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EXPERIMENTOS

FATORIAIS

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTOS E ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

2º SEMESTRE DE 2010

EXPERIMENTOS FATORIAIS

OBJETIVO:

Verificar o efeito conjuntos de dois ou mais fatores sobreuma dada resposta

SITUAÇÃO:

Tratamentos em estudos são resultados das combinaçõesdos valores dos diferentes níveis dos fatores em estudo




EXEMPLO:

Deseja-se verificar o ganho de peso de animais de diferentesraças considerando-se diferentes tipos de ração

Fatores: Raça do animal e Tipo de ração.

Tratamentos: Combinações entre as diferentes raças a seremutilizadas e os diferentes tipos de rações.




IMPORTANTE:

Um experimento fatorial pode ser conduzido tanto numexperimento completamente aleatorizado, quanto numexperimento aleatorizado em blocos, ou quadrado latino,entre outros.

PROBLEMA:

Quando o número de fatores cresce, cresce o número decombinações entre níveis dos fatores dificultando, muitasvezes, a instalação do experimento.




ESTRUTURA ENTRE FATORES:

FATORES: CRUZADOS

EFEITOS: FIXOS



EXPERIMENTOS FATORIAIS COM FATORES CRUZADOS


CARACTERÍSTICA:Os níveis de um fator são combinados com todos os níveis do outro (dos outros) fator(es).

Exemplo:Fator A : Raça do Animal A1, A2, A3Fator B : Tipo de Ração B1, B2

A 1 A 2 A 3

B 1 B 2

Fa to r A

Fa to r B

Tratamentos: A1B1, A1B2, A2B1,A2,B2, A3B1,A3B2




EFEITOS FATORIAIS

Fator 1 : A1, A2Fator 2 : B1, B2

UMA SITUAÇÃO

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142

QUESTÕES:

Os fatores F1 e F2 apresentam efeito conjunto ou são “independentes”?

O Fator F1 apresenta efeito significativo?

O Fator F2 apresenta efeito significativo?




RESPOSTA:

Estudo dos efeitos do modelo:

Efeito de Interação

Efeito Principal de F1 (1º Fator)

Efeito Principal de F2 (2º Fator)




QUESTÃO:

Como identificar/interpretar estes efeitos?




GEOMETRICAMENTE

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142







EFEITOS PRINCIPAIS:F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142

Efeito específico de cada fator,ou ainda, alteração que ocorrena variável resposta a partir datroca de níveis do fator.

A = [(40+52)/2] – [(30+20)/2] = 21B = [(30+52)/2] – [(40+20)/2] = 11

A mudança do nível A1 para o nível A2 do fator 1produz um acréscimo de 21 unidades na variávelresposta.

A mudança do nível B1 para o nível B2 do fator 2produz um acréscimo de 11 unidades na variávelresposta.


EFEITOS INTERAÇÃO

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142

Alteração produzida na variávelresposta a partir da mudança deníveis de um fator dentro dosdiferentes níveis do outro fator.

Comportamento de um fator é praticamente omesmo nos diferentes níveis do outro fator, istoé: A(B1) = 20 22 = A(B2), por outro lado,B(A1) = 10 12 = B(A2).




CONCLUSÃO:

Não existe interação Umfator não influência nosresultados obtidos pelo outrofator. O efeito principal de Aé [(20+22)/2] = 21desconsiderando o fator B e oefeito de B é [(10+12)/2]= 11independente do efeito de A.

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142




SEGUNDA SITUAÇÃO

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 40 60A2 50 12 62

Total 70 52 122

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 30 50A2 40 52 92

Total 60 82 142




SEGUNDA SITUAÇÃO

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 40 60A2 50 12 62

Total 70 52 122

Efeitos Principais:A = [(50+12)/2] – [(20+40)/2] = 1B = [(40+12)/2] – [(50+20)/2] = -9

Efeito da Interação:A (B1) = 50 – 20 = 30A (B2) = 12 – 40 = -28B (A1) = 40 – 20 = 20B (A2) = 12 – 50 = -38

O comportamento de um fatornão é o mesmo para osdiferentes níveis do outro fator.




GEOMETRICAMENTE

F1

F2 TotalB1 B2

A1 20 40 60A2 50 12 62

Total 70 52 122




COMPARANDO:

curvas paralelas não existe interação curvas não paralelas existe interação




IMPORTANTE

Os gráficos de interação podem apresentar diferentes

comportamentos. Em geral, quando as retas são paralelas,

não existe interação. Quando as retas se cruzam ou não são

paralelas, pode ser que exista interação. Tudo depende da

magnitude da interação e do erro experimental.

Nem sempre retas cruzadas indicam interação.




ALGUMAS

DIFERENTES

SITUAÇÃO:






EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES

TWOWAY

EXPERIMENTOS FATORIAIS COM DOIS FATORES CRUZADOS

EXEMPLO:Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da

adubação nitrogenada em dois niveis (N0 e N1) e fostatadatambém em dois níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Osresultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:

FosfatoNitrogênio P0 P1

N0 1.00 1.60 3.20 4.501.20 1.30 5.60 5.501.30 4.40

N1 1.50 2.30 3.80 5.001.10 1.40 6.00 6.201.60 4.80




OBSERVANDO OS DADOS:




INTERAÇÃO: Questões:1. O rendimento da cultura dado umnível de nitrogênio independe donível de fosfato?2. Existe efeito de nitrogênio e defosfato no rendimento da cultura?

Do ponto de vista estatístico:1. . Existe interação entre osfatores?2. Os efeitos principais sãosignificativos?




CASO GERAL

Consideremos

Fator A a níveis ì = 1, ..., a

Fator B b níveis i = 1, ..., b

nij = número de observações para cada nível i do fator A e j do

fator B

nij = n ij experimento balanceado




CASO GERAL

Fator AFator B

1 2 … b1 y111,

y112,…,y11n

y121,

y122,…,y12n

… y1b1,

y1b2,…,y11n

2 Y211,

y212,…,y21n

Y221,

y222,…,y22n

… Y2b1,

y2b2,…,y2bn

… … … … …a Ya11,

ya12,…,ya1n

Ya21,

ya22,…,ya2n

… Yab1,

yab2,…,yabn

A mesma estrutura de um experimento com um fatoraleatorizado em blocos. Porém temos objetivos einterpretações diferentes.




EFEITOS

Fator Efeito Efeito Efeito

A Fixo Aleatório Fixo Aleatório

B Fixo Aleatório Aleatório Fixo

Modelo

Modelo I Modelo II Modelo III

Efeitos

Fixos

Efeitos

AleatóriosEfeitos Mistos




MODELO DE EFEITOS FIXOS

yijk = + i + j + ( )ij + ijkonde:

yijk= variável resposta de comparação

= efeito comum independente dos fatores

i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a

j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b

( )ij = efeito da ij-ésima interação: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b

ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1,2,...n

Suposição: ijk ~ N(0, 2

)





Modelo na presença de blocos:

yijk = + i + j + ( )ij + k + ijk

k = efeito do k-ésimo bloco k: i = 1, ..., k

Obs: Considerando uma observação por tratamento por bloco;





HIPÓTESES DE INTERESSE:

Efeito de Interação:

Efeitos Principais:





HIPÓTESES DE INTERESSE:

Efeito de Interação:

Efeitos Principais:

Procedimento de Análise:

1. Analisar inicialmente o efeitode interação do modelo:

SIGNIFICANTE: verificar o efeitode um fator dentro dosdiferentes níveis do outro fator.Efeitos principais devem serdesconsiderados.

NÃO SIGNIFICANTE: Analisar os efeitos principais.





ANÁLISE DE VARIÂNCIA:

PARTIÇÃO DA SOMA DE QUADRADOS:

SQT = SQM + SQE = SQA + SQB + SQAB + SQE






GRAUS DE LIBERDADE

Componente GL

Total abn-1

A a-1

B b-1

AB (a-1)(b-1)

Erro ab(n-1)






TABELA ANOVA

Fonte deVariação

Graus deLiberdade

Soma deQuadrados

QuadradosMédios

E(QM)* F

Modelo ab-1 SQM SQM/ab-1

A a-1 SQA

B b-1 SQB

AB (a-1)(b-1) SQAB

Erro N-a SQE

Total N-1 SQT - -






ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS

Estimadores:

(valor predito para ijk-ésima das observações é a média das n observações nas combinações i e j).






ADEQUABILIDADE DO MODELO

Gráfico Normal Probabilístico (normalidade)

Gráfico de Resíduos x Predito (homocedasticidade e aleatoriedade)

Gráfico de Resíduos x Fatores (aleatoriedade)





ANÁLISE DE VARIÂNCIA: COMPARAÇÕES MULTIPLAS

1. Quando rejeitado Ho, como identificar diferenças?

Interação não significativa não rejeito Ho

Analisar cada um dos efeitos principais, considerando osprocedimentos de um experimento de 1 fator.

Interação significativa rejeito Ho

alternativas:

1. comparar as médias de um fator dentro dos níveis do outro fator;

2. aplicar comparações múltiplas para as combinações dos tratamentos





ANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO

Um agrônomo está interessado em investigar o efeito da adubação nitrogenada em dois níveis (N0 e N1) e fosfatada também em dois níveis (P1 e P2) numa determinada cultura. Os resultados do experimento são apresentados na tabela abaixo:

FosfatoNitrogênio P0 P1

N0 1.00 1.60 3.20 4.501.20 1.30 5.60 5.501.30 4.40

N1 1.50 2.30 3.80 5.001.10 1.40 6.00 6.201.60 4.80




MODELO DE EFEITOS FIXOSANÁLISE DE VARIÂNCIA: EXEMPLO





Source DFSum of

Squares Mean Square F Value Pr > F

Model 3 61.10550000 20.36850000 37.98 <.0001

Error 16 8.58000000 0.53625000

Corrected Total

19 69.68550000

R-Square Coeff Var Root MSE Y Mean

0.876875 23.13715 0.732291 3.165000





Source DF Type I SSMean

Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001

Nitro*Potas 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413

Source DF Type III SS Mean Square F Value Pr > F

Nitrogênio 1 0.84050000 0.84050000 1.57 0.2286

Fosfato 1 60.20450000 60.20450000 112.27 <.0001

Nitrogênio*Fosfato 1 0.06050000 0.06050000 0.11 0.7413





Level ofNitrogênio N

Y

Mean Std Dev

1 10 2.96000000 1.89220624

2 10 3.37000000 2.01717624

Level ofFosfato N

Y

Mean Std Dev

1 10 1.43000000 0.36530049

2 10 4.90000000 0.95916630





Há necessidade da realização de comparações múltiplas?

Level ofFosfato N

Y

Mean Std Dev

1 10 1.43000000 0.36530049

2 10 4.90000000 0.95916630




EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL:

SITUAÇÃO:

O número de fatores a serem investigados no experimento é

maior que 2. Todos estes fatores são cruzados, isto é, níveis de um

fator “combinam” com os níveis de todos os demais fatores. As

diferentes combinações obtidas definem os “tratamentos” a serem

aleatorizados as unidades experimentais. O número de tratamentos

é dado pelo produto do número de níveis de cada fator.





A : 2 níveis = a1,a2

B : 3 níveis = b1,b2,b3 Fatorial 2 x 3 x 2

C : 2 níveis = c1, c2

Tratamentos = 12

a1b1c1, a1b1c2, a1,b2,c1, a1b2,c2, a1b3c1,a1b3c2 a2b1c1, a2,b1c2, a2b2c1, a2b2c2, a2b3c1, a2b3c2





Efeitos Principais A, B, C

Efeitos de interação de 2 fatores AB, AC, BC

Efeito de interação de 3 fatores ABC





NÚMERO DE EFEITOS:

Efeitos com a presença de j fatores:

Caso anterior:

j = 1 Efeitos Principais: 3 Efeitos Principais:

j = 2 Efeitos Interações 2: 3 interações 2 fatores

j = 3 Efeitos Interações 2: 1 interação 3 fatores





PROCEDIMENTO PARA ANÁLISE

Iniciar o teste dos efeitos sempre pelos efeitos com apresença de um maior número de fatores (interação demaior ordem):

Rejeição Ho : não devem ser observados os efeitos commenor número de fatores;

Não-rejeição Ho : testar efeitos com menor número defatores.




EXPERIMENTO FATORIAL – CASO GERAL: MODELO DE EFEITOS FIXOS:

SITUAÇÃO:Todos os fatores presentes no estudo apresentam efeito fixo,

isto é, a inferência a ser realizada esta restrita aos níveis dos fatores utilizados no experimento.

ANOVA:A análise de variância é feita de forma usual, com a devida

partição da variabilidade total e com as estatísticas F tendo comodenominador o QME

Adequabilidade do Modelo, Comparações Múltiplas e Estimação dos Parâmetros:

Também seguem os procedimentos vistos para o caso de dois fatores (twoway).





Modelo:

yijkl = + i + j + ( )ij + k + ( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl

yijk= variável resposta de comparação= efeito comum independente dos fatores

i = efeito principal do i-ésimo nível de A: i = 1, ..., a

j = efeito principal do j-ésimo nível de B: j = 1, ..., b( )ij = efeito ij-ésima interação de AB: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b

k = efeito principal do k-ésimo nível de C: k= 1, ..., c( )ik = efeito da ik-ésima interação de AC. i = 1, ...,a; k = 1, ...,c( )jk = efeito da jk-ésima interação de BC. j = 1, ...,b; k = 1, ...,c( )ijk = efeito da ijk-ésima interação de ABC. i = 1, ...,a; j = 1, ...,b; k= 1, ...,c

ijk = erro aleatório: i = 1, ..., a; j = 1, ..., b; k = 1, ...,c; l = 1, ...,n





Suposição:

ijk ~ N(0, 2

)

Modelo com blocos:

yijkl = + l + i + j + ( )ij + k + ( )ik + ( )jk + ( )ijk + ijkl

l = efeito do l-ésimo bloco k: i = 1, ..., l





HIPÓTESES:






Exemplo:

Certa indústria química está estudando uma dada reação. Três fatores são

considerados importantes na composição desta reação: Temperatura,

Concentração e Catalisador. Um experimento fatorial, completamente

aleatorizado com fatores cruzados, foi realizado para se verificar o efeito

destes fatores na qualidade final da reação. Em função de estudos

anteriores os seguintes níveis dos fatores foram fixados: Temperatura 160

e 180 oC; Concentração 20 e 40%; Catalisador C1 e C2. O tempo de reação

para duas reações de cada uma das combinações dos níveis dos fatores

foi observado e os resultados obtidos São apresentados na tabela abaixo.

Quanto menor o tempo de reação melhor é a qualidade da reação.




Temperatura Concentração Catalisador Y

160

20 C1 59 61

C2 50 64

40 C1 50 58

C2 46 44

180

20 C1 74 70

C2 81 85

40 C1 69 67

C2 79 81




Source DF

Sum of

Squares

Mean


Model 7 2635.000 376.42857 47.05 <.0001

Error 8 64.00000 8.000000

Corrected

Total15 2699.000




R-Square Coeff Var Root MSE y Mean

0.976288 4.402221 2.828427 64.25000

Source DF Type I SS

Mean


temp 1 2116.000000 2116.000000 264.50 <.0001

conc 1 100.000000 100.000000 12.50 0.0077

temp*conc 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

cata 1 9.000000 9.000000 1.13 0.3198

temp*cata 1 400.000000 400.000000 50.00 0.0001

conc*cata 1 0.000000 0.000000 0.00 1.0000

temp*conc*cata 1 1.000000 1.000000 0.13 0.7328




temperatura cata

y

LSMEAN

LSMEAN

Number

160 C1 57.000 1

160 C2 48.500 2

180 C1 70.000 3

180 C2 81.500 4

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