apostila resistencia

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Este um material de apoio para os alunos do tcnico em Eletromecnica. Bons estudos.

Prof. Lucas Boeira Michels 2010_1Aprender um dom natural do ser humano, e ningum tem o direito de destru-lo.

Resolvendo Problemas Utilizando Decomposio de Foras e Momento de ForaPara resolvermos esses problemas utilizaremos das leis da Esttica que nos fala sobre equilbrio de um corpo. Segundo a primeira lei de Newton um corpo est em equilbrio quando: 1) a resultante das foras que atuam sobre ele nula 2) o momento resultante dos momentos que atuam sobre ele em relao a qualquer ponto, nulo. A Esttica, que a parte da Mecnica que aqui estudaremos, estuda os corpos em equilbrio.

Equilbrio de Um Ponto MaterialInicialmente calcularemos o equilbrio de um ponto material. Como um ponto no tem dimenso, nele no atuam momentos porque , como vimos anteriormente, para que uma fora produza momento temos que ter uma distncia entre o ponto de referncia e o ponto da atuao da fora. Ento, utilizemos os dois princpios de equilbrio. 1o princpio ( utilizaremos a decomposio de foras nos eixos x e y ). Portanto: FX = 0 FY = 0

Exerccios Resolvidos1) Decompor a fora F = 2000 N, em duas componentes, nos eixo x e y, conforme o esquema abaixo:

y

Fy

F Respostas 30Fx x

seno 30 = 0,50 co-seno 30 = 0,87 seno 60 = 0,87 co-seno 60 = 0,50 Fx = 100 N Fy = 174 N

2) Calcular as foras atuantes nos cabos 1 e 2 do esquema abaixo sabendo que o peso de 1000 N est em equilbrio. Colocamos o esquema nos eixos x e y ngulo 30o F2

y cabo 1 cabo 2 soluo F1 Peso 1000 N 1000 N Fazemos a decomposio das foras nos eixos x e y y ngulo 60o

x

F2y F1 60o F1x 1000 N F1y o 30

F2

F2x

x

Com esse procedimento geramos as componentes F1x e F1y as componentes F2x e F2y. Para termos equilbrio necessrio que: Fx = 0 temos que somar as foras do eixo x e igualar a zero Fx = - F1x + F2x = 0 mas F1x = F1 . sen 60o F2x = F2 . sen 30o temos o o - F1 . sen 60 + F2 . sen 30 =0 donde - F1 . 0,87 + F2 . 0,5 = 0 - 0,87F1 = - 0,5 F2 F1 = 0,5 F2 / 0,87 ou F1 = 0,57 F2 Agora fazemos Fy = 0 F1 . cos 60o + F2 . cos 30o 1000 = 0 F1 . 0,5 + F2 . 0,87 =1000 0,5 F1 + 0,87 F2 = 1000

como F1 = 0,5 F2 / 0,87 fazemos a substituio: 0,5 ( 0,57 F2 ) + 0,87 F2 = 1000 0,285 F2 + 0,87 F2 = 1000 1,155 F2 = 1000 F2 = 1000 / 1,155 F2 = 866 N Da resulta que F1 = 0,57 F2 ento F1 = 0,57 x 866 F1 = 494 N Resultado: a fora atuante no cabo 1 vale 494 N a fora atuante no cabo 2 vale 866 N

Exerccios Propostos1) Calcule as foras F1 e F2 no esquema abaixo.

60

F2

F1

20 000 N

Resp F1 = 11 628 N F2 = 23 256 N

2) Calcule a Fora F1, no esquema abaixo. 1 000 N 1 000 N

120 120 F1 Resp. F1 = 1 000 N

Calcule as foras F1 e F2 nos esquemas abaixo: 3)

F1

60

60

F2

5 000 N

Resp. F1 = F2 = 2 907 N

4) F1 F2

10 000 N

Resp. F1 = F2 = 5 000 N

5) 60 F2 30 F1

10 000 N

Resp F1 = 5 050 N F2 = 8 686 N

Equilibro de Um CorpoPara calcularmos o equilbrio de um corpo vamos utilizar as trs equaes anteriormente apresentadas FX = 0 FY = 0 M0 = 0

Exerccios Resolvidos1) Calcular as reaes nos apoios A e B no esquema abaixo sabendo que o corpo est em equilbrio:

Para resolvermos esse exerccio aplicaremos a segunda condio de equilbrio: (Um corpo est em equilbrio quando a soma dos momentos que atuam sobre ele, em relao a qualquer ponto, nulo) Verificamos os momentos que atuam, no corpo, em relao ao ponto B: ( Usaremos aqui a conveno: momento no sentido horrio positivo e ante-horrio negativo)

MB = 0 RA . 10 400 . 8 600 . 3 = 0 10 RA 3200 1800 = 0 10 RA = 5000 RA = 5000 / 10 RA = 500 N

MA = 0 400 . 2 + 600 . 7 RB .10 = 0 800 + 4200 = 10 RB 10 RB = 5000 RB = 5000 / 10 RB = 500 N Podemos ainda, como forma de verificao, aplicar o Fy = 0 ento RA + RB - 400 - 600 = 0 500 + 500 - 400 600 = 0 1000 1000 = 0 Concluso RA = 500 N RB = 500 N

Exerccios PropostosCalcule as reaes RB e RB nos esquemas abaixo: 1) A 5 000 N B

2m

3m

Resp. RA = 3 000 N RB = 2 000 N

2) 6 000 N A 8 000 N B

2m

5m

3m

Resposta

7 200 N

6 800 N

3) A 2 000 N B 8 000 N

2m

1m

3m

Resposta 7 333 N

17 333 N

1. TreliasDefinio Denomina-se trelia plana, o conjunto de elementos de construo (barras redondas, chatas, cantoneiras, I, U, etc.), interligados entre si, sob forma geomtrica triangular, atravs de pinos, soldas, rebites, parafusos, que visam formar uma estrutura rgida, com a finalidade de resistir a esforos normais apenas. A denominao trelia plana deve-se ao fato de todos os elementos do conjunto pertencerem a um nico plano. A sua utilizao na prtica pode ser observada em pontes, viadutos, coberturas, guindastes, torres, etc. Dois mtodos de dimensionamento podem ser utilizados para as trelias: Mtodo dos Ns ou Mtodo de Cremona Mtodo de Ritter ou Mtodo das Sees (analticos e usados com maior freqncia)

Mtodos dos Ns ou Mtodo de Cremona A resoluo de trelias planas pelo mtodo dos ns consiste em verificar o equilbrio de cada n da trelia, seguindo-se os passos descritos a seguir: (a) determinao das reaes de apoio (b) identificao do tipo de solicitao em cada barra (barra tracionada ou barra comprimida) (c) verificao do equilbrio de cada n da trelia, iniciando-se sempre os clculos pelo n que tenha o menor nmero de incgnitas. Exemplo 1 Determinar as foras normais nas barras da trelia dada.

Soluo (a) Clculo das reaes de apoio As reaes de apoio em VA e em VB so iguais, pois a carga P est aplicada simetricamente aos apoios. Portanto, V A = VB = P 2

(b) Identificao dos esforos nas barras As barras 1 e 5 esto comprimidas, pois equilibram as reaes de apoio. A barra 3 est tracionada, pois equilibra a ao da carga P no n D. As barras 2 e 4 esto tracionadas, pois equilibram as componentes horizontais das barras 1 e 5. (c) Clculo dos esforos nas barras Inicia-se o clculo dos esforos pelo n A, que juntamente com o n B o que possui o menor nmero de incgnitas.

Fy = 0F1 = P P = cos sec 2 sen 2

Fx = 0F2 = F1 cos F2 = P cos P = cotg 2 sen 2

Determinada a fora na barra 2, o n que se torna mais simples para os clculos o n D.

Fy = 0F3 = P

Fx = 0F4 = F2 = P cotg 2

Para determinar a fora normal na barra 5, utiliza-se o n B.

Fy = 0F5 = P P = cos ec 2 sen 2

As foras normais nas barras 4 e 5, podem ser determinadas atravs da simetria da estrutura e do carregamento aplicado. Exemplo 2 Determinar as foras normais nas barras da trelia dada. C 1 3 HA A 2 B 5

D

VA

VB

Soluo O ngulo formado pelas barras 1 e 2 e pelas barras 4 e 5 deve ser determinado: tg = 1,5 = 0,75 = 37 (sen 37 = 0,60 e cos 37 = 0,80) 2

(a) Clculo das reaes de apoion

M A = Fidi = 0i=1

(a priori, adotar-se- como positivo, o momento no sentido horrio) VB (4) + 20 . 2 + 6 . 1,5 = 0 VB = 12,25 kN

Agora, pode-se utilizar a equao do somatrio das foras verticais para obterse a reao vertical no apoio B. V A + VB = 20 V A = 7,75 kN E finalmente, aplicando-se a equao do somatrio das reaes horizontais igual a zero, tem-se,

H = 0 H A 6 = 0 H A = 6 kN(b) Clculo dos esforos nas barras Inicia-se o clculo dos esforos pelo n A, que juntamente com o n B o que possui o menor nmero de incgnitas.

Fy = 0F1 sen 37 = VA F1 = 7,75 = 12,9 kN 0,6

Fx = 0F2 = H A + F1 cos 37 F2 = 6 + 12,9.0,8 =16,3 kN Determinada a fora F2, o n que se torna mais simples para prosseguir os clculos o n C.

Fx = 0F4 = F2 = 16,3 kN

Fy = 0F3 = 20 kN Para determinar a fora normal na barra 5, utiliza-se o n B.

Fy = 0F5 sen 37 = VB F5 = 20,42 kN

Exemplo 3 Determinar as foras normais nas barras da trelia dada. D E 4 1 A 3 5 7

HA

2 VA

C 6

B

VB

Soluo O ngulo formado pelas barras 1 e 2 e pelas barras 4 e 5 deve ser determinado: tg = 1,6 = 53 (sen 53 = 0,80 e cos 53 = 0,60) 1,2

(c) Clculo das reaes de apoion

M A = Fidi = 0i=1

(a priori, adotar-se- como positivo, o momento no sentido horrio) VB (4,8) + 40 . 2,4 + 6 . 1,6 = 0 VB = 22 kN Agora, pode-se utilizar a equao do somatrio das foras verticais para obterse a reao vertical no apoio B. V A + VB = 40 V A = 18 kN E finalmente, aplicando-se a equao do somatrio das reaes horizontais igual a zero, tem-se,

H = 0 H A 6 = 0 H A = 6 kN(d) Clculo dos esforos nas barras Iniciando-se o clculo dos esforos pelo n A, determina-se a fora normal nas barras 1 e 2.

Fy = 0F1 sen 53 = V A F1 = 18 = 22,5 kN 0,8

Fx = 0F2 = H A + F1 cos 53 F2 = 6 + 22,5.0,6 =19,5 kN Determinada a fora na barra 1, pode-se utilizar o n D para calcular F3 e F4.

Fy = 0F3 cos 37 = F1 cos 37 F3 = F1 = 22,5 kN

Fx = 0F4 = (F1 +F 3 ) sen 37 F4 = (2 . 22,5 ) . 0,6 = 27 kN O n B conveniente para os clculos das foras nas barras 6 e 7.

Fy = 0F7 sen 53 = VB F7 = 22 = 27,5 kN 0,8

Fx = 0F6 = F7 cos 53 = 27,5 . 0,6 = 16,5 kN Finalmente, efetuando-se o equilbrio do n E, determina-se a fora na barra 5.

Fy = 0F5 cos 37 = F7 cos 37 F5 = F7 = 27,5 kN

1

1)

M(A) = 0 =8.3.a/2 RC.2.a RC = 6 kN

2)

FV = 0 = RA 8 + RC RA = 2 kN

3)

FH = 0 = HA

4) N A: a) 2 + FAD.sen 60 = 0 b) FAD.cos 60 + FAB = 0 FAD = - 2,30 kN FAB = 1,15 kN

5) N D:

a) 2,30.cos 30 FDB.cos 30 = 0

FDB = 2,30 kN FDB = -2,30 kN

b) 2,30.cos 60 + FDB.sen 30 + FDE = 0

6) N E:

a) 2,30 FEB.cos 60 + FEC.cos 60 = 0 FEC - FEB = -4,60 b)-8 FEB.cos 30 FEC.cos 30 = 0 - FEC - FEB= 9,25 De (a) e (b) FEB = -2,30 kN e FEC