarinho, sua posio deve estar sobre a trajetria. Para a origem na mo do garoto,as coordenadas do passarinho so 5, 2. Assim, usando a equao da trajetria do projtil, podemos encontrar o valorde v0 para o 30. Ou seja,

y x tg gx22v02 cos2

gx22v02 cos2

x tg y 2v02 cos2gx2

1x tg y v0 gx2

2cos2x tg yLogo,

v0 9, 8 52

2cos2 6 5 tg6 2

13, 6 m/s.

5 m

2 m30

v0

Para calcular o quanto devem ser esticados os elsticos do estilingue para que a pedra atinja esta velocidade vamosusar a conservao da energia mecnica:

12 kx

2 12 mv2

ou seja,

x mv2konde o valor de k pode ser obtido da condio F0 1 N x0 0. 01 m (cada elstico), usando a lei de Hooke



F0 kx0. Como so dois elsticos, F 2 N para x 0, 01m. Portantok Fx 20, 01 200 N/m

Logo, m 0, 050 kg

x mv2k 0, 05 13, 62

200 0, 215 m

Ou seja, cada elstico dever ser esticado de 21, 5 cm.

* * * PROBLEMA 6 Uma balana de mola calibrada de tal forma que o prato desce de 1 cm quando uma massa de0, 5 kg est em equilbrio sobre ele. Uma bola de 0, 5 kg de massa fresca de po, guardada numa prateleira 1 m acimado prato da balana, escorrega da prateleira e cai sobre ele. No levando em conta as massas do prato e da mola, dequanto desce o prato da balana?

Soluo Inicialmente vamos calcular com que velocidade a bola de massa de po atinge o prato. Porconservao da energia mecnica para a bola, v0 0, z0 1m, z1 0, v1 v

12 mv0

2 mgz0 12 mv12 mgz1 mgz0 12 mv

2 v 2gz0Para z0 1

v 2 9, 8 1 4, 43 m/s.

z0 = 1 m

Ov

v0 = 0

z

Ao atingir o prato com esta velocidade, a massa tem energia cintica que ser transformada totalmente numa parcelade energia potencial elstica (da mola) e outra de energia potencial gravitacional, devido conservao da energiamecnica. Assim, considerando a posio do prato como o nvel de referncia z 0, temos pela conservao daenergia

12 mv

2 mgz 12 kz2

A soluo desta equao fornece

z mg m2g2 kmv2k

O valor de k pode ser calculado pela condio F 0, 5 9, 8 N x 0, 01 m ouk Fx 0, 5 9, 80, 01 490 N/m.



Para m 0, 5 kg

z 0, 5 9, 8 0, 5 9, 82 490 0, 5 4, 432

490 z 15, 2 cmz 13, 2 cm

Como a posio inicial do prato z 0, a soluo deve ser negativa, ou seja, z 15, 2 cm o quanto o prato abaixa.* * *

PROBLEMA 7 Uma partcula de massa igual 2 kg desloca-se ao ongo de uma reta. Entre x 0 e x 7 m, elaest sujeita fora Fx representada no grfico. Calcule a velocidade da partcula depois de percorrer 2, 3, 4, 6 e 7 m,sabendo que sua velocidade para x 0 de 3 m/s.

Soluo Vamos usar o teorema W T, considerando T0 12 mv02 12 2 3

2 9 J. Assim,W02 Tx2 T0

Como W rea do grfico F x, ento W02 2 2 4 J. Mas Tx2 12 mv2x 2 vx22 . Logo

4 vx22 9 vx2 9 4 vx2 5 m/s.Da mesma forma

W03 Tx3 T0Mas

W03 W02 W23 4 12 2 1 5 JLogo,

5 vx32 9 vx3 9 5 vx3 2 m/s.Para x 4

W04 W02 W23 W34 4 12 2 1 12 2 1 4 J

ento

4 vx42 9 vx4 9 4 vx4 5 m/sPara x 6

W06 W02 W23 W34 W46 4 12 2 1 12 2 1 2 2 0 J

ento

0 vx62 9 vx6 9 vx6 3 m/s



Finalmente, para x 7W07 W02 W23 W34 W46 W67 4 12 2 1

12 2 1 2 2

12 2 1 1 J

logo,

1 vx72 9 vx7 9 1 vx7 10 m/s

* * * PROBLEMA 8 Uma partcula move-se ao longo da direo x sob o efeito de uma fora Fx kx Kx2, ondek 200 N/m e K 300 N/m2. (a) Calcule a energia potencial Ux da partcula, tomando U0 0, e faa um grfico deUx para 0, 5 m x 1 m. (b) Ache as posies de equilbrio da partcula e discuta sua estabilidade. (c) Para quedomnio de valores de x e da energia total E a partcula pode ter um movimento oscilatrio? (d) Discutaqualitativamente a natureza do movimento da partcula nas demais regies do eixo dos x.

Dado: 0

x xndx xn1n 1 .

Soluo (a) Por definio,Ux

x0

xFx dx kx Kx2 dx k

x0

xxdx K

x0

xx2dx

12 kx2 x02 13 Kx

3 x03 Da condio U0 0 x0 0 e, portanto,

Ux 12 kx2 13 Kx

3

Grfico: k 200 e K 300Ux 100x2 100x3

0

10

20

30

40

U(x)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Equilbrio estvel

Equilbrio instvel

(b) As posies de equilbrio so obtidas da equao Fx 0. Assim,Fx kx Kx2 0 xKx k 0 x 0 e x kK

200300

23 m.

Do grfico, v-se que x 0 um ponto de equilbrio estvel e x 23 m um ponto de equilbrio instvel.

(c) O movimento oscilatrio um movimento limitado, portanto, s pode ocorrer para x0 x x1 correspondente sProf. Dr. Abraham Moyss Cohen Departamento de Fsica PR-6.7


energias E E1. O valor E1 corresponde a Ux1 onde x1 23 m. Assim

U 23 10023

2 100 233 100 23

21 23 100

23

2 13 100

49

13

40027 J

0

10

20

30

40

U(x)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

E1

E0

movimentooscilatrio

x0 x1

Para calcular x0, basta fazer Ux0 E1, ou seja,100x2 100x3 40027 x

3 x2 427 0Esta equao pode ser escrita na forma de fatores

127 3x 13x 2

2 0Logo, as solues seo

x 13 ,23 ,

23 .

Portanto,

x0 13 m.

Assim, os domnios de valores de x e E so dados por:

13 m x 23 m

E 40027 J.

* * * PROBLEMA 9 Um sistema formado por duas lminas delgadas de mesma massa m, presas por uma mola deconstante elstica k e massa desprezive!, encontra-se sobre uma mesa horizontal (veja a Fig.). (a) De que distncia amola est comprimida na posio de equilbrio? (b) Comprime-se a lmina superior, abaixando-a de uma distnciaadicional x a partir da posio de equilbrio. De que distncia ela subir acima da posio de equilbrio, supondo que almina inferior permanea em contato com a mesa? (c) Qual o valor minimo de x no item (b) para que a lminainferior salte da mesa?



Soluo (a) Na posio de equilbrio, a mola deve sustentar o peso de uma das lminas, P mg. Assim,kx mg x mgk

(b) Nesta situao, a mola ser comprimida de 2x em relao ao seu tamanho normal. Portanto, a energia potencialelstica da mola ser

xz = 0

h

U 12 k2x2 2kx2 2k mgk

2 2m2g2kConsiderando o nvel de referncia z 0 na posio de equilbrio, a conservao da energia mecnica fornece

mgh 2m2g2k mgx h 2mgk x 2x x h x

(c) O valor mnimo de x para que o lmina inferior salte da mesa aquele em que a fora normal exercida pela mesasobre o sistema se iguale ao peso do sistema. Neste caso, a fora normal igual fora necessria para comprimir amola. Assim, como a massa da mola desprezvel, o peso do sistema corresponde ao peso das lminas, que PS 2mg. Ento

kx 2mg xmin 2mgk* * *

PROBLEMA 10 Um cabo uniforme, de massa M e comprimento L, est inicialmente equilibrado sobre umapequena polia de massa desprezvel, com a metade do cabo pendente de cada lado da polia. Devido a um pequenodesequilbrio, o cabo comea a deslizar para uma de suas extremidades, com atrito desprezvel. Com que velocidadeo cabo est-se movendo quando a sua outra extremidade deixa a polia?

Soluo A resultante da fora numa dada situao em que l2 l1 x dada pelo peso deste pedao de cabo amais que pende para um dos lados. Assim, considerando que a massa seja uniforme ento mx x, onde M/L.Assim,

Fx gx



O trabalho realizado por esta fora desde x 0 a x L/2 serW0L/2

0

L/2 gxdx 12 gL2

2 18 gL2.

l2

l1

x

Pelo teorema W T, v0 0W0L/2 T 18 gL

2 12 mL2 v

2 12 m0v02 12

M2 v

2 18 gL2 M4 v

2

Portanto, usando L M

v 18 gL

2

M4

MgL2M

Ou seja,

v gL2 PROBLEMA 11 Uma partcula de massa m move-se em uma dimenso com energia potencial Ux representadapela curva da Fig. (as beiradas abruptas so idealizaes de um potencial rapidamente varivel). lnicialmenle, apartcula est dentro do poo de potencial (regio entre x1 e x2) com energia E tal que V0 E V1. Mostre que omovimento subseqente ser peridico e calcule o perodo.

Soluo Para valores da energia no intervalo V0 E V1, entre os pontos no intervalo aberto x1 x x2, temosda conservao da energia



E 12 mv2 Ux v dxdt

2m E V0

E

Em termos de diferenciais,

dx dxdt dt dx 2m E V0 dt

Integrando ambos os membros desta equao, sabendo que em t 0, x x0 e em t a posio x

x0

xdx 2m E V0 0

tdt

ou

x x0 2m E V0 tou seja, o movimento da partcula entre os pontos de retorno um movimento retilneo uniforme com velocidade cujo

mdulo vale |v| 2m E V0 . O sinal ou conforme a partcula esteja se movimento para a direita ou para aesquerda. Quando a partcula atinge o ponto x x1 ou o ponto x x2 (posio das paredes da barreira) esta soluono mais vlida. Neste caso E Ux e esses pontos so pontos de inverso. Ao atingir esses pontos a partcula ficasujeita a uma fora dirigida em sentido contrrio ao movimento fazendo-a desacerelar, invertendo sua velocidade (damesma forma como acontece com uma bola ao atingir uma parede). Esta fora est sempre dirigida para a regio demenor potencial. Por exemplo, ao atingir o ponto x1 a fora dirigida para a direita, e no ponto x2, para a esquerda.Para encontrar o perdo do movimento, basta calcular o tempo necessrio para a partcula percorrer a distnciax 2l. Logo,

2l |v| 2l2m E V0

PROBLEMA 12 Um carrinho desliza do alto de uma montanha russa de 5 m de altura, com atrito desprezvel.Chegando ao ponto A, no sop da montanha, ele freiado pelo terreno AB coberto de areia (veja a Fig.), parando em1, 25 s. Qual o coeficiente de atrito cintico entre o carrinho e a areia?



Soluo Pela conservao da energia, vamos calcular a velocidade com que o carrinho chega ao ponto A:mgh 12 mvA

2 vA 2ghA partir deste ponto, o carrinho desacelerado, e pelo teorema W T, podemos calcular o trabalho realizado pelafora de atrito. Assim,

12 mvB

2 12 mvA2 WAB WAB 12 mvA

2

Como o WAB FcxB xA Fcx, entoFc WABx

podemos calcular x pela informao do tempo que o carrinho leva para parar. Alem disso, a acelerao domovimento pode ser calculada, usando-se as leis de Newton,

Fc ma a WABmx 12 mvA

2

mx vA2

2xAssim, considerando um movimento uniformemente desacelerado,

x vAt 12 at2 x vAt 12

vA22x t

2

Desta equao, pode-se calcular x, ou seja,

x2 vAtx vA2

4 t2 x2 vAtx vA

2

4 t2 0

Portanto,

x vAt vA2 t2 vA2 t22 x

12 vAt.

Com este valor de x, podemos agora calcular a fora de atrito cintico (em mdulo) dada pela expresso Fc ma,onde

a vA2

2x vA2

2 12 vAt a vAt

a, portanto,

Fc ma |Fc | mvAtComo,

|Fc | cN cmg cmg mvAt cg vAt

ou



c vAgt 2ghgt 1t 2hg

Usando os valore dados g 9, 8 m/s2, h 5 m, t 1, 25 s

c 11, 252 59, 8 c 0, 81

* * * PROBLEMA 13 Um bloco de massa m 5 kg, deslizando sobre uma mesa horizontal, com coeficientes de atritocintico e esttico 0, 5 e 0, 6, respectivamente, colide com uma mola de massa desprezvel, de constante de molak 250 N/m, inicialmente na posio relaxada (veja Fig.). O bloco alinge a mola com velocidade de 1 m/s. (a) Qual adeformao mxima da mola? (b) Que acontece depois que a mola atinge sua deformao mxima? (c) Que frao daenergia inicial dissipada pelo atrito nesse processo?

Soluo (a) A energia mecnica neste sistema no conservada uma vez que existe foras de atrito. Mas, nocmputo das energias, a energia cintica do bloco , na maior parte, transformada em energia potencial elstica damola e o restante dissipada pelo atrito. Caso no existisse o atrito, da conservao da energia mecnica teramos

12 mv

2 12 kx2

onde x seria a deformao sofrida pela mola. Porm, com a presena do atrito, a energia cintica sofreria umavariao devido ao trabalho realizado por esta fora, dado por

W0x Fcx TPortanto, retirando a parcela da energia cintica que foi dissipada pelo atrito (isto equivale a adicionar no membro daequao de conservao o termo de variao T 0), temos

12 mv

2 T 12 kx2

ou12 mv

2 Fcx 12 kx2

Como Fc cmg, ento12 mv

2 cmgx 12 kx2

encontra-se

x cmg c2m2g2 kmv2k

x 0, 074 mx 0, 27 m

Como a soluo deve ser x 0, ento x 7, 4 cm.



PROBLEMA 14 Um pndulo afastado da vertical de um ngulo de 60 e solto em repouso. Para que ngulocom a vertical sua velocidade ser a metade da velocidade mxima atingida pelo pndulo?

Soluo Considere a figura abaixo. Da conservao da energia mecnica,E 12 mv

2 mgz constantevemos a velocidade mxima na posio da menor coordenada z. No caso da figura, esta posio corresponde aoponto B, que o mais baixo da trajetria da partcula. Assim, a velocidade vB neste ponto ser dada por

12 mvB

2 mgzB 12 mvA2 mgzA

Como zB 0 e vA 0 encontra-se12 mvB

2 mgzA vB 2gzAMas, tambm da figura, encontra-se que

zA l lcos60 l2Assim,

vB 2g l2 gl

onde l o comprimento do fio do pndulo.

l

zA

zC0

A

B

C

60

z

A'

C'

Vamos agora admitir que o ponto C tem velocidade vC 12 vB, ou seja, metada da velocidade mxima. A coordenda zCpode ser calculada em funo do ngulo

zC l lcos l1 cos.Aplicando a conservao da energia entre os pontos B e C, encontra-se

12 mvB

2 mgzB 12 mvC2 mgzC

ou, lembrando que zB 0 e vC vB212 mvB

2 12 mvB2

2 mgl1 cosou



12 mvB

2 18 mvB2 mgl1 cos 38 vB

2 gl1 cosComo vB gl

38 gl gl1 cos

38 1 cos cos 1

38

58

Ou seja,

arccos 58 51, 3


cap6- problemas resolvidos

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