capitulo3 - tensões em sólidos - tensões de cauchy

8/16/2019 capitulo3 - Tensões em sólidos - tensões de Cauchy

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Tensões

TENSÕES

3.1 INTRODUÇÃO

A deformação de um sólido ocorre em consequência da aplicação de forças de

superfície e de volume ao sólido em questão. No caso, por exemplo, de forças de

superfície aplicadas a um sólido, como no caso da viga representada na figura 3.1, estas

forças são transmitidas ao sólido e a transmissão de forças ao sólido regida pelas leis

de Newton de conservação do oento linear e an!"lar, as quais condu!em "s

c#amadas equaç$es de equilí%rio est&tico de forças e momentos.

#i!"ra 3.1$ 'iga su(eita a forças de superfície.

)ara efeitos de quantificação do modo como ocorre a transmissão de forças nointerior de um sólido necess&rio introdu!ir a noção de tensão, como foi definida por

1

1x

*x ( )*1 x,x p



Tensões

+auc#, a qual fundamental para a %ec&nica dos S'lidos e representa a grande!a por

excelência a ser considerada na quantificação das forças de transmissão no interior de

um sólido.

Num corpo sólido tridimensional, como se representa na figura 3.*, cada parcela

do sólido deve estar um equilí%rio, uma parte do sólido pode ser isolada do resto do

sólido e o efeito do sólido circundante so%re a referida parcela do sólido, manifesta-se

atravs de forças que tendem a manter a parcela do sólido em equilí%rio.

& dois tipos fundamentais de forças a actuarem num sólido, as (orças

s")er(iciais /forças por unidade de superfície0 e as (orças de vol"e /forças por

unidade de volume0.

#i!"ra 3.*$ ólido no espaço.

As (orças de s")er(+cie são forças que resultam do contacto entre dois sólidos,

por exemplo, como se representa na figura 3.3. As forças transmitidas a uma placa por

uma saca de cimento assente so%re ela são forças superficiais.

As forças que resultam do peso do sólido como resultado do campo gravitico são

(orças de vol"e ou (orças de assa. As forças resultantes de interacção

electromagntica são forças de massa.

*

2

11

*1

31

3x

*x

1x n)

dA4

n4

n4t*)

'4

1)

3)

14



Tensões

#i!"ra 3.3$ 2orças superficiais.

Na superfície 14 do sólido ' representada na figura 3.*, existem forças

superficiais que tradu!em a acção de uma parte do sólido so%re a outra. Na superfície

14 considere-se uma &rea elementar, dA4, na vi!in#ança do ponto ). A normal " &rea

elementar designada por n, e o vector das forças de interacção na &rea elementar dA4

designado por n4t , sendo n4

t uma força por unidade de superfície. A força total

actuante na &rea elementar dA designada por n4t dA4 e não tem necessariamente a

direcção da normal " &rea elementar dA4.

+onsidere-se uma l5mina do sólido, como se representa na figura 3.6, a qual pode

ser considerada o%tida seccionando um sólido por dois planos paralelos. A espessura da

lamina considerada pequena quando comparada com as outras dimens$es da lamina e

designada por e sendo a dimensão no plano da ordem de grande!a de 7 e tal que 788e

como foi referido. A faceta 9superior: da lamina tem uma normal designada por n, e

est& su(eita a um campo de forças superficiais designado por n,t e a faceta 9inferior: da

lamina tem uma normal designada por −n, e est& su(eita a um campo de forças

superficiais designado por −n,t . As &reas totais das facetas superior e inferior são

designadas por Ω 4 e as &reas elementares por dΩ 4. ; contorno da l5mina

designado por Γ 4 e est& su(eito a forças designadas por 4Γ t . A força de massa por

unidade de volume designada por -,, sendo a força de massa por unidade de &rea

designada por d-,. As forças que actuam na l5mina devem estar em equilí%rio est&tico e

consequentemente

3

3x

*x

1x

*'

1'



Tensões

4 n4 n44 4 4 4e d 4 d 4 e d 4 <Γ −Γ Ω Ω Ω+ Ω + Ω + Ω =∫ ∫ ∫ ∫ t t t -, /3.10

#i!"ra 3.$ 7amina dum sólido de volume '4. eorema de +auc#.

+onsiderando que a espessura da l5mina tende para !ero, <→e , as forças 4e Γ t

e e -, tornam-se muito pequenas quando comparadas com as forças n4t e n4−t e a

equação 3.1 toma forma=

( )n4 n44d 4 <−Ω + Ω =∫ t t /3.*0

Atendendo a que a &rea Ω 4 das facetas superior e inferior da lamina ar%itr&ria,

para que se verifique a equação 3.*, o integrando deve ser nulo, ou se(a=

n4 n4−= −t t /3.30

>ste resultado con#ecido por /teorea reci)roco de 0a"c2/, exprimindo o

facto de as forças superficiais numa &rea de normal n, serem iguais e de sinal contr&rio

"s forças superficiais numa &rea de normal ? n,.

6

4tΓ

'4

n4t

n4t−

- n4

n4

4

3x 4

*x 4

1

x 4

4Ω



Tensões

3.* TENSOR DS TENSÕES

+onsidere o tetraedro de +auc# representado na figura 3.@ o qual tem vrtices na

origem do sistema de eixos de referência e nos pontos A, e +. ;s comprimentos dos

lados do tetraedro ao longo dos eixos são designados por 1 * 374 , 7 4 e 7 4 e as &reas das

faces contidas nos planos coordenados são designados por 1 * 3A4 , A 4 e A 4 e têm

normais 1 * 3, e− − −e, e, e, como se representa na referida figura. >ste tetraedro pode

considerar-se o%tido a partir de um sólido tridimensional por intercepção com o sólido

de três planos de referência e de um plano o%líquo que intercepta os planos de

referência segundo A, + e A+.

As &reas 1 * 3A4 , A 4 e A 4 são=

1 * 3 * 1 3 3 1 *

1 1 1A4 74 74 A4 74 74 e A4 74 74

* * *= = = /3.60

sendo o volume do tetraedro=

1 * 3

1'4 74 7 4 74

B=

com1 * 31 e4 * e4 3 e4

t t C t t e t t− − − − − −= = =

#i!"ra 3.4$ etraedro de +auc#.

A &rea da face o%líqua do tetraedro =

@

* *x4 ,e4

<

374

*7417 4

3A4

1A4*A4

A

+

1e 4−

3 3x4 ,e4

1 1x 4 ,e 4

*e4−

3e4− '4

1 1A4 t−

A

+

n4 n4A4 t

* *x4 ,e4

3 3x4 ,e4

1 1x 4 ,e 4

* *A4 t−

3 3A4 t−



Tensões

( ) ( )n4 * * 1 1 3 3 1 1

1 1A4 A A+ 74 74 74 74

* * = × = − × − n, e, e, e, e, /3.B0

ou se(a

n4 1 1 * * 3 3A4 A4 A4 A4= + +n, e, e, e, /3.D0

com

( )i i n4A4 . A4= n , e ,

As forças que actuam no tetraedro da figura devem estar em equilí%rio de acordo

com a 7ei de NeEton, no caso de se designar por #% a força de massa, a equação

vectorial de equilí%rio est&tico =

n4 n4 1 1 * * 3 3A4 A4 A4 A4 <− − −+ + + + =t t t t #% /3.F0

Guando se considerar 1 * 37 4 , 7 4 e 7 4 <→ , o termo que corresponde " força #%

tende para !ero e a equação 3.F toma a forma=

n4 n4 1 1 * * 3 3A4 A4 A4 A4 <− − −+ + + =t t t t /3.H0

ou se(a=

n4 n4 1 1 * * 3 3A4 A4 A4 A4− − −= − − −t t t t

Nestas condiç$es o c&lculo de n4t possível desde que se con#eçam as forças

1 1 * * 3 3A4 A4 A4− − −− − −t t t .Atendendo " equação 3.D, esta equação, 3.H, toma a forma seguinte=

( ) ( ) ( )n4 n4 1 1 n4 * * n4 3 3A4 . A4 . A4 . A4n 4− − −= − − −t n, e, t n, e, t n, e, t /3.1<0

endo em conta o teorema reciproco de +auc#, a equação 3.1< pode ser escrita

com a forma=

[ ] [ ] [ ]1 * 3n4 1 e4 * e4 3 e4

. . .= + +t n , e , t n , e , t n , e , t /3.110

ou ainda

( )i

3

n4 i e4i 1

.e4=

= ∑t n, t

endo em conta a definição de produto tensorial concluí-se que

[ ]i in4 i e4 e4 i

. = = ⊗ t n, e, t t e, n, /3.130

Iesignando por σ o produto tensorialie4 i

= ⊗ t e, o%tm-se=

=n, n,t σ /3.160

B



Tensões

onde σ representa o tensor das tens5es de 0a"c2. >sta fórmula con#ecida por

('r"la de 0a"c2.

As componentes do tensor das tens$es de +auc#, σ, tem componentes=

J (

3

i( i ( i e4 J ( i e4J 1

.= σ = = ⊗ =∑ e, e, e, t e, e, e, t /3.1@0

A componente σi( do tensor σ representa a componente i do vector das forças

superficiais (e4

t que actua na faceta com normal (e, como se representa na figura 3.B.

#i!"ra 3.6$ +omponentes do tensor das tens5es de 0a"c2.

Exemplo 3.1

O estado de tensão num ponto é I p−= , onde p é um escalar. Mostre que

não existe tensão de corte em nenhum plano que passe no referido ponto.

Solução:

A normal a um plano que passa pelo ponto é n* , então o vector tensão no referido

ponto t n* é:

D

3 3e4 ,x 4

* *e4 ,x 4

1 1e4 , x4

33σ

13σ

1*σ

*3σ3*σ

**σ

*1σ

3σ

11σ1t−

*t−

3t−



Tensões

n4 p p= = − = −t n, In,

consequentemente a tensão t n* tem a direcão da normal ao plano. !m estado de

tensão com estas caracter"sticas é um estado de tensão hidrost#tico.

Exemplo 3.2

$o sistema de eixos % & 'Ox* x* x* , o tensor das tensões num certo ponto tem

componentes

K)a

1<3

<<*

3*1

−

≈

a) (etermine o vector tensão e a )randea da tensão normal no referido ponto e

no plano paralelo ao plano

1 * 3x 4 *x 4 *x 4 B <+ + − =

b) +e for

( )L

1 1 * 3

1*e4 *e4 e4

3= + +e,

e ( )L

* 1 *

1e4 e4

*= −e,

determine a tensão,

%&σ .

Solução:

a) O plano + + − =% & '

x* &x* &x* - tem um versor da normal n* que é:

1,*,*=n,

; vector das tens$es =

n4

1 * 3 1 111 1

n * < < * *

3 33 < 1 * 1

= = = −

t σ

F



Tensões

ou

[ ]n4 1 * 3

111 * K)a

3= + +t e, e, e ,

A )randea da tensão normal é . .= =σ n* t n* n* n*

ou se/a:

( ) K)aH

*1*F11

H

1=++=σ

b) 0ara determinar as componentes da tensão %&σ , considere1se a equaão '.%2,

.=σ σ ∗ , ,

%& % &ee* ou se/a

[ ] K)a*3

@

<

1

1

1<3

<<*

3*1

1***3

11* =

−

−

=σ

Exemplo 3.3

As componentes do tensor das tensões num ponto de um s3lido são:

*

*

*

p gx 4 < <

< p gx 4 <

< < p gx 4

− + ρ ≈ − + ρ − + ρ

σ

onde p, ρ e ) são constantes. $a fi)ura '.4 representa1se um paralelep"pedo

elementar no interior do s3lido.

(etermine:

a) A distri5uião de tensões nas seis facetas do paralelep"pedo.

b) A fora resultante na faceta = =& %

x* e x* .

Figura 3.7: 6lemento no interior do s3lido.

H

1x

*x

3x

*x

1x;

c

%

a

a %



Tensões

Solução:

a) As tensões =t n* n* , nestas condiões para

1x 4 <= [ ]n4 1,<,<≈ − e [ ]n4 *

p gx 4 ,<,<= = − ρt n,

1x 4 a= [ ]n4 1,<,<≈ e [ ]n4 *

p gx 4 ,<,<= = − + ρt n,

*x 4 <= [ ]n4 <, 1,<≈ − e [ ]n4

<,p,<= =t n,

*x 4 %= [ ]n4 <,1,<≈ e [ ]n4

<, p g%,<= = − + ρt n,

3x 4 <= [ ]n4 <,<, 1≈ − e [ ]n4 *

<,<,p gx 4= = − ρt n,

3x 4 c= [ ]n4 <,<,1≈ e [ ]n4 *<,<, p gx 4= = − + ρt n,

b) $a faceta =&

x* , a fora total é:

( )1 n4 * *AdA p dA pac= = =∫ ∫ # t e, e,

$a faceta =%

x* a fora total é:

( ) [ ]*

* * 1 * 1 1A

g% c p - gx 4 dA p dA g x dA p%c

*

ρ= ρ = − ρ = − ∫ ∫ ∫

# e, e, e,

A ordem dos índices pode ser invertida e este tipo de notação considerada por

muitos comunicadores em >ngen#aria.

As componentes do tensor das tens$es designadas por σ σ σ11 ** 33, e são tens5es

norais e as restantes componentes do tensor das tens$es são tens5es tan!enciais o"

de corte. O tensor das tens5es de 0a"c2 pode ser representado pelas suas

componentes

≈

=

σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ

σ11 1* 13

*1 ** *3

31 3* 33

i( /3.1B0

; vector n4t que representa as forças superficiais na faceta o%líqua de normal, n,,

do tetraedro de +auc#, pode ser representado pelas suas componentes normal, σn, e

tangencial τ,, como se representa na figura 3.F. >ste plano o%líquo do tetraedro de

1<



Tensões

+auc# pode representar um elemento plano de orientação ar%itr&ria num sólido

tridimensional. As componentes do vector n4t são designadas por σ e τ, ou se(a=

n4 = σ + τt n, , /3.1D0

A componente normal, σ e a componente tangencial, τ, podem o%ter-se a partir do

vector n4t e dos versores da normal e tangente ao plano, n, e ,, o%tendo-se as

relaç$es seguintes=

n4. .σ = =n , t n , n , /3.1F0

#i!"ra 3.7$ ensão normal e tangencial.

A componente tangencial do vector n4t pode ser o%tida a partir do vector

n4 =t n, e da componente normal, ou se(a=

τ = −σ, n, n, /3.1F0

endo

τ = −σn, n, /3.1H0

e

( )1

m4 = −στ

n , n , /3.*<0

A representação mais frequente para o estado de tensão num ponto atravs dotensor das tens$es σ.

11

n 4σ

n4t

m 4τ

*x 4

3x 4

1x 4

3e 4

*e 4

1e4

'

n4t



Tensões

)ara os estados de tensão mais simples, os quais estão representados na figura 3.F,

para um sólido elementar tridimensional, o tensor das deformaç$es toma as formas

seguintes=

= p I 2igura 3.F a0

[ ]1 1= σ ⊗e, e, 2igura 3.F %0

[ ]* 1 1 *= τ ⊗ + ⊗e, e, e, e, 2igura 3.F c0

No caso da pressão #idrost&tica a grande!a do vector n4t , em qualquer plano que

contm o ponto e cu(a normal n,, igual " pressão aplicada p.

#i!"ra 3.8$ >stados de tensão simples.

3.3 9:ORES ;RIN0I;IS DO TENSOR DS TENSÕES

M semel#ança de que acontece com o tensor das deformaç$es #& valores e

direcç$es privilegiadas no espaço que correspondem a valores extremos da função

n,.σn, su(eita " restrição n,. n, < 1. A restrição necess&ria para assegurar que a

procura efectuada considerando vectores unit&rios. ; lagrangeano do pro%lema da

optimi!ação com restriç$es dado por

( ) ( )7 n4, 1µ = − µ −n , . n , n , . n , /3.*10

1*

* pe4 1

pe4

3 pe 4

3

pe4−

1 pe4−1e 4σ 1e 4σ

1e4−σ

1e4σ

*e4−σ *e 4σ



Tensões

onde µ o multiplicador de 7agrange. A condição necess&ria de extremo o%tida

derivando o 7agrangeano em ordem a n, e µ. A derivada em ordem a µ irrelevante

uma ve! que condu! " restrição e a derivada 7∂ ∂n, condu! ao sistema de equaç$es=σ

n, µ n, /3.**0

rata-se, portanto de um pro%lema de valores e vectores próprios, sendo o

processo de o%tenção destes valores semel#ante ao considerado para as deformaç$es.

iiii σ ==µ 4.4 nn σ /3.*30

;s planos principais são os planos nos quais a componente tangencial da tensão

nula, ou se(a tais que=

i i i i <τ = −µ =n, n, /3.*60

; processo de c&lculo de i ieµ n, an&logo como (& foi referido ao processo de

c&lculo dos valores e vectores principais do tensor das deformaç$es.

Exemplo 3.4

7onsidere um estado de tensão num ponto tal que:

σσσσ

≈<<<

<

<

**1*

1*11

e determine

a) Os valores principais e as respectivas direcões.

b) A tensão de corte m#xima.

Solução:

a) A equaão caracter"stica é:

( ) <*1***11**11

* =σ+σσ+µσ+σ−µµ

7onsequente

( )

*

6 *1*

***11**11

11

σ+σ−σ+σ+σ=µ=σ

( )*

6 *

1**

**11**11** σ+σ−σ−σ+σ=µ=σ

13



Tensões

<33 =µ=σ

0ara o5ter as direcões principais considera1se o sistema de equaões

( )i( i( (n 4 <σ − µδ =

com &% ou σ µ σ µ == , este sistema de equaão é:

( )11 1 1* *n4 n 4 <σ − µ +σ =

( )1* 1 ** *n 4 n 4 <σ + σ − µ =

3 3n 4 < n 4 <−µ = ⇒ =

$as outras equaões faendo−

= ⇒ − = − %%

% &

%&

n* % o5tém se n* σ µ

σ .

O vector

σµ−σ− <,,1

1*

11 não é unit#rio, e tem dimensão ( )

*1*

*111σ

σ−µ+

consequentemente o versor da direcão correspondente é:

( )

σ

µ−σ−

σ

σ−µ+

<,,1

1

1

1*

11

*1*

*11

com *1 ou σσ=µ .

b) !ma ve que a terceira tensão principal é sempre ero, a tensão de corte

m#xima é:

( )

*

6

*ou

*ou

*

*1*

***11*1*1 σ+σ−σ

=

σ−σσσ

Exemplo 3.5

7onsidere o tensor das tensões:

K)a

<<<

<<1<<<

<1<<<<

≈σ

e determine:

a) Os valores principais e as respectivas direcões.

16



Tensões

b) A tensão de corte m#xima.

Solução:

a) Os valores principais são

( )K)a1<

*

6 3*1*

***11**11

1 =σ+σ−σ+σ+σ

=σ

( )<eK)a1<

*

63

3*1*

***11**11

* =σ−=σ+σ−σ−σ+σ

=σ

6 as direcões principais são:

[ ]1

1

1,1,<*=n,

[ ]*

11, 1, <

*= −n,

[ ]3

1<,<,1

*=n,

b) As poss"veis tensões m#ximas são

K)a1<*

1<*ou

*

1<ou

*

1< 3333

=×

7onsequentemente a tensão de corte m#xima é K)a1<3 .

3. E=UÇÕES DE E=UI:>-RIO

+onsidere-se o sólidoV*, representado na figura 3.1<, cu(a fronteira designada

por S*, a qual tem função normal ( ),?n4 em cada ponto ?,. ; sólido est& su(eito

a forças superficiais ( )n4t ?, e as forças de massa ( )- ?, , para que o sólido este(a em

equilí%rio necess&rio que

( ) ( )n44 '4d A4 d '4 <+ =∫ ∫ t ?, - ?, /3.*@0

ou se(a a soma de todas as forças que actuam no sólido deve ser igual a !ero para que

exista equilí%rio est&tico. endo em conta a ('r"la de 0a"c2 a equação anterior

toma a forma

1@



Tensões

( ) 'dA d' <+ =∫ ∫ n, -, ?, /3.*B0

#i!"ra 3.1@$ ólido su(eito a forças superficiais e de massa.

endo em conta o teorema da divergência1 para um campo tensorial a equação

anterior toma a forma

( ) ( )'4 '4 '4div d ' 4 d ' 4 div d ' 4 <+ = + =∫ ∫ ∫ - , ? , - , /3.*D0

)ara que este integral se(a nulo necess&rio que o integrando tam%m o se(a,

o%tendo-se assim as equaç$es de equilí%rio que são=

div σ O -, < /3.*F0

ou se(a considerando as componentes da divergência de σ e de -<4 i (,i( =+σ /3.*H0

que corresponde a três equaç$es de equilí%rio de forças segundo as direcç$es dos eixos

coordenados.

; equilí%rio de momento angular implica que se(a=

n4s4 v4d A4 d '4 <× + × =∫ ∫ r t r -, /3.3<0

onde ( ),?r representa o vector 4O0 sendo ; a origem do sistema de eixos e

)4 o ponto cu(o vector de posição ?,.

; integral de superfície pode ser convertido num integral de volume considerando

um campo vectorial e calculando o produto escalar

( ) 1,nr .× e integrando ao longo da superfície, ou se(a=

1

∫ ∫ = 44 444 v+ 8 d div Ad n

1B

( )n 4 x 4

( )n4 x 4

n4 /x40 ( ) x 4' 4

4



Tensões

( ) ( ) ( ) =×=×=× ∫∫∫ 4

3

44 44.44.4.4 sv s Ad Ad Ad nr1nr11nr

/3.310

( )[ ]∫ ×=4

4divv

T 8 d r

ou se(a atendendo a que [ ]div div v v v= + ∇. , a equação 3.31, toma a forma=

( ) ( ) ( )'4 v4div d '4 . div = d '4 × = × + ∇ × ∫ ∫ r r rσ σ /3.3*0

endo em conta a equação 3.31 e o resultado aca%ado de o%ter 3.3*, a equação de

equilí%rio de momentos toma a forma

( ) ( ) ( )v4 '4. div d ' 4 = d ' 4 <× + + ∇ × =∫ ∫ 1 r - , 1 r /3.330

endo em conta a equação de equilí%rio de forças div σ O - <, o 1P termo da

equação anterior nulo e a equação de equilí%rio de momento, 3.33, toma a forma=

( ) ( )[ ] [ ]∫∫∫ =×=×∇=×∇4'

( (4v

3

4v<4'd44.4'dtr4'd= ee1r1r1

/3.360

endo em conta a necessidade de ser nulo o integrando para que este integral se(a

nulo, o%tm-se=

<44 ( ( =× ee /3.3@0

ou se(a desenvolvendo

( ) ( ) ( )44*11**133113**3

σ−σ+σ−σ+σ−σ ee

/3.3B0

>sta equação implica a simetria do tensor das tens$es, σ, isto = .

Nestas condiç$es o tensor das tens$es tem seis quantidades independentes.

1D



Tensões

;s resultados relevantes são a fórmula de +auc# e as equaç$es de equilí%rio que

podem ser escritas com as formas representadas no quadro 3.3D.

44n

nt = i (i(4n 44t enσ=

divσ

O -, < ( )i(, ( i i4 e4 <σ + =

= σ σi( (i=

As duas Qltimas equaç$es tradu!em condiç$es de equilí%rio e a primeira equação

relaciona tens$es com forças superficiais. ; tensor σ o tensor das tens$es de +auc#.

>ste tensor um tensor na configuração deformada do sólido.

Exemplo 3.

7onsidere o tensor das tensões

( )

( )

( )

* * *

* 1 * 1 *

* * *

n4 1 * 1 * 1

* *

1 *

x 4 x 4 x 4 * x 4 x 4 <

* x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 <

< < x 4 x 4

+ν − − ν σ = − ν +ν − ν +

e verifique se se trata de um estado de equil"5rio.

Solução:

1( 1311 1*

1 1

( 1 * 3

* x 4 * x 4 < <x 4 x 4 x 4 x 4

∂σ ∂σ∂σ ∂σ= + + = ν − ν + =

∂ ∂ ∂ ∂

* ( *3*1 *** *

( 1 * 3

* x4 * x 4 < <x 4 x 4 x 4 x 4

∂σ ∂σ∂σ ∂σ= + + = − ν + ν + =

∂ ∂ ∂ ∂3( 31 3* 33

( 1 * 3

<x 4 x 4 x 4 x 4

∂σ ∂σ ∂σ ∂σ= + + =

∂ ∂ ∂ ∂

Trata1se de um estado de equil"5rio na aus9ncia de foras de massa.

3.4 TENSORES DE ;IO:ABIR0CCO##

1F



Tensões

No caso de ser con#ecida a função de deformação ( )xφ possível definir as

quantidades relevantes na configuração deformada e na configuração não deformada. ;

tensor de +auc# um tensor na configuração deformada, pode no entanto o%ter-se

tensores das tens$es na configuração inicial desde que se con#eça a função ( )xφ

.+onsidere-se um sólido tridimensional na configuração inicial e deformada como

se representa na figura 3.11, sendo o elemento de &rea dA, da configuração inicial

relacionado com o elemento de &rea dA4, da configuração deformada. ;s vectores das

forças superficiais nesses elementos de &rea são,4nn

ett , estes vectores e as

respectivas &reas podem considerar-se relacionados entre si atravs da transformação de

)iola. +onsidere-se 4nn ett tais que=

n n4dA dA4=t t /3.3F0

#i!"ra 3.11$ uperfície inicial e deformada.

; vector t n uma força superficial por unidade de &rea da configuração inicial e

t ,n uma força superficial por unidade de &rea da configuração deformada. endo em

conta a ('r"la de 0a"c2, 44n nt = , onde σ o tensor das tens$es

de +auc# e a transformação de )iola segundo o qual

Ad R4Ad 4 3n#n

−= , sendo R det #, a equação

3.3F pode ser escrita com a seguinte forma=

AdR4Ad44AdAd

4nn n#ntt −===

/3.3H0

1H

( )xφ

dA 4n 4n4t d A4

*x 4

1x 4

3x 4

dAnt dA

*x

1x

3x

'

n

( )φ

( )'φ



Tensões

; 1 tensor de ;iolaABirco(( que pode ser designado por ; um tensor que se

o%tm, considerando que t ; nn = e tal que dARdA n n#t

−=

, ou se(a=

; #= −R /3.6<0

onde R det #As componentes do 1P tensor de )iola-Sirc##off são definidas em termos dos

tensores %ase, (i e4 ee , como sendo=

(ii( 4) ee; ⊗= /3.610

As equaç$es de equilí%rio na configuração deformada são o resultado do

equilí%rio est&tico de forças que se tradu! pela equação=

( )( ) ( )( )n4A 'd A4 d '4 <φ φ+ =∫ ∫ t ?, - ?, /3.6*0

endo em conta que d'4 /x0d' sendo d'4 na configuração deformada e d'

na configuração inicial e que o princípio de conservação da massa implica que se(a=

( ) ( ) ( )' 'd'4 d'φ =∫ ∫ - , ? , - ? /3.630

onde

( ) ( ) ( ) ( )1x 4 ou x −= =- - ? - - ?, /3.660

e det#/x08<a equação 3.6*, pode ser transformada atendendo " equação 3.3F na seguinte igualdade

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n4 nA ' A 'dA 4 d'4 dA dv <φ φ+ = + =∫ ∫ ∫ ∫ t ? , - , ? , t ? - ? /3.6@0

sendo as equaç$es de equilí%rio na configuração deformada escritas com a seguinte

forma=

( )( ) ( )( )n4A 'd A4 d '4 <φ φ+ =∫ ∫ t ?, ?, /3.6B0

e as equaç$es de equilí%rio na configuração inicial escritas com a seguinte forma=

( ) ( ) <'d xAd 'A

n =+∫ ∫ -?t

/3.6D0

ou se(a tendo em conta que ( )t ; . nn x = , esta equação pode ser escrita com a seguinte

forma=

( )∫ ∫ =+'A

<dvAd ?-n.;

ou se(a( ) (divdv'd div

'''=+ ∫ ∫ ∫ ?-;

/3.6F0.

*<



Tensões

; integrando tem de ser nulo " semel#ança do que acontecia no caso da

configuração deformada e consequente as equaç$es de equilí%rio local podem ser

escritas com a seguinte forma=

div ; O - < /3.6H0

As equaç$es de equilí%rio e a fórmula equivalente " fórmula de +auc# na

configuração inicial são as que se representam na Guadro 3.@<.

t nn = ; t )n i( ( i= n e

div ; O - <

<eA) ii (,i( =+

; # # ;

− −=

) 2 2 )i( J( i( J(=

onde ; representa o 1 tensor de ;iola Birco(( .

A fim de relacionar as tens$es de +auc# com o *P tensor de )iola Sirc##off,

considere-se a grande!a tra%al#o virtual, tal que

i ' '4T = d' = d'4= δ = δ∫ ∫ E E,

σ /3.@10

ondeσ

representa o tensor de +auc#, ,Eδ o incremento linear da deformação de

Almansi ou >uler, o tensor de )iola Sirc##off e δE o incremento da deformação

de Ureen.

+onsiderando que d'4 R d' det 2 d' a equação 3.@1 toma a forma=

i '4 ' ' 'T = d'4 = d' = d' = d'= δ = σ δ = δ = δ∫ ∫ ∫ ∫ E, E, E, E

τ ∑ /3.@*0

onde τ < σ representa o tensor das tens$es nominais ou de Sirc##off.

endo em conta que

>4 −δ = δ A1# E#

1

; tra%al#o virtual toma a forma=

i ' vT = d' R = d' = d'− = δ = δ =∫ ∫ ∫

A1 E, # E E#σ ∑ δ

1

1

1 u u 1 u u> e >4

* x x * x 4 x 4

∂δ ∂δ ∂δ ∂δ δ = + δ = + ∂ ∂ ∂ ∂

u u x 4 u.2

x x 4 x x 4

∂δ ∂δ ∂ ∂δ= =

∂ ∂ ∂ ∂ ou se(a 14 − −δ = δE # E#

1 A=+=+A+=A ==

*1



Tensões

Ionde se conclui que

.1

##E

= e 1 −−= ##E

; * tensor de ;iola Birco(( definido do seguinte modo=

= =− − −# ; # #

1 1R /3.@*0

sendo det #.

; significado físico do tensor não tão claro como o significado dos tensoresσ

e ;, mas tem algumas vantagens no c&lculo. ; segundo tensor de )iola Sirc##off tem

componentes Σi(, ou se(a=

[ ]= ⊗Σi( i (e e /3.@30

sendoe e

i (e

versores na configuração inicial do sólido.)odem referir-se mais tensores das tens$es, mas os tensores referidos são os mais

frequentes nos c&lculos de >ngen#aria. ;s tensores de )iola Sirc##off tornam-se

relevantes na construção de 7eis +onstitutivas e são frequentemente utili!ados nos

c&lculos em >ngen#aria.

Exemplo 3.7

A confi)uraão deformada de um s3lido é:

1 1 * * 3 3

1 1x 4 6x x 4 x e x 4 x

* *= = − = −

O tensor das tensões de 7auch é:

K)a

<<<

<<<

<<1<<

a) (etermine o %; tensor de 0iola <irchhoff.

b) (etermine o &; tensor de 0iola <irchhoff.

**



Tensões

Solução:

a) O )radiente de deformaão F é:

−

−≈

−

−≈

*<<

<*<

<<6V1

e

*V1<<

<*V1<

<<61A

##

o det = > %.

O %; tensor de 0iola <irchhoff é:

2det

−= #;

ou se/a

( ) K)a

<<<

<<<

<<*@

*<<

<*<

<<6V1

<<<

<<<

<<1<<

1

=

−

−

−

≈;

b) O &; tensor de 0iola <irchhoff é:

;# 1−

=

K)a

<<<

<<<

<<6V*@

<<<

<<<

<<*@

*<<

<*<

<<6V1

=

−

−≈

!"#$%E&'S !"#!#S(#S 3

*3



Tensões

1. +onsidere o tensor das tens$es de +auc#,σ

, num ponto de um sólido, cu(as

componentes são=

−−

−

−

≈

113F

3<3

F3@

e considere um plano cu(a normal n, fa! 5ngulos iguais com os eixos coordenados e

determina=

aF ; vector n4t C

GF A componente normal do vector n4t C

cF A componente de corte do vector n4t .

*. Ietermine os valores e direcç$es principais do tensor

−−

−

≈

<<<

<1<@

<@*<

3. ; tensor das tens$es desvio σH um tensor tal que tr σH <. >ste tensor pode ser

o%tido a partir do tensorσ

su%traindo a pressão #idrost&tica p 1V3 # /σ

0 a cada

elemento da diagonal de σ, ou se(a

σH σ - p I

aF Kostre que trσ

H <C

GF Kostre que as direcç$es principais deσ

eσ

H são coincidentes e que os valores

principais de σH diferem dos valores principais de σ de uma quantidade igual a

p.

. +onsidere o tensor das tens$esσ

cu(as componentes são=

K)a

1<3

<61

31*

−

−

−

≈

aF Ietermine o vector tensão n4t num plano cu(a normal tem a direcção

1 * 3

* *+ +e, e, e, .

*6



Tensões

GF Ietermine as componentes do referido vector na direcção normal e na

direcção tangencial.

4. A distri%uição de tens$es num corpo dada por

−

−≈

<<x1<<

<<x1<<

x1<<x1<<<

*

1

*1

Ietermine o vector de tensão no plano que passa no ponto ( )3,*V3,*V1 e tangente

" superfície cilíndrica 1xx **

*1 =+ no referido ponto.

6. ;s tensores

K)a

*<<B<

<1<<1<<

B<1<<6<

eK)a

@<3<6<

3<*<<

6<*<<1<<

−−

−

não representam o mesmo tensor das tens$es, (ustifique.

. +onsidere a distri%uição de tens$es definida pelo tensor

( )

( )

−

+

≈

3

*1*11*

*11**1

x<<

<x*xx,x

<x,xxx

aF Ietermine 1* de tal modo que a esta distri%uição de tens$es este(a em

equilí%rio na ausência de forças de massa.

GF Ietermine o vector tensão no plano 1x1 = .

7. ;s invariantes do tensorσ

são o%tidos a partir das seguintes express$es=

JJ 1 tr W σ==

( ) ( )[ ] [ ]i(i( ((ii**

**

1tr tr

*

1W σσ−σσ=−=

Jn (mimni(J 3B

1detW σσσεε==

Kostre que 3*1 WeW,W são invariantes com respeito a uma mudança de %ase

ortogonal.

8. Ietermine as express$es das derivadas seguintes dos invariantes em relação "s

componentes do tensor das tens$es.

*@



Tensões

i(

3

i(

*

i(

1 We

W,

W

σ∂

∂

σ∂

∂

σ∂

∂

Note-se que (nimmni( V δδ=σ∂σ∂

1@. ; estado de tensão num ponto caracteri!ado pelo tensorσ

cu(as componentes são=

−

−

≈

F<<

<66

<66

+onsidere os vectores n, e , tais que

( ) ( )1 * 3 1 *

1 1e

3 *= − − = +, e, e, e, n, e, e ,

aF ;s vectores ,e n, são vectores próprios de σX

GF Ietermine os valores próprios do tensorσ

e diga o que representam.

-I-:IOJR#I

Y1Z - T. Kic#ael 7ai, Iavid [u%in and >r#ard Srempl, Wntroduction to +ontinuum

Kec#anics. )ergamon )ress.

Y*Z - 7. >. Kalvern, Wntroduction to t#e Kec#anics of a +ontinuous Kedium. )rentice

all.

capitulo3 - tensões em sólidos - tensões de cauchy

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