limites - matemática
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Noção Intuitiva de Limite
O que acontece com um círculo de raio R quando efetuamos divisões sucessivas de R por 2?
Tendo um polígono regular inscrito em uma circunferência o que acontecerá com sua área se o número de lados for sendo aumentado gradativamente?
Noção IntuitivaSucessões numéricas
Dizemos que:
1, 2, 3, 4, 5, ....Os termos tornam-se cada vez maiores, sem atingir um limite
x +
Os números aproximam-se cada vez mais de 1, sem nunca atingir esse valor
x 1
1, 0, -1, -2, -3, ...Os termos tornam-se cada vez menor, sem atingir um limite
x -
Os termos oscilam sem tender a um limite
,.....6
5,
5
4,
4
3,
3
2,
2
1
,...7,7
6,5,
4
5,3,
2
3,1
LimitesSeja y = f(x) = 2x + 1
Aproximação à direita Aproximação à esquerda
x y
1,5 4
1,3 3,6
1,1 3,2
1,05 3,1
1,02 3,04
1,01 3,02
x y
0,5 2
0,7 2,4
0,9 2,8
0,95 2,9
0,98 2,96
0,99 2,98
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
y
x
Limites
Nota-se que quando x tende para 1, pelos dois lados, ao mesmo tempo, y tende para 3, ou seja, (x 1) implica em (y 3). Assim, diz-se que:
3)12(lim)(lim11
xxfxx
Neste caso o limite é igual ao valor da função. f(x) = f(1) = 3
1limx
Limites
x f(x) = x + 3
2 5
1,5 4,5
1,25 4,25
1,1 4,1
1,01 4,01
1,001 4,001
1,0001 4,0001
4)(lim1
xfx
4)(lim1
xfx
Estudemos o comportamento da função f(x) quando x estiver próximo de 1, mas não for igual a 1.
x f(x) = x + 3
0 3
0,25 3,25
0,75 3,75
0,9 3,9
0,99 3,99
0,999 3,999
Dada a função f: IR IR, definida por f(x) = x + 3.
4
1 x
yPela esquerda
Pela direita
Definição de Limites
Seja f(x) definida em um intervalo aberto em torno de “a” (um número real), exceto talvez em a.
c a d
Dizemos que f(x) tem limite L quando x tende a “a”.
Seja f(x) uma função definida em um intervalo aberto em torno de x0, exceto, possivelmente em x0.
Se f(x) fica arbitrariamente próxima de L para todos os valores de x suficientemente próximos de x0, então
dizemos que a função f tem limite L quando x tende para x0 e escrevemos:
Definição informal de limite
0x xlim f(x) L
x0
Quando faz-se x tender para a, por valores menores que a, está-se calculando o limite lateral esquerdo. x a -
Quando faz-se x tender para a, por valores maiores que a, está-se calculando o limite lateral direito. x a +
Para o limite existir, os limites laterais devem ser iguais:
[f(x)] = [f(x)] axlim
axlim
Limites Laterais
)(lim1
xfx
Determinar, graficamente,
Dada a função f: IR IR, definida por
1,3
1,1)(
xparax
xparaxxf
4)(lim1
xfx
2)(lim1
xfx
1
Não existe limite de f(x), quando x tende para 1
2
4
“O limite da função f(x) = x2 quando x tende a 2 é 4”.
Noção Intuitiva de Limite
2
x 2lim(x ) =4
Limites Intuitivos
=
0)(lim)(
0)(lim)(
)(lim)(
)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
<
1)(lim)(
0)(lim)(
1)(lim)(
0)(lim)(
0
0
xfd
xfc
xfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a )(d
)(c
>
]1 ,1[ )(lim)(
0)(lim)(
]1 ,1[ )(lim)(
0)(lim)(
0
0
entrexfd
xfc
entrexfb
xfa
x
x
x
x
)(b
)(a
)(d
)(c
)(lim
0)(lim
2)(lim
3
3
3
xf
xf
xf
x
x
x
existe não
diferentessão
0)(lim
0)(lim
0)(lim
3
3
3
xf
xf
xf
x
x
x
iguaissão
Limites laterais
)(lim)(
0)(lim)(1
xfb
xfa
x
x
)(b
)(a
Limites infinitos
2 2x 1 x 1
2x 1
2 2lim e lim
(x 1) (x 1)
2lim
(x 1)
22
y(x 1)
y = tg x Limites infinitos
xtg
xtgextg
x
xx
2
22
lim
limlim
existenão
x xlim f(x) 1 e lim f(x) 1
Limites infinitos
Limites nos extremos do domínio da Função Exponencial
Limites nos extremos do domínio da Função Logarítmica
Limite trigonométrico fundamental
x 0
senxlim 1
x
EXERCÍCIO 1
y
x1 5
2
1
O que ocorre com f(x) próximo de x = 1?
Lim f(x) não existex 1
O que ocorre com f(x) quando x = 1?
y
x1 5
3
2
EXERCÍCIO 2
Lim f(x) = L = 2x 1
Lim f(x) sim existe, mas não coincide com f(1)x 1
x1
y
5
2
1
EXERCÍCIO 3O que ocorre com f(x) quando x = 1?
Dado o gráfico de f(x):
33
55
-3-3
33
-2-2xx
ff(x)(x)
3.53.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encontre:
EXERCÍCIO 4
Limite Exponencial Fundamental
x
x
1lim 1 e
x
Uma função f é contínua em um número x0 se
)()(lim 00
xfxfxx
Nenhuma destas funções é contínua em x = xo.
Continuidade de uma função em um número
a) b) c)
Uma função f é contínua em um intervalo aberto
se for contínua em todos os pontos desse intervalo.
ba,
Continuidade de uma função em um intervalo aberto
Propriedades dos limites
I. Limite da soma é igual à soma dos limites.
II. Limite do produto é igual ao produto dos limites.
III.Limite do quociente é igual ao quociente dos limites.
Exemplos:
Vamos resolver este limite usando o dispositivo prático para dividir polinômios de Briot-Ruffini.
Precisaremos antes do...
Teorema de D’Alembert: Um polinômio f(x) é divisível por (x – a), a , se, e somente se, a é ∈ ℜuma raiz de f(x), isto é, f(a) = 0.
Como o ponto x=1 anula os polinômios do numerador e denominador, então ambos são divisíveis por (x – 1). Assim,
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
Fatorações:
onde x' e x'' são as raízes obtidas pela
Conjugado de radicais: