1 limites,limites laterais, limites de função racional - para alunos

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Prof. Nilson Costa [email protected] São Luis 2011 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I Prof. Nilson Costa [email protected] São Luis 2013

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Prof. Nilson Costa

[email protected]

So Luis 2011

1

CLCULO DIFERENCIAL E INTREGAL I

Prof. Nilson Costa

[email protected]

So Luis 2013

APLICAES DE CLCULO

2

A sociedade, de um modo geral, est sempre preocupada em maximizar lucro e minimizar despesas. Em uma determinada construo de um edifcio de uma renomada construtora de So Lus, foram encontradas as seguintes situaes para serem resolvidas:

1.Achar as dimenses do lote com menor rea onde um edifcio 2000 m2 de base possa ser construdo, sendo exigido, recuos de 5 m na frente e nos fundos e de 4 m nas laterais.

APLICAES DE CLCULO EC

2

APLICAES DE CLCULO EC

3

3

APLICAES DE CLCULO EC

4

2.Uma viga de comprimento L embutida em paredes de concreto. Se uma carga constante W for distribuda uniformemente ao longo de seu comprimento, como ficaria a deformao dessa viga.

4

APLICAES DE CLCULO EC

5

3.Encontrar as dimenses de uma caixa dgua para que esta tenha a maior capacidade de armazenamento possvel sendo que a caixa dgua desse edifcio vai ser um cilindro circular reto inscrito em um cone circular que a ponta do edifcio.

5

APLICAES DE CLCULO EC

6

4.Dados dois locais estratgicos do canteiro de obras, em que ponto do encanamento deve ser instalado um reservatrio de modo que a metragem de cano a ser utilizada seja mnima?

6

APLICAES DE CLCULO EP

7

1. Determinar o melhor preo de venda para um novo aparelho. A companhia estima que o custo inicial de planejamento do produto e montagem das fabricas.

O custo adicional de fabricao de cada produto pode ser modelado por uma funo onde o nmero de aparelhos produzidos e o custo de fabricao em milhes de dlares. A companhia estima que se cobre um preo em milhes de dlares para cada aparelho.

a) Encontre as funes custo, demanda e rendimento.

b) Encontre o nvel de produo e o preo de venda associado do produto que maximiza o lucro.

7

APLICAES DE CLCULO EP

8

3. Produzir x milhares de unidades mensais de um determinado artigo. Se o custo de produo dado por uma funo a ser modelada, e o valor obtido na venda dado por dado por outra funo, determinar o numero timo de unidades mensais que maximiza o lucro.

4. Comprar caixas de embalagens, retangulares, exige que o comprimento de cada caixa seja x m e o volume y m. Para gastar a menor quantidade de material possvel na fabricao de caixas, quais devem ser suas dimenses.

8

APLICAES DE CLCULO EP

9

5. Pretende-se estender um cabo de uma usina de fora margem de um rio de x m de largura at uma fbrica situada do outro lado do rio, y m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estend-lo por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual o percurso mais econmico para o cabo?

9

APLICAES DE CLCULO EP

10

Essas questes sero respondidas no estudo de derivadas antes trabalharemos com questes como a seguinte :

Em uma indstria de So Luis acontece a seguinte situao. A Salmora contendo 30 g de sal por litros de gua bombeada para dentro do tanque (contendo 5000 litros de gua pura) a uma taxa 25 litros/mim. O que acontece com a concentrao quando t aumenta infinitamente (t)?

Situaes como essa necessitam do estudo de limites que daremos inicio agora.

10

MENU

Noo Intuitiva de Limites

Definies e Exemplos de Limites

Vizinhana Numrica

Definio

Teorema. [Unicidade do Limite]

Limites Laterais

Limite de uma Funo Racional

11

11

Noo Intuitiva de Limites.

Exemplo 1. Seja f uma funo definida por:

Nosso objetivo estudar o comportamento de f (x) quando x se aproxima de um dado valor 1, diremos que x tende a 1 e vamos usar a notao x 1.

Claramente, existem duas possibilidades para x se aproximar de 1:

f : - {1}

R

R

x

x2 - 1

x - 1

12

12

Noo Intuitiva de Limites.

(1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x 1 :

13

f : - {1}

R

R

x

x2 - 1

x - 1

Y

X

4

3

2

1

1

2

-1

13

Y

X

1

-1

1

2

2

0,3

0,5

0,7

0,999

1,3

1,5

1,7

1,999

x

y

0,3

0,5

0,7

0,9

0,999

1,3

1,5

1,7

1,9

1,999

0,9

1,9

14

14

Noo Intuitiva de Limites.

(1) x se aproxima de 1 por valores inferiores a 1, neste caso, diremos que x tende para 1 pela esquerda e indicaremos x 1 :

(2) x se aproxima de 1 por valores superiores a 1 neste caso, diremos que x tende para 1 pela direita indicaremos x 1 +:

Y

X

4

3

2

1

1

2

-1

X0,30,50,70,90,999Y1,31,51,71,91,999X1,91,71,51,31,001Y2,92,72,52,32,001

15

15

Em ambos os casos, os valores de f (x) se aproximam de 2 medida que x se aproxima de 1.

Assim, podemos tornar f (x) to prximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente prximo de 1. Da, dizemos que existe o limite de f (x) quando x tende a 1 e seu valor 2. Simbolicamente:

O limite, portanto, estabelece qual o comportamento da funo na vizinhana de um ponto, sem que este pertena necessariamente ao seu domnio.

Noo Intuitiva de Limites.

lim

x2

1

x - 1

= 2.

x 1

16

16

Noo Intuitiva de Limites.

Esta noo de proximidade, simbolicamente, representada pelos e que aparecem na definio de limite que veremos a seguir.

Observe o exemplo 2. lim(3x + 2) = 5.

x 1

Reforo que para tal exemplo, voc deve estar dizendo era muito mais fcil substituir, mas, em certas circunstncias, como no exemplo ANTERIOR, a funo pode nem estar definida no ponto, ento como determinar seu comportamento?

17

17

Definio e Exemplos de Limites.

Com a definio de limite seremos capazes de responder a esta pergunta.

O nosso objetivo a seguir dar uma definio de Limite de uma maneira convencional j que a intuitiva foi vista.

Precisaremos da definio de vizinhana numrica que apresentaremos a seguir.

18

18

Vizinhana numrica.

Seja a um nmero real. Chama-se vizinhana numrica de a, ou simplesmente vizinhana de a, a todo intervalo aberto Va que contm a. Se a o centro da vizinhana, ento diz-se que a vizinhana simtrica.

A distncia a qualquer um dos extremos da vizinhana simtrica chamada de raio da vizinhana. Denotaremos por V(a; ) uma vizinhana simtrica de centro em a e de raio .

(

(

a

a

a +

19

19

Vizinhana numrica.

Exemplo: Determinar o conjunto dos x R que esto prximos de 2, com distncia inferior a 0, 01.

Soluo: |x 2| < 0, 01

0,01 < x 2 < 0, 01

1, 99 < x < 2, 01.

Logo, V(2; 0, 01).

(

(

a

a +

20

20

Limite Definio.

Definio. Sejam uma vizinhana V(a; ) de a e f uma funo real de varivel real definida para todo

x V(a; ) -{a}.

Dizemos que o limite de f (x), quando x tende para a, L

e escrevemos lim f (x) = L,

xa

se, para toda vizinhana V(L; ) de L, existir, em correspondncia, uma vizinhana V(a; ) de a. Em smbolos, temos: lim f (x) = L

xa

( > 0, > 0; 0 0;

0 < |x 1| < |(3x + 2) 5| < .

Notemos que:

|(3x + 2) 5| <

|3x 3| <

3|x 1| <

|x 1| < /3.

Assim, se escolhermos = /3, teremos:

> 0, = /3 ; 0 < |x 1| < |(3x + 2)5| < .

De fato, se 0 < |x 1| < =/3 > 0 |x 1| < /3

3|x 1| < |3x 3| < |(3x + 2) 5| < .

23

23

Definio e Exemplos de Limites.

Exemplo: Usando a definio, mostre que

lim(2x + 1) = 3.

x1

24

24

Teorema. [Unicidade do Limite]

Teorema. [Unicidade do Limite] Seja f uma funo definida num intervalo com valores reais. Se existe o limite de uma funo num ponto, ento ele nico.

Exemplos: Usando a definio de limites demonstre as seguintes igualdades.

lim (4x 1) = 5.

x 1

(b) lim (mx + n) = ma + n, m 0.

x a

lim f(x) = b1 e lim f(x) = b2 b1 = b2.

25

25

Propriedades de Limite

26

26

Propriedades de Limite

27

27

Propriedades de Limite Corolrio

28

28

29

Exemplos

30

Exemplos

31

Exemplos

32

Exemplos

33

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

34

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

35

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

36

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

37

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

38

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

39

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

40

Problemas de Organizao e Erros Frequentes

Limites Laterais

Limites Laterais

Definio 1. Seja f(x) uma funo definida num intervalo I com valores em R e a I . Ao tomarmos valores em I maiores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um

valor b1. Dizemos ento que

Exemplo:

lim f(x) = b1

x a+

41

41

Definio e exemplos de Limites

No caso em que tomamos valores em I menores que a e que se aproximam de a, obtemos valores para f(x) que se aproximam de um valor b2. Dizemos ento que

Exemplo:

Definio 2. Os limites direita e esquerda mencionados so chamados limites laterais. Segue da definio que, quando os limites laterais coincidem,

lim f(x) = b2

x a-

lim

x 1-

x2 - 1

x - 1

= 2.

lim f(x) = lim f(x),

x a- x a+

42

42

Definio e exemplos de Limites

ento f (x) possuir limite b, quando x a.

Simbolicamente,

ou, equivalentemente,

Exemplo: Seja f uma funo definida por

lim f(x) = b lim f(x) = lim f(x) = b.

x a x a- x a+

lim f(x) lim f(x) lim f(x).

x a- x a + x a

E

f : - {0}

R

R

x x + =

|x|

x

x 1 , se x < 0

x + 1 , se x > 0

43

43

Definio e exemplos de Limites

Observemos o comportamento de f quando:

f : \ {0}

R

R

x x + =

|x|

x

x 1 , se x < 0

x + 1 , se x > 0

x0,9990,80,60,40,1F(x)1,9991,81,61,41,1x-0,999-0,8-0,6-0,4-0,1F(x)-1,999-1,8-1,6-1,4-1,1

(1)x0+

(2)x 0-

44

lim f(x) lim f(x) lim f(x).

x 0 - x 0 + x 0

E

44

2

2

1

1

X

Y

0,8

0,999

1,999

1,8

1,1

1,6

1,4

0,6

0,4

0,1

- 2

- 1

- 2

- 1

- 0,999

- 0,8

- 0,6

- 0,4

- 0,1

- 1,999

- 1,8

- 1,6

- 1,4

- 1,1

(2) x

0

0+

(1) x

x

y

0,999

0,8

0,6

0,4

0,1

1,999

1,8

1,6

1,4

1,1

x

y

- 0,999

- 0,8

- 0,6

- 0,4

- 0,1

- 1,999

- 1,8

- 1,6

- 1,4

- 1,1

45

45

Definio e exemplos de Limites

OBS: possvel que o nmero a pertena ao domnio da funo f. Logo, existe f(a). Porm, talvez no exista o limite de f(x), quando x tende para a. Por exemplo, a funo f definida por:

temos que f (0) = 0. Mas, no existe

limf(x), pois limf(x) = -1 e limf(x) = 1

f :

R

R

x x + =

|x|

x

x 1 , se x < 0

x + 1 , se x > 0

0 , se x = 0

x 0 -

x 0 +

x 0 +

46

46

47

Grficos de limites laterais

48

Grficos de limites laterais

49

Grficos de limites laterais

50

Grficos de limites laterais

51

Grficos de limites laterais

52

Grficos de limites laterais

53

Grficos de limites laterais

54

Grficos de limites laterais

Exemplos

Exemplo: Seja f uma funo definida por

Sol:

Exemplo:

f :

R

R

x f (x) =

2 , se x = 1

3x - 2 , se x > 1

4x + 1 , se x < 1

Determine lim f(x), lim f(x) e, caso exista lim f(x).

x 1- x 1 + x 1

lim f(x) = 5, lim f(x) = 1. lim f(x).

x 1- x 1 + x 1

Determine, caso exista lim f(x), em que

x 0

f (x) =

x2 x; se x 0

- x; se x < 0

lim f(x) = 0

x 0

Sol:

55

55

Exemplos

Exemplo:

Soluo: b = -10.

f (x) =

3 , x = -1

3x - 2 , x > -1

5 - bx , x < -1

R

Determine, se possvel, b para que exista lim f(x), sendo:

x - 1

56

Limite de uma Funo Racional

J somos capazes de calcular limites de funes definidas por polinmios e, usando a propriedade, podemos determinar alguns limites cujas funes so dadas como quociente de polinmios. Porm, ainda nos restam alguns casos, que tratemos detalhadamente agora.

Sejam e

duas funes polinomiais, com an 0 e bm 0. Uma funo racional qualquer funo do tipo

f(x) = p(x) / q(x).

p (x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 e

q (x) = bmxm + bm-1xm-1 + ... + b1x + b0

57

57

Limite de uma Funo Racional

Para calcularmos o limite de f (x) quando x a, temos trs casos considerar:

Exemplo:

Se q (a) 0, ento lim f (x) =

x a

p (a)

q (a)

lim

x -1

x2 + 2x - 3

4x - 3

lim

x -1

(x2 + 2x 3)

lim

x -1

(4x 3)

(-1)2 + 2(-1) -3

4(-1) -3

=

=

=

-4

-7

=

4

7

58

58

Limite de uma Funo Racional

2. Se q(a) = p(a) = 0, ento f(a) uma indeterminao e isto no significa a inexistncia do limite. Geralmente, afasta-se esta indeterminao atravs de uma diviso dos polinmios p(x) e q(x) por x a, visto que a uma raiz de p(x) e q(x), obtendo-se o limite desejado.

59

59

Limite de uma Funo Racional

3. Se p(a) 0 e q(a) = 0, ento f(a) no est definido. Neste caso, limite de p(x) / q(x) quando x a depende dos limites laterais de f (x) (quando x a e quando x a+) e do sinal p(x) / q(x). Como vemos nos exemplos de limites infinitos ou como a seguir.

60

60

61

Limite de uma Funo Racional

Exerccios Propostos

Calcule os limites usando as propriedades:

1) 5)

2)

3) 6)

4) 7)

soluo: 1)3 2)8 3)6/5 4)2 5)5 6)6 7)-9/4

62

Limite de uma Funo Racional

Exerccios Propostos

Calcule os limites usando as propriedades:

1) 5)

2)

3)

4)

Soluo: 1) 3/2 2) 1/3 3) -3/2 4) -4/5 5) -2

63

Limite de uma Funo Racional

Exerccios Propostos

Calcule os limites usando as propriedades:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Soluo: 1) 3/10 2) 1/2 3) 1/12 4) 1/3b2 5) 4/3

6) 1

Referencias Bibliogrficas

71 [1] GUIDORIZZI, H. L. Um curso de clculo. 5.ed. So Paulo: LTC, 2001.

[2] THOMAS, George B. Clculo. v.1. 10.ed. So Paulo: Addison Wesley, 2006. ISBN-13: 9788588639065 / ISBN-10: 8588639068.

[3] STEWART, James. Clculo. v.1. So Paulo: Thomson Learning, 2005. ISBN: 8522104794.

[4] LEITHOLD, Louis. O clculo com geometria analtica. v.1. So Paulo: Harbra, 1994.

64

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Referncias Bibliogrficas

[5] FLEMMING, Diva Marlia. Clculo A. 5 edio. So Paulo: Makron Books Ltda., 1992

[6] HOFFMANN, Laurense D.; BRANDLEY, Gerald L. Clculo: um curso moderno e suas aplicaes. 9.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. ISBN: 978852166023.

[7] LARSON, Ron; EDWARDS, Bruce. H. Clculo com aplicaes. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005. ISBN: 9788521614333.

[8] ANTON, Howard. Clculo: Um Novo Horizonte - Vol.1. 6 edio. Porto Alegre: BOOKMAN, 2.000.

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