coordenadas definição: diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada....
TRANSCRIPT
CoordenadasCoordenadas
Definição: Diz-se que uma base é ordenada se a ordem dos vetores é fixada.
Proposição: Dada uma base ordenada para o espaço vetorial, cada vetor dele é escrito de maneira única como combinação linear dos elementos dessa base.
CoordenadasCoordenadasDefinição: Dados uma base ordenada para um subespaço vetorial real e um vetor do subespaço, chamamos de coordenadas do vetor com relação à base, aos escalares únicos da combinação linear.
Notação: 1
2
....B
n
v
ExercíciosExercícios
Exercício 05: Dados os vetores abaixo, determine as coordenadas de cada um deles em relação às bases dadas em cada caso:
32,3, 1v R
1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B
232 4v t t t P R
21, 1 , 1B t t
Mudança de BaseMudança de Base
Sejam e
duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial .
Dado um vetor , ele pode ser escrito das seguintes formas:
1 2, ,..., nB u u u = 1 2, ,..., nD w w w =
vV
1 1 2 2 ... 1n nv u u u
1 1 2 2 ... 2n nv w w w
Mudança de BaseMudança de Base
1
2 1...B
n
v
1
2 2...D
n
v
1 2, ,..., nB u u u = 1 2, ,..., nD w w w =
Mudança de BaseMudança de Base
Como B é base, cada vetor da base D pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base B, ou seja:
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...(3)
...........................................
...
n n
n n
n n n nn n
w u u u
w u u u
w u u u
Substituindo (3) em (2) temos:
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
... ...
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u u u
u u u
u u u
1 1 2 2 ... 2n nv w w w
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
...(3)
...........................................
...
n n
n n
n n n nn n
w u u u
w u u u
w u u u
Bases
1 2, ,..., nB u u u =
1 2, ,..., nD w w w =
Reagrupando (4) de modo a compará-lo com (1) temos:
1 11 1 21 2 1
2 12 1 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... (4)
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u u u
u u u
u u u
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... (5)
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u
u
u
1 2, ,..., nB u u u =
1 2, ,..., nD w w w = 1 1 2 2 ... 1n nv u u u
Bases
1 11 2 12 1 1
1 21 2 22 2 2
1 1 2 2
...
... ... 4
... ...
n n
n n
n n n nn n
v u
u
u
1 2, ,..., nB u u u =
1 2, ,..., nD w w w = 1 1 2 2 ... 1n nv u u u
Comparando os vetores de (1) e (4) temos:
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
.....
...... (6)
... ..... ..... ..... ..... ...
.....
n
n
n n n nn n
Bases
11 12 1
21 22 2
1 2
.....
.....
..... ..... ..... .....
.....
n
n
n n nn
1 ,
D
ijB i j n
M
1 2, ,..., nD w w w =
1 2, ,..., nB u u u =Assim de (6) temos:
1 11 12 1 1
2 21 22 2 2
1 2
.....
...... (6)
... ..... ..... ..... ..... ...
.....
n
n
n n n nn n
Coordenadas do vetor na
Base B
Coordenadas do vetor na
Base D
Matriz Mudança de Base de D para B
ExercícioExercício
01: Considere as bases ordenadas B e C, determine as três matrizes abaixo:
,B
CM CBM e
2, 1 , 3,4B
1,0 , 0,1C
.B C
C BM M
Bases Ordenadas
Base Canônica do Plano
Cartesiano
Proposição: Se a matriz de mudança da base para a base ordenada é a matriz dada por e a matriz de mudança da base para a base
é a matriz dada por
Então temos:
1 2, ,..., nB u u u V 1 2, ,..., nD w w w V
BDM
1 2, ,..., nD w w w V
1 2, ,..., nG v v v V DGM
B B D
G D GM M M
ObservaçõesObservações
1)
2)
3)
B nBIM
B B D
B D BM M M
1B D
D B
M M
ExercícioExercício
Exerc. 02: Determine a matriz mudança da base B para a base canônica C do espaço vetorial dado, e sua inversa, em cada caso:A)
B)
C)
1,1,1 , 1,1,0 , 1,1,0B
21, 1 , 1B t t
1 1 0 1 1 1 1 0, , ,
1 1 1 0 0 0 0 0B