CENTRO DE CINCIAS, TECNOLOGIA E SADE CCTS

Ana Ldia Alves de Arajo

Efeitos da torso em vigas de concreto armado

Araruna, PB.

2015

Ana Ldia Alves de Arajo

Efeitos da torso em vigas de concreto armado

Trabalho apresentado Universidade Estadual da Paraba, Campus VIII, como requisito parcial de aprovao da componente curricular Resistncia dos Materiais I. Orientador: Trcio Pereira Jovem

Araruna, PB. 2015

1

Efeitos da torso em vigas de concreto armado

Ana Ldia Alves de Arajo1

Universidade Estadual da Paraba, Araruna, Paraba, Brasil.

Resumo Este artigo teve o objetivo de destacar os efeitos da toro em vigas de concreto

armado. A toro pode ou no ser uma solicitao indispensvel ao equilbrio e estabilidade de um elemento de uma estrutura, sendo classificada como toro de equilbrio ou toro de compatibilidade. Casos onde existe toro de equilbrio no podemos desprez-la sem comprometer a estabilidade e a segurana da estrutura, e indiscutvel a obrigatoriedade da considerao deste esforo no dimensionamento. Na estrutura real os elementos estruturais possuem uma certa rigidez a todos os esforos possveis. As vigas podem ser solicitadas a esforos normais, esforos cortantes, momentos fletores e momentos de toro. Nas estruturas de concreto, devido fissurao, retrao e a deformao lenta, as vigas sofrem uma reduo nestas rigidezes. Dependendo da geometria e da seo da viga, bem como das caractersticas do concreto, a reduo da rigidez a um determinado esforo pode ser muito grande. Se for considerada a existncia de um momento de toro superior ao que a viga capaz de suportar na estrutura real, neste caso sim o dimensionamento final da estrutura estar contra a segurana.

Palavras chave: toro, vigas, concreto, estrutura, segurana.

Introduo Desde os sculos XVIII e XIX surgiram teorias para anlise de vigas, e o concreto

armado teve seu uso difundido como material estrutural a partir do fim do sculo XIX. As

principais teorias para anlise de vigas solicitadas toro produzidas com concreto armado

foram desenvolvidas durante o sculo XX.

Com fundamentao na analogia da trelia, proposta por Ritter (1889) e Mrsch

(1902), a anlise das vigas de concreto armado utilizada para anlise do comportamento

de vigas de concreto armado submetidas fora cortante, e na teoria de Bredt para tubos

de paredes finas apresentada em 1896.

Mrsch em 1904 conduziu na Alemanha, os primeiros ensaios toro em corpos-

de-prova de concreto armado cilndricos, macios e ocos, para analisar o comportamento

deste material quando solicitado toro.

A ideia de juntar a analogia da trelia com a teoria de Bredt para a anlise de vigas

toro deve-se a Ernest Rausch, que em 1929 props um modelo denominado Analogia da

1 Graduanda do Curso de Engenharia Civil UEPB

; analidia.nf@gmail.com

2

Trelia Espacial. Em 1958, com algumas adaptaes, o modelo foi incorporado DIN- 1045,

que foi a primeira norma no mundo a ter prescries sobre toro em seu escopo.

A partir da dcada de 1960 houve um sbito interesse na pesquisa experimental

sobre o comportamento das vigas de concreto armado e protendido solicitadas toro.

Hsu publicou os resultados dos ensaios toro de 53 vigas de concreto armado, que se

tornaram referncia na literatura. Em 1968 surgiu a publicao do American Concrete

Institute intitulada Torsion of Structural Concrete SP-18, contendo uma coletnea de

resultados de ensaios e de trabalhos tericos.

A sistemtica atual para dimensionamento de vigas de concreto estrutural solicitadas

toro, adotada por diversas normas internacionais entre elas, Eurocode 2, ACI, e tambm

pela NBR 6118:2007, est fundamentada no modelo da trelia espacial generalizada.

O momento de toro a denominao do conjugado que tende a torcer uma pea,

fazendo-a assim girar sobre o seu prprio eixo, e o caso mais comum ocorre em eixos de

transmisso.

Dificilmente a toro pura ocorre na prtica, geralmente ocorre combinada com

momento fletor e fora cortante. Os princpios de dimensionamento para toro simples so

aplicados s vigas com atuao simultnea de momento fletor e fora cortante. Como feito

no dimensionamento para outros tipos de solicitao, as tenses de compresso sero

absorvidas pelo concreto e as tenses de trao pelo ao, na forma de duas diferentes

armaduras, uma longitudinal e outra transversal.

Efeitos da toro

A resistncia toro do concreto essencial para o equilbrio da estrutura,

indispensvel que este elemento submetido toro seja dimensionado para resistir a estes

esforos.

Figura 1: Distribuio de tenses tangenciais devido toro em sees quadrada e circular cheias.

Percebe-se ento que as tenses de toro se concentram em sua maioria, prximas

s extremidades, com tenso igual zero no ncleo. Para efeitos de dimensionamento,

pode-se desprezar o ncleo e considerar uma parede lateral, supondo uma seo

equivalente vazada com espessura fictcia a ser calculada. Que resulta num acrscimo de

segurana que no excessivo.

3

Figura 2: Seo vazada equivalente com espessura fictcia

Para a NBR 6118:2007, essa linha central da gaiola situa-se no eixo da armadura

longitudinal denominada 1, calculada como a distncia entre o eixo da barra longitudinal do

canto e a face lateral do elemento estrutural.

Figura 3: Segundo a NBR 6118:2007, a linha mdia da espessura fictcia deve ao menos coincidir com o centro geomtrico da armadura longitudinal.

Para fins de projeto, possvel desconsiderar valores de momentos de toro baixos

em relao ao valor resistido pela viga. O dimensionamento efetuado verificando a

resistncia o das armaduras longitudinais e transversais.

Casos mais frequentes de toro e momento de toro

Um caso comum de toro ocorre quando existe uma distncia entre a linha de ao

da carga e o eixo longitudinal da viga, como mostrado nas Figuras 4 e 5.

Talvez o caso mais comum de toro ocorra com lajes em balano, engastadas em

vigas de apoio, como lajes para proteo de porta de entrada (Figuras 6 e 7).

Figura 5: Viga pr moldada com carregamento excntrico.

Figura 4: Viga do tipo pr-moldada para apoio de estrutura de piso ou de cobertura.

4

Figura 6: Toro em viga devido a engastamento de laje em balano.

Figura 7: Viga contnua sob toro por efeito de laje em balano.

Outro caso comum de toro em viga ocorre em vigas com mudana de direo. No

ponto de mudana de direo um tramo aplica sobre o outro um momento de toro. A

toro tambm ocorre em vigas curvas, com ou sem mudana de direo.

Apresentam-se nas Figuras 10 a 14 os valores dos momentos de toro para alguns

casos mais comuns na prtica das estruturas.

Figura 10: Toro concentrada na extremidade de viga em balano.

Figura 9: Toro em viga devido mudana de direo.

Figura 8: Vigas curvas e com mudana de direo so solcitao por toro.

5

Figura 11: Toro aplicada distncia a das extremidades de viga biengastada.

Figura 12: Toro uniformemente distribuda em viga biengastada.

Figura 13: Toro concentrada no centro de viga biengastada.

Figura 14: Toro concentrada em viga biengastada.

Diferenciando toro de equilbrio de toro de compatibilidade

6

A toro nas estruturas pode ser em toro de equilbrio e toro de compatibilidade.

Na toro de equilbrio, o momento de toro deve ser obrigatoriamente considerado, pois

ele necessrio para o equilbrio da estrutura. A toro de compatibilidade ocorre

comumente nos sistemas estruturais. Ao tentar girar, a laje aplica um momento de toro na

viga, que tende a girar tambm, sendo impedida pela rigidez flexo dos pilares. Surgem

ento momentos torores solicitantes na viga e momentos fletores nos pilares. Quando a

rigidez da viga toro pequena comparada sua rigidez flexo, a viga fissura e gira,

permitindo o giro da laje tambm. Ocorre uma compatibilizao entre as deformaes na

viga e na laje, e os momentos torores na viga diminuem bastante, podendo ser

desprezados.

Um outro exemplo de toro de compatibilidade aquele mostrado na Figura 15.

Figura 15: Estrutura real

A intensidade dos momentos fletores e torores depende das rigidezes relativas das

vigas.

Por outro lado, sob o efeito do momento de toro a viga ir fissurar, o que acarreta

uma significativa diminuio na rigidez da viga toro.

Analogia da Trelia Espacial A trelia espacial formada por bielas de concreto comprimidas a 45 e por barras

de ao longitudinais e transversais conectadas formando ns;

O elemento diagonal carregado somente com compresso axial, sendo a

resistncia ao cisalhamento negligenciada;

As barras de ao transversais e longitudinais so solicitadas somente trao,

sendo desprezado o efeito de pino;

Para uma seo macia o ncleo de concreto no contribui para resistncia ltima

toro, o que viabiliza o uso da teoria de Bredt para anlise destes elementos.

Trelia Espacial Generalizada

7

O modelo da trelia espacial foi generalizado po Lampert e Thrlimann (1971) para

elementos de concreto estrutural sujeitos toro, ou combinao da flexo com a toro.

Esses autores assumiram que o ngulo de inclinao das bielas pode diferir de 45.

Admitem um comportamento elasto-plstico perfeito e uma curva tenso-deformao

especfica para a armadura. No modelo com bielas inclinadas de 45 est implcito que as

taxas volumtricas das armaduras transversal e longitudinal so iguais.

Modelo do Painel Fissurado

Seja um painel de concreto de espessura , de lados com dimenses unitrias e

armaduras transversal e longitudinal distribudas em seu interior, submetido a um fluxo de

tenses tangenciais. Aps a fissurao desse elemento este ter a configurao onde as

bielas de concreto so comprimidas, e tm inclinao. O uso desse elemento visa

possibilitar uma anlise genrica das solicitaes combinadas.

Formulando-se o equilbrio na face vertical do elemento tem-se:

=

(Equao 1)

Ou

= (Equao 2)

Na face horizontal do elemento tem-se:

=

( Equao 3)

Ou

= (Equao 4)

Escrevendo-se o fluxo de tenses em termos da tenso na biela resulta:

= ( ) cos (Equao 5) Ou

= ( cos ) (Equao 6)

Definindo-se as foras por unidade de comprimento e como:

=

(Equao 7)

e

=

( Equao 8)

8

Igualando-se as expresses 1 e 3 de modo a se eliminar tem-se:

=

(Equao 9)

Logo

= ( Equao 10)

De forma anloga, eliminando-se q tem-se:

= ( Equao 11)

Donde

=

(Equao 12)

A tenso na biela dada por:

=

( cos ) (Equao 13)

Onde fluxo de tenses tangenciais; ngulo de inclinao das bielas comprimidas; fora normal na armadura longitudinal; fora normal na armadura transversal; tenso de compresso na biela de concreto; espessura do painel; rea de uma barra da armadura longitudinal; tenso na armadura longitudinal; espaamento da armadura longitudinal; rea de uma barra da armadura transversal; tenso na armadura transversal; espaamento da armadura transversal.

Trelia Espacial Generalizada considerando-se o Modelo do Painel Fissurado

As vigas de concreto estrutural solicitadas toro comportam-se de maneira

semelhante s vigas com seo vazada. Considerando-se que a viga de concreto armado

seja composta por painis fissurados formando um elemento com seo vazada, a

resultante das foras na armadura longitudinal dada por:

= ( Equao 14) Substituindo-se as expresso 4.14 e a 1 frmula de Bredt na expresso 4.2, tem-se

para a armadura longitudinal:

9

20=

(Equao 15)

= (

) 20 (Equao 16)

Para a armadura transversal tem-se:

20= (Equao 17)

= 2 0 (Equao18)

Para a biela tem-se:

20= () (Equao 19)

= () 20 (Equao 20)

Quando do escoamento da armadura longitudinal e transversal tem-se = ,

= e = , logo:

= (

) 2 0 (Equao 21)

= 2 0 ( Equao 22)

Eliminando-se T das expresses 21 e 22:

=

(

) (Equao 23)

Eliminando-se o ngulo das expresses 21 e 22 tem-se:

= 20 (

) (Equao 24)

Onde fora resultante na armadura longitudinal; permetro da regio limitada pela metade da espessura t; 0 rea da regio limitada pela metade da espessura t; momento toror solicitante; fora normal unitria para o escoamento da armadura longitudinal;

fora normal unitria para o escoamento da armadura transversal; fora resultante para o escoamento da armadura longitudinal;

momento toror quando do escoamento das armaduras.

Toro Simples

10

Numa barra de seo circular, como a indicada na Figura 16, submetida a momento

de toro surgem tenses principais inclinadas de 45e 135 com o eixo longitudinal da

seo. As trajetrias das tenses principais desenvolvem-se segundo uma curvatura

helicoidal em torno da barra. A trajetria das tenses principais de trao ocorre na direo

da rotao e a compresso na direo contrria.

Figura 16: Trajetrias das tenses principais na seo circular.

Se considerado um estado de tenso segundo a direo dos eixos longitudinal e

transversal da seo, o momento de toro provoca o surgimento de tenses de

cisalhamento em planos perpendiculares ao eixo da barra circular e em planos longitudinais,

simultaneamente.

A tenso de cisalhamento mxima nas superfcies da seo e zero nos vrtices e

no eixo que passa pelo centro de gravidade.

Toro simples aplicada a sees vazadas de parede fina Considere a seo vazada mostrada na Figura 17, com espessura t, submetida ao

momento de toro T.

Figura 17: Seo vazada com parede fina.

Do equilbrio esttico da seo tem-se a igualdade da resultante das tenses com o

momento de toro T que as originou:

11

= ( ) (Equao 24)

O produto (fluxo de cisalhamento ou de toro) constante, e o produto o dobro da rea do tringulo OAB ( ), vindo:

= 2 (Equao 25) Da Equao 25 surge a tenso de cisalhamento em qualquer ponto da parede fina,

devida ao momento de toro:

=

2 (Equao 26)

Com Ae sendo a rea interna compreendida pelo eixo da parede fina.

Comportamento das vigas de concreto armado submetidas toro simples

Os autores Leonhardt & Mnnig (1982) descrevem os resultados de ensaios

realizados por Mrsch, entre 1904 e 1921. Foram estudados cilindros ocos toro simples,

sem armadura, com armadura longitudinal, com armadura transversal, com ambas as

armaduras e com armadura em forma de hlice.

Os ensaios confirmaram que nas sees de concreto armado as tenses principais

de trao e de compresso so inclinadas de 45 e com traado helicoidal. Aps o

surgimento das fissuras de toro em forma de hlice, apenas uma casca externa e com

pequena espessura colabora na resistncia da seo toro. Tambm demonstraram que

na seo oca sem armadura as fissuras so inclinadas a 45 e em forma de hlice; com

somente uma armadura, o aumento de resistncia desprezvel; com duas armaduras a

resistncia aumentou e, com armadura helicoidal, segundo a trajetria das tenses

principais de trao, o aumento de resistncia foi efetivo.

Analogia da Trelia Espacial para a Toro Simples

A teoria da Trelia Generalizada foi elaborada por Rausch em 1929, estando em

uso por diversas normas at hoje. Os ensaios experimentais mostraram que as sees

cheias de concreto podem ser calculadas como sees vazadas de paredes finas.

A trelia clssica inicialmente concebida admitia que a viga apresentasse fissuras

inclinadas de 45 com o eixo longitudinal. Os banzos paralelos representam a armadura

longitudinal, as diagonais comprimidas desenvolvem-se em hlice, com inclinao de 45,

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representando as bielas de compresso e os montantes verticais e horizontais representam

estribos fechados a 90 com o eixo longitudinal da viga.

Toro combinada com momento fletor e fora cortante A Figura 18 mostra as trajetrias das fissuras numa viga de concreto de seo

retangular. As fissuras apresentam-se com trajetrias inclinadas de aproximadamente 45

com o eixo longitudinal da viga.

Figura 18: Trajetrias das fissuras na viga vazada de seo quadrada.

Quando o valor do momento fletor elevado comparativamente ao momento de

toro, a zona comprimida pelo momento fletor fica isenta de fissuras.

No caso da fora cortante elevada, uma face vertical dever ficar isenta de fissuras,

sendo aquela onde as tenses de cisalhamento da toro e do esforo cortante tm

sentidos contrrios.

As fissuras nesses casos apresentam-se contnuas, em forma de hlice e em trs

das quatro faces da viga. Numa face, onde as tenses de compresso superam a de trao,

no surgem fissuras.

Formas de ruptura por toro

Aps a fissurao, a ruptura de uma viga sob toro pura pode ocorrer de alguns

modos: escoamento dos estribos, da armadura longitudinal, ou escoamento de ambas as

armaduras. No caso de vigas superarmadas toro, o concreto comprimido compreendido

entre as fissuras inclinadas pode esmagar pelo efeito das tenses principais de compresso,

antes do escoamento das armaduras.

A ruptura brusca tambm pode ocorrer por efeito de toro, aps o surgimento das

primeiras fissuras. A ruptura brusca pode ser evitada pela colocao de uma armadura

mnima, para resistir s tenses de trao por toro.

Com armaduras colocadas longitudinalmente e transversalmente pode surgir forte

empenamento das faces laterais, ocasionando tenses adicionais ao longo das bielas

comprimidas, podendo ocorrer o seu esmagamento.

13

A mudana de direo das tenses de compresso nos cantos origina uma fora que

pode levar ao rompimento dos cantos da viga. Os estribos e as barras longitudinais dos

cantos contribuem para evitar essa forma de ruptura. Vigas com tenses de cisalhamento da

toro muito elevadas devem ter o espaamento dos estribos limitados a 10 cm para evitar

essa forma de ruptura.

A ruptura por ancoragem pode ocorrer por insuficincia da ancoragem do estribo,

levando ao seu escorregamento, e pelo deslizamento das barras longitudinais. O cuidado

na ancoragem das armaduras pode evitar essa forma de ruptura.

Dimensionamento segundo a NBR 6118/2007 no Estado Limite ltimo A norma pressupe um modelo resistente constitudo por trelia espacial, definida a

partir de um elemento estrutural de seo vazada equivalente ao elemento estrutural a

dimensionar. As diagonais de compresso dessa trelia, formada por elementos de

concreto, tm inclinao que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo de 30 45 . O

projetista tem a liberdade de escolher o ngulo de inclinao das bielas de compresso, que

deve estar coerente com o ngulo adotado no dimensionamento fora cortante.

No caso de sees poligonais convexas cheias, a seo vazada equivalente ter a

espessura da parede equivalente ( ) dada por:

(Equao 27)

2 1 (Equao 28)

Onde: = rea da seo cheia; = permetro da seo cheia; 1 = distncia entre o eixo da barra longitudinal do canto e a face lateral do elemento

estrutural.

Toro de Compatibilidade

No caso de toro de compatibilidade a norma diz que possvel desprez-la,

desde que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptao plstica e que

todos os outros esforos sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados.

No caso de elementos sob toro com comprimento menor ou igual a duas vezes a

altura ( 2), com o objetivo de possibilitar a adaptao plstica, a norma recomenda que a

pea tenha a armadura mnima toro e a fora cortante de clculo fique limitada a:

14

0,7 2 (Equao 29) Com:

2 = 0,27 2 (Equao 30)

Toro de Equilbrio

Elementos sujeitos toro de equilbrio devem possuir armaduras longitudinal e

transversal (estribos fechados e verticais), destinados a resistir aos esforos de trao.

Admite-se satisfeita a resistncia de um elemento estrutural toro pura quando se

verificarem simultaneamente as seguintes condies:

2 (2 =limite dado pela resistncia das diagonais comprimidas do concreto);

3 (3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento estrutural);

4 (4 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo do elemento estrutural).

A resistncia proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:

2 = 0,50 2 2 (Equao 31)

Com: 2 = 1

250 e em Mpa.

= ngulo de inclinao das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo 30 45;

= rea limitada pela linha mdia da parede da seo vazada, real ou equivalente, incluindo a parte vazada;

= espessura equivalente da parede da seo vazada, real ou equivalente, no ponto considerado.

A resistncia decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural deve

atender expresso:

3 = 90 2 (Equao 32)

Donde, com = 3 de forma semelhante, calcula-se a rea da armadura transversal:

,90

=

2 (Equao 33)

Onde: a resistncia de clculo do ao da armadura passiva, limitada a 435

MPa.

15

Para estribo a 45: ,45

=

2 (Equao 34)

A resistncia decorrente da armadura longitudinal deve atender expresso:

4 = (

) 2 (Equao 35)

Donde, com = 4 , calcula-se a rea da armadura longitudinal:

=

2 (Equao 36)

Para = 45:

=

2 (Equao 37)

Onde:

= soma das reas das sees das barras longitudinais; = permetro de . Solicitaes Combinadas de Flexo e Toro

Nos elementos estruturais submetidos toro e flexo simples ou composta, as

verificaes podem ser efetuadas separadamente para a toro e para as solicitaes

normais, devendo-se atender ainda:

- Na zona tracionada pela flexo, a armadura longitudinal de toro deve ser

acrescentada armadura longitudinal necessria para flexo;

- No banzo comprimido pela flexo, a armadura longitudinal de toro pode ser

reduzida em funo dos esforos de compresso que atuam na espessura efetiva e no

trecho de comprimento u correspondente barra ou feixe de barras consideradas;

- Nas sees em que a toro atua simultaneamente com solicitaes normais

intensas, que reduzem excessivamente a profundidade da linha neutra, particularmente em

vigas de seo celular, o valor de clculo da tenso principal de compresso no deve

superar o valor 0,85 fcd . Esta tenso principal deve ser calculada como em um estado

plano de tenses, a partir da tenso normal mdia que age no banzo comprimido de flexo e

da tenso tangencial de toro, calculada por:

= 2 (Equao 38)

Solicitaes Combinadas de Toro e Fora Cortante

16

Na combinao de toro com fora cortante, o projeto deve prever ngulos de

inclinao das bielas de concreto () coincidentes para os dois esforos. Na utilizao do

modelo de clculo para a fora cortante, subentende-se = 45 tambm para a toro.

A resistncia compresso diagonal do concreto ser satisfeita se atendida a

expresso:

+

2 1 (Equao 39)

Onde a fora cortante de clculo e o momento de toro de clculo. A armadura transversal total pode ser calculada pela soma das armaduras

calculadas separadamente para e .

Quanto s disposies no processo de construo

A armadura a resistir aos esforos de trao provocados por toro deve ser

constituda por estribos normais ao eixo da viga, combinados com barras longitudinais

paralelas ao mesmo eixo. Os estribos e as barras da armadura longitudinal devem estar

contidos no interior da parede fictcia da seo vazada equivalente.

Para prevenir a ruptura dos cantos necessrio alojar quatro barras longitudinais

nos vrtices das sees retangulares. Segundo Leonhardt & Mnnig (1982), para sees de

grandes dimenses, necessrio distribuir a armadura longitudinal ao longo do permetro da

seo, a fim de se limitar a fissurao.

Os estribos para toro devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo as

barras das armaduras longitudinais de trao, e com as extremidades adequadamente

ancoradas por meio de ganchos em ngulo de 45.

Dimetro do estribo:

{

5

<

1012

4,2

(Equao 40)

O espaamento entre os estribos deve possibilitar a passagem da agulha do

vibrador, a fim de garantir o perfeito adensamento do concreto.

O espaamento mximo deve atender as condies:

Se 0,67 2 = 0,6 30 ; Se 0,67 2 = 0,3 20 . (Equao 41)

17

Deve-se respeitar a relao , onde o trecho de permetro da seo

efetiva correspondente a cada barra ou feixe de barras de rea , exigida pelo

dimensionamento.

A armadura longitudinal de toro de rea total pode ter arranjo distribudo ou

concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relao , onde o

trecho de permetro, da seo efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de

rea .

Nas sees poligonais, em cada vrtice dos estribos de toro, deve ser colocada

pelo menos uma barra longitudinal.

Sempre que a toro for de equilbrio, deve existir armadura resistente aos esforos

de trao, constituda por estribos verticais e barras longitudinais distribudas na rea

correspondente parede equivalente ao longo do permetro da seo resistente. A taxa

geomtrica mnima de armadura :

= =

=

0,2

,

(Equao 42)

Onde = taxa mnima de armadura longitudinal; = taxa mnima de armadura transversal; = rea da seo transversal total de cada estribo, compreendendo todos os seus

ramos; = rea total de armadura longitudinal; = largura mdia da alma; = espaamentos dos estribos; = permetro da seo transversal; = resistncia mdia trao do concreto. = resistncia ao escoamento do ao da armadura transversal;

Isolando e :

=

0,2

,

(Equao 43)

Fazendo o espaamento s e o permetro u iguais a 100 cm, a armadura mnima fica:

, = , = 20 ,

(

3

) (Equao 44)

Com: em cm; e em kN/cm; , = 0,3 3

(Mpa)

Consideraes Finais

18

As vigas de concreto armado solicitadas toro apresentam trs estgios distintos

de comportamento em funo da magnitude da solicitao.

1 Estgio Nvel de solicitao baixo:

Para um toror de pequena magnitude a fissurao praticamente

inexistente;

A seo transversal considerada de forma integral;

Os princpios utilizados para anlise de peas de materiais homogneos,

istropos e elstico lineares so aplicados.

2 Estgio Nvel de solicitao mdio:

Existe dificuldade em se determinar quando ocorre o incio e o trmino deste

estgio de solicitao;

Mesmo com o aparecimento das primeira fissuras, as teorias elsticas ainda

podem ser utilizadas;

O mecanismo interno resistente da viga modificado de modo considervel;

3 Estgio Nvel de solicitao alto:

H o desenvolvimento da fissurao ao longo da viga;

Os modelos elsticos para anlise do mecanismo interno resistente no

podem ser aplicados, pois o comportamento da viga torna-se inelstico;

necessrio a elaborao de modelos mais sofisticados, baseados na Teoria

da Plasticidade.

Referncias

Dimensionamento de vigas toro. Disponvel em: Acesso

em 09 de junho de 2015.

Engastamento entre laje e viga. Disponvel em: Acesso em 09 de junho de 2015.

Toro em Elementos de Concreto Armado. PUC Rio, 2013.

Estruturas de Concreto II - Toro em Vigas de Concreto Armado UNESP (Bauru/SP).