introdução à limites aula 01 – matemática i - agronomia prof. danilene donin berticelli
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Abordagem Intuitiva Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de
uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de milhares de reais, onde
A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de produção ideal?
Como o que é uma indeterminação matemática), buscaremos calcular os valores de C(x) quando x se aproxima de 80.
79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04
6,99782 6,99989
6,99999 -- 7,00000
17,0000
17,0004
3
Os valores de C(x) mostrados na tabela sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima de 80. assim é razoável que o gerente espere um custo de R$ 700.000,00 quando a fábrica está
funcionando com 80% da capacidade máxima.
O limite de Uma função Vamos analisar o comportamento da função definida por para valores de próximos de 2. Façamos uma tabela para nos auxiliar. Com valores de próximos de 2, mas não iguais a 2.
1,0 2,000000 3,0 8,0000001,5 2,750000 2,5 5,7500001,8 3,440000 2,2 4,6400001,9 3,710000 2,1 4,3100001,95 3,852500 2,05 4,1525001,99 3,970100 2,01 4,0301001,995 3,982025 2,005 4,0150251,999 3,997001 2,001 4,003001
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50123456789
Valores Y
Da tabela e do gráfico de (uma parábola), vemos que quando se aproxima de 2 (tanto pela direita, quanto pela esquerda), tende a 4.
Podemos tornar os valores de tão próximos de 4 quanto quisermos, ao tornar suficientemente próximo de 2.
Expressamos isso dizendo que “o limite da função quando tende a 2 é igual a 4”.
Em notação matemática:
Definição: Suponha que seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente o próprio a.) Então escrevemos
E dizemos “o limite de ), quando x tende a , é igual a L”
se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando suficientemente próximo a (por ambos os lados de a), mas não igual a .
Isso significa que os valores de tendem a L quando tende a . Em outras palavras, os valores de tendem a ficar cada vez mais próximos do número L à medida que tende ao número (por qualquer lado de ), mas ,
lim𝑥→𝑎
𝑓 (𝑥 )=𝐿
𝑓 (𝑥 )→𝐿𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑥→𝑎“ tende a L quando x tende a ”
Observe a frase “mas ” na definição de limite. Isso significa que, ao procurar o limite de quando tende a , nunca consideramos . Na verdade, não precisa sequer estar definida quando . A única coisa que importa é como está definida .
y y y L L L
0 a 0 a 0 a (a) (b) (c)
nos três casos
O quadro abaixo mostra os gráficos de três funções. Em (c), não está definida. Em (b), Mas, em cada caso, não importando o que acontece em
a, é verdade que .
Exemplo 1 Estime o valor de
O que ocorre quando substituímos o x por 1?
Uma vez que a definição diz que devemos considerar valores de que estão próximos de , mas não iguais a , vamos construir uma tabela para encontrar este limite.
0,50,90,990,9990,9999
1,51,11,011,001
1,0001
0,6666670,5263160,5025130,5002500,500025
0,4000000,4761900,4975120,4997500,499975
O primeiro gráfico está ilustrando a função .
Se mudarmos ligeiramente , definindo seu valor como 2 quando e chamando a
função resultante de , temos:
A nova função g tem o mesmo limite quando x tende a 1. Veja o segundo
gráfico.
Propriedades dos LimitesSe e existem, então:I) +II) -III) (para qualquer K)IV) =V) = se VI) se [ existir
Limites de Duas funções Lineares
Para qualquer constante k,
O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando x tende a c é c.
y y
c (c,c)y=k (c,k)
0 c 0 c
(a) (b)
Limites de duas funções lineares
Em termos geométricos, a expressão significa
que a ordenada do gráfico da função constate f(x) = k
conserva o valor k quando x se aproxima de
c.
Analogamente, a expressão significa que a ordenada do
gráfico da função linear f(x) = x se aproxima de c quando x
se aproxima de c.
4) Calcule
(1,-2)
Quando x tende a 1, tanto o numerado como o denominador tendem a zero e não podemos
tirar nenhuma conclusão a respeito do valor do quociente. Obviamente, a função dada não
é definida para x = 1. para qualquer outro valor de x, porém, podemos dividir o
numerado e o denominador por (x-1).
Como , não estamos dividindo por zero. Neste caso podemos
calcular o limite quando x tende a 1.
O gráfico mostra um buraco no ponto (1,-2).
5) Calcule
Para este caso utilizamos a racionalização. Multiplicando ambos (numerador e denominador por (+1)