capitulo 4

Introdução à Engenharia Química II

Professor Rodrigo Azevedo dos Reis

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Capítulo 4 – INTEGRAÇÃO e DIFERENCIAÇÃO NUMÉRICA

INTRODUÇÃOComo os engenheiros devem lidar continuamente com sistemas eprocessos que variam, o cálculo é uma ferramenta essencial desua profissão. No cerne do cálculo estão os conceitos matemáticosrelacionados a derivação (ou diferenciação) e a integração:

• Caracterização da mudança das variáveis no tempo e no espaço;

• Leis envolvendo potenciais e gradientes (massa, temperatura,momento, etc.);

• Propriedades médias;

• Cálculos de áreas e volumes;

• ETC.;




OBJETIVO

Capacitar ao aluno resolver muitos problemas de integraçãoe derivação numéricas e apreciar suas aplicações naresolução de problemas. O aluno deverá esforçar-se paradominar diversas técnicas e avaliar sua confiabilidade.




4.1 – INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

Designamos de um modo geral por integração numérica oprocesso de obter valores aproximados para

aFbFdxxffb

a I

em que é uma função integrável no intervalo finito , é a primitiva de , tal que .

A necessidade de ter de recorrer a métodos aproximados para calcular provém normalmente de uma das seguintes situações:

1) A expressão analítica de não é conhecida. É o que acontece quando esta função é dada por tabelas ou obtida por medições de grandezas físicas;

2) A expressão analítica de é conhecida, mas a primitiva desta função, , não, e portanto a forma usual de determinação da integral não é viável.

xf IR, ba xF

xf xfx'F

xf

xf

xF





FÓRMULAS DE NEWTON-COTESAs Fórmulas de Newton-Cotes são os esquemas mais comuns deintegração numérica. Elas estão baseadas na estratégia desubstituir uma função complicada ou dados tabulados por umafunção aproximada simples que seja mais fácil de integrar. Esteobjetivo é conseguido recorrendo, por exemplo, a polinómiosinterpoladores de f(x); a escolha desse polinômio e dos pontosque serão usados na sua determinação vão definir os diversosmétodos de integração. Assim, seja Pn o polinómio interpolador de

da função f(x) nos pontos distintos , pertencentesao intervalo , é razoável esperar que

ngrau nxxx ,...,, 10

ba,

ba nn dxxPPI bFaFdxxff b

a I




FÓRMULAS DE NEWTON-COTES

O erro cometido neste processo é: nn PfPfe III





Quando a função a ser integrada é conhecida em pontos igualmenteespaçados, o polinômio interpolador pode ser representado pelométodo das Diferenças Finitas ou Método de Gregory-Newton

xEf!n

nsssf!

ssfsfxP Tin

iiin

11

21 210

hxxs 0 ii xxh 1

!n

fhnsssxEn

nT 1

11

1





As fórmulas de Newton-Côtes são baseadas na mudançade variável de integração x para s na integral. Assim,

dshdx hxxs 0 dshdx

Considerando que a seja o início de um intervalo e b é um ponto qualquer do domínio de f(x), podemos dizer que:

aFbFdxxffb

a I

ax

bxPara

0s

ss Então





sn

ban dssPhdxxfP 0I

Escolhendo diferentes graus para o polinômio interpolador,teremos as diferentes fómulas de Newton-Côtes.

Nome da fórmula n

Regra do trapézio 1

Regra de Simpson de 1/3 2

Regra de Simpson de 3/8 3




REGRA DO TRAPÉZIO

A regra do trapézio é obtida pelo ajuste de um polinomial de primeiraordem a dois pontos discretos. Recorrendo a definição de s , verifica-se que o limite superior do intervalo (b) está distanciado do limiteinferior (a) por uma distância h. Assim, e1s

1

00

20

010 00

02

I

fsfshdsfsfhPn

0100

10

0 fffff Lembrando que:

10010 21

21I ffhfffhPn

Temos:




REGRA DO TRAPÉZIO

10010 21

21I ffhfffhPn

Como pode ser visto na Figura,a regra do Trapézio aplicada aum único intervalo em toda faixade integração pode produzirdesvios significativos no cálculoda integral de f(x).

Uma estratégia mais eficiente é dividir a faixa de integração [a,b] emintervalos menores igualmente espaçados e aplicar a regra do Trapézioem cada um.

nnn

iiin fffffhffhPf

1210

1

01

1-n

0ii 222

21

21II




REGRA DO TRAPÉZIO

nnn

iiin fffffhffhPf

1210

1

01

1-n

0ii 222

21

21II

Repare que este método não requer que os intervalos sejam igualmente espaçados,pois o método é aplicado de forma independente dentro de cada intervalo.

1

01

1-n

0ii 2

1IIn

iiiin ffhPf iii xxh 1onde




REGRA DO TRAPÉZIO

O erro da regra do trapézio para um intervalo é obtido por

"31

0

"2

121

21 fhdsfhsshErro

em cada intervalo

"

n

i

"n

ifhnfhErro 3

1

0

31

0 121

121 total

onde nxx 0 hxxn n 0e

"n fhxxTotalErro 2

0121




REGRA DO TRAPÉZIO

Exemplo – Resolva a integral pela regra do Trapézio: 9313

1I ,, dx

xa) Resolvendo toda faixa de integração em um único intervalo:

23159636025641026032258065028080I ,,,,,h

b) Resolvendo toda faixa de integração em dois intervalos de 0,4: 2300838902564102602857142902322580650

24040I ,,,,,,h

c) Resolvendo toda faixa de integração em quatro intervalos de 0,2:

229702060

256410260270279270285714290303030300232258065022020I

,

,,,,,,,h

d) Resolvendo toda faixa de integração em oito intervalos de 0,1:

229606360

256410260263157890312500000232258065021010I

,

,,,,,,h




h I Erro0,8 0,23159636 -0,00202192

0,4 0,23008389 -0,00050945

0,2 0,22970206 -0,00012762

0,1 0,22960636 -0,00003192

REGRA DO TRAPÉZIO

229574440,I




ALGORITMO DA REGRA DO TRAPÉZIO

Leia N , 0X , XN

N = número de pontos da Tabela

0X = Limite inferior do Intervalo

XN = Limite superior do Intervalo

Faça 1i até N

Leia 1,itab e 2,itab

Fim do looping em i

11 NN

10 NXXNH

2coef

221 ,Ntab,tabegint

Faça 2i até 1N

2,itab*coefegintegint

Fim do looping em i

2H*egintegint

Escreva egint




REGRA DE SIMPSON DE 1/3

A regra de Simpson de 1/3 é obtida a partir do ajuste deum polinomial de segundo grau a três pontos discretosigualmente espaçados.

Recorrendo a definição de s , verifica-se que o limite superior do intervalo (b) está distanciado do limite inferior (a) por uma distância 2h. Assim, e2s





2

00

22

02

002

0 02

000

1232

221I

fssfsfshdsfssfsfhPn

0

200

0

3122I fffhPn

OU

OU AINDA

210 431I fffhPn





O erro da regra de Simpson de 1/3 para um único intervalo formado por três pontos discretos em toda a faixa de integração é obtida pela seguinte integral:

06

212

0

'''3

dsfhssshErro

Este resultado não significa que o erro é nulo, mas simplismente que o termo cúbico é nulo e o erro deve ser obtido pelo próximo termo do polinomial de Newton-Gregory:

iviv fhdsfhsssshErro 52

0

4

901

24321

Assim, o erro global do método é proporcional à h5 . Por essa fórmula, pode-se notarque a regra de Simpson de 1/3 fornece valores exatos não só para a integração deponinômios de segundo grau, mas também, para polinômios de terceiro grau.





Como na regra dos Trapézios, pode-se melhorar o desempenho daregra de Simpson de 1/3 dividindo a faixa de integração em intervalosmenores contendo três pontos discretos igualmente espaçados emcada.

nn

n

iiiin

fffffffh

fffhPf

143210

2

021

2-n

0ii

4242431

431II




Exemplo – Resolva a integral pela regra do Trapézio: 9313

1I ,, dx

xa) Resolvendo toda faixa de integração em dois intervalos de 0,4:

229579740256410260285714290432258065034040I ,,,,,,h

b) Resolvendo toda faixa de integração em quatro intervalos de 0,2:

229574780256410260

27027927042857142902303030300432258065032020I

,,

,,,,,,h

c) Resolvendo toda faixa de integração em oito intervalos de 0,1:

2295744602564102602631578904270279270227777778042857142902

29411765043030303002312500000432258065031010I

,,,,,,

,,,,,,h





229574440,I

h I Erro0,4 0,22957974 -0,00000530

0,2 0,22967478 -0,00000034

0,1 0,22957446 -0,00000002





ALGORITMO DA REGRA DE SIMPSON DE 1/3Leia N , 0X , XN

N = número de pontos da Tabela



Faça 1i até N

Leia 1,itab e 2,itab

Fim do looping em i

11 NN

10 NXXNH

2coef

2aux

221 ,Ntab,tabegint

Faça 2i até 1N

auxaux

auxcoefcoef

2,itab*coefegintegint

Fim do looping em i

3H*egintegint

Escreva egint





A regra de Simpson de 3/8 é obtida a partir do ajuste deum polinomial de terceiro grau a quatro pontos discretosigualmente espaçados. O limite superior da integral (b)corresponde a s = 3.

3

00

322

02

20

20

0

30 0

30

200

0

2444

1232

2

621

21I

fsssfssfsfsh

dsfsssfssfsfhPn

3210 3383I ffffhPn

OU





O erro da regra de Simpson de 3/8 para um únicointervalo formado por quatro pontos discretos em toda afaixa de integração é obtida pela seguinte integral:

iviv fhdsfhsssshErro 53

0

4

803

24321

Comparando os erros das regras de Simpson, verifica-se que o erro obtido coma regra de Simpson de 3/8 é maior que o erro obtido com a regra de Simpsonde 1/3. A regra de Simpson de 3/8 é útil apenas quando o número total deincrementos for impar. Assim, três incrementos (formando um intervalo dequatro pontos discretos) podem ser avaliados pela regra de Simpson de 3/8 e orestante pela regra de Simpson de 1/3, percorrendo toda a faixa de integração.





Como no métodos anteriores, pode-se melhorar odesempenho da regra de Simpson de 3/8 dividindo afaixa de integração em intervalos menores contendoquatro pontos discretos igualmente espaçados em cada.

nn

n

iiiiin

fffffffh

ffffhPf

143210

3

0321

3-n

0ii

3323383

3383II





Nome da fórmula n Erro de truncatura

Regra do trapézio 1 bafh ,,121 3

Regra de Simpson 2 bafh ,,901 45

Regra dos três oitavos 3 bafh ,,803 45




Quadratura de Gauss ou Gaussiana

Quadratura de Gauss é o nome de uma classe de

técnicas para implementar uma estratégia que remove a

restrição de pontos base fixos, isto é

As fórmulas de quadratura de Gauss descritas neste itemsão também por fórmulas de Gauss-Legendre.





MÉTODO DOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

n

iiinn

ba

xfcxfcxfcxfcdxxf0

1100

O método dos coeficientes indeterminados oferece umaabordagem que também tem utilidade na dedução deoutras técnicas de integração.

Obs.: Perceba que a Regra do Trapézio pode ser expressa neste formato:

110010

2xfcxfcxfxfabdxxfb

a

onde os c’s são constantes desconhecidas.





Perceba, agora, que a regra do trapézio deveria fornecerresultados exatos quando a função sendo integrada é umaconstante ou uma reta. Duas equações simples querepresentam esses casos são y = 1 e y = x integradas emum intervalo simétrico.

mmmdxcc mm

2111 10

022

22

10

mmdxxmcmc m

m

Se m é 0, então c0=c1mcc 10

mm

dxyxfcxfc 1100




110010

2xfcxfcxfxfab


Igualando a regra do trapézio:

Então:

210

abmcc




DEDUAÇÃO DA FÓRMULA DE GAUSS-LEGENDRE DE DOIS PONTOS

Do mesmo modo como no caso da dedução da regra dos

trapézios, o objetivo da quadratura de Gauss é determinar

os coeficientes de uma equação da forma

1100 xfcxfcdxxfba

onde os c’s são constantes desconhecidas. Entretanto, em

contraste com as fórmulas de Newton-Cotes, na fórmula

de Gauss os argumentos da função (x0 e x1) não são

fixados nas extremidades, mas são incógnitas a serem

encontradas.





Assim, agora temos um total de quatro incógnitas que

devem ser calculadas e necessitamos de quatro condições

para determiná-las exatamente.





Na aplicação da quadratura gaussiana, os pontos não sãomais escolhidos pela pessoa que utiliza o método, massegue um critério bem definido e que será visto a seguir.

Para simplificar o desenvolvimento das fórmulas, vamos considerar a integração de uma função hipotética F(t) no intervalo de 11 t

in

ii tFcdttFFI

0

11





0t

1t

0c1c

Resumindo: Encontre

1tF ttF 2ttF 3ttF

de modo que a integral seja exata para as seguintes funções

110011

tFctFcdttFFI





10101

111

11211 AAAAtdttFI

11001

121

10

21 tAtAtdttttFI

211

200

1

131

122

32

31 tAtAtdttttFI

311

300

1

141

133 0

41 tAtAtdttttFI

110 AA3

10 t 3

11 t





Observe que os extremos de integração são -1 e 1. Issofoi feito para simplificar a matemática e tornar aformulação tão geral quanto possível.

Uma simples mudança de variável pode ser usada paratransformar outros extremos de integração para a formamais simples [-1,1].

3

13

111

FFdttFFI

Pode-se, por exemplo, supor uma relação linear entre avariável original (x) e a variável auxiliar (t).





O problema real é: ba

dxxffI

A estratégia adotada neste médodo propõe fazer amudança de variável tx

cmtx então dtmdx

de modo que, quando ax 1t

e, quando bx 1t

2abm

2

abc

e





22abtabx

11

dtmcmtfdxxffIba

Então

Defini-se então a função

22

abtabftF





112

dttFabfI

231

2231

22

31

31

2

ababfababfab

FFabfI

Assim, a solução utilizando dois pontos é:




Observe que, por ser exata para polinômios de grau 3,esta fórmula é equivalente à regra de Simpson de 1/3;entretanto, ela requer o cálculo de apenas dois valores dafunção, ao passo que na regra de Simpson de 1/3 sãonecessários três pontos. Repetindo o mesmoprocedimento obtem-se as fórmulas de ordens mais altas.A integrais podem ser obtidas de forma similar

in

ii

ba

tFAabdxxffI

02





n it iA Ordem 1 31 1 3

31 1 2 60, 5/9 5

0 8/9 60, 5/9

3 - 0,8611363116 0,3478548451 7 - 0,3399810436 0,6521451549 0,3399810436 0,6521451549 0,8611363116 0,3478548451


Parâmetros da Quadratura de Gauss





O erro pode ser avaliado pela seguinte fórmula:

11223212 22

3

432

,F

!nn!ne n

n

onde (n+1) é o número de pontos utilizados.




Exemplo – Resolva a integral pela quadratura de Gauss: 9313

1I ,, dx

xa) Considere a fórmula de dois pontos aplicada em toda faixa de integração como um único intervalo:


402

,abm

532

,abc

e

5340 ,t,x 5340

1,t,

tF

3

113

1140401 11

9313

FF,dttF,dxx

fI,,

229570920533140

1533140

140 ,,,,,

,fI




229574440,I


O erro é 0,22957092 – 0,22957444 = -0,00000352 utilizando apenas dois pontos.

h I Erro0,4 0,22957974 -0,00000530

0,2 0,22967478 -0,00000034

0,1 0,22957446 -0,00000002

Compare com Simpson de 1/3 com dois pontos




b) Podemos aplicar, agora, a regra de quadratura de doispontos sobre dois intervalos distintos da faixa deintegração (regra composta):


219353

5313

11I IIdxx

dxx

,,

,,

Para I1, a = 3,1 e b = 3,5 então (b - a)/2 = 0,2 e (b + a)/2 = 3,3. Assim,

3320 ,t,x 3320

1,t,

tF

3

113

1120201 11

53131 FF,dttF,dx

xfI

,,

121360710333120

1333120

1201 ,,,,,

,fI





Para I2, a = 3,5 e b = 3,9 então (b - a)/2 = 0,2 e (b + a)/2 = 3,7. Assim,

7,32,0 tx 7,32,0

1

t

tF

3

113

112,02,01 11

9,35,32 FFdttFdx

xfI

1082135,07,3312,0

17,3312,0

12,02

fI

,




229574440,I


O erro é 0,22957421 – 0,22957444 = -0,00000023

h I Erro0,4 0,22957974 -0,00000530

0,2 0,22967478 -0,00000034

0,1 0,22957446 -0,00000002

o erro é da ordem daquele obtido pela regra de Simpson de 1/3 aplicando quatro intervalos sobre toda a faixa de

integração (necessários seis pontos)




c) Finalmente, vamos aplicar a fórmula gaussiana de trêspontos em toda a faixa de integração (três pontos) :


402

,abm

532

,abc

5340 ,t,x 5340

1,t,

tF

60950

9860

9540401 1

19313

,FF,F,dttF,dxx

fI,,

229574430536040

9553040

98536040

9540 ,,,,,,,,,

,fI




229574440,I


O erro é 0,22957443 – 0,22957444 = -0,00000001

h I Erro0,4 0,22957974 -0,00000530

0,2 0,22967478 -0,00000034

0,1 0,22957446 -0,00000002

Compare com Simpson de 1/3 com três pontos




Leia N , 0X , XN

N = número de pontos a ser utilizado



Leia

Faça 1i até N

Leia it

Leia iA

Fim do looping em i

.egint 0

Faça 1i até N

22 00 /XX/iT*XXx NN

20 /XX*xFUNCAOF N

F*iAergintergint

Fim do looping em i

Escreva egint

Função FUNCAO

FUNCAO = “escreva a forma analítica de xf

Fim da Função

Algoritmo da Quadratura de

Gauss




4.2 – DERIVAÇÃO NUMÉRICA

Lembre-se que utilizamos a expansão em série de Taylorpara deduzir as aproximações por diferenças finitas dederivadas:

n

nnR

naxaf

axafaxafaxafafxf

!)(

6)(

2)('')(')()(

)(

3)3(2

Truncando no termo linear e isolando a derivada primeira:

hOhfxxO

xxxfxfxf i

iiii

iii

1

1

1'

fi é conhecida como primeira diferença progressiva e h de tamanho do passo





Você poderia também expandir a série no ponto xi-1:

n

niii

n

iiiiiiiiiii

Rn

xxxf

xxxfxxxfxxxfxfxf

!)(

6)(

2)('')(')()(

1)(

31

)3(21

11

n

ni

ni

iii Rn

hxfhxfhxfxfxf

!)(

2)('')(')()(

)(2

1

OU




Truncando no termo linear e isolando a derivada primeira:

hOhf

hxfxfxf iii

i

1'

fi é conhecida como primeira diferença regressiva


n

ni

ni

iii Rn

hxfhxfhxfxfxf !)(

2)('')(')()(

)(2

1

n

ni

ni

iii Rn

hxfhxfhxfxfxf

!)(

2)('')(')()(

)(2

1

Um terceira forma de aproximar a primeira derivada é substituir

em





!3

)(2)('2)()(33

11hxfhxfxfxf i

iii

Truncando no termo cúbico e isolando a derivada primeira:

6)(

2'

2311 hxf

hxfxfxf iii

i

2112

' hOh

xfxfxf iii

A derivada é representada pela diferença centrada. Observe que o erro de truncamento é da ordem de h2.





Aproximações por Diferenças Finitas de ordens Superiores:

n

ni

ni

iii Rn

hxfhxfhxfxfxf !2)(

22)(''2)(')()(

)(2

2

n

ni

ni

iii Rn

hxfhxfhxfxfxf !)(

2)('')(')()(

)(2

1

Multiplicando a equação abaixo por 2:

E subtraindo pela equação de cima, temos:

2

12 )('')()(2)( hxfxfxfxf iiii





Truncando no termo quadrado e isolando a derivadasegunda:

hOh

xfxfxfxf iiii

212 2''

hOh

xfxfxfxf iiii

2212''

Na versão regressiva:

22

11 2'' hOh

xfxfxfxf iiii

Na versão centrada:





Use aproximações por diferenças progressiva eregressiva de O(h) e uma aproximação por diferençacentrada de O(h2) para fazer uma estimativa da derivadaprimeira de

2,125,05,015,01,0 234 xxxxxf

Para x = 0,5, usando um tamanho de passo h =0,5.Repita os cálculos usando h = 0,25.

Calcule o valor exato de f’(0,5) para comparar com osvalores obtidos.




Fórmulas de Derivação de Alta Acurácia

2)('')(')()(

2

1hxfhxfxfxf i

iii

Série de Taylor Progressiva:

212''' hOhxf

hxfxfxf iii

i

Truncando no termo quadrado e isolando a derivada primeira:

Vamos introduzir a seguinte aproximação da derivadasegunda na equação acima:

hOh

xfxfxfxf iiii

212 2''





22

121

22' hOh

hxfxfxf

hxfxfxf iiiii

i

Rearranjando:

2122

34' hOh

xfxfxfxf iiii




Use aproximações por fórmulas de alta precisãoprogressiva e regressiva de O(h2) para fazer umaestimativa da derivada primeira de

2,125,05,015,01,0 234 xxxxxf

Para x = 0,5, usando um tamanho de passo h =0,5.Repita os cálculos usando h = 0,25.

Calcule o valor exato de f’(0,5) para comparar com osvalores obtidos.





Método do Polinômio das Diferenças Divididas

O conceito de diferença dividida vem da própriadefinição da derivada de uma função f(x) aplicada aoum ponto x0, isto é

0

0

00 xx

xfxfxx

limx`f

A diferença dividida de 1a ordem é definida como uma aproximaçãoda derivada primeira:

ii

iiii xx

xfxfx,xf

1

11

Analogamente, a diferença dividida de 2a ordem é definida como:

ii

iiiiiii xx

x,xfx,xfx,x,xf

2

12121

Expressões similares podem ser obtidas para diferenças divididas de ordens superiores,




capitulo 4

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