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CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K

FATORIAIS 2K

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

2º SEMESTRE DE 2010


INTRODUÇÃO:

ALTERNATIVA:

Utilização de planejamentos que possam através de sucessivos

experimentos, com menor número de unidades experimentais

necessárias para a sua realização, responder aos objetivos do

estudo

MÉTODOS PROPOSTOS: Fatoriais 2k




FATORIAIS 2K:

Experimentos com a presença de k Fatores com dois níveis cada um.

OBS.: Caso particular de um experimento fatorial

Denominação Usual:

Fator presente ou ausente;

Fator no nível alto ou baixo;




FATORIAIS 2K:

PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :

1. A análise e interpretação de seus resultados são bastante simples,

comparadas aos experimentos fatoriais no caso geral.

2. O número de ensaios envolvidos na realização desses experimentos,

por fator estudado é relativamente pequeno.

3. A região experimental nestes experimentos pode ser restrita,

porém pode indicar tendências e determinar uma melhor (ou mais

adequada) direção para novos experimentos.




FATORIAIS 2K:

PORQUE ESTUDAR FATORIAIS 2K :

4. Estes experimentos podem ser “aumentados” com a inclusão de

novos níveis e/ou novos fatores quando for necessário realizar uma

avaliação mais detalhada do problema em estudo.

5. Estes experimentos formam a base dos chamados EXPERIMENTOS

FATORIAIS FRACIONADOS, onde somente alguns dos possíveis

tratamentos são observados. Procedimento bastante utilizado nos

estágios iniciais da experimentação, quando há um número muito

grande de fatores a serem estudados.




FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Experimento cujo objetivo é o de examinar os efeitos do

aumento da temperatura e da mudança de catalisador

sobre o rendimento de uma reação.




FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Começamos escolhendo os níveis: 40°C e 60°C para a

temperatura, e A e B para o catalisador. Como este é apenas

um exemplo para fins didáticos, o sistema é fictício, e a escolha

dos níveis arbitrária. Na vida real, teríamos de nos apoiar no

conhecimento disponível sobre o nosso sistema e pensar bem

antes de determinar quais são os níveis que devemos escolher.




FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Para fazer o planejamento 22, devemos realizar ensaios e

registrar as respostas observadas (os rendimentos, neste caso)

em todas as quatro possíveis combinações dos níveis

escolhidos: (40°C, A), (40°C, B), (60°C, A) e (60°C, B). A lista

dessas combinações, que é chamada de matriz de

planejamento, e apresentada na Tabela a seguir:




FATORIAIS 22:

EXEMPLO:



Fatores Rendimento

Ensaio Temperatura(0C) Catalisador I II Média

1 40 A 57 61 59

2 60 A 92 88 90

3 40 B 55 53 54

4 60 B 66 70 68


FATORIAIS 22:

EXEMPLO:

Importante:

Note que todos os ensaios foram feitos em duplicata,

produzindo oito respostas no total. Desta forma será possível

estimar o erro experimental de uma resposta individual. A

extensão desse erro e importante para decidirmos se existem

ou não efeitos significativos que possamos atribuir à ação dos

fatores.




FATORIAIS 22:

NOTAÇÃO:

Quanto aos níveis dos fatores:

Atribuir sinais – e + aos níveis de cada um dos fatores;

Atribuir valores 0 e 1 aos níveis de cada um dos fatores;

Fatores

A B A B A B

40 A 0 0 - -

60 A 1 0 + -

40 B 0 1 - +

60 B 1 1 + +




FATORIAIS 22:

NOTAÇÃO:

Quanto aos tratamentos:

Os tratamentos são definidos pela presença ou ausência do nível alto de

cada fator em cada uma das possíveis combinações:

(1) = ambos os fatores estão ausentes (baixo);

a = somente fator A esta no presente (alto);

b = somente fator B esta presente (alto);

ab = ambos os fatores (A e B) estão presentes(alto);

Fatores

A B A B A B

a1 b1 0 0 - - (1)

a2 b1 1 0 + - a

a1 b2 0 1 - + b

a2 b2 1 1 + + ab



CAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2KCAPÍTULO 1 - FATORIAIS 2K

FATORIAIS 22:



Efeitos a serem Estimados:

1. Efeito Principal do Fator A : Temperatura

2. Efeito Principal do Fator B : Catalisador

3. Efeito de Interação : Efeito Conjunto Temperatura e

Catalisador


FATORIAIS 22:



CÁLCULO DOS EFEITOS:Os efeitos principais de cada fator são obtidos a partir da diferença entremédias das respostas dos níveis alto e baixo de cada fator, isto é:

Fatores

A B A B A B

a1 b1 0 0 - - (1)

a2 b1 1 0 + - a

a1 b2 0 1 - + b

a2 b2 1 1 + + ab


FATORIAIS 22:



CÁLCULO DOS EFEITOS:

O efeito da interação entre dois fatores é a diferença média entre os efeitos de um fator nos níveis do outro fator, por exemplo: média entre o efeito de A no nível alto de B e o efeito de A no nível baixo de B.

Fatores

A B A B A B

a1 b1 0 0 - - (1)

a2 b1 1 0 + - a

a1 b2 0 1 - + b

a2 b2 1 1 + + ab


FATORIAIS 22:



O efeito principal da temperatura e por definição a

media dos efeitos da temperatura nos dois níveis do

catalisador.

Este valor indica que o rendimento da reação sobe 22,5% ,

em media, quando a temperatura passa de seu nível

inferior (400C) para o seu nível superior (600C).

Fatores

A B A B Média

40 A - - (1) 59

60 A + - a 90

40 B - + b 54

60 B + + ab 68


FATORIAIS 22:



O efeito principal do catalisador é por definição a media

dos efeitos da temperatura nos dois níveis de

temperatura.

Quando trocamos o catalisador A pelo catalisador B orendimento diminui 13,5% em média.

Fatores

A B A B Média

40 A - - (1) 59

60 A + - a 90

40 B - + b 54

60 B + + ab 68


FATORIAIS 22:



O efeito de interação é dado por:

Fatores

A B A B Média

40 A - - (1) 59

60 A + - a 90

40 B - + b 54

60 B + + ab 68


FATORIAIS 22:

COMO VERIFICAR A SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS ESTIMADOS?



DUAS SITUAÇÕES:

EXPERIMENTOS COM REPETIÇÕES

EXPERIMENTOS SEM REPETIÇÕES


FATORIAIS 22:




DUAS ALTERNATIVAS:

REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:

REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO

1. ANOVA

2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS


FATORIAIS 22:




DUAS ALTERNATIVAS:

REPETIÇÕES NOS PONTOS UTILIZADOS NO EXPERIMENTO:

REPETIÇÕES NO PONTO CENTRAL DO EXPERIMENTO

1. ANOVA

2. INTERVALOS EM TORNO DOS VALORES ESTIMADOS

QUESTÃO: Cálculo da variância?


FATORIAIS 22:




NO EXEMPLO:


FATORIAIS 22:




NO EXEMPLO:

LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS VARIÂNCIA DE MÉDIAS

nV

y

2

2Média ariância

n : número de médias envolvidas


FATORIAIS 22:




NO EXEMPLO:

LOGO, VARIÂNCIA DOS EFEITOS VARIÂNCIA DE MÉDIAS


FATORIAIS 22:




VARIÂNCIA DOS EFEITOS: CASO GERAL

n : número de observações por “ponto”

NO EXEMPLO: n =2 k=2


FATORIAIS 22:




Média Global (Efeito Comum) 67.75 0.9

Efeitos Principais

A = Temperatura 22.50 1.8

B = Catalisador -13.5 1.8

Efeito de Interação

A x B = TC -8.50 1.8

Tabela 7.2 Efeitos calculados para o planejamento fatorial 22 daTabela 7.1. Note que o erro padrão da media global e a metade doerro padrão dos efeitos.


FATORIAIS 22:




Com o erro padrão podemos construir intervalos de confiança para osvalores dos efeitos , usando a distribuição de Student:


FATORIAIS 22:




Conclusão:

Inicialmente, precisamos decidir quais, dos efeitos calculados, são

significativamente diferentes de zero, e portanto merecedores de

interpretação. Se considerarmos estatisticamente significativo, com 95%

de confiança, um efeito cujo valor absoluto for superior a t4 x s(efeito) =

2,776 x 1,8% = 5,0%. Aplicando esse critério aos valores da Tabela 7.2,

vemos que todos eles são significativos, ou seja, os efeitos existem

mesmo. Podemos, portanto, tentar entender o que eles significam na

pratica.


FATORIAIS 22:




Conclusão:

Como o efeito de interação e significativo, os efeitos principais devem

ser interpretados conjuntamente. A melhor forma de fazer isso e traçar

um diagrama contendo as respostas médias em todas as combinações

de níveis das variáveis, como na Figura 3.3. Examinando o diagrama,

podemos concluir que:


FATORIAIS 22:




Conclusão:

1. Elevando a temperatura

aumentamos o rendimento da reação,

mas esse efeito e muito mais

pronunciado com o catalisador A do

que com o catalisador B (+31% contra

+ 14%).

2. Trocando o catalisador A pelo

catalisador B diminuímos o

rendimento da reação, e esse efeito é

muito mais significativo a 600C do que

a 400C ( -22% contra -5%).

3. Os maiores rendimentos (90%, em

media) são obtidos com o catalisador

A e com a temperatura em 600C.


FATORIAIS 22:

ANOVA: MODELO

HIPÓTESES:

Interações Dois Fatores:Ho : 22 - 12 -21 + 11 = 0H1 : 22 - 12 -21 + 11 0

Efeitos Principais:Ho : 1 = 2 H1 : 1 2

Ho : 1 = 2 H1 : 1 2





FATORIAIS 22:

ANOVA: ANOVA

TABELA ANOVA:



Source DF

Sum of

Squares

Mean

Square F Value Pr > F

Model 3 1521.5000 507.16666 78.03 0.0005

Error 4 26.000000 6.500000

Correcte

d Total7 1547.5000


FATORIAIS 22:

ANOVA: ANOVA

TABELA ANOVA:



Source DF Type I SS

Mean

Square F Value Pr > F

T 1 1012.5000 1012.500 155.77 0.0002

C 1 364.50000 364.5000 56.08 0.0017

T*C 1 144.50000 144.5000 22.23 0.0092


FATORIAIS 22:

ANOVA: ANOVA

TABELA ANOVA:




FATORIAIS 22:

IMPORTANTE:

Para tornar validas as conclusões é necessária a análise deresíduos do modelo para verificação dos pressupostos domodelo.




FATORIAIS 23:

Experimentos com três fatores, cada um com dois níveis cada um.

EXEMPLO:

Fatores: Temperatura, Concentração (Quantitativos) e Catalisador

(Qualitativo).

16 testes foram realizados, atribuindo-se aleatoriamente a cada

um, uma das combinações dos três fatores em estudo. Ou seja, temos

um fatorial 23 com duas repetições.




FATORIAIS 23:

EXEMPLO: Fatores RepetiçõesTotal

T P K T P K T P K I II

a1 b1 c1 0 0 0 - - - (1) 59 61 120

a2 b1 c1 1 0 0 + - - a 74 70 144

a1 b2 c1 0 1 0 - + - b 50 58 108

a2 b2 c1 1 1 0 + + - ab 69 67 136

a1 b1 c2 0 0 1 - - + c 50 54 104

a2 b1 c2 1 0 1 + - + ac 81 85 166

a1 b2 c2 0 1 1 - + + bc 46 44 90

a2 b2 c2 1 1 1 + + + abc 79 81 160




FATORIAIS 23:

EXEMPLO:

F ato r ia l 2 **3

(1) = 60

k = 52

c = 54

ck = 45

t = 72

tk = 83

tc = 68

tck = 80




FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.

Fatores RepetiçõesTotal

T P K I II- - - (1) 59 61 120+ - - a 74 70 144- + - b 50 58 108+ + - ab 69 67 136- - + c 50 54 104+ - + ac 81 85 166- + + bc 46 44 90+ + + abc 79 81 160




FATORIAIS 23: EXEMPLO: CÁLCULO DOS EFEITOS.




FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE

T=0

T=1

F ato r ia l 2 **3

K : 0.

Y

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

P 0. 1.

K : 1.

P 0. 1.




FATORIAIS 23: EXEMPLO: GRAFICAMENTE

F ato r ia l 2 **3

E fe ito P rin c ip a l d e K

K

Y

5 0

5 5

6 0

6 5

7 0

7 5

8 0

0 . 1 .

F ato r ia l 2 **3

Efeito P rincipal de T

T

Y

50

55

60

65

70

75

80

0 . 1 .




FATORIAIS 23: EXEMPLO: SOMA DE QUADRADOS




FATORIAIS 23: ANOVA : MODELO

ANOVA : HIPÓTESES

Efeito Interações Ordem 3:

Efeitos Interações Ordem 2:

Efeitos Principais:




FATORIAIS 23: ANOVA :

Fonte GL SQ QM F P-ValorModelo 15 2699T 1 2116 2116 264.5 < 0.001P 1 100 100 12.5 0.008TP 1 9 9 1.1 0.320K 1 9 9 1.1 0.320TK 1 400 400 50.0 <0.001PK 1 0 0 0.0 1.000TPK 1 1 1 0.1 0.733Residuos 8 64 8




FATORIAIS 23: ANOVA : CONCLUSÕES

1. Interações entre três fatores não significativas;

2. Interações entre dois fatores apenas T:K significativa;

3. Efeitos principais de T e P significativos;

Procedimento:

Estudar a interação T:K;

Estudar o efeito principal de P (imediato!);

Verificar as suposições do modelo (diagnóstico);




FATORIAIS 2K

IC para a estimativa de cada efeito é dada por:

Se o intervalo acima contém o valor zero, pode-se concluir que o efeito

considerado não é significativo ((1-)% de confiança).




FATORIAIS 2K

ALTERNATIVA PARA AVALIAÇÃO DA SIGNIFICÂNCIA DOS EFEITOS EM FATORIAIS 2K

No exemplo: s2 = QME = 8

Efeito ICT 23.00 2.82P -5.00 2.82TP 1.50 2.82K 1.50 2.82TK 10.00 2.82PK 0.00 2.82TPK 0.50 2.82

Conclusões são as mesmas doprocedimento anterior!




FATORIAIS 2K CASO GERAL



Todos os procedimentos vistos nos casos de

experimentos 22 e 23 podem ser generalizados para o

caso 2k, isto é, nos casos onde o número de fatores

em estudo é maior que 3, todos com 2 níveis cada.

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