resistencia dos materiais
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Prezado Aluno,
Este material didtico (sujeito a correes e melhorias) tem sido elaborado ao longo de
minha docncia como professor do Colgio Tcnico de Campinas, desde 1983 e mais e
recentemente (2011), da Faculdade de Engenharia de Sorocaba. Contm os conceitos e
princpios bsicos da Resistncia dos Materiais bem como exemplos de verif icao,
exerccios para serem resolvidos em classe e para casa, mas no tem a pretenso de
substituir as referncias bibliogrficas da disciplina de Resistncia dos Materiais, antes
disso, servindo, a nosso ver, como auxl io no entendimento inicial de cada conceito e na
elaborao de exerccios. Como podem verif icar pelas referncias bibliogrficas
apresentadas abaixo, esta aposti la uti l iza de diversas fontes, onde procuramos
diversif icar os exerccios e problemas quanto os conceitos que os embasam. Alguns
tpicos so apresentados de forma aprofundada com conceitos de clculo diferencial
e integral que no so vistos na educao tcnica , mas escolhemos por mant-los, pois
nossa expectativa que muitos de vocs podero ainda se servir destas pginas em
outra ocasio, um futuro curso de engenharia.
No tenham receio em me acionar, se por ventura surgir alguma dif iculdade no
vamos com dvidas para casa! Tenham a clareza de que nenhuma dvida boba
todas as dvidas merecem a nossa ateno.
Um grande abrao.
Michel Sadalla Filho21 fevereiro 2013.
Referncias Bibliogrficas:
BEER, F. P. & JOHNSON JR, E. R.,Mecnica Vetorial para Engenheiros, 7a. ed., Makron Books, So Paulo,
2006
BEER, F. P. & JOHNSONJR, E. R., Resistncia dos Materiais, 1a. ed., Makron Books, So Paulo, 1982
COSTA, Evaristo Valadares Curso de Resistncia dos Materiais com elementos de grafosttica e de
energia de deformao (Volume 1)Ed. Biblioteca Universitria. So Paulo, 1978.
GASPAR, RicardoMecnica dos Materiais, web notas de aulas, So Paulo, 2005
HIBBELER, R. C, Resistncia dos Materiais, 5 Edio, Pearson Education, So Paulo, 2004
Melconian, SarkisMecnica Tcnica e Resistncia dos Materiais, 14 Edio, rica, So Paulo, 2004
NAKAMURA, UNICAMP/FEMNotas de aulas curso de Resistncia dos Materiais II, 1980
NASH, William A.Resistncia dos MateriaisColeo Schaum Ed. McGraw Hill do Brasil, 1970.
PEREIRA, Celso Pinto Moraes, Introduo a Resistncia dos Materiais, UNESP/FEGNotas de aulas curso
Resistncia dos Materiais I, Guaratingueta, 1979 )
SADALLA, Michel FilhoResistncia dos Materiais (mimeo) Colgio Tcnico de Campinas, 2000
SINGER, Ferdinand L.Resistencia de MaterialesEditora Harla, So Paulo, 1971
TIMOSHENKO, Sthepen P.Resistncia dos Materiais Vol.1 Livros Tcnicos e Cientficos Editora S.A. Rio deJaneiro, 1971
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CAPTULO 1
INTRODUO RESISTNCIA DOS MATERIAIS
A Resistncia dos Materiais investiga o efeito das foras aplicadas aos corpos e uma cincia que adota o
mtodo Experimental, socorrendo-se de hipteses e simplificaes para estabelecimento de frmulas maissimples e que facilitem a resoluo dos problemas que se apresentam.
A Resistncia dos Materiais estuda as deformaes e as tenses desenvolvidas nos elementos das
estruturas sob a ao de foras externas.
1.1 - OBJETIVOS DA RESISTNCIA DOS MATERIAIS
A Resistncia dos Materiais tem como objetivos o DIMENSIONAMENTO adequado das peas e avaliao ou
a VERIFICAO DOS EFEITOS (foras exteriores) sobre os materiais, conforme veremos abaixo:
a) PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO:
Conhecido o sistema de foras externas pretende-se calcular as deformaes que se produzem, para
deduzir dimenses, forma e material que deve ter a pea para resistir a essas foras com segurana e
economia.
b) PROBLEMAS DE VERIFICAO:
Se por outro lado, conhecermos as dimenses de uma pea ou estrutura, podemos determinar qual o
carregamento externo mximo que pode atuar sobre a pea com segurana.
Ao contrrio da Mecnica dos Corpos Rgidos, o estudo da Resistncia de Materiais tem grande interessenas DEFORMAES nos corpos, por menor que sejam.
As propriedades de um material que se constri uma estrutura afetam tanto a sua escolha como o seu
dimensionamento, tendo que satisfazer certas condies de RESISTNCIA e RIGIDEZ.
1.2 - ALGUNS CONCEITOS E DEFINIES
- BARRA a pea que tem dimenses transversais pequenas em relao ao seu comprimento.
- CARGAS so as foras externas que atuam no corpo.- ESFOROS so as foras desenvolvidas internamente no corpo e que tendem resistir s cargas.
- DEFORMAES so as mudanas das dimenses geomtricas e da forma do corpo solicitado pelos
esforos.
- TENSO definida como Forapor unidade de rea. Os smbolos empregados para as tenses so:
- (sigma)- Tenses normais seco transversal.- (tau) - Tenses de cisalhamento ou tenses tangenciais - ao longo da seco.
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Podemos ainda separar os esforos em EXTERNOS e INTERNOS de acordo com o quadro abaixo.
Cargas ATIVOS- produzidos pelas cargas aplicadas s estruturas
Externas REATIVOS - produzidos pelas reaes
Cargas
Internas
Normais: Trao (+)
Solicitantes Compresso (-)
Cortantes
Flexo
Toro
Tenses Normais: Trao (+)Resistentes Compresso (-)
Tenses de Cisalhamento
1.3TIPOS DE CARGA (quanto superfcie de aplicao)
Ainda podemos classificar as cargas com relao rea (superfcie) em que so aplicadas como:
1.3.1 CARGA CONCENTRADA - a superfcie de contato com o corpo que lhe resiste desprezvel em
relao rea do corpo.
Dizemos que carga P concentrada, sua aplicao est concentrada em um nico ponto.
1.3.2CARGA DISTRIBUDA- a aplicao da carga se distribui ao longo do comprimento da superfcie quelhe resiste.
Para a viga acima, as cargas aplicadas nas duas extremidades, de 250 lb (na realidade lbf), so concentradas,
conforme j vimos no item anterior, ao passo que a carga aplicada entre os apoios A e B denominada decarga distribuda, pois que esto sendo aplicadas ao longo de um trecho da viga e no apenas em um
nico ponto.
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1.4TIPOS DE CARGAS (quanto forma de aplicao)
De acordo como as cargas so aplicadas s estruturas pode-seclassific-lascomo:
1.4.1 CARGA ESTTICA: Pea sujeita a uma carga constante - ou praticamente invarivel
com o tempo.
Exemplo: Viga das estruturas.
1.4.2 CARGA INTERMITENTE: Pea sujeita a uma carga pulsante - varivel de zero a um valor mximo
permitido.
Exemplo: dentes de engrenagens.
1.4.3CARGA ALTERNADA: Pea sujeita a uma carga varivel nos dois sentidos.
Exemplo: eixos submetidos flexo ou uma biela de um pisto.
1.4.4CARGA BRUSCA ou A CHOQUE: Pea sujeita a variao brusca de carga.
Exemplo: bate estacas.
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1.5TIPOS DE CARGAS (quanto aos seus efeitos)
Resistncia Trao
Quando uma barra for submetida a uma fora (P),atuando no sentido do seu eixo, isto ,perpendicular a sua seco transversal, estarsofrendo uma trao e uma deformao que ser
de acrscimo de com rimento.
Resistncia Compresso
Quando uma fora (P), agir no sentidolongitudinal da pea, isto ,perpendicular a sua seco transversal,esta sofrer uma compresso e umachatamento.
Resistncia ao Cisalhamento
Quando duas foras (P) atuam sobreuma pea (exemplo: rebite),transversalmente ao seu eixo sofrerum cisalhamento, isto , a pea tendera ser cortada.
Resistncia Toro
Quando uma fora (P) est agindo noplano perpendicular ao eixo da barratender a girar cada seco transversalem relao s demais seces,torcendo-a.
Resistncia Flexo
Quando uma fora (P) atua sobre umabarra, perpendicularmente ao seu eixo,produzir a flexo do referido eixo.
Resistncia Flambagem
Se a barra submetida a compresso forde comprimento muito grande emrelao ela se dobrar sob a ao dafora (P), produzindo a flambagem.
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1.6 - CARGAS AXIAIS: TENSES NORMAIS
A seguir, faremos uma anlise mais detalhada dos efeitos que ocorrem internamente nos materiais (as
tenses) devido aplicao dos diversos tipos de cargas.
Cargas axiais atuam no sentido do eixo da pea (perpendicular sua seco transversal). Esforos internos
produzem tenses normais () perpendicularmente seco transversal.As figuras abaixo mostram esforos de trao e compresso.
Fig. 1. 01
A tenso desenvolvida nas molculas pode ser expressa pela relao:
= Geralmente considera-se essa tenso () distribuda uniformemente pela rea (A). Na verdade quandocalculamos = P/A, estamos determinando um VALOR MDIO de tenso na seco transversal, e no ovalor especfico da tenso num determinado ponto.
Para definir a tenso num dado ponto da seco transversal, utilizamos:
= 0De um modo geral, a tenso no ponto diferente da tenso mdia. A Fig.1.03 mostra que em pontos
distantes da aplicao da carga, a variao de tenso pequena, mas em pontos prximos de aplicao da
carga a variao aprecivel. Para os objetivos deste curso consideraremos a tenso normal, devido carga
axial, sempre uniforme.
Eq. 1.1
Eq. 1.2
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Fig. 1.02
Fig.1.03
Fig.1.04
Devemos ainda dizer que para considerarmos a distribuio de tenses normais uniformes ao longo da
seco, necessrio que a linha de ao das foras aplicadas P passem pelo BARICENTRO da seco
considerada. Fig. 1.05.
Fig. 1.05
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1.7CARGAS TANGENCIAIS (FORAS CORTANTES): TENSES DE CISALHAMENTO
Ao contrrio das tenses normais perpendiculares seco transversal, as tenses de cisalhamento se
desenvolvem no plano paralelo fora aplicada. A Fig. 06 mostra situaes onde aparecem tenses de
cisalhamento ().A tenso de cisalhamento ocorre comumente em parafusos, rebites e pinos que ligam as diversas partes das
mquinas e estruturas, conforme veremos nas figuras abaixo.
Fig. 1.06
A tenso de cisalhamento fisicamente diferente da tenso normal. Enquanto, o esforo normal tende a
desagregar as molculas em sua coeso em extenso ou a reuni-las em compresso, o esforo de
cisalhamento tende a cort-las por deslizamento de uma face sobre outra, ou entre dois planos contnuos.
Podemos determinar o VALOR MDIO da tenso de cisalhamento:
= ()() Ao contrrio do que dizemos para a tenso normal, nopodemos considerar a distribuio de tenso
uniformemente distribuda.
A Figura 1.07 nos mostra o tipo de acoplamento de cisalhamento simples, denominado de juntas
sobrepostas. Nas figuras Fig.1.07 b e Fig.1.07 d, esto representados os diagramas de corpo livre dos
acoplamentos.
Fig. 1.07 a Fig. 1.07 b
Fig. 1.07c Fig. 1.07dPag. 24 do Hibbeler
Eq. 1.3
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Na Fig. 1.08 dizemos que o rebite est submetido a cisalhamento duplo e neste caso, h duas seces
resistentes para a fora F aplicada e como consequncia, cada seo receber a metade da carga F aplicada,
ou seja, a fora de cisalhamento ser F/2. Na figura abaixo, as foras de cisalhamento esto representadas
pela letra V, mas em outras situaes tambm se utiliza a letra Q.
Fig. 1.08 a Fig. 1.08 b
Fig. 1.08 c Fig. 1.08 d
As foras de cisalhamento tambm so denominadas de foras cortantes.
1.8CARGAS TORCIONAIS: MOMENTO TOROR
Quando um par de foras aplicado no plano transversal do eixo de uma pea, tendendo a giro, a pea est
submetida toro simples. Na Fig. 1.09, a mesma fora aplicada a uma maaneta, submete a barra AB
toro.
Fig.1.09 Cargas torcionais
Peas submetidas ao Momento Toror, a exemplo das peas submetidas s foras cortantes, tambm
desenvolvem tenses de cisalhamento (), no entanto, o clculo desta tenso de cisalhamento devido aomomento toror diferente da frmula representada na (Eq. 1.2).
O Momento Toror, tambm denominado de Torque, uma grandeza vetorial (intensidade), direo e
sentido e tem muita importncia para a engenharia mecnica uma vez que todas as peas que tenham
movimento giratrio, como eixos (tornos, automveis, motores) desenvolvem este tipo de carga, sendofuno da potncia efrequncia desenvolvidas. No faz parte deste curso o desenvolvimento do Momento
Toror.
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1.9CARGAS TRANSVERSAIS: MOMENTO FLETOR
Uma carga atuando perpendicularmente ao eixo da pea produz-se uma flexo, chamada de Momento
Fletor, conforme nos indica as Figuras 1.10 e 1.11.
Fig.1.11
Fig.1.10
Na Flexo, parte da pea fica sujeita a solicitao de trao e parte sujeita solicitao de compresso,
ficando, portanto, sujeitas s Tenses NORMAIS, as mesmas que aparecem quando temos foras axiais de
trao e compresso.
Se considerarmos uma barra inicialmente constitudas de fibras retas de mesmo comprimento (Fig. 1.12),
estas fibras ficaro deformadas (curvas) conforme for o sentido do momento fletor (Fig.1.13a e Fig. 1.13b).
Fig. 1.12 Fig. 1.13a (Mf< 0) Fig. 1.13b (Mf> 0)
O momento fletor uma grandeza vetorial, e como tal, alm da intensidade, tem direo e sentido.
Considerando uma viga no plano XY, inicialmente, sem a aplicao de nenhuma carga, as fibras longitudinais
da viga tm os mesmos comprimentos, conforme a Fig. 1.12. Ao aplicarmos o momento fletor Fig. 1.13a, as
fibras que antes eram retas apresentam a deformao mostrada na figura. Aplicando um momento de
sentido inversoFig. 1.13b, as deformaes tambm tem o sentido inverso da anterior.
Quando temos a viga e as cargas atuando no plano XY, o Momento Fletor ter sempre o sentido de Z.
Fig. 1.14
A Figura 1.14no indica que as deformaes de uma barra quando sujeita ao momento fletor no so iguais
em relao altura da seco transversal, tendo como maiores valores as seces mais distantes da secoa parte de cima da seco est tracionada (fibras aumentam de tamanho), enquanto a parte de baixo as
fibras esto comprimidas (diminuem de tamanho), mas estas deformaes NO SO UNIFORMES,
Momento Fletor > 0traciona as fibras de cima e comprimeas fibras de baixo.Momento Fletor < 0comprime as fibras de cima e tracionaas de baixo.Linha Neutrana linha que passa pelo centro de gravidadeda pea no existe nem trao e nem compresso.
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conforme ser estudado em Resistncia dos Materiais III e IV (Engenharia Civil e Mecnica
respectivamente).
1.10SOLICITAES COMPOSTAS
Muitas vezes nos deparamos com problemas em que aparecem mais do que um tipo de solicitao. Nestes
casos chamamos de solicitaes compostas. Um exemplo deste tipo de solicitao de eixos transmitindo
potncia, sujeitas toro, flexo e esforos normais de trao compresso assunto que estudaremosmais a frente.
1.11 - PRINCPIO DA SUPERPOSIO DOS EFEITOS
Na maioria das vezes as aes exercidas sobre uma pea, sendo de naturezas diferentes, so simultneas
(solicitaes compostas) e para resolver estes problemas, lanamos mo do Princpio da Superposio dos
Efeitos que em Resistncia dos Materiais um verdadeiro postulado. Ele, realmente, no admite uma
demonstrao terica, mas sua validade se afirma pela coincidncia dos resultados tericos a que ele
conduz com os observados na experincia.
Podemos enunci-lo como se segue:
Salvo algumas excees, e, enquanto o limite de proporcionalidade no for ultrapassado,
os efeitos de certo nmero de causas so iguais superposio dos que ocorreria se cada
uma delas atuasse isoladamente, e considerssemos em qualquer ordem.
Este princpio nos permite substituir as simultaneidades das aes pela sucessividade e em qualquer
sequncia, podendo-se estudar cada um por si, para afinal, somarmos os seus efeitos.
1.12TENSES ADMISSVEIS
As tenses admissveis ou ainda tenses de projeto, so aquelas em que o projetista ir adotar como sendo
a que pode suportar com segurana (e economia) a carga aplicada em um determinado material. bastante
plausvel acreditarmos que a tenso admissvel depende do material com que pretendemos dimensionar
uma pea/estrutura, pois os materiais apresentam resistncias diferentes. No prximo captulo, trataremos
com mais detalhe este assunto.
1.13ALFABETO GREGO
Em diversas aplicaes nas cincias exatas, como as engenharias, muitos conceitos so expressos por letras
gregas, como j vimos para o caso de tenso normal (sigma) e tenso de cisalhamento (tau). Abaixoreproduzimos o alfabeto grego que muito nos auxiliar nos prximos tpicos.
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CAPTULO 2
CARGAS AXIAIS: DEFORMAES e TENSES NORMAIS
Como vimos no captulo anterior, foras externas geram foras internas (esforos); as foras internas geram
TENSES, que por sua vez geram DEFORMAES.
Neste captulo estudaremos o comportamento de peas submetidas a cargas axiais: as deformaes
longitudinais e as deformaes transversais com as respectivas propriedades dos materiais (Mdulo de
Elasticidade Longitudinal; Mdulo de Elasticidade Transversal e Coeficiente de Poisson); as tenses normais
de trao, e de compresso. Ainda, estudaremoso dimensionamento devido tenso normal,as tenses
desenvolvidas em uma estrutura devido a variao de temperatura e tambm pelo peso prprio de um
material.
2.1DIAGRAMA TENSO - DEFORMAO
Quando se submete uma barra de metal a uma carga de trao paulatinamente crescente (Fig. 2.01), ela
sofre uma deformao progressiva de extenso ou aumento de comprimento. Podemos levantar a curva
TENSO X DEFORMAO como mostra a Fig. 2.02.
A proporcionalidade entre a fora de trao e o alongamento, s existe at um centro valor limite da tenso
de trao, chamado limite de proporcionalidade, o qual depende das propriedades do material. Alm desse
limite, a relao entre o alongamento e a tenso de trao torna-se mais complicada.
Fig. 2.01 Fig. 2.02
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A relao entre a variao de comprimento L e o comprimento inicial Lo definida como deformao
relativa longitudinal (psilon).Deformao relativa longitudinal:
=
importante observarmos que a deformao relativa um nmero adimensional e caso queiramos adeformao relativa em porcentagem, multiplica-se este nmero adimensional por 100, procedendo-se o
inverso caso j tenhamos a deformao relativa em porcentagem.
Analisando o diagrama Tenso x Deformao, nas diferentes etapas:
1 - Limite de PROPORCIONALIDADE. Em OA existe proporcionalidade entre e - o diagrama se apresentacomo uma reta. De A at B, a linha apresenta-se como um arco. Se neste ponto (B), a carga fosse retirada
lentamente, a pea voltaria ao seu tamanho inicial. O ponto B chamado limite de elasticidade, pois o
material tem comportamento elstico.
2 - Limite de ESCOAMENTO. A partir do ponto B o material sofre uma deformao aprecivel, sem ter
aumento de tenso. o fenmeno de ESCOAMENTO - verificado no grfico em BC. Em C temos o limite de
escoamento (e).
3 - TENSO DE RUPTURA. O material se recompe e para continuarmos a deform-lo, aumenta-se a carga.
Nesta fase, as deformaes so permanentes e chamada PLSTICA. O ponto E o limite mximo de
resistncia e chamado TENSO DE RUPTURA. Se no ponto D retirssemos a carga lentamente, o ponteiro
caminharia por DG. Assim OG = OH - HG representa a deformao permanente.
4 - Ponto de RUPTURA. Aps atingir o ponto E, nota-se que a seco do corpo comea a se estrangular -
ESTRICO - nos casos de metais com certa DUCTIBILIDADE.
importante ressaltar as diferenas entre as fases elsticas e plsticas:
ELASTICIDADE - propriedade que os materiais tm de terem suas deformaes transitrias.
Retirada carga seu comprimento volta ao inicial.
PLASTICIDADE - propriedade que os materiais tm de terem suas deformaes permanentes
sem se romperem.
O diagrama tenso - deformao ( x ) nos d informaes valiosas cerca das propriedades de ummaterial. No entanto, ele varia muito de material para material, e dependendo das condies de ensaio,pode variar para o mesmo material. Temperatura e velocidades de carregamento diferentes podem
acarretar modificaes no diagrama tenso - deformao (x ).
Podemos distinguir os materiais como DCTEIS ou FRGEIS, dependendo do seu comportamento num
ensaio trao (x ):
DCTEIS - apresentam o fenmeno ESCOAMENTO temperatura ambiente. O material
apresenta grandes deformaes antes de se romper. Quando atingido certo valor de tenso
mxima, o dimetro do corpo de prova comea a diminuir at a ruptura. Chama-se este
processo de ESTRICO. O diagrama apresentado na fig.15 de um material dctil - como
exemplo tem ao estrutural, alumnio e outros metais.
Eq. 2.1
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FRGEIS- Se caracterizam por no apresentarem grandes deformaes at se romperem. No
h o fenmeno de escoamento - se rompem sem avisar. No h ESTRICO para materiais
frgeis. Exemplo: ferro fundido, vidro, pedra.
Devemos observar ainda, que dependendo da temperatura, um material frgil pode se
comportar como dctil e vice-versa, para altas e baixas temperaturas respectivamente.
Dizemos ento, material em estado dctil e material em estado frgil.
Os diagramas tenso - deformao da Fig. 2.02nos mostra o comportamento diferente de dois materiais
dcteis - ao estrutural e alumnio.
No caso do ao estrutural, Fig. 2.03, vemos que o limite de escoamento bem definido - as tenses
permanecem constantes para uma grande variao das deformaes. Podemos ainda distinguir dois valores
para a tenso de escoamento em um teste cuidadoso: inferior e superior. Devido o valor superior ser
momentneo, adota-se o valor inferior como tenso de escoamento do material.
Para o alumnio, Fig. 2.04e de muitos outros materiais, o incio do escoamento no caracterizado pelo
trecho horizontal do diagrama - as tenses continuam aumentando - embora no mais linear. Adota-se
como tenso de escoamento, tomando-se a deformao relativa = 0.2% ou =0.002.
Materiais dcteis apresentam grandes deformaes relativas () e tambm grandes redues percentuais
de rea.
Alongamento percentual (Deformao relativa - )
= = .100% %Lo= comprimento inicial do corpo de prova
LR= comprimento no instante ruptura
Reduo percentual de rea = 100%
Ao= rea seco transversal inicial corpo prova
AR= rea antes da ruptura.
Para ao estrutural uma reduo de rea de 60% - 70% so comuns na trao.
Fig.2.03Fig.2.04
Eq. 2.2
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2.2COMPRESSO
No frequente o ensaio de materiais por compresso, pois o levantamento das suas propriedades
mecnicas dificultado pelo atrito entre o corpo de prova e as placas de fixao, pela possibilidade de
flambagem e pela dificuldade de medidas de valores numricos com razovel preciso.
As condies de ensaio variam para materiais dcteis e frgeis.
Materiais DUCTEIS- apresentam certa preciso, apenas para fase elstica. Um corpo de prova cilndrico de
um material dctil sujeito a uma carga axial de compresso tende na fase plstica, a aumentar a sua seco
transversal com o aumento da carga Figura 2.05a e Figura 2.05b. Considerando-se a tenso real, esta
diminui, uma vez que a rea aumentapor esta razo, o material no se rompe, ficando no limite, achatado
at formar um disco - Figura 2.05c.
Fig.2.05c
Fig. 2.05a Fig. 2.05b
Por outro lado, materiais FRGEIS, como ferro fundido no tem deformao lateral (transversal) aprecivel
e a ruptura ocorre por cisalhamento e escorregamento ao longo de um plano inclinado de 45
aproximadamente - Fig. 2.06. Pode-se determinar a tenso de ruptura.
Fig. 2.06
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2.3CORPOS DE PROVA
Os ensaios de materiais so realizados sob condies bastante controladas com relao amostra a ser
ensaiada ou ainda o corpo de prova (CP) formato e tamanho; forma de obteno e ainda : 1)o tempo e
velocidade de aplicao das cargas; 2) a temperatura de realizao do ensaio e 3) tratamento do corpo de
prova (trmico e qumico).
No faz parte dos objetivos desse curso, o estudo dos diversos fatores que influenciam um ensaio demateriais e que devem ser observados por Normas Tcnicas. A seguir, apresentaremos alguns tipos de
corpos de prova.
A Fig. 2.07 nos mostra um modelo corpo de prova para seco circular e um para seco retangular.
Apresentamos na sequncia, as trs figuras abaixo:
Na fig. 2.08 temos um corpo de prova tpico, usado em um ensaio de trao.
A fig. 2.09 mostra uma mquina de ensaio de trao.
A fig. 2.10 mostra um corpo de prova de um material dctil antes da ruptura e aps a ruptura.
Fig.2.08 Fig.2.09 Fig.2.10
Fig.2.07
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2.4COMPORTAMENTO ELSTICO E COMPORTAMENTO PLSTICO DOS MATERIAIS
No incio deste captulo fizemos uma anlise das regies de um diagrama tenso - deformao (x )edefinimos os conceitos de ELASTICIDADE e PLASTICIDADE. Assim, chama-se limite de Elasticidade do
material ao maior valor de tenso para o qual o material ainda comportamento elstico (deformaes
transitrias). Para materiais que apresentam o incio de escoamento bem definido, ento o limite de
elasticidade e o limite de proporcionalidade coincidem com a tenso de escoamento. Assim, o material se
comporta como elstico enquanto as tenses se mantm abaixo da tenso de escoamento.
A Fig. 2.11mostra um diagrama tenso - deformao para um material que no tem incio de escoamento
bem definido - neste caso, no conseguimos determinar o limite de elasticidade com preciso e adotamos
para este limite, a tenso de escoamento CONVENCIONAL. Na Fig. 2.11 a linha CD representa o
descarregamento quando o material j atingiu a fase plstica (deformao permanente AD).
Se aps tiver sido carregado e descarregado, o corpo de prova carregado novamente, o comportamento
verificado na Fig. 2.12a nova curva de carregamento praticamente coincide com o descarregamento, at
pouco antes de atingir o ponto C. mantida a tenso mxima de ruptura. A parte reta do novo diagrama de
carregamento mais longa que a do diagrama original. Dessa maneira, os limites de elasticidade eproporcionalidade tiveram seus valores aumentados. A deformao relativa de ruptura permanece a
mesma.
Na Fig. 2.13 apresentamos um caso em que o segundo carregamento para o corpo de prova por
compresso ao invs de trao. Considerando que o material o AO DOCEque tem a mesma tenso de
escoamento para trao e compresso, verificamos o seguinte:
1- Carga de trao: AC
2- Descarregamento: CD
3- Carga compresso: DH
4- Mantm compresso: HJ (escoamento)
5- Descarregamento: KJ
Se o ponto K coincide com a origem A no descarregamento, a deformao permanente nula, e
aparentemente o material voltou as suas condies iniciais. Ocorrem, no entanto mudanas internas no
material. Se a sequncia de carregamento, descarregamento repetida muitas vezes, o material pode se
romper bruscamente. Por isso, carregamentos alternados em regime de deformaes plsticas, raramente
so permitidos na prtica. Se o carregamento inicial leva o material ao ponto C, o descarregamento se dar
segundo CD. Cumprindo, teremos a linha DH - incio de escoamento.
Fig.2.11 Fig.2.12 Fig.2.13
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2.5CARGAS REPETIDAS - FADIGA
Vimos anteriormente, se aplicarmos uma carga a um material, sem que ele atinja a tenso de escoamento,
seu comportamento ser elstico, ou seja, ter suas deformaes transitrias, voltando a seu tamanho
inicial depois de retirada da carga. Poderamos ento concluir que se no ultrapassarmos a tenso de
escoamento, poderemos aplicar a carga muitas vezes. No entanto, isso no vlido para repeties na
ordem de milhares ou milhes de vezes. O material se rompe a uma tenso bem abaixo da tenso de
ruptura do ensaio obtida com o carregamento esttico. A esse fenmeno, se d o nome de FADIGA. Aruptura por FADIGA sempre uma ruptura FRGIL, mesmo para materiais DCTEIS. No objetivo de nosso
curso o estudo da FADIGA, sendo visto em disciplinas tais como Tecnologia dos Materiais, Tecnologia
Mecnica, rgos de Mquinas.
2.6LEI DE HOOKE - MDULO DE ELASTICIDADE
Na fase elstica do diagrama tenso - deformao, temos um trecho reto - at limite de proporcionalidade -
e podemos obter uma caracterstica do material denominada Mdulo de Elasticidade ( E )ou Mdulo de
Young.
= Nas Fig. 2.14 e Fig. 2.14a, em qualquer trecho da parte reta do diagrama (x )o ngulo o mesmo e,
portanto, a relao
tambm ser constante uma propriedade dos materiais, denominada Mdulo de
Elasticidade, ou Mdulo de Young, representado pela letra E. A Fig. 2.14b auxilia no entendimento doexposto.
Fig. 2.14b
Fig.2.14 Fig.2.14a
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A relao = conhecida como Lei de Hooke. = (Eq. 2.3)
E = mdulo de elasticidade ou mdulo de Young
Como a deformao relativa longitudinal() adimensional, a unidade de E, ser a mesma utilizada para atenso ().
Fisicamente o mdulo de elasticidade (E), representa a rigidez de um material. Assim, quanto maior o
mdulo de elasticidade, mais rgido o material. O mdulo de elasticidade varia com a temperatura - um
material ensaiado a uma temperatura maior que a ambiente, ter suas deformaes maiores, e seu
diagrama se alterar.
Na Figura 2.15 vemos materiais que tem deformaes relativas, tenses de escoamento e ruptura
diferentes, mas tem o mesmo mdulo de elasticidade - na fase elstica. A tabela nos apresenta valores de E
(Kgf./mm
2
) para alguns metais e suas ligas - temperatura ambiente.Thomas Young (1773 - 1829) - cientista ingls
Robert Hooke (1635 - 1703) - matemtico ingls
Fig. 2.15
Para os aos, o Mdulo de Elasticidade E, apresenta um valor constante reparar no Diagrama
Tenso x Deformao (x ) Fig. 28 que a fase elstica dos quatro tipos de aos representadas soas mesmas (parte reta). Assim, a relao / , que define o valor de E, ser a mesma.
No confundir as letras E(Mdulo de Elasticidade) com a letra (deformao relativa longitudinal)
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Tabela 2.1 -Metal ou liga
Mdulo de elasticidade(Kgf/mm2)
Nquel 21000
Ferro 21000
Cobre 11200Zinco 9800
Alumnio 7000
Magnsio 4375
Estanho 4200
Chumbo 1750
Ligas de alumnio 7420
Ligas de magnsio 4550
Aoscarbono 21000
Aos inoxidveis austeniticos 19600Ligas de titnio 11550
Monel (liga de nquel) 18200
Bronze ao silcio 10500
Ferro fundido 10500
Ligas de estanho 4200
Ligas de chumbo 1750
Ferro fundido nodular 14000
Lato 11900
Bronze 11200Bronze de alumnio 10800
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2.7TENSES ADMISSVEIS
Um diagrama de ensaio de trao nos d informaes valiosas sobre as propriedades mecnicas de um
material. Conhecendo-se os limites de proporcionalidade, de escoamento e a tenso de ruptura do
material1, possvel estabelecer-se para cada problema particular de engenharia, a grandeza da tenso que
pode ser considerada como TENSO DE SEGURANA. Esta Tenso , comumente, chamada de TENSO
ADMISSVEL ou TAXA DE TRABALHO. Obtemos a tenso admissvel dividindo-se a tenso de resistncia do
material escolhido por um fator chamado FATOR DE SEGURANA.
As razes pelas quais a tenso de trabalho de um membro de uma estrutura ou de uma mquina deve
corresponder a um valor inferior resistncia do material so inmeras. Em primeiro lugar, os materiais de
construo, em particular os metais, tendem a deteriorar-se em servio, pela ao do meio ambiente; em
segundo lugar, ocorrem frequentes variaes das cargas adotadas no projeto, alm de surgirem
ocasionalmente sobrecargas; em terceiro lugar, difcil garantir-se perfeio na fabricao de uma
determinada pea, alm de poderem ser introduzidas variaes de tenses adicionais no transporte,
montagem e instalao da mquina ou estrutura.
Nestas condies, o comportamento do material pesquisado em laboratrios de ensaios, mediante adeterminao de suas propriedades em amostras, pode divergir de seu verdadeiro comportamento na
prtica. Os coeficientes de segurana variam grandemente, em funo do tipo de carga, do tipo de material
e das condies de servio. Para materiais dcteis, ou que se deformam antes de se romperem, os seus
valores variam de 1,5 a 4,0. Para materiais frgeis que rompem praticamente sem qualquer deformao e
que, portanto, no mostram antes da ruptura qualquer falha incipiente, os coeficientes de segurana
podem atingir de 5,0 a 8,0.
Tomamos, em geral, como base para a determinao da grandeza da tenso admissvel, o limite de
escoamento ou a tenso de ruptura. Representando-se por adm, e, r respectivamente, a tenso
admissvel, o limite de escoamento e a tenso de ruptura do material, a grandeza da tenso admissvel serdeterminada por uma das equaes seguintes:
= 1 = 2Onde K1e K2so os fatores de segurana.
Outra simbologia para tenso admissvel dada por
No caso do ao de construo, tomado o limite de escoamento como base para a fixao da tenso
admissvel, porque aqui, pode ocorrer uma deformao permanente considervel, a qual no admissvelnas estruturas de engenharia.
Para materiais quebradios como o ferro fundido, o concreto e para madeira, a tenso de ruptura , em
geral, tomada como base para a determinao das tenses admissveis.
Em resumo, os membros de estruturas e de mquinas, principalmente quando sujeitos a cargas estticas,
raramente rompem em servio, graas ao coeficiente de segurana, a no ser que fiquem repentinamente
sujeitos a uma carga acidental de grandeza considervel. O mesmo no ocorre com as partes mveis de
mquinas, as quais falham muito mais frequentemente pela presena de cargas dinmicas, admitindo-se
que 90% das falhas ocorridas nestas mquinas, sejam devidas presena de esforos repentinos ou de
cargas repetidas (ruptura por FADIGA).
Eq. 2.4
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Finalizando, podemos dizer que a escolha do coeficiente de segurana a ser adotado, nas diversas
aplicaes possveis, um dos problemas mais importantes da engenharia. Se por um lado, a escolha de um
coeficiente de segurana baixo pode levar a uma possibilidade de ruptura da estrutura muito alta, por
outro, um coeficiente de segurana muito alto leva a projetos antieconmicos ou pouco funcionais.
No Brasil, as especificaes para coeficientes de segurana dos diversos materiais e para carregamentos em
vrios tipos de estruturas so dadas pelas Normas Tcnicas da Associao Brasileira de Normas Tcnicas -
ABNT. Algumas normas:
AO: NB 14 CONCRETO: NB 01 MADEIRA: NB 11
O diagrama tenso x deformao abaixo (Fig. 29) nos auxiliam na visualizao da tenso admissvel em
relao s demais tenses j estudas. Importante salientar que em Resistncia dos Materiais a tenso
admissvel estar sempre na Fase Elstica do material. A Fase Plstica reserva interesse para a conformao
plstica dos materiais, como por exemplo as chapas para as carrocerias de automveis.
Fig. 2.16
Ponto ILimite de Proporcionalidade (Lei de Hooke)
Ponto IILimite de Elasticidade
Ponto IIILimite de Escoamento
Ponto IVLimite de Resistncia ou Tenso de Ruptura
Ponto VPonto que ocorre a Ruptura
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As tabelas abaixo apresentam valores da tenso de ruptura para trao e compresso, bem como tenses
de escoamento para materiais indicados.
TAB. 2.2Propriedades dos aos em ensaios de trao e compresso e escoamento na trao
Tabela 2.3Propriedades materiais no ferrosos
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A Tabela 2.3 abaixo apresenta alguns valores em que os coeficientes de segurana podem ser adotados
Fonte: Evaristo Valadares Costa (Curso de Resistncia dos Materiais, Volume 1- Tab. 7.1)
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Exemplo 2.1Qual a relao entre os mdulos de elasticidade dos materiais de duas barras do mesmo tamanho, se, sob a
ao de foras de trao iguais, os alongamentos relativos das barras esto na relao 1=21/11.
Soluo:
= = =
=
=
121
11
=
21
11
: = 2111
Se verificarmos na Tabela 2.1, o material A pode ser ao, e o material B pode ser o cobre.
2.8Deformaes de Barras Carregadas Axialmente.
Consideramos a barra fig.(pag. 24), onde a tenso atuante
=P/A, no ultrapasse o limite de
proporcionalidade do material. Podemos ento aplicar a Lei de Hooke.
= = : = 0 , = ()
Substituindo (b) e (c) em (a), vem:
= .0 L = P. L0E. A (Eq.2.5)
A equao (06) s pode ser usada se a barra for homognea (mdulo de elasticidade constante), tiver
seco transversal uniforme e a carga for aplicada nas extremidades da barra.
Se as foras forem aplicadas em outros pontos, ou se a barra consiste de vrias partes com diferentes
seces transversais ou compostas de diferentes materiais, devemos dividi-la em segmentos que
individualmente satisfaam as condies de aplicao da equao (06). Assim:
= . . (Eq.2.6)
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No caso de barras com seco transversal varivel, a deformao relativa ( ) depende da posio do ponto
onde estamos calculando - = e substituindo este valor na equao (a), vem:.
=.
, = .
.
A deformao total (L) obtida integrando por todo comprimento L da barra:
= = ..
0
0
= .
.
0
EXEMPLO 2.2
Determinar a fora de trao numa barra de ao cilndrica com 4 cm de dimetro, sendo o alongamento
relativo () igual a 0,8 x 10 -3. Dado E Ao = 2,1 x 10 6 kgf./cm2
Da Lei de Hooke temos:
= E.
= 2,1. 1062 . 0,8. 103 = 1.680 = = .
= 4
=.(4 )
4 = 12,57
= 1680 . 12,57 = 21.117,6
(Eq. 2.7)
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EXEMPLO 2.3
Determinar o alongamento total de uma barra de ao com 80 cm de comprimento, sendo a tenso de
trao igual a 950 Kgf/cm2.
Dado: E Ao = 2,1 x 10 6Kgf/cm2
Da Eq.2.05, temos: L = P.L 0E.A
Considerando que: =P
A L = . L
0E
L = 950 Kgf cm . 80 cm2,1 . 106 Kgf cm = 3,62 . 102cm ou L 0,362 mm
EXEMPLO 2.4
Uma barra de ao prismtica de 60 cm de comprimento distendida de 0,06 cm sob a ao de uma fora de
trao. Achar a grandeza da fora, sendo o volume da barra de 400 cm.
Dado: E Ao = 2,1 x 10 6Kgf/cm2.
Soluo:
= 0 = ..0 No temos o valor de A, mas o Volume V dado por:
=. 0 = 0Substituindo o valor de A acima:
= .. = ..
= 0,06.(2,1.106 ) + (400 3)(60 )
P =5,04.107
.
3600
= 14.000
EXEMPLO 2.5
Uma barra de 450 mm de comprimento tem seco transversal retangular de 3 cm por 2 cm. Determinar o
alongamento produzido pela fora axial de 7000 Kgf.
Dado: E Ao = 2,1 x 10 6Kgf/cm2.
Soluo:
= .
0
. = 7000
.(450
)
2,1.106 2 .(6 2) = 0,25
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EXEMPLO 2.6
A barra de ao da fig. abaixo tem seco transversal de rea A = 10 cm 2e est solicitada pelas foras axiais
que a se indicam. Determinar o alongamento da varra, sabendo - se que E Ao = 2,1 x 106Kgf/cm2.
Soluo: A barra se encontra em equilbrio: Fx = 0, portanto, toda seco da barra tambm estar.
= 10000 .(200 )(2,1.106 ).(10 2) = 0,095 = 7000 .(300 )(2,1.106 ).(10 2) = 0,100 = 9000 .(400 )(2,1.106 ).(10 2) = 0,171
Da Eq.2.6:a variaototal de comprimento da barra LAD , a soma das variaes de cada seco: = + + = 0,095 + 0,100 + 0,171 = 0,366 = 3,66mm
Observar que todas as deformaes so positivas, pois as foras em cada seco transversal so detrao. Caso a fora na seo seja de compresso, o seu sinal ser negativo e, portanto o tambm sernegativo. O exerccio 2.7 nos permite esta viso.
Calcule as tenses em cada seco transversal da barra.
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EXERCCIO 2.7
O eixo da figura abaixo est em equilbrio. Determinar:
a) P1e P2 b) LAE c) Tenses em cada seco
Dado: E ao= 2,1 x 10 6Kgf/cm2e LCD= 5,0 x10-2mm.
RESOLUO
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EXERCCIOSMDULO DE ELASTICIDADE E DEFORMAES AXIAIS
EXERCCIO 2.8Os dados de um teste tenso-deformao de uma cermica so fornecidos na tabela. A curva linear entrea origem e o primeiro ponto. Construir o diagrama e determinar o mdulo de elasticidade e o mdulo deresilincia. (Problema 3.4H.C. Ribbeler)
Resposta: E = 20.000 Ksi; Mdulo de Resilincia = 25,6 psi.
EXERCCIO 2.09
Determine a deformao da barra de ao abaixo sob a ao das foras indicadas, considerando o equilbrio
esttico da barra. (Exemplo 2.01 Beer; Jonhston)
Dado: E = 210 GPa.
Resposta: LAD= 2,75 mm
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EXERCCIO 2.10
A coluna est submetida a uma fora axial de 8 kN no seu topo. Supondo que a seo transversal tenha as
dimenses mostradas na figura, determinar a tenso normal mdia que atua sobre a seo a-a. Mostrar
essa distribuio de tenso atuando sobre a rea da seo transversal.(Problema 1.33 R.C. Hibbeler)
EXERCCIO 2.11A barra composta de ao A-36 mostrada na figura abaixo est composta por dois segmentos AB e BD, com
reas de seco transversal AAB = 1 pol 2 e ABD = 2 pol2. Determinar o deslocamento vertical da
extremidade A e o deslocamento de B em relao a C. (Exemplo 4.1 R.C. Hibbeler)
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EXERCCIO 2.12 (R.C. Hibbeler)
Calcular o deslocamento relativo da seco A em relao seco D na barra representada pela Fig. Ex.2.12a.
Fig. Ex. 2.12bcargas internas em cada seco da barra.
Fig. Ex. 2.12cdiagrama de cargas em cada seco da barra.
(Fig. Ex. 2.12a)
(Fig. Ex. 2.12b)
(Fig. Ex. 2.12c)
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EXERCCIO 2.13O conjunto consiste de uma haste CB de ao A-36 e de uma haste BA de alumnio 6061-T6, cada uma com
dimetro de 1 pol. Se a haste est sujeita a uma carga axial P1 = 12 kip em A e P2 = 18 kip na conexo B,
determinar o deslocamento da conexo e da extremidade A. O comprimento de cada segmento sem
alongamento mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexes em B e C e supor que sejam rgidas.
(Problema 4.6 - R.C. Hibbeler)
Respostas:
EXERCCIO 2.14
O conjunto consiste de uma haste CB de ao A-36 e de uma haste BA de alumnio 6061-T6, cada uma comdimetro de 1 pol. Determinar as cargas aplicadas P1 e P2 se A desloca-se 0,08 pol para a direita e B
desloca-se 0,02 pol para a esquerda quando as cargas so aplicadas. O comprimento de cada segmento
sem alongamento mostrado na figura. Desprezar o tamanho das conexes em B e C e supor que sejam
rgidas. (Problema 4.7 - R.C. Hibbeler)
Respostas:
EXERCCIO 2.15
Determinar a tenso de trao e a deformao especfica (ou deformao relativa) de uma barra prismtica
de comprimento L = 5,0 m, seco transversal circular com dimetro d = 5 cm e Mdulo de Elasticidade
E=20.000 KN/cm2, submetida a uma fora axial de trao P=30 KN (RA)
Respostas= 15,3 MPa ; L = 0,382 mm e = 0,0764%
-
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EXERCCIO 2.16
A barra da figura abaixo est em equilbrio esttico sendo constituda pelos trs trechos: AB, BC e CD.
Sabendo-se que as seces transversais so 10 cm2, 15 cm
2e 18 cm
2respectivamente e que a tenso
normal na seco AB= 15 KN/cm2, pede-se:
a) As foras P1 e P2
b) A deformao absoluta (mm) e a deformao relativa (especfica) de cada seco da barra
c) A deformao total da barra (mm)
d) A tenso de cada seco da barra ( KN/cm2)
Dado: E = 21.000 KN/cm2 e constituda de trs trechos: trecho AB =
Respostas
a)P1 = 150 KN ; P2 = 170 KN
b)LAB= 2,14 mm; LBC= 0,76 mm e LCD= 0,899 mm; AB= 0,713%; BC= 0,38%; CD= 0,45%
c)LAD= 3,799 mmd)BC= 8 KN/cm2 CD= 9,44 KN/cm
2
EXERCCIO 2.17
Determinar o dimetro de uma barra prismtica com 10 m de comprimento sendo aplicada uma fora de
500 KN, satisfazendo as duas condies:
a) a tenso no deve exceder 140 KN/cm2;
b) o encurtamento no deve exceder a 3 mm.Dado: E = 21.000 KN/cm
2.
Resposta: d= 10 cm
P1 P2
-
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2.9TENSO E DEFORMAO PRODUZIDAS NUMA BARRA DEVIDO AO PESO PRPRIO
A Fig. 2.13 nos mostra uma barra vertical engastada em uma das extremidades e submetida trao
exercida pela fora P na outra extremidade. Vamos considerar agora a ao do prprio peso de barra que
tambm uma carga a ser suportada pela barra.
Fig. 2.13
V = volume abaixo da seco considerada
Pp= .V V = A y (altura qualquer)
Pp= .A.y
N = P +. A.y (Eq.2.9)
Dividindo ambos os termos pela rea A, vem:
= + .. = + . (Eq. 2.10)
Atravs das equaes (Eq.2.9) e (Eq.2.10) verificamos que a fora normal e a tenso tero seus valores
mximos na extremidade superior onde y = L e mnimos na extremidade inferior onde y = 0.
O alongamento total da barra ser a soma dos alongamentos sofridos por elementos dy. Assim,
= . = 0
0
= = + . = 1 . ( + . )
= 1(P + .y)dy
0 .0 + . 0
Peso Prprio de um corpo.Sabemos que a densidade d = massa / volume
d = m / Vm = d .V (a)Peso de um corpo P = m.gMultiplicando (a) por g:
m.g = d.V.g P = . V
A fora normal que atua numa seco
Distante y da extremidade ser:
N = P + Pp
Onde Pp= peso prprio
= peso especfico do material = d. g= d. g (Eq. 2.8)
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= . + . 2 . = . = . . + 12 . .
=
+
1
2 .
(Eq. 2.11)
Observao: O alongamento L o mesmo que teria uma barra sem peso, com uma carga (P + P T/2)
aplicada na extremidade livre da barra.
EXEMPLO 2.8
Uma barra de ao de 1 de dimetro utilizada para levantar cargas. Se levantarmos 270 m dessa barra,verticalmente, com uma carga de 300 Kgf presa na extremidade, que alongamento ela sofrer? O peso
especfico do ao 7800 Kgf/m3e o mdulo de elasticidade E = 2,1 x 10 6Kgf/cm2
Soluo:
= + 12
. . 1" = 2,54 =
4=(2,54 )
4= 5,067 = (5,067. 1042)
Clculo do peso prprio da barra:
= .. = 78003 . 5,067. 1042.(270 )
= 1067
= 300 + 10672 . 270.102,1. 106 .5,067 = 21,25
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EXEMPLO 2.19
Uma barra de ao com 15 cm 2de rea seco transversal tem 100 m de comprimento. Sabendo-se que
quando suspensa verticalmente com uma carga P presa na extremidade teve um alongamento L=5 mm.
Pergunta-se qual a carga P. Dado ao= 7800 Kgf/m3; Eao= 2,1 x10
6Kgf/cm2
= + 2 . =. =..
= 4152 = 176,7 2 = 176,7. 104
= 7800
.176,7.104
.100
= 13782,6
Clculo da mxima carga P que pode ser colocada na extremidade da barra:
5.103 = + 13782,62
. 1002,1.106
. 176,7
5.103.2,1.106 .176,7100
= + 6891,3
18553,3 = + 6891,3 = 11662,2
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EXERCCIO 2.20
Duas barras prismticas, rigidamente ligadas entre si, suportam a carga axial de 4500 Kgf, como se
indica na Fig. Abaixo. A barra superior de ao e tem 10 m de comprimento e seco transversal, de 65
cm2de rea. A barra inferior de lato, tem 6 m de comprimento e seco transversal de 52 cm 2de
rea.
Tendo-se para o ao ao= 7800 Kgf/m3
, EAo= 2,1 x 106
Kgf/cm2
e para o lato L= 8300 Kgf/m3
, EL=0,9 x 106Kgf/cm2, pende-se as tenses normais mximas em cada material.
Resoluo:
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2.10DEFORMAO TRANSVERSAL - COEFICIENTE DE POISSON
Vimos na fig. 29 que uma fora de trao P, produz um alongamento L na direo da fora. Se a fora de
compresso, teremos um decrscimo de comprimento L, calculado da mesma maneira. As deformaes na
direo axial, sempre so acompanhadas de uma deformao na direo transversal da natureza diversa.
Assim, uma fora de trao P provoca um alongamento L na direo axial, mas tambm provoca um
decrscimo da dimenso transversal da barra.
Assumindo que o material homogneo e ISOTRPICO (propriedades independem da direo),
relacionamos a deformao longitudinal (axial) e a deformao transversal, atravs do COEFICIENTE DE
POISSON (matemtico Francs, Simon Denis Poisson, 1781 1840) normalmente expresso pelas letras
gregas (n) ou (m):
O coeficiente de Poisson (1811), representado pela letra depende do material, tendo a seguinte relaoentre a deformao relativa longitudinal (
) e deformao relativa transversal (
):
=Por exemplo
Ao: = 0,25 - 0,33
Cobre: = 0,31 - 0,34
Alumnio: = 0,32 - 0,36
Concreto: = 0,08 - 0,18
Atentar para o sinal negativo da equao, pois as deformaes e t tm naturezas distintas, enquantouma aumenta, a outra diminui, tendo portanto, sinais contrrios.
As figuras abaixo (Fig. 2.14a e Fig.2.14b) auxiliam-nos no entendimento do exposto acima:
Fig. 2.14a Fig. 2.14b
Considerando-se uma barra com carregamento apenas axial (Fig. 30a ), considerando a Eq.13, temos as
seguintes deformaes nas direes x, y e z:
Fig. 2.14c
=; = = e = /E (Lei de Hooke)
=
/E (Eq. 2.13)
Eq. 2.12
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EXEMPLO 2.21
Uma barra de alumnio de 60 mm de dimetro tracionada em uma mquina de trao. Em certo instante,
a fora aplicada P de 16.000 Kgf, enquanto que o alongamento medido na barra de 0.238 mm em um
comprimento de 300 mm e o dimetro diminui de 0,0149 mm. Calcular as duas constantes e E do
material.
Soluo:
= = 0.238 = 0,0149 = = 0,238 300 = 7,93.104
= = 16000 (6 )4
= 565,97
= 565,97 7,93.104 = 7,13. 105
:
= . t = dd = 0,0149 mm60 mm t = 2,48.104
= t = (2,48.104)7,93. 104 = 0,313
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EXEMPLO 2.10
Um eixo macio de alumnio de 8 cm de dimetro introduzido concentricamente dentro de um tubo de
ao. Determinar o dimetro interno do tubo de maneira que no exista presso alguma de contato entre o
eixo e o tubo, ainda que o alumnio suporte uma fora axial de compresso de 40.192 kgf. Para o alumnio
= 1/3, EAL= 8,0 x105kgf/cm2.
= + = = . = .
= = =
= = 40192(8 )4 = 800
= 800 8.105 = 0,001
= 1 3 .0,001 = 1 3 . 103 = 1 3 . 103. 80 = 0,0267 = 80 + 0,267 = 80,0267
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EXERCCIO 2.23
A haste plstica feita de Kevlar 49 e tem dimetro de 10 mm. Supondo que seja aplicada uma carga axial
de 80 kN, determinar as mudanas em seu comprimento e em seu dimetro. (Problema 3.24 H.C.
Ribbeler)
Dados: E = 131 GPa; = 0,34
Obs. Kevlar uma marca registada da DuPont para uma fibra sinttica de aramida muito resistente
e leve. Trata-se de um polmero resistente ao calor e sete vezes mais resistente que o ao por
unidade de peso. O kevlar usado na fabricao de cintos de segurana, cordas, construes
aeronuticas, velas e coletes prova de bala e na fabricao de alguns modelos de raquetes de
tnis.(fonte Wikipdia). Para informaes mais detalhadas, necessrio bibliografia especfica.
Resposta: L = 0,777 mm; d = -0,0264 mm
EXERCCIO 2.24
Determinar a variao de dimetro de uma barra cilndrica que sofre a ao de uma fora de compresso
de 200 KN, tendo como dimenses iniciais d = 38 mm; L = 20 cm.
Calcular tambm a deformao da barra (variao de comprimento).
Dados: E = 9.000 KN/cm2; coeficiente de Poisson = 0,3.
Resposta: d = 0,0223 mm; L = -0,392 mm
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2.11DEFORMAO VOLUMTRICA
Seja um paraleleppedo infinitamente pequeno de arestas dx, dy, dz e, admitamos que depois de
DEFORMADO, suas arestas tenham se tornado: (dx + dx), (dy + dy) e (dz + dz).
A deformao especfica volumtrica v:
=dvdv = (dx + dx) . (dy + dy) . (dz + dz) dx . dy . dzdx . dy . dz
=
dx dy dz + dx dy dz+dx dy dz + dxdy dz +dx dy dz +dx dy dz +dx dy dz +dx dy dz dx dy dzdx dy dz
Desprezando-se os produtos dos acrscimos:
= dx dy dz + dxdy dz + dx dy dzdx dy dz =dzdz +dydy +dxdx (Eq.2.14)
Ou = + + (Eq.2.15)Considerando uma barra solicitada somente axialmente, temos:
Direo x = longitudinal Direo y, z = transversais.
Sabemos que t= - e y= - x z= - x
Substituindo as equaes: = + . x + x = 2.. v = x(1 2) (Eq.2.16)
ou
= = = 1 2 (Eq. 2.17)Neste caso, = deformao relativa longitudinal.
Fig. 2.15
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2.12DEFORMAO DEVIDO A ESFOROS NORMAIS TRIPLICES
Consideremos um elemento submetido simultaneamente a tenses de trao segundo os eixos x e y, a
deformao na direo x devida a x x/E, porm, ao mesmo tempo, a tenso yproduzir uma contrao
lateral na direo x de valor (y/E), assim a deformao resultante nessa direo ser:
= .. : = .
Dessas duas expresses, obtm-se as tenses em funo das deformaes:
= ( + ) E1
2
= ( + ) E1 2 Podemos generalizar o caso de tenses de trao segundo trs eixos perpendiculares, obtendo-se:
= 1 . [ ( + )]
= 1
[
(
+
)] (Eq.2.18)
= 1 [ ( + )]As equaes acima so denominadas deLei de Hooke GENERALIZADA
Uma importante relao entre as propriedades (constantes) E, G e para um material :
=
2(1 +)Onde G = Mdulo de Elasticidade Transversal
Importante observar que na equao acima, o Mdulo de Elasticidade Transversal (G), tem a mesma
unidade do Mdulo de Elasticidade Longitudinal (E), uma vez que o Coeficiente de Poisson () umnmero adimensional.
(Eq.2.19)
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EXEMPLO 2.25
Um cubo de ao, com 50 mm de lado, submetido a uma presso uniforme de 2.100 Kgf/cm 2agindo sobre
todas as faces. Determinar a variao da dimenso entre duas faces paralelas do cubo. EAo= 2,1 x 106
Kgf/cm2. Admitir = 0,25.
Soluo:
Para uma tenso uniforme triaxial, temos simetria nas trs direes: = = = Analogamente,
= = = Aplicando a Lei de Hooke Generalizada para a direo x :
= 12,1.106 [2100 Kgf/cm 0,25 (2100 2100 Kgf/cm)]
x = 12,1.106 Kgf cm [2100 + 1050] Kgf/cm x = 5,0 . 104 = = 5,0.104. 50 = 0,025 ()
Pela simetria do problema: = =
=
=
=
0,025
EXEMPLO 2.26
Uma barra de alumnio de 40 cm de comprimento e seco transversal quadrada de lado 8 cm, est
submetida a uma fora axial de trao. Experimentalmente, determinou-se que a variao de comprimento
L = 1 mm. Sabendo-se que = 0,315 pergunta-se qual o volume final da barra.
Soluo:
Vo = (40 cm) (8 cm) (8 cm) = 2560 cm
= = 1 400 = 0,0025v = 0,0025 1 2 . 0,315 v = 9,25 . 104
= 9,25 .104V = (9,25.104) (2560 cm) V = 2,368 cm = V VoV = V + VoV = 2,368 + 2560 V = 2562,37 cm
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EXEMPLO 2.27
Um cubo de ao est submetido s tenses axiais x e y que a se indicam. Determinar estas tenses
sabendo-se que as deformaes especficas xe yapresentadas pelo cubo foram: 19,0476 x 10-5
e 80,9523
x 10-5
respectivamente. Determinar ainda a tenso que se deveria aplicar na direo z para que z= 0. Dado
= 0,30.
Soluo:
= 1 19,0476 . 105 = 12,1 x 10 6 kgf/cm [ 0,3 ] 400 = 0,3 ()
= 1 80,9523.105 = 12,1 x 10 6 kgf/cm [x 0,3 ] 1700 = 0,3 ()
= 1000 Kgf/cme = 2000 Kgf/cm = 0
0 =1
2,1 x 10 6 kgf/cm[ 0,3 (3000)] = 900 kgf/cm
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EXEMPLO 2.28
A figura abaixo mostra um bloco submetido presso uniforme em todas as faces. Mediu-se a variao de
comprimento AB, que foi de24 m. AdotarE = 200 GPa e = 0,29. Determinar:a) A variao de comprimento das outras duas arestas
b) A presso P aplicada s faces do bloco
Aplicando a Lei de Hooke Generalizada temos:
Substituindo os valores para temos: = 1 . + = 1 . [ ( + () )
= (1 2) =
= 24 . 10 6 m / 80 x 10 3 m = 3 .104
Analogamente para as direes Y e Z :
= = 1 2. 103
= = 3 . 104Assim, = - 3 . 10-4 . 40 mm = - 12 m ; = - 3 . 10-4 . 60 mm = - 18 mDa Eq. 1 P= . (12) = (200 GPa) ( -3 . 10-4 ) / ( 10,58) P = 142,9 MPa
Os conceitos de presso e tenso so
semelhantes, sendo geralmente utilizado oprimeiro para fluidos e o segundo para corposrgidos. Para este caso, a presso a tenso nasdirees X, Y e Z:
x = y = z = - P que ser utilizada na Lei deHooke Generalizada (Eq. 2.18).
(Eq. 2.20)
= 1 . [ ( + )] = 1 + = 1 [ ( + )]
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EXERCCIOS
EXERCCIO 2.29
Sabendo-se que a deformao especfica longitudinal de uma barra foi 0.000552, calcular a deformao
especfica transversal (t). Sabendo-se que as dimenses iniciais da barra so L = 1,5 m (comprimento) e
a = 5 cm, b = 10 cm, calcular as dimenses finais L, a e b.
Material: Ao = 0,32
EXERCCIO 2.30
Determinar a deformao especfica volumtrica de uma barra submetida trao, sabendo-se que a
tenso normal no seu interior 392 Kgf/cm2. A barra de ao e seu volume inicial 10000 cm 3. Calcular a
variao de volume apresentada pela barra.
E = 2,1 x106Kgf/cm2 = 0,33.
EXERCCIO 2.31
Uma barra de ao de seco circular esta sujeita a ao de uma fora axial de trao P, tal que o dimetro
inicial da barra de 12,5 cm diminui de 0.025 cm. Achar valor de P.
E = 2,1 x106Kgf/cm2 = 0,33.
EXERCCIO 2.32
O cubo da fig. 31 est submetido s tenses normais que a se indicam. Determinar as constantes elsticas
do material, sabendo-se que as deformaes especficas apresentadas foram: x= 62,5 x 10-5, y= 218,75 x
10-5, x= 1000 Kgf/cm2e y= 2000 Kgf/cm
2.
EXERCCIO 2.33
Determinar as tenses normais xe yindicadas no cubo da fig. 2.16. So dados o alongamento longitudinal
nas direes x e y respectivamente 99.556 x 10 -5e 156.444 x 10-5. Calcular tambm z. Dado E = 9,0 x 105
Kgf/cm2e = 0,28
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2.13TENSES E DEFORMAES DEVIDO A DIFERENA DE TEMPERATURA
Um corpo quando submetido a uma variao de temperatura T, tende a ter suas dimenses alteradas.
Assim, quando se eleva a temperatura do corpo, ele se dilata e quando se abaixa a temperatura do corpo,
ele se contrai.
Uma barra de comprimento inicial Lo, quando no est presa em suas extremidades (Fig. 2.16) ter seu
comprimento aumentado proporcionalmente elevao de sua temperatura, e tambm proporcional emrelao a seu comprimento inicial Lo.
Fig. 2.16
Assim:
=
.
0.
LT = variao de comprimento devido variao de temperatura.
= coeficiente de dilatao trmica do material.
A deformao trmica especfica T dada por:
= 0 = .Antes de continuarmos, importante atentarmos para as denominaes das deformaes relativas (ou
especfica) transversal: e deformao relativa/especfica trmica: No caso em que a barra est LIVRE para deformar, no surgem tenses devido T.Mas, quando a barra no est livre, se IMPEDE-SE a sua deformao trmica, surgem os esforos e TENSES
TRMICAS nos materiais. A Fig. 2.17 nos auxilia no entendimento da situao:
Fig. 2.17O procedimento para determinar as foras e as tenses trmicas quando uma barra impedida de se
deformar tratado abaixo, auxiliado pela Fig. 2.18:
1- A barra est impedida de se deformar quando da variao de sua temperaturaFig. 2.18a
2- Considere a estrutura descarregada de toda fora aplicada e sem os apoios que impedem a livre
deformao trmicaFig. 2.18b
3- Representem em um esquema estas deformaes (exagerando suas magnitudes)Fig. 2.18b
(Eq. 2.19)
(Eq. 2.20)
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4- Aplique estrutura as foras necessrias (reaes) para que volte s condies iniciais de restrio
anteriorFig. 2.18c
5- As relaes geomtricas entre as deformaes devidas no esquema proporcionam duas equaes
que juntadas s de equilbrio esttico, permitem determinar as foras desconhecidas (reaes).
Fig. 33 (a,b, c)
Na realidade, a barra nem teve a deformao expressa na Fig. 33b, e, portanto no teve quevoltar para a sua posio inicial por meio da deformao Considerando a situao de equilbrio esttico
= Como = . 0.
= . 0 Temos: . 0. = .0.
= ...Dividindo a Eq. 22 pela seco transversal A:
= .. importante salientarmos que as equaes Eq. 23 e Eq.24 foram desenvolvidas para o caso em que a barra
est totalmente impedida de se deformarquando sujeita variao de temperatura.
Entretanto, pode ocorrer que uma barra quando sujeita a variao de temperatura pode ter uma
deformao parcial, que denominaremos , mas no quela que gostariade ter, conforme vimosna Eq. 2.20. Assim, a tenso que a barra ficar sujeita devido deformao que a barra quer , mas no
consegue: , .Considerando uma vez mais a condio de equilbrio esttico, ficamos com a seguinte equao:
=
= . 0. = . 0 Fig. 2.18c
Fig. 2.18b
Fig. 2.18a
(Eq. 2.21)
(Eq. 2.22)
(Eq. 2.23)
(Eq. 2.24)
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EXEMPLO 2.34
Uma barra de ao de 2,50 m de comprimento est firmemente engastada entre duas paredes. Se a tenso
na barra nula a 20C, determinar a tenso que aparecer ao descer a temperatura para - 20 C. A seco
de 12 cm2, = 1,17 x 10-5/C e E Ao = 2,1 x 106Kgf/cm2. Resolver o problema em dois casos:
a) Paredes completamente rgidas e indeformveis;
b) Paredes que cedem ligeiramente, diminuindo sua distncia em 0,5mm para uma diminuio a - 20 C, por efeito da trao que aparece na barra.
Soluo:
a) A barra quer ter a variao de comprimento = ..
= (1,17 . 105/) (250 ) (20 20)
= 0,117
Mas devido rigidez das paredes a barra no se deforma, pois aparece uma fora de trao para trazer a
barra de volta:
= = = = (0,117 ) (2,1. 106/) (12 )
250 = 11793,6() = = 982,8 /
b) A barra quer retrair de LT = 1,17, como a parede cede 0,5 mm a fora de reao queaparece na barra para vencer a diferena entre o que a barra quer retrair e o que ela consegue.
= 1,17 0,5 = 0,67 =
= (0,67 ) (2,1 10 6 /) (12 )2,5 10 = 6753,6
=6753,6
12 = 562,8 /
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EXEMPLO 2.35
A barra AB perfeitamente, ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura de T = 25C. Determinar
as tenses atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de -50 C. E = 2,1 x 106 Kgf/cm2,
= 12 x 10-6/C (Exemplo 2.06 Beer ; Johnston)
Aqui, temos duas seces AC, CB. A fora de reao Rser a mesma para as duas seces (P1= R; P2= R),
mas as tenses no, devido s reas serem diferentes.
LT= LN1+ LN2 onde A2= 2 A1; P1= P2= R; L1= L AC; L2= LCB
= 1 .11.1 + 2.22.2 = .1 (1 + 22 )(0,54 mm) (2,1 x 106kgf/cm2) (400 x 10-2cm2) = R(300 mm+ 300 mm/2)
R = 10080 kgfClculo das tenses na seco AB e BC:
Obs.: Embora a barra tenha deformao total igual a zero, cada seco tem uma deformao prpria.
Deformao na seco AC: devido variao de temperatura e da carga R
AC= T+ (AC ) AC= T + AC/E
AC= (12 x 10-6/C) (-75C) + (2520 kgf/cm 2)/ (2,1 x 106kgf/cm2)
AC= -9 x 10-4+ 12 x 10-4 AC= + 3 x 10
-4
LAC= (3 x 10-4) 300 mm LAC= + 0,09 mm
Deformao na seco CB: analogamente deformao em AC
CB= T+ (CB ) CB= T + CB/E
CB= (12 x 10-6/C) (-75C) + (1260 kgf/cm2)/ (2,1 x 106kgf/cm2)
CB= -9 x 10-4+ 6x 10-4 CB= -3 x 10
-4etwwertetwet2
LCB= (- 3 x 10-4) 300 mm LCB= - 0,09 mm
Portanto, a deformao TOTAL da barra = LAC + LBC = 0,09 mm -0,09 mm = 0
Soluo:
T = (-50 -25)C T = -75C
A barra quer ter a seguinte deformao:
LT= Lo T LT = (12 x 10-6/C) (600 mm) (-75 C)
LT= 0 54 mm
AC= 10080 kgf AC= 2520 kgf/cm2400 x10
-2
cm2
CB= 10080 kgf AC= 1260 kgf/cm2800 x10
-2
cm2
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EXEMPLO 2.36
Os trilhos de uma estrada de ferro tem 12 m de comprimento inicial e 1/8 de folga na montagem. Pede-se:
a) A folga para T1 = -20C;
b) A temperatura em que a folga se anula;
c) A tenso ocorrente nos trilhos para T3 = 47,5C
Dados E = 2,1 x 106kgf/cm2, = 11,8 x 10-6/C, To = 15C (ambiente)
a) = 1 8 + = . L.T 11,8. 106 .12000. 20 15
= 4,956 = 3,175 + 4956 = 8,131
b)
= . . 3,175 = 11,8. 106 . 12000. = 22,42
=
=
+
= 22,42
+ 15
= 37,42
C) Como a temperatura dada no item c) 47 C maior do que a temperatura necessria para eliminar a
folga, de 37,42 C, vai aparecer tenses na barra conforme clculos abaixo
= 11,80.106 . 12000. 47 15
= 4,60
(valor que a barra quer deformar com a temperatura de 47 C)
= 4,60 3,175 =
1,425 =
=
1,425 . 2,1.106
12000 = 249,4
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EXEMPLO 2.37
Determinar as tenses trmicas em cada trecho da estrutura de ao bi-engastada, escalonada e de
dimenses indicadas na figura, sendo que sofre uma variao de temperatura de 36C. Adotar E = 2,0 x 10 6
kgf/cm2, = 12,5 x 10-6/C
AAB= A ABC= 7/6 A ACD= 7/5 A
Soluo:
Como as paredes so perfeitamente rgidas e no cedem nada, a condio de equilbrio se apresenta:
= Devemos observar que a barra possui trs seces e, portanto a equao acima tem que ser utilizada para
cada uma destas seces. Ainda, a reao das paredes a mesma para todas as seces, que
denominaremos de R.
.
+
+
=
.
+
.
+
.
12,5.106
. 36.9000 = 2000 + 400076 +
30007
5
4,05 = 2,1.106 2000 + 3428,5 + 2142,8
=
4,05.2,1.1067571,3
= 1070 = 1070 = 10702
= 107076 = 917/
=1070
7 5 = 764/
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EXERCCIO 2.38
Seja um cilindro de ao e um cilindro vazado de alumnio, ambos de mesma altura e comprimidos por uma
fora P, for intermdio de uma placa rgida e indeformvel. Pede-se determinar:
a) Quais as tenses normais de compresso em cada cilindro?
b) Que acrscimo de temperatura far com que a carga P// passe a solicitar somente o cilindro de
alumnio?
Dados: Ao: A= 13,6 x 10-6/C , EA= 2,1 x 10
6kgf/cm2, AA=40 cm2
Alumnio: AL= 18,3 x 10-6/C , EAL= 7,4 x 10
6kgf/cm2, AAL=78,5 cm2
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2.14DIMENSIONAMENTO DEVIDO A CARGA AXIAL
Em nosso estudo anteriormente, admitimos que uma carga axial (trao ou compresso), produz tenses
uniformes. Na realidade, trabalhos com o conceito de tenso mdia, conforme vimos na Eq. 1.1.
= PA
Para dimensionar uma barra, ou uma estrutura qualquer, temos que garantir que a mxima tenso
resultante na barra, nunca seja superior TENSO ADMISSVEL, que tenso que suporta com segurana e
economia as cargas aplicadas, com as seguintes notaes:
ou adm
Assim, a Eq.1.01 tem que obedecer a seguinte condio:
=P
A
Condio de segurana
Obviamente, em todo projeto de engenharia, temos que levar em conta, no apenas o aspecto de
segurana, mas tambm o ASPECTO ECONMICO, impondo-se que a tenso no material a ser
dimensionado seja igual tenso admissvel.
Assim, no dimensionamento de uma barra sujeita a uma carga axial, temos:
= PA
Como para dimensionar necessitamos da dimenso da pea/estrutura, a Eq. 25 trabalhada para
encontrar a seco transversal:
=
O valor de A encontrado na equao acima a rea mnima que a estrutura/pea ter que ter para
suportar com segurana os esforos aplicados sobre ela.
(Eq. 2.25)
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EXEMPLO 2.39Determinar o dimetro necessrio para que a barra suporte com segurana uma carga de trao P = 10000
kgf. Dado = 800 Kgf/cm2
Soluo:
= 0 , =
= 0 = . 0.
= .0.
=
=
= 10000 kgf / 800 Kgf/cm2
= 12,5
Para seco circular macia: A = 2/4
= 4. = 4.12,5 = 15,91 = 3,99 40
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EXEMPLO 2.40
Dimensionar a barra metlica retangular da figura com 4 m de comprimento sujeita a uma carga de 15000
Kgf aplicada no ponto o. Quanto seco transversal a largura dever Ter o dobro da espessura. Desprezar
o peso prprio. Dado = 1200 Kgf/cm2.
Soluo:
=
=15000 12002
= 12,5
2
=
2
= 2
12,5 = 2 = 2,5
= 2 = 5,0 EXERCCIO 2.21
Determinar os dimetros das barras (1) e (2), para suportarem com segurana uma carga P de 20 000 Kgf,
sendo = 60. Dado = 1000 Kgf/cm2
Respostas:
Barra 1: d1= 5,05 cm Barra 2: P2= 11.547,3 Kgf; d2 = 3,83 cm
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EXERCICO 2.42
No sistema representado na figura determinar:
a) O dimetro (d) da pea,= 1200 kgf/cm2
b) A quantidade de parafusos necessrios para a fixao da pea dp = 10 mm,
= 1 400 kgf/cm2
Respostas:
Pea: dp= 3,71 cm Parafusos: Ap= 0,785 cm2; Pp = 1.100 Kgf; Np = 12
EXERCCIO 2.23
Um cilindro de ao e um tubo de cobre so comprimidos entre os pratos de uma prensa. Determinar as
tenses no ao e no cobre, e tambm o encurtamento relativo, sabendo-se que P = 50.000 kgf, d = 10
cm e D = 20 cm
Respostas:
Aaco= 25 ; Acu= 75
Pcu== 1,71 Pao
Pao= 18.423 kgf; Pcu= 31.566 kgf
ao= 234,50 kgf/cm2; cu= 234,50 kgf/cm
2
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EXEMPLO 2.44
Considere-se um pilar de concreto armado de 2,5 m de altura e seco quadrada de lado a = 30 cm, armado
com quatro barras de ao de polegada, colocadas simetricamente em relao ao eixo vertical. O pilar
suporta a carga axial, de compresso, de 60 Tf, aplicada por intermdio de uma placa absolutamente rgida.
Pergunta-se quais as tenses no ao e no concreto?
E Ao= 2,1 x 106kgf/cm2, EC= 1,8 x 105kgf/cm2
Soluo:
Sejam PA e PC, respectivamente, as partes de P que solicitam o ao e o concreto:
P= PA+ PC= 60.000kgf (1)
A equao acima: duas incgnitas para uma equao estaticamente indeterminado
A condio de deformao nos fornecer a segunda equao, pois como aps fundir o pilar, o ao e
concreto formam uma s estrutura e dessa forma, a deformao de ambos so iguais:
LA= LC(2)
.
.=
.
.
Clculo das reas:
rea de uma barra de Ao:
dA= 0,5 (pol) .2,54 cm = 1,27 cm AA= (1,27 cm)2/4 1,267 cm2 (rea de cada barra)
rea das quatro barras de ao A = 4 x 1,267 cm2 = 5,068 cm2
rea do concreto:
AC= (30 cm.30 cm) - AA AC= 900 cm2- 5,068 cm2 AC= 894,93 cm
2
2,1. 106 2. 5,068 = 1,8.105 . 894,932
Resolvendo a equao acimaPC= 15,13 PA (3)
Substituindo (3) em (1): PA+ 15,13 PA= 60000 kgf
PA= 3719,78 kgf PC= 56280,22 kgf
A= 733,68 Kgf/cm2 C= 62,89 Kgf/cm
2
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EXEMPLO 2.45Determinar para o eixo circular vazado os dimetros interno ( ) e dimetro externo ( ) sabendo-se que arelao De/di= 2.
C= -1.000 Kgf/cm2
Soluo:
= = = 20.000 kgf / 1.000 Kgf/cm = 20 Para seco circular vazada temos:
A =4
ComoDe/di= 2 De= 2 di
Respostas:
= 2,91
= 29,1
;
= 58,2
EXEMPLO 2.46
Determinar para o eixo do problema anterior com os seguintes dados:
P = 30 000 Kgf; adm= 1 250 Kgf /cm2, e = 0,7 cm (espessura da parede do tubo)
= PA
1250
2 =
30.000
= 24
Mas
A =4
Uma equao e duas incgnitas mas podemos relacionar os dimetros externo e dimetro interno:
= + 2 = + 2.0,7 = + 1,4
Substituindo temos:
= 4 + 1,4 =
4+2 , 8 + 1,96
24 2. 4 = 2,8 + 1,9630,56 1,96 = 2,8
= 10,21 = 11,61
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EXERCCIOS
EXERCCIO 2.47
A coluna de concreto reforada com quatro barras de ao, cada uma com dimetro de 18 mm.
Determinar a tenso mdia do concreto e do ao se a coluna submetida a uma carga axial de 800 kN.
Eao = 200 GPa e Ec = 25 GPa. (Problema 4.42 R.C. Hibbeler)
Fig. Exerccios 2.26 / 2.27
Respostas: tenses mdias C= 8,24 MPa; AO= 65,9 MPa
EXERCCIO 2.48
A coluna mostrada na figura anterior fabricada de concreto com alta resistncia (Ec=29 GPa) e quatro
barras de reforo de ao A36. Se a coluna submetida a uma carga axial de 800 kN, determine o dimetro
necessrio a cada barra para que um quarto da carga seja sustentada pelo ao e trs quartos pelo concreto.(Problema 4.43 R.C. Hibbeler)
Resposta: d= 36,34 mm
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EXERCCIO 2.49
Os arames de ao AB e AC suportam a massa de 200 kg. Supondo que a tenso normal admissvel para eles
seja adm= 130 MPa, determinar o dimetro requerido para cada arame. Alm disso, qual ser o novo
comprimento do arame AB depois que a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformao de AB
como sendo 750 mm. Eao = 200 GPa. (Problema 3.18H.C. Ribbeler)
Respostas: dAB= 3,54 mm; dAC= 3,23 mm; novo comprimento LAB= 750,488 mm
EXERCCIO 2.50
As duas hastes de alumnio suportam a carga vertical P = 20 kN. Determinar seus dimetros requeridos se o
esforo de trao admissvel para o alumnio for adm
= 150 MPa. (Problema 1.112 R.C. Hibbelar)
Respostas: dAB= 15,5 mm; dAC= 13,1 mm
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CAPTULO 3
TENSES EM UM PLANO OBLQUO AO EIXO E A UM CARREGAMENTO GERAL
(Breves consideraes)
3.1 - TENSES EM UM PLANO OBLQUO AO EIXO
J tivemos a oportunidade de estudar que:
1- Foras normais (axiais) aplicadas em uma barra acarretam tenses normais, conforme figura A, abaixo
2- Foras transversais aplicadas em rebites, pinos, acarretam tenses de cisalhamento. Figura B, abaixo
As afirmaes acima so verdadeiras, mas valem para planos normais aos eixos das barras e pinos,
conforme nos mostra as Figuras 3.01 e 3.02.
Fig. 3.01Foras Axiais aplicadas em uma barratenses normais
Figura 3.02Foras transversais aplicadas em um rebitetenses de cisalhamento
Estudaremos agora as tenses resultantes de uma carga axial em um plano oblquo de uma barra.
conforme Figura 2.03 abaixo:
Figura 3.03fora axial em um plano obliquo de uma barra
Para melhor visualizar o que ocorre na situao proposta pela Fig. 2.03, desmembramos as componentes
da fora axial no plano, conforme Figura 2.04 componentes de foras e tenses normais em um plano
obliquo de uma barra.
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Fig. 3.04 (a) Fig. 3.04 (b) Fig. 3.04 (c)
Fazendo um corte obliquo na Fig. 2.04 (a), podemos calcular as componentes de P:i) componente F - normal seco obliqua) e
ii) componente V -cisalhamento seco obliqua
Fora normal seco obliqua: F = P. Cos (Eq. 3.1).
A tenso normal mdia ()na seco A dada por: =
J a componente de cisalhamento V: V = P. Sen (Eq. 3.3)
A tenso cisalhamento
= Chamando de Ao a rea da seco normal e A a rea da seco obliqua, temos:
Ao = A.cos (Eq. 3.5)
Ao = rea da seco normal ao eixo A= rea da seco oblqua
Substituindo as equaes (3.1) e (3.5) na equao (3.3):
= . =.
Substituindo as equaes (3) e (5) na equao (4):
= .
cos = .
.
Das equaes (3.6) e (3.7) verificamos:
= Maxse = 0
Max = PAo
= Maxse = 45
(Eq. 3.2)
(Eq. 3.4)
(Eq. 3.6)
(Eq. 3.7)
(Eq. 3.7)
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= 0 se = 0
= 90
= 45 =
. 45. 45 = . 2
2
2. 222 = (Eq.3.8)
= 45 = .cos2 45 = (Eq.3.9)A Figura 3.05, sintetiza as discusses realizadas acima:
Fig. 2.3Possibilidades de tenses em uma barra submetida fora axial
Obs.: Para o clculo das foras normais (F) e de cisalhamento (V) para a seco obliqua, foi tomado comosendo o ngulo adjacente entre a fora P (para a seco reta) e a fora normal F; ou de outra maneira, o
ngulo oposto entre a fora P e a fora cortante V.
Fig. 3.05 (a)Carga Axial em umabarra axial.
Fig. 3.05 (b)Tenses para = 0.
Fig. 3.05 (c)Tenses para = - 45o.
Fig. 3.05 (d)Tenses para = + 45o.
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EXEMPLO 3.1
A barra mostrada na Figura 3.6 tem seo transversal quadrada para a qual a profundidade e a largura so
de 40 mm. Supondo que seja aplicada uma fora axial de 800 N ao longo do eixo do centride da rea da
seo transversal da barra, determinar a tenso normal mdia e a tenso de cisalhamento mdia que
atuam sobre o material (a) no plano da seo a-a e (b) no plano da seo b-b.
Figura 3.06
Soluo:
Parte (a): Na barra seccionada, pode-se verificar a carga interna resultante consiste apenas na fora axialP = 800 N.
= PA
=800
0,0016
N
m2= 500.000
N
m2= 500 KPa
As Figuras 3.7 e 3.8 mostram a fora axial aplicada na seco transversal e a tenso normal na seco
transversal respectivamente
Figura 3.07
Figura 3.08
Parte (b): Se a barra for seccionada ao longo de b-b, o diagrama de corpo livre do segmento esquerdo ser
como o mostrado na figura. Nesse caso, tanto a fora normal N como a fora de cisalhamento Vatuaro
sobre a rea seccionadaa Figura 3.9 nos mostra as componentes normais (N) e cortante (V) para a seco
obliqua.
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Fig.3.09
Utilizando como referncia os eixos x e y:
O ngulo = 30 tem o mesmo posicionamento para as frmulas desenvolvidas anteriormente.
Assim,
Fx = 0 Fy = 0
N 800cos30 = 0 V 800 sen30 = 0N = 800cos30 V = 800sen30N = 692,82 N V = 400N
Clculo das tenses normais mdia e de cisalhamento mdia para a seco obliqua b-b:
rea da seo transversal obliqua:
Ao = A.cos A=cos A = 0,0016 m2/ cos30 A = 0,001847 m2
Tenso normal mdia na seco b-b:
= NA = 692,80,001847 KNm2 = 375.094 N
m2= 375,1 KPa
Tenso de cisalhamento mdia na seco b-b
= VA
=400
0,001847KN
m2
= 216.567 Pa = 216,5 KPaA Figura 3.10 nos indica os sentidos das tenses normais e de cisalhamento para a seco obliqua b-b:
Fig. 3.10
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3.2TENSES PARA UM CARREGAMENTO GERAL
At o momento, estudamos os casos em que a carga era axial em barras ou ainda pinos submetidos carga
transversal. Mas, na prtica, a maior parte das peas de estruturas e componentes de mquinas se encontra
sob a ao de condies de carregamento mais complexas.
Para visualizar, tomemos o caso geral (Fig. 3.11)um cubo de lado a, onde aparecem todas as possibilidades
possveis de tenso: normal e de cisalhamento, em todas as faces do cubo.
Fig. 3.11
Fig. 3.12
As componentes x, y, z so tensesnormais, que atuam nas faces perpendicularesaos eixos x, y e z respectivamente, e as seis
componentes de cisalhamento xy, xz, yx,yz, zy, zxque atuam da seguinte maneira:por exemplo, xysignifica a componente y datenso de cisalhamento que atua na faceperpendicular ao eixo x, do mesmo modo que
yz, significa a componente z da tenso decisalhamento que atua na face perpendicularao eixo y, e assim por diante. Nas trs faces docubo que no so visveis, ocorrem tensesiguais e de sentidos opostos.
CONDIES DE EQUILBRIO: Considerando o
diagrama de corpo livre do cubo Fig. 3.12
podemos obter as foras normais e cortantes
nas vrias faces, multiplicando as
componentes das tenses pela rea de cada
face.