capitulo - 3
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Capítulo 2
Vetores
Prof. Anderson Gomes Vieira
Teresina - PI
Universidade Federal do Piauí - UFPI
Centro de Tecnologia – CT
Departamento de Engenharia Mecânica
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Vetores cartesianos
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Componentes retangulares de um vetor
Em geral, quando A está direcionado dentro de um octante do
sistema x, y, z:
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Componentes retangulares de um vetor
Com duas aplicações sucessivas da lei do paralelogramo pode-se
decompô-lo em componentes, como:
A = A’ + Az
e depois
A’ = Ax + Ay.
Combinando essas equações, para eliminar A', A é representado
pela soma vetorial de suas três componentes retangulares,
A = Ax + Ay + Az
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Vetores cartesianos unitários
Os vetores cartesianos unitários são mostrados na figura abaixo:
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A = Axi + Ayj + Azk
Separando-se a intensidade e a direção de cada vetor componente,
simplificam-se as operações da álgebra vetorial, particularmente em
três dimensões.
Representação de um vetor cartesiano
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Intensidade de um vetor cartesiano
É sempre possível obter a intensidade de A, desde que ele seja
expresso sob a forma de um vetor cartesiano.
temos:
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Direção de um vetor cartesiano
A direção de A é definida pelos ângulos de direção coordenados α
(alfa), β (beta) e γ (gama), medidos entre a origem de A e os eixos
x, y, z positivos, desde que estejam localizados na origem de A.
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Direção de um vetor cartesiano
Para determinarmos α, β e γ, vamos considerar as projeções de A
sobre os eixos x, y, z.
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Direção de um vetor cartesiano
Com referência aos triângulos sombreados de cinza claros
mostrados em cada figura, temos:
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Direção de um vetor cartesiano
Um modo fácil de obter os cossenos diretores é criar um vetor
unitário uA na direção de A.
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Direção de um vetor cartesiano
Se A for expresso sob a forma de um vetor cartesiano, A = Axi + Ayj
+ Azk, então uA terá uma intensidade de um e será adimensional,
desde
que A seja dividido pela sua intensidade, ou seja,
vemos que as componentes i, j, k de uA representam os cossenos
diretores de A, ou seja,
uA = cos αi + cos βj + cos γk
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Direção de um vetor cartesiano
Pode-se estabelecer uma relação importante entre os cossenos diretores
como:
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
A pode ser expresso sob a forma de vetor cartesiano como:
A = AuA
A = A cos α i + A cos β j + A cos γ kA = Axi + Ayj + Azk
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Direção de um vetor cartesiano
Algumas vezes, a direção de A pode ser especificada usando dois
ângulos, θ e ϕ (fi),
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A adição de vetores cartesianos
A força resultante poderá ser
escrita como:
FR = ΣF = ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk
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Capítulo 3
Equilíbrio de uma partícula
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Objetivos do capítulo
Introduzir o conceito do diagrama de corpo livre (DCL) para uma
partícula.
Mostrar como resolver problemas de equilíbrio de uma partícula
usando as equações de equilíbrio.
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Condição de equilíbrio de uma partícula
Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei do
movimento de Newton:
onde ΣF é a soma vetorial de todas as forças que atuam sobre a partícula.
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Molas
Uma característica que define a ‘elasticidade’ de uma mola é a
constante da mola ou rigidez k. A intensidade da força exercida
sobre uma mola linearmente elástica é: F = ks.
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Cabos e polias
Para qualquer ângulo θ mostrado na Figura a seguir, o cabo está
submetido a uma tração constante T ao longo de todo o seu
comprimento.
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Procedimento para traçar um diagrama de corpo livre
Desenhe o contorno da partícula a ser estudada.
Mostre todas as forças.
Identifique cada força
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Sistemas de forças coplanares
Para que essa equação
vetorial seja satisfeita, as
componentes x e y da força
devem ser iguais a zero.
Portanto,
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É importante notar que se a força tiver intensidade desconhecida, o
sentido da seta da força no diagrama de corpo livre poderá ser assumido.
Nesse caso, é assumido que a força incógnita F atua para a direita a fim
de manter o equilíbrio.
Sistemas de forças coplanares
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Sistemas de forças tridimensionais
No caso de um sistema de forças tridimensional, como na figura a
seguir, podemos decompor as forças em suas respectivas
componentes i, j, k, de modo que ΣFxi + ΣFyj + ΣFzk = 0.
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Para satisfazer essa equação é necessário que:
ΣFx = 0
ΣFy = 0
ΣFz = 0
Sistemas de forças tridimensionais
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Problema 1. Determine a força em cada corda para o equilíbrio da caixa de 200 kg. A
corda BC permanece na horizontal devido ao rolete em C, e AB tem um comprimento
de 1.5m. Considere y = 0.75 m.
DCL
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Problema 2. Duas forças F1 e F2 atuam sobre o gancho. Se suas linhas de ação
forma uma ângulo θ e a intensidade de cada força F1=F2=F, determine a intensidade
da força resultante FR e o ângulo FR e F1.
DCL