ipaee capitulo3 1

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CC EE NN TT RR OO DD EE CC II ÊÊ NN CC II AA SS EE XX AA TT AA SS EE DD EE TT EE CC NN OO LL OO GG II AA

DD EE PP AA RR TT AA MM EE NN TT OO DD EE EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA

IINN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO AA OO PPLL AA NN EE JJ AA MM EE NN TT OO EE AANN ÁÁ LL II SS EE

EESS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA DD EE EEXX PP EE RR II MM EE NN TT OO SS

CC AA PP ÍÍ TT UU LL OO ## 33

IINN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO AA PPRR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE EE AA

IINN FF EE RR ÊÊ NN CC II AA EESS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA

PP RR OO FF .. PP EE DD RR OO FF EE RR RR EE II RR AA FF II LL HH OO

PP RR OO FF aa .. EE SS TT EE LL AA MM AA RR II SS PP .. BB EE RR EE TT AA

22 ºº SS EE MM EE SS TT RR EE DD EE 22 00 11 00

Capítulo 3 – Introdução a Probabilidade e a Inferência Estatística

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 2o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 2

33 .. II NN TT RR OO DD UU ÇÇ ÃÃ OO AA PP RR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE EE AA II NN FF EE RR ÊÊ NN CC II AA

EE SS TT AA TT ÍÍ SS TT II CC AA ::

33 .. 11 .. PP RR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE SS ::

Sabemos que alguns fenômenos são previsíveis. Por exemplo, se jogarmos várias vezes uma

moeda de determinado lugar e medir a velocidade da queda, os resultados serão sempre iguais. O

fenômeno e previsível porque obedece a uma lei da física. Então, existe determinismo.

Outras vezes, o fenômeno e imprevisível, mas tem um padrão a longo prazo. Por exemplo,

você não sabe se a próxima criança que ira nascer na cidade será menino ou menina, mas sabe que

no decorrer deste ano nascerão meninos e meninas quase na mesma proporção.

Muitos dos fenômenos que observamos podem ser repetidos. As repetições são independentes

- no sentido que o resultado de uma não tem efeito sobre o resultado de outra - e tem um padrão

de comportamento previsível a longo prazo. E o que acontece, por exemplo, no jogo de dados, no

jogo de cartas, na roleta.

O estudo de probabilidades começou com os jogos de azar. As pessoas queriam entender a

"lei" que rege esses jogos para ganhar dinheiro nos cassinos. Os matemáticos acabaram

descobrindo que não e possível prever, por exemplo, se vai ocorrer a face 6 em determinado

lançamento de um dado. Podemos apenas descobrir, por observação, que a face 6 ocorre 1/6 das

vezes no decorrer de muitas jogadas.

Hoje a probabilidade é importante para outras coisas, além - é claro – dos jogos de azar. Muitos

fenômenos naturais e artificiais são probabilísticos, no sentido de que eles não são previsíveis a

priori, mas tem padrões de comportamento à longo prazo. É o caso dos estudos de genética,

baseados na observação de Mendel de que, dados os pais, as características da geração seguinte não

são determinísticas, mas tem padrões de comportamento que já estão sendo descobertos. A emissão

de partículas radioativas ocorre ao acaso ao longo do tempo, mas com um padrão que ajudou a

sugerir a causa da radioatividade.

A idéia de probabilidade é, pois, essencial em qualquer ramo de conhecimento. Mesmo no

futebol se concorda que jogar uma moeda para decidir quem começa o jogo evita o favoritismo. Pela

mesma razão, os estatísticos recomendam amostras aleatórias (todos os elementos da população

tem igual probabilidade de pertencer a amostra), uma versão sofisticada do jogo de moedas. O

favoritismo em escolher pessoas para uma amostra é tão indesejável como dar a bola para um dos

times começar o jogo.

É importante você notar que, nos dois casos, ocorreu a introdução deliberada do acaso na

escolha. Jogar uma moeda para decidir quem começa o jogo ou escolher uma amostra aleatória tem



o mesmo sentido, isto é:

•••• o resultado não é previsível de antemão;

•••• existe um padrão de comportamento a longo prazo.

33 .. 11 .. UU MM AA DD EE FF II NN II ÇÇ ÃÃ OO DD EE PP RR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE ::

Antes de definir probabilidade, vamos entender que cada resultado possível de um fenômeno

aleatório é um evento. Os eventos têm diferentes atributos, ou seja, tem aspectos diferentes que os

distinguem entre si.

Definição 1: Se são possíveis n eventos mutuamente exclusivos e igualmente prováveis, se nA

desses eventos tem a atributo A, então a probabilidade de A é dada pela razão nA / n.

Exemplo 1.

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6, quando se joga um dado equilibrado?

Solução:

Quando se joga um dado equilibrado, ocorre um de 6 eventos mutuamente exclusivos e igualmente

prováveis; logo, a probabilidade de ocorrer 6 é 1/6.

A definição clássica de probabilidade não é valida logicamente porque é circular, isto é, ao exigir

que os n eventos possíveis sejam igualmente prováveis, estamos utilizando o conceito de

probabilidade que pretendemos definir.

Mas é importante entender que a definição clássica de probabilidade não faz sentido a menos

que possamos imaginar muitas repetições independentes do fenômeno. Quando dizemos que a

probabilidade de sair cara num jogo de moeda é 1/2, estamos aplicando, a um único lançamento de

uma única moeda, a medida de chance que teria sido obtida se tivéssemos feito uma longa serie de

jogadas. Vem dai a próxima definição de probabilidade.

Definição 2: Freqüência relativa do evento A é a razão entre o número de vezes em que ocorreu A

(nA) e o número de eventos observados (n).

É importante você entender que, se em uma longa seqüência de repetições do fenômeno, nas

mesmas condições, a freqüência relativa de um evento se aproxima de um numero fixo, esse número

é uma estimativa da probabilidade de o evento ocorrer. Mas os matemáticos ainda exigem dois

axiomas:



•••• a probabilidade de um evento é um valor entre 0 e 1;

•••• se cada evento de um fenômeno aleatório pode ocorrer com determinada probabilidade, a

soma dessas probabilidades é igual a 1.

Exemplo 2.

Qual é a probabilidade de ocorrer face 6 quando se joga um dado que não é equilibrado (os seis

eventos possíveis não são igualmente prováveis)?

Solução:

Se o dado não é equilibrado, para obter a probabilidade de ocorrer face 6 devemos lançar o dado um

número suficientemente grande de vezes e dividir o número de vezes que saiu 6 pelo número de

lançamentos feitos.

Na prática, o conceito de probabilidade como limite de uma freqüência relativa é bastante útil.

Alis, as casas de jogos e as companhias de seguros dependem da estabilidade das freqüências

relativas.

O maior inconveniente da definição de freqüência relativa como estimativa de probabilidade é o

fato de ela se limitar aos casos em que o número de eventos observados pode crescer

indefinidamente. Então afirmativas como "a probabilidade de o Brasil ganhar a próxima Copa é 0,95"

não são validas? São desde que se entenda que a freqüência relativa não é a única estimativa

importante de probabilidade.

33 .. 22 .. MM OO DD EE LL OO SS DD EE PP RR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE ::

No capítulo definimos alguns procedimentos gráficos e numéricos para descrever o

comportamento de uma dada característica (variável) presente no nosso estudo. Sob ponto de vista

da probabilidade, este comportamento da variável em estudo é definido como a distribuição da

mesma. Na identificação da distribuição dos dados, considerando que na maioria dos casos nosso

interesse está concentrado no estudo de variáveis quantitativas, o histograma se constitui num

instrumento de grande importância na identificação de um modelo adequado aos dados.

Se traçarmos uma curva sobre o histograma observado podemos ter uma boa descrição geral

dos dados. A curva obtida é um modelo matemático para a distribuição, ou seja, é uma descrição

idealizada, que oferece uma imagem concisa do padrão geral dos dados, mas ignora irregularidades

de menor importância, bem como a presença de valores atípicos.



Figura 3.1. Histograma e uma curva da distribuição

A figura 3.1 apresenta o histograma do peso, em kg, de 1500 pessoas adultas selecionadas

ao acaso em uma população. O peso apresenta uma distribuição muito regular. O histograma é

simétrico e decresce suavemente a partir de um pico central úniiccoo nnaa ddiirreeççããoo ddee aammbbaass aass ccaauuddaass.. AA

ccuurrvvaa ssuuaavvee ttrraaççaaddaa aattrraavvééss ddoo ttooppoo ddaass bbaarrrraass ddoo hhiissttooggrraammaa éé uummaa bbooaa ddeessccrriiççããoo ddoo ppaaddrrããoo ggeerraall

ddooss ddaaddooss..

A análise do histograma indica que:

•••• a distribuição dos valores é aproximadamente simétrica em torno de 70kg;

•••• a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo (55;85);

•••• existe uma pequena proporção de valores abaixo de 48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).

Uma curva com uma forma apropriada é geralmente, uma descrição adequada do padrão

geral de uma distribuição. Evidentemente que nenhum conjunto de dados reais é descrito

exatamente por uma dessas curvas, mas sim se constitui em uma boa aproximação de fácil utilização

e com precisão suficiente para ser considerada na pratica.

Sabemos que características (variáveis) em estudo para determinados problemas apresentam

um mesmo padrão de comportamento. Portanto estas variáveis podem ser aproximadas por uma

mesma curva, exceto por seus valores de referência, como por exemplo, ponto central, dispersão...



Dizemos então que variáveis que apresentam um mesmo padrão de comportamento seguem

um mesmo modelo (ou distribuição) de probabilidade. Um modelo de probabilidade pode então

ser definido como uma descrição matemática de um fenômeno aleatória (ou variável aleatória de

forma mais formal).

Os modelos ou distribuições de probabilidade são classificados em dois tipos: modelos

discretos ou modelos contínuos.

Os modelos discretos são adequados a variáveis que podem assumir um número finito ou

enumerável de valores enquanto que os modelos contínuos estão relacionados às variáveis que

podem assumir infinitos valores.

Alguns modelos de probabilidade mais conhecidos são:

Tipo de Modelo Modelo Característica Discretos Binomial Variável em estudo somente pode assumir dois

possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um é constante.

Poisson A variável observada identifica o resultado de uma contagem no experimento (número de insetos em uma determinada área, por exemplo).

Geométrico Número de experimentos necessários até a ocorrência de um dado resultado de interesse.

Binomial Negativa

Número de experimentos necessários até a ocorrência de certo número de vezes do resultado de interesse.

Hipergeométrico Variável em estudo somente pode assumir dois possíveis valores em cada uma das n repetições do experimento e a probabilidade de ocorrência de cada um não é constante (usualmente experimentos sem reposição).

Contínuos Uniforme A variável pode assumir, com igual probabilidade, qualquer valor em um intervalo, região,...

Exponencial A variável observa o tempo necessário até a ocorrência de um determinado resultado de interesse.

Normal Variáveis com distribuições simétricas em relação a um ponto central.

Muitos outros modelos de probabilidade são conhecidos e adequados a determinados tipos

específicos de variáveis em função das características das mesmas. Essas distribuições podem ser

encontradas, por exemplo, em: Estatística Básica, Pedro Morettin e Wilton Bussab, Editora Saraiva.

Observações:



•••• Para determinadas situações, modelos discretos podem ser aproximados (representados) por

um modelo contínuo. Por exemplo, num caso binomial onde o número de repetições do

experimento é grande, pode-se analisar a variável em estudo pelo modelo normal.

•••• Os modelos aqui apresentados referem-se à distribuição de uma única variável. Podemos em

alguns casos ter interesse no comportamento conjunto de duas ou mais variáveis. Nesses

casos temos os chamados modelos multidimensionais ou multivariados, que não serão

objetos de estudo nesse curso.

33 .. 33 .. DD II SS TT RR II BB UU II ÇÇ ÃÃ OO NN OO RR MM AA LL ::

Uma classe importante de distribuição é aquela apresentada na figura 3.1. Nesse caso a curva

aproximada do histograma dos dados, tem um único pico e apresenta uma forma de sino (simetria

em torno do ponto de pico). As curvas que apresentam esta característica são chamadas de curvas

Normais e descrevem a distribuição Normal. As distribuições normais têm um importante papel na

estatística, mas são bastante peculiares e nem um pouco “normais”, no sentido de serem comuns ou

naturais. A distribuição normal é caracterizada por sua média µµµµ e seu desvio padrão σσσσ. A função

matemática que define a distribuição normal é dada por:

Temos então que se a variável em estudo, pode ser representada pela curva normal, então ela pode

assumir qualquer valor real, a sua média esta localizada no centro da curva e coincide com a

mediana e desvio padrão controla a dispersão ao redor do ponto central.

Figura 3.2. Distribuição Normal

2121

( ) e2

x

f x−µ−µ−µ−µ −−−− σσσσ ====

σ πσ πσ πσ π, – ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞.

Notação : X ~ N(µµµµ ; σσσσ 2)



33 .. 33 .. 11 .. PP RR OO PP RR II EE DD AA DD EE SS DD AA DD II SS TT RR II BB UU II ÇÇ ÃÃ OO NN OO RR MM AA LL ::

X ~ N (µ µ µ µ ; σσσσ2)

•••• E(X) = µ (média ou valor esperado);

•••• Var(X) = σσσσ2 (e, portanto, DP(X) = σσσσ );•

•••• x = σσσσ é ponto de máximo de f (x);

•••• • µ - σσσσ e µ + σσσσ são pontos de inflexão de f (x);

•••• A curva Normal é simétrica em torno da média µ.

•••• A distribuição Normal depende dos parâmetros µ e σσσσ2

Figura 3.3. Distribuições normais com mesmo desvio padrão e diferentes médias

Figura 3.4. Distribuições normais com mesma média e diferentes desvios padrão.



•••• Embora haja muitas curvas Normais, todas têm propriedades em comum. Em particular todas

as distribuições normais obedecem à seguinte regra:

Na distribuição normal com média µ e desvio padrão σσσσ:

�� 68% das observações estão no intervalo ( µ - σσσσ ; µ + σσσσ),

�� 95,4% das observações estão no intervalo ( µ - 2σσσσ ; µ + 2σσσσ),

�� 99,7% das observações estão no intervalo ( µ - 3σσσσ ; µ + 3σσσσ),

33 .. 33 .. 22 .. CC ÁÁ LL CC UU LL OO DD EE PP RR OO BB AA BB II LL II DD AA DD EE SS ::

As distribuições de probabilidade aproximam os dados observados de uma dada característica

de interesse através de um modelo que nos permite, dentre outros aspectos, calcular probabilidade

de interesse a respeito da variável em estudo.

Por exemplo: Um bom indicador do nível de intoxicação por benzeno é a quantidade de fenol

encontrada na urina. A quantidade de fenol na urina de moradores de certa região segue,

aproximadamente, uma distribuição normal de média 6 mg/L e desvio padrão 2 mg/L. Considere a

seguinte definição em termos da variável quantidade de fenol na urina:

� Uma pessoa é considerada “atípica” se a quantidade de fenol em sua urina for superior a

9mg/l ou inferior a 3 mg/L.

Podemos então estar interessado na seguinte pergunta: Qual é a probabilidade de ser

encontrado um indivíduo “atípico”?

Definimos X como sendo a quantidade de fenol encontrada na urina. Então a pergunta de

interesse pode ser interpretada como a probabilidade de X < 3 mais probabilidade de X > 9. A

notação para este problema é dada por:

P { X < 3 } + P { X > 9 }

Como calcular esta probabilidade, considerando que a variável de interesse pode ser

representada pela distribuição normal?

O cálculo de uma probabilidade na distribuição normal é dado pela área sobre a curva normal

na região de interesse, isto é, área sob a curva de densidade fornece a proporção de observações

que estão numa região de valores de interesse.

Por exemplo, genericamente.

P(a < X < b)



é dada pela seguinte área sobre a curva.

Figura 3.5. Cálculo da P(a < X < b)

O cálculo da área sobre a curva é dada por:

( ) ∫∫

−−

==<<b

a

2

1b

a

2

2

1xf b} X { dxedxaP

x

σµ

πσ

A solução do problema acima não é imediata. A solução da integral acima é usualmente dada

através de métodos numéricos. Portanto não conveniente utilizar esta forma de obtenção da

probabilidade desejada.

Questão: Como calcular a probabilidade deseja sem a necessidade de resolver a integral acima

apresentada?

Resultado:

Se X ~ N(µ ; σ 2), então

1) , N(0 ãodistribuiç tem -x

Zσ

µ=

chamada distribuição normal padrão. Nesse caso temos que E(Z) = 0 e Var(Z) = 1.

Observação:

Dada a v.a. Z ~ N(0;1) podemos obter a v.a. X ~ N(µ; σ2) através da transformação inversa

X = µµµµ + Z σ.σ.σ.σ.



Graficamente:

Figura 3.6. Transformação para normal padrão

Questão:

De que forma a transformação da variável X em Z, normal padrão facilita o cálculo

de probabilidades?

Considerando a transformação Z, podemos obter o cálculo de P(a < X < b) da seguinte

forma:



{ }

{ }

( ) ∫∫−

==

<<=

−<<−=

−<−<−=<<

2

1

22

1

z

z

2

1

21

2

1xf dxedx

zZz

bZ

aP

bxaPbXaP

xz

z π

σµ

σµ

σµ

σµ

σµ

A solução da integral é mais simples que no caso anterior, e é apresentada na forma de uma

tabela (Anexo 1).

Uso da tabela da Normal Padrão: Z ~ N(0,1)

O significado dos valores tabelados: Para um dado valor z qualquer;

Figura 3.7. Interpretação da tabela da normal padrão.

Portanto valor tabela z nos dá área sobre a curva até o ponto z, ou seja, a

P{ Z < z}

Se considerarmos que z=0.32, temos que P{ Z < 0.32 }= 0.6255, ou seja,



Figura 3.8. P { Z < 0.32 }

Na tabela:

Considere agora:

0.6255



Figura 3.9. P{0 < Z < 1.71 }

Solução:

P(0 < Z ≤ 1,71) = P(Z ≤1,71) – P(Z ≤ 0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564.

Observação: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.

Outros Problemas: |

1) A resistência a compressão de amostras de cimento pode ser representada por um modelo

normal com média de 6000 kg por cm2 e um desvio padrão de 100 kg por cm2.

a) Qual a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 kg/cm2?

b) Qual a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kg/cm2?



2) O volume de enchimento de uma máquina automática de enchimento usada para encher latas

de bebidas gasosas é distribuído segundo o modelo normal com uma média de 12.4 onças

fluidas e um desvio padrão de 0.1 de onça fluída.

a) Qual a probabilidade do volume de enchimento ser menor do que 12 onças fluídas?

b) Se todas as latas menores que 12.1 ou maiores que 12.6 onças são rejeitas, qual a

probabilidade de uma lata ser rejeitada?

3) A vida de um semicondutor a laser, a uma potência constante, segue um modelo normal com

média de 7000 horas e desvio padrão de 600 horas.

a) Qual a probabilidade do laser falhar antes de completar 5000 horas?

b) Qual o tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem?

c) Se três lasers forem usados em certo produto e se eles falharem independentemente, qual a

probabilidade de todos os três estarem ainda operando após 7000 horas?

4) Dois analistas observaram uma solução de soda de concentração conhecida (%) e obtiveram

os seguintes resultados:

Analista Determinações João 10.2 9.9 10.1 10.4 10.2 10.4 Paulo 9.9 10.2 9.5 10.4 10.6 9.4

Considerando que a resposta observada pode ser representada pelo modelo normal e que a

concentração real da solução é 10.1%, responda:

a) Qual dos dois analistas tem maior probabilidade de encontrar valores acima de 10.5%?

b) Para cada analista, qual o valor da concentração determina que 15.5% das determinações

serão maiores?



Anexo 1



t table with right tail probabilities

df\p 0.40 0.25 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.0005

1 0.324920 1.000000 3.077684 6.313752 12.70620 31.82052 63.65674 636.6192

2 0.288675 0.816497 1.885618 2.919986 4.30265 6.96456 9.92484 31.5991

3 0.276671 0.764892 1.637744 2.353363 3.18245 4.54070 5.84091 12.9240

4 0.270722 0.740697 1.533206 2.131847 2.77645 3.74695 4.60409 8.6103

5 0.267181 0.726687 1.475884 2.015048 2.57058 3.36493 4.03214 6.8688

6 0.264835 0.717558 1.439756 1.943180 2.44691 3.14267 3.70743 5.9588

7 0.263167 0.711142 1.414924 1.894579 2.36462 2.99795 3.49948 5.4079

8 0.261921 0.706387 1.396815 1.859548 2.30600 2.89646 3.35539 5.0413

9 0.260955 0.702722 1.383029 1.833113 2.26216 2.82144 3.24984 4.7809

10 0.260185 0.699812 1.372184 1.812461 2.22814 2.76377 3.16927 4.5869

11 0.259556 0.697445 1.363430 1.795885 2.20099 2.71808 3.10581 4.4370

12 0.259033 0.695483 1.356217 1.782288 2.17881 2.68100 3.05454 4.3178

13 0.258591 0.693829 1.350171 1.770933 2.16037 2.65031 3.01228 4.2208

14 0.258213 0.692417 1.345030 1.761310 2.14479 2.62449 2.97684 4.1405

15 0.257885 0.691197 1.340606 1.753050 2.13145 2.60248 2.94671 4.0728

16 0.257599 0.690132 1.336757 1.745884 2.11991 2.58349 2.92078 4.0150

17 0.257347 0.689195 1.333379 1.739607 2.10982 2.56693 2.89823 3.9651

18 0.257123 0.688364 1.330391 1.734064 2.10092 2.55238 2.87844 3.9216

19 0.256923 0.687621 1.327728 1.729133 2.09302 2.53948 2.86093 3.8834

20 0.256743 0.686954 1.325341 1.724718 2.08596 2.52798 2.84534 3.8495

21 0.256580 0.686352 1.323188 1.720743 2.07961 2.51765 2.83136 3.8193

22 0.256432 0.685805 1.321237 1.717144 2.07387 2.50832 2.81876 3.7921

23 0.256297 0.685306 1.319460 1.713872 2.06866 2.49987 2.80734 3.7676

24 0.256173 0.684850 1.317836 1.710882 2.06390 2.49216 2.79694 3.7454

25 0.256060 0.684430 1.316345 1.708141 2.05954 2.48511 2.78744 3.7251

26 0.255955 0.684043 1.314972 1.705618 2.05553 2.47863 2.77871 3.7066

27 0.255858 0.683685 1.313703 1.703288 2.05183 2.47266 2.77068 3.6896

28 0.255768 0.683353 1.312527 1.701131 2.04841 2.46714 2.76326 3.6739

29 0.255684 0.683044 1.311434 1.699127 2.04523 2.46202 2.75639 3.6594

30 0.255605 0.682756 1.310415 1.697261 2.04227 2.45726 2.75000 3.6460

inf 0.253347 0.674490 1.281552 1.644854 1.95996 2.32635 2.57583 3.2905

ipaee capitulo3 1

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