unidade c funções -...

72

Unidade C

Funções Conceitos Básicos

Matemática I – Cálculo I IFRS CAMPUS RIO GRANDE - FURG

73

Funções

A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por exemplo, como escrevemos

o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo?

E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar

o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor

transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos

relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e

analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se

relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam

duas variáveis, geralmente usaremos x e y. Em que a variável x é chamada de

independente e y de dependente.

1. Definição de função.

Duas grandezas, x e y, em que x A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se:

I – Todo x se relaciona com algum y B.

II – Cada x se relaciona com exatamente um y B.

O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se existir uma

expressão que relacione y a x, chamamos de lei da função.

Notação: f: A B

y = f(x)

Exemplos: 1. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos

números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B é função?

2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a

mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é função?

3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f

associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função?

74

4. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números

reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é uma função?

Observação:1 - O conjunto dos y B, tais que existem algum x relacionado a eles chama-se conjunto imagem. 2. Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções

cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos.

Exemplo: 1. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens 1 a 4,

anteriores?

2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números

inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com o número de soluções

reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem.

3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine

o conjunto imagem da função.

4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o

conjunto imagem.

75

5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano

que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido

positivo do eixo x. Determine o conjunto imagem da função.

2. Gráficos de funções.

Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não

esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico

de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também

poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico.

(a)

Domínio?

Imagem?

É função?

(b)

Domínio?

Imagem?

É função?

(c)

Domínio?

Imagem?

É função?

(d)

76

Domínio?

Imagem?

É função?

(e)

Domínio?

Imagem?

É função?

(f)

Domínio?

Imagem?

É função?

Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de

detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio

da função são os reais.

3. Domínio de uma função.

Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma,

pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a expressão uma função.

77

Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.

(a) f: A ℝ (b) f: A ℝ

xy x

1y

Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só existem duas

restrições:

I – Divisão por zero;

II – Radicando negativo em raiz de índice par.

Podemos ter combinações dessas restrições.

Exemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.

(a) f: A ℝ (b) g: A ℝ

2xy 1²x

1y

(c) f: A ℝ (d) h: A ℝ

4x42xy

5x3

1y

(e) f: A ℝ (f) g: A ℝ

1x2²x

3xy

2x

1

1x

1y

Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com

outras combinações destas restrições.

78

Unidade D

Funções Tipos básicos

Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG

79

4. Função afim.

É todo função que pode ser escrita na forma:

f: ℝ ℝ y = ax + b

Em que a e b são constantes reais.

Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o significado

de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para completar o estudo desta

função veremos: estudo do crescimento, raiz da função e o estudo do sinal.

4.1. Estudo do Crescimento.

Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de x em que a função é

crescente, decrescente ou constante.

Estudo do crescimento da função f, cujo gráfico está

ao lado:

f crescente:

f decrescente:

Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou ela é

sempre crescente, sempre decrescente ou constante.

Função crescente Função constante Função decrescente

0 < < 90º = 0 90º < < 180º

tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0

Resumindo:

a > 0 função afim crescente x ℝ

a = 0 função afim constante x ℝ

a < 0 função afim decrescente x ℝ

Exemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são:

(a) 6x4

3y (b) 7xy

80

4.2 Raiz da função afim.

Em geral, raiz de uma função, é o valor de x em que y = 0. Assim se a função é

a afim:

y = ax + b ax + b = 0 a

bx

Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição de raiz,

chegamos na equação muito simples de resolver.

Exemplo: Determine a raiz das funções abaixo:

(a) f: ℝ-{2} ℝ (b) f: ℝ ℝ

2x

7x3y

y = 4x - 10

4.3. Estudo do sinal.

Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos

do domínio, ou seja, valores de x, em que a função,

ou seja, y, assume valores positivos, negativos ou

nulos. Observe o gráfico abaixo. As regiões em rosa

correspondem aos valores de x em que o gráfico está

acima do eixo ox, ou seja, y>0. As regiões em azul

correspondem aos valores de x em que o gráfico está

abaixo do eixo ox, ou seja, y < 0. E os pontos estão

no eixo ox, ou seja, y = 0.

Exemplo: Estudo do sinal da função do gráfico acima:

y > 0

y = 0

y < 0

Se a função é afim, temos quatro possibilidades:

(a) a > 0 (b) a < 0

81

(c) a = 0 e b > 0 (d) a = 0 e b < 0

Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo:

(a) y = 2x – 4 (b) y = 4 – 8x

2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.

(a) f: A ℝ

x3

1xy

(b) g: A ℝ

8x31x4y

82

3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:

(a) 2 < 2x – 6 < 10

Interpretação geométrica da solução deste tipo de inequação.

1x36

5x4

(b)

5. Função Quadrática


f: ℝ ℝ y = ax² + bx + c

Em que a, b e c são constantes reais e a 0, caso contrário a função seria afim.

Já estudamos um tipo de função quadrática. A que b = c = 0, como a equação

da parábola, cuja diretriz é horizontal e o vértice é o ponto V(0,0), pois nesse

caso a equação é y = px². Aqui temos uma diversidade maior. Descubra qual as

coordenadas do vértice, foco e reta diretriz para esses casos.

83

5.1. Raízes e intersecção com o eixo oy.

As raízes são os valores de x em que a função assume y = 0 e vemos esses pontos

no gráfico como intersecções com o eixo ox. Já que o gráfico é uma parábola,

podemos ter no máximo duas raízes.

Duas raízes. Uma raiz. Nenhuma raiz.

Raízes: Soluções de ax²+ bx + c = 0.

Intersecção com o eixo oy: Substituindo x = 0 na lei da função quadrática:

y=a.0² + b.0 + c y = c.

Na maioria dos casos, apenas com as raízes e a intersecção com o eixo oy

traçamos um bom esboço da função quadrática.

Exemplo: Esboce o gráfico da função quadrática: y = 2x² - 10x + 12.

5.2. Forma fatorada da função quadrática.

Podemos escrever a lei da função quadrática sendo conhecidos as raízes, x1 e x2

da função:

y = a(x – x1)(x – x2)

Exemplo: Determine a forma fatorada da lei da função quadrática:

(a) y = 2x² - 10x + 8

84

(b) y = 3x2 – 18x + 27

5.3. Vértice.

Para a função quadrática o vértice agrega outro caráter, é o

ponto de máximo ou mínimo da função e a partir daí podemos

determinar o conjunto imagem da função e a reta de simetria

do seu gráfico. Pela simetria, podemos pensar que a abscissa

do vértice é o ponto médio entre as raízes da função.

Sabemos da fórmula de Bhaskara, que as raízes da função

quadrática são:

a2

b'x

e

a2

b''x

Para definirmos a abscissa do vértice, façamos o ponto médio

das raízes:

2

a

b

2

a2

b2

2

a2

b

a2

b

xv

a2

bxv

Para encontrarmos a ordenada do vértice, substituímos xv na

equação da função quadrática:

a4

ac4²b2²bc

a2

²b

²a4

²bac

a2

bb

a2

bay

2

v

a4a4

²bac4yv

.

Logo o vértice tem coordenadas:

a4,

a2

bV

Observação: Mesmo que não existam raízes reais o modo de calcular as coordenadas

do vértice serão as mesmas, pois para a abscissa do vértice as raízes quadradas

que não seriam números reais sempre se anulam e sempre existe, já que na ordenada do vértice não é necessário extrair sua raiz quadrada.

Exemplo: Determine as coordenadas do vértice da função quadrática, o conjunto

imagem desta função e a equação do eixo de simetria do seu gráfico:

(a) cuja lei é y = 2x² – 10x + 12

85

(b) cuja lei é y = -3x² + 27x – 24.

5.4. Concavidade.

A parábola da esquerda (roxa) tem

concavidade para cima e a parábola da direita

(verde) tem concavidade para baixo. Como

diferenciar a concavidade conhecido a lei da

função quadrática y = ax² + bx + c?

Notamos que se determinarmos as raízes da

função e a intersecção com o eixo oy a

concavidade fica automaticamente

determinada. Podemos analisar diretamente

pelo sinal do coeficiente a.

Colocando a em evidência, obtemos:

a

cx

a

b²xay

Fazemos um processo chamado de “Completar

quadrados1” e assim podemos reescrever a lei

da função como:

a4a2

bxay

2

chamada de forma canônica da função quadrática.

Entendemos que para valores de x + ou x -, temos

a4a2

bx

2

+ ,

pois

2

a2

bx e

a4

é constante, mesmo que este número seja negativo.

Assim, se a > 0, então y + , na condição de x + , fazendo com que a

concavidade da parábola seja para cima. Se a < 0, então y , na condição de

x + , fazendo com que a concavidade da parábola seja para baixo.

Se a > 0, então o gráfico tem concavidade para cima.

Se a < 0, então o gráfico tem concavidade para baixo.

5.5. Estudo do Crescimento.

Independente do número de raízes, o estudo do crescimento é definido pela

concavidade e o vértice do gráfico da função quadrática.

1 Procedimento bastante importante para o cálculo de Integrais, vistos na disciplina de

Matemática II.

86

Com a concavidade para cima, a > 0, tem-se:

f é crescente: x ]xv, + [

f é decrescente: x ] , xv[

Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Mínimo.

Com a concavidade para baixo, a < 0, tem-se:

f é decrescente: x ]xv, + [

f é crescente: x ] , xv[

Isso faz com que o vértice seja um Ponto de Máximo.

5.6. Estudo do Sinal.

Para determinarmos os intervalos de x em que a função assume valores

positivos, negativos ou nulos, necessitamos saber a concavidade do gráfico e as

raízes da função. Com isso temos seis possibilidades.

a > 0 a < 0

Duas raízes. Duas raízes.

a > 0 a < 0

Uma raiz. Uma raiz.

a > 0 a < 0

Nenhuma raiz. Nenhuma raiz.

Exemplos: 1. Estude o sinal de cada função afim abaixo:

(a) y = -x²+ 3x + 4

87

(b) y = x² + 2

2. Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função.

(a) f: A ℝ

2x

6x5²xy

(b) g: A ℝ

4x3²x3xy

88

(c) h: A ℝ

2x3²x16²x

x3²xy

3. Resolva as inequações abaixo, em ℝ:

(a) 3 < x² – 4x < 0


89

(b)

03x2²x

06²x


(c) 1x24x

1x3²x

90

6. Função Composta

A ideia geral das funções compostas é aplicar duas funções consecutivamente.

Considere f: A B e g: C D.

y= f(x) y= g(x)

Para podermos aplicar a função f primeiro, e no seu resultado a função g, o

conjunto B deve estar contido no conjunto C, pois caso contrário, existirá x

A que não possua y D relacionado a ele.

f g

A B C D

g(f(x))= gof(x)

gof: A D

y = g(f(x))

Para podermos aplicar a função g primeiro, e no seu resultado a função f, o

conjunto D deve estar contido no conjunto A, pois caso contrário, existirá x

C que não possua y B relacionado a ele.

g f

C D A B

f(g(x))= fog(x)

fog: C B

y = f(g(x))

Exemplo: Verifique a existência das funções compostas fog e gof, no caso

afirmativo determine também a lei da função composta.

(a) f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ y = 2x y = x²-3x+2

91

(b) f: ℝ-{1} ℝ* g: [2,+[ ℝ+

1x

1y

2xy

(c) f: ℝ [2,+[ g: [2,+[ ℝ+

y = x² + 2 2xy

(d) f: ℝ ℝ g: [5,+[ ℝ+

y = 2x + 1 xy

92

7. Função inversa.

Seja f: A B. Dizemos que a função f possui inversa, função g: B A,

y=f(x) y= g(x)

se para todo par (a,b) f, ou seja, b=f(a); tem-se (b,a) g, ou seja, a = g(b) e g ser uma função. De modo simples o domínio de uma é imagem da outra e a

imagem da outra é domínio da uma. Os papéis de x e y se invertem.

f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ

y = 2x y = 2

x

(1,2) f (2,1) g

(3,6) f (6,3) g

1,

2

1 f

2

1,1 g

...

Ambas são funções, os gráficos de ambas são retas. Podemos dizer que f e g são

inversas entre si, ou g = f-1.

Até a lei faz uma alusão ao inverso: a operação inversa de multiplicar por 2 é

dividir por 2. Infelizmente a maioria das funções não são tão simples para

enxergarmos esta correlação.

O gráfico de funções inversas possuem simetria em relação à reta y = x. Enxergamos

a simetria se “dobrarmos” o gráfico na reta y = x os gráficos da função f e g se

sobrepõe.

h: ℝ ℝ g: ℝ ℝ y = x² x = y²

(2,4) h (4,2) g

(3,9) h (9,3) g

4

1,

2

1 h

2

1,

4

1 g

...

Só que neste caso, g não é

função!!!

h é função, g satisfaz o critério da operação inversa, mas g não é função, então

não podemos dizer que g É FUNÇÃO INVERSA de h.

O critério da inversa faz com que os gráficos, mesmo neste caso que a g não é

função, é a simetria dos gráficos em relação à reta y=x.

Em consequência da definição, se f e g são funções inversas entre si, temos:

fog: B B e gof: A A

y=fog(x)=x y=gof(x)=x

93

Exemplo: 1. Verifique se as funções abaixo são inversas entre si:

(a) f: ℝ ℝ g: ℝ ℝ

3

x21y

2

1x3y

(b) f: [1,+[ ℝ+ g: ℝ+ [1,+[

1xy 1²xy

2. Verifique a existência da função inversa de f, apenas baseado em seu gráfico.

Se existir, esboce seu gráfico e determine domínio e imagem.

(a) (b)

94

(d) (e)

3. Determine a função inversa das funções abaixo, se existirem.

(a) f: [-2,+[ [2,+[ (b) g: ℝ-{2} ℝ-

2

1

x22y 4x2

1xy

95

(c) h: ℝ ℝ+

y = |x - 1|

96

8. Função Exponencial


f: ℝ ℝ+∗

y = ax

Em que a é um número real tal que 0 < a 1. Observação:

1. Se a < 0, com x ℝ, poderíamos ter, por exemplo, a = -2 e x = 2

1 e assim teríamos

y = 22 2

1

ℝ, ou seja, f não seria função.

2. Se a= 0, poderíamos ter x = -1. Assim y = 0-1=0

1, que não existe.

3. Se a = 1, teríamos y = 1x = 1, independente do valor de x, logo seria uma função

afim e não exponencial.

8.1 Gráfico da função exponencial e exemplos.

O gráfico ao lado é o gráfico da

função exponencial, cuja lei é y= 2x.

Para fazer seu gráfico incialmente

podemos obter alguns pontos e depois

passar uma linha por estes pontos.

Será que a função intersecciona o

eixo ox? Para isso deveríamos achar

resposta para 2x = 0 e de fato não

existe x para que isso ocorra. No caso da função ser crescente, podemos dizer

que quanto mais x se aproxima de , mais y se aproxima de zero, mas nunca

será zero. E quanto mais x se aproxima de + , mais y vai a + . Esse comportamento da função exponencial é de extrema importância. Vejamos um outro

gráfico.

O gráfico ao lado é o da função, cuja

lei é

x

2

1)x(g

.

Podemos fazer este gráfico

analogamente ao anterior.

Desta vez, nos deparamos com uma

função decrescente.

O comportamento da função g se

inverte em relação ao crescimento e

assim podemos dizer que quanto mais

x se aproxima de , mais y se aproxima de + . Assim como quanto mais x se

aproxima de + , mais y se aproxima de zero. Dessa forma o eixo ox é uma assíntota da função exponencial.

Tanto na função exponencial crescente, quanto na decrescente o gráfico da função

intersecciona o eixo ox no ponto (0,1).

x y

-3 0.125

-2 0.25

-1 0.5

0 1

1 2

2 4

x y

-2 4

-1 2

0 1

1 0.5

2 0.25

3 0.125

97

8.2 Crescimento.

Com a função exponencial básica, ou a função é apenas crescente, ou apenas

decrescente. Como diferenciar os dois casos?

Tiramos esta resposta da aritmética e das regras

de potenciação.

Analisamos dois casos: Se 0 < a < 1 e se a > 1.

Se a > 1, à medida que aumentarmos o x, maior

ficará o y, isso significa que a função é

crescente.

Ao lado, os gráficos bordô, azul e verde são

respectivamente das funções exponenciais, cujas

leis são:

y= 3x, y = 2x e y = 1,5x.

Por exemplo, considerando a = 2:

-1 < 0 < 1 2-1 < 20 < 21

Se 0 < a < 1, à medida que aumentarmos o x, menor ficará o y, isso significa que

a função é decrescente.

Ao lado os gráficos verde, vermelho e azul

são respectivamente das funções exponenciais

h, g e p, cujas leis são:

x

3

2y

,

x

2

1y

e

x

3

1y

Por exemplo, considerando a = 2

1

-1 < 0 < 1

101

2

1

2

1

2

1

Se 0 < a < 1, então a função exponencial é decrescente.

Se a > 1, então a função exponencial é crescente.

Exemplo: Determine o crescimento das funções abaixo:

(a) f: ℝ ℝ+∗

x

3y

(b) g: ℝ ℝ+∗

x

3

2y

(c) h: ℝ ℝ+∗

x4

7

5y

98

8.3 Estudo do Sinal

A função básica f: ℝ ℝ+∗ não intersecciona o eixo ox e está toda acima

y = ax

deste eixo, logo é sempre positiva. Agora quando compomos a função exponencial

com outras tudo pode acontecer. Isso requer que saibamos resolver equações e

inequações envolvendo expressões exponenciais.

8.4 Equações exponenciais.

Qual é a raiz da função 93y

lRlR:f

2x5

? Sabemos que a função exponencial básica não

tem raiz, mas esta é o resultado da composição da função x

*

3y

lRlR:g

,

9xy

lRlR:h

e 2x5y

lRlR:p

.

Descobrir a raiz da função f requer que resolvamos a equação 35x-2- 9 = 0. Outras

composições exigirão resolver outras equações, então passamos agora a resolvê-

las. Para isso vamos retomar algumas propriedades da potenciação:

1 - yxyxaaa

xxx)ab(ba 2 -

3 - yx

y

x

aa

a , se a 0.

4 -

x

x

x

b

a

b

a

, se b 0.

5 - yxyxaa

6 - y

x

y xaa

7 - yxaayx

8 - x

x

a

1a

, se a 0.

9 – a0 = 1 , se a 0.

10 – a1 = a.

A fim de resolver uma equação exponencial podemos aplicar estas propriedades e

somente estas, além das manipulações algébricas conhecidas.

Exemplo: Resolver as equações abaixo:

(a) 4x = 32 (b) 813

1x

(c) x1x525

(d) 35x-2- 9 = 0

99

(e) 5x+3 – 9.5x+1 + 5x = 2025

(f) 4x = 2x + 12

8.5 Inequações exponenciais.

Para que valores do domínio 93y

lRlR:f

2x5

assume valores positivos ou

negativos? Sabemos que a função exponencial básica não tem raiz e é apenas

positiva, mas e esta? Determinar em que valores de x, f é positiva requer que

resolvamos 35z-2- 9 > 0 e para valores negativos, 35z-2- 9 < 0. Para isso além de

considerar as propriedades de potenciação e as manipulações algébricas já

conhecidas, devemos considerar as propriedades abaixo relacionadas com o

crescimento de uma função exponencial:

11 – Se a > 1, então: 12 – Se 0 < a < 1, então:

ax1 < ax2 x1 < x2. ax1 > ax2 x1 < x2.

100

Exemplo: Resolver as equações abaixo:

(a) 3x-1 > 27 (b) x

1x

16

18

(c)

2xx

3

1

3

12

(d) 35x-2- 9 > 0

(e) 3x+1 + 3x+2 < 108

(d) 52x+2 – 5x+3 > 5x - 5

101

9. Função inversa da função exponencial.

Sendo f: ℝ ℝ+∗ função exponencial, então g: ℝ+

∗ ℝ é sua inversa, desde y = ax x= ay

g seja função. Não esqueça, a é um número real tal que 0 < a 1. Como conhecemos o gráfico da função f

e que gráficos de funções inversas

entre si são simétricos em relação à

reta y = x, podemos verificar s g é

função.

Ao lado a curva azul é o gráfico de

uma função exponencial em que a >

1. A curva vermelha foi produzida pela

simetria. Nota-se que é uma função e

que, identicamente a f, g é crescente.

Lembramos que pela definição de função

inversa:

(a,b) f (b,a) g Podemos já fazer o estudo do sinal da

função g:

y > 0 x > 1

y = 0 x = 1

y < 0 0 < x < 1

Também podemos estudar o sinal da função

inversa da exponencial quando 0 < a < 1.

y > 0 0 < x < 1

y = 0 x = 1

y < 0 x > 1

Ambas são decrescentes nas mesmas

condições.

Devemos obter um modo de explicitar y na

lei de g e a função estará definida.

Na lei da função inversa da função

exponencial: x = ay, para explicitar y que

está no expoente, temos a definição de

LOGARITMO! Que nada mais é do que o

EXPOENTE! Logaritmo é o expoente!!!!!

Agora podemos definir a função logarítmica básica:

g: ℝ+∗ ℝ

y = logax

Em que: 0 < a 1 e só está definido para x > 0. Qualquer alteração na função logarítmica básica requer minucioso estudo, por isso

estudaremos o logaritmo como algo independente da definição de função,

resolveremos equações e inequações logarítmicas.

9.1 Logaritmo.

Se 0 < a 1, o resultado de ax é estritamente positivo, assim se ax = b, temos b > 0. Logaritmo é o expoente de uma equação exponencial.

ax = b x = logab

102

Desde a sua criação, no século XV, foram criadas tabelas indicando alguns

valores de logaritmos na base 10. Felizmente hoje não necessitamos destes

artifícios devido ao amplo uso das calculadoras, mas não pense que tu poderá usá-

la na prova. Precisamos desenvolver as propriedades dos logaritmos, assim como

temos as propriedades de potenciação. E por exemplo se uma resposta resultar em

log23, deixamos assim, da mesma forma que se o resultado é 2, na matemática,

não dizemos que o resultado é 1,41, deixamos 2.

9.2 Propriedades dos logaritmos.

Mostraremos as propriedades de logaritmos juntamente com as propriedades de

potenciação, pois são INVERSAS uma da outra.

a0 = 1 loga1 = 0

a1 = a logaa = 1

ax.ay = ax+y loga(x.y) = logax + logay

yx

y

x

aa

a ylogxlogy

xlog

aaa

yxyxaa

logaxy = ylogax

f(x)=ax g(x)=logax f(g(x))= x xaxlogz

ax = ay x = y logax = logay x = y

Exemplo: 1. Sabendo que logbx = -2 e logby = 3, calcule

3

2

b

y

xlog .

2. Se logE = 1 + loga + 2logb – logc, então calcule E.

3. Se log8 = a e log3 = b, calcule:

(a) log2 (b) 3 18log

103

9.3 Fórmula de mudança de base.

Caso queiras alguma explicação adicional a como se chega a fórmula da mudança de

base, procure atendimento.

xlog

ylogylog

a

a

x

Em que a é a nova base.

Exemplo: Resolver as equações abaixo e calcule aproximadamente o valor de x:

(a) 2x = 3 (b) 5x = 7

(c) 8x = 32

9.4 Equações exponenciais e logarítmicas.

Nos exemplos anteriores já conseguimos resolver algumas equações exponenciais

que somente com o conhecimento de exponencial não conseguiríamos. Agora

incrementaremos estes casos e resolveremos equações logarítmicas, com base nas

suas sete propriedades e mais na fórmula da mudança de base. Bastante importante,

pois a maioria das propriedades de logaritmação só são válidas quando estão na

mesma base.

Exemplo: Resolver as equações abaixo e deixe as respostas com os resultados

logarítmicos mais simples possíveis:

(a) 31-x = 4 (b) 2x = 3x

(c) log4(3x+2)=log4(2x+5) (d) logx(4x-3)=logx(2x+1)

104

(e) log3(2x-11)= 3 (f) log4(log2x)=1

(g) 06xlog7xlog2

2

2 (h) log(x+1) – log(2x) = 2

(i) log3x = 1 + log9(2x-9)

9.5 Inequações logarítmicas.

Ao resolver inequações logarítmicas devemos ter o mesmo cuidado do que com as

equações exponenciais, pois se estamos comparando desigualdade de potências

devemos saber como comparar os expoentes. Tudo depende da base ser de uma função

exponencial ser crescente ou decrescente lembram-se? O mesmo caso agora, com o

agravante que ainda temos as condições de existência do logaritmo, ou seja a base

0<a1 e logaritmando estritamente positivo. Exemplo: Resolver as inequações abaixo:

(a) log4x < log45

105

(b) )2x(log²xlog

2

1

2

1

(c) log3(x²-8x) < 2

(d) )3x(log)1x(log xlog

3

1

3

1

3

1

(e) 2ln2 x – lnx > 6

106

(f) 028logxlogx

2

1

10. Exercícios.

1- Determine o maior subconjunto dos reais que torna as expressões abaixo em

funções:

a 4x)x(f

lRA:f

b

1x2

3x2)x(g

lRA:g

c x212x)x(h

lRA:h

d

1²x

3xx)x(g

lRA:g

24

2- Determine o domínio de cada gráfico abaixo. Analise se os gráficos abaixo ;são

referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique sua resposta. No

caso de função determine o conjunto imagem.

a b

107

c d

3 Responda:

a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação?

b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser definida como

uma função afim?

4 Resolva as inequações abaixo, em ℝ:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

11. Exercícios.

Esboce o gráfico das funções f:ℝ ℝ abaixo, determinando as raízes, o vértice, a

intersecção com eixo oy e a concavidade da função.

1- y=x²-2x+4

2- y=3x-x²

3- y=2x²-10x+7

4- y=4x-x²

Resolva, em ℝ, as inequações abaixo:

5- (2x-3)(x²-7x+10) < 0 6- 20x-4x²-25 < 0

7- 0 < x² - 3x + 2 < 6 8- (1-4x²)(2x²+3x) > 0

9- (x²-2x+8)(x²-5x+6) < 0

02x3²x2

5x²x4

10- 0

2x3²x2

x32

11-

01x

x

1x

x

12- 1x

2x

3x

13-

108

12. Exercícios.

Determine as funções compostas fog ou gof, se existirem:

1x3)x(f

lRlR:f

1- e

1x3)x(f

lRlR:f

³x)x(f

lRlR:f

2- e

3x)x(g

lRlR:g

2

1x

x)x(f

1lR1lR:f

3- e

1x)x(g

lR,1:g

4 1x)x(f

lR,1:f

4- e

1x)x(g

,1lR:g

6

Determine a função inversa de cada função abaixo. Em caso negativo, justifique:

1xy

lRlR:f

5

5-

1x3y

lRlR:g

6-

x

2x4y

4lR*lR:f

7-

3x

3xy

1lR3lR:h

8- 3

2x4y

lRlR:g

9-

34xxy

lRlR:f

10-

1x

x)x(f

1lR1lR:f

11-

Verifique se existe a função inversa das funções representadas pelos gráficos abaixo.

Em caso afirmativo, esboce o gráfico da inversa, em caso negativo, justifique:

12- 13- 14-

10- 11- 12-

13 Exercícios.

Classifique as funções exponenciais, cujas leis estão abaixo segundo seu

crescimento.

(a)

x

2

2y

(b)

x

e

3y

(c) x

ey

109

(d) y = -x (e)

x24

y

Compare as potências abaixo, colocando entre elas os sinais adequados de <

ou >:

(a)

73

3

3___

3

3

(b) (0,9)4 ____ (0,9)-5

(c) 3___3

2 (d)

10e

2___2

Resolva as equações exponenciais abaixo:

(a) 2x = 64 (b) 3x-2 = 9 (c) 1255x2x

2

(d) 32

12

5 x (e) 2x + 2x-1 = 12 (f) 3x-2 + 3x+1 = 84

(g) 22x – 9.2x = - 8 (h) 4x+2 – 3.2x+3 = 160

Resolva as inequações exponenciais abaixo:

(a) 25x > 23x+10 (b) 1xxx01,001,0

2 (c)

x3

1x2

2

22

(d) (0,5)x-1 + (0,5)x-2 > 48 (e) 4x+1 + 4x+2 – 1280 < 0

Determine o maior subconjunto A dos reais que tornam as expressões abaixo em

leis de uma função f: A ℝ.

(a) y = 2xxx77 (b)

x

2

1

64

1

xy

(a) Estudo o sinal da função f: ℝ ℝ em que f(x) = 13

11x3

.

(b) A função f intersecciona a reta y = -1? Justifique.

(c) Qual a imagem da função f?

(d) Em que ponto o gráfico de f intersecciona o eixo oy?

(e) Esboce o gráfico da função f.

14 Exercícios.

Determine o maior subconjunto dos reais que torna a equação abaixo na lei de uma

função:

x5

3xlogy

21- 6x5xlogy

2

3

12- ²xx23logy

x2 3-

Determine a função inversa das leis abaixo, incluindo seu domínio.

93y2x5 4- 5- 4

8

13y

5x

Resolva as equações abaixo, em ℝ:6- 3x = 2x + 2x+1

7- 43x-1 = 3x+2

6log4x5log

3

1

3

18-

9- logx(6x-5) = logx(2x-1)

10- log(4x-3) = - 1

110

0xlogloglog25

5

111-

xlog52xlog24

2

412-

13- log3(x²-x-5)-log3x = 1

14- logx2 = log2x

Resolvas as inequações abaixo, em ℝ: 15- 3x > 7

16- log9x < log9 (2-5x)

x5log3xlog

5

4

5

417-

18- log2x > 3

19- Estude o sinal da função abaixo:

f: ℝ+∗ ℝ

y = 4xlog3xlog

2

1

2

2

1

Unidade E

Funções Trigonométricas

Débora Bastos IFRS – CAMPUS RIO GRANDE FURG

139

15. Trigonometria no triângulo retângulo, resolução de triângulos

quaisquer.

Todos os resultados da trigonometria do triângulo retângulo continuam válidos.

Por exemplo:

Por definição se +=90º :

(a) senAC

BCcos

(b) cosAC

ABsen

(c)

tan

1ancot

BC

ABtan

E também por definição:

(d)

cos

sentan (d)

sen

cosancot (e)

cos

1sec (f)

sen

1seccos

Alguns resultados consequências dessas definição:

(a) sen² + cos²=1

(b) tan² + 1 = sec²

(c) cotan² + 1 = cossec²

Alguns resultados bastante importantes são as leis dos

cossenos e senos, que basicamente resolvem triângulos

quaisquer, além do Teorema de Pitágoras, que só se aplica

aos triângulos retângulos e seno e cosseno dos arcos soma.

(a) Lei dos Senos: sen

c

sen

b

sen

a

(b) Lei dos Cossenos: c² = a² + b² - 2ab.cos

(c) Seno da adição/subtração:

sen(a b) = sena.cosb senbcosa

(d) Cosseno da adição/subtração:

cos(a b) = cosacosb senasenb

Muitos outros resultados podem ser concluídos a partir deste, por exemplo: sen2x,

tan(a+b), etc.

16. Circunferência trigonométrica.

Se inserirmos numa circunferência de raio unitário (r = 1) os eixos do

sistema cartesiano ortogonal, de maneira que a origem do plano cartesiano coincida

com o centro da circunferência, que seja fixado um

ponto A (1,0) chamado de origem dos arcos, de onde,

como o nome sugere, são determinados arcos com início

nesse ponto. Podemos visualizar os arcos com o ponto

A fixo e o ponto P móvel. Se o ponto P se desloca no

sentido anti-horário o arco AP é positivo e se o ponto

P se desloca no sentido horário o arco tem medida

negativa.

Para as funções trigonométricas precisamos de domínio

real, assim, os ângulos serão convertidos em radianos

para equivaler a uma unidade de medida, ou seja, um

número real.

Para medir o comprimento de um arco de círculo

subentendido por um ângulo, , em radianos:

S= r Se r = 1, tem-se, S = .

140

OP = r = 1

=

4 rad med(𝐴𝑃)̂ =

comp(𝐴�̂�) = med(𝐴𝑄)̂=

Observações:

Todos os arcos têm origem em A, o que determinará se o arco determinado no

sentido anti-horário ou horário é o sinal do arco;

Para converter um ângulo em graus em radianos ou vice-versa, basta uma regra

de três simples, fazendo a correspondência rad – 180º;

Os eixos coordenados dividem a circunferência (e o plano) em quatro quadrantes,

numerados segundo o sentido positivo dos arcos. Os limites dos arcos de acordo

com os quadrantes estão dispostos na figura a seguir (complete):

Em graus: Em radianos:

IQ: ____ < < ________ IQ: ____ < < ________

IIQ: ____ < < ________ IIQ: ____ < < ________

IIIQ: ____ < < ________ IIIQ: ____ < < ________

IVQ: ____ < < ________ IVQ: ____ < < ________

Atribuindo sentido a arcos positivos e negativos atribuímos sentido também

a arcos maiores que 360º ou 2 rad, basta imaginarmos o ponto P "móvel"

completando mais de uma volta.

A todo arco maior que uma volta corresponde a um arco da primeira volta.

Arcos que começam e terminam no mesmo lugar, diferenciando-se apenas por um

número inteiro de voltas, chamam-se de arcos côngruos. Se e são côngruos:

Em radianos: - = 2n , n ℤ.

Em graus: - = 360ºn , n ℤ.

17. Função Cosseno.

Para determinar a função cosseno:

f: ℝ ℝ y = cosx

Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o

eixo ox. A intersecção da perpendicular com o eixo ox,

será o ponto C. A medida do cosx é a abscissa do ponto

C, ou seja,

cosx = xc

A definição de cosseno na circunferência trigonométrica

não contradiz a definição no triângulo retângulo, mas

torna esse conceito mais abrangente. No triângulo retângulo só aparece ângulos

agudos, só existia sentido cosseno de ângulos entre 0º e 90º. Agora podemos

definir cosseno para qualquer arco, seja positivo ou negativo, maior que 360º ou

menor que 360º, ou melhor, qualquer ângulo em radianos. Assim o valor de cosseno de um ângulo pode assumir o sinal positivo se o ponto

C estiver a direita da origem ou negativo se o ponto C estiver à esquerda da

origem.

Quadrante I II III IV

Sinal

Crescimento

Variação

II

III

I

IV

O

141

Exemplo: Determine o valor dos cossenos abaixo em relação a arcos do primeiro

quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para

facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que

arcos sejam em radianos.

(a) cos120º (b) cos245º

(c) cos278º (d) cos335º

Observação: Todas as relações trigonométricas válidas no triângulo retângulo,

vistos no arquivo H, continuam valendo.

17.1. Gráfico Função Cosseno.

As funções trigonométricas são ditas periódicas, pois existe um número real

p, tal que: f(x)=f(x+p), já que ao completar uma volta a função passa a assumir

os mesmos valores da primeira volta, o mesmo acontece com o sentido horário.

O menor valor de p possível, válido para todo x é chamado de período.

A metade da maior variação horizontal do gráfico é chamada de amplitude.

Frequência de uma função periódica é o número de ciclos numa determinada unidade

de tempo.

Na função cosseno básica:

p = 2 A = 1 f = 1

Qualquer variação na função cosseno, esses parâmetros são alterados:

142

f: ℝ ℝ y = acos(bx+c)+d

Período Amplitude Frequência Imagem

y = acos(x)

y = cos(bx)

y = cos(x+c)

y = cos(x) + d

y = acos(bx+c)+d

Exemplo: Esboce o gráfico da função

f: ℝ ℝ

24

x2cos3y

18. Função Seno.

Para determinar a função cosseno:

f: ℝ ℝ y = senx

Façamos uma perpendicular do ponto P até encontrar o eixo

oy. A intersecção da perpendicular com o eixo oy, será o

ponto S. A medida do senx é a abscissa do ponto S, ou seja:

senx = ys

A definição de seno na circunferência trigonométrica não contradiz a

definição no triângulo retângulo, mas torna esse conceito mais abrangente, assim

como na função cosseno. Assim o valor de seno de um ângulo pode assumir o sinal

positivo se o ponto S estiver acima da origem ou negativo se o ponto S estiver

abaixo da origem.

143

Quadrante I II III IV

Sinal

Crescimento

Variação

Exemplo: Determine o valor dos senos abaixo em relação a arcos do primeiro

quadrante na primeira volta do sentido positivo. Trabalharemos em graus para

facilitar o processo, mas para as funções trigonométricas é importantíssimo que

arcos sejam em radianos.

(a) sen145º (b) sen205º

(c) sen238º (d) sen345º

18.1. Gráfico Função Seno.

Na função seno básica:

p = 2 A = 1 f = 1

144

Observe a diferença entre os gráficos da função seno e cosseno na imagem

abaixo.

Dizemos que há uma diferença de fase em relação aos gráficos das funções

seno e cosseno, fazendo c = 2

em uma das funções, os gráficos coincidem.

Qualquer variação na função seno, esses parâmetros são alterados:

f: ℝ ℝ y = asen(bx+c)+d

Período Amplitude Frequência Imagem

y = asen(x)

y = sen(bx)

y = sen(x+c)

y = sen(x) + d

y = asen(bx+c)+d

Exemplo: Esboce o gráfico da função

f: ℝ ℝ

232

xsen2y

145

Deveríamos estudar tão profundamente como as funções seno e cosseno, as funções

tangente, cossecante, secante, cotangente. Pela escassez de tempo, deixamos a

cargo do estudante usar os conhecimentos aqui vistos para deduzir as propriedades

destas outras funções.

19 Exercícios.

1- Um dos catetos de um triângulo retângulo mede 10 cm e a hipotenusa mede 12

cm. Determine o valor do cosseno de cada ângulo agudo do triângulo.

2- Seja o ângulo agudo x tal que cosx =25

7, determine senx, cossecx, secx, tanx

e cotanx.

3- Calcule o comprimento da sombra projetada por um poste de 6 metros de altura

no instante em que os raios solares que incidem sobre ele formam com o solo,

horizontal, um ângulo de 60º.

4- Uma telha de um galinheiro quebrou. Em dias chuvosos,

uma goteira produz no chão, embaixo da telha quebrada,

uma pequena poça de água a 1,85 metros de uma das paredes

do galinheiro, conforme a figura. Considerando que a

espessura dessa parede é de 15 cm e que d é a distância

entre o ponto mais alto do telhado e a quebra da telha,

calcule, d em metros.

5- Um túnel reto AB deverá ser construído a partir da perfuração de uma montanha.

De um ponto C – situado a 65 metros de A, na perpendicular ao traçado do túnel

– avistam-se as futuras extremidades do túnel sob ângulo de 60º. Qual o

comprimento do túnel a ser construído?

6- Dois homens, H1 e H2, com 2 metros e 1,50

metros de altura, respectivamente, estão em pé

numa calçada, em lados opostos de um poste de

5 m de comprimento, iluminados por uma lâmpada

desse poste, como mostra a figura. Determine a

distância entre os homens.

20. Exercícios.

1- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:

(a) cos 99º

(b) cos301º

(c) cos

18

17

(d) cos195º

(e) cos

5

7

(f) cos610º

(g) cos

2

21

146

2-Preencha a tabela abaixo:

x

(rad)

0

6

3

4

3

6

7

4

5

3

5

2

x

(º)

45º

90º

120º

150º

240º

270º

315º

330º

cosx

senx

3- Verdadeiro ou Falso? Corrija os falsos:

(a) cos310º cos50º = 0 (b) cos66º = 2cos33º

(c) cos 955º > cos 235º

(d) cos 31º < cos 49º

(e) cos 128º < cos179º

(f) cos 203º > cos 261º

(g) cos

7

3= cos

7

31

(h) cos33º = cos147º

(i) cos161º = cos19º

(j) cos358º = cos2º

4- Dê o sinal de cada um dos seguintes números reais:

(a) sen345º

(b) sen 127º

(c) sen 256º

(d) sen 872º

5- Associe o valor de cada seno, com um arco do primeiro quadrante:

(a) sen234º

(b) sen 156º

(c) sen283º

(d) sen301º

(e) sen120º

(g) sen135º

(h) sen 150º

(i) sen 210º

(j) sen 225º

(k) sen 240º

(l) sen300º

(m) sen315º

(n) sen 330º

6-Preencha as lacunas com >, < ou = :

(a) sen 15º ___ sen 67º

(b) sen 125º ___ sen 186º

(c) sen 231º ____ sen 129º

(d) sen 171º ____ sen 305º

147

(e) sen

3

5 ____ sen

6

5

(f) sen 123º ___ sen 690º

(g) sen

6

11 ____ sen

3

5

(h) sen 123º ____ sen 843º

(i) sen 234º ____ sen 280º

(j) sen 79º ____ sen 101º

(k) sen

4

5 ____ sen

4

7

7- Determine amplitude, frequência, período e imagem das funções reais de variável

real abaixo:

(a) y = 5cos(2x) +3

(b) y = 6sen(5x)-6

(c)

37

xcos2y

(d) 44

5

3

x2sen7y

166

21. Respostas dos exercícios item 10.

1-

(a) A = [4,+[

(b) A =

,

2

1

2

1,

2

3

(c) A =

2

1,2

(d) A = ℝ

2-

(a) A = ℝ. É função, porque qualquer reta vertical interseciona o gráfico apenas

uma vez, satisfazendo a definição de função. Im = ]0,+[.

(b) A = [6,6[. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o

gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im=[4,7[.

(c) A = ℝ. Não, há três intersecções com o eixo oy, ou seja, para x = 0 existem três valores de y relacionado a ele.

(d) A = ℝ - {1}. É função, porque qualquer reta vertical em A intersecciona o

gráfico apenas uma vez, satisfazendo a definição de função. Im= ℝ.

3-

(a) Sim, no caso em que a = 0 (reta horizontal).

(b) Não, uma reta vertical não é função.

4-

(a)

3

1x/lRxS ou

3

1,S

(b)

5

3x ou 1x/lRxS ou

,

5

31,S

(c)

2x ou 2

5x/lRxS ou

,22

5,S

(d)

6x ou 3

4x

3

2/lRxS ou

,6

3

4,

3

2S

(e)

2

1x ou 2x/lRxS ou

,

2

12,S

(f)

2

3x ou

3

2x/lRxS ou

,

2

3

3

2,S

(g) 1x/lRxS ou ,1S

(h)

3x ou 2x2

3 ou 1x/lRxS ou

,32,

2

31,S

22. Respostas dos Exercícios item 11.

1- 2- 3- 4-

167

5x2 ou 2

3lR/x xS5- ou 5,2

2

3,S

6-

2

5 x lR/ xS ou

2

5lRS

4,21,1S 7-

2

1,0

2

1,

2

3S8-

9- S = [2,3]

,21,

2

1

4

5,S10-

,

3

2

2

1,2S11-

1x0 ou 1-lR/x xS 12- ou 1,01,S

,2S13-

23. Respostas dos exercícios do item 12.

1- ∄ gof e

x

3xy

lR*lR:fog

642

xx9x2727y

lRlR:fog

2- e

6x3y

lRlR:gof

3- ∄ gof e ∄ fog

11xy

,1,1:gof

3

4- e

3xy

lRlR:fog

5

1

1xy

lRlR:f

5-

3

1xy

lRlR:g1

6-

4x

2y

lR4lR:f*1

7-

1x

3x3y

3lR1lR:h1

8-

4

2xy

lRlR:g

3

1

9-

168

10- Não existe a inversa, pois para f, por exemplo, y=0, está relacionado com x= 0 e x

= -1. (0,0) f e (-1,0) f, ou seja, (0,0) f-1 e (0,-1) f-1, para f-1 temos dois y

para o mesmo x, logo não é função.

11- f=f-1

12 a 14 e 17- Não existe, pois há mais de um x para o

mesmo y, assim na inversa teria mais de um y para o

mesmo x, não sendo função.

15- Existe, e o gráfico é idêntico.

16- Existe, gráfico em vermelho.


1 - (a) Decrescente (b) Crescente (c) Crescente (d) Decrescente (e) Crescente

2 – (a) > (b) < (c) < (d) <

3 – (a) S = {6} (b) S = {4} (c) S = (d) S = {-25} (e) S = {3} (f) S = {3} (g)

S = {0,3} (h) S = {2}

4 – (a) S = ]5, +[ (b) S = ℝ-{1} (c) S = ]-4, +[ (d) S = ]-,-3] (e) S = ]-,

3[

5 – (a) A = ]-, 0] [2,+[ (b) A = ]6, +[

6 –

(a) y > 0 x

3

1, ; y = 0 x =

3

1 e y < 0 x

,

3

1

(b) Não, pois depende da solução da equação 03

11x3

, que não existe.

(c) A reta y = -1 é assíntota da função (resultado de (b), poderemos generalizar

o conceito de assíntota quando estudarmos limites), desta forma Im = ]-1, +[ (d) P(0,2)

(e)

169


1- A = ]3, 5[ 2- A=]-,2[]3,+[ 3- A = ]-1,1[]1,3[

4- 5-

f: ]-9,+[ ℝ g: ]4,+[ ℝ

9xlog5

1

5

2y

3

3

4xlog

3

15y

2

3logx

2

36-

36logx

3

647-

8- x = 2

9- S=

40

31x 10-

11- x = 32

12- S = {2,16}

13- S = {-1,5}

2,2

1S14- 15- S = ,7log

3

16- S=

3

1,0

17- S=

18- S= ]8,+[

19- f>0 x

,2

16

1,0 ; f=0 x =

16

1 ou x = 2; f<0

2,

16

1


1-6

11e

6

5

2- senx = 25

24, cossecx =

24

25, secx =

7

25, tanx =

24

7, cotanx =

7

24

3- 32

4- 2 2

5- 65 3

6- 3 3+7

27. Respostas dos exercícios item 20.

1- (a) – (b) + (c) – (d) – (e) – (f) – (g) 0

170

2- x(rad)

0

6

4

3

2

3

2

4

3

6

5

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

2

x(º)

0

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º

210º

225º

240º

270º

300º

315º

330º

360º

cosx

1

2

3

2

2

2

1 0 -

2

1 -2

2 -2

3

-1

-2

3 -2

2 -2

1 0 2

1

2

2 2

3 1

senx

0 2

1 2

2

2

3

1

2

3 2

2 2

1 0

2

1 -2

2 -2

3

-1

-2

3 -2

2 -2

1 0

3-

(a) V (b) F, cos2x 2cosx (c) F cos955º=cos235º (d) F, cos31º > cos49º. No IQ, cosseno é decrescente.

(e) F, cos128º > cos179º. No IIQ, cosseno é decrescente.

(f) F, cos203º < cos261º. No IIIQ, cosseno é crescente.

(g) V, arcos congruentes.

(h) V, 180º - 147º = 33º.

(i) F, cos161º= - cos19º, 180º - 161º = 19º.

(j) V, 360º - 358º= 2º.

4-(a) – (b) + (c) – (d) +

5-(a) sen234º= - sen54º (b) sen156º = sen24º (c) sen283º = - sen77º

(d) sen301º = - sen59º (e) sen120º = sen60º (f) sen135º = sen45º

(g) sen150º = sen30º (h) sen210º = - sen30º (i) sen225º = - sen45º

(j) sen210º = -sen30º (k) sen240º = - sen60º (l) sen300º= - sen60º

(m) sen315º = -sen45º (n) sen330º = - sen30º

6-(a) < (b) > (c) < (d) > (e) < (f) > (g) > (h) = (i) > (j) = (k) =

7-

Amplitude frequência período Imagem

(a) 5 2 [-2,8]

(b) 6 5

5

2

[0,12]

(c) 2

7

1

14 [-2,2]

(d) 7

3

2

3 [-11,3]

unidade c funções -...

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