unidade f limites -...
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Unidade F
Limites
Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG
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1. Noção de limites
Quando queremos saber a ordenada do ponto em uma função, cuja lei é y= f(x), em
que x = a, basta calcularmos f(a). O ponto (a,f(a)) pertencerá ao gráfico de f.
Agora é muito diferente querer investigar qual a tendência das ordenadas da
função quando x se aproximam cada vez mais de um determinado valor a. O primeiro
implica que a pertença ao domínio da função, o segundo não.
Exemplo1: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
3x,1
3x,3x
9x6²x
)x(f .
Tem-se f(3) =1, agora quando x se aproxima cada vez mais de 3, o que acontece
com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
x 1 2 2,5 2,9 2,99 2,999 x 3-
f(x)
x 5 4 3,5 3,1 3,01 3,001 x 3+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = 3, mais os f(x) se aproximam de ______.
Notação:
)x(flim3x
Observação: 1)Esse processo não nos dá garantias do resultado do limite, pois
para ter essa certeza deveríamos testar todas as formas de nos aproximarmos de
x = 3. E quantas formas existem de fazer isso? Infinitas. Por isso, para o cálculo
dos limites vamos nos basear em teoremas que nos garantam certos resultados.
2)O gráfico desta função está abaixo. Com o gráfico pronto conseguimos associar
o comportamento do gráfico com o limite. Os
f(x) tendem a zero quando x tende a 3, mas
f(3)=1.
3) Vemos também a noção de limites
laterais. Se analisarmos a tendência dos
f(x) quando x se aproximam de a, mas por
valores menores que a, definem o limite
lateral a esquerda. Denotamos por )x(flimax
.
Se analisarmos a tendência dos f(x) quando
x se aproximam de a, mas por valores maiores
que a, definem o limite lateral a direita.
Denotamos por )x(flimax
.
Exemplo2: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
2x,1x
2x,1²x)x(f .
Tem-se f(2) = 3, agora quando x se aproxima cada vez mais de 2, o que acontece
com os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
x 1 1,5 1,9 1,99 1,999 1,9999 x 2-
f(x)
x 3 2,5 2,1 2,01 2,001 2,0001 x 2+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia de que se nos aproximamos de x = 2, não há um
comportamento único dos f(x), assim não há limite.
Notação: )x(flim2x
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Note como faz diferença nos aproximarmos de 2
pela esquerda ou pela direita.
Trabalharemos mais adiante com a definição de
função contínua. A função do exemplo 1 e este
nos diz que a função é descontínua, pois em uma
valor do seu domínio o gráfico é “partido”.
Proposição 1: Se o limite de uma função existe, então ele é único.
Isso significa que, se ao nos aproximarmos de um certo valor de x de maneiras
diferentes e os f(x) se aproximarem de valores distintos o limite não existe.
Essa proposição é importante para provarmos quando um limite não existe.
Corolário 2: )x(flimL)x(flimL)x(flimaxaxax
Qualquer maneira que nos aproximemos de a, ou por valores maiores que a, ou
valores menores que a, se o limite existe (e é único) o resultado deve ser o
mesmo.
Exemplo 3: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é
0x,3
0x,x
senx
)x(f .
Tem-se f(0) = 3, agora quando x se aproxima de 0, o que acontece com os f(x).
Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo. Observação, como
dependemos da função seno, x deve ser em radianos.
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0,0001 x 0+
f(x)
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 x 0-
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = 0, mais os f(x) se aproximam de ______.
Notação:
)x(flim0x
Essa função também não
seria contínua.
Exemplo 4: Seja f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = x². Investigaremos o limite quando x -1. Tem-se f(-1) = 1, agora quando x se aproxima de -1, o que acontece com
os f(x)? Acompanharemos o raciocínio completando a tabela abaixo.
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x -2 -1,5 -1,1 -1,01 -1,001 -1,0001 x -1-
f(x)
x 0 -0,5 -0,9 -0,99 -0,999 -0,9999 x -1+
f(x)
Isso tudo nos dá a ideia ou intuição de que cada vez que nos aproximamos mais do
x = -1, mais os f(x) se aproximam de ______.
)x(flim1x
=
Podemos observar que a tendência dos f(x) é a mesma
que f(-1).
Observação: A diferença do exemplo 4 para os
anteriores é que esta função é continua em x = -1,
onde o limite é investigado
2. Noção de função continua
Todas esses gráficos são de funções de domínio real. Analisando seu domínio o
gráfico das três primeiras são formadas pelo conjunto de duas ou mais linhas. Já
o quarto, formado de uma linha só. Isso dá a ideia que as três primeiras são
descontínuas e a quarta é contínua. Isso por si só não constitui a definição de
continuidade porque pode haver caso que a função tenha alguma restrição no domínio
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e consequentemente terá seu gráfico formado
por mais de uma linha. Por exemplo, a função:
f: ℝ* ℝ*, cuja lei é x
1)x(f .
Não há divisão por zero, logo x = 0 não está
definido para esta função. Não há gráfico em
x = 0 (eixo oy). Assim obrigatoriamente o
gráfico da função será formado por duas
linhas. Uma para x < 0 e outra para x > 0.
Em cada parte do seu domínio a função é
contínua. Formada por uma linha, assim a
função no seu domínio é contínua.
Só há sentido em definir continuidade dentro
do domínio da função. Não há sentido analisar
a continuidade de x = 0 na função citada
acima. Já sabemos que, considerando todos os
reais, ela “falha” porque não existe divisão
por zero. Não há dúvida sobre isso. Analisar
a continuidade é verificar DENTRO DO DOMÍNIO
da validade da função, se há a característica de partes desconexas do gráfico.
Definição 3: Dizemos que uma função é contínua em x = a se, e somente se:
)a(f)x(flimax
.
Isso nos dá uma vantagem automática. Conhecendo o gráfico de uma função, se
quisermos investigar o limite em um certo x = a, em que a D(f), sabemos o resultado do limite, é f(a). Então no caso de funções contínuas, sabemos CALCULAR
LIMITES E NÃO APENAS A NOÇÃO de que valor os f(x) se aproximam quando x se
aproxima de um a.
Exemplo: Calcule:
a)
²)x3(lim1x
b)
)x(senlim
2x
c)
x
3x
5lim
d)
)xln(lim0x
3 Noção de limite infinito e no infinito
Limites no infinito são investigações sobre o comportamento dos f(x) quando x
aumenta sem limitação e assim dizemos que x + , ou quando x diminui sem
limitação e assim dizemos que x - . Inicialmente para termos a ideia,
voltaremos às tabelas. Já podemos dizer que o resultado do limite é , se os
f(x) aumentarem sem limitação f(x) + , ou diminuírem sem limitação
f(x) - .
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Exemplo 1: Seja a função f: ℝ ℝ cuja lei é f(x) = 2x. Já sabemos qual é o comportamento dessa função, pois estudamos o seu gráfico.
Sabemos que o gráfico é crescente (a>1), cresce
muito a medida que x cresce. O eixo ox é assíntota
do gráfico, pois os valores de y se aproximam de
zero quanto menor o x (negativos).
Nessas duas características do gráfico podemos
observar o que constataremos nas tabelas.
x 10 15 20 50 100 x +
f(x)
x -10 -15 -20 -50 -100 x -
f(x)
Há a ideia que quando x - , f(x) 0 e quando x + , f(x) + .
Exemplo 2: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =
0x,3
0x,x
1x3
.
Investigaremos o limite quando x 0. Não sabemos se essa função é contínua,
então não podemos calcular seu limite.
x 1 0,5 0,1 0,01 0,001 x 0+
f(x)
x -1 -0,5 -0,1 -0,01 -0,001 x 0-
f(x)
a) Noção de
)x(flim0x
b) Noção de
)x(flim0x
c)
)x(flim0x
x 10 15 20 50 100 x +
f(x)
x -10 -15 -20 -50 -100 x -
f(x)
d) Noção de
)x(flimx
e) Noção de
)x(flimx
f) Gráfico: Considerando que as intuições estão certas podemos ter a ideia de
como é o gráfico da função e já sabemos que é descontínua no x = 0.
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Observação: Reforçando: preencher tabelas não nos garante o resultado do limite.
Nos dá apenas uma ideia. A única vantagem é quando o limite não existe, pois se
temos maneiras diferentes de nos aproximarmos de um mesmo valor, tendências
distintas seriam impossíveis se houvesse o limite.
Exemplo 3: Seja a função f: ℝ ℝ definida pela lei f(x) =
0x,0
0x,x
sen
.
Investigaremos o limite quando x 0
x 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001 x 0+
x
f(x)
x -0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001 x 0-
x
f(x)
Noção de
)x(flim0x
x 2/3 2/31 2/303 2/3003 2/30003 x 0+
x
f(x)
x -2/3 -2/31 -2/303 -2/3003 -2/30003 x 0-
x
f(x)
Ou seja, )x(flim0x
.
4 Definição e cálculo de limites
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Temos que ver resultados que nos possibilitem calcular limites. A definição
demanda conhecimento básico matemático muito maior. Mostraremos em nível de
curiosidade.
Definição 4:
L)x(flimax
Existe tal que |x – a| < implique |f(x)– L| < , para tão pequeno quanto se queira.
Proposição 5: axlim
ax
Demonstração: Basta tomar = , pois | x – a| = |f(x) – L|.
Considerando |x – a| < , temos |x- a| = |f(x) – L| < = , logo implica que |f(x) – L| < e assim axlimax
.
Observação: Para resolvermos um limite por definição temos que ter um candidato a solução o que não ajuda no seu cálculo. Assim, veremos alguns resultados e toma-los como base.
Proposição 6: kklimx
A função f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) = k é uma função contínua, pois é uma função afim, cujo gráfico é uma reta paralela ao eixo ox. Assim, k)(flim)x(flim
xx
.
Os limites podem ser até no infinito, o resultado é o mesmo.
Proposição 7: (i) xlim
x
(ii) xlim
x
Proposição 8:
0)x(f,
0)x(f,
)x(f
1lim0)x(flimxx
Exemplos: Calcule os limites abaixo:
a) x
1lim
0x
b) x
1lim
0x
c) x
1lim
0x
d) x
1limx
e) x
1limx
Gráfico da função f: ℝ* ℝ*, cuja lei é f(x) = x
1 é:
99
Teorema 9: Álgebra dos limites. Se L)x(flimax
; M)x(glimax
e c ℝ, então:
(a) ML)x(g)x(flimax
(b) ML)x(g)x(flimax
(c) M
L
)x(g
)x(flim
ax
desde que g(x) e M 0
(d) cL)x(cflimax
Exemplo:
a)
5xlim3x
b)
²xlim5x
c)
x
senxlim
2x
Proposição 10: Se p é polinômio qualquer, para todo a ℝ:
)a(p)x(plimax
Exemplo: Calcule os limites abaixo:
(a) x²x7xlim4
2
1x
(b)
x7²x6x9x3
x8²x5x2lim
34
3
0x
(c)
3x
9²xlim
3x
100
Proposição 11: Teorema da raiz: Se p(x) é um polinômio e a é uma raiz deste
polinômio, ou seja, p(a)=o, então p(x) é divisível por x - a.
Exemplo: p(x)= x³ - 2x +1
No que isso pode ajudar a calcular limites? Ajuda nos casos de
indeterminação 0
0.
Exemplos:
(a)
1²x
1x2³xlim
1x
(b)
1³x
3
1x
1lim
1x
(c)
1x
1xlim
1x
101
Proposição 12: Considere k um número inteiro maior que 1, L um número real.
(a) Se k for ímpar e L)x(flimax
, então kk
ax
L)x(flim
.
(b) Se k for par e L)x(flimax
, então kk
ax
L)x(flim
para L > 0.
(c) Se k for par e 0)x(flimax
, então 0)x(flim k
ax
para f(x) > 0.
Proposição 13: Considere L um número real. Se L)x(flimax
, então L)x(flimax
.
Exemplo: Calcules os limites abaixo:
(a) 4²xlim1x
(b) 4²xlim3x
(c)
1x
4
1x 2
1xloglim
5 Limites Laterais, continuidade e mais alguns resultados de limites finitos
Se no exemplo (c) anterior, o limite lateral não fosse definido, não
determinaríamos o resultado do limite com tanta facilidade, ou ainda, o limite
poderia não existir se os laterais fossem diferentes. Nos casos que não é tão
fácil saber o resultado de um limite lateral podemos usar o velho recurso de
troca de variável.
Considere h 0, sempre com h > 0.
Limite lateral à esquerda: Trocar x por a – h, então:
)ha(flim)x(flim0hax
Observação: Se h 0+ e x = a – h, então x a-
Limite lateral à direita: Trocar x por a + h, então:
)ha(flim)x(flim0hax
Observação: Se h 0+ e x = a + h, então x a+
Exemplo 1: Calcule os limites indicados fazendo a troca de variáveis
correspondente.
(a.1) 2xlim2x
(a.2) 2xlim2x
102
(a.3) 2xlim2x
(b.1) ²x9lim3x
(b.2) ²x9lim3x
(b.3) ²x9lim3x
(c) 16x8²xlim4x
Exemplo 2: Calcule os limites laterais indicados e conclua se a função é contínua.
(a) Em relação a f: ℝ ℝ, cuja lei é f(x) =
0x,x
x
0x,0
(a.1) x
xlim
0x
(a.2) x
xlim
0x
(a.3) É contínua em x = 0?
(a.4) Esboce seu gráfico:
103
(b) Considere f(x)=
1x,1²x
1x,1x, calcule os limites laterais:
(b.1) )x(flim1x
(b.2) )x(flim1x
(b.3) A função é contínua em x = 1?
Atenção: Funções definidas apenas por uma sentença são sempre contínuas no seu
domínio. Há perigo de uma função ser descontínua se for definida por mais de uma
sentença. Nesse caso os pontos suspeitos são os pontos em que há a mudança na
lei de formação.
Exemplos: Verifique a continuidade das funções abaixo em seu domínio.
(a)
2x²,x
2x,1x2)x(f
104
(b)
1x,1²x2
1x,2x)x(f
Proposição 14: Se L)x(flimx
e n uma constante natural, então nn
x
L)x(flim
Exemplos: a)
5
x x
1lim
b) xsenlim2
3x
Proposição 15: Se L)x(flimx
e M)x(glimx
, então M)x(g
x
L)x(flim
, desde que L e M
não sejam nulos ao mesmo tempo (indeterminação 00) ou L = 0 e M < 0 (proposição 8).
Exemplos: a) x2x
1xlim
b) xcos
3x
senxlim
c) xlog
2x
21x2lim
Observação: O limite lateral a direita do exemplo c não existe, pois o domínio
da função é D=],1[]1,2[.
6 Limites infinitos e no infinito
Já trabalhamos com a noção de limites infinitos e no infinito e alguns resultados.
Agora trabalharemos algumas proposições em decorrência do que estudamos e sabemos
de funções e a importante álgebra dos limites infinitos.
Proposição 16: São verdadeiras, em decorrência das funções exponencial e
logarítmicas estudadas:
(a)
0alim
x
x e
xloglima
0x
se a > 1
(b)
x
x
alim e
xloglima
x
se a > 1
(c)
x
x
alim e
xloglima
0x
se 0 < a < 1
(d)
0alim
x
x e
xloglim
ax
se 0 < a < 1
105
Proposição 17: Álgebra dos limites infinitos: Se
)x(flimx
;
)x(glimx
; c e
d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:
(a)
)x(flimx
(b)
)x(g)x(flimx
(c)
)x(cflimx
(d)
)x(dflimx
(e)
)x(g)x(flimx
(f)
)x(flimc
x
Proposição 18: Álgebra dos limites infinitos: Se
)x(flimx
;
)x(glimx
; c e
d constantes reais em que c > 0 e d < 0, então:
(a)
)x(flimx
(b)
)x(g)x(flimx
(c)
)x(cflimx
(d)
)x(dflimx
(e)
)x(g)x(flimx
Observação: Descrever todas as combinações possíveis de limites infinitos com
constantes e limites finitos geraria uma lista muito longa. Podemos deduzir o
resultado desde que não caíamos numa indeterminação:
, - , 0, 0, 1, 0.
ou 0
0. Aqui, quando se fala em 0 ou em 1 está subentendido que são funções que
possuem este limite, não o próprio número 0 ou o próprio número 1, neste caso
não há indeterminação.
Exemplos:
a) x4
x
x 2
3lim
b) ²xlogxloglim22
0x
c) )x²x(limx
d) )x²x(limx
e) )3x8²x³x3(limx
106
f)
27x9x2x
14x2x3xlim
24
34
x
g)
2070xx22x
13x6x3xlim
23
35
x
²x4
h)
13x1x2x
13x6x2xlim
456
67
x 4
x4 3
i)
13x41x2x
13xx46x2xlim
456
234
x
107
j)
6x3
2²xlimx
k) 6 5
3
1x
xxloglim
l) xx
x
x2lim
Observação: Os infinitos são infinitos de formas diferentes. Existem infinitos
que diante de outros infinitos se comportam como se fossem constantes. Para ter
ideia do tamanho dos infinitos preencheremos a tabela abaixo:
x x2 log2x 2x x! xx
1
2
3
10
100
1000
10000
Colocando em ordem crescente:
Exemplos: Calcule os seguinte limites:
(a) x
2lim
x
x
(b) !x
2lim
x
x
108
7. Limites Fundamentais
Os limites fundamentais resolvem algumas indeterminações importantes, que não
teríamos artifícios para chegar nos mesmos resultados, então tomamos como
verdades. Aproveitamos para trabalhar outras indeterminações:
0
0,
,
1 , 0 ,
0 ,
Antes de passar ao estudo dos limites fundamentais, veremos mais dois resultados
de limites que nos ajudarão a compreender mais os limites assim como os
fundamentais.
Teorema 19: Teorema do Confronto: Se f(x), g(x) e h(x) são funções tais que f(x) < g(x) < h(x) para todo x e
L)x(hlim)x(flimxx
, então L)x(glimx
.
Exemplo: x
senxlim
0x
Usaremos o teorema do confronto, ou seja, encontraremos funções f, g, h que satisfaçam o teorema e ao mesmo tempo que
x
senxg(x) .
Relacionaremos o triângulo OAP, o setor circular OAP e o triângulo OAT. Observe na figura que:
Área(OCP) < Àrea(S(OAP)) < Área(OAT) Assim, considerando x em radianos:
2
PCOA <
2
OAx <
2
TAOA
2
senx1 <
2
1x <
2
tanx1
Multiplicando tudo por 2 e substituindo tanx: senx < x < cosx
senx
Dividindo tudo por senx, considerando senx>0, x IQ: 1 < senx
x <
cosx
1
Invertendo os membros da desigualdade: cosx < x
senx < 1
Tudo isso para definirmos f(x) = cosx, g(x) = x
senx e h(x) = 1.
Pelo teorema do confronto com a condição: 1)x(hlim)x(flimox0x
, tem-se 1)x(glimox
. cqd
Para chegarmos ao resultado do primeiro limite fundamental, precisaríamos fazer esse limite pela esquerda. Todo o procedimento é semelhante e chegaríamos ao mesmo resultado.
Proposição 20: Se f(x) é uma função limitada, ou seja, para todo x D(f), tem-
se |f(x)| < k, sendo k uma constante positiva, e:
(a) 0)x(glimx
, então 0)x(g)x(flimx
.
(b)
)x(glimx
, então
)x(g)x(flimx
.
Exemplos:
a)x
senxlimx
109
b) xcosxlimx
Proposição 21: 1x
senxlim
0x
Indeterminação 0
0.
Exemplos:
a) x
x3senlim
0x
b) x5sen
x3senlim
0x
c)
xsenx
xcos1lim
0x
d)
x
)x(senlimx
Proposição 22: k
x
x
ex
k1lim
Indeterminação 1.
Exemplos:
a)
x
x x
21lim
b)
x
x x3
21lim
c)
xln)1xln(xlimx
110
d)
x
x 3x2
1x2lim
Proposição 23: kx
1
0x
ekx1lim
Indeterminação 1.
Exemplos:
a)
x2
1
0x
x31lim
b)
senx
1
0x
senx41lim
c)
3
0x x1
x1ln
x
2lim
Proposição 24: alnkx
1alim
kx
0x
Indeterminação
0
0.
Exemplos: 1. Calcule os limites abaixo:
a)
x
1alim
x3
0x
b)
x
balim
xx
0x
111
c)
ax
1elim
ax
ax
2. Verifique a continuidade da função:
x,x
1e
x,)x(sen
x
)x(fx
8. Exercícios.
Calcule os limites abaixo:
9x7xlim45
0x
1- x1lim0x
2-
3- 34
1x
x2xlim
2x
4xlim
2
2x
4-
²2x3xlim2
4x
5-
16²x
4x7²x10x3lim
3
16x6-
1²x
1x3x3xlim
23
1x
7-
16²x
2
4x
5lim
4x
8-
3x
9xlim
9x
9-
8x6
5x3limx
10-
5³x2
x²x4limx
11- x31x5²x9lim
x
12-
xsecxtanlim
2x
13-
10x3
2²xlimx
14-
112
²x
1
x
1lim
0x
15- x
24xlim
0x
16-
x
x2tanlim
0x17- )xcotansenx(lim
2x
18-
x
xcos1lim
0x
19-
x
x x
3xlim
20-
1x
x 7x5
4x5lim
21-
2x
110lim
2x
2x
22-
3x
82lim
x
3x
23-
senbxsenax
eelim
bxax
0x
24-
Calcule os limites laterais das funções abaixo; nos valores indicados. Determine se o
limite para a tendência indicada existe.
25-
0x,1
0x,1)x(f ,para x 0
2x
1)x(g
26- , para x 2
²x
1)x(h 27- , para x 0
1²x
1x)x(f
28- , para x 1
)²1x(x
1x)x(g
29- , para x 1
Examine a continuidade das funções com domínio ℝ, nos pontos indicados:
2x,3
2x,)²2x(
1
)x(f30-
0x,0
0x,x
x
)x(g31-
1x,1x
1x,3x)x(h32-
2x,3
2x,2x
1
)x(f33-
0x,x2
1e
0x,1
0x,x
senx
)x(g
x2
34- 35-
2x,
2xsen
2x,
2x
1sen
2x
)x(h
2