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CAPÍTULO 5

EXPERIMENTOS COM UM ÚNICO FATOR

ONEWAY

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

2º SEMESTRE DE 2010

EXPERIMENTOS COMPLETAMENTE ALEATORIZADOS : UM FATOR

SITUAÇÃO: UM FATOR FIXO - ONEWAY

Um experimento completamente aleatorizado com um

único fator (ONEWAY) é um planejamento experimental

que envolve apenas um fator com `a` níveis onde os

tratamentos são atribuídos as unidades experimentais

sem qualquer restrição, ou ainda, toda unidade

experimental tem a mesma probabilidade de receber

qualquer um dos tratamentos (níveis do fator) em estudo.



PROBLEMA:

Um experimento foi realizado para verificar a

produtividade de 4 tipos de variedade de milho. A

produção em cada unidade experimental (lotes

homogêneos) foi a seguinte:

HIPÓTESE CIENTÍFICA: Existe uma variedade que apresenta

produtividade melhor que as demais?




DADOS:

Varie- Repetições

dade 1 2 3 4 5

A 25 26 20 23 21

B 31 25 28 27 24

C 22 26 28 25 29

D 33 29 31 34 28




DADOS:




CARACTERÍSTICAS DO EXPERIMENTO:

•Completamente Aleatorizado

•Um único fator – Variedades de milho

•Efeitos Fixos (interesse em identificar qual das quatro variedades é a

melhor).

•Balanceado: todos os tratamentos foram aplicados ao mesmo número

de unidades experimentais;




PROBLEMA:

Como definir um teste para verificação da hipótese de existência

ou não de diferença entre os tratamentos?




CASO GERAL

Yij = variável resposta observada no i-ésimo tratamento e j-ésimaunidade experimental;

i = 1, 2, …, a (tratamentos)

j = 1, 2, ..., ni (número de unidades experimentais por

tratamento)

Número total de observações (u.e.)







NOTAÇÃO

Tratamentos Observações Totais Médias

1 y11 y12 ... y1n1 y1. 1.y

2 y21 y22 ... y2n2 y2. 2.y

a ya1 ya2 ... yan ya. a.y

y..




NOTAÇÃO

Varie- Repetições

dade 1 2 3 4 5

A 25 26 20 23 21

B 31 25 28 27 24

C 22 26 28 25 29

D 33 29 31 34 28




NOTAÇÃO

(TOTAL do i-ésimo tratamento)

(MÉDIA do i-ésimo tratamento)

(TOTAL GERAL)

(MÉDIA GERAL)




NOTAÇÃO:




ANÁLISE ESTATÍSTICA:

MODELO LINEAR:

YN x 1 = vetor de variável resposta (variável dependente)

XN x a = matriz de planejamento

a x 1 = vetor de parâmetros do modelo, isto é, efeitos dos tratamentos

em estudo

N x 1 = vetor de erros aleatórios não observáveis





PARAMETRIZAÇÃO

yij = + i + ij (modelo de desvio médio)

Interpretação: A resposta yij é devida a um “efeito comum” maisum efeito específico do i-ésimo tratamento mais um efeito

aleatório.





FORMA MATRICIAL

yij = + i + ij

a=3 ni = 3





PROBLEMAS:

Estimar os parâmetros

Teste de Hipótese

Verificar a adequabilidade do modelo





MÉTODOS DE ESTIMAÇÃO:

Estimadores de Máxima Verossimilhança

Estimadores de Mínimos Quadrados




ANÁLISE ESTATÍSTICA: ESTIMAÇÃO

MODELO DE DESVIOS MÉDIOS: Yij = + i + ij

(X’ X)-1 não existe

estimadores não são únicos

é uma inversa generalizada de X’X




Equações Normais




Problemas:

Como obter a solução do sistema acima se o

rank(X) não é completo.

Uso de inversa generalizada Impor restrições

ao sistema de equações




RESTRIÇÕES MAIS UTILIZADAS:

i = 0

ESTIMADORES




ESTIMADORES




Interpretação:

1. O efeito comum é estimado pela média geral dos dados

observados;

2. O efeito específico é estimado pela diferença entre a média das

observações do especifico tratamento em relação a média geral.




No Exemplo:Estimativa dos Parâmetros:

Interpretação:1. O tratamento 1 (adubo A) tem em média um

rendimento médio 3.75 unidades a menosque o efeito comum (efeito obtidoindependente dos tratamentos).

2. O tratamento 2 (adubo B) tem em média umrendimento médio 0.25 unidades a mais que oefeito comum (efeito obtido independentedos tratamentos).

3. O tratamento 3 (adubo C) tem em média umrendimento médio 0.75 unidades a menosque o efeito comum (efeito obtidoindependente dos tratamentos).

4. O tratamento 4 (adubo D) tem em média umrendimento médio 4.25 unidades a mais queo efeito comum (efeito obtido independentedos tratamentos).

Observação:Alguns autores preferem o modelo estatístico dado por:

Yij= i + ijcom

i = + i

definido anteriormente.

Alguns resultados apresentam diferenças em relação ao

modelo apresentado, porém as conclusões obtidas usando qualquer

uma das alternativas são exatamente as mesmas.




TESTE DE HIPÓTESES•O interesse no estudo é o de comparar três ou mais tratamentos, a

hipótese inicial a ser investigada é a de que se todos os tratamentos

são iguais, ou seja, se todos são igualmente “eficientes”.

•No caso de não rejeição desta hipótese, concluí-se pela igualdade dos

tratamentos envolvidos, ou ainda, que não existe um tratamento com

maior efeito que os demais.

•No caso de rejeição de hipótese de igualdade, conclui-se que pelo

menos dois tratamentos são diferentes e, nesse caso, novos

procedimentos devem ser realizado para se identificar os tratamentos

diferem, ou ainda, que tratamento ou tratamentos são mais eficientes.




TESTE DE HIPÓTESES

Modelo de Médias

Modelo de Desvios Médios

Ho : i = 0 i = 1, ..., aH1 : i 0 para pelo menos um i.




Interpretação:

Se a hipótese Ho não é rejeitada todos os parâmetros i são

iguais a zero, ou seja, os efeitos específicos de todos os tratamentos são

iguais a zero (não existem), portanto o modelo (5.1) fica:

yij = + ij

que não depende dos tratamentos, ou ainda, mudança nos níveis do

fator não tem efeito sobre a resposta.

Se a hipótese Ho é rejeitada, pelo menos um i diferente de zero, ou

seja, os existe pelo menos um dos tratamentos com um efeito específico

que o torna melhor (ou pior) que os demais tratamentos.




Suposições:

E[ij] = 0

V[ij] = 2

E(Yi) = E ( + i + i) = + i + E(ij ) = + i

V(Yi) = V ( + i + i) = V(ij ) = 2




ij ~ N (0, 2)

Yij ~ N ( +i , 2)




QUESTÃO : COMO TESTAR HO?

ANÁLISE DE VARIÂNCIA - ANOVA

Princípio : Estudo das Fontes Variabilidade





Proposta : Particionar a variabilidade total dos valores

observados para a medida de comparação Yij, em duas

componentes: uma devida ao modelo (parte não aleatória) e

outra devida aos erros aleatórios

VARIABILIDADE TOTAL =

VARIABILIDADE MODELO + VARIABILIDADE DOS ERROS





SQT = Soma de Quadrados Total





SQTr = SQM = Soma de Quadrados Tratamentos(modelo) : quantifica a variabilidade entretratamentos;

SQE = Soma quadrados dos erros: quantifica avariabilidade dos erros;







Interpretando:

A medida que cresce a soma de quadrados de tratamentos temos uma

maior variabilidade entre os tratamentos, conseqüentemente temos

que existe diferença entre os tratamentos. Caso contrário, maior

variabilidade dentro dos tratamentos e menor variabilidade entre

tratamentos, temos a não existência de diferença entre tratamentos.

EXPRESSÕES:




PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES

Ho : i = 0 i = 1, ..., aH1 : i 0 para pelo menos um i.




PROBLEMA: TESTE DE HIPÓTESES

Problema:

Como quantificar o quanto “pequeno” é a

soma de quadrados de tratamentos?




TABELA - ANOVA




Fonte de

Variação

Graus de

Liberdade

Soma de

Quadrados

Quadrados

Médios

E(QM)* F

Modelo

(Tratamentos)

a-1 SQTr SQ Tr/a-1

2

ii2

τn1a

1σ

QME

QMTr

Erro N-a SQE SQE/N-a 2σ

Total N-1 SQT - -

A tabela acima nos mostra que se a hipótese H0 é verdadeira ( todos i = 0) em

média(E(QM)) o quadrado médio de tratamentos e o quadrado médio de erros

são iguais a um mesmo valor (2 no caso!).

PORTANTO SOB HO:

QME e QMTr são estimadores não viciados de 2 e assim:




CONCLUSÃO:

Quanto mais a razão estiver próxima de 1, estamos sob a

hipótese H0. A medida que esta razão seja superior a 1, QMTr > QME,

ou seja, a cresce a variabilidade entre tratamentos e

conseqüentemente temos que H0 não é verdadeira.

PROBLEMA:

Como definir o quanto a razão acima está próxima de 1?




SOB A HIPÓTESE DE NORMALIDADE DOS ERROS

QMTr a-1

QME N-a

LOGO:




REJEITA-SE HO :




TABELA ANOVA

Fonte de Variação

Graus de Liberdade

Soma de Quadrados

Quadrados Médios

F

Modelo (Tratamentos)

a-1 SQTr SQ Tr/a-1 QME

QMTr

Erro N-a SQE SQE/N-a

Total N-1 SQT -

P-Valor = P[ Fa-1,N-a > Fc] = c




RETORNANDO AO EXEMPLO INICIAL

Source DFSum of

Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020

Error 16 112.0000000 7.0000000

CorrectedTotal

19 275.7500000

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.593835 9.890659 2.645751 26.75000

Source DF Type I SS Mean SquareF

Value Pr > F

F 3 163.7500000 54.5833333 7.80 0.0020








Temos Fc = 7.80

Considerando = 5% temos F3,16(5%) = 3.24

Logo:

Portanto REJEITA-SE Ho, isto é, pelo menos dois

tratamentos diferem, ou ainda existe pelo menos um

tratamento que é mais eficiente que outro (maior

produtividade no caso!).





De outra forma:

Da tabela da Anova (obtida através de um software estatístico) temos que:

Portanto REJEITA-SE Ho............................................




DUAS QUESTÕES:

1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dados

observados nos diferentes grupos são independentes e podem ser

representados pelo modelo normal. Como verificar que estas

suposições são verdadeiras?

2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menos

dois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que grupos

diferem?




CONSIDEREMOS O MODELO:

yij = + i + ij

Modelo estimado




IMPORTANTE:

Verificarmos a hipótese de independência e

normalidade dos dados é possível a partir da análise

da independência, normalidade e variância

constante dos resíduos.

PROBLEMA: ADEQUABILIDADE DO MODELO

Estatística de teste obtida a partir da hipótese deque i são iid N (0, 2)

Como verificar se a hipótese acima é verdadeira?




DIAGNÓSTICO DO MODELO

Objetivo:

Verificar se as suposições estabelecidas para

obtenção do ajuste e teste dos parâmetros, são satisfeitas.

i são iid N (0, 2)





Questões:

•Presença de Valores Extremos (Dados aberrantes-discrepantes)

•Independência (Aleatoriedade)

•Normalidade

•Homocedasticidade (Variância Constante)

.





Instrumentos:

Histograma e Box-Plot dos resíduos

Gráfico normal probabilístico

Gráfico de resíduos em ordem temporal (para situações onde

existe uma seqüência temporal na coleta dos dados)

Gráfico de resíduos versus predito

Gráfico de resíduos versus fatores

Testes de Igualdade de Variâncias




VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):

DADOS ORIGINAIS:




VALORES EXTREMOS – PONTOS DISCREPANTES (ABERRANTES):

RESÍDUOS “ORDINÁRIOS)

RESÍDUOS PADRONIZADOS




PROCEDIMENTO ALTERNATIVO;

Considerando que os erros têm distribuição N(0,2),

pode-se esperar que a média contém aproximadamente 68%

dos dados, a média 2 contém aproximadamente 95% dos

dados e a média 3 contém aproximadamente 99% dos dados.

Desta forma, podem ser considerados valores extremos aqueles

que forem superiores a 3.




CONCLUSÃO:Identificado um valor extremo, usualmente ele é

excluído da análise. Porém, na prática, é o pesquisador quemdeve determinar se um valor extremo pode realmente serassim considerado. Pois os valores extremos podem fornecerinformações importantes sobre o experimento eestatisticamente podem demonstrar que uma outradistribuição deve melhor representar o comportamento dosdados. Alternativas: Uso de métodos robustos ou modeloslineares generalizados, por exemplo.




VERIFICANDO A INDEPENDÊNCIA:





NOTAS:

Existindo o registro da ordem de obtenção dos valores,

recomenda-se o uso do gráfico dos resíduos vs a ordem

de coleta de forma a verificar algum padrão na resposta

e, conseqüentemente uma dependência entre as

observações.





NOTAS:

Experimentos cujo processo de aleatorização é

adequadamente realizado dificilmente irão apresentar

problemas com a falta de independência.





NÃO INDEPENDÊNCIA:

Não adequabilidade do modelo utilizado (falta de algum

componente do modelo, por exemplo) e necessidade de

procedimentos estatísticos que considerem a existência

de dependência entre observações (modelos de séries

temporais).




VERIFICANDO A NORMALIDADE

TESTES:

Teste de Shapiro-Wilk

Anderson-Darling

Kolmogorov-Smirnov

Cramer-von Mises

Liliefors.





Gráfico Normal Probabilístico:

Homocedasticidade:INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS







O gráfico de probabilidade e um método para determinar se os dados da

amostra (erros estimados, nessa situação) seguem uma distribuição

hipotética, baseada no exame visual dos dados. O procedimento geral e

muito simples e pode ser feito rapidamente. Gráfico de probabilidade usa

tipicamente um papel gráfico especial, conhecido como papel de

probabilidade, que tem sido projetado para a distribuição hipotética. O

papel de probabilidade é largamente disponível para as distribuições

normal, lognormal, Weibull e várias distribuições quadrado e gama.

Softwares estatísticos atualmente substituem o uso destes papéis,

necessários durante longo tempo.





Para construir um gráfico de probabilidade:1. As observações na amostra são primeiro ordenadas da menor para a

maior. Ou seja, a amostra X1., X2, .. .,Xn e arrumada como x(1),x(2), ...,x(n)em que x(I) é a menor observação, X(2) e a segunda menor observaçao eassim por diante, com x(n) sendo a maior.

2. As observações ordenadas X(U) são então grafadas contra suasfreqüências cumulativas observadas (j - 0,5)/n em um papel apropriadode probabilidade.

3. Se a distribuição hipotética descrever adequadamente os dados, ospontos picotados cairão, aproximadamente, ao longo de uma linha reta;

4. Se os pontos plotados desviarem significativamente de uma linha reta,então o modelo hipotético não será apropriado.

Gráfico Normal Probabilístico: Exemplo




Dez observações sobre o tempo (em minutos) efetivo de vida de serviço de

baterias usadas em um computador pessoal são: 176,191,214,220,205,

192,201,190, 183,185. Imaginemos que a vida da bateria seja modelada

adequadamente por uma distribuição normal. Para usar o gráfico de

probabilidade de modo a investigar essa hipótese, arranje primeiro as

observações em ordem crescente e calcule suas freqüências cumulativas

(j- 0,5)/10 conforme segue.





j X9i) (j - 0,5)/10

1 176 0,05

2 183 0,15 3 185 0,25 4 190 0,35 5 191 0,45 6 192 0,55 7 201 0,65 8 205 0,75 9 214 0,85 10 220 0,95





Os pares de valores x(i) e (j - 0,5)/10 são agora plotados em um papel de

probabilidade normal. Esse gráfico é mostrado na figura abaixo. A maioria

dos papeis de probabilidade normal plotam 100(j - 0,5)/n na escala vertical

da esquerda e 100[ 1 - (j - 0,5)/n] na escala vertical da direita, com o valor da

variável plotada na escala horizontal.

Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA




Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em um

papel gráfico normal, plotando os escores normais padrões Zj contra x(i), em

que os escores normais padrões satisfazem:

Por exemplo, se (j-0.5)/n = 0.05 então (zj) = 0.05 zj =-1.64. Para ilustrar,

consideremos os dados do exemplo acima.

Gráfico Normal ProbabilísticoALTERNATIVA




j X9i) (j - 0,5)/10 Zj

1 176 0,05 -1.64

2 183 0,15 -1.04

3 185 0,25 -0.67

4 190 0,35 -0.39

5 191 0,45 -0.13

6 192 0,55 0.13

7 201 0,65 0.39

8 205 0,75 0.67

9 214 0,85 1.04

10 220 0,95 1.64

Gráfico Normal Probabilístico: EXEMPLO VARIEDADES DE MILHOS





Não Normalidade

Modelos Lineares Generalizados

Transformações




VERIFICANDO A HOMOCEDASTICIDADE

Hipóteses:

Ho : 12 = 2

2 = ... = a2

H1 : i2 ≠ j

2 para pelo menos um i j





Alguns Testes:

Teste de Hartley: Exige um mesmo número de repetições

entre os tratamentos.

Teste de Bartlett: Pode ser utilizado para qualquer número de

repetições nos tratamentos.

Teste de Cochran: Pode ser utilizado para qualquer número de

repetições nos tratamentos.

Teste de Levene: Anova para resíduos “robustos”.





TESTE DE HARTLETT




2maxS = maior variância dentre os “a” tratamentos;

2minS = menor variância dentre os “a” tratamentos;

Fmax é comparado com o valor tabelado para H(g,r-1) da tabela de Pearson e Hartley, onde

g=número de tratamentos e r= número de repetições (mesmo para todos os tratamentos).

Se Fmax > H(g,r-1) rejeita-se H0 e conclui-se que não existe homogeneidade de variância

entre os tratamentos. Caso contrário H0 não é rejeitada.


Análise Gráfica




PROBLEMA:

O que fazer quando alguma das suposições ( normalidade

e/ou homocedasticidade) não são satisfeitas?




O procedimento usualmente nestes casos é o uso detransformações na variável resposta. O uso de transformações éum artifício matemático com bons resultados quando existe umarelação entre média e variância (heterocedasticidade regular).

Atualmente, novos procedimentos estatísticos são propostoscomo alternativa ao uso de transformação dos dados. Além dos játradicionais procedimentos de métodos não paramétricos, hojeestão disponíveis, inclusive em todos os softwares maisconhecidos, os métodos de Modelos Lineares Generalizados, quelevam em conta a natureza da distribuição da variável em estudo.







DUAS QUESTÕES:

1. O teste F acima definido é válido se a hipótese de que os dados

observados nos diferentes grupos são independentes e podem ser

representados pelo modelo normal. Como verificar que estas

suposições são verdadeiras?

2. Ao rejeitarmos que H0 é verdadeira, concluímos que pelo menos

dois grupos (tratamentos) diferem. Como identificar que grupos

diferem?




MÉTODOS DE COMPARAÇÕES MULTIPLAS:

Objetivo:

Identificar, quando rejeitamos Ho numa ANOVA, que

tratamentos diferem significativamente.





Proposta:

Estabelecer uma “diferença mínima

significativa(d.m.s)” entre duas médias. Toda vez que o valor

absoluto da diferença entre duas médias for maior ou igual

d.m.s., as médias são consideradas estatisticamente diferentes,

ao nível de significância estabelecido.





OBSERVAÇÃO:

Foram propostas diversas maneiras de estabelecer uma d.m.s. Cada

proposta é na realidade, um teste que, em geral, leva o nome do seu autor.

Não existe um procedimento para a comparação de médias que seja

definitivamente o “melhor”. Vários trabalhos são encontrados na literatura

fazendo estudos comparativos dos diferentes métodos que, incluindo-se

novas propostas que freqüentemente são apresentadas. Em geral é possível

mostrar a existência de procedimentos mais eficientes para situações

especificas, porém não se mostrou, até hoje, um método que seja mais

eficaz para um caso geral.




TESTE T- TESTE LSD (LEAST SIGNIFICANT DIFFERENCE):

Rejeita-se a igualdade se:




TESTE DE TUKEY:

q é chamada de amplitude total studentizada que depende do número de

tratamentos (a) e do número de graus de liberdade dos erros (f = N-p).

(tabela encontrada em Montogomery). O teste preserva o nível de

significância para todos os contrastes. É um teste mais conservador do que

o LSD em declarar um diferença como significativa.




APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS:

1. Ordena-se as médias de tratamentos em ordem crescente (oudecrescente).

2. Coloca-se uma letra do alfabeto na primeira média e em seguidacompara-se com as médias seguintes

3. Se a diferença for superior ao valor da d.m.s. a diferença éconsiderada significativa e portanto é atribuída uma outra letra amédia que foi comparada

Ao final temos que médias de tratamentos que não diferemsignificativamente têm em comum uma letra enquanto quemédias que diferem não tem nenhuma letra em comum.




APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS: EXEMPLO

Consideremos: (A > C > D > B):

Situações

1 2 3 4 5

A a a a a a

C a b b b a b

D a c c b c b c

B a d c c c

Caso 1: Situação onde não foi rejeitado H0

na tabela de ANOVA, ou seja, não existemdiferenças entre quaisquer doistratamentos.

Caso 2: Outra situação extrema, todos ostratamentos diferem entre si.Caso 3: Temos que A C diferem de todos

os tratamentos e D e B sãoestatisticamente iguais entre si.

Caso 4: A difere de todos os demaistratamentos, C e D são estatisticamenteiguais mas C difere de todos os demaisenquanto que D é tambémestatisticamente igual a B.

Caso 5: A é estatisticamente igual a C masdifere dos demais, enquanto que C éestatisticamente também igual a D ediferente de B. Por sua vez D éestatisticamente igual a B.




EXEMPLO: Produtividade de 4 diferentes variedades de milho

t Tests (LSD) for y

Means with the same letterare not significantly different.

t Grouping Mean N f

A 31.000 5 D

B 27.000 5 B

C B 26.000 5 C

C 23.000 5 A




Tukey's Studentized Range (HSD) Test for y

Means with the same letterare not significantly different.

Tukey Grouping Mean N f

A 31.000 5 D

B A 27.000 5 B

B 26.000 5 C

B 23.000 5 A

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