precalculo vp cap1
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mat basicaTRANSCRIPT
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Pre-Calculo
Francisco Edson da Silva
Simone Batista
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Conteudo
Unidade 1 2
1 Elementos da Linguagem e da Logica Matematica 2
Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1 Principais smbolos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Linguagem e logica matematicas: proposic~oes e conectivos . . . . . . . . . 7
1.2.1 Proposic~oes e Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Analise dos valores logicos de proposic~oes compostas . . . . . . . . 12
1.3 Demonstrac~oes em Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Demonstrac~ao direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Demonstrac~ao indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Em resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Questionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
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Unidade 1
1
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Captulo 1
Elementos da Linguagem e da Logica
Matematica
Introduc~ao
O nosso livro tem por principal objetivo fornecer ao estudante uma revis~ao
aprofundada dos principais topicos de Matematica Basica que s~ao necessarios para se
comecar a estudar o Calculo Diferencial e Integral, ou seja, de revisar boa parte do
conteudo de Matematica estudado no Ensino Medio, de forma que o estudante possa
acompanhar, sem grandes percalcos, os conteudos de Matematica do ensino universitario
das areas das cie^ncias e da tecnologia. Ele foi pensado para que o estudante possa estuda-lo
e acompanha-lo sozinho ou mesmo para ser o livro-texto de algum componente curricular
de Matematica que anteceda os cursos de Calculo Diferencial e Integral.
A revis~ao do conteudo de Matematica do Ensino Medio abrange todo o livro,
que apresenta alguns poucos topicos que n~ao s~ao de revis~ao. Tal revis~ao e iniciada
apresentando-se algumas noc~oes sobre a linguagem e a logica matematicas neste primeiro
captulo que tem como principais objetivos os tre^s listados a seguir:
} apresentar e familiarizar o estudante com os principais smbolos da linguagemmatematica;
} apresentar e familiarizar o estudante com elementos da logica matematicanecessarios e essenciais ao estudo e entendimento de todo o livro e do conteudo
dos outros componentes curriculares da matematica universitaria;
} introduzir o estudante no a^mbito das demonstrac~oes matematicas.
Todos os topicos e conceitos apresentados neste captulo s~ao de extrema importa^ncia
para o estudo e aprendizado de Matematica no Ensino Superior e, por isto, devem ser
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estudados/revisados com cuidado e atenc~ao. Ao nal do captulo o estudante deve estar
apto a comecar a acompanhar os captulos seguintes revendo e realmente aprendendo os
conteudos de Matematica que ser~ao revisados e estudados em todo o livro.
1.1 Principais smbolos matematicos
Para um melhor entendimento das denic~oes e conceitos matematicos, e necessario o
conhecimento de sua simbologia, ou seja, de sua linguagem.
O estudante, com certeza, ja foi apresentado a alguns smbolos matematicos na sua
vida acade^mica anterior e, com isso, consegue ler e entender ou, pelo menos, intuir o
signicados de algumas frases e express~oes matematicas.
Considere as seguintes express~oes matematicas:8>>>>>:y = x+ 2 ;
x 2 IR ;0 < x p2 ;A = fxj x 2 IR ^ 0 x 5g :
Provavelmente, o estudante entendeu ou intuiu o signicado das express~oes acima. No
entanto, intuir o signicado de uma express~ao n~ao e suciente.
Para estudarmos e entendermos os conceitos matematicos apresentados neste livro,
mesmo a maioria deles sendo topicos de revis~ao, e necessario sabermos o signicado
de diversos smbolos que aparecer~ao no decorrer dos captulos. O conhecimento e
entendimento desses smbolos matematicos e extremamente necessario para entendermos
e, muitas vezes, interpretarmos a frase ou express~ao matematica em que eles aparecem.
Tomemos como exemplo uma frase matematica bem simples: y =px j x 0. A
partir do conhecimento de seus smbolos, essa frase matematica pode ser lida como \y e
igual a raz quadrada de x tal que x e maior ou igual a zero".
Tambem podemos ter o problema inverso, em que uma frase matematica esta escrita
na linguagem do nosso cotidiano (no caso, o portugue^s) e precisamos reescreve^-la como
uma frase matematica. Por exemplo, \x e numero real positivo maior que sete", que pode
ser reescrita como: x 2 IRj x > 7.Diversos outros exemplos podem ser apresentados aqui e aparecer~ao em todos os
captulos de nosso livro. Para podermos comecar a entender e interpretar ou mesmo
reescrever as frases e express~oes matematicas constantes no livro, temos a tabela 1.1 em
que apresentamos uma pequena relac~ao dos principais smbolos matematicos.
Na primeira coluna da tabela 1.1, temos o smbolo matematico; na segunda coluna, o
seu nome; e, na terceira coluna, a forma como se le^ o smbolo.
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Smbolo Nome Le^-se como
+ adic~ao mais
{ subtrac~ao menos
, multiplicac~ao vezes, : divis~ao dividido por= igualdade e igual a
6= desigualdade e diferente de> comparac~ao maior que
< comparac~ao menor que
comparac~ao maior ou igual a comparac~ao menor ou igual a
=, ', igualdade aproximada aproximadamente igual mais ou menos mais ou menos menos ou mais menos ou mais
:=, denic~ao e denido como, e equivalente aj, : tal que tal que) portanto portanto2 relac~ao de pertine^ncia pertence a8 quanticac~ao universal para todos, para qualquer, para cada9 quanticador existencial existe@ quanticador existencial n~ao existe1 innito innito^ conjunc~ao e_ disjunc~ao ou: Negac~ao n~ao
!, ) implicac~ao implica, se ... ent~ao$, , equivale^ncia material se e somente seIN conjunto dos numeros naturais conjunto dos numeros naturais
Z conjunto dos numeros inteiros conjunto dos numeros inteirosIQ conjunto dos numeros fracionarios conjunto dos numeros fracionarios
II conjunto dos numeros irracionais conjunto dos numeros irracionais
IR conjunto dos numeros reais conjunto dos numeros reais
C conjunto dos numeros complexos conjunto dos numeros complexos
Tabela 1.1: Tabela com alguns dos principais smbolos matematicos
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Na tabela 1.1, vemos que o smbolo `:' pode ser usado para representar `divis~ao'
e tambem para representar `tal que'. Para evitar confus~ao, geralmente, utilizamos em
nosso livro o smbolo `' para representar a divis~ao ou a representamos em forma defrac~ao. E, mais ainda, damos prefere^ncia a usar o smbolo `j' para representar `tal que'.
A tabela 1.1 tem somente smbolos basicos e essenciais ao estudo de Matematica e
pode ser usada para consulta futura. No entanto, por todos esses serem smbolos t~ao
basicos e aparecerem largamente em todo o texto, acreditamos que ao nal do segundo
ou terceiro captulo do livro o estudante ja tera memorizado a maioria deles e raramente
precisara voltar a tabela para consultas posteriores.
Para ajudar a xar melhor, na mente do estudante, esses smbolos e seus signicados,
vejamos o exemplo 1.1.
Exemplo 1.1: Diga como se le^ cada express~ao matematica a seguir:
a) 2 + 3 = 5.
Resposta: Le^-se `dois mais tre^s e igual a cinco' e signica que somando o
numero dois ao numero tre^s vamos obter como resultado o numero cinco.
b) 7 3 6= 5.Resposta: Le^-se `sete menos tre^s e diferente de cinco'.
A barra \/" e usada sobre um smbolo matematico para inverter (negar) o seu
signicado, como podemos ver pelos smbolos 6= e @ da tabela 1.1. A barra \/"e utilizada em diversos outros smbolos matematicos que aparecer~ao em nosso
livro para criar os smbolos matematicos correspondentes as suas negac~oes.
c) 7 + (3) = 4.Resposta: Le^-se `sete mais menos tre^s e igual a quatro'.
Como podemos observar, o smbolo \" e usado para representar a subtrac~aoe tambem para denotar numeros negativos. Outra forma de escrever esta frase
seria 7 3 = 4, onde vemos que a subtrac~ao pode ser entendida como a adic~aode um numero negativo.
d) 5 3 > 10.Resposta: Le^-se `cinco vezes tre^s e maior que dez'.
e) 12 : 3 < 7.
Resposta: Le^-se `doze dividido por tre^s e menor que sete'.
Como ja foi dito, preferiremos escrever, em nosso livro, este tipo de divis~ao
como 12 3 < 7 ou 123
< 7 ou, ainda, por 12=3 < 7.
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f) y = x.
Resposta: Le^-se `x e igual a y' e signica que x e y s~ao nomes diferentes para
a mesma quantidade.
g) 0 < x 9.Resposta: Le^-se `zero e menor que x que e menor ou igual a nove' ou ainda
`x e maior que zero e menor ou igual a nove'.
h) 20 6 ' 3; 3.Resposta: Le^-se `vinte dividido por seis e aproximadamente igual a tre^s
vrgula tre^s'.
i) 20 6 = 3; 33 : : : := 3; 3.Resposta: Le^-se `vinte dividido por seis e igual a dzima periodica tre^s vrgula
tre^s tre^s retice^ncias que e denida como tre^s vrgula tre^s sob barra'.
j) A = fx 2 INj 0 < x < 10g.Resposta: Le^-se `o conjunto A e o conjunto dos elementos x pertencente aos
naturais tal que zero e menor que x que e menor que dez'.
O entendimento e maiores explicac~oes sobre a Teoria Geral de Conjuntos, a
notac~ao de conjunto e seus smbolos ser~ao vistos no proximo captulo.
k) 8x 0.Resposta: Le^-se `para todo x maior ou igual a zero'.
l) 9n 2 IN : n2 + 1 = 10.Resposta: Le^-se `existe n pertencente aos numeros naturais tal que n ao
quadrado mais um e igual a dez'. Essa express~ao pode, tambem, ser escrita
como 9n 2 INj n2 + 1 = 10.m) lim
x!1ex = 0.
Resposta: Le^-se `o limite de e elevado a menos x quando x tende a menos
innito e igual a zero', ou ainda, `o limite, quando x tende a menos innito, de
e elevado a menos x e igual a zero'.
A denic~ao e estudo do limite de func~oes n~ao ser~ao abordados em nosso livro.
Esse assunto sera visto somente em um primeiro texto ou curso de Calculo
Diferencial e Integral.
n) x = 2) x = 2 _ x = 2.Resposta: Le^-se `x igual a mais ou menos dois implica que x e igual a dois
ou x e igual a menos dois'.
o) x2 1 = 0, x = 1.Resposta: Le^-se `x ao quadrado menos um e igual a zero se e somente se x e
igual a mais ou menos um'.
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p) @x 2 IRj x2 + 1 = 0.Resposta: Le^-se `n~ao existe x pertencente aos numeros reais tal que x ao
quadrado mais um e igual a zero'.
Muitos outros exemplos de uso dos smbolos da tabela 1.1 ser~ao vistos por todo o livro.
Os principais conectivos da logica matematica (^, _, :, ) e ,), apesar de ja teremsido mostrados na tabela 1.1, ser~ao estudados na proxima sec~ao. Por outro lado, os outros
smbolos matematicos referentes a teoria de conjuntos, alem dos poucos apresentados
na tabela 1.1, ser~ao vistos e explicados no proximo captulo do livro. E, ainda, outros
smbolos matematicos necessarios ao estudo do conteudo de nosso livro e que n~ao constam
na tabela 1.1 ser~ao denidos e estudados a medida que forem apresentados no decorrer
do livro.
1.2 Linguagem e logica matematicas: proposic~oes e
conectivos
Nesta sec~ao usaremos alguns conhecimentos previos dos estudantes a respeito dos
conjuntos numericos, mesmo que tais topicos e assuntos so venham a ser devidamente
revisados nos proximos captulos. A maior parte dos conhecimentos previos utilizados
dizem respeito aos numeros naturais, que ser~ao revisados no captulo 3, mas que nos s~ao
familiares desde antes de comecarmos a frequentar qualquer escola.
A Matematica tem uma linguagem, considerada universal, que tem uma logica e regras
proprias. Para compreendermos e podermos usar melhor os recursos que a Matematica
nos oferece, e muito importante conhecer as regras basicas da linguagem e da logica
matematica. Tais regras, em muitos casos, diferem das regras da linguagem cotidiana.
Portanto, usar as regras da linguagem cotidiana para avaliar express~oes e sentencas logicas
da Matematica pode acabar levando a enganos serios.
Podemos tomar como exemplo de interpretac~oes cotidiana e matematica que diferem
no signicado, as interpretac~oes das seguintes frases:
(a) Se Paulo ganhar na loteria, ent~ao fara uma doac~ao ao hospital infantil.
(b) Se Paulo fez uma doac~ao ao hospital infantil, ent~ao ele ganhou na loteria.
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Pela regra comum de interpretac~ao da linguagem cotidiana, se a frase (a) e verdadeira
ent~ao signica que a frase (b) tambem e verdadeira. Mas, mesmo que a frase (a) seja
verdadeira, a frase (b) n~ao precisa ser verdadeira, pois Paulo pode ter feito uma doac~ao
ao hospital infantil mesmo sem ter ganho na loteria.
Nesta sec~ao do captulo vamos entender as regras da linguagem e da logica matematica
e aprender a avaliar as frases ou proposic~oes matematicas estudadas. Tais regras da
logica matematica ser~ao muito uteis e necessarias ao estudo da matematica universitaria,
sobretudo para sua aplicac~ao a area da informatica, que e, provavelmente, dentre as areas
das cie^ncias e da tecnologia, aquela que faz mais uso das regras da logica matematica.
1.2.1 Proposic~oes e Conectivos
Na linguagem matematica, as frases do tipo (a) e (b), usadas na subsec~ao anterior,
s~ao chamadas de proposic~oes.
Proposic~ao: e uma declarac~ao com sentido completo sobre alguma coisa, que
pode ser classicada como verdadeira ou falsa.
Os termos \Verdadeiro" e \Falso" s~ao denominados valores logicos da proposic~ao. Ha
duas regras fundamentais adotadas pela logica matematica no estudo dos valores logicos
de uma proposic~ao matematica:
Princpio da n~ao contradic~ao: uma proposic~ao n~ao pode ser \Verdadeira"
e \Falsa" ao mesmo tempo;
Princpio do terceiro excludo: uma proposic~ao ou e \Verdadeira" ou e
\Falsa", n~ao havendo uma terceira opc~ao de classicac~ao.
Antes de estudarmos as proposic~oes e aprendermos a determinar seus valores logicos,
devemos aprender a classica-las.
As proposic~oes podem ser classicadas em dois tipos: simples ou composta.
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Proposic~ao simples: e uma proposic~ao que n~ao apresenta nenhuma outra
proposic~ao como parte de si mesma.
Proposic~ao composta: e uma proposic~ao formada pela combinac~ao de duas
ou mais proposic~oes simples.
As proposic~oes compostas s~ao formadas pela combinac~ao de proposic~oes simples
atraves de termos denominados conectivos. Ou seja:
Conectivos: s~ao os termos usados para combinar proposic~oes simples e formar
proposic~oes compostas.
De acordo com a logica matematica, os principais termos conectivos s~ao: \e", \ou",
\n~ao", \se... ent~ao" e \se e somente se".
Outras duas denic~oes que devemos destacar s~ao:
Operac~ao ou operac~ao logica: e a combinac~ao de proposic~oes, atraves de
conectivos logicos, para formar uma proposic~ao composta.
Operadores: s~ao os termos conectivos usados para formar proposic~oes com-
postas em uma operac~ao logica.
Os operadores s~ao representados atraves de smbolos matematicos. Vejamos a tabela
1.2, onde temos o nome da operac~ao que combina as proposic~oes simples em uma
proposic~ao composta, o conectivo que e o operador de tal operac~ao e o smbolo matematico
que representa tal conectivo, smbolos estes que ja apareceram na tabela 1.1.
Como vimos na tabela 1.1, o conectivo da operac~ao condicional (`Se . . . ent~ao. . . ')
tambem pode ser representado pelo smbolo !, smbolo este que, praticamente, n~aoutilizaremos neste livro. Da mesma forma, o conectivo da operac~ao bicondicional (`Se
e somente se') tambem pode ser representado pelo smbolo $, que, praticamente, n~aousaremos em nosso livro.
Para entender as operac~oes da logica matematica e o uso dos conectivos, vamos
considerar que s~ao dadas as proposic~oes p e q e podemos combina-las e formar novas
proposic~oes compostas com o uso dos conectivos.
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Operac~ao Conectivo Smbolo
Conjunc~ao E ^Disjunc~ao Ou _Negac~ao N~ao :Condicional Se . . . ent~ao )Bicondicional Se e somente se ,
Tabela 1.2: Tabela das operac~oes da logica matematica
e seus respectivos conectivos
Na tabela 1.3, tem-se a representac~ao das operac~oes logicas realizadas entre as
proposic~oes p e q e tambem a forma como se le^ as frases matematicas que representam
tais operac~oes.
Operac~ao Representac~ao Le^-se
A conjunc~ao de p e q p ^ q p e qA disjunc~ao de p e q p _ q p ou qA negac~ao de p :p N~ao pA condicional de p e q p) q Se p ent~ao qA bicondicional de p e q p, q p se e somente se q
Tabela 1.3: Tabela com exemplos de combinac~oes
de proposic~oes simples usando conectivos para formar
proposic~oes compostas
Vamos aos exemplos 1.2 e 1.3 para xarmos melhor tais conceitos e denic~oes.
Exemplo 1.2: Classique cada proposic~ao a seguir como proposic~ao simples ou
proposic~ao composta. No caso das proposic~oes compostas, identique a operac~ao
usada para combinar as proposic~oes simples e forma-las.
a) O Sol e uma estrela.
Resposta: Proposic~ao simples.
b) Eu estudo calculo.
Resposta: Proposic~ao simples.
c) Eu tenho um carro.
Resposta: Proposic~ao simples.
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d) Jo~ao e magro e Jose e alto.
Resposta: Proposic~ao composta por conjunc~ao.
e) Maria e professora e atleta.
Resposta: Proposic~ao composta por conjunc~ao.
f) Maria foi ao shopping ou ao cinema.
Resposta: Proposic~ao composta por disjunc~ao.
g) O Sol n~ao e uma estrela.
Resposta: Proposic~ao composta por negac~ao.
h) N~ao passamos de ano.
Resposta: Proposic~ao composta por negac~ao.
i) Se Carla e meteorologista, ent~ao sabe fazer previs~ao do tempo.
Resposta: Proposic~ao composta condicional.
j) Jose sera aprovado se e somente se ele estudar bastante.
Resposta: Proposic~ao composta bicondicional.
Exemplo 1.3: Reescreva as proposic~oes a seguir em linguagem matematica.
a) Um numero somado a ele mesmo e igual ao dobro dele.
Resposta: Em linguagem matematica, a proposic~ao apresentada e a equac~ao:
x+ x = 2x
b) A soma de dois numeros naturais e um numero natural.
Resposta: A proposic~ao apresentada pode, ainda, ser reescrita em liguagem
do cotidiano para identicarmos mais facilmente a sua forma matematica.
Podemos, inicialmente, reescreve^-la como uma proposic~ao condicional em
linguagem do cotidiano: Se m e n s~ao numeros naturais, ent~ao sua soma
e um numero natural. Desta forma, e mais facil vermos que, em liguagem
matematica, temos:
m;n 2 IN) (m+ n) 2 IN :
c) A raiz quadrada de 1 n~ao e um numero real.Resposta: Essa proposic~ao, em linguagem matematica, e:
p1 62 IR :
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d) Se um numero real ao quadrado e igual a 1, ent~ao esse numero e igual a 1 ou
a 1.Resposta: Podemos escrever que:
x 2 IR ^ x2 = 1) x = 1 :e) Se x e um numero real, ent~ao a raiz quarta de x e um numero real.
Resposta: Podemos escrever que:
x 2 IR) 4px 2 IR :
O exemplo 1.3 e apenas para que o estudante perceba que precisara, muitas vezes,
traduzir frases do cotidiano para a linguagem matematica e n~ao somente o inverso. Demos
apenas cinco proposic~oes, mas diversas outras proposic~oes e frases aparecer~ao em nosso
livro, mesmo que n~ao as explicitemos como exemplos ou problemas a serem resolvidos.
Perceba tambem que, ao contrario das proposic~oes dos outros itens, a proposic~ao do
item (e) do exemplo 1.3 e falsa. Lembre-se que uma frase ou proposic~ao n~ao precisa ser
verdadeira para que possamos escreve^-la em linguagem matematica.
1.2.2 Analise dos valores logicos de proposic~oes compostas
Dada alguma proposic~ao composta por duas ou mais proposic~oes simples, devemos
analisa-la e atribuir o seu valor logico (verdadeiro ou falso).
A analise da proposic~ao composta para atribuic~ao de seu valor logico deve ser feita
a partir do princpio da n~ao contradic~ao e do princpio do terceiro excludo. Assim, o
estudante deve ter em mente esses dois princpios ao analisar qualquer proposic~ao logica.
Para xarmos e exercitarmos a analise de proposic~oes logicas, bem como para
comecarmos a nos familiarizar com os procedimentos para demonstrac~oes (assunto da
proxima sec~ao) vamos analisar alguns exemplos de proposic~oes compostas a partir da
aplicac~ao dessas cinco operac~oes logicas a proposic~oes simples. Vamos comecar pelo tipo
considerado mais comum entre as proposic~oes compostas que aparecem na Matematica,
a proposic~ao condicional ou proposic~ao de implicac~ao.
1.2.3.1 Proposic~ao condicional ou proposic~ao de implicac~ao
Dadas duas proposic~oes p e q (que podem ser simples ou compostas), uma proposic~ao
composta do tipo `Se p, ent~ao q' e uma das formas mais comuns de expressarmos
proposic~oes matematicas.
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Dizemos que as proposic~oes p e q representam condic~oes ou propriedades.
Nas proposic~oes do tipo `Se p, ent~ao q', a condic~ao p, ou seja, a condic~ao que vem
logo apos o `Se' e chamada de hipotese da proposic~ao e a condic~ao q, a que aparece
imediatamente apos o `ent~ao', e chamada de tese da proposic~ao.
O motivo da proposic~ao condicional tambem ser chamada de proposic~ao de implicac~ao
e porque esse tipo de proposic~ao, como mostrado na tabela 1.3, pode ser representada por
meio da notac~ao: p) q.Podemos tomar como exemplos a serem analisados algumas proposic~oes condicionais
como as frases a seguir:
A1: Sem e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a somam+n e um numero
natural par.
A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo
de 4.
A3: Sem e um numero natural tal quem3 = 5, ent~aom e um numero natural
mpar.
Na proposic~ao A1, a hipotese e a condic~ao `m e n s~ao numeros naturais mpares', e a
tese e a condic~ao `a soma m+ n e um numero natural par'. No caso da proposic~ao A2, a
condic~ao `m e um numero natural par' e a hipotese, e `m e um multiplo de 4' e condic~ao
de sua tese. Ja no caso da proposic~ao A3 temos que `m e um numero natural tal que
m3 = 5' e a hipotese e `m e um numero natural mpar' e sua tese.
Ao analisar as proposic~oes A1, A2 e A3 devemos determinar se elas s~ao verdadeiras ou
falsas, de forma que a armac~ao de que qualquer uma delas ou e verdadeira ou e falsa
tenha um sentido preciso. Para isso, precisamos de alguns conceitos e denic~oes simples.
Devemos saber que se um objeto matematico satisfaz a condic~ao dada pela hipotese
dizemos, simplesmente, que o objeto satisfaz a hipotese da proposic~ao. E, analogamente,
se um objeto matematico satisfaz a condic~ao dada pela tese, dizemos que o objeto satisfaz
a tese da proposic~ao.
Um objeto matematico que satisfaz a hipotese e a tese de uma proposic~ao e denominado
exemplo. Ja um objeto matematico que satisfaz a hipotese de uma proposic~ao, mas n~ao
satisfaz a sua tese e chamado de contra-exemplo. Ou seja:
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Exemplo para uma proposic~ao de implicac~ao: e um objeto matematico que
satisfaz a hipotese e a tese da proposic~ao.
Contra-exemplo para uma proposic~ao de implicac~ao: e um objeto
matematico que satisfaz a hipotese da proposic~ao e n~ao satisfaz a tese dessa
proposic~ao.
Por exemplo, vemos que m = 8 e um objeto matematico que satisfaz tanto a hipotese
quanto a tese da proposic~ao A2, pois e um numero natural par e tambem e multiplo de
4, portanto, m = 8 e um exemplo da proposic~ao A2. Ja m = 10 e um objeto matematico
que satisfaz a hipotese da proposic~ao A2 (e um numero natural par), mas n~ao satisfaz a
sua tese (n~ao e multiplo de 4), por isso e um contra-exemplo para a proposic~ao A2.
Quando uma proposic~ao, como A2, admite pelo menos um contra-exemplo, dizemos
que a proposic~ao admite contra-exemplos. E, analogamente, quando n~ao ha nenhum
objeto matematico que seja contra-exemplo para a proposic~ao, dizemos que a proposic~ao
n~ao admite contra-exemplos.
Com estas denic~oes e conceitos podemos denir quando uma proposic~ao de implicac~ao
e verdadeira ou falsa:
Proposic~ao verdadeira: e a proposic~ao que n~ao admite contra-exemplos;
Proposic~ao falsa: e aquela que admite pelo menos um contra-exemplo.
Para provar que uma proposic~ao e falsa basta encontrarmos um unico contra-
exemplo para a proposic~ao.
Ja para provarmos que uma proposic~ao e verdadeira devemos vericar que todos
os objetos que satisfazem a sua hipotese tambem satisfazem a sua tese, ou seja, devemos
provar que a proposic~ao n~ao admite nenhum contra-exemplo. Mais precisamente, n~ao
adianta fornecermos exemplos para uma proposic~ao para provarmos que ela e verdadeira,
pois e possvel encontrar innitos exemplos para uma proposic~ao que, mesmo assim, seja
falsa. E o caso da proposic~ao A2 que e falsa e, no entanto, ha innitos objetos matematicos
(numeros naturais pares e, ao mesmo tempo, multiplos de 4) que servem de exemplo para
esta proposic~ao.
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Exemplo 1.4: Considere as proposic~oes A1, A2 e A3:
A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m + n e um numero
natural par.
A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo de 4.
A3: Se m e um numero natural tal que m3 = 5, ent~ao m e um numero natural
mpar.
Determine se cada uma dessas proposic~oes e verdadeira ou falsa.
Resoluc~ao:
i) Para o caso da proposic~ao A1 e de qualquer outra proposic~ao, n~ao podemos
determinar se ela e verdadeira, simplesmente, fornecendo exemplos de objetos
matematicos que satisfazem tanto a hipotese quanto a tese. Mesmo que n~ao
consigamos imaginar nenhum contra-exemplo para a proposic~ao, precisamos
vericar todos os casos possveis para determinarmos que ela e verdadeira.
Ou seja, n~ao podemos ir listando pares de numeros naturais mpares que
satisfazem a hipotese e a tese da proposic~ao.
Podemos reescrever a proposic~ao A1, matematicamente, como:
A1: m = 2k + 1j k 2 IN ^ n = 2l + 1j l 2 IN ) m+ n = 2rj r 2 IN.Assim, considerando m e n como dados na hipotese da proposic~ao, precisamos
vericar se a soma m+ n tem a forma dada na tese da proposic~ao.
Portanto:
m+ n = 2k + 1 + 2l + 1
m+ n = 2k + 2l + 2
m+ n = 2(k + l + 1) :
Como k e l s~ao dois numeros naturais quaisquer, temos que k + l+ 1 pode ser
denido como r, ou seja, r := k + l + 1 onde r e um numero natural qualquer
e, portanto,
m+ n = 2(k + l + 1)
m+ n = 2r :
15
-
Assim, m+n e um numero natural par, como queramos demonstrar. Por n~ao
termos feito qualquer suposic~ao a respeito de m e n, alem das que ja est~ao na
proposic~ao, provamos que qualquer objeto matematico que obedeca a hipotese
da proposic~ao (quaisquer dois numeros mpares) tambem obedece a tese desta
proposic~ao (sua soma e um numero par).
Em outras palavras, provamos que a proposic~ao n~ao admite contra-exemplos,
sendo, desta forma, verdadeira.
ii) Para a proposic~ao A2 ja vimos que o numero 10 e um contra-exemplo desta
proposic~ao. Como vimos antes, se uma proposic~ao admite pelo menos um
contra-exemplo ela e falsa, portanto, com o contra-exemplo m = 10, provamos
que a proposic~ao A2 e falsa, pois vemos que A2 admite contra-exemplos.
iii) Para a proposic~ao A3 temos que nenhum numero natural satisfaz a hipotese
(m e um numero natural tal que m3 = 5), pois se m = 1 ) m2 = 1 ese m = 2 ) m2 = 8. Assim, como nenhum objeto satisfaz a hipotese eum contra-exemplo, por denic~ao, deve satisfazer a hipotese da proposic~ao, a
proposic~ao A3 n~ao admite contra-exemplos. E se uma proposic~ao n~ao admite
contra-exemplos ela e verdadeira e, portanto, a proposic~ao A3 e verdadeira.
As proposic~oes do tipo A3 s~ao verdadeiras por vacuidade, pois n~ao ha nenhum
objeto que satisfaz a sua hipotese. Tal tipo de proposic~ao n~ao tem nenhuma
utilidade quanto ao estudo dos objetos que satisfazem a sua tese.
1.2.3.2 Proposic~ao conjuntiva e proposic~ao disjuntiva
Como ja foi dito, proposic~ao conjuntiva e a proposic~ao composta que usa o conectivo
`e' para juntar as duas proposic~oes simples que a formam. Ja a proposic~ao disjuntiva usa
o conectivo `ou' para juntar as duas proposic~oes simples na nova proposic~ao composta.
Devemos destacar que:
16
-
} Um objeto matematico obedece a uma proposic~ao conjuntivaquando obedece simultaneamente as duas condic~oes da
proposic~ao.
} Um objeto matematico obedece a uma proposic~ao disjuntivaquando obedece a pelo menos uma das duas condic~oes da
proposic~ao.
Perceba, da segunda condic~ao, que na Matematica o conectivo `ou' n~ao e exclusivo.
Para ilustrarmos isto, considere a proposic~ao: Paulo vai ao cinema ou ao teatro. De
acordo com a Matematica, tal proposic~ao sera verdadeira: (i) se Paulo for somente ao
cinema; (ii) se Paulo for somente ao teatro; e (iii) se Paulo for ao cinema e tambem ao
teatro.
Para que o conectivo `ou', na Matematica, dena o criterio de exclusividade entre
as proposic~oes simples da proposic~ao composta, deveramos reescrever, por exemplo, a
proposic~ao acima como: Paulo vai ou ao cinema ou ao teatro.
A operac~ao logica referente ao `ou exclusivo' e chamada de disjunc~ao exclusiva e
representada pelo smbolo matematico . Apesar dessa operac~ao logica ser bastanteusada em logica de computac~ao, n~ao a estudaremos em nosso livro pois ela raramente
aparece em textos de Calculo Diferencial e Integral.
Para estudarmos e entendermos melhor as proposic~oes conjuntivas e disjuntivas,
vejamos os exemplos 1.5 e 1.6 dados a seguir.
Exemplo 1.5: Considere os pares de numeros do tipo P = (m;n) dados por
P1 = (2; 3), P2 = (3; 2), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4). Considere tambem as proposic~oes
conjuntivas e disjuntivas dadas por:
A4: m e par e n e mpar.
A5: m e par ou n e mpar.
A6: m e par e n e par.
A7: m e par ou n e par.
A8: m e mpar e n e mpar.
17
-
A9: m e mpar ou n e mpar.
A10: m e mpar e n e par.
A11: m e mpar ou n e par.
Diga quais pares de numeros s~ao exemplos de cada proposic~ao dada.
Resoluc~ao:
(i) A proposic~ao A4 e uma proposic~ao conjuntiva, desta forma, os pares de numeros
que obedecem a ela devem obedecer, simultaneamente, as duas condic~oes, ou
seja, devem ser tais que o primeiro numero, m, seja par e, ao mesmo tempo, o
segundo numero, n, seja mpar. Portando, somente o par P1 = (2; 3) obedece
a proposic~ao A4.
(ii) A proposic~ao A5 e disjuntiva, desta forma, os pares de numeros que obedecem
a ela devem ser formados por numeros que obedecam a pelos menos uma das
condic~oes da proposic~ao. Ou seja, os pares de numeros que obedecem a esta
proposic~ao devem ser tais que: m e par; n e mpar; ou m e par e n e mpar.
Portando, vemos que os pares P1 = (2; 3), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4) obedecem
a proposic~ao A4.
(iii) Seguindo o mesmo raciocnio usado para a proposic~ao A4, vemos que apenas
P4 = (2; 4) obedece a proposic~ao A6.
(iv) Seguindo o mesmo raciocnio usado para a proposic~ao A6, vemos que P1 =
(2; 3), P2 = (3; 2) e P4 = (2; 4) obedecem a proposic~ao A7.
(v) Apenas P3 = (1; 3) obedece a proposic~ao A8.
(vi) P1 = (2; 3), P2 = (3; 2) e P3 = (1; 3) obedecem a proposic~ao A9.
(vii) Apenas P2 = (3; 2) obedece a proposic~ao A10.
(viii) P2 = (3; 2), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4) obedecem a proposic~ao A11.
Exemplo 1.6: Considere as proposic~oes condicionais a seguir:
A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar ou m n e mpar.A14: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par ou m n e par.
Analise a hipotese e a tese de cada proposic~ao e diga se essas proposic~oes s~ao
verdadeiras ou falsas.
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-
Resoluc~ao:
(i) Para o caso da proposic~ao A12, como a hipotese da proposic~ao A12 e uma
proposic~ao conjuntiva, os objetos matematicos que a obedecem s~ao os pares
de numeros onde m e par e, ao mesmo tempo, n e mpar. Por exemplo, os
numeros m = 2 e n = 3 obedecem a hipotese de A12. No caso mais geral
podemos ecrever que m = 2k e n = 2l + 1.
A tese de A12 tambem e uma proposic~ao conjuntiva e para obedecer a tese de
A12 o objeto matematico deve ser composto por dois numeros m e n de tal
forma que a soma m + n seja mpar e o produto m n seja par. Vericando asoma de m e n:
m+ n = 2k + 2l + 1
m+ n = 2(k + l) + 1
m+ n = 2r + 1
onde vemos que m+ n e um numero mpar.
Vericando o produto de m e n:
m n = 2k (2l + 1)m n = 2(kl + k)m n = 2s
onde vemos que m n e um numero par.Assim, vimos que todos os pares de numeros que obedecem a hipotese de
A12 tambem obedecem as duas condic~oes de sua tese, tornando a proposic~ao
verdadeira.
(ii) Para o caso da proposic~ao A13 e vendo os calculos feitos no incio do exemplo,
temos que todos os pares de numeros que obedecem a sua hipotese v~ao obedecer
a primeira condic~ao de sua tese (sua soma e um numero mpar). Mesmo que
esses pares de numeros n~ao obedecam a segunda condic~ao da tese (seu produto
e um numero par e n~ao mpar), como a tese e formada por uma proposic~ao
disjuntiva, a proposic~ao A13 e verdadeira.
19
-
(iii) Ja para o caso da proposic~ao A14 e, novamente, vendo os calculos feitos no
incio do exemplo, temos que todos os pares de numeros que obedecem a sua
hipotese n~ao ir~ao obedecer a primeira condic~ao de sua tese (sua soma n~ao e um
numero par), mas esses pares de numeros obedecem a segunda condic~ao da tese
(seu produto e um numero par), como a tese e formada por uma proposic~ao
disjuntiva, a proposic~ao A14 tambem e verdadeira.
1.2.3.3 A recproca de uma proposic~ao condicional e a proposic~ao
bicondicional
Consideremos uma proposic~ao condicional, do tipo `Se p, ent~ao q' que tambem pode
ser representada como p ) q. A partir dela sempre podemos construir outra proposic~aocondicional do tipo `Se q, ent~ao p', que pode ser representada como q ) p. A proposic~ao`Se q, ent~ao p' e chamada a recproca da proposic~ao `Se p, ent~ao q' e, consequentemente,
a proposic~ao `Se p, ent~ao q' e a recproca de `Se q, ent~ao p'.
Vamos ao exemplo a seguir para ilustrar melhor o conceito de recproca de uma
proposic~ao condicional.
Exemplo 1.7: Considere as proposic~oes a seguir e escreva a recproca de cada uma.
A seguir, determine se cada proposic~ao e sua recproca s~ao verdadeiras ou falsas.
a) A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m+n e um numero
natural par.
Resposta: A partir da proposic~ao A1 podemos escrever a sua recproca como:
B1: Se a soma m + n e um numero natural par, ent~ao m e n s~ao numeros
naturais mpares.
Ja vimos que a proposic~ao A1 e verdadeira. No entanto, podemos vericar
que o par de numeros m = 2 e n = 4 e um contra-exemplo para a proposic~ao
B1, pois m + n = 6 que e um numero natural par (satisfazendo a hipotese) e,
no entanto, tanto 2 quanto 4 s~ao numeros naturais pares e, desta forma, n~ao
satisfazem a tese, provando que a proposic~ao B1 e falsa.
Outro contra-exemplo, dos innitos possveis, seria m = 1; 2 e n = 0; 8, ja que
em B1 n~ao ha qualquer restric~ao de que m e n sejam numeros naturais.
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-
b) A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo
de 4.
Resposta: A recproca de A2 e a proposic~ao:
B2: Se m e um numero natural multiplo de 4, ent~ao m e um numero natural
par.
Ja vimos que a proposic~ao A2 e falsa, no entanto a sua recproca, B2, e
verdadeira. Podemos provar isso considerando um numero natural multiplo de
4 como um numero na forma m = 4k, onde k e um numero natural qualquer.
Assim:
m = 4k
m = 2(2k) ;
onde provamos que todo numero multiplo de 4 tambem sera multiplo de 2 e,
consequentemente, par.
c) A3: Se m e um numero natural tal que m3 = 5, ent~ao m e um numero natural
mpar.
Resposta: A proposic~ao A3 tem por recproca a proposic~ao:
B3: Se m e um numero natural mpar, ent~ao m e um numero natural tal que
m3 = 5.
Podemos provar que a proposic~ao B3 e falsa apresentando um contra-exemplo
para ela. Considerando m = 1, que e um numero natural mpar e, portanto,
obedece a hipotese da proposic~ao, temos que m3 = 13 = 1 6= 5. Desta forma,vemos que a proposic~ao B3 e falsa, enquanto que sua recproca A3 e verdadeira
por vacuidade.
d) A15: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao m n e um numero naturalmpar com m e n numeros naturais.
Resposta: A15 tem por recproca a proposic~ao:
B15: Se m n e um numero natural mpar com m e n numeros naturais, ent~aom e n s~ao numeros naturais mpares.
Podemos provar que a proposic~ao A15 e sua recproca, B15, s~ao verdadeiras.
Para provar que a proposic~ao A15 e verdadeira vamos considerar que, como
numeros naturais mpares, m e n s~ao m = 2k + 1 e n = 2l + 1, onde k e l s~ao
numeros naturais. Portanto, o produto m n vale:
21
-
m n = (2k + 1)(2l + 1)m n = 4kl + 2k + 2l + 1m n = 2(2kl + k + l) + 1m n = 2r + 1 ;
onde r := 2kl + k + l e um numero natural qualquer e, portanto, vemos que o
produto m n e um numero mpar, provando a proposic~ao A15.Para provarmos a proposic~ao B15, podemos vericar os resultados do produto
m n quando m e n s~ao naturais pares e quando m e natural par e n e naturalmpar.
Para m e n numeros naturais pares, ou seja, para m = 2k e n = 2l com
k; l 2 IN, temos:
m n = (2k)(2l)m n = 2(2kl) ;
onde vemos que, neste caso, o produto m n e um natural par.Para m par e n mpar, ou seja, para m = 2k e n = 2l + 1 com k; l 2 IN, temosque:
m n = (2k)(2l + 1)m n = 4kl + 2km n = 2(2kl + k) ;
onde vemos que, tambem neste caso, o produto m n e um natural par.Desta forma, vendo que, para as outras possibilidades dem e n, o produtomn esempre um natural par, provamos, por demonstrac~ao direta, onde analisamos os
possveis contra-exemplos, que a proposic~ao B15 e verdadeira. Explicaremos os
dois tipos de demonstrac~ao (demonstrac~ao direta e demonstrac~ao por absurdo)
na proxima sec~ao.
Como a proposic~ao A15 e tambem a sua recproca B15 s~ao verdadeiras, podemos
reescreve^-las como uma unica proposic~ao, chamada de proposic~ao bicondicional
ou proposic~ao do tipo `Se e somente se'. A proposic~ao bicondicional que e
equivalente, ao mesmo tempo, as proposic~oes A15 e B15 pode ser escrita como:
C15: mn e um numero natural mpar comm e n numeros naturais se e somentese m e n s~ao numeros naturais mpares.
22
-
Ou ainda como:
C15: m e n s~ao numeros naturais mpares se e somente se m n e um numeronatural mpar com m e n numeros naturais.
Uma proposic~ao bicondicional do tipo `p se e somente se q' tambem pode ser
representada como p , q e que, alem de ser lida como `p se e somente se q', podeser lida como `p implica q e q implica p'.
Se escrevemos uma proposic~ao bicondicional a partir de uma proposic~ao de implicac~ao
e sua recproca onde uma delas e falsa, a proposic~ao bicondicional sera falsa.
1.2.3.4 Proposic~ao negativa ou a negac~ao de uma proposic~ao
A negac~ao de uma proposic~ao p e uma outra proposic~ao, denotada por `n~ao p', que
tem a propriedade de ter o atributo oposto ao de p.
Assim, considerando uma proposic~ao p e sua negac~ao (:p), temos que:
} Se p e verdadeira, ent~ao :p e falsa.
} Se p e falsa, ent~ao :p e verdadeira.
} A negac~ao de :p e a proposic~ao p, ou seja, :(:p) = p.
Nem sempre enunciar a negac~ao de uma proposic~ao e simples. Mas, para o caso de
uma proposic~ao do tipo `Se p, ent~ao q' que possui objetos matematicos que obedecem a
sua tese, enunciar sua negac~ao pode ser bem simples e, muitas vezes, bastante util.
Para a maioria das proposic~oes de implicac~ao (`Se p, ent~ao q'), e possvel nega-las de
uma das seguintes formas:
i) Se p, ent~ao n~ao q.
ii) Se n~ao p, ent~ao p.
iii) Se n~ao p, ent~ao n~ao p.
Tome cuidado! A negac~ao de uma proposic~ao so esta escrita quando o valor logico da
proposic~ao como um todo e invertido. Alem disso, ha proposic~oes que podem ser negadas
de varias formas diferentes
23
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Vejamos alguns casos de negac~ao de proposic~ao condicional no exemplo 1.8.
Exemplo 1.8: Considere as proposic~oes e escreva suas negac~oes.
a) A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m+n e um numero
natural par.
Resoluc~ao: A negac~ao da proposic~ao A1 e feita escrevendo :A1, a partir deA1, com a forma `Se p, ent~ao n~ao q'. Assim:
:A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a somam+n e um numeronatural mpar.
Perceba que, na negac~ao da proposic~ao A1, subtitumos a express~ao `numero
natural n~ao mpar' que apareceria na negac~ao pela express~ao `numero natural
par'. Fizemos isto porque estava especicado quem e n pertencem aos naturais
e, dentro do conjunto IN, se um numero n~ao e mpar, ent~ao ele e par.
Como a proposic~ao A1 e verdadeira, a proposic~ao :A1 e falsa. Para prova-la,basta fornecer um contra-exemplo para ela.
b) A15: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao m n e um numero naturalmpar com m e n numeros naturais.
Resoluc~ao: A negac~ao da proposic~ao e :A15: Se m e n s~ao numeros naturaismpares, ent~ao m n e um numero natural par com m e n numeros naturais.A proposic~ao A15 tambem e verdadeira, ent~ao a proposic~ao :A15 e falsa.Tambem na negac~ao da proposic~ao A15 substituimos `numero natural n~ao par'
por `numero natural mpar'.
c) A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo
de 4.
Resoluc~ao: A negac~ao de A2 tera a forma `Se n~ao p, ent~ao n~ao p'. Assim:
:A2: Se m e um numero natural mpar, ent~ao m n~ao e um numero naturalmultiplo de 4.
Pode-se, facilmente, provar que a proposic~ao :A2 e verdadeira e, portanto, temo atributo oposto ao de A2. Deixamos essa prova para o estudante.
d) A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.Resoluc~ao: Tanto a hipotese quanto a tese de A12 s~ao proposic~oes conjuntivas
e ela e verdadeira, por isto ha varias formas de negar essa proposic~ao negando
apenas qualquer uma das proposic~oes simples que formam sua hipotese ou sua
24
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tese. Podemos escrever qualquer uma das formas a seguir como negac~ao de
A12:
:A12: Se m e mpar e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.:A12: Se m e par e n e par, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.:A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par e m n e par.:A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e mpar.Pode-se, facilmente, provar que todas as formas acima tem o atributo oposto
ao de A12. Novamente, deixamos essa prova para o estudante.
e) A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar ou m n e mpar.Resoluc~ao: A maneira mais simples de escrevermos a negac~ao de A13, visto
que ela e verdadeira, sua hipotese e uma proposic~ao conjuntiva e sua tese e
uma proposic~ao disjuntiva, e negando a parte da tese que e verdadeira. Assim:
:A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par ou m n e mpar.
Perceba que deixamos de fora dos exemplos de negac~ao de proposic~oes condicionais
a proposic~ao A3, pois ela e verdadeira por vacuidade, ou seja, n~ao possui objetos
matematicos que sequer obedecam a sua hipotese e, portanto, n~ao estamos interessados
em obter sua negac~ao.E importante sabermos negar proposic~oes condicionais, principalmente, para con-
seguirmos fazer algumas demonstrac~oes por absurdo (como veremos na proxima sec~ao)
ou para reescrever como verdadeira a negac~ao de uma proposic~ao que provamos ser falsa.
Resumindo a sec~ao como um todo e, de acordo com o princpio do terceiro excludo,
uma proposic~ao ou e Verdadeira ou e Falsa, ou seja, seu valor logico so pode ser
`Verdadeiro' ou `Falso'. Assim, dada uma express~ao proposicional composta (proposic~ao
composta), podemos denir seu valor logico atraves da combinac~ao dos valores logicos
possveis das proposic~oes simples que a formam.
Dadas as proposic~oes simples p e q, temos as seguintes denic~oes referente a proposic~oes
compostas:
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-
Conjunc~ao: a conjunc~ao `p e q' e verdadeira quando as duas proposic~oes
forem verdadeiras, e e falsa se, pelo menos, uma delas for falsa;
Disjunc~ao: a disjunc~ao `p e q' e verdadeira quando pelo menos uma das
proposic~oes for verdadeira, e e falsa se as duas forem falsas;
Negac~ao: a negac~ao :p tem valor logico verdade quando p e falsa e valorlogico falso quando p e verdadeira;
Condicional: a condicional p) q e falsa quando p e verdadeira e q e falsa; ee verdadeira nos demais casos;
Bicondicional: a bicondicional p , q e verdadeira quando p e q tiverem osmesmos valores logicos e e falsa nos demais casos.
Essas denic~oes adve^m dos princpios da n~ao contradic~ao e do terceiro excludo,
portanto, ao se analisar proposic~oes compostas e importante que tenhamos em mente
esses princpios e, n~ao necessariamente, as denic~oes advindas deles.
1.3 Demonstrac~oes em Matematica
Na Matematica e necessario denir conceitos de forma que estas denic~oes sejam
claras e que tenham sentido completo e, mais ainda, que suas propriedades possam ser
provadas ou demonstradas.
Mas, o que e uma demonstrac~ao matematica?
Demonstrac~ao: e a apresentac~ao de argumentos e resultados verdadeiros que
nos permitem concluir o atributo verdadeiro da proposic~ao a ser demonstrada.
Os argumentos e resultados utilizados em uma demonstrac~ao devem ser verdadeiros e
tambem devem respeitar as regras da logica matematica.
Muitos estudantes acreditam, equivocadamente, que demonstrac~oes s~ao abstratas e
que deveriam ser ignoradas ou relegadas para os acade^micos (professores e estudiosos
da Matematica). No entanto, o estudante deve se conscientizar que para trabalhar com
26
-
Matematica e necessario saber usar bem suas ferramentas e conhecimentos e e impossvel
trabalhar bem com Matematica sem saber como demonstrar a maioria de seus teoremas,
corolarios e leis. Mesmo os estudantes de Engenharia, que est~ao mais interessados na
aplicac~ao das leis e teoremas matematicos e fsicos, devem ter uma boa noc~ao de demon-
strac~oes e saber faze^-las para aplicar adequadamente a Matematica em seus projetos.
Esta sec~ao n~ao tem por pretens~ao ensinar o estudante a demonstrar tudo em
Matematica, mas somente de inicia-lo no a^mbito das demonstrac~oes e, a medida que
ele for se aprofundando nos seus estudos de Matematica, ira aprender a fazer novas e
mais complicadas demonstrac~oes.
Podemos dizer que uma demonstrac~ao e composta de uma ou mais etapas em que
prova-se (demonstra-se) uma implicac~ao do tipo p ) q. Vamos entender melhor estaarmac~ao nos exemplos desta sec~ao.
Ha dois principais tipos de demonstrac~oes que podemos utilizar em Matematica: a
demonstrac~ao direta e a demonstrac~ao por absurdo.
Cabe ainda ressaltar que proposic~oes do tipo implicac~ao (p ) q) devem serdemonstradas, quer por demonstrac~ao direta ou por demonstrac~ao por absurdo, indo-
se da hipotese para a tese.
Por outro lado, as proposic~oes bicondicionais (p, q) precisam ser demonstradas nosdois sentidos, ou seja, precisam ser demonstradas da hipotese para a tese e tambem da
tese para a hipotese. Isto se deve ao fato deque uma proposic~ao bicondicional corresponde
a uma proposic~ao de implicac~ao e a sua recproca.
1.3.1 Demonstrac~ao direta
A demonstrac~ao de uma proposic~ao e chamada de demonstrac~ao direta quando
e feita de modo a provar diretamente que a proposic~ao n~ao admite contra-exemplos, ou
seja, pressup~oe verdadeira a hipotese da proposic~ao e, a partir desta, prova ser verdadeira
a tese da proposic~ao.
Podemos fazer uma demonstrac~ao direta de duas formas:
1. mostrando que em todas as situac~oes em que a hipotese e satisfeita a
tese tambem e satisfeita; ou
2. analisando todos os candidatos a contra-exemplos e mostrando que eles
n~ao s~ao contra-exemplos.
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Ja usamos demonstrac~oes diretas para provar algumas proposic~oes nas sec~oes
anteriores deste captulo (para provar as proposic~oes A1, B2, A15 e B15). Mesmo assim,
vamos fazer mais um exemplo no qual explicitamos as etapas usadas numa demonstrac~ao
direta.
Exemplo 1.9: Considere a proposic~ao: \A soma de dois numeros naturais pares e
um numero par". Demonstre-a por demonstrac~ao direta.
Resoluc~ao: Para realizar a demonstrac~ao direta dessa proposic~ao seguiremos as
seguintes etapas:
(i) Reescrevemos a proposic~ao na forma de uma implicac~ao: Se n e m s~ao dois
numeros naturais pares quaisquer, ent~ao n+m tambem e um numero natural
par.
(ii) Consideramos a denic~ao de um numero par, que e dada por m = 2k, em que
k e um numero natural qualquer.
(iii) Se n e m s~ao pares, ent~ao existem k e l tais que: n = 2k e m = 2l, ent~ao
n+m = 2k + 2l) n+m = 2(k + l).(iv) Como k+ l e um numero natural qualquer, e esta multiplicado por 2, podemos
armar que n+m e um numero par.
Seguindo as etapas acima provamos a proposic~ao dada no enunciado via
demonstrac~ao direta.
Aconselhamos ao estudante que veja novamente as outras demonstrac~oes diretas feitas
no captulo, antes de tentar fazer as demonstrac~oes solicitadas nos exerccios.
1.3.2 Demonstrac~ao indireta
A demonstrac~ao indireta, ou demonstrac~ao por absurdo, consiste em estabele-
cer a verdade de uma armac~ao por revelar a falsidade da suposic~ao oposta, geralmente
apresentada por uma hipotese absurda, ou seja, assume-se o contrario do que se quer
provar e ao chegar em uma contradic~ao a prova e nalizada.
Para ilustrar a demonstrac~ao indireta vamos apresentar um exemplo, considerado
classico, para esse tipo de demonstrac~ao. Outros exemplos ser~ao vistos nos proximos
captulos.
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Exemplo 1.10: Considere a proposic~ao a seguir e demonstre-a por absurdo:
\Se um numero somado a ele mesmo e igual a ele mesmo, ent~ao esse numero e zero".
Resoluc~ao: Para fazer esta demonstrac~ao por absurdo vamos seguir as etapas:
(i) Considere x um numero qualquer.
(ii) Reescrevendo a proposic~ao: Se x+ x = x, ent~ao x = 0. Ou na forma: x+ x =
x) x = 0.(iii) Por absurdo, supomos que x+ x = 0 e x 6= 0, ent~ao 2x = 0 e x 6= 0.(iv) Dividindo a equac~ao 2x = 0 por x, divis~ao que so pode ser feita se x 6= 0,
tem-se 2 = 0, que e um absurdo.
(v) Portanto, esta demonstrado que: x+ x = x) x = 0.
Quando vamos fazer uma demonstrac~ao devemos escolher que tipo de caminho seguir,
ou seja, que tipo de demonstrac~ao sera feita (demonstrac~ao direta ou por absurdo). A
maioria das proposic~oes que o estudante encontrara em sua vida acade^mica pode ser
demonstrada das duas forma, sendo que uma forma dara mais trabalho que a outra.
Outras proposic~oes so podem ser demonstradas por um unico caminho. A escolha do tipo
de demonstrac~ao depende da proposic~ao a ser demonstrada e o estudante sabera discernir
entre qual escolher com a pratica que se adquire fazendo muitos exerccios.
Em resumo
Neste captulo, comecamos nosso estudo dos conteudos previos ao Calculo Diferencial
e Integral, ou seja, comecamos nossos estudos de Pre-Calculo, revisando, de forma
aprofundada, os primeiros topicos de Matematica Basica. Para isto, explicitamente:
} estudamos alguns dos principais smbolos matematicos usados em express~oes e frasesmatematicas;
} denimos e estudamos proposic~oes matematicas, aprendendo a construir proposic~oescompostas a partir de composic~oes simples e dos conectivos da logica matematica;
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} aprendemos a analisar proposic~oes matematicas, a partir do princpio da n~aocontradic~ao e do princpio do terceiro excludo, determinando seus valores logicos
(verdadeiro ou falso);
} aprendemos a realizar as demonstrac~oes direta e indireta de proposic~oesmatematicas.
Nos exerccios deste captulo temos algumas poucas demonstrac~oes que s~ao pedidas.
No decorrer de todo o nosso livro, em cada um de seus captulos, iremos voltar a
esses topicos da linguagem e da logica matematica e tambem das demonstrac~oes, sendo
necessario demonstrar ou determinar o valor logico de varias outras proposic~oes.
Antes dos exerccios, temos um pequeno questionario sobre os conceitos e topicos
apresentados no captulo. Tal questionario n~ao tem um gabarito no nosso livro, haja
visto que todas as respostas est~ao explicitas no corpo do texto do captulo ou s~ao sobre
a opini~ao do estudante a respeito de algum topico ou conceito. Veja que o objetivo do
questionario e fazer com que o estudante perceba se acompanhou atentamente e conseguiu
entender o captulo que se encerra.E muito importante lembrarmos ao estudante que, antes de ir para os exerccios
deste captulo, e necessario ter certeza que, alem de ter entendido os conceitos e topicos
explicados, ele tambem entendeu e sabe fazer todos os exemplos apresentados no captulo.
Portanto, e muito importante refazer todos os exemplos do captulo antes de comecar a
fazer os exerccios.
Questionario
1. Na sua opini~ao, por que a linguagem matematica e considerada a linguagem
universal?
2. A logica, por ser um raciocnio direto, e sempre a mesma e obedece as mesmas regras,
que seja na linguagem matematica, no portugue^s ou em qualquer outra linguagem
conhecida/criada pelo homem? Justique.
3. Dena com suas palavras:
a) proposic~ao;
b) proposic~ao simples;
c) proposic~ao composta;
d) conectivo;
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e) operac~ao logica;
f) proposic~ao composta por conjunc~ao;
g) proposic~ao composta por disjunc~ao;
h) proposic~ao composta por negac~ao;
i) proposic~ao condicional;
j) proposic~ao bicondicional;
k) recproca de uma proposic~ao condicional.
4. Qual a diferenca entre a hipotese e a tese de uma proposic~ao condicional?
5. O que e um exemplo de proposic~ao condicional? E um contra-exemplo?
6. Explique, com suas palavras, quando uma proposic~ao matematica e verdadeira. E
quando ela e falsa.
7. Dado um objeto matematico, quando podemos dizer que ele obedece a uma
proposic~ao conjuntiva? E a uma proposic~ao disjuntiva?
8. Explique com suas palavras o que e uma:
a) demonstrac~ao;
b) demonstrac~ao direta;
c) demonstrac~ao indireta.
9. E sempre possvel usarmos os dois tipos de demonstrac~ao para provarmos uma
proposic~ao? Justique.
Exerccios
1. Escreva cada uma das frases a seguir em linguagem matematica.
a) x e maior que sete.
b) x e um numero natural menor que dez.
c) A soma de cinco e sete e igual a doze.
d) Quatro vezes tre^s e diferente de treze.
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e) Existe numero natural multiplo de quatro.
f) N~ao existe numero natural maior que zero e menor que um.
g) Se n e multiplo de seis, ent~ao n e multiplo de tre^s.
2. Escreva cada uma das express~oes matematicas a seguir em linguagem do nosso
cotidiano (portugue^s).
a) 3x+ 1 = 0 ;
b) 1 x 6= 3 ;c) x 3 < x2 1 ;d) x+ 1 = 0) x 62 IN ;e) x2 + x 2 = 0, x = 1 _ x = 2 ;f) @x 2 IRjx2 + 4 = 0 ;g) x2 1 0, x 1 _ x 1 ;
Para os exerccios de 3 a 16, considere cada proposic~ao e: (a) determine se verdadeira
ou falsa; (b) escreva, se possvel a negac~ao de cada proposic~ao; (c) escreva, se possvel, a
recproca de cada proposic~ao e determine se cada recproca e verdadeira ou falsa; (d) con-
siderando cada proposic~ao e sua recproca escreva a proposic~ao bicondicional equivalente
e diga se ela e verdadeira ou falsa; (e) escreva a negac~ao de cada proposic~ao e tambem a
negac~ao de sua recproca.
4. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m+n e natural par com m e n numeros naturais.
5. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m + n e natural mpar com m e n numeros
naturais.
6. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m+ n n~ao e natural mpar com m e n numeros
naturais.
7. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m + n e natural par com m e n numeros
naturais.
8. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m + n e natural mpar com m e n numeros
naturais.
9. Se m e um natural par e n e natural mpar, ent~ao m + n e natural par com m e n
numeros naturais.
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10. Se m e um natural par e n e natural mpar, ent~ao m+ n e natural mpar com m e
n numeros naturais.
11. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m n e natural par com m e n numeros naturais.
12. Sem e n s~ao naturais pares, ent~aomn e natural mpar comm e n numeros naturais.
13. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m n e natural mpar com m e n numerosnaturais.
14. Sem e n s~ao naturais mpares, ent~aomn e natural par comm e n numeros naturais.
15. Se x e um numero natural e 0 < x < 1, ent~ao x > 0.
16. Se m e natural e 0 < m < 7 ou 5 m 10, ent~ao 5 m < 7.
17. Se m e natural e 0 < m < 7 ou 5 m 10, ent~ao 1 m 10.
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