precalculo vp cap1

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Pr´ e-C´ alculo Francisco Edson da Silva Simone Batista

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mat basica

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  • Pre-Calculo

    Francisco Edson da Silva

    Simone Batista

  • Conteudo

    Unidade 1 2

    1 Elementos da Linguagem e da Logica Matematica 2

    Introduc~ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

    1.1 Principais smbolos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 Linguagem e logica matematicas: proposic~oes e conectivos . . . . . . . . . 7

    1.2.1 Proposic~oes e Conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.2.2 Analise dos valores logicos de proposic~oes compostas . . . . . . . . 12

    1.3 Demonstrac~oes em Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.3.1 Demonstrac~ao direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    1.3.2 Demonstrac~ao indireta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    Em resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    Questionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    ii

  • Unidade 1

    1

  • Captulo 1

    Elementos da Linguagem e da Logica

    Matematica

    Introduc~ao

    O nosso livro tem por principal objetivo fornecer ao estudante uma revis~ao

    aprofundada dos principais topicos de Matematica Basica que s~ao necessarios para se

    comecar a estudar o Calculo Diferencial e Integral, ou seja, de revisar boa parte do

    conteudo de Matematica estudado no Ensino Medio, de forma que o estudante possa

    acompanhar, sem grandes percalcos, os conteudos de Matematica do ensino universitario

    das areas das cie^ncias e da tecnologia. Ele foi pensado para que o estudante possa estuda-lo

    e acompanha-lo sozinho ou mesmo para ser o livro-texto de algum componente curricular

    de Matematica que anteceda os cursos de Calculo Diferencial e Integral.

    A revis~ao do conteudo de Matematica do Ensino Medio abrange todo o livro,

    que apresenta alguns poucos topicos que n~ao s~ao de revis~ao. Tal revis~ao e iniciada

    apresentando-se algumas noc~oes sobre a linguagem e a logica matematicas neste primeiro

    captulo que tem como principais objetivos os tre^s listados a seguir:

    } apresentar e familiarizar o estudante com os principais smbolos da linguagemmatematica;

    } apresentar e familiarizar o estudante com elementos da logica matematicanecessarios e essenciais ao estudo e entendimento de todo o livro e do conteudo

    dos outros componentes curriculares da matematica universitaria;

    } introduzir o estudante no a^mbito das demonstrac~oes matematicas.

    Todos os topicos e conceitos apresentados neste captulo s~ao de extrema importa^ncia

    para o estudo e aprendizado de Matematica no Ensino Superior e, por isto, devem ser

    2

  • estudados/revisados com cuidado e atenc~ao. Ao nal do captulo o estudante deve estar

    apto a comecar a acompanhar os captulos seguintes revendo e realmente aprendendo os

    conteudos de Matematica que ser~ao revisados e estudados em todo o livro.

    1.1 Principais smbolos matematicos

    Para um melhor entendimento das denic~oes e conceitos matematicos, e necessario o

    conhecimento de sua simbologia, ou seja, de sua linguagem.

    O estudante, com certeza, ja foi apresentado a alguns smbolos matematicos na sua

    vida acade^mica anterior e, com isso, consegue ler e entender ou, pelo menos, intuir o

    signicados de algumas frases e express~oes matematicas.

    Considere as seguintes express~oes matematicas:8>>>>>:y = x+ 2 ;

    x 2 IR ;0 < x p2 ;A = fxj x 2 IR ^ 0 x 5g :

    Provavelmente, o estudante entendeu ou intuiu o signicado das express~oes acima. No

    entanto, intuir o signicado de uma express~ao n~ao e suciente.

    Para estudarmos e entendermos os conceitos matematicos apresentados neste livro,

    mesmo a maioria deles sendo topicos de revis~ao, e necessario sabermos o signicado

    de diversos smbolos que aparecer~ao no decorrer dos captulos. O conhecimento e

    entendimento desses smbolos matematicos e extremamente necessario para entendermos

    e, muitas vezes, interpretarmos a frase ou express~ao matematica em que eles aparecem.

    Tomemos como exemplo uma frase matematica bem simples: y =px j x 0. A

    partir do conhecimento de seus smbolos, essa frase matematica pode ser lida como \y e

    igual a raz quadrada de x tal que x e maior ou igual a zero".

    Tambem podemos ter o problema inverso, em que uma frase matematica esta escrita

    na linguagem do nosso cotidiano (no caso, o portugue^s) e precisamos reescreve^-la como

    uma frase matematica. Por exemplo, \x e numero real positivo maior que sete", que pode

    ser reescrita como: x 2 IRj x > 7.Diversos outros exemplos podem ser apresentados aqui e aparecer~ao em todos os

    captulos de nosso livro. Para podermos comecar a entender e interpretar ou mesmo

    reescrever as frases e express~oes matematicas constantes no livro, temos a tabela 1.1 em

    que apresentamos uma pequena relac~ao dos principais smbolos matematicos.

    Na primeira coluna da tabela 1.1, temos o smbolo matematico; na segunda coluna, o

    seu nome; e, na terceira coluna, a forma como se le^ o smbolo.

    3

  • Smbolo Nome Le^-se como

    + adic~ao mais

    { subtrac~ao menos

    , multiplicac~ao vezes, : divis~ao dividido por= igualdade e igual a

    6= desigualdade e diferente de> comparac~ao maior que

    < comparac~ao menor que

    comparac~ao maior ou igual a comparac~ao menor ou igual a

    =, ', igualdade aproximada aproximadamente igual mais ou menos mais ou menos menos ou mais menos ou mais

    :=, denic~ao e denido como, e equivalente aj, : tal que tal que) portanto portanto2 relac~ao de pertine^ncia pertence a8 quanticac~ao universal para todos, para qualquer, para cada9 quanticador existencial existe@ quanticador existencial n~ao existe1 innito innito^ conjunc~ao e_ disjunc~ao ou: Negac~ao n~ao

    !, ) implicac~ao implica, se ... ent~ao$, , equivale^ncia material se e somente seIN conjunto dos numeros naturais conjunto dos numeros naturais

    Z conjunto dos numeros inteiros conjunto dos numeros inteirosIQ conjunto dos numeros fracionarios conjunto dos numeros fracionarios

    II conjunto dos numeros irracionais conjunto dos numeros irracionais

    IR conjunto dos numeros reais conjunto dos numeros reais

    C conjunto dos numeros complexos conjunto dos numeros complexos

    Tabela 1.1: Tabela com alguns dos principais smbolos matematicos

    4

  • Na tabela 1.1, vemos que o smbolo `:' pode ser usado para representar `divis~ao'

    e tambem para representar `tal que'. Para evitar confus~ao, geralmente, utilizamos em

    nosso livro o smbolo `' para representar a divis~ao ou a representamos em forma defrac~ao. E, mais ainda, damos prefere^ncia a usar o smbolo `j' para representar `tal que'.

    A tabela 1.1 tem somente smbolos basicos e essenciais ao estudo de Matematica e

    pode ser usada para consulta futura. No entanto, por todos esses serem smbolos t~ao

    basicos e aparecerem largamente em todo o texto, acreditamos que ao nal do segundo

    ou terceiro captulo do livro o estudante ja tera memorizado a maioria deles e raramente

    precisara voltar a tabela para consultas posteriores.

    Para ajudar a xar melhor, na mente do estudante, esses smbolos e seus signicados,

    vejamos o exemplo 1.1.

    Exemplo 1.1: Diga como se le^ cada express~ao matematica a seguir:

    a) 2 + 3 = 5.

    Resposta: Le^-se `dois mais tre^s e igual a cinco' e signica que somando o

    numero dois ao numero tre^s vamos obter como resultado o numero cinco.

    b) 7 3 6= 5.Resposta: Le^-se `sete menos tre^s e diferente de cinco'.

    A barra \/" e usada sobre um smbolo matematico para inverter (negar) o seu

    signicado, como podemos ver pelos smbolos 6= e @ da tabela 1.1. A barra \/"e utilizada em diversos outros smbolos matematicos que aparecer~ao em nosso

    livro para criar os smbolos matematicos correspondentes as suas negac~oes.

    c) 7 + (3) = 4.Resposta: Le^-se `sete mais menos tre^s e igual a quatro'.

    Como podemos observar, o smbolo \" e usado para representar a subtrac~aoe tambem para denotar numeros negativos. Outra forma de escrever esta frase

    seria 7 3 = 4, onde vemos que a subtrac~ao pode ser entendida como a adic~aode um numero negativo.

    d) 5 3 > 10.Resposta: Le^-se `cinco vezes tre^s e maior que dez'.

    e) 12 : 3 < 7.

    Resposta: Le^-se `doze dividido por tre^s e menor que sete'.

    Como ja foi dito, preferiremos escrever, em nosso livro, este tipo de divis~ao

    como 12 3 < 7 ou 123

    < 7 ou, ainda, por 12=3 < 7.

    5

  • f) y = x.

    Resposta: Le^-se `x e igual a y' e signica que x e y s~ao nomes diferentes para

    a mesma quantidade.

    g) 0 < x 9.Resposta: Le^-se `zero e menor que x que e menor ou igual a nove' ou ainda

    `x e maior que zero e menor ou igual a nove'.

    h) 20 6 ' 3; 3.Resposta: Le^-se `vinte dividido por seis e aproximadamente igual a tre^s

    vrgula tre^s'.

    i) 20 6 = 3; 33 : : : := 3; 3.Resposta: Le^-se `vinte dividido por seis e igual a dzima periodica tre^s vrgula

    tre^s tre^s retice^ncias que e denida como tre^s vrgula tre^s sob barra'.

    j) A = fx 2 INj 0 < x < 10g.Resposta: Le^-se `o conjunto A e o conjunto dos elementos x pertencente aos

    naturais tal que zero e menor que x que e menor que dez'.

    O entendimento e maiores explicac~oes sobre a Teoria Geral de Conjuntos, a

    notac~ao de conjunto e seus smbolos ser~ao vistos no proximo captulo.

    k) 8x 0.Resposta: Le^-se `para todo x maior ou igual a zero'.

    l) 9n 2 IN : n2 + 1 = 10.Resposta: Le^-se `existe n pertencente aos numeros naturais tal que n ao

    quadrado mais um e igual a dez'. Essa express~ao pode, tambem, ser escrita

    como 9n 2 INj n2 + 1 = 10.m) lim

    x!1ex = 0.

    Resposta: Le^-se `o limite de e elevado a menos x quando x tende a menos

    innito e igual a zero', ou ainda, `o limite, quando x tende a menos innito, de

    e elevado a menos x e igual a zero'.

    A denic~ao e estudo do limite de func~oes n~ao ser~ao abordados em nosso livro.

    Esse assunto sera visto somente em um primeiro texto ou curso de Calculo

    Diferencial e Integral.

    n) x = 2) x = 2 _ x = 2.Resposta: Le^-se `x igual a mais ou menos dois implica que x e igual a dois

    ou x e igual a menos dois'.

    o) x2 1 = 0, x = 1.Resposta: Le^-se `x ao quadrado menos um e igual a zero se e somente se x e

    igual a mais ou menos um'.

    6

  • p) @x 2 IRj x2 + 1 = 0.Resposta: Le^-se `n~ao existe x pertencente aos numeros reais tal que x ao

    quadrado mais um e igual a zero'.

    Muitos outros exemplos de uso dos smbolos da tabela 1.1 ser~ao vistos por todo o livro.

    Os principais conectivos da logica matematica (^, _, :, ) e ,), apesar de ja teremsido mostrados na tabela 1.1, ser~ao estudados na proxima sec~ao. Por outro lado, os outros

    smbolos matematicos referentes a teoria de conjuntos, alem dos poucos apresentados

    na tabela 1.1, ser~ao vistos e explicados no proximo captulo do livro. E, ainda, outros

    smbolos matematicos necessarios ao estudo do conteudo de nosso livro e que n~ao constam

    na tabela 1.1 ser~ao denidos e estudados a medida que forem apresentados no decorrer

    do livro.

    1.2 Linguagem e logica matematicas: proposic~oes e

    conectivos

    Nesta sec~ao usaremos alguns conhecimentos previos dos estudantes a respeito dos

    conjuntos numericos, mesmo que tais topicos e assuntos so venham a ser devidamente

    revisados nos proximos captulos. A maior parte dos conhecimentos previos utilizados

    dizem respeito aos numeros naturais, que ser~ao revisados no captulo 3, mas que nos s~ao

    familiares desde antes de comecarmos a frequentar qualquer escola.

    A Matematica tem uma linguagem, considerada universal, que tem uma logica e regras

    proprias. Para compreendermos e podermos usar melhor os recursos que a Matematica

    nos oferece, e muito importante conhecer as regras basicas da linguagem e da logica

    matematica. Tais regras, em muitos casos, diferem das regras da linguagem cotidiana.

    Portanto, usar as regras da linguagem cotidiana para avaliar express~oes e sentencas logicas

    da Matematica pode acabar levando a enganos serios.

    Podemos tomar como exemplo de interpretac~oes cotidiana e matematica que diferem

    no signicado, as interpretac~oes das seguintes frases:

    (a) Se Paulo ganhar na loteria, ent~ao fara uma doac~ao ao hospital infantil.

    (b) Se Paulo fez uma doac~ao ao hospital infantil, ent~ao ele ganhou na loteria.

    7

  • Pela regra comum de interpretac~ao da linguagem cotidiana, se a frase (a) e verdadeira

    ent~ao signica que a frase (b) tambem e verdadeira. Mas, mesmo que a frase (a) seja

    verdadeira, a frase (b) n~ao precisa ser verdadeira, pois Paulo pode ter feito uma doac~ao

    ao hospital infantil mesmo sem ter ganho na loteria.

    Nesta sec~ao do captulo vamos entender as regras da linguagem e da logica matematica

    e aprender a avaliar as frases ou proposic~oes matematicas estudadas. Tais regras da

    logica matematica ser~ao muito uteis e necessarias ao estudo da matematica universitaria,

    sobretudo para sua aplicac~ao a area da informatica, que e, provavelmente, dentre as areas

    das cie^ncias e da tecnologia, aquela que faz mais uso das regras da logica matematica.

    1.2.1 Proposic~oes e Conectivos

    Na linguagem matematica, as frases do tipo (a) e (b), usadas na subsec~ao anterior,

    s~ao chamadas de proposic~oes.

    Proposic~ao: e uma declarac~ao com sentido completo sobre alguma coisa, que

    pode ser classicada como verdadeira ou falsa.

    Os termos \Verdadeiro" e \Falso" s~ao denominados valores logicos da proposic~ao. Ha

    duas regras fundamentais adotadas pela logica matematica no estudo dos valores logicos

    de uma proposic~ao matematica:

    Princpio da n~ao contradic~ao: uma proposic~ao n~ao pode ser \Verdadeira"

    e \Falsa" ao mesmo tempo;

    Princpio do terceiro excludo: uma proposic~ao ou e \Verdadeira" ou e

    \Falsa", n~ao havendo uma terceira opc~ao de classicac~ao.

    Antes de estudarmos as proposic~oes e aprendermos a determinar seus valores logicos,

    devemos aprender a classica-las.

    As proposic~oes podem ser classicadas em dois tipos: simples ou composta.

    8

  • Proposic~ao simples: e uma proposic~ao que n~ao apresenta nenhuma outra

    proposic~ao como parte de si mesma.

    Proposic~ao composta: e uma proposic~ao formada pela combinac~ao de duas

    ou mais proposic~oes simples.

    As proposic~oes compostas s~ao formadas pela combinac~ao de proposic~oes simples

    atraves de termos denominados conectivos. Ou seja:

    Conectivos: s~ao os termos usados para combinar proposic~oes simples e formar

    proposic~oes compostas.

    De acordo com a logica matematica, os principais termos conectivos s~ao: \e", \ou",

    \n~ao", \se... ent~ao" e \se e somente se".

    Outras duas denic~oes que devemos destacar s~ao:

    Operac~ao ou operac~ao logica: e a combinac~ao de proposic~oes, atraves de

    conectivos logicos, para formar uma proposic~ao composta.

    Operadores: s~ao os termos conectivos usados para formar proposic~oes com-

    postas em uma operac~ao logica.

    Os operadores s~ao representados atraves de smbolos matematicos. Vejamos a tabela

    1.2, onde temos o nome da operac~ao que combina as proposic~oes simples em uma

    proposic~ao composta, o conectivo que e o operador de tal operac~ao e o smbolo matematico

    que representa tal conectivo, smbolos estes que ja apareceram na tabela 1.1.

    Como vimos na tabela 1.1, o conectivo da operac~ao condicional (`Se . . . ent~ao. . . ')

    tambem pode ser representado pelo smbolo !, smbolo este que, praticamente, n~aoutilizaremos neste livro. Da mesma forma, o conectivo da operac~ao bicondicional (`Se

    e somente se') tambem pode ser representado pelo smbolo $, que, praticamente, n~aousaremos em nosso livro.

    Para entender as operac~oes da logica matematica e o uso dos conectivos, vamos

    considerar que s~ao dadas as proposic~oes p e q e podemos combina-las e formar novas

    proposic~oes compostas com o uso dos conectivos.

    9

  • Operac~ao Conectivo Smbolo

    Conjunc~ao E ^Disjunc~ao Ou _Negac~ao N~ao :Condicional Se . . . ent~ao )Bicondicional Se e somente se ,

    Tabela 1.2: Tabela das operac~oes da logica matematica

    e seus respectivos conectivos

    Na tabela 1.3, tem-se a representac~ao das operac~oes logicas realizadas entre as

    proposic~oes p e q e tambem a forma como se le^ as frases matematicas que representam

    tais operac~oes.

    Operac~ao Representac~ao Le^-se

    A conjunc~ao de p e q p ^ q p e qA disjunc~ao de p e q p _ q p ou qA negac~ao de p :p N~ao pA condicional de p e q p) q Se p ent~ao qA bicondicional de p e q p, q p se e somente se q

    Tabela 1.3: Tabela com exemplos de combinac~oes

    de proposic~oes simples usando conectivos para formar

    proposic~oes compostas

    Vamos aos exemplos 1.2 e 1.3 para xarmos melhor tais conceitos e denic~oes.

    Exemplo 1.2: Classique cada proposic~ao a seguir como proposic~ao simples ou

    proposic~ao composta. No caso das proposic~oes compostas, identique a operac~ao

    usada para combinar as proposic~oes simples e forma-las.

    a) O Sol e uma estrela.

    Resposta: Proposic~ao simples.

    b) Eu estudo calculo.

    Resposta: Proposic~ao simples.

    c) Eu tenho um carro.

    Resposta: Proposic~ao simples.

    10

  • d) Jo~ao e magro e Jose e alto.

    Resposta: Proposic~ao composta por conjunc~ao.

    e) Maria e professora e atleta.

    Resposta: Proposic~ao composta por conjunc~ao.

    f) Maria foi ao shopping ou ao cinema.

    Resposta: Proposic~ao composta por disjunc~ao.

    g) O Sol n~ao e uma estrela.

    Resposta: Proposic~ao composta por negac~ao.

    h) N~ao passamos de ano.

    Resposta: Proposic~ao composta por negac~ao.

    i) Se Carla e meteorologista, ent~ao sabe fazer previs~ao do tempo.

    Resposta: Proposic~ao composta condicional.

    j) Jose sera aprovado se e somente se ele estudar bastante.

    Resposta: Proposic~ao composta bicondicional.

    Exemplo 1.3: Reescreva as proposic~oes a seguir em linguagem matematica.

    a) Um numero somado a ele mesmo e igual ao dobro dele.

    Resposta: Em linguagem matematica, a proposic~ao apresentada e a equac~ao:

    x+ x = 2x

    b) A soma de dois numeros naturais e um numero natural.

    Resposta: A proposic~ao apresentada pode, ainda, ser reescrita em liguagem

    do cotidiano para identicarmos mais facilmente a sua forma matematica.

    Podemos, inicialmente, reescreve^-la como uma proposic~ao condicional em

    linguagem do cotidiano: Se m e n s~ao numeros naturais, ent~ao sua soma

    e um numero natural. Desta forma, e mais facil vermos que, em liguagem

    matematica, temos:

    m;n 2 IN) (m+ n) 2 IN :

    c) A raiz quadrada de 1 n~ao e um numero real.Resposta: Essa proposic~ao, em linguagem matematica, e:

    p1 62 IR :

    11

  • d) Se um numero real ao quadrado e igual a 1, ent~ao esse numero e igual a 1 ou

    a 1.Resposta: Podemos escrever que:

    x 2 IR ^ x2 = 1) x = 1 :e) Se x e um numero real, ent~ao a raiz quarta de x e um numero real.

    Resposta: Podemos escrever que:

    x 2 IR) 4px 2 IR :

    O exemplo 1.3 e apenas para que o estudante perceba que precisara, muitas vezes,

    traduzir frases do cotidiano para a linguagem matematica e n~ao somente o inverso. Demos

    apenas cinco proposic~oes, mas diversas outras proposic~oes e frases aparecer~ao em nosso

    livro, mesmo que n~ao as explicitemos como exemplos ou problemas a serem resolvidos.

    Perceba tambem que, ao contrario das proposic~oes dos outros itens, a proposic~ao do

    item (e) do exemplo 1.3 e falsa. Lembre-se que uma frase ou proposic~ao n~ao precisa ser

    verdadeira para que possamos escreve^-la em linguagem matematica.

    1.2.2 Analise dos valores logicos de proposic~oes compostas

    Dada alguma proposic~ao composta por duas ou mais proposic~oes simples, devemos

    analisa-la e atribuir o seu valor logico (verdadeiro ou falso).

    A analise da proposic~ao composta para atribuic~ao de seu valor logico deve ser feita

    a partir do princpio da n~ao contradic~ao e do princpio do terceiro excludo. Assim, o

    estudante deve ter em mente esses dois princpios ao analisar qualquer proposic~ao logica.

    Para xarmos e exercitarmos a analise de proposic~oes logicas, bem como para

    comecarmos a nos familiarizar com os procedimentos para demonstrac~oes (assunto da

    proxima sec~ao) vamos analisar alguns exemplos de proposic~oes compostas a partir da

    aplicac~ao dessas cinco operac~oes logicas a proposic~oes simples. Vamos comecar pelo tipo

    considerado mais comum entre as proposic~oes compostas que aparecem na Matematica,

    a proposic~ao condicional ou proposic~ao de implicac~ao.

    1.2.3.1 Proposic~ao condicional ou proposic~ao de implicac~ao

    Dadas duas proposic~oes p e q (que podem ser simples ou compostas), uma proposic~ao

    composta do tipo `Se p, ent~ao q' e uma das formas mais comuns de expressarmos

    proposic~oes matematicas.

    12

  • Dizemos que as proposic~oes p e q representam condic~oes ou propriedades.

    Nas proposic~oes do tipo `Se p, ent~ao q', a condic~ao p, ou seja, a condic~ao que vem

    logo apos o `Se' e chamada de hipotese da proposic~ao e a condic~ao q, a que aparece

    imediatamente apos o `ent~ao', e chamada de tese da proposic~ao.

    O motivo da proposic~ao condicional tambem ser chamada de proposic~ao de implicac~ao

    e porque esse tipo de proposic~ao, como mostrado na tabela 1.3, pode ser representada por

    meio da notac~ao: p) q.Podemos tomar como exemplos a serem analisados algumas proposic~oes condicionais

    como as frases a seguir:

    A1: Sem e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a somam+n e um numero

    natural par.

    A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo

    de 4.

    A3: Sem e um numero natural tal quem3 = 5, ent~aom e um numero natural

    mpar.

    Na proposic~ao A1, a hipotese e a condic~ao `m e n s~ao numeros naturais mpares', e a

    tese e a condic~ao `a soma m+ n e um numero natural par'. No caso da proposic~ao A2, a

    condic~ao `m e um numero natural par' e a hipotese, e `m e um multiplo de 4' e condic~ao

    de sua tese. Ja no caso da proposic~ao A3 temos que `m e um numero natural tal que

    m3 = 5' e a hipotese e `m e um numero natural mpar' e sua tese.

    Ao analisar as proposic~oes A1, A2 e A3 devemos determinar se elas s~ao verdadeiras ou

    falsas, de forma que a armac~ao de que qualquer uma delas ou e verdadeira ou e falsa

    tenha um sentido preciso. Para isso, precisamos de alguns conceitos e denic~oes simples.

    Devemos saber que se um objeto matematico satisfaz a condic~ao dada pela hipotese

    dizemos, simplesmente, que o objeto satisfaz a hipotese da proposic~ao. E, analogamente,

    se um objeto matematico satisfaz a condic~ao dada pela tese, dizemos que o objeto satisfaz

    a tese da proposic~ao.

    Um objeto matematico que satisfaz a hipotese e a tese de uma proposic~ao e denominado

    exemplo. Ja um objeto matematico que satisfaz a hipotese de uma proposic~ao, mas n~ao

    satisfaz a sua tese e chamado de contra-exemplo. Ou seja:

    13

  • Exemplo para uma proposic~ao de implicac~ao: e um objeto matematico que

    satisfaz a hipotese e a tese da proposic~ao.

    Contra-exemplo para uma proposic~ao de implicac~ao: e um objeto

    matematico que satisfaz a hipotese da proposic~ao e n~ao satisfaz a tese dessa

    proposic~ao.

    Por exemplo, vemos que m = 8 e um objeto matematico que satisfaz tanto a hipotese

    quanto a tese da proposic~ao A2, pois e um numero natural par e tambem e multiplo de

    4, portanto, m = 8 e um exemplo da proposic~ao A2. Ja m = 10 e um objeto matematico

    que satisfaz a hipotese da proposic~ao A2 (e um numero natural par), mas n~ao satisfaz a

    sua tese (n~ao e multiplo de 4), por isso e um contra-exemplo para a proposic~ao A2.

    Quando uma proposic~ao, como A2, admite pelo menos um contra-exemplo, dizemos

    que a proposic~ao admite contra-exemplos. E, analogamente, quando n~ao ha nenhum

    objeto matematico que seja contra-exemplo para a proposic~ao, dizemos que a proposic~ao

    n~ao admite contra-exemplos.

    Com estas denic~oes e conceitos podemos denir quando uma proposic~ao de implicac~ao

    e verdadeira ou falsa:

    Proposic~ao verdadeira: e a proposic~ao que n~ao admite contra-exemplos;

    Proposic~ao falsa: e aquela que admite pelo menos um contra-exemplo.

    Para provar que uma proposic~ao e falsa basta encontrarmos um unico contra-

    exemplo para a proposic~ao.

    Ja para provarmos que uma proposic~ao e verdadeira devemos vericar que todos

    os objetos que satisfazem a sua hipotese tambem satisfazem a sua tese, ou seja, devemos

    provar que a proposic~ao n~ao admite nenhum contra-exemplo. Mais precisamente, n~ao

    adianta fornecermos exemplos para uma proposic~ao para provarmos que ela e verdadeira,

    pois e possvel encontrar innitos exemplos para uma proposic~ao que, mesmo assim, seja

    falsa. E o caso da proposic~ao A2 que e falsa e, no entanto, ha innitos objetos matematicos

    (numeros naturais pares e, ao mesmo tempo, multiplos de 4) que servem de exemplo para

    esta proposic~ao.

    14

  • Exemplo 1.4: Considere as proposic~oes A1, A2 e A3:

    A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m + n e um numero

    natural par.

    A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo de 4.

    A3: Se m e um numero natural tal que m3 = 5, ent~ao m e um numero natural

    mpar.

    Determine se cada uma dessas proposic~oes e verdadeira ou falsa.

    Resoluc~ao:

    i) Para o caso da proposic~ao A1 e de qualquer outra proposic~ao, n~ao podemos

    determinar se ela e verdadeira, simplesmente, fornecendo exemplos de objetos

    matematicos que satisfazem tanto a hipotese quanto a tese. Mesmo que n~ao

    consigamos imaginar nenhum contra-exemplo para a proposic~ao, precisamos

    vericar todos os casos possveis para determinarmos que ela e verdadeira.

    Ou seja, n~ao podemos ir listando pares de numeros naturais mpares que

    satisfazem a hipotese e a tese da proposic~ao.

    Podemos reescrever a proposic~ao A1, matematicamente, como:

    A1: m = 2k + 1j k 2 IN ^ n = 2l + 1j l 2 IN ) m+ n = 2rj r 2 IN.Assim, considerando m e n como dados na hipotese da proposic~ao, precisamos

    vericar se a soma m+ n tem a forma dada na tese da proposic~ao.

    Portanto:

    m+ n = 2k + 1 + 2l + 1

    m+ n = 2k + 2l + 2

    m+ n = 2(k + l + 1) :

    Como k e l s~ao dois numeros naturais quaisquer, temos que k + l+ 1 pode ser

    denido como r, ou seja, r := k + l + 1 onde r e um numero natural qualquer

    e, portanto,

    m+ n = 2(k + l + 1)

    m+ n = 2r :

    15

  • Assim, m+n e um numero natural par, como queramos demonstrar. Por n~ao

    termos feito qualquer suposic~ao a respeito de m e n, alem das que ja est~ao na

    proposic~ao, provamos que qualquer objeto matematico que obedeca a hipotese

    da proposic~ao (quaisquer dois numeros mpares) tambem obedece a tese desta

    proposic~ao (sua soma e um numero par).

    Em outras palavras, provamos que a proposic~ao n~ao admite contra-exemplos,

    sendo, desta forma, verdadeira.

    ii) Para a proposic~ao A2 ja vimos que o numero 10 e um contra-exemplo desta

    proposic~ao. Como vimos antes, se uma proposic~ao admite pelo menos um

    contra-exemplo ela e falsa, portanto, com o contra-exemplo m = 10, provamos

    que a proposic~ao A2 e falsa, pois vemos que A2 admite contra-exemplos.

    iii) Para a proposic~ao A3 temos que nenhum numero natural satisfaz a hipotese

    (m e um numero natural tal que m3 = 5), pois se m = 1 ) m2 = 1 ese m = 2 ) m2 = 8. Assim, como nenhum objeto satisfaz a hipotese eum contra-exemplo, por denic~ao, deve satisfazer a hipotese da proposic~ao, a

    proposic~ao A3 n~ao admite contra-exemplos. E se uma proposic~ao n~ao admite

    contra-exemplos ela e verdadeira e, portanto, a proposic~ao A3 e verdadeira.

    As proposic~oes do tipo A3 s~ao verdadeiras por vacuidade, pois n~ao ha nenhum

    objeto que satisfaz a sua hipotese. Tal tipo de proposic~ao n~ao tem nenhuma

    utilidade quanto ao estudo dos objetos que satisfazem a sua tese.

    1.2.3.2 Proposic~ao conjuntiva e proposic~ao disjuntiva

    Como ja foi dito, proposic~ao conjuntiva e a proposic~ao composta que usa o conectivo

    `e' para juntar as duas proposic~oes simples que a formam. Ja a proposic~ao disjuntiva usa

    o conectivo `ou' para juntar as duas proposic~oes simples na nova proposic~ao composta.

    Devemos destacar que:

    16

  • } Um objeto matematico obedece a uma proposic~ao conjuntivaquando obedece simultaneamente as duas condic~oes da

    proposic~ao.

    } Um objeto matematico obedece a uma proposic~ao disjuntivaquando obedece a pelo menos uma das duas condic~oes da

    proposic~ao.

    Perceba, da segunda condic~ao, que na Matematica o conectivo `ou' n~ao e exclusivo.

    Para ilustrarmos isto, considere a proposic~ao: Paulo vai ao cinema ou ao teatro. De

    acordo com a Matematica, tal proposic~ao sera verdadeira: (i) se Paulo for somente ao

    cinema; (ii) se Paulo for somente ao teatro; e (iii) se Paulo for ao cinema e tambem ao

    teatro.

    Para que o conectivo `ou', na Matematica, dena o criterio de exclusividade entre

    as proposic~oes simples da proposic~ao composta, deveramos reescrever, por exemplo, a

    proposic~ao acima como: Paulo vai ou ao cinema ou ao teatro.

    A operac~ao logica referente ao `ou exclusivo' e chamada de disjunc~ao exclusiva e

    representada pelo smbolo matematico . Apesar dessa operac~ao logica ser bastanteusada em logica de computac~ao, n~ao a estudaremos em nosso livro pois ela raramente

    aparece em textos de Calculo Diferencial e Integral.

    Para estudarmos e entendermos melhor as proposic~oes conjuntivas e disjuntivas,

    vejamos os exemplos 1.5 e 1.6 dados a seguir.

    Exemplo 1.5: Considere os pares de numeros do tipo P = (m;n) dados por

    P1 = (2; 3), P2 = (3; 2), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4). Considere tambem as proposic~oes

    conjuntivas e disjuntivas dadas por:

    A4: m e par e n e mpar.

    A5: m e par ou n e mpar.

    A6: m e par e n e par.

    A7: m e par ou n e par.

    A8: m e mpar e n e mpar.

    17

  • A9: m e mpar ou n e mpar.

    A10: m e mpar e n e par.

    A11: m e mpar ou n e par.

    Diga quais pares de numeros s~ao exemplos de cada proposic~ao dada.

    Resoluc~ao:

    (i) A proposic~ao A4 e uma proposic~ao conjuntiva, desta forma, os pares de numeros

    que obedecem a ela devem obedecer, simultaneamente, as duas condic~oes, ou

    seja, devem ser tais que o primeiro numero, m, seja par e, ao mesmo tempo, o

    segundo numero, n, seja mpar. Portando, somente o par P1 = (2; 3) obedece

    a proposic~ao A4.

    (ii) A proposic~ao A5 e disjuntiva, desta forma, os pares de numeros que obedecem

    a ela devem ser formados por numeros que obedecam a pelos menos uma das

    condic~oes da proposic~ao. Ou seja, os pares de numeros que obedecem a esta

    proposic~ao devem ser tais que: m e par; n e mpar; ou m e par e n e mpar.

    Portando, vemos que os pares P1 = (2; 3), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4) obedecem

    a proposic~ao A4.

    (iii) Seguindo o mesmo raciocnio usado para a proposic~ao A4, vemos que apenas

    P4 = (2; 4) obedece a proposic~ao A6.

    (iv) Seguindo o mesmo raciocnio usado para a proposic~ao A6, vemos que P1 =

    (2; 3), P2 = (3; 2) e P4 = (2; 4) obedecem a proposic~ao A7.

    (v) Apenas P3 = (1; 3) obedece a proposic~ao A8.

    (vi) P1 = (2; 3), P2 = (3; 2) e P3 = (1; 3) obedecem a proposic~ao A9.

    (vii) Apenas P2 = (3; 2) obedece a proposic~ao A10.

    (viii) P2 = (3; 2), P3 = (1; 3) e P4 = (2; 4) obedecem a proposic~ao A11.

    Exemplo 1.6: Considere as proposic~oes condicionais a seguir:

    A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar ou m n e mpar.A14: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par ou m n e par.

    Analise a hipotese e a tese de cada proposic~ao e diga se essas proposic~oes s~ao

    verdadeiras ou falsas.

    18

  • Resoluc~ao:

    (i) Para o caso da proposic~ao A12, como a hipotese da proposic~ao A12 e uma

    proposic~ao conjuntiva, os objetos matematicos que a obedecem s~ao os pares

    de numeros onde m e par e, ao mesmo tempo, n e mpar. Por exemplo, os

    numeros m = 2 e n = 3 obedecem a hipotese de A12. No caso mais geral

    podemos ecrever que m = 2k e n = 2l + 1.

    A tese de A12 tambem e uma proposic~ao conjuntiva e para obedecer a tese de

    A12 o objeto matematico deve ser composto por dois numeros m e n de tal

    forma que a soma m + n seja mpar e o produto m n seja par. Vericando asoma de m e n:

    m+ n = 2k + 2l + 1

    m+ n = 2(k + l) + 1

    m+ n = 2r + 1

    onde vemos que m+ n e um numero mpar.

    Vericando o produto de m e n:

    m n = 2k (2l + 1)m n = 2(kl + k)m n = 2s

    onde vemos que m n e um numero par.Assim, vimos que todos os pares de numeros que obedecem a hipotese de

    A12 tambem obedecem as duas condic~oes de sua tese, tornando a proposic~ao

    verdadeira.

    (ii) Para o caso da proposic~ao A13 e vendo os calculos feitos no incio do exemplo,

    temos que todos os pares de numeros que obedecem a sua hipotese v~ao obedecer

    a primeira condic~ao de sua tese (sua soma e um numero mpar). Mesmo que

    esses pares de numeros n~ao obedecam a segunda condic~ao da tese (seu produto

    e um numero par e n~ao mpar), como a tese e formada por uma proposic~ao

    disjuntiva, a proposic~ao A13 e verdadeira.

    19

  • (iii) Ja para o caso da proposic~ao A14 e, novamente, vendo os calculos feitos no

    incio do exemplo, temos que todos os pares de numeros que obedecem a sua

    hipotese n~ao ir~ao obedecer a primeira condic~ao de sua tese (sua soma n~ao e um

    numero par), mas esses pares de numeros obedecem a segunda condic~ao da tese

    (seu produto e um numero par), como a tese e formada por uma proposic~ao

    disjuntiva, a proposic~ao A14 tambem e verdadeira.

    1.2.3.3 A recproca de uma proposic~ao condicional e a proposic~ao

    bicondicional

    Consideremos uma proposic~ao condicional, do tipo `Se p, ent~ao q' que tambem pode

    ser representada como p ) q. A partir dela sempre podemos construir outra proposic~aocondicional do tipo `Se q, ent~ao p', que pode ser representada como q ) p. A proposic~ao`Se q, ent~ao p' e chamada a recproca da proposic~ao `Se p, ent~ao q' e, consequentemente,

    a proposic~ao `Se p, ent~ao q' e a recproca de `Se q, ent~ao p'.

    Vamos ao exemplo a seguir para ilustrar melhor o conceito de recproca de uma

    proposic~ao condicional.

    Exemplo 1.7: Considere as proposic~oes a seguir e escreva a recproca de cada uma.

    A seguir, determine se cada proposic~ao e sua recproca s~ao verdadeiras ou falsas.

    a) A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m+n e um numero

    natural par.

    Resposta: A partir da proposic~ao A1 podemos escrever a sua recproca como:

    B1: Se a soma m + n e um numero natural par, ent~ao m e n s~ao numeros

    naturais mpares.

    Ja vimos que a proposic~ao A1 e verdadeira. No entanto, podemos vericar

    que o par de numeros m = 2 e n = 4 e um contra-exemplo para a proposic~ao

    B1, pois m + n = 6 que e um numero natural par (satisfazendo a hipotese) e,

    no entanto, tanto 2 quanto 4 s~ao numeros naturais pares e, desta forma, n~ao

    satisfazem a tese, provando que a proposic~ao B1 e falsa.

    Outro contra-exemplo, dos innitos possveis, seria m = 1; 2 e n = 0; 8, ja que

    em B1 n~ao ha qualquer restric~ao de que m e n sejam numeros naturais.

    20

  • b) A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo

    de 4.

    Resposta: A recproca de A2 e a proposic~ao:

    B2: Se m e um numero natural multiplo de 4, ent~ao m e um numero natural

    par.

    Ja vimos que a proposic~ao A2 e falsa, no entanto a sua recproca, B2, e

    verdadeira. Podemos provar isso considerando um numero natural multiplo de

    4 como um numero na forma m = 4k, onde k e um numero natural qualquer.

    Assim:

    m = 4k

    m = 2(2k) ;

    onde provamos que todo numero multiplo de 4 tambem sera multiplo de 2 e,

    consequentemente, par.

    c) A3: Se m e um numero natural tal que m3 = 5, ent~ao m e um numero natural

    mpar.

    Resposta: A proposic~ao A3 tem por recproca a proposic~ao:

    B3: Se m e um numero natural mpar, ent~ao m e um numero natural tal que

    m3 = 5.

    Podemos provar que a proposic~ao B3 e falsa apresentando um contra-exemplo

    para ela. Considerando m = 1, que e um numero natural mpar e, portanto,

    obedece a hipotese da proposic~ao, temos que m3 = 13 = 1 6= 5. Desta forma,vemos que a proposic~ao B3 e falsa, enquanto que sua recproca A3 e verdadeira

    por vacuidade.

    d) A15: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao m n e um numero naturalmpar com m e n numeros naturais.

    Resposta: A15 tem por recproca a proposic~ao:

    B15: Se m n e um numero natural mpar com m e n numeros naturais, ent~aom e n s~ao numeros naturais mpares.

    Podemos provar que a proposic~ao A15 e sua recproca, B15, s~ao verdadeiras.

    Para provar que a proposic~ao A15 e verdadeira vamos considerar que, como

    numeros naturais mpares, m e n s~ao m = 2k + 1 e n = 2l + 1, onde k e l s~ao

    numeros naturais. Portanto, o produto m n vale:

    21

  • m n = (2k + 1)(2l + 1)m n = 4kl + 2k + 2l + 1m n = 2(2kl + k + l) + 1m n = 2r + 1 ;

    onde r := 2kl + k + l e um numero natural qualquer e, portanto, vemos que o

    produto m n e um numero mpar, provando a proposic~ao A15.Para provarmos a proposic~ao B15, podemos vericar os resultados do produto

    m n quando m e n s~ao naturais pares e quando m e natural par e n e naturalmpar.

    Para m e n numeros naturais pares, ou seja, para m = 2k e n = 2l com

    k; l 2 IN, temos:

    m n = (2k)(2l)m n = 2(2kl) ;

    onde vemos que, neste caso, o produto m n e um natural par.Para m par e n mpar, ou seja, para m = 2k e n = 2l + 1 com k; l 2 IN, temosque:

    m n = (2k)(2l + 1)m n = 4kl + 2km n = 2(2kl + k) ;

    onde vemos que, tambem neste caso, o produto m n e um natural par.Desta forma, vendo que, para as outras possibilidades dem e n, o produtomn esempre um natural par, provamos, por demonstrac~ao direta, onde analisamos os

    possveis contra-exemplos, que a proposic~ao B15 e verdadeira. Explicaremos os

    dois tipos de demonstrac~ao (demonstrac~ao direta e demonstrac~ao por absurdo)

    na proxima sec~ao.

    Como a proposic~ao A15 e tambem a sua recproca B15 s~ao verdadeiras, podemos

    reescreve^-las como uma unica proposic~ao, chamada de proposic~ao bicondicional

    ou proposic~ao do tipo `Se e somente se'. A proposic~ao bicondicional que e

    equivalente, ao mesmo tempo, as proposic~oes A15 e B15 pode ser escrita como:

    C15: mn e um numero natural mpar comm e n numeros naturais se e somentese m e n s~ao numeros naturais mpares.

    22

  • Ou ainda como:

    C15: m e n s~ao numeros naturais mpares se e somente se m n e um numeronatural mpar com m e n numeros naturais.

    Uma proposic~ao bicondicional do tipo `p se e somente se q' tambem pode ser

    representada como p , q e que, alem de ser lida como `p se e somente se q', podeser lida como `p implica q e q implica p'.

    Se escrevemos uma proposic~ao bicondicional a partir de uma proposic~ao de implicac~ao

    e sua recproca onde uma delas e falsa, a proposic~ao bicondicional sera falsa.

    1.2.3.4 Proposic~ao negativa ou a negac~ao de uma proposic~ao

    A negac~ao de uma proposic~ao p e uma outra proposic~ao, denotada por `n~ao p', que

    tem a propriedade de ter o atributo oposto ao de p.

    Assim, considerando uma proposic~ao p e sua negac~ao (:p), temos que:

    } Se p e verdadeira, ent~ao :p e falsa.

    } Se p e falsa, ent~ao :p e verdadeira.

    } A negac~ao de :p e a proposic~ao p, ou seja, :(:p) = p.

    Nem sempre enunciar a negac~ao de uma proposic~ao e simples. Mas, para o caso de

    uma proposic~ao do tipo `Se p, ent~ao q' que possui objetos matematicos que obedecem a

    sua tese, enunciar sua negac~ao pode ser bem simples e, muitas vezes, bastante util.

    Para a maioria das proposic~oes de implicac~ao (`Se p, ent~ao q'), e possvel nega-las de

    uma das seguintes formas:

    i) Se p, ent~ao n~ao q.

    ii) Se n~ao p, ent~ao p.

    iii) Se n~ao p, ent~ao n~ao p.

    Tome cuidado! A negac~ao de uma proposic~ao so esta escrita quando o valor logico da

    proposic~ao como um todo e invertido. Alem disso, ha proposic~oes que podem ser negadas

    de varias formas diferentes

    23

  • Vejamos alguns casos de negac~ao de proposic~ao condicional no exemplo 1.8.

    Exemplo 1.8: Considere as proposic~oes e escreva suas negac~oes.

    a) A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a soma m+n e um numero

    natural par.

    Resoluc~ao: A negac~ao da proposic~ao A1 e feita escrevendo :A1, a partir deA1, com a forma `Se p, ent~ao n~ao q'. Assim:

    :A1: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao a somam+n e um numeronatural mpar.

    Perceba que, na negac~ao da proposic~ao A1, subtitumos a express~ao `numero

    natural n~ao mpar' que apareceria na negac~ao pela express~ao `numero natural

    par'. Fizemos isto porque estava especicado quem e n pertencem aos naturais

    e, dentro do conjunto IN, se um numero n~ao e mpar, ent~ao ele e par.

    Como a proposic~ao A1 e verdadeira, a proposic~ao :A1 e falsa. Para prova-la,basta fornecer um contra-exemplo para ela.

    b) A15: Se m e n s~ao numeros naturais mpares, ent~ao m n e um numero naturalmpar com m e n numeros naturais.

    Resoluc~ao: A negac~ao da proposic~ao e :A15: Se m e n s~ao numeros naturaismpares, ent~ao m n e um numero natural par com m e n numeros naturais.A proposic~ao A15 tambem e verdadeira, ent~ao a proposic~ao :A15 e falsa.Tambem na negac~ao da proposic~ao A15 substituimos `numero natural n~ao par'

    por `numero natural mpar'.

    c) A2: Se m e um numero natural par, ent~ao m e um numero natural multiplo

    de 4.

    Resoluc~ao: A negac~ao de A2 tera a forma `Se n~ao p, ent~ao n~ao p'. Assim:

    :A2: Se m e um numero natural mpar, ent~ao m n~ao e um numero naturalmultiplo de 4.

    Pode-se, facilmente, provar que a proposic~ao :A2 e verdadeira e, portanto, temo atributo oposto ao de A2. Deixamos essa prova para o estudante.

    d) A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.Resoluc~ao: Tanto a hipotese quanto a tese de A12 s~ao proposic~oes conjuntivas

    e ela e verdadeira, por isto ha varias formas de negar essa proposic~ao negando

    apenas qualquer uma das proposic~oes simples que formam sua hipotese ou sua

    24

  • tese. Podemos escrever qualquer uma das formas a seguir como negac~ao de

    A12:

    :A12: Se m e mpar e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.:A12: Se m e par e n e par, ent~ao m+ n e mpar e m n e par.:A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par e m n e par.:A12: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar e m n e mpar.Pode-se, facilmente, provar que todas as formas acima tem o atributo oposto

    ao de A12. Novamente, deixamos essa prova para o estudante.

    e) A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e mpar ou m n e mpar.Resoluc~ao: A maneira mais simples de escrevermos a negac~ao de A13, visto

    que ela e verdadeira, sua hipotese e uma proposic~ao conjuntiva e sua tese e

    uma proposic~ao disjuntiva, e negando a parte da tese que e verdadeira. Assim:

    :A13: Se m e par e n e mpar, ent~ao m+ n e par ou m n e mpar.

    Perceba que deixamos de fora dos exemplos de negac~ao de proposic~oes condicionais

    a proposic~ao A3, pois ela e verdadeira por vacuidade, ou seja, n~ao possui objetos

    matematicos que sequer obedecam a sua hipotese e, portanto, n~ao estamos interessados

    em obter sua negac~ao.E importante sabermos negar proposic~oes condicionais, principalmente, para con-

    seguirmos fazer algumas demonstrac~oes por absurdo (como veremos na proxima sec~ao)

    ou para reescrever como verdadeira a negac~ao de uma proposic~ao que provamos ser falsa.

    Resumindo a sec~ao como um todo e, de acordo com o princpio do terceiro excludo,

    uma proposic~ao ou e Verdadeira ou e Falsa, ou seja, seu valor logico so pode ser

    `Verdadeiro' ou `Falso'. Assim, dada uma express~ao proposicional composta (proposic~ao

    composta), podemos denir seu valor logico atraves da combinac~ao dos valores logicos

    possveis das proposic~oes simples que a formam.

    Dadas as proposic~oes simples p e q, temos as seguintes denic~oes referente a proposic~oes

    compostas:

    25

  • Conjunc~ao: a conjunc~ao `p e q' e verdadeira quando as duas proposic~oes

    forem verdadeiras, e e falsa se, pelo menos, uma delas for falsa;

    Disjunc~ao: a disjunc~ao `p e q' e verdadeira quando pelo menos uma das

    proposic~oes for verdadeira, e e falsa se as duas forem falsas;

    Negac~ao: a negac~ao :p tem valor logico verdade quando p e falsa e valorlogico falso quando p e verdadeira;

    Condicional: a condicional p) q e falsa quando p e verdadeira e q e falsa; ee verdadeira nos demais casos;

    Bicondicional: a bicondicional p , q e verdadeira quando p e q tiverem osmesmos valores logicos e e falsa nos demais casos.

    Essas denic~oes adve^m dos princpios da n~ao contradic~ao e do terceiro excludo,

    portanto, ao se analisar proposic~oes compostas e importante que tenhamos em mente

    esses princpios e, n~ao necessariamente, as denic~oes advindas deles.

    1.3 Demonstrac~oes em Matematica

    Na Matematica e necessario denir conceitos de forma que estas denic~oes sejam

    claras e que tenham sentido completo e, mais ainda, que suas propriedades possam ser

    provadas ou demonstradas.

    Mas, o que e uma demonstrac~ao matematica?

    Demonstrac~ao: e a apresentac~ao de argumentos e resultados verdadeiros que

    nos permitem concluir o atributo verdadeiro da proposic~ao a ser demonstrada.

    Os argumentos e resultados utilizados em uma demonstrac~ao devem ser verdadeiros e

    tambem devem respeitar as regras da logica matematica.

    Muitos estudantes acreditam, equivocadamente, que demonstrac~oes s~ao abstratas e

    que deveriam ser ignoradas ou relegadas para os acade^micos (professores e estudiosos

    da Matematica). No entanto, o estudante deve se conscientizar que para trabalhar com

    26

  • Matematica e necessario saber usar bem suas ferramentas e conhecimentos e e impossvel

    trabalhar bem com Matematica sem saber como demonstrar a maioria de seus teoremas,

    corolarios e leis. Mesmo os estudantes de Engenharia, que est~ao mais interessados na

    aplicac~ao das leis e teoremas matematicos e fsicos, devem ter uma boa noc~ao de demon-

    strac~oes e saber faze^-las para aplicar adequadamente a Matematica em seus projetos.

    Esta sec~ao n~ao tem por pretens~ao ensinar o estudante a demonstrar tudo em

    Matematica, mas somente de inicia-lo no a^mbito das demonstrac~oes e, a medida que

    ele for se aprofundando nos seus estudos de Matematica, ira aprender a fazer novas e

    mais complicadas demonstrac~oes.

    Podemos dizer que uma demonstrac~ao e composta de uma ou mais etapas em que

    prova-se (demonstra-se) uma implicac~ao do tipo p ) q. Vamos entender melhor estaarmac~ao nos exemplos desta sec~ao.

    Ha dois principais tipos de demonstrac~oes que podemos utilizar em Matematica: a

    demonstrac~ao direta e a demonstrac~ao por absurdo.

    Cabe ainda ressaltar que proposic~oes do tipo implicac~ao (p ) q) devem serdemonstradas, quer por demonstrac~ao direta ou por demonstrac~ao por absurdo, indo-

    se da hipotese para a tese.

    Por outro lado, as proposic~oes bicondicionais (p, q) precisam ser demonstradas nosdois sentidos, ou seja, precisam ser demonstradas da hipotese para a tese e tambem da

    tese para a hipotese. Isto se deve ao fato deque uma proposic~ao bicondicional corresponde

    a uma proposic~ao de implicac~ao e a sua recproca.

    1.3.1 Demonstrac~ao direta

    A demonstrac~ao de uma proposic~ao e chamada de demonstrac~ao direta quando

    e feita de modo a provar diretamente que a proposic~ao n~ao admite contra-exemplos, ou

    seja, pressup~oe verdadeira a hipotese da proposic~ao e, a partir desta, prova ser verdadeira

    a tese da proposic~ao.

    Podemos fazer uma demonstrac~ao direta de duas formas:

    1. mostrando que em todas as situac~oes em que a hipotese e satisfeita a

    tese tambem e satisfeita; ou

    2. analisando todos os candidatos a contra-exemplos e mostrando que eles

    n~ao s~ao contra-exemplos.

    27

  • Ja usamos demonstrac~oes diretas para provar algumas proposic~oes nas sec~oes

    anteriores deste captulo (para provar as proposic~oes A1, B2, A15 e B15). Mesmo assim,

    vamos fazer mais um exemplo no qual explicitamos as etapas usadas numa demonstrac~ao

    direta.

    Exemplo 1.9: Considere a proposic~ao: \A soma de dois numeros naturais pares e

    um numero par". Demonstre-a por demonstrac~ao direta.

    Resoluc~ao: Para realizar a demonstrac~ao direta dessa proposic~ao seguiremos as

    seguintes etapas:

    (i) Reescrevemos a proposic~ao na forma de uma implicac~ao: Se n e m s~ao dois

    numeros naturais pares quaisquer, ent~ao n+m tambem e um numero natural

    par.

    (ii) Consideramos a denic~ao de um numero par, que e dada por m = 2k, em que

    k e um numero natural qualquer.

    (iii) Se n e m s~ao pares, ent~ao existem k e l tais que: n = 2k e m = 2l, ent~ao

    n+m = 2k + 2l) n+m = 2(k + l).(iv) Como k+ l e um numero natural qualquer, e esta multiplicado por 2, podemos

    armar que n+m e um numero par.

    Seguindo as etapas acima provamos a proposic~ao dada no enunciado via

    demonstrac~ao direta.

    Aconselhamos ao estudante que veja novamente as outras demonstrac~oes diretas feitas

    no captulo, antes de tentar fazer as demonstrac~oes solicitadas nos exerccios.

    1.3.2 Demonstrac~ao indireta

    A demonstrac~ao indireta, ou demonstrac~ao por absurdo, consiste em estabele-

    cer a verdade de uma armac~ao por revelar a falsidade da suposic~ao oposta, geralmente

    apresentada por uma hipotese absurda, ou seja, assume-se o contrario do que se quer

    provar e ao chegar em uma contradic~ao a prova e nalizada.

    Para ilustrar a demonstrac~ao indireta vamos apresentar um exemplo, considerado

    classico, para esse tipo de demonstrac~ao. Outros exemplos ser~ao vistos nos proximos

    captulos.

    28

  • Exemplo 1.10: Considere a proposic~ao a seguir e demonstre-a por absurdo:

    \Se um numero somado a ele mesmo e igual a ele mesmo, ent~ao esse numero e zero".

    Resoluc~ao: Para fazer esta demonstrac~ao por absurdo vamos seguir as etapas:

    (i) Considere x um numero qualquer.

    (ii) Reescrevendo a proposic~ao: Se x+ x = x, ent~ao x = 0. Ou na forma: x+ x =

    x) x = 0.(iii) Por absurdo, supomos que x+ x = 0 e x 6= 0, ent~ao 2x = 0 e x 6= 0.(iv) Dividindo a equac~ao 2x = 0 por x, divis~ao que so pode ser feita se x 6= 0,

    tem-se 2 = 0, que e um absurdo.

    (v) Portanto, esta demonstrado que: x+ x = x) x = 0.

    Quando vamos fazer uma demonstrac~ao devemos escolher que tipo de caminho seguir,

    ou seja, que tipo de demonstrac~ao sera feita (demonstrac~ao direta ou por absurdo). A

    maioria das proposic~oes que o estudante encontrara em sua vida acade^mica pode ser

    demonstrada das duas forma, sendo que uma forma dara mais trabalho que a outra.

    Outras proposic~oes so podem ser demonstradas por um unico caminho. A escolha do tipo

    de demonstrac~ao depende da proposic~ao a ser demonstrada e o estudante sabera discernir

    entre qual escolher com a pratica que se adquire fazendo muitos exerccios.

    Em resumo

    Neste captulo, comecamos nosso estudo dos conteudos previos ao Calculo Diferencial

    e Integral, ou seja, comecamos nossos estudos de Pre-Calculo, revisando, de forma

    aprofundada, os primeiros topicos de Matematica Basica. Para isto, explicitamente:

    } estudamos alguns dos principais smbolos matematicos usados em express~oes e frasesmatematicas;

    } denimos e estudamos proposic~oes matematicas, aprendendo a construir proposic~oescompostas a partir de composic~oes simples e dos conectivos da logica matematica;

    29

  • } aprendemos a analisar proposic~oes matematicas, a partir do princpio da n~aocontradic~ao e do princpio do terceiro excludo, determinando seus valores logicos

    (verdadeiro ou falso);

    } aprendemos a realizar as demonstrac~oes direta e indireta de proposic~oesmatematicas.

    Nos exerccios deste captulo temos algumas poucas demonstrac~oes que s~ao pedidas.

    No decorrer de todo o nosso livro, em cada um de seus captulos, iremos voltar a

    esses topicos da linguagem e da logica matematica e tambem das demonstrac~oes, sendo

    necessario demonstrar ou determinar o valor logico de varias outras proposic~oes.

    Antes dos exerccios, temos um pequeno questionario sobre os conceitos e topicos

    apresentados no captulo. Tal questionario n~ao tem um gabarito no nosso livro, haja

    visto que todas as respostas est~ao explicitas no corpo do texto do captulo ou s~ao sobre

    a opini~ao do estudante a respeito de algum topico ou conceito. Veja que o objetivo do

    questionario e fazer com que o estudante perceba se acompanhou atentamente e conseguiu

    entender o captulo que se encerra.E muito importante lembrarmos ao estudante que, antes de ir para os exerccios

    deste captulo, e necessario ter certeza que, alem de ter entendido os conceitos e topicos

    explicados, ele tambem entendeu e sabe fazer todos os exemplos apresentados no captulo.

    Portanto, e muito importante refazer todos os exemplos do captulo antes de comecar a

    fazer os exerccios.

    Questionario

    1. Na sua opini~ao, por que a linguagem matematica e considerada a linguagem

    universal?

    2. A logica, por ser um raciocnio direto, e sempre a mesma e obedece as mesmas regras,

    que seja na linguagem matematica, no portugue^s ou em qualquer outra linguagem

    conhecida/criada pelo homem? Justique.

    3. Dena com suas palavras:

    a) proposic~ao;

    b) proposic~ao simples;

    c) proposic~ao composta;

    d) conectivo;

    30

  • e) operac~ao logica;

    f) proposic~ao composta por conjunc~ao;

    g) proposic~ao composta por disjunc~ao;

    h) proposic~ao composta por negac~ao;

    i) proposic~ao condicional;

    j) proposic~ao bicondicional;

    k) recproca de uma proposic~ao condicional.

    4. Qual a diferenca entre a hipotese e a tese de uma proposic~ao condicional?

    5. O que e um exemplo de proposic~ao condicional? E um contra-exemplo?

    6. Explique, com suas palavras, quando uma proposic~ao matematica e verdadeira. E

    quando ela e falsa.

    7. Dado um objeto matematico, quando podemos dizer que ele obedece a uma

    proposic~ao conjuntiva? E a uma proposic~ao disjuntiva?

    8. Explique com suas palavras o que e uma:

    a) demonstrac~ao;

    b) demonstrac~ao direta;

    c) demonstrac~ao indireta.

    9. E sempre possvel usarmos os dois tipos de demonstrac~ao para provarmos uma

    proposic~ao? Justique.

    Exerccios

    1. Escreva cada uma das frases a seguir em linguagem matematica.

    a) x e maior que sete.

    b) x e um numero natural menor que dez.

    c) A soma de cinco e sete e igual a doze.

    d) Quatro vezes tre^s e diferente de treze.

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  • e) Existe numero natural multiplo de quatro.

    f) N~ao existe numero natural maior que zero e menor que um.

    g) Se n e multiplo de seis, ent~ao n e multiplo de tre^s.

    2. Escreva cada uma das express~oes matematicas a seguir em linguagem do nosso

    cotidiano (portugue^s).

    a) 3x+ 1 = 0 ;

    b) 1 x 6= 3 ;c) x 3 < x2 1 ;d) x+ 1 = 0) x 62 IN ;e) x2 + x 2 = 0, x = 1 _ x = 2 ;f) @x 2 IRjx2 + 4 = 0 ;g) x2 1 0, x 1 _ x 1 ;

    Para os exerccios de 3 a 16, considere cada proposic~ao e: (a) determine se verdadeira

    ou falsa; (b) escreva, se possvel a negac~ao de cada proposic~ao; (c) escreva, se possvel, a

    recproca de cada proposic~ao e determine se cada recproca e verdadeira ou falsa; (d) con-

    siderando cada proposic~ao e sua recproca escreva a proposic~ao bicondicional equivalente

    e diga se ela e verdadeira ou falsa; (e) escreva a negac~ao de cada proposic~ao e tambem a

    negac~ao de sua recproca.

    4. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m+n e natural par com m e n numeros naturais.

    5. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m + n e natural mpar com m e n numeros

    naturais.

    6. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m+ n n~ao e natural mpar com m e n numeros

    naturais.

    7. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m + n e natural par com m e n numeros

    naturais.

    8. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m + n e natural mpar com m e n numeros

    naturais.

    9. Se m e um natural par e n e natural mpar, ent~ao m + n e natural par com m e n

    numeros naturais.

    32

  • 10. Se m e um natural par e n e natural mpar, ent~ao m+ n e natural mpar com m e

    n numeros naturais.

    11. Se m e n s~ao naturais pares, ent~ao m n e natural par com m e n numeros naturais.

    12. Sem e n s~ao naturais pares, ent~aomn e natural mpar comm e n numeros naturais.

    13. Se m e n s~ao naturais mpares, ent~ao m n e natural mpar com m e n numerosnaturais.

    14. Sem e n s~ao naturais mpares, ent~aomn e natural par comm e n numeros naturais.

    15. Se x e um numero natural e 0 < x < 1, ent~ao x > 0.

    16. Se m e natural e 0 < m < 7 ou 5 m 10, ent~ao 5 m < 7.

    17. Se m e natural e 0 < m < 7 ou 5 m 10, ent~ao 1 m 10.

    33