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Introdução à limites Aula 01 – Matemática I - Agronomia Prof. Danilene Donin Berticelli

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Introdução à limitesAula 01 – Matemática I - AgronomiaProf. Danilene Donin Berticelli

Abordagem Intuitiva Considere um gerente que determina que, quando x% da capacidade de

uma fábrica estão sendo usados, o custo total de operação é C centenas de milhares de reais, onde

A companhia tem uma política de manutenção preventiva que procura assegurar que a fábrica esteja sempre funcionando com 80% da capacidade máxima. Que custo o gerente deve esperar quando a fábrica está funcionando neste nível de produção ideal?

Como o que é uma indeterminação matemática), buscaremos calcular os valores de C(x) quando x se aproxima de 80.

79,8 79,99 79,999 80 80,0001 80,001 80,04

6,99782 6,99989

6,99999 -- 7,00000

17,0000

17,0004

3

Os valores de C(x) mostrados na tabela sugerem que C(x) se aproxima do número 7 quando x se aproxima de 80. assim é razoável que o gerente espere um custo de R$ 700.000,00 quando a fábrica está

funcionando com 80% da capacidade máxima.

O limite de Uma função Vamos analisar o comportamento da função definida por para valores de próximos de 2. Façamos uma tabela para nos auxiliar. Com valores de próximos de 2, mas não iguais a 2.

1,0 2,000000 3,0 8,0000001,5 2,750000 2,5 5,7500001,8 3,440000 2,2 4,6400001,9 3,710000 2,1 4,3100001,95 3,852500 2,05 4,1525001,99 3,970100 2,01 4,0301001,995 3,982025 2,005 4,0150251,999 3,997001 2,001 4,003001

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50123456789

Valores Y

Da tabela e do gráfico de (uma parábola), vemos que quando se aproxima de 2 (tanto pela direita, quanto pela esquerda), tende a 4.

Podemos tornar os valores de tão próximos de 4 quanto quisermos, ao tornar suficientemente próximo de 2.

Expressamos isso dizendo que “o limite da função quando tende a 2 é igual a 4”.

Em notação matemática:

Definição: Suponha que seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente o próprio a.) Então escrevemos

E dizemos “o limite de ), quando x tende a , é igual a L”

se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando suficientemente próximo a (por ambos os lados de a), mas não igual a .

Isso significa que os valores de tendem a L quando tende a . Em outras palavras, os valores de tendem a ficar cada vez mais próximos do número L à medida que tende ao número (por qualquer lado de ), mas ,

lim𝑥→𝑎

𝑓 (𝑥 )=𝐿

𝑓 (𝑥 )→𝐿𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜𝑥→𝑎“ tende a L quando x tende a ”

Observe a frase “mas ” na definição de limite. Isso significa que, ao procurar o limite de quando tende a , nunca consideramos . Na verdade, não precisa sequer estar definida quando . A única coisa que importa é como está definida .

y y y L L L

0 a 0 a 0 a (a) (b) (c)

nos três casos

O quadro abaixo mostra os gráficos de três funções. Em (c), não está definida. Em (b), Mas, em cada caso, não importando o que acontece em

a, é verdade que .

Exemplo 1 Estime o valor de

O que ocorre quando substituímos o x por 1?

Uma vez que a definição diz que devemos considerar valores de que estão próximos de , mas não iguais a , vamos construir uma tabela para encontrar este limite.

0,50,90,990,9990,9999

1,51,11,011,001

1,0001

0,6666670,5263160,5025130,5002500,500025

0,4000000,4761900,4975120,4997500,499975

O primeiro gráfico está ilustrando a função .

Se mudarmos ligeiramente , definindo seu valor como 2 quando e chamando a

função resultante de , temos:

A nova função g tem o mesmo limite quando x tende a 1. Veja o segundo

gráfico.

Propriedades dos LimitesSe e existem, então:I) +II) -III) (para qualquer K)IV) =V) = se VI) se [ existir

Limites de Duas funções Lineares

Para qualquer constante k,

O limite de uma constante é a própria constante e o limite de f(x) = x, quando x tende a c é c.

y y

c (c,c)y=k (c,k)

0 c 0 c

(a) (b)

Limites de duas funções lineares

Em termos geométricos, a expressão significa

que a ordenada do gráfico da função constate f(x) = k

conserva o valor k quando x se aproxima de

c.

Analogamente, a expressão significa que a ordenada do

gráfico da função linear f(x) = x se aproxima de c quando x

se aproxima de c.

Cálculo de Limites

1) Calcule 2) Calcule

Limites de Polinômios e Funções Racionais

Se p(x) e q(x) são polinômios,

e

Cálculo de limites

3) Calcule

4) Calcule

(1,-2)

Quando x tende a 1, tanto o numerado como o denominador tendem a zero e não podemos

tirar nenhuma conclusão a respeito do valor do quociente. Obviamente, a função dada não

é definida para x = 1. para qualquer outro valor de x, porém, podemos dividir o

numerado e o denominador por (x-1).

Como , não estamos dividindo por zero. Neste caso podemos

calcular o limite quando x tende a 1.

O gráfico mostra um buraco no ponto (1,-2).

5) Calcule

Para este caso utilizamos a racionalização. Multiplicando ambos (numerador e denominador por (+1)

Para exercitar:1) Determinar o limite indicado, caso exista: