Aula 5Integrais complexas;Teorema de Cauchy.

Rafael Rabelo

Departamento de Física da Matéria CondensadaInstituto de Física “Gleb Wataghin”

Conteúdo

1. Integrais complexas

2. Teorema de Cauchy

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Integrais complexas

Integrais complexas

Se uma função f(z) é simplesmente valorada e contínua em algumaregião R do diagrama de Argand, podemos definir sua integral entredois pontos A e B em R.

Em geral, o valor da integral vai depender do caminho C entre A e B.

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Diferentes caminhos entre A e B

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Parametrização do caminho

Considere um caminho C parametrizado por t ∈ R, tal que x = x(t) ey = y(t), e t = α corresponde ao ponto A e t = β corresponde aoponto B. Então:∫

Cf(z)dz =

∫C(u+ iv)(dx+ idy)

=

∫Cudx−

∫Cvdy+ i

∫Cudy+ i

∫Cvdx

=

∫ β

α

udxdt dt−∫ β

α

vdydt dt+ i∫ β

α

udydt dt+ i∫ β

α

vdxdt dt.

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Exemplo 1

Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do círculo |z| = R, começandoe terminando em z = R.

z(t) = R cos(t) + iR sin(t), 0 ≤ t ≤ 2π.

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Exemplo 1

f(z) = 1x+ iy =

x− iyx2 + y2 .

u =x

x2 + y2 =cos(t)R e v = −y

x2 + y2 =− sin(t)

R .

∫C1

1zdz =

∫ 2π

0

cos(t)R (−R sin(t))dt−

∫ 2π

0

− sin(t)R R cos(t)dt

+ i∫ 2π

0

cos(t)R R cos(t)dt+ i

∫ 2π

0

− sin(t)R (−R sin(t))dt

= 0+ 0+ iπ + iπ = 2πi.

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Exemplo 2

Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do caminho C2 consistindono semi-círculo |z| = R no semi-plano superior y ≤ 0.

∫C2

dzz = πi

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Exemplo 3

Avalie a integral de f(z) = z−1 ao longo do caminho C3:

C3a : z = (1− t)R+ itR, 0 ≤ t ≤ 1;C3b : z = −sR+ i(1− s)R, 0 ≤ s ≤ 1.

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Exemplo 3

∫C3

dzz =

∫ 1

0

−R+ iRR+ t(−R+ iR)dt+

∫ 1

0

−R− iRiR+ s(−R− iR)ds.

∫ 1

0

−R+ iRR+ t(−R+ iR)dt =

∫ 1

0

(−1+ i)(1− t− it)(1− t)2 + t2 dt

=

∫ 1

0

2t− 11− 2t+ 2t2dt+ i

∫ 1

0

11− 2t+ 2t2dt

=12[ln(1− 2t+ t2)

]10 + i [arctan(2t− 1)]10

= 0+ i[π4 +

π

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]=

πi2 .∫ 1

0

−R− iRiR+ s(−R− iR)ds =

πi2 .

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Exercício

Avalie a integral de f(z) = Re(z) ao longo dos caminhos C1, C2 e C3.

1. Caminho C1:∫C1Re(z)dz =

∫ 2π

0R cos(t)(−R sin(t) + iR cos(t))dt = iπR2;

2. caminho C2:∫C2Re(z)dz =

∫ π

0R cos(t)(−R sin(t) + iR cos(t))dt = iπR2

2 ;

3. caminho C3:∫C3Re(z)dz =

∫ 1

0(1− t)R(−R+ iR)dt+

∫ 1

0(−sR)(−R− iR)ds

=R22 (−1+ i) + R2

2 (1+ i) = iR2.

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Resultado importante

TeoremaConsidere a integral de uma função f(z) ao longo de um caminho C.Se |f(z)| ≤ M em C, e o comprimento do caminho C é L, então∣∣∣∣∫

Cf(z)dz

∣∣∣∣ ≤ ∫C|f(z)| |dz| ≤ M

∫Cdl = ML.

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Teorema de Cauchy

Teorema de Cauchy

TeoremaSe f(z) é uma função analítica e f′(z) é contínua em cada pontosobre e dentro de um contorno C, então∮

Cf(z)dz = 0.

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Teorema de Green no plano

LemmaSe p e q são funções com primeiras derivadas contínuas sobre edentro de um contorno C, limitando uma região R do plano, então∫ ∫

R

(∂p∂x +

∂q∂y

)dxdy =

∮C(pdy− qdx).

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Prova do Teorema de Cauchy

Prova

I =∮Cf(z)dz =

∮C(u+ iv)(dx+ idy)

=

∮C(udx− vdy) + i

∮C(udy+ vdx)

=

∫ ∫R

[∂(−u)∂y +

∂(−v)∂x

]dxdy+

∫ ∫R

[∂(−v)∂y +

∂u∂x

]dxdy.

Como f(z) é analítica, u e v satisfazem as condições deCauchy-Riemann. Então, ambos os termos entre colchetes são iguaisa zero, e I = 0.

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Corolário

Sejam A e B dois pontos ligados por curvas c1 e C2, que juntaslimitam uma região fechada R. Se f(z) é analítica em R, a integral def(z) é a mesma ao longo de C1 e C2.∫

C1f(z)dz−

∫C2f(z)dz =

∮C1−C2

f(z)dz = 0.

Então, ∫C1f(z)dz =

∫C2f(z)dz.

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Corolário

Sejam C e γ dois contornos fechados no diagrama de Argand, deforma que γ está completamente dentro de C. Se f(z) é analítica naregião fechada R entre C e γ, então a integral de f(z) é a mesma aolongo de C e de γ.

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Teorema de Morera

TeoremaSe f(z) é contínua em uma região fechada R limitada por uma curvaC, e ∮

Cf(z)dz = 0,

então f(z) é analítica em R.

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Próxima aula

• Fórmula Integral de Cauchy (24.10);• Séries de Taylor e Laurent (24.11).

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