unidade f limites -...

171

Unidade F

Limites

Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG

172

28. Noção de limites

Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(x), em

que x = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f.

Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da

função quando x se aproximam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro

implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não.

Exemplo1: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é

3x,1

3x,3x

9x6²x

)x(f .

Tem-se f(3) =1, agora quando x se aproxima cada vez mais de 3, o que acontece

com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

x 1 2 2,5 2,9 2,99 2,999 x 3-

f(x)

x 5 4 3,5 3,1 3,01 3,001 x 3+

f(x)

Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do

x = 3, mais os f(x) se aproximam de ______.

Notação:

)x(flim3x

Observação: 1)Esse processo não nos dá garantias do resultado do limite, pois

para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproximarmos de

x = 3. E quantas formas existem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo

dos limites vamos nos basear em teoremas

que nos garantam certos resultados.

2)O gráfico desta função está ao lado. Com

o gráfico pronto conseguimos associar o

comportamento do gráfico com o limite. Os

f(x) tendem a zero quando x tende a 3, mas

f(3)=1.

3) Vemos também a noção de limites

laterais. Se analisarmos a tendência dos

f(x) quando x se aproximam de a, mas por

valores menores que a, definem o limite

lateral a esquerda. Denotamos por )x(flimax

.

Se analisarmos a tendência dos f(x) quando x se aproximam de a, mas por valores

maiores que a, definem o limite lateral a direita. Denotamos por )x(flimax

.

Exemplo2: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é

2x,1x

2x,1²x)x(f .

Tem-se f(2) = 3, agora quando x se aproxima cada vez mais de 2, o que acontece

com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 x 2-

f(x)

x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 x 2+

f(x)

Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que se nos aproximamos de x = 2, não há

um comportamento único dos f(x), assim não há limite.

Notação: )x(flim2x

173

Note como faz diferença nos aproximarmos de 2

pela esquerda oou pela direita.

Proposição 1: Se o limite de uma função existe, então ele é único.

Isso significa que, se ao nos aproximarmos de um certo valor de x de maneiras

diferentes e os f(x) se aproximarem de valores distintos o limite não existe.

Essa proposição é importante para provarmos quando um limite não existe.

Corolário 2: )x(flimL)x(flimL)x(flimaxaxax

Qualquer maneira que nos aproximemos de a, ou por valores maiores que a, ou

valores menores que a, se o limite existe (e é único) o resultado deve ser o

mesmo.

Exemplo 3: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é

0x,3

0x,x

senx

)x(f .

Tem-se f(0) = 3, agora quando x se aproxima de 0, o que acontece com os f(x).

Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo. Observação, como

dependemos da função seno, x deve ser em radianos.

x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 x 0+

f(x)

x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 x 0-

f(x)


x = 0, mais os f(x) se aproximam de ______.

Notação:

)x(flim0x

Exemplo 4: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = x². Investigaremos o limite quando x -1. Tem-se f(-1) = 1, agora quando x se aproxima de -1, o que acontece com

os f(x). Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.

174

x -2 -1,5 -1,1 -1,01 -1,001 -1,0001 x -1-

f(x)

x 0 -0,5 -0,9 -0,99 -0,999 -0,9999 x -1+

f(x)


x = -1, mais os f(x) se aproximam de ______.

)x(flim1x

=

Podemos observar que a tendência dos f(x) é a mesma

que f(-1).

Observação: A diferença do exemplo 4 para os

anteriores é que esta função é continua em x = -1,

onde o limite é investigado. O que isso significa?

Vejamos alguns conceitos.

29. Noção de função continua

Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o

gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linhas. Já

o quarto, formado de uma linha só. Isso dá a ideia que as três primeiras são

descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de

continuidade porque pode haver caso que a função tenha alguma restrição no domínio

175

e consequentemente terá seu gráfico formado

por mais de uma linha. Por exemplo, a função:

f: ℝ* ℝ*, cuja lei é x

1)x(f .

Não há divisão por zero, logo x = 0 não está

definido para esta função. Não há gráfico em

x = 0 (eixo oy). Assim obrigatoriamente o

gráfico da função será formado por duas

linhas. Uma para x < 0 e outra para x > 0.

Em cada parte do seu domínio a função é

contínua. Formada por uma linha, assim a

função no seu domínio é contínua.

Só há sentido em definir continuidade dentro

do domínio da função. Não há sentido analisar

a continuidade de x = 0 na função citada

acima. Já sabemos que, considerando todos os

reais, ela “falha” porque não existe divisão

por zero. Não há dúvida sobre isso. Analisar

a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO

da validade da função, se há a característica de partes desconexas do gráfico.

Definição 3: Dizemos que uma função é contínua em x = a se, e somente se:

)a(f)x(flimax

.

Isso nos dá uma vantagem automática. Conhecendo o gráfico de uma função, se

quisermos investigar o limite em um certo x = a, em que a D(f), sabemos o resultado do limite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR

LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f(x) se aproximam quando x se

aproxima de um a.

Exemplo: Calcule:

a)

²)x3(lim1x

b)

)x(senlim

2x

c)

x

3x

5lim

d)

)xln(lim0x

30 Noção de limite infinito e no infinito

Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f(x) quando x

aumenta sem limitação e assim dizemos que x + , ou quando x diminui sem

limitação e assim dizemos que x - . Inicialmente para termos a ideia,

voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do limite é , se os

f(x) aumentarem sem limitação f(x) + , ou diminuírem sem limitação

f(x) - .

176

Exemplo 1: Seja a função f: ℝ ℝ cuja lei é f(x) = 2x. Já sabemos qual é o comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico.

Sabemos que o gráfico é crescente (a>1), cresce

muito a medida que x cresce. O eixo ox é assíntota

do gráfico, pois os valores de y se aproximam de

zero quanto menor o x (negativos).

Nessas duas características do gráfico podemos

observar o que constataremos nas tabelas.

x 10 15 20 50 100 x + f(x)

x -10 -15 -20 -50 -100 x - f(x)

Há a ideia que quando x - , f(x) 0 e quando x + , f(x) + .

Exemplo 2: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =

0x,3

0x,x

1x3

.

Investigaremos o limite quando x 0. Não sabemos se essa função é contínua,

então não podemos calcular seu limite.

x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 x 0+

f(x)

x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 x 0-

f(x)

a) Noção de

)x(flim0x

b) Noção de

)x(flim0x

c)

)x(flim0x

x 10 15 20 50 100 x + f(x)

x -10 -15 -20 -50 -100 x - f(x)

d) Noção de

)x(flimx

e) Noção de

)x(flimx

f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de

como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no x = 0.

177

Observação: Reforçando: preencher tabelas não nos garante o resultado do limite.

Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o limite não existe, pois se

temos maneiras diferentes de nos aproximarmos de um mesmo valor, tendências

distintas seriam impossíveis se houvesse o limite.

Exemplo 3: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =

0x,0

0x,x

sen

.

Investigaremos o limite quando x 0

x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 x 0+

x

f(x)

x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 x 0-

x

f(x)

Noção de

)x(flim0x

x 2/3 2/31 2/303 2/3003 2/30003 x 0+

x

f(x)

x -2/3 -2/31 -2/303 -2/3003 -2/30003 x 0-

x

f(x)

Ou seja, )x(flim0x

178

31 Definição e cálculo de limites

Por isso temos que ver resultados que nos possibilitem calcular limites. A

definição demanda conhecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em

nível de curiosidade.

Definição 4:

L)x(flimax

Existe tal que |x – a| < implique |f(x)– L| < ,

para tão pequeno quanto se queira.

Proposição 5: axlimax

Demonstração: Basta tomar = , pois | x – a| = |f(x) – L|.

Considerando |x – a| < , temos |x- a| = |f(x) – L| < = , logo implica que

|f(x) – L| < e assim axlimax

.

Observação: Para resolvermos um limite por definição temos que ter um candidato

a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e

toma-los como base.

Proposição 6: kklimx

A função f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo ox. Assim, k)(flim)x(flim

xx

.

Os limites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo.

Proposição 7: (i) xlim

x

(ii) xlim

x

Proposição 8:

0)x(f,

0)x(f,

)x(f

1lim0)x(flimxx

Exemplos: Calcule os limites abaixo:

a) x

1lim

0x

b) x

1lim

0x

c) x

1lim

0x

d) x

1limx

e) x

1limx

179

Gráfico da função f: ℝ* ℝ*, cuja lei é f(x) = x

1 é:

Teorema 9: Álgebra dos limites. Se L)x(flimax

; M)x(glimax

e c ℝ, então:

(a) ML)x(g)x(flimax

(b) ML)x(g)x(flimax

(c) M

L

)x(g

)x(flim

ax

desde que g(x) e M 0

(d) cL)x(cflimax

Exemplo:

a)

5xlim3x

b)

²xlim5x

c)

x

senxlim

2x

Proposição 10: Se p é polinômio qualquer, para todo a ℝ:

)a(p)x(plimax

Exemplo: Calcule os limites abaixo:

(a) x²x7xlim4

2

1x

(b)

x7²x6x9x3

x8²x5x2lim

34

3

0x

180

(c)

3x

9²xlim

3x

Proposição 11: Teorema da raiz: Se p(x) é um polinômio e a é uma raiz deste

polinômio, ou seja, p(a)=o, então p(x) é divisível por x - a.

Exemplo: p(x)= x³ - 2x +1

No que isso pode ajudar a calcular limites? Ajuda nos casos de

indeterminação 0

0.

Exemplos:

(a)

1²x

1x2³xlim

1x

(b)

1³x

3

1x

1lim

1x

181

(c)

1x

1xlim

1x

Proposição 12: Considere k um número inteiro maior que 1, L um número real.

(a) Se k for ímpar e L)x(flimax

, então kk

ax

L)x(flim

.

(b) Se k for par e L)x(flimax

, então kk

ax

L)x(flim

para L > 0.

(c) Se k for par e 0)x(flimax

, então 0)x(flim k

ax

para f(x) > 0.

Proposição 13: Considere L um número real. Se L)x(flimax

, então L)x(flimax

.

Exemplo: Calcules os limites abaixo:

(a) 4²xlim1x

(b) 4²xlim3x

(c)

1x

4

1x 2

1xloglim

Observação: A função logarítmica é contínua no seu domínio ℝ+∗ .

32 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de limites finitos

Se no exemplo (c) anterior, o limite lateral não fosse definido, não

determinaríamos o resultado do limite com tanta facilidade, ou ainda, o limite

poderia não existir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão

fácil saber o resultado de um limite lateral podemos usar o velho recurso de

troca de variável.

Considere h 0, sempre com h > 0.

Limite lateral à esquerda: Trocar x por a – h, então:

)ha(flim)x(flim0hax

Observação: Se h 0+ e x = a – h, então x a-

Limite lateral à direita: Trocar x por a + h, então:

)ha(flim)x(flim0hax

Observação: Se h 0+ e x = a + h, então x a+

182

Exemplo 1: Calcule os limites indicados fazendo a troca de variáveis

correspondente.

(a.1) 2xlim2x

(a.2) 2xlim2x

(a.3) 2xlim2x

(b.1) ²x9lim3x

(b.2) ²x9lim3x

(b.3) ²x9lim3x

Exemplo 2: Calcule os limites laterais indicados e conclua se a função é contínua.

(a) Em relação a f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) =

0x,x

x

0x,0

(a.1) x

xlim

0x

(a.2) x

xlim

0x

(a.3) É contínua em x = 0?

183

(a.4) Esboce seu gráfico:

(b) Considere f(x)=

1x,1²x

1x,1x, calcule os limites laterais:

(b.1) )x(flim1x

(b.2) )x(flim1x

(b.3) A função é contínua em x = 1?

Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu

domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma

sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na

lei de formação.

Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo em seu domínio.

(a)

2x²,x

2x,1x2)x(f

184

(b)

1x,1²x2

1x,2x)x(f

Proposição 14: Se L)x(flimx

e n uma constante natural, então nn

x

L)x(flim

Exemplos: a)

5

x x

1lim

b) xsenlim2

3x

Proposição 15: Se L)x(flimx

e M)x(glimx

, então M)x(g

x

L)x(flim

, desde que L e M

não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 00) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8).

Exemplos: a) x2x

1xlim

b) xcos

3x

senxlim

c) xlog

2x

21x2lim

Observação: O limite lateral a direita do exemplo c não existe, pois o domínio

da função é D=],1[]1,2[.

33 Limites infinitos e no infinito

Já trabalhamos com a noção de limites infinitos e no infinito e alguns resultados.

Agora trabalharemos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos

de funções e a importante álgebra dos limites infinitos.

185

Proposição 16: São verdadeiras, em decorrência das funções exponencial e

logarítmicas estudadas:

(a)

0alim

x

x

e

xloglima

0x

se a > 1

(b)

x

x

alim e

xloglima

x

se a > 1

(c)

x

x

alim e

xloglima

0x

se 0 < a < 1

(d)

0alim

x

x

e

xloglima

x

se 0 < a < 1

Proposição 17: Álgebra dos limites infinitos: Se

)x(flimx

;

)x(glimx

; c e

d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:

(a)

)x(flimx

(b)

)x(g)x(flimx

(c)

)x(cflimx

(d)

)x(dflimx

(e)

)x(g)x(flimx

(f)

)x(flimc

x

Proposição 18: Álgebra dos limites infinitos: Se

)x(flimx

;

)x(glimx

; c e

d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:

(a)

)x(flimx

(b)

)x(g)x(flimx

(c)

)x(cflimx

(d)

)x(dflimx

(e)

)x(g)x(flimx

Observação: Descrever todas as combinações possíveis de limites infinitos com

constantes e limites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o

resultado desde que não caíamos numa indeterminação:

, - , 0, 0, 1, 0.

ou 0

0. Aqui, quando se fala em 0 ou em 1 está subentendido que são funções que

possuem este limite, não o próprio número 0 ou o próprio número 1, neste caso

não há indeterminação.

Exemplos:

a) x4

x

x 2

3lim

b) ²xlogxloglim22

0x

c) )x²x(limx

186

d) )x²x(limx

e) )3x8²x³x3(limx

f)

27x9x2x

14x2x3xlim

24

34

x

g)

2070xx22x

13x6x3xlim

23

35

x

²x4

h)

13x1x2x

13x6x2xlim

456

67

x 4

x4 3

187

i)

13x1x2x

13x6x2xlim

456

34

x 4

x4 2

j)

6x3

2²x

xlim

k) 6 5

3

1x

xxloglim

l) xx

x

x2lim

34. Limites Fundamentais

Os limites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não

teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como

verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações:

0

0,

,

1 , 0 ,

0 ,

188

Antes de passar ao estudo dos limites fundamentais, veremos mais dois resultados

de limites que nos ajudarão a compreender mais os limites assim como os

fundamentais.

Teorema 19: Teorema do Confronto: Se f(x), g(x) e h(x) são funções tais que

f(x) < g(x) < h(x) para todo x e L)x(hlim)x(flimxx

, então L)x(glimx

.

Exemplo: x

senxlim

0x

Proposição 20: Se f(x) é uma função limitada, ou seja, para todo x D(f), tem-

se |f(x)| < k, sendo k uma constante positiva, e:

(a) 0)x(glimx

, então 0)x(g)x(flimx

.

(b)

)x(glimx

, então

)x(g)x(flimx

.

Exemplos:

a)x

senxlimx

b) xcos²xlimx

189

Proposição 21: 1x

senxlim

0x

Indeterminação 0

0.

Exemplos:

a) x

x3senlim

0x

b) x5sen

x3senlim

0x

c)

xsenx

xcos1lim

0x

d)

x

)x(senlimx

Proposição 22: k

x

x

ex

k1lim

Indeterminação 1.

Exemplos:

a)

x

x x

21lim

b)

x

x x3

21lim

c)

xln)1xln(xlimx

d)

x

x 3x2

1x2lim

190

Proposição 23: kx

1

0x

ekx1lim

Indeterminação 1.

Exemplos:

a)

x2

1

0x

x31lim

b)

senx

1

0x

senx41lim

c)

3

0x x1

x1ln

x

2lim

Proposição 24: alnkx

1alim

kx

0x

Indeterminação

0

0.

Exemplos: 1. Calcule os limites abaixo:

a)

x

1alim

x3

0x

b)

x

balim

xx

0x

c)

ax

1elim

ax

ax

191

2. Verifique a continuidade da função:

x,x

1e

x,)x(sen

x

)x(fx

35. Exercícios.

Calcule os limites abaixo:

9x7xlim45

0x

1- x1lim0x

2-

3- 34

1x

x2xlim

2x

4xlim

2

2x

4-

²2x3xlim2

4x

5-

1²x

1x2xlim

3

2x

6-

1²x

1x3³x3xlim

3

1x

7-

16²x

2

4x

5lim

4x8-

3x

9xlim

9x

9-

8x6

5x3limx

10-

5³x2

x²x4limx

11- x31x5²x9lim

x

12-

xsecxtanlim

2x

13-

10x3

2²xlimx

14-

²x

1

x

1lim

0x

15- x

24xlim

0x

16-

x

x2tanlim

0x17- )xcotansenx(lim

2x

18-

192

x

xcos1lim

0x

19-

x

x x

3xlim

20-

1x

x 7x5

4x5lim

21-

2x

110lim

2x

2x

22-

3x

82lim

x

3x

23-

senbxsenax

eelim

bxax

0x

24-

Calcule os limites laterais das funções abaixo; nos valores indicados. Determine se o

limite para a tendência indicada existe.

25-

0x,1

0x,1)x(f ,para x 0

2x

1)x(g

26- , para x 2

²x

1)x(h 27- , para x 0

1²x

1x)x(f

28- , para x 1

)²1x(x

1x)x(g

29- , para x 1

Examine a continuidade das funções com domínio ℝ, nos pontos indicados:

2x,3

2x,)²2x(

1

)x(f30-

0x,0

0x,x

x

)x(g31-

1x,1x

1x,3x)x(h32-

2x,3

2x,2x

1

)x(f33-

0x,x2

1e

0x,1

0x,x

senx

)x(g

x2

34- 35-

2x,

2xsen

2x,

2x

1sen

2x

)x(h

2

203

36. Taxa de Variação.

Muitos conceitos e fenômenos físicos, econômicos, biológicos, etc. estão

relacionados com taxa de variação.

Definição 25: Taxa de variação média. Considere x variável independente e y

variável dependente. Taxa de variação média de A(x1,y1) para B(x2,y2) é calculada

por:

tvm = 12

12

xx

yy

x

y

O coeficiente angular de uma reta é uma taxa de variação, velocidade e

aceleração de um móvel são taxas de variação. Se quisermos estudar a variação da

variável dependente quando a independente varia, temos uma taxa de variação.

Definição 26: Taxa de variação Instantânea. Considere x variável independente e

y variável dependente. Taxa de variação instantânea em A(x0,y0) para B(x,y) é a

variação da variável dependente quando a variação da variável independente tende

a zero, para medir-se a taxa de variação no instante x = x0.

tvi = 0

0

xx0z xx

yylim

x

ylim

0

Se quisermos a taxa de variação instantânea numa função dada, tem-se y=f(x) e y0

= f(x0), e:

tvi = 0

0

xx xx

)x(f)x(flim

0

ou tvi =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Exemplo: A tabela abaixo representa a altura de uma bola em relação ao solo t

segundos após seu lançamento.

t(seg) 0 0,5 1 1,5 2

h(m) 2 6,25 8 7,25 4

Calcule as seguintes velocidades médias:

a) de t = 0,5 para t = 1 b) de t = 1 para t = 1,5

Nesse caso não teríamos como calcular a velocidade instantânea em t = 1, pois

não temos a lei da função que relaciona a altura da bola com o tempo decorrido.

Exemplo: Considere que altura da bola é descrita pela função:

h(t) = -5t² + 11t + 2

Determine a velocidade instantânea da bola em t = 1s.

204

37. Derivada

Definição 27: A derivada de uma função, cuja lei é y = f(x), num ponto em que x

= x0 é:

0

0

xx0

xx

)x(f)x(flim)x('f

0

ou f’(x0) =

h

)x(f)hx(flim

00

0h

Se o limite existir a função é dita derivável em x = x0. Se o limite não existir,

assim, a função não é derivável em x = x = x0.

Notações: f’(x0), y’(x0), )x(dx

dy0, )x(

dx

df0

Veremos adiante, que a derivada pode não existir, pois a definição é a partir de

limite e o limite pode não existir, ou ser infinito.

Observação muito importante: A derivada de uma função num ponto é definida como

a taxa de variação instantânea dessa função nesse ponto e ainda é o coeficiente

angular da reta tangente à função no mesmo ponto.

Exemplo:1. Calcule a derivada da função, cuja lei é f(x) = x² - 9 nos pontos:

a) x = 1

b) x = 2

2. Calcule a derivada da função f(x) = senx no ponto x = 0.

Em vez de calcularmos n vezes limites muito semelhantes, podemos definir a

função derivada f’(x) e se precisarmos calcular em pontos específicos apenas

substituir valores de x.

38. Interpretação geométrica da derivada

Nos gráficos abaixo constam o gráfico da função real f(x); os pontos

P(x0,f(x0)) e Q(x,f(x)); a reta s que passa por P e Q e o triângulo retângulo

PAQ, que define o coeficiente angular da reta s. Deste modo, o coeficiente angular

da reta s é dado por a = tan = x

y

. Ou seja, o coeficiente angular da reta

secante é a taxa de variação média da função entre P e Q.

205

x = 1 x = 0,6

x = 0,4 x = 0,2

A medida que diminuímos x, ou melhor, fazemos x 0, observamos que Q P e

assim, no limite, a reta secante é a reta tangente1 à função no ponto P.

Observação: A derivada de uma função num ponto, ou seja, a taxa de variação

instantânea no ponto x = x0 é o coeficiente angular da reta tangente à curva no

ponto P(x0,f(x0)).

Equação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = f’(x0)(x-x0)

Também podemos definir a reta normal a uma curva, já que esta é perpendicular à

reta tangente.

Equação da reta normal à curva y = f(x) no ponto P(x0,f(x0))

y – y0 = )x('f

1

0

(x-x0)

Exemplo: Determine a equação da reta tangente e normal ao gráfico da

função f(x) = -2x²+ 4x + 2 no ponto em que x = 0.

1 Por definição reta tangente a uma curva e a curva interseccionam-se em apenas

um ponto.

206

39. Derivada de uma função

Definição 28: Função derivada. Se f é derivável para todo ponto de seu domínio,

f é dita derivável e a função derivada f’ é a função resultante do seguinte

limite:

f’(x) = h

)x(f)hx(flim

0h

Exemplo: Calcule as funções derivadas das funções, cujas leis são:

a) f(x) = 2

b) f(x) = 3x + 8

c) f(x) = x²

Na medida que resolvermos a função derivada para funções básicas, temos como

aplicar para toda função do mesmo tipo, dando origem a uma espécie de formulário.

Por exemplo, a derivada da função f(x) = 2 é f’(x) = 0, e se f(x) = 3, f(x) =

-1, ou melhor, se f(x) = k, k ℝ?

40. Funções derivadas de funções básicas:

Proposição 29: f(x) = k , k ℝ

dx

kd 0

Demonstração:

Sendo f(x) = k, então f(x+h) = k. Usando a definição de função derivada.

0h

0lim

h

kklim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

CQD

Exemplo: y =

Proposição 30: f(x) = x

dx

xd 1

Demonstração:

Sendo f(x) = x, então f(x+h) = x + h. Usando a definição de função derivada.

1h

hlim

h

xhxlim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h0h0h

207

Proposição 31: g(x)= af(x) dx

)x(dfa

dx

))x(af(d

Demonstração:

Sendo g(x) = af(x), então g(x+h) = af(x+h). Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(falim

h

)x(af)hx(aflim

h

)x(g)hx(glim

dx

)x(dg

0h0h0h

= dx

)x(dfa

h

)x(f)hx(flima

0h

CQD

Exemplo: y = ax

Proposição 32: u(x)= f(x) + g(x) dx

)x(dg

dx

)x(df

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração:

Sendo u(x) = f(x) + g(x), então u(x+h) = f(x+h)+g(x+h). Usando a definição de

função derivada.

h

)x(g)x(f)hx(g)hx(flim

h


dx

)x(du

0h0h

dx

)x(dg

dx

)x(df

h

)x(g)hx(glim

h

)x(f)hx(flim

h

)x(g)hx(g)x(f)hx(flim

0h0h0h

CQD

Exemplo: f(x) = ax + b

Proposição 33: f(x) = xn

dx

xdn

nxn-1

Demonstração: Considere o binômio de Newton:

bba1-n

n...ba

3

nba

2

n+ ba

1

n + a=b)+(a

n1-n33-n22-n1-nnn

e

n1n

n

1

n

, números binomiais que

Sendo f(x) = xn, então f(x+h) = (x+h)n E por sua vez

(x+h)n= hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

n1-n33-n22-n1-nn

Usando a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

x-hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn + x

lim

nn1-n33-n22-n1-nn

0h

=

h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ hxn

lim

n1-n33-n22-n1-n

0h

=

1n2-n23-n2-n1-n

0h

hhxn...hx3

nhx

2

n+ nxlim nxn-1 CQD

208

Exemplo: f(x) = 4x³ - 3x + 5

Proposição 34: u(x) = f(x).g(x) dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

Demonstração:

Sendo u(x) = f(x).g(x), então u(x+h) = f(x+h).g(x+h). Usando a definição de

função derivada.

h


dx

)x(du

0h

=

h

)x(g)x(f)x(g)hx(f)x(g)hx(f)hx(g)hx(flim

0h

=

h

)x(f)hx(f)x(g)x(g)hx(g)hx(flim

0h

=

h

)x(f)hx(f)x(glim

h

)x(g)hx(g)hx(flim

0h0h

=

dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

h

)x(f)hx(flim)x(g

h

)x(g)hx(glim)x(f

0h0h

. CQD

Exemplo: f(x) = (ax + b)2

g(x)=(x³-1)6.(ax + b)3

Proposição 35: f(x) = senx xcosdx

)senx(d

Demonstração:

Sendo f(x) = senx, então f(x+h) = sen(x+h) = sen(x)cos(h)+sen(h)cos(x). Usando

a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()x(senlim

h

)x(sen)xcos()h(sen)hcos()x(senlim

0h0h

h

)h(senlim)xcos(

h

1)hcos(lim)x(sen

h

)xcos()h(senlim

h

1)hcos()x(senlim

0h0h0h0h

=

=

)xcos(

1)hcos(h

1)h(coslim)x(sen1)xcos(

1)hcos(

1)hcos(

h

1)hcos(lim)x(sen

2

0h0h

Somar ZERO

Colocar f(x+h) em evidência Colocar g(x) em evidência

Fundamental

do seno!!!

209

=

)xcos(

1)hcos(h

)h(sen)h(senlim)x(sen)xcos(

1)hcos(h

)h(senlim)x(sen

0h

2

0h

=

)xcos(

1)hcos(

)h(sen

h

)h(senlim)x(sen

0h

xcosxcos1)hcos(

)h(senlim)x(sen

0h

CQD

0

Proposição 36: f(x) = cosx senxdx

)x(cosd

Demonstração:

Sendo f(x) = cosx, então f(x+h) = cos(x+h) = cos(x)cos(h)-sen(x)sen(h). Usando

a definição de função derivada.

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(df

0h

=

h

)h(sen)x(sen)xcos()hcos()xcos(lim

h

)xcos()h(sen)x(sen)hcos()xcos(lim

0h0h

h

)h(senlim)x(sen

h

1)hcos(lim)xcos(

h

)h(sen)x(senlim

h

1)hcos()xcos(lim

0h0h0h0h

=

0 (já resolvemos)

= )x(sen1)x(sen0)xcos( CQD

Proposição 37: f(x) = ax alnadx

)a(d x

x

Demonstração:

Sendo f(x) = ax, então f(x+h) = ax+h. Usando a definição de função derivada.

h

aaalim

h

aalim

h

)x(f)hx(flim

dx

)x(dfxhx

0h

xhx

0h0h

=

aln.ah

1alima

h

1aalim

x

h

0h

x

hx

0h

CQD

Exemplo: Derive a função f(x) = 1x .

Corolário 38: f(x) = ex x

x

edx

)e(d

Demonstração:

Sendo f(x) = ex, basta aplicar a proposição 31, com a = e.

xxx

x

e1eelnedx

)e(d

Proposição 39: Regra da cadeia Suponhamos que sejam deriváveis a função f(x)

e g(x) em relação à variável x, sendo elas f’(x) e g’(x), então:

dx

)x(gd)x(g

dx

df

dx

)x(fogd

Observação: )x(gdx

df significa a derivada

dx

)x(df composta com a g(x).

Fundamental

do seno!!!

Fundamental

do seno!!!

Proposição 24!!!

210

Demonstração:

fog’(x)=h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

=

)x(g)hx(g

)x(g)hx(g.

h

))x(g(f))hx(g(flim

0h

h

)x(g)hx(g.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

(1)

Sabemos que h

)x(g)hx(glim

0h

= g’(x). Precisamos resolver:

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h

Faremos uma troca de variáveis: t = g(x+h) – g(x). Com h 0, teremos t 0.

Isolando g(x+h) = g(x) + t. Substituindo isso no limite:

))x(g('ft

))x(g(f)t)x(g(flim

)x(gt)x(g

))x(g(f)t)x(g(flim

0t0t

.

Voltando a (1):

dx

)x(fogd

h

)x(g)hx(glim.

)x(g)hx(g

))x(g(f))hx(g(flim

0h0h

=

dx

)x(gd)x(g

dx

df CQD

Observação: 1. Sabendo as derivadas f’(x) e g’(x), a derivada da composta é o

produto de derivada de f, substituindo x por g(x), )x(gdx

df, por g’(x).

2. Toda essa demonstração NÃO É PARA ESQUECERES A MULTIPLICAÇÃO POR g’(x). Ela

é fundamental, sem ela a derivada ESTÁ TOTALMENTE ERRADA.

Exemplo: Derive as funções abaixo:

a) f(x) = )x5(sen

b) g(x) = )5(senx

c) h(x) = )5(senxcos

d) u(x) = )5(senxcos2

Corolário 40: Seja f(x) e g(x)=xn, considerando a função g(x) derivável, ou seja,

g’(x) existe, então a derivada da função gof(x) = g(f(x)) = f(x)n é dada por:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

211

Demonstração: Aplicando a regra da cadeia: Usando a versão gof(x):

dx

)x(fd)x(f

dx

dg

dx

)x(gofd

Considere g(x) = xn e f(x) qualquer função de x. gof(x) =f(x)n. A derivada de

g(x) é : dx

)x(dg= nxn-1, então 1n

)x(nf)x(fdx

dg . Substituindo na regra da cadeia:

dx

)x(fd)x(nf

dx

)x(fd 1n

n

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:

a) f(x)= (x2 + 1)100

b) g(x)= 3²x4

c) h(x)= 22

x3x

1

Proposição 41: u(x) = )x(g

)x(f

)²x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

)x(f

dx

d

Demonstração: Podemos demonstrar a derivada da divisão de duas funções

considerando que dividir equivale a multiplicar pelo inverso.

A proposição 28 nos diz que dx

)x(df)x(g

dx

)x(dg)x(f

dx

))x(g)x(f(d

. Nela, faremos a

seguinte adaptação: 1)x(g)x(f

)x(g

)x(f . Assim substituindo na proposição 28:

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

))x(g)x(f(d

)x(g

)x(f

dx

d 1

11

. (1)

Conhecemos f(x) e g(x), também suas derivadas, mas ainda não sabemos quem é a

derivada de [g(x)]-1 = )x(g

1.2

Agora, usando o corolário 35, temos que

dx

)x(gd)x(g

dx

)x(gd)x(g1

dx

)x(gd 211

1

.

Precisamos voltar para a equação (1):

2 Não podemos confundir [g(x)]-1 com g-1(x). Como por exemplo, se g(x) = ax, então

[g(x)]-1 = a-x e g-1(x)=logax. Uma é O inverso, e a outra é A inversa. Conceitos

matemáticos totalmente diferentes.

212

)x(g

)x(f

dx

d

dx

)x(df)x(g

dx

)x(gd)x(g).x(f

12 =

dx

)x(df

)x(g

1

dx

)x(gd

)x(g

)x(f2

.

Neste ponto do desenvolvimento para chegar na resposta, só precisamos manipular

algebricamente a expressão.

)x(g

)x(f

dx

d

222)x(g

dx

)x(gd)x(f

dx

)x(fd)x(g

)x(g

dx

)x(gd)x(f

)x(g

dx

)x(fd

dx

)x(gd

)x(g

)x(f

dx

)x(fd

)x(g

1

. CQD

Exemplo: Determine as funções derivadas das funções abaixo:

a) f(x)= x³ - 2x +1

b) g(x)= (x + 3)(4x² - 3)

c) h(x) = x43

1x2

d) f(x)= (x³ - 2x +1)²

e) h(x)= tanx

213

f) g(x)= 32x-1 .cos(2x)

g) f(x)= x

e

)x4tan(

41. Derivada da Função Inversa

Temos como calcular a derivada de uma função conhecendo a derivada de sua

inversa. Por exemplo, f(x) = x2 em ]0,+[ e g(x) = x em ]0,+[ são funções inversas. Vejamos:

f’(x) = 2x e g’(x)= x2

1

Reescreveremos da seguinte maneira, considerando que y = f-1(x)= x

g’(x)= y2

1=

)y('f

1

Teorema 42: Teorema da função inversa Seja f: I ℝ uma função derivável e

crescente (ou decrescente) em um intervalo não trivial I. Se f’(x) 0 para

todo x I, então f-1 é derivável em f(I) e (f-1)’(f(x))= )x('f

1.

Exemplo: Determine as derivadas das funções abaixo, pelo teorema da função

inversa.

a) f(x) = logax

214

b) g(x)= lnx

c) g(x) = ln(x2-1)

d) f(x)=sen(ln(2x+1))

e) h(x) = arcsenx

f) g(x) = 1²xarcsen

215

g) y = arctanx

42. Derivadas Sucessivas

O princípio é simples. Dizemos que derivada segunda de uma função é a

derivada da função derivada. A derivada terceira é a derivada da derivada

segunda e assim por diante.

Notação: Para derivada segunda (derivada da derivada) "y"fdx

fd

2

2

Para derivada terceira (derivada da derivada segunda) 3

3

dx

fd= f”’ = y”’

Observações:1. Nada podemos garantir sobre a derivabilidade de uma função n

vezes. Existem funções que são infinitamente deriváveis e outras não existe se

quer a derivada de ordem 2. Podemos relacionar este fato com a continuidade das

funções. 3. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em função do tempo.

Por sua vez, velocidade é a taxa de variação do deslocamento em função do tempo,

ou seja, a aceleração é a derivada segunda do deslocamento em relação ao tempo.

Exemplo: Determine as derivadas indicadas:

a) Derivada segunda de f(x)= (x2 + 1)100

216

b) Derivada quinta de f(x)= arcsen(cos(5x))

43. Alguns exercícios

Atenção: Os exercícios aqui indicados são apenas uma amostra. RECOMENDAMOS

EXPRESSAMENTE que busques fontes bibliográficos para complementar teu estudo.

Em relação às funções abaixo, calcule as derivadas nos pontos indicados se

existirem:

1- f(x) = x³ determine f’(1)

2- f(x) = x²+x

1 determine f’(1)

3- f(x) = x2 determine f’(2)

4- f(x) = 1²x

1

determine f’(0)Determine a equação da reta tangente às funções

abaixo, nos pontos indicados:

5- f(x) = x²- 3x – 4 no ponto em que x = -1

6- f(x) = x

1 no ponto em que x = 1

7- f(x) = 1x no ponto em que x = 5

8- Um projétil é lançado de um penhasco de 122,5 metros de altura. O

deslocamento s, em metros, do projétil em função do tempo t, em segundos, é

descrito pela função s(t)=4,9t², determine a velocidade e a aceleração do

projétil nos instantes:

(a) t = 0 s (b) t = 1 s (c) t = 3 s (d) Em que atinge o solo.

Determine as funções derivadas das funções abaixo:

9- f(x) = 3x(8x³-2)

10- g(x) = 3²x

1x

11- h(x) = 3 2x7²x6

12- f(x) = e(x³+2)³

217

13- g(x) = )1x2ln(

1x2

14- h(x) = 1x

ex

15- f(x) =

4

x21

1x3

16- g(x) = x11

17- h(x) = cos(4x²-1)

18- f(x)=

2

9x4²sen

19- g(x)=ln(cos(5x))

20- h(x) = tan(x)

21- f(x) =

x4²x3

senxln

22- g(x) =

2

xe

²x9ln

23- h(x) = (3x²+5)4x+1

24- f(x) = )x5(tan12

unidade f limites -...

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