Capítulo 3:Tensões em Vasos de Pressão de Paredes FinasCoeficiente de Dilatação TérmicaProfessor Fernando Porto

Resistência dos Materiais

Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas

• Vasos de pressão cilíndricos.

• Vasos de pressão esféricos.

Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas

• As paredes finas deste tipo de construção de vasos de pressão oferecem pequena resistência à flexão, de modo que podemos considerar que os esforços internos que atuam são tangenciais à superfície do vaso.

Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas: Vasos Cilíndricos

• Consideremos um vaso cilíndrico de raio interno r e parede de espessura t contendo um fluido sob pressão.

• Seja um pequeno elemento de parede, de lados relativamente paralelos e perpendiculares ao eixo do cilindro:

• As tensões normais s1 e s2 são as tensões principais.

• A tensão s1 é chamada de tensão tangencial, enquanto a tensão s2 é chamada de tensão longitudinal.

Tensão tangencial

Tensão longitudinal

Tensão tangencial

• Seja uma porção da parede do vaso:

s1.t.Dx

s1.t.Dx

p.(2r.Dx)

S

S

Tensão longitudinal

• Seja uma porção da parede do vaso:

s2.(2p.r.t)

p.(p. r2)

S

Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r

S

Atenção: verifica-se que a tensão tangencial s1 é o dobro da tensão longitudinal s2.

Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não ministrado, por isto não será apresentado o desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão cisalhamento máxima tmax tem igual valor à tensão longitudinal s2 :

Tensão de Cisalhamento

Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas: Vasos Esféricos

• Consideremos agora um vaso esférico de raio interno r e parede de espessura t contendo um fluido sob pressão.

• Por razões de simetria, as tensões exercidas nas 4 faces de um pequeno elemento da superfície da parede devem ser iguais:

• Para determinarmos o valor da tensão, passamos uma seção pelo centro C do vaso de pressão, considerando então o corpo livre constituído pela porção do vaso e seu conteúdo localizados à esquerda da seção:

• Somatório de forças em x é nulo: S

Atenção: esta é uma aproximação válida somente porque t << r

Através da aplicação do círculo de Mohr (ainda não ministrado, por isto não será apresentado o desenvolvimento aqui), verifica-se que a tensão cisalhamento máxima tmax tem metade do valor da tensão longitudinal s2 :

Tensão de Cisalhamento

Exemplo 1Seja um tanque de ar comprimido apoiado em 2 cavaletes como ilustrado. O corpo cilíndrico do tanque foi construído em chapa de aço de 10mm de espessura, enquanto que as calotas esféricas das extremidades empregam chapas de 8mm de espessura.

Para uma pressão interna de 1260kPa, determinar (a) a tensão normal e a tensão máxima de cisalhamento na calota esférica; (b) as tensões tangencial e longitudinal no corpo cilíndrico.

Quando for ministrado o conceito de círculo de Mohr, este ângulo poderá ser usado para calcular as tensões na solda.

Ângulo de solda

(a) Calota esférica: p = 1260x 103Pa; t = 8 x 10-3m; r = 0,4m

(b) Corpo cilíndrico: p = 1260x 103Pa; t = 10 x 10-3m; r = 0,4m

Coeficiente de Dilatação Térmica

• Nas estruturas estudadas até este ponto, consideramos que a temperatura permanecia constante durante o tempo de carregamento. Agora vamos considerar situações onde ocorrem variações de temperatura.

• Seja uma barra AB, homogênea e de seção transversal uniforme:

Superfície lisa “sem atrito”

• Se aumentarmos a temperatura em DT, notamos que a barra sofre um alongamento dT, o qual é proporcional tanto à temperatura, como em relação ao comprimento. Então:

a: coeficiente de dilatação térmica

Neste caso não existem tensões relacionadas com a deformação.

• Como DT, é expresso em unidades de temperatura, e L e dT, em unidades de comprimento, o coeficiente de dilatação térmica a é expresso em grau centígrado elevado a -1 (poderia ser expresso em qualquer outra unidade de temperatura).

• L [m]

• dT [m]

• DT [°C]

• a [°C-1] ou [1/°C]

• Vamos agora considerar que a barra AB de comprimento L foi colocada entre 2 anteparos fixos, não existindo tensões nesta condição inicial.

• Se elevada a temperatura DT, a barra deveria dilatar-se, mas os anteparos impedem esta dilatação. Assim sendo, passa a existir uma tensão interna relacionada à dilatação.

P P

Para determinar esta tensão, determina-se a força P capaz de deformar a barra de modo a compensar a dilatação da mesma, quando sob ação da variação de temperatura:

Como a deformação anula a dilatação, então:

Obs.: Esta equação somente é válida para barras homogêneas, de seção transversal uniforme.

Exemplo 2A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura é de +25°C. Determinar as tensões atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de -50°C.

Usar E = 200GPa e a = 12 x 10-6 /°C.

A = 400mm2A = 800mm2

300mm 300mm

Obs.: como a temperatura decai de +25°C para -50°C, a barra sofre uma contração, e não uma expansão.

O primeiro passo é determinar a variação de temperatura:

Dilatação dT correspondente ( L = 0,6m; a = 12 x 10-6 /°C )

A = 400mm2A = 800mm2

300mm 300mm

O sinal negativo é indicativo de que se trata de contração, e não de dilatação.

Dilatação causada pela aplicação de uma força:

A = 400mm2A = 800mm2

300mm 300mm

RB

A dilatação causada pela aplicação da força anula a contração:

A = 400mm2A = 800mm2

300mm 300mm

RB

Encontrada a força, determina-se as tensões:

A = 400mm2A = 800mm2

300mm 300mm

RB

Exercício 1Um tanque esférico de gás tem um raio interno de 1,5m. Se está sujeito a uma pressão interna de 300kPa, determine a espessura requerida para que a tensão normal máxima não exceda 12MPa.

Resposta: 18,8 mm

Ex. 8-1 9th ed.

Exercício 2Um tanque esférico de gás foi construído empregando-se chapas de aço de 0,5 polegada. Se sujeito a uma pressão de 200psi, determine seu raio para que a máxima tensão normal não exceda 15kpsi (15000 psi).

1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m

1 psi (libra por polegada quadrada) = 6894,76 Pa

Resposta: 75,5 pol. ou 1917,7 mm

Ex. 8-2 9th ed.

Exercício 3

O tanque do compressor da figura é sujeito a uma pressão interna de 90 psi. Se o diâmetro interno do cilindro é de 22 polegadas, e a espessura da parede, 0,25 polegadas, determine as tensões atuantes no ponto A.

Resposta: 3,96 kpsi e 1,98 kpsi ou 27,30MPa e 13,65MPa.

Ex. 8-4 9th ed.

A barra rígida CDE é presa ao apoio E por um pino, e se apoia no cilindro BD de 30mm de diâmetro. Um parafuso de 22mm de diâmetro passa por um furo na barra em C, e é fixo por uma porca simplesmente ajustada.

Continua...

Exercício 4

Resposta: 40,3MPa

Exercício resolvido 2.4 no livro texto 3ª. edição em português (biblioteca).

A montagem, feita à temperatura de 20°C, não leva nenhuma tensão à estrutura. A temperatura do cilindro de latão é aumentada para 50°C, enquanto o parafuso tem sua temperatura mantida constante. Pede-se determinar para essas condições as tensões no cilindro.

Barra AC: aço; E = 200GPa; a = 12 x 10-6 °C-1

Cilindro BD: latão; E = 105GPa; a = 18,8 x 10-6 °C-1

Exercício 4

Exercício 5

A montagem mostrada tem os materiais e dimensões como indicado. O conjunto foi fixado à 50°F sem tensões internas. Determine as tensões normais internas em cada material, quando a temperatura subir a 110°F.Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C86100, 17 x 10-6 °C-1; aço inox 304, 17 x 10-6 °C-1.

Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C86100, 103GPa; aço inox 304, 193GPa.

50°F = 10°C 110°F = 43,33°C

1 ft ou 1 pé = 0,3048 m1 polegada = 25,4 mm ou 0,0254 m

2014-T6 Alumínio

C 86100 Bronze

304 aço inox

12 pol. 8 pol.

4 pol.

Resposta: 2,46 kpsi; 5,52 kpsi; 22,1 kpsi ex. 4-69 9th ed.17,0Mpa; 38,1MPa; 152,4MPa

Exercício 6

A barra AB de latão vermelho C83400 e a barra BC de alumínio 2014-T6 são conectadas por uma junta em B, e fixadas às paredes. Ambas as barras tem área de seção transversal de 1,75pol2. Não há tensões quando a temperatura é de 50°F. Determine (a) as tensões normais em cada barra quando a temperatura subir para 120°F e (b) calcule o deslocamento da junta B.Coeficiente a: liga 2014-T6, 23 x 10-6 °C-1 ; liga C83400, 18 x 10-6 °C-1.

Módulo elasticidade E: liga 2014-T6, 75GPa; liga C83400, 101GPa.

120°F = 48,89°C

Resposta: 9,77 kpsi; 0,611 x 10-3 polegadas67,36Mpa; 0,0155mm ex. 4-68 9th ed.

• Resistência dos Materiais• Beer, Ferdinand P.; Johhston Jr.,

E. Russell; Editora Pearson Nakron Books, 3a. Ed., 2010

Fonte Bibliográfica