ipaee capitulo 5_slides_2

EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO

NA ALEATORIZAÇÃO

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

1º SEMESTRE DE 2010

Um professor conduziu um experimento cujo objetivo era o de

com comparar quatro diferentes fontes de informação ( A – Jornal;B – Televisão; C – Revistas; D – Rádio). Para verificar este objetivo,foi escolhido aleatoriamente um conjunto de 24 alunos dentre osquais 12 cursavam a 1a série do ensino médio (Grupo II) e 12 a 6a

série do ensino fundamental (Grupo I). Os alunos foram entãodivididos em 2 grupos, segundo a série que cursavam e para cadaum foi atribuído aleatoriamente uma fonte de informação. Osalunos tomaram então conhecimento de certa notícia através dasua fonte de informação sendo então submetidos a um teste deconhecimento sobre o assunto.



PROBLEMA:



PROBLEMA:

Objetivo:

Comparar as diferentes fontes de informação.

Unidades Experimentais:

Dois grupos de alunos com diferentes idades (diferentes séries).

Condição:

As diferentes fontes de informação devem ser aplicadas aosdiferentes grupos de estudantes.

Restrição na forma de distribuição os tratamentos as unidadesexperimentais.

EXPERIMENTOS COM RESTRIÇÃO NA ALEATORIZAÇÃO

SITUAÇÃO:

Unidades experimentais são heterogêneas devido a

presença de uma (ou mais) fonte(s) de variação(ões)

conhecida(s) e que pode(m) ser controlada(s) quando

da realização do experimento.




CONSEQÜÊNCIA:

Aleatorização deve ser realizado após o agrupamento

das unidades experimentais em subconjuntos

homogêneos

Subconjuntos homogêneos, usualmente chamado de

“blocos”




OBJETIVO:

Espera-se que exista uma variabilidade entre unidades

experimentais de diferentes blocos, explicada pela

fonte de variação conhecida, e uma homogeneidade

(baixa variabilidade) entre as unidades experimentais

de um mesmo “bloco”.




EXPERIMENTOS ALEATORIZADOS EM BLOCOS

Problema:

As unidades experimentais são heterogêneas devido a

presença de uma fonte de variabilidade conhecida e que pode

ser controlada na realização do experimento de forma a se obter

subgrupos homogêneos.



PLANEJAMENTO E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS 11º SEMESTRE DE 2009 PROF. PEDRO FERREIRA FILHO



Objetivo:

Agrupar as unidades experimentais em subgrupos

homogêneos de forma a manter sob controle a fonte de

variabilidade conhecida garantindo desta forma que os

resultados a serem obtidos serão devidos somente aos efeitos

dos tratamentos em estudo.



DADOS:

Fonte de InformaçãoA B C D

Grupo I 65 56 58 3869 49 65 3073 54 57 34

Grupo II 72 73 76 7179 77 69 6580 69 71 62





DEFINIÇÕES:

Blocos: sub-grupos de unidades experimentais homogêneas

Blocos Completos: em cada bloco existe pelo menos uma unidade

experimental submetida a cada tratamento.

Blocos Incompletos: o número de unidades experimentais é

inferior, em um ou mais blocos, ao número de tratamentos, logo

nem todos os tratamentos são aplicados em todos os blocos.

Aleatorização: Processo de atribuição aleatória dos tratamentos às

unidades experimentais dentro de cada bloco.





IMPORTANTE:

Um bloco deve ser entendido como uma restrição a aleatorização.

Se não for considerado este princípio, ele provavelmente deve ser

outro fator e deve ser tratado como tal, ou seja, como um

experimento fatorial.

BLOCO ≠ FATOR





DADOS: ESTRUTURA GERAL

“a” tratamentos “b” blocos.

TratamentosBlocos

1 2 … b1 y111 y112 y121 y122 ... y1b1 y1b2

y113 y114 y123 y124 y1b3 y1b4

…. …… …… …… …..

a ya11 ya12 ya21 ya22 ... yab1 yab2

ya13 ya1n ya23 ya2n yab3 yabn

yijk : i = 1, 2, ..., a tratamentos

j = 1, 2, ..., b blocosk = 1, 2, ...,nij unidades experimentais por tratamentos em cada bloco.

Observação: Se nij é o mesmo ( =n ) para todo i e j temos experimento balanceado.

na : número total de unidades experimentais por blocosnab : número total de unidades experimentais no experimentonb : número de unidades experimentais que receberam cada tratamento.





DADOS: ESTRUTURA GERAL : Simplificação (Caso Usual):

Consideremos a situação em que existe somente uma unidade experimentalsubmetida a cada tratamento em todos os blocos, isto é, n = 1 N = ab.





MODELO:

yij = + i + j + ij

: efeito comum que independe de blocos ou tratamentos

i : efeito de tratamentos; i = 1, ..., a

j: efeito de blocos; j = 1, ..., b

ij : Erros aleatórios





ESTIMADORES:




TESTE DE HIPÓTESES:

Modelo:

yij = + i + j + ij

Problema: Hipótese de Igualdade de Tratamentos





Questão: Como testar H0 ?

Análise da Variabilidade : Identificar a “quanto” cadacomponente do modelo contribui (ou explica”) para avariabilidade total dos valores observados

Modelo:

yij = + i + j + ij





SQT = SQModelo + SQE

= SQTr + SQBloco + SQE





Graus de liberdade: (n=1)

Total: N – 1 ( N = nab = ab)

tratamentos: a – 1blocos: b – 1erro: (a – 1) (b – 1)





Esperança dos Quadrados Médios

Sob Ho

E (QME) = E (QMT) = 2





Estatística de Teste:

Sob a hipótese ij ~ N (0, 2):

Fc ~ Fa-1,(a-1)(b-1)

rejeita-se H0 se Fc > Ft





Problema: Hipótese de Igualdade de Blocos

Quando os blocos controlam uma causa devariação conhecida, o teste de efeitos de blocos étotalmente desnecessário. A definição do experimentocom uma estrutura de blocos é devido ao fato de que éconhecida a variabilidade existente nas unidadesexperimentais em função das características que definemos blocos





Problema: Hipótese de Igualdade de Blocos

Entretanto, o pesquisador, às vezes, organiza blocospara controlar uma fonte de variação sobre a qual temdúvidas sobre a sua significância. Nestes casos depois derealizado o experimento, deseja-se verificar a diferençaentre blocos, pois assim conclusões poderão ser tomadasde forma a contribuir no planejamento de experimentosfuturos.





Hipóteses:

Ho : j= 0 j

H1 : j 0 para pelo menos um j

Vimos que:





Sob H0:

E (QME) = E (QMBloco) = 2

Rejeita-se H0:







Conclusão:

Se os pressupostos que levaram a fixar a estruturade blocos estão corretos, o teste F* deve sersempre significativo, ou seja, deve confirmar ainformação de diferença entre as unidadesexperimentais.




TESTE DE HIPÓTESES: ANÁLISE DE VARIÂNCIA

ANOVA GL SQ QM FModelo a + b – 2 SQM -

. Blocos b – 1 SQB SQB/b-1 QMB/QME

. Tratam. a – 1 SQTr SQTr/a-1 QMTr/QME

Erro (a – 1) (b – 1) SQE SQE/(a-1)(b-1)

Total N - 1




TESTE DE HIPÓTESES: ANÁLISE DE VARIÂNCIAExpressões:

SQTrSQBSQTSQE




TESTE DE HIPÓTESES: Complementando a Análise

Comparações Múltiplas:

Seguem os mesmos procedimentos do caso completamente aleatorizado.

Uso apenas para no caso da rejeição da hipótese de igualdade dos tratamentos




TESTE DE HIPÓTESES: Complementando a Análise

Adequabilidade do Modelo:

Devem ser utilizados os mesmos procedimentos vistospara o caso de um único fator, devendo no entanto o gráfico deresíduos ser utilizado nas seguintes alternativas:

- Gráfico de resíduos x predito- Gráfico de resíduos x tratamentos- Gráfico de resíduos x blocos




CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO:

Fonte de InformaçãoA B C D

Grupo I 65 56 58 3869 49 65 3073 54 57 34

Grupo II 72 73 76 7179 77 69 6580 69 71 62




CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: COMPARANDO RESULTADOS COM MODELO COM E SEM BLOCOS

SEM BLOCO COM BLOCO




CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: ANOVA

COM BLOCO

Source DFSum of

SquaresMean

Square F Value Pr > F

Model 3 1668.00000 556.000000 4.10 0.0203

Error 20 2714.00000 135.700000

Corrected Total

23 4382.00000

Source DFSum of

SquaresMean


Model 4 3612.00000 903.000000 22.28 <.0001

Error 19 770.000000 40.526316

CorrectedTotal

23 4382.00000




CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: ANOVASEM BLOCO

COM BLOCO

R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean

0.380648 18.49053 11.64903 63.00000

R-Square Coeff Var Root MSE Nota Mean

0.824281 10.10481 6.366028 63.00000



CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: ANOVASEM BLOCO

COM BLOCO

Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F

Fonte 3 1668.000000 556.000000 4.10 0.0203

Source DF Type I SSMean


Bloco 1 1944.000000 1944.000000 47.97 <.0001

Fonte 3 1668.000000 556.000000 13.72 <.0001



CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: ANOVA

SEM BLOCO COM BLOCO

r esi duo

- 1 0 1

N_r esi duo

- 10

0

10

r

e

s

i

d

u

o

Test s f or Nor mal i t y

Test St at i st i c

Shapi r o- Wi l k

Kol mogor ov- Smi r nov

Cr amer - von Mi ses

Ander son- Dar l i ng

Val ue

0. 986365

0. 098059

0. 028444

0. 161130

p- val ue

0. 9793

>. 1500

>. 2500

>. 2500

r esi duo

Test s f or Nor mal i t y

Test St at i st i c

Shapi r o- Wi l k

Kol mogor ov- Smi r nov

Cr amer - von Mi ses

Ander son- Dar l i ng

Val ue

0. 977981

0. 115343

0. 040335

0. 230951

p- val ue

0. 8559

>. 1500

>. 2500

>. 2500

- 1 0 1

r esi duo nor mal quant i l es

- 20

0

20

r

e

s

i

d

u

o




CONTINUAÇÃO DO EXEMPLO: COMPLEMENTANDO A ANÁLISE

Alpha 0.05

Error Degrees of Freedom 19

Error Mean Square 40.52632

Critical Value of Studentized Range

3.97655

Minimum SignificantDifference

10.335

Means with the same letter arenot significantly different.

Tukey Grouping Mean N Fonte

A 73.000 6 Jornal

A 66.000 6 Revistas

A 63.000 6 Televisão

B 50.000 6 Rádio




EXEMPLO 2:

Um experimento foi realizado com o objetivo de verificar o efeito de

quatro diferentes produtos químicos sobre a resistência de tecidos. Esses

produtos químicos são usados como parte do processo de acabamento

sob prensagem permanente. Para se executar o experimento foi

disponibilizado quatro peças de cinco diferentes tipos de tecidos. Ao final

do experimento foi registrada uma medida de resistência de cada peça

de tecido utilizada.




EXEMPLO 2:

Objetivo: Comparar o efeito dos quatro diferentes produtosquímicos

Unidades Experimentais: 20 peças de tecidos sendo 4 de cincodiferentes tipos de tecidos.

Problema: Garantir que os diferentes tipos de tecidos sejamsubmetidos a todos os diferentes produtos químicos em estudo.




EXEMPLO 2:

Solução: Distribuir aleatoriamente os diferentes produtos químicos

nas peças de cada tipo de tecido, ou seja, os diferentes tipos de

tecidos devem ser considerados como blocos e os tratamentos

(produtos químicos) devem ser atribuídos as peças dentro de cada

tecido.

Variável Resposta: Medida de resistência observada ao final do

experimento.




EXEMPLO 2: DADOS OBSERVADOS

Produtos

Químicos

Tipos de Tecidos

1 2 3 4 5

A 1.3 1.6 0.5 1.2 1.1

B 2.2 2.4 0.4 2.0 1.8

C 1.8 1.7 0.6 1.5 1.3

D 3.9 4.4 2.0 4.1 3.4




EXEMPLO 2: RESULTADOS - ANOVA

Source DF Sum of

Squares

Mean

Square

F Value Pr > F

Model 7 24.73700000 3.53385714 44.59 <.0001

Error 12 0.95100000 0.07925000

Corrected

Total

19 25.68800000

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.962979 14.36295 0.281514 1.960000





Source DF Type III SS Mean Square F

Value

Pr > F

TE 4 6.69300000 1.67325000 21.11 <.0001

PQ 3 18.04400000 6.01466667 75.89 <.0001





Alpha 0.05

Error Degrees of

Freedom

12

Error Mean Square 0.07925

Critical Value of

Studentized Range

4.19852

Minimum Significant

Difference

0.5286

Means with the same letter

are not significantly different.

Tukey Groupi

ng

Mean N PQ

A 3.5600 5 D

B 1.7600 5 B

C B 1.3800 5 C

C 1.1400 5 A

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