Cap. 3. Tensão

1. Existência das forças internas2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy3. Vector das tensões no ponto P

3.1 Componentes cartesianas3.2 Componentes intrínsecas

4. Tensor das tensões no ponto P4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões4.2 Componentes de tensão4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

5. Equações de equilíbrio5.1 Prova em 2D

6. Cálculo das componentes do vector das tensões7. Carácter tensorial das tensões

7.1 Prova da lei de transformação em 2D8. Notas sobre 3D9. Tensões principais10. Estados de tensão11. Outras designações12. Outras representações

12.1 Elipse de Lamé12.2 Quadricas de Cauchy

sistema 1

A

Tensão é uma das repostas do MC ao carregamento

Conjunto (sistema 1 & sistema 2) está em equilíbrio

sistema 1

sistema 2

sistema 2

B

forças internas= sistema 3

F

1. Existência das forças internas

Conjunto (sistema 2 & (- sistema 3)) está em equilíbriosistema 1 e – sistema 3 são equivalentes“- sistema 3” exprime o efeito da parte retirada A carregada com o sistema 1

Forças externas= carregamento

corte

A B

Conjunto (sistema 1 & sistema 3) está em equilíbriosistema 2 e sistema 3 são equivalentessistema 3 exprime o efeito da parte retirada B, carregada com o sistema 2

F

forças internas= - sistema 3

V

Augustin Cauchy (1789-1857)

Leonhard Euler (1707-1783)2. Princípio das tensões de Euler e Cauchy

n P

V

nPt

Densidade das forçasinternas no ponto P,efeito de V

nPt

Densidade das forçasinternas no ponto P,efeito de VV

n

= normal exterior unitária

n

P

em vez de forças internas usa-se a densidade das forças internas

3. Vector das tensões no ponto P

A

Flimt

0A

nP

Unidade N/m2=Pa

106Pa=MPa

Define-se à volta do P um elemento infinitesimal de área

A faceta é sempre ligada ao resto do MC

A faceta ligada a parte Acom a normal exteriorunitária

A faceta ligada a parte Bcom a normal exterior

unitária

Escolha-se um ponto P, que pertence à superfície de corte

Bn P

BF

PAn

AF

O vector da densidade das forças internasno ponto P chama-se

que pertence à superfície de corte e que corresponde a duas facetasPA

corte

A BP

Força interna elementar Força interna elementar

Densidade das forças internas,ou seja o vector das tensões

tx, ty, tz: componentes cartesianas

do vector das tensões

O vector das tensões no ponto P é unicamente definido para uma dada normal,o sentido é sempre relacionado com a faceta onde actua

é indiferente do modo que ΔA tende para zeroé indiferente da superfície de corte, desde que a normal no P é igual

2 componentes em 2D, 3 em 3D

P

n

PAt

n

P,y At

n

P,x At

nPt

P

3.1 Componentes cartesianas

0t n

P,x A

0t n

P,y A

Verifica-se que o sinal das componentes

cartesianas é oposto

n

PBt n

P,y Bt

n

P,x Bt

O sentido do vector das tensões relacionado às duas facetas no mesmo ponto com a normal da mesma direcção é sempre oposto

0t n

P,x B

0t n

P,y B

x

y

tn, tt: componentes intrínsecas

do vector das tensões

2 componentes em 2D e em 3D

tn: com sentido da normal tracção, positiva

tn: contra sentido da normal compressão, negativa

tn: componente normal

tt: componente tangencial ou de corte

n

P

n

PBt

n

P,n Bt

n

P,t Bt

n

P

n

PAt

n

P,n At

n

P,t At

3.2 Componentes intrínsecas

Nota:Pontos da circunferência Mohr = componentes intrínsecas das facetas

Verifica-se que o sinal da componente intrínseca normal é igual nas duas facetas.

Verifica-se que as intensidades de ambas componentes

não dependem do referencial

Pode-se atribuir o sinal à componente tangencial, mas apenas em 2D.Este sinal depende do referencial e segue as regras das facetas

positivas e negativas (explicação mais tarde). Se o referencial for igual nas duas facetas, o sinal seria também igual.

Pode-se provar, que para issotem que se saber vector das tensões relacionado:

- em 3D a 3 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P- em 2D a 2 facetas diferentes, que também passam pelo ponto P

Mantém-se o ponto P mas escolha-se uma faceta com normal diferente

as componentes do vector das tensões serão diferentes

É preciso determinar o número dos valores necessários para poder unicamente exprimir componentes do vector das tensões a qualquer faceta

4. Tensor das tensões no ponto P

Diz-se que se conhece o estado das tensões no ponto P, quando se conhecem as componentes do vector das tensões em qualquer faceta que nele passa

4.1 Valores necessários para determinar o estado das tensões

Devido a simetria do tensor das tensões (provada mais tarde) as componentesdestes vectores das tensões devem finalizar

3 dados não contraditórios em 2De 6 dados não contraditórios em 3D

P

Marque-se uma vizinhança infinitesimal em torno do ponto PProva em 2D

nxt

yyt

yxt

xxt

xyt

nyt

xy s

sinsx cossy

sintcostt

0stytxty

xx

xn

x

nx

xx

yx

sintcostt

0stytxty

yx

yn

y

ny

xy

yy

Lados da vizinhança são infinitesimais, por isso a distribuição das componentesdo vector das tensões pode ser considerada uniforme

As forças de volume não foram consideradas, porque contribuem com o termo de ordem maior (área versus aresta)

Sabendo componentes cartesianas nas facetas (x) e (y) é possíveldeterminar as componentes cartesianas na faceta inclinada

Nota: as condições de equilíbrioescrevem-se para forças e momentos, nunca para componentes de tensão

Comprovando, que o conhecimento de vector das tensões nas duas facetasé suficiente para determinar o vector das tensões a qualquer faceta, ou seja

é suficiente para definir o estado das tensões no ponto P,costumam-se escolher facetas do referencial original e em vez

de componentes cartesianas marcam-se nelas componentes intrínsecas.Mais ainda, cada faceta representa-se nas suas duas formase assim de facto recorta-se um rectângulo elementar do MC.

Representação geométrica das componentes de tensãoem 2D no rectângulo elementar

4.2 Componentes de tensão

Quando o sentido da normal coincide com o sentido do eixo coordenado

Convenciona-se

Faceta positiva : o sentido da componente positiva coincide com o sentido do eixo coordenado

Faceta negativa : o sentido da componente positiva é oposto ao sentido do eixo coordenado

Quando o sentido da normal é oposto ao sentido do eixo coordenado

x

y

xxyx

xy

y

yx

yyx

Neste caso as componentes intrínsecas do vector das tensões chamam-se componentes do tensor das tensões

Componente normal

Componente tangencialou componente de corte

o 1 índice da componente tangencial corresponde à normal, o 2 à direcção

Neste caso as direcções das componentes cartesianas e intrínsecasdo vector das tensões em cada faceta coincidem,

contudo o sentido positivo satisfaz as regras definidas no slide anterior

Facetas positivas

Facetas negativas

Representação das componentesna forma matricial

yyx

xyx

0yxxy yxxy

yxxy

força força

momento momento

x

y

xx

y

y

xy

xy

yx

yx

yx

4.3 Prova da simetria de componentes em 2D

yxy

xyxRepresentação das componentesna forma matricial

Equilíbrio dos binários

Escolha-se vizinhança elementarrectangular em torno do ponto P,mergulhada no MC e escreve-seo equilíbrio dos binários

As forças de volume e as variações de tensão não

foram consideradas, porque contribuem

com o termo de ordem maior

0yxfxyy

xyxx

y xxy

xyxyx

xx

0fyx xxyx

0fyx y

yxy

Nota: o equilíbrio dosmomentos dava arelação de simetria,agora com a prova mais rigorosado que no slide anterior

x

y

xy

yy

y

y

xxxy

xy

xx

xx

yyxy

xy

xy

xy

xfyf

5. Equações de equilíbrio

Vizinhança elementarrectangular em tornodo ponto P,mergulhada no MC

Interior

Augustin Cauchy (1789-1857)

5.1 Prova em 2D

2 equações de equilíbrionão são suficientes

para resolver 3 incógnitas

6. Cálculo das componentes do vector das tensões

nt

Fronteira

Carga cartesiana distribuída na superfície, valores dados

x,0p

y,0p

x

xy

yxy

sinsx cossy

0spxy x,0xyx sincosp xyxx,0

yxyxxx,0 nnp

yyxxyy,0 nnp

Componentes cartesianas de analogia:

P: ponto interior, a normal {n} tem que ser exterior e unitária

Tsin,cosn Tcos,cos,cosn 2D 3D

Condições de fronteira

np0

Tsin,cosn

xy s

Vizinhança elementar triangulardo ponto de superfície P

Componentes intrínsecas

cosntntt nTnnn

O sentido da componente tangencial não está definido pela esta expressão

Componente normal e tangencial calculam-se como escalares

A componente normal é positiva quando o sentido delacoincide com o sentido da normal: tracção

Alternativamente, em 2D apenas!!! Tsin,cosn

nt

nnt

ntt

P n

nnt

ntt

P

s

nt

Tcos,sins

sttTnn

t

Tensão normal na direcção {n}

2nn

2nnt ttt

Tensão tangencial na faceta {n}

x

y

s

sinsx

cossy

7.1 A prova da lei de transformação em 2D

x

xy

yxy x

x

xx

xy

0sxcossin

ysincos

xxyy

xyx

cossin2sincos xy

2

y

2

xx

cossin2cossin xy

2

y

2

xy

22

xyyxxy sincoscossin

Equações de equilíbrio em 2D

0sxsincos

ycossin

xyxyy

xyx

Analogamente:Tensão é

tensor da 2ª ordem

7. Carácter tensorial das tensões

x

y

z

x

xyxz yyz

yx

zx

z

zy

Representação geométrica das componentes no paralelepípedo elementar (facetas positivas)

Tensão é tensor simétrico 6 componentes em 3D

Representação das componentesna forma matricial

z

yzy

xzxyx

sim

Equações de equilíbrio(de Cauchy) no interior

0fzyx yyzyxy

0fzyx xxzxyx

0fzyx z

zyzxz

8. Notas sobre 3D

3 equações de equilíbrio não sãosuficientes para resolver 6 incógnitas

Condições de fronteira

np0

9. Tensões principais

Para o ângulo de rotação θp, que satisfaz

yx

xy

p

22tg

a tensão de corte anula-se e as tensões normais atingem os seus máximos e mínimos; estas componentes normais chamam-se tensões principais

2yx

m

2

xy

2

yx

2R

Rm1 Rm2

,

onde

1

12

2

1p

2 1

0xy

Rmmax Rmmin

2qualquer componente normal Tensão de corte máxima:

acompanhadade

2R 21

max

m

2

1

0

0

mmax

maxm

1

2

Notas sobre a circunferência de Mohr

Os pontos da circunferência correspondem às componentes intrínsecasdo vector das tensões nas facetas correspondentes

As facetas positivas e negativas diferem de 180º, o que representa a rotaçãode 360º na circunferência, por isso as componentes são iguais, como era de esperar

acimaOrientação das componentes de corte

determina a posição do ponto na circunferênciade Mohr indiferentemente do referencial

abaixo

x

0xy

yx

yx

y x

y

0xy 0xy 0xy

10. Estados de tensão

Tracção pura

11

Compressão pura

22

xy

xy

xy

xy

Pressão hidrostática

p

p

p

p

Estado tangencial puro

xy1

xy1 xy2

xy2

as componentes do tensor das tensões não variam com a posição

0

0

mmax

maxm

0C

Homogéneo ou uniforme:

Isostáticas

Tangentes às direcções principais

Tracção pura

11

xy

xy

xy

xy

Estado tangencial puro

Compressão pura

22

Pressão hidrostáticaQualquer direcção é principal, isostáticas não fazem sentido

analogamente

p

p

p

p

11. Outras designaçõesTensor esférico e tensor desviador de tensão

'Im onde σm é a tensão média3

I

331zyx321

m

m1oc 3/I 2

2

1oc I3I3

2

T3/1,3/1,3/1n Tensão octaédrica são as componentes intrínsecas do vector tensão

no plano cuja normal é importante para teoria

Tensão de von Mises

2vM I3

22m

2221

21vM R3

232

231

221vM 2

1

2D

3D

consequentemente 0I1

de plasticidade

Importante para teoria de plasticidade

Richard von Mises (1883-1953)

importante para a energia de deformação

12. Outras representações

12.1 Elipse de Lamé

Gabriel Lamé (1795-1870)

1y~x~

2

min

2

max

em 2D

Elipsóide de Lamé

em 3D 1z~y~x~

2

3

2

2

2

1

correspondem às componentes do vector das tensõesnuma faceta com a normal {n} de componentesnx, ny, nz no referencial principal

z~,y~,x~

z3y2x1 nz~,ny~,nx~ z

3y

2x

1

nz~

,ny~

,nx~

Assume-se, que

1nnnz~y~x~ 2

z2y

2x

2

3

2

2

2

1

max

min

Em 2D

max

min

max

min

nt

n

x

y

1yxy2x 2yxy

2x

em 2D

A curva não depende do referencial, porque o

determinante de [σ] é invariante

12.2 Quádricas de Cauchy

2xxd

1

Positivo parav.p. positivos

Negativo parav.p. negativos

Quádrica = superfície que se pode representarpor uma equação algébrica do segundo grau

Quádrica de Cauchy = coeficientes desta equaçãocoincidem com as componentes do tensor das tensões

1y

xy,x

yxy

xyx

x

maxx~

miny~

xd

Quando 0det

1/1

y~

/1

x~y~x~

min

2

max

22

min2

max

ou seja quando os valores próprios têmo mesmo sinal, a curva corresponde a elipse

max/1

min/1

0minmax

Real para +1Imag. para -1

a

b

max

1a

min

1b

Real para +1Imag. para -1

minmax 0

Assimptotas com declives

a

bm

min

max

Real para -1Imag. para +1

minmax 0

Real para -1Imag. para +1

minmax0

minmax 0

Real para +1Imag. para -1

Real para -1Imag. para +1

No referencial principal

Hipérboles

aa

b

b

b

a

b

a

1xxxx TT em 3D

Todos v.p. positivos e +1 no lado direitoTodos v.p. negativos e -1 no lado direito Elipsóide

Vamos analisar superfícies reais

2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica2 valores positivos1 negativo

De duas folhas, real para -1De uma folha, real para +1

2xxd

1

como em 2D

1 valor positivo2 negativos

De uma folha, real para -1

2 Hiperbolóides assimptóticos à mesma superfície cónica

De duas folhas, real para +1

As rotações são apenas consequências da ordenação dos valores próprios,no slide anterior o “eixo” foi formado pelo (3),neste slide o “eixo” coincide com (1)