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Pre-Calculo

Uma Revisao de Conceitos Matematicospara as Cadeiras de Calculo

Departamento de MatematicaUniversidade de Aveiro

Setembro de 2005

Pre-Calculo 2005 Objectivos do Pre-Calculo

Este texto pretende dar aos alunos das disciplinas de Calculo (I e II) uma visao generica de algumas materias,ja estudadas anteriormente, e que consideramos serem pre-requisitos de Matematica para as disciplinas deCalculo.Nao pretendemos mais do que fornecer ao aluno a possibilidade de recordar, de uma forma rapida e facil,alguns resultados que foram (ou nao) sendo estudados em anos anteriores e que consideramos indispensaveis apercepcao das materias a leccionar. Nao usamos grande detalhe na exposicao dos resultados, mas preocupamo--nos mais com a resolucao de alguns exercıcios que ajudem a recordar os conceitos estudados no ensino pre--universitario.Ao longo do ano havera provavelmente necessidade de outras revisoes que aqui nao puderam ser contempladas.Conscientes das dificuldades em Matematica, sentidas por grande numero de alunos, procuraremos, deste modo,facilitar a sua integracao no ensino superior. Para isso, e indispensavel que da parte dos alunos haja vontadede aprender e alguma vontade de trabalhar. . .Para um melhor aprofundamento das materias aqui afloradas, os alunos deverao consultar outros textos. Paraalem dos manuais do ensino secundario, sugerem-se, a tıtulo de exemplo:

1. Iaci Malta, Sinesio Pesco e Helio Lopes. Calculo a Uma Variavel, volumes I e II. Edicoes Loyola, 2002.

2. Jaime Carvalho e Silva. Princıpios de Analise Matematica Aplicada. McGraw-Hill, 1994.

Pode tambem consultar outra bibliografia conforme indicado nas Referencias.

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Pre-Calculo 2005 Conteudo

1 Numeros e Calculo 11.1 Conjuntos de Numeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Condicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Modulo de um Numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Operacoes com Fraccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.5 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Casos Notaveis da Multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Polinomios 52.1 Divisao Inteira de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Algoritmo da Divisao Inteira de Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.1.2 Regra de Ruffini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Zeros de um Polinomio e Factorizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Simplificacao de Expressoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Equacoes 113.1 Equacao do 1o Grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Equacoes do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.3 Equacoes com Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.4 Equacoes com Modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.5 Resolucao de outras Equacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Inequacoes 174.1 Inequacoes do 2o grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2 Inequacoes com modulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3 Inequacoes com Radicais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Resolucao de outras Inequacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Generalidades sobre Funcoes 235.1 Nocao de Funcao. Domınio e Contradomınio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.2 Funcoes Reais de Variavel Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235.3 Restricao de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.4 Funcoes definidas por ramos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.4.1 A funcao modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265.5 Injectividade e sobrejectividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.6 Paridade de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.7 Funcoes Monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.8 Funcao Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.9 Funcoes com parametros ou famılias de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.10 Funcoes polinomiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.11 Funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.12 Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.13 Inversa de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6 Funcao logarıtmica e funcao exponencial 366.1 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2 Funcao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2.1 Propriedades da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.2.2 Funcao Exponencial de Base a com a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2.3 Funcao Exponencial de Base a com 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.3 Funcao Logarıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3.1 Funcao Logarıtmica de Base a, com a > 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.3.2 Funcao Logarıtmica de Base a, com 0 < a < 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

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Pre-Calculo 2005 Conteudo

7 Funcoes trigonometricas 437.1 Funcoes Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.2 Identidades Trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.3 Graficos das funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

7.3.1 Funcoes seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.3.2 Funcao tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.4 Equacoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 Sucessoes reais 488.1 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1.1 Sucessoes definidas por recorrencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508.2 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.3 Sucessoes limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528.4 Progressoes aritmeticas e geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.4.1 Progressoes aritmeticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538.4.2 Progressoes geometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

8.5 Convergencia de uma sucessao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558.6 Limites notaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.7 Propriedades aritmeticas dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568.8 Teoremas sobre limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

9 Limites e Continuidade 619.1 Definicao de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.2 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.3 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.4 Propriedades das Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.5 Limites Infinitos e Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.6 Propriedades dos Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.7 Assımptotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

10 Derivadas 7210.1 Derivada de uma Funcao num Ponto. Funcao Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.2 Interpretacao Geometrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7210.3 Regras de Derivacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7310.4 Derivada da Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7410.5 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7510.6 Derivadas de ordem superior a primeira . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7610.7 Aplicacao das derivadas ao estudo de funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

10.7.1 Monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7710.7.2 Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Referencias 80

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Pre-Calculo 2005 1 Numeros e Calculo

1 Numeros e Calculo

1.1 Conjuntos de Numeros

Notacao Definicao ExemplosN Numeros Naturais 1; 2; 3; . . .

N0Numeros Naturais e o Zero

N0 = N ∪ {0} 0; 1; 2; 3; . . .

Z Numeros InteirosZ = N0 ∪ {−n : n ∈ N} . . . ;−2;−1; 0; 1; 2; . . .

QNumeros Racionais

Q ={a

b: a, b ∈ Z ∧ b 6= 0

}dızimas finitas:

−0, 6;14

= 0, 25; 34, 8; 3; . . .dızimas infinitas periodicas:

0, 1(6) =16; 0, (8) =

89; . . .

R Numeros ReaisR = Q ∪ {x : x e numero irracional}

irracionais(ou dızimas infinitas nao periodicas):π = 3.14159 . . . ;

√7 = 2.645751 . . .

C Numeros ComplexosC = {a + bi : a, b ∈ R, i2 = −1} 4− i; 3i; 5; . . .

Nota: R+ = {x ∈ R : x > 0} =]0,+∞[ e R+0 = R+ ∪ {0} = [0,+∞[

R− = {x ∈ R : x < 0} =]−∞, 0[ e R−0 = R− ∪ {0} =]−∞, 0]

1.2 Condicoes

Uma condicao (numerica) e uma expressao que contem variaveis e que, para toda a concretizacao (substituicaodas variaveis por numeros), so admite um valor logico, verdadeiro (V) ou falso (F). Chama-se condicao univer-sal (c.univ.) a uma condicao que e verdadeira para toda a concretizacao (p.e., x2 +1 > 0); chama-se condicaoimpossıvel (c.imp.) a uma condicao que e falsa para toda a concretizacao.A partir de condicoes elementares (por exemplo, relacoes de igualdade, =, ou de ordem, <), constroem-secondicoes mais complicadas por conjuncao (com o operador ∧, “e”) ou disjuncao (com o operador ∨, “ou”).

A conjuncao de condicoes (∧) corresponde a interseccao de conjuntos solucao (∩).A disjuncao de condicoes (∨) corresponde a reuniao de conjuntos solucao (∪).

Consequencia disto sao as seguintes leis.Seja C uma condicao qualquer. Entao,

• C ∧ c.imp. e C ∧ F sao c.imp.

Exemplos:

– x + 1 = 0 ∧ x2 + 1 = 0

– x + 1 = 0 ∧ 1 = 0

sao c.imp..

• C ∨ c.univ. e C ∨ V sao c.univ.

exemplo:

– x + 1 = 0 ∨ x2 + 1 > 0 e

– x + 1 = 0 ∨ 1 > 0

sao c.univ..

• C ∨ c.imp., C ∨ F, C ∧ c.univ. e C ∧ V sao todas equivalentes a C.

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1.3 Modulo de um Numero

O modulo ou valor absoluto de um numero real x e definido por

|x| ={

x se x ≥ 0−x se x < 0

ou seja, e o valor nao negativo que representa a distancia desse numero a origem da recta real.

Exemplo: Por definicao

|x− 1| ={

x− 1 se x− 1 ≥ 0−(x− 1) se x− 1 < 0

={

x− 1 se x ≥ 1−x + 1 se x < 1

Exercıcios Propostos

1. Escreva, sem usar o sımbolo | |, os seguintes modulos:

(a) |2x− 3| (b) 2|x + 4| (c) |x| − x3

2. Mostre que:

(a) | − x| 6= x (b) |x2| = x2 = | − x2|, para todo x ∈ R

1.4 Operacoes com Fraccoes

Propriedades Exemplosabcd

=ad

bc∧ d 6= 0

x−1

3x2

x3−2

8

=8(x− 1)

3x2(x3 − 2)

ab + ac

a= b + c ∧ a 6= 0

3x senx− 5xex2

x= 3 senx− 5ex2

∧ x 6= 0

ab + c

a6= b + c

(x2 + 1) cos x2 + ln(x4 − 5x)x2 + 1

6= cos x2 + ln(x4 − 5x)

b + c

a=

b

a+

c

a

2x−3 + cos x

3x2 + 5=

2x−3

3x2 + 5+

cos x

3x2 + 5

a

b + c6= a

b+

a

c

x2

ex + x tanx6= x2

ex+

x

tanx

a + c

b + d6= a

b+

c

d

5−x + ln(x + 3)5−x + x

6= 1 +ln(x + 3)

x


Utilizando os sımbolos = ou 6=, e impondo as condicoes necessarias, preencha os espacos de forma a que aafirmacao resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta.

(a)ab + ac

a. . . b + ac (b)

a− b

b− a. . . − 1 ∧ . . .

(c) − (a + b) . . . − a + b (d) (a− b)− c . . . a− (b− c)

(e) − a

b. . .

−a

b∧ . . . (f)

ab

c. . .

abc

∧ . . .



1.5 Potencias

au e uma potencia de base a e expoente u

A potencia au nao esta definida para todo a, u ∈ R.

Se a > 0, au esta sempre bem definida e au ∈ R+.

Se a = 0, a potencia au so e valida se u ∈ R+ e au = 0u = 0. Por exemplo, 0−2 = 102 = 1

0 nao tem

significado.Se a < 0, a potencia au nem sempre tem significado. Por exemplo, (−2)

52 =

√(−2)5 =

√−32.

Sejam a, b ∈ R+ e sejam u, v ∈ R.

Propriedades Exemplos

a−u =1au

3−4 =134

a1u = u

√a 7

15 = 5

√7

avu = u

√av 2

34 = 4

√23

avau = av+u

avau 6= avu32 · 35 = 32+5 = 37

41 · 42 = 4 · 16 = 43 6= 41·2 = 42

(au)v = auv = (av)u (23)2 = 82 = 64 = 26 = 23·2

(22)3 = 43 = 64

aubu = (ab)u 52 · 62 = 302

av

au= av−u 73

74= 73−4 = 7−1

(a

b

)u=

au

bu

(35

)3

=33

53

ATENCAO Exemplos√

a + b 6=√

a +√

b

√9 + 16 =

√25 = 5√

9 +√

16 = 3 + 4 = 7√

a2 + b2 6= a + b

√52 + 122 =

√169 = 13

5 + 12 = 17n√

an = |a|, se n e par 4√

(−5)4 = | − 5| = 5

n√

an = a, se n e ımpar 3√

(−5)3 = −5

NOTA: Se a < 0, as propriedades anteriormente descritas sao apenas validas se u = rs , com s um numero

ımpar. Por exemplo, se aplicarmos a 5a propriedade a

((−1)2)12 = (−1)1 = −1;

por outro lado,((−1)2)

12 = 1

12 = 1.


1. Prove, usando as propriedades anteriores, que a0 = 1, para todo a ∈ R \ {0} .

Justifique porque e que 00 nao esta definido.



2. Utilizando os sımbolos = ou 6=, e impondo as condicoes necessarias, preencha os espacos de forma aque a afirmacao resultante seja verdadeira. Justifique a sua resposta.

(a)√

a2 + 1 . . . a + 1 (b) (ar)2 . . . ar2

(c) axby . . . (ab)xy (d) n

√1c

. . . c−1n

(e) m

√n√

a . . . a1

mn (f) n√

am . . . amn

3. Simplifique as as seguintes expressoes, aplicando as propriedades vistas anteriormente.

(a)(√

3)0

+ 4−2 − 53

52;

(b)(23)2 · 2−1 +

42

4−1;

(c)√

(−3)2 + 3√

(−4)3 −√

3√

64 + 3√−108

1.6 Casos Notaveis da Multiplicacao

Quadrado da Soma(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrado da Diferenca(a− b)2 = a2 − 2ab + b2

Diferenca de Quadradosa2 − b2 = (a− b)(a + b)

Exemplo: Repare que(3 + t)2 = 9 + 6t + t2

(3− t)2 = 9− 6t + t2

(3 + t)(3− t) = 9− t2


Pre-Calculo 2005 2 Polinomios

2 Polinomios

Seja n ∈ N0 e sejam a0, a1, . . . , an ∈ R.

Notacao Definicao Exemplomonomio anxn x5; −4x2; 3

grau do monomio n 5; 2; 0

polinomioe uma soma de monomios

p(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0x5 − 4x2 + 3

termo independente a0 3coeficientes do polinomio an; . . . ; a1; a0 1; 0; 0; −4; 0; 3

grau do polinomioe o maior grau dos monomios

que formam o polinomio5

Nota: O grau do monomio nulo e indeterminado.

2.1 Divisao Inteira de Polinomios

Dados dois polinomios p e d, dividir p por d e encontrar dois polinomios q e r tais quep = d · q + r, onde r tem grau inferior a d ou r = 0.

Se r = 0 dizemos que p e divisıvel por d.p: dividendo d: divisor

r: resto q: quociente

Se o dividendo tem grau n e o divisor tem grau m entao o quociente tera grau n−m.Note-se que se o grau do divisor for maior que o grau do dividendo entao o quocienteda divisao inteira e 0 e o resto coincide com o dividendo.

2.1.1 Algoritmo da Divisao Inteira de Polinomios

Este algoritmo sera ilustrado com um exemplo.Pretende-se efectuar a divisao de p(x) = 4x4 + 2x2 − 3 por d(x) = x2 − 1.

4x4 + 2x2 − 3 x2 − 1Comeca-se por escrever, ordenadamente, o di-videndo e o divisor colocando os expoentesdas potencias de x por ordem decrescentes, deacordo com o esquema.

4x4 + 2x2 − 3 x2 − 14x2

Dividem-se os termos de maior grau do divi-

dendo e do divisor4x4

x2= 4x2. O resultado e

o termo de maior grau do quociente.

4x4 + 2x2 − 3 x2 − 1− (4x4 − 4x2) 4x2

6x2 − 3

Multiplica-se o divisor pelo termo de maior graudo quociente, escreve-se o simetrico desse pro-duto e adiciona-se ao dividendo, obtendo o restoparcial.

4x4 + 2x2 − 3 x2 − 1− 4x4 + 4x2 4x2+ 6

6x2 − 3

Divide-se o termo de maior grau do resto parcial

pelo termo de maior grau do divisor6x2

x2= 6. O

resultado e o segundo termo do quociente.4x4 + 2x2 − 3 x2 − 1

− 4x4 + 4x2 4x2 + 66x2 − 3

− (6x2 − 6)3

Repete-se, em seguida, todo o processo.A divisao acaba quando o grau do resto parcial einferior ao grau do divisor.

Assim, o resto desta divisao inteira e r(x) = 3 e o quociente e q(x) = 4x2 + 6.



2.1.2 Regra de Ruffini

A regra de Ruffini e um processo pratico para a determinacao dos coeficientes do quociente e do resto da divisaointeira de polinomios quando o divisor e da forma x− α, com α ∈ R. Veja-se a partir de um exemplo em queconsiste a Regra de Ruffini.Considere a divisao de p(x) = 2x3 − 5x2 + 5 por d(x) = x + 1.

2 −5 0 5−1

Na primeira linha colocam-se os coeficientes dodividendo. Escreve-se zero nos coeficientes nu-los. Na segunda linha coloca-se o valor deα = −1

2 −5 0 5−1 ↓

2

Transporta-se para a terceira linha o primeirocoeficiente do dividendo. E nesta linha que seobtem os coeficientes do polinomio quociente edo resto.

2 −5 0 5−1 −2× 2

Obtem-se o segundo coeficiente do quociente−7multiplicando por α = −1 o primeiro coeficientedo quociente 2 e adicionando o resultado −2 aosegundo coeficiente do dividendo −5.

2 −5 0 5−1 −2 7 −7

2 −7 7 −2

Repete-se o processo sucessivamente.O ultimo numero obtido e o resto da divisao,sendo os anteriores os coeficientes do quociente.

Neste caso o resto e r(x) = −2 e o quociente e q(x) = 2x2 − 7x + 7.


Determine quociente e o resto da divisao inteira de(a) p(x) = x5 + 4x2 − 2 por d(x) = x2 + 2 (b) p(x) = x6 − 4x2 − 1 por d(x) = x3 − 1(c) p(x) = x2 − 3x− 5 por d(x) = x− 2 (d) p(x) = x4 − 2x2 − 16 por d(x) = x + 2

2.2 Zeros de um Polinomio e Factorizacao

Dado um polinomio p diz-se que β e um zero ou uma raiz de p se, ao substituir x por β, o polinomio anula-se,ou seja, p(β) = 0. Mostra-se que β e uma raiz de p se o resto da divisao de p por x− β e zero.A decomposicao de um polinomio em factores consiste em escrever um polinomio como produto de factores.Se β e raiz do polinomio p entao p pode decompor-se em factores da forma p(x) = (x− β)q(x), onde q(x) eo quociente da divisao inteira de p(x) por x− β.Existem varios processos para determinar zeros de um polinomio e a sua consequente decomposicao.

• Seja p(x) = ax2 + bx + c, com a, b, c ∈ R e a 6= 0. Os zeros deste polinomio existem (em R) se e so seb2 − 4ac ≥ 0 e sao dados pela formula resolvente

α =−b +

√b2 − 4ac

2aβ =

−b−√

b2 − 4ac

2a

Nota: E usual denotar ∆ = b2 − 4ac.

Caso existam os zeros, pode-se factorizar p do seguinte modo

p(x) = a(x− α)(x− β).

Exemplo: Seja p(x) = 3x2 − 3x− 18. Aplicando a formula resolvente, verifica-se que tem como zeros

x =3 +

√32 − 4 · 3 · (−18)

2 · 3= 3 e x =

3−√

32 − 4 · 3 · (−18)2 · 3

= −2.

Assim, p(x) = 3(x− 3)(x + 2).



• Existem certos polinomios de grau 2 que sao mais faceis de factorizar aplicando os casos notaveis damultiplicacao.

Exemplo: Aplicando os casos notaveis pode-se decompor os seguintes polinomios

p(x) = 2x2 − 25 =(√

2x)2− 52 e a diferenca entre os quadrados de

√2x e 5

=(√

2x− 5)(√

2x + 5)

t(x) = 9x2 − 24x + 16 = (3x)2 − 2 · 3x · 4 + 42 e o quadrado da diferenca entre 3x e 4

= (3x− 4)2

a(x) = 4x2 + 4√

5x + 5 = (2x)2 + 2 · 2x ·√

5 +(√

5)2

e o quadrado da soma de 2x com√

5

= (2x +√

5)2

• Seja p(x) = anxn + · · · + a1x + a0, n ∈ N. A regra de Ruffini pode ser usada para determinar o valorde α tal que o resto da divisao inteira de p por x− α seja nulo.

Regra praticaSuponha-se que p tem todos os coeficientes inteiros, ou seja, ai ∈ Z

Entao, se tiver um zero da forma α =β

γ, tal que β ∈ Z e γ ∈ N

β e divisor de a0 e γ e divisor de an.

Donde p(x) = (x− α)q(x), onde q(x) e o quociente da divisao.

Exemplo: Considere-se p(x) = x3 − 3x2 + x + 1. De acordo com a regra pratica, como

a3 = 1 ⇒ β = 1 ∨ β = −1a0 = 1 ⇒ γ = 1

os possıveis candidatos a raızes sao 1 e −1. Comeca-se por experimentar.

1 −3 1 1−1 −3 6 −7

1 −6 7 −6

Como o resto e nao nulo, −1 nao e zero de p. Resta experimentar α = 1

1 −3 1 11 1 −2 −1

1 −2 −1 0

Donde 1 e zero de p e p(x) = (x− 1)(x2 − 2x− 1).

Alem disso, pela formula resolvente, sabe-se que

x2 − 2x− 1 = 0 ⇔ x = 1 +√

2 ∨ x = 1−√

2,

o que quer dizer que x2 − 2x− 1 =(x− 1−

√2) (

x− 1 +√

2). Logo

p(x) = (x− 1)(x− 1−

√2)(

x− 1 +√

2)

.

• Outro processo baseia-se na existencia de factores comuns em todos os monomios que compoem opolinomio. Se tais factores existirem, podem-se colocar em evidencia.

Exemplo 1: Seja p(x) = −8x3 + 16x2. Repare-se que 8x2 e um factor comum a todos os monomiosque constituem o polinomio, ou seja, e um factor comum a −8x3 e a 16x2. Donde

p(x) = 8x2(−x + 2)



Exemplo 2: Seja t(x) = 2x2 − 2 + x3 − x. Poderia-se tentar aplicar a regra de Ruffini. Mas repare-se

2x2 − 2 + x3 − x = 2(x2 − 1) + x(x2 − 1)

Donde existe um factor x2 − 1 comum as duas parcelas. Logo

t(x) = (x2 − 1)(2 + x)

E como x2 − 1 = (x− 1)(x + 1), tem-se que t(x) = (x− 1)(x + 1)(2 + x).


Factorize os seguintes polinomios(a) x2 − 3x + 2 (b) 52x2 − 10x3 − 48x

(c) x3 − 7x2 + 3x + 3 (d)x2

36− 9

2.3 Simplificacao de Expressoes

O domınio das expressoes e o maior subconjuntode R onde a expressao tem significado.

O domınio da expressao inicial deve ser igual aodomınio da expressao obtida apos simplificacao.

Para tal e, por vezes necessario, acrescentar condicoesas variaveis envolvidas na expressao.

Considerem-se alguns exemplos de simplificacao de expressoes e racionalizacao de denominadores.

Exemplo 1: Pelas propriedades das potencias tem-se que(x4

3y3

)−2

=(

3y3

x4

)2

=32(y3)2

(x4)2=

9y6

x8∧ y 6= 0

Acrescentou-se a condicao y 6= 0 porque o domınio da expressao9y6

x8e x 6= 0 e o domınio da expressao inicial

e y 6= 0 (encontra-se no denominador de uma fraccao) e x 6= 0 (uma potencia com expoente negativo nao podeter base nula). A igualdade das expressoes apenas e valida se y 6= 0 e x 6= 0.

Exemplo 2: Novamente pelas propriedades das potencias,

3

√23a6

b3=

3√

23 3√

a6

3√

b3=

2a2

b

Repare-se que o domınio das expressoes, inicial e final, e b 6= 0, daı que nao seja necessario acrescentarnenhuma condicao as variaveis para que a igualdade entre as expressoes seja valida.

Exemplo 3: Para simplificar a expressao

x

x2 − 1+

2x + 32x + 2

− 12x− 2

reduzem-se todas as fraccoes ao mesmo denominador. Para isso e necessario factorizar os denominadores.Sabe-se que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), 2x − 2 = 2(x − 1) e 2x + 2 = 2(x + 1). Pode-se reduzir todas asfraccoes a fraccoes equivalentes com denominador 2(x2 − 1). Assim

x

x2 − 1+

2x + 32x + 2

− 12x− 2

=2x

2(x2 − 1)+

(2x + 3)(x− 1)2(x2 − 1)

− (x + 1)2(x2 − 1)

=2x + (2x + 3)(x− 1)− (x + 1)

2(x2 − 1)



Aplicando a propriedade distributiva e simplificando os termos semelhantes obtem-se

=2x + 2x2 − 2x + 3x− 3− x− 1

2(x2 − 1)

=2x2 + 2x− 4

2(x2 − 1)=

2(x2 + x− 2)2(x2 − 1)

=x2 + x− 2

x2 − 1

Ainda e possıvel simplificar mais, factorizando o numerador. Aplicando a formula resolvente, sabe-se que oszeros de x2 +x−2 sao x = 1 e x = −2. Donde x2 +x−2 = (x−1)(x+2) e x2−1 = (x+1)(x−1). Logo

=(x− 1)(x + 2)(x + 1)(x− 1)

=x + 2x + 1

∧ x 6= 1

Repare-se quex

x2 − 1+

2x + 32x + 2

− 12x− 2

6= x + 2x + 1

uma vez que os domınios das duas expressoes nao sao iguais. O domınio da primeira e x 6= 1 e x 6= −1 e odomınio da segunda e x 6= −1. A igualdade so e valida em R \ {−1, 1}.

Exemplo 4: Considere-se a expressaoy−1 + x−1

(xy)−1. Comeca-se por reduzir tudo ao mesmo denominador. As-

sim,

y−1 + x−1

(xy)−1=

1y + 1

x1xy

=x+yxy1xy

=(x + y)(xy)

xy

= x + y ∧ x 6= 0 ∧ y 6= 0

Repare-se que o domınio de x + y e R e o domınio da expressao dada e x 6= 0 e y 6= 0 (porque sao bases depotencias com expoente negativo).

Exemplo 5: Considere-se a expressao1√x3y

.

Para simplificar este tipo de expressoes com radicais multiplica-se o numerador e o denominador pelo radicalque surge no denominador,

√x3y.

Nota: Ao multiplicar (ou dividir) por uma expressao tem quese garantir que essa expressao e nao nula.

Neste caso,√

x3y 6= 0 atendendo ao domınio da expressao dada. Obtem-se

1√x3y

=

√x3y(√

x3y)(√

x3y)

=

√x3y

x3y

Ainda e possıvel simplificar um pouco mais a expressao uma vez que existe uma potencia de grau superior aoındice da raiz. Como

√x3y =

√x2√xy = |x|√xy, vem que

1√x3y

=|x|√xy

x3y.



Exemplo 6: Seja√

x + 2√x− 2

. Neste caso tem que se multiplicar e dividir por√

x + 2 (note-se que√

x + 2 6= 0

para todo x ∈ R). Aplicando os casos notaveis, obtem-se√

x + 2√x− 2

=(√

x + 2)(√

x + 2)(√

x− 2)(√

x + 2)

=(√

x)2 + 4√

x + 4(√

x)2 − 22=

x + 4√

x + 4x− 4

Note-se que o domınio da expressao inicial e x ≥ 0 e√

x − 2 6= 0 ⇔ x 6= 4, que coincide com o domınio daexpressao obtida apos simplificacao.


Simplifique as expressoes, racionalizando o denominador sempre que necessario.

(a)(2x2y−5

) (6x−3y

)(13x−1y3

)(b)(

4a2b

a3b3

)(5a2b

2b4

)

(c) 3√

8a6b−3 (d)√

2t + 8√t− 3

(e)2

3s + 1+

9(3s + 1)2

(f)2x

x + 2− 8

x2 + 2x+

3x

(g)ba −

ab

1a −

1b

(h)x + t2

5−√

xt


Pre-Calculo 2005 3 Equacoes

3 Equacoes

Notacao Definicao Exemplos

Equacaoe uma igualdade onde

figura pelo menosuma variavel

3x− 5 = 42x = −8

ln y2 + 2x2 = 2x

Equacao Polinomiale uma igualdadeentre polinomios

3x− 5 = 4x2 − 5 = 4x

Solucao ou Raizda Equacao

e um valor que,quando concretizado

na variavel, transformaa equacao numa

proposicao verdadeira

−1 e solucao dex2 − 5 = 4x

pois (−1)2 − 5 = 4 · (−1)

Conjunto Solucaoe o conjunto de todas

as solucoes{−1, 5} e o conjunto

solucao de x2 − 5 = 4x

Equacoes Equivalentessao equacoes com o

mesmo conjunto solucao3x− 5 = 4 e 3x = 9

sao equivalentes

Equacao Impossıvelnao tem

nenhuma solucao2x = −8 e uma

equacao impossıvel

Equacao Possıveladmite pelo menos

uma solucaox2 − 5 = 4x e uma

equacao possıvelResolver

uma Equacaoe encontrar todas

as solucoesaplicar a formula

resolvente resolve x2 − 5 = 4x

Serao recordados apenas metodos simples de resolver equacoes polinomiais do 1o e do 2o grau ou equacoesque podem ser simplificadas para equacoes desse tipo.

Chama-se grau de uma equacao polinomial ao maior expoente das potencias de xque surge na equacao, apos simplificacao.

3.1 Equacao do 1o Grau

Equacao do 1o grauToda a equacao que, depois de simplificada,tem a forma ax = b, com a, b ∈ R e a 6= 0.

O seu conjunto solucao e{

b

a

}.

NOTA: Se apos simplificacao, a equacao for do tipo 0x = b entao o conjunto solucao, em R, e ∅ se b 6= 0; seb = 0, entao o conjunto solucao e R

Exemplo: Considere-se a equacao2(x + 1)

3− x + 2

4= 2x

Simplificando, e atendendo ao quadro anterior, conclui-se que

2(x + 1)3

− x + 24

= 2x ⇔ 8(x + 1)12

− 3(x + 2)12

=12(2x)

12⇔ 8(x + 1)− 3(x + 2) = 12(2x)⇔ 8x + 8− 3x− 6 = 24x

⇔ 8x− 3x− 24x = −8 + 6⇔ −19x = −2

⇔ x =−2−19

=219

.




Resolva, em R, as seguintes equacoes.

(a)x + 10

4= 5− x (b) 3

(x

2+ 1)

= x− 2(1− x)

(c) 4− 10x + 16

= 4x− 16x + 34

(d)(

x +13

)− 4

5x = 2

(1− x

6

)

3.2 Equacoes do 2o grau

Equacao do 2o grauToda a equacao que, depois de simplificada, tem a forma

ax2 + bx + c = 0, com a, b, c ∈ R e a 6= 0

Recorde-se que ∆ = b2 − 4ac.

Casos Possıveis Conjunto Solucao em R∆ < 0 ∅

∆ = 0{− b

2a

}∆ > 0

{−b +

√b2 − 4ac

2a,−b−

√b2 − 4ac

2a

}

Exemplo: Pretende-se determinar o conjunto solucao, em R, da equacao

x(x + 1) + 7 = 3− 3x

Para a resolver a equacao deve-se, em primeiro lugar, simplifica-la.

x(x + 1) + 7 = 3− 3x ⇔ x2 + x + 7 = 3− 3x

⇔ x2 + x + 7− 3 + 3x = 0⇔ x2 + 4x + 4 = 0

Trata-se de uma equacao do 2o grau. Como ∆ = 42 − 4 · 1 · 4 = 0, sabe-se que a equacao admite uma unica

solucao que e x = −42

= −2.


Determine o conjunto solucao, em R, das seguintes equacoes.(a) 4x2 − 3x = 0 (b) 1 + (x + 2)(x− 4) = x

(c)x2 − 4

12+

x2 + 48

= 1 (d) (x− 1)2 + (x + 3)2 = 0

3.3 Equacoes com Radicais

Resolucao de equacoes com radicais do tipo√

f(x)

• Primeiro deve-se isolar os radicais.• De seguida elevam-se ambos os membros ao quadrado.

Ao fazer esta operacao pode-se nao obter uma equacao equivalentea inicial pois podem ser introduzidas novas solucoes.

• Por fim, e depois de obter as solucoes da nova equacao,verifica-se se estas satisfazem a equacao inicial.

• Nao esquecer que o domınio da expressao e f(x) ≥ 0.



Exemplo: Pretende-se resolver a equacao√

5x− 9 = x − 3. Elevando ambos os membros ao quadradoobtem-se

√5x− 9 = x− 3 ⇒

(√5x− 9

)2= (x− 3)2 ⇔ 5x− 9 = x2 − 6x + 9

⇔ x2 − 6x− 5x + 9 + 9 = 0⇔ x2 − 11x + 18 = 0⇔ x = 9 ∨ x = 2

Resta verificar se as solucoes obtidas satisfazem a equacao dada.Para x = 2,

√5 · 2− 9 = 2− 3 ⇔ 1 = −1. Donde 2 nao e solucao da equacao inicial.

Para x = 9,√

5 · 9− 9 = 9− 3 ⇔ 6 = 6. Logo a unica solucao da equacao dada e x = 9.

Nota: Repare-se que coloca-se o sinal de implicacao ⇒ quando se eleva ao quadrado ambos os membrosporque, tal como foi dito anteriormente, pode-se estar a acrescentar solucoes, e portando nao se obtem equacoesequivalentes. Tambem por isso nao e necessario escrever domınios iguais.


Resolva, em R, as seguintes equacoes.(a)√

7− x = x− 5 (b)√

x3 =√

x

(c) x +√

4x + 1 = 5 (d)√

x +√

x + 8 = 2√

x

3.4 Equacoes com Modulos

Resolucao de equacoes tipo |f(x)| = g(x)

|f(x)| = g(x) ⇔[f(x) = g(x) ∨ f(x) = −g(x)

]∧ g(x) ≥ 0

NOTA: se g(x) < 0, a equacao |f(x)| = g(x) e impossıvel .

Exemplo 1: Pretende-se determinar o conjunto solucao da equacao |x− 3| = 8.

|x− 3| = 8 ⇔ (x− 3 = 8 ∨ x− 3 = −8) ∧ 8 ≥ 0︸︷︷︸V

⇔ x = 11 ∨ x = −5

Recorde-se que V ∧ C ⇔ C, qualquer que seja a condicao C.Logo o conjunto solucao e {−5, 11}.

Exemplo 2: Considere-se a equacao |5x + 4| = −2. E facil verificar que se trata de uma equacao impossıvelpois uma distancia nunca pode ser negativa. De facto,

|5x + 4| = −2 ⇔ (5x + 4 = −2 ∨ 5x + 4 = 2) ∧ −2 ≥ 0︸︷︷︸F

pois F∧C ⇔ F, qualquer que seja a condicao C. Donde a equacao e impossıvel e, portanto, o conjunto solucaoe ∅.

Exemplo 3: Pretende-se determinar o conjunto solucao da equacao |2x− 1| = 3x + 4.Sabe-se que

|2x− 1| = 3x + 4 ⇔[2x− 1 = 3x + 4 ∨ 2x− 1 = −(3x + 4)

]∧ 3x + 4 ≥ 0

⇔ (2x− 3x = 4 + 1 ∨ 2x + 3x = −4 + 1) ∧ 3x + 4 ≥ 0

⇔(

x = −5 ∨ x = −35

)∧ x ≥ −4

3

⇔ x = −35



Note-se que −5 < −43

. Portanto, o conjunto solucao da equacao dada e{−3

5

}.

Outro caso em que tambem se pode usar a tecnica do “elevar ao quadrado ambos os membros”, e nas equacoesque envolvem dois modulos. Nestas situacoes nao se inserem novas solucoes, ou seja, as solucoes obtidasdepois de se elevar ao quadrado ambos os membros sao as mesmas da equacao inicial.

Resolucao de equacoes do tipo |f(x)| = |g(x)|

|f(x)| = |g(x)| ⇔ [f(x)]2 = [g(x)]2

Exemplo: Considere-se a equacao |x− 4| = 12|2x− 1|. Elevando ambos os membros ao quadrado obtem-se

|x− 4| = 12|2x− 1| ⇔ (x− 4)2 =

(12(2x− 1)

)2

⇔ x2 − 8x + 16 =14(4x2 − 4x + 1)

⇔ x2 − 8x + 16 = x2 − x +14

⇔ x2 − 8x + 16− x2 + x− 14

= 0

⇔ −7x +634

= 0 ⇔ −7x = −634

⇔ x =6328

.


Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes equacoes.(a) 3|x + 1| − 2 = −11 (b) |3x− 2|+ 3 = 7(c) |5x− 1| = 6x (d) |x + 1| − 2x = 8x + 3(e) |x− 2| = |x + 5| (d)|x + 1| − 2|x− 3| = 0

3.5 Resolucao de outras Equacoes

Um processo muito usado na resolucao de equacoes e usar a decomposicao em factores seguida da lei doanulamento do produto.

Lei do anulamento do produtoO produto de dois ou mais factores e nulo se e

so se pelo menos um dos factores e nulo, ou seja,ab · · · z = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 ∨ · · · ∨ z = 0

Exemplo: A lei do anulamento do produto permite determinar o conjunto solucao da equacao

12(7− 3x)(5− x)(x + 1) = 0.

Aplicando a lei do anulamento do produto vem que

12(7− 3x)(5− x)(x + 1) = 0 ⇔ 1

2= 0︸︷︷︸F

∨ 7− 3x = 0 ∨ 5− x = 0 ∨ x + 1 = 0

⇔ x =73∨ x = 5 ∨ x = −1

Recorde-se que F ∨ C ⇔ C, qualquer que seja a condicao C. Assim o conjunto solucao e{−1,

73, 5}

.



Outros processos de resolucao de outro tipo de equacoes serao exemplificados.

Exemplo 1: Considere-se a equacao x4 + x2 − 12 = 0. Apesar de se tratar de uma equacao do 4o grau, ondenao se encontra nenhum factor comum para colocar em evidencia, pode-se resolve-la como sendo uma equacaodo 2o grau. Repare-se que

x4 + x2 − 12 = 0 ⇔(x2)2 + x2 − 12 = 0

Se se fizer uma mudanca de variavel y = x2 e se aplicar a formula resolvente obtem-se

y2 + y − 12 = 0 ⇔ y =−1±

√12 − 4 · 1 · (−12)

2 · 1

⇔ y =−1±

√49

2

⇔ y =−1 + 7

2∨ y =

−1− 72

⇔ y = 3 ∨ y = −4.

Como y = x2 tem-se que x2 = 3∨x2 = −4. A equacao x2 = −4 e impossıvel. Donde as solucoes da equacaodada sao as mesmas da equacao x2 = 3.

x2 = 3 ⇔ x2 − 3 = 0 ⇔ (x−√

3)(x +√

3) = 0, e a diferenca de quadrados

⇔ x−√

3 = 0 ∨ x +√

3 = 0, pela lei do anulamento do produto

⇔ x =√

3 ∨ x = −√

3

Exemplo 2: Pretende-se determinar o conjunto solucao da equacao

1x− 2

+x

3x + 6=

4x2 − 4

.

Para simplificar a equacao tem que se determinar o menor denominador comum as tres fraccoes, pelo que,comeca-se por decompor os denominadores em factores. Como 3x + 6 = 3(x + 2) e x2− 4 = (x− 2)(x + 2),tem-se que

1x− 2

+x

3x + 6=

4x2 − 4

⇔ 1x− 2

+x

3(x + 2)− 4

(x− 2)(x + 2)= 0

⇔ 3(x + 2)3(x + 2)(x− 2)

+x(x− 2)

3(x + 2)(x− 2)− 12

3(x− 2)(x + 2)= 0

⇔ 3x + 6 + x2 − 2x− 123(x + 2)(x− 2)

= 0

⇔ x2 + x− 63(x + 2)(x− 2)

= 0

Sabe-se que

No domınio da expressao, uma fraccao e nula se e so se o seu numerador e nulo.

Assim

⇔ x2 + x− 6 = 0 ∧ 3(x + 2)(x− 2) 6= 0

⇔ x =−1±

√1 + 24

2∧ (3 6= 0 ∧ x + 2 6= 0 ∧ x− 2 6= 0)

⇔ (x = 2 ∨ x = −3) ∧ (x 6= 2 ∧ x 6= −2)⇔ x = −3

Note-se que 2 nao pertence ao domınio da expressao donde nao pode ser solucao. O conjunto solucao daequacao dada e {−3}.




Determina, em R, o conjunto solucao das seguintes equacoes.

(a)2x + 7

3− 2(x2 − 4)

5x− 4x4 − 6

15x=

7x2 + 63x2

(b)4x + 32x− 5

− 3x + 83x− 7

= 1

(c)32− 6x2

9x2 − 1=

23x− 1

(d)x− 2(

2x− 32

)2 − 1 = x

(e)√

x +4√x

= 5 (f)(x−

√2)2(x− 1

10

)(x +

√17)

x4 + 2x2 + 1= 0


Pre-Calculo 2005 4 Inequacoes

4 Inequacoes

Notacao Definicao Exemplos

Inequacaoindica uma relacao

de maior que (menor que)entre duas expressoes

3x− 5 ≤ 4x2 + 2 > 2x cos x

ex2+ 2 ≥ x

Solucao ou Raizda Inequacao

e um valor que, quandoconcretizado na variavel,

transforma a inequacao numaproposicao verdadeira

1 e solucao de 3x− 5 ≤ 4pois 3 · 1− 5 ≤ 4

ConjuntoSolucao

e o conjunto de todasas solucoes

o conjunto solucao de3x− 5 ≤ 4 e ]−∞, 3]

Inequacoesequivalentes

tem o mesmoconjunto solucao

3x− 5 ≤ 4 e 3x ≤ 9sao equivalentes

Regras Praticas ExemplosQuando se adiciona a ambos os membros

de uma inequacao qualquer numeroo sentido da desigualdade mantem-se

.x + 3 ≥ 7

x + 3− 3 ≥ 7− 3⇔ x ≥ 4

Quando se multiplicam ambos os membrosde uma inequacao por um numero positivo

o sentido da desigualdade mantem-se.

3x ≥ 9

⇔(

13

)3x ≥

(13

)9

⇔ x ≥ 3

Quando se multiplicam ambos os membrosde uma inequacao por um numero negativo

inverte-se o sentido da desigualdade.

−2x ≥ 10

⇔(−1

2

)(−2x) ≤

(−1

2

)10

⇔ x ≤ −5

4.1 Inequacoes do 2o grau

O grafico da funcao f(x) = ax2 + bx + c, com a 6= 0, e uma parabola. Se a < 0 entao a concavidade daparabola e voltada para baixo. Se a > 0 entao a concavidade e voltada para cima.

Resolver a inequacao ax2 + bx + c > 0 e determinar os valores de x para os quais a funcao f e positiva, istoe, o grafico da funcao fica acima do eixo dos xx.

Analogamente, resolver a inequacao ax2 + bx + c < 0 e determinar os valores de x para os quais a funcao enegativa, ou seja, o grafico da funcao fica abaixo do eixo dos xx.

As solucoes deste tipo de inequacoes dependem do valor de a e da posicao do vertice da parabola correspon-dente a inequacao tal como ilustram as tabelas seguintes. Recorde-se que a ordenada do vertice e dada por

yv = −∆4a

e a abcissa e xv = − b

2a.

Caso a > 0(concavidade

para cima)

∆ yv Grafico Zeros Exemplos Conjunto Solucao

> 0 < 0 2 2x2 − 2x− 12 ≥ 0 ]−∞,−2] ∪ [3,+∞[

= 0 = 0 1 x2 − 10x + 25 ≤ 0 {5}

< 0 > 0 0 4x2 + x + 7 > 0 R



Caso a < 0(concavidadepara baixo)

∆ yv Grafico Zeros Exemplos Conjunto Solucao

> 0 > 0 2 −2x2 + 4x + 6 > 0 ]− 1, 3[

= 0 = 0 1 −x2 + 16x− 64 < 0 R \ {8}

< 0 < 0 0 −5x2 + 5x− 15 ≥ 0 ∅


1. Determine o menor numero natural que verifica a condicao

x− 34

− x2 + 54

<2x2

3+ 10.

2. Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes

(a)(

x− 12

)(3− x) < 0 (b) x2 − 12x + 27 ≤ 0

(c) x2 ≥ x (d) (x− 1)2 − 7 (x− 2)2 ≤ 0

4.2 Inequacoes com modulos

Resolucao de inequacoes do tipo |f(x)| < g(x)

|f(x)| < g(x) ⇔[f(x) < g(x) ∧ f(x) > −g(x)

]∧ g(x) > 0

Nota: Se g(x) ≤ 0 entao a inequacao e impossıvel.

Exemplo 1 Considere-se a inequacao |5x + 2| ≤ 0. Entao

|5x + 2| ≤ 0 ⇔ 5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ∧ 0 ≥ 0︸︷︷︸V

Recorde-se que C ∧ V⇔ C, qualquer que seja a condicao C e, alem disso,

5x + 2 ≤ 0 ∧ 5x + 2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ 5x + 2 ≤ 0 ⇔ 5x + 2 = 0.

Logo a solucao e 5x + 2 = 0 ⇔ x = −25

.

Exemplo 2 Seja |x2 − x| ≤ 2x− 3.

|x2 − x| ≤ 2x− 3 ⇔[x2 − x ≤ 2x− 3 ∧ x2 − x ≥ −(2x− 3)

]∧ 2x− 3 ≥ 0

⇔(x2 − x− 2x + 3 ≤ 0 ∧ x2 − x + 2x− 3 ≥ 0

)∧ 2x ≥ 3

⇔(x2 − 3x + 3 ≤ 0 ∧ x2 + x− 3 ≥ 0

)∧ x ≥ 3

2

As duas primeiras inequacoes sao do 2o grau. Pode-se usar o raciocınio visto anteriormente.Repare-se que f(x) = x2 − 3x + 3 nao admite zeros (∆ = −3 < 0) e tem a concavidade voltada para cima(a = 1 > 0), o que permite concluir que o seu grafico esta sempre acima do eixo dos xx, ou seja, x2−3x+3 ≤ 0e uma condicao impossıvel. Como F ∧ C ⇔ F, qualquer que seja a condicao C, temos que a inequacao dada eimpossıvel, ou seja, o seu conjunto solucao e ∅.



Resolucao de inequacoes do tipo |f(x)| > g(x)

|f(x)| > g(x) ⇔(f(x) > g(x) ∨ f(x) < −g(x)

)∨ g(x) ≤ 0

Nota: Se g(x) ≤ 0 inequacao e sempre possıvel.

Exemplo Considere-se a inequacao |3x− 4| ≥ 2. Usando as propriedades anteriores, pode-se escrever

|3x− 4| ≥ 2 ⇔ 3x− 4 ≥ 2 ∨ 3x− 4 ≤ −2 ∨ 2 < 0︸︷︷︸F

Recorde-se que C ∨ F⇔ C, qualquer que seja a condicao C. Donde

⇔ 3x ≥ 6 ∨ 3x ≤ 2

⇔ x ≥ 2 ∨ x ≤ 23

Logo o conjunto solucao e]−∞,

23

]∪ [2,+∞[.


Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes(a) |4x2 − 5x| < 1; (b) |3x− 9| ≤ 2x− 6;(c) |x + 4| ≥ x + 1

4.3 Inequacoes com Radicais

Propriedade Exemplos

se x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 entao

x ≥ y ⇔ x2 ≥ y2

1 ≥ −2 ; 1 ≥ 4

(−2)2 ≥ 12 ; −2 ≥ 1

se x ≥ 0 ∧ y ≥ 0 entao

x ≤ y ⇔ x2 ≤ y2

− 2 ≤ 1 ; 4 ≤ 1

(−3)2 ≤ (−4)2 ; −3 ≤ −4

Resolucao de inequacoes do tipo√

f(x) ≥ g(x)√f(x) ≥ g(x) ⇔

[g(x) ≤ 0 ∨

(f(x) ≥ g(x)2 ∧ g(x) > 0

)]∧ f(x) ≥ 0

Nota: Se g(x) ≤ 0 entao a inequacao e sempre possıvel; se g(x) > 0,

elevam-se ambos os membros ao quadrado e obtem-se uma inequacao equivalente.Recorde-se que f(x) ≥ 0 e o domınio da expressao.

Exemplo Seja√

x− 2 ≥ 2x.√

x− 2 ≥ 2x ⇔[2x < 0 ∨

(x− 2 ≥ (2x)2 ∧ 2x ≥ 0

)]∧ x− 2 ≥ 0

⇔

x < 0 ∨

−4x2 + x− 2 ≥ 0︸︷︷︸c. imp.

∧x ≥ 0

︸︷︷︸

c. imp.

∧ x ≥ 2



Recorde-se que F ∧ C ⇔ F e F ∨ C ⇔ C, qualquer que seja a condicao C. Donde

⇔ x < 0 ∧ x ≥ 2

Logo a inequacao dada e impossıvel, ou seja, o seu conjunto solucao e ∅.

Resolucao de inequacoes do tipo√

f(x) ≤ g(x)√f(x) ≤ g(x) ⇔

(f(x) ≤ g(x)2 ∧ g(x) ≥ 0

)∧ f(x) ≥ 0

Nota: Se g(x) < 0 entao a inequacao e impossıvel; se g(x) ≥ 0,

eleva-se ambos os membros ao quadrado e obtem-se uma inequacao equivalente.Recorde-se que f(x) ≥ 0 e o domınio da expressao.

Exemplo Seja√

3x− 4 ≤ x.√

3x− 4 ≤ x ⇔(3x− 4 ≤ x2 ∧ x ≥ 0

)∧ 3x− 4 ≥ 0

⇔ −x2 + 3x− 4 ≤ 0︸︷︷︸V

∧x ≥ 0 ∧ x ≥ 43

⇔ x ≥ 0 ∧ x ≥ 43

Recorde-se que V ∧ C ⇔ C, qualquer que seja a condicao C. Logo o conjunto solucao da inequacao dada e[43 ,+∞

].


Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes

(a)√

x− 2 ≤ 3; (b)√

x2 − 3x + 2 ≥ x + 1(c)

√−x + 2 < x + 1

4.4 Resolucao de outras Inequacoes

O primeiro passo a realizar na resolucao de uma inequacao e transforma-la numa inequacao equivalente cujosegundo membro da inequacao seja nulo. De seguida, e sempre que possıvel, simplificar o primeiro membrode modo a obter um produto/quociente de expressoes .

Exemplo 1 Considere-se a seguinte inequacao (x − 4)(x + 1) > 0. Resolver esta inequacao e determinar osvalores de x para os quais o produto de x− 4 por x + 1 e positivo. Atendendo a que o produto de dois factoresso e positivo se ambos tiverem o mesmo sinal, pode-se concluir que os valores de x sao os que verificam ascondicoes

(x− 4)(x + 1) > 0 ⇔{

x− 4 > 0x + 1 > 0

∨{

x− 4 < 0x + 1 < 0

⇔{

x > 4x > −1

∨{

x < 4x < −1

⇔ x > 4 ∨ x < −1

Uma forma mais simples para a resolucao deste tipo de inequacoes e a construcao de uma tabela. O primeiromembro da inequacao (x − 4)(x + 1) > 0 tem dois factores. O que se pretende e colocar numa tabela osintervalos em que cada um dos factores e positivo ou negativo.



Os valores que se tem de colocar nas colunas sao os valores para os quais cada factor se anula, por ordemcrescente. Os factores anulam-se para 4 e −1, respectivamente. Assinala-se o sinal que cada factor toma emcada intervalo. Assim a tabela tem a forma

−1 4x− 4 − −5 − 0 +x + 1 − 0 + 5 +

(x− 4)(x + 1) + 0 − 0 +

A ultima linha e preenchida atendendo a regra dos sinais.

Regra dos SinaisUm produto e positivo se o numero de factores negativos e par

Um produto e negativo se o numero de factores negativos e ımpar

Assim(x− 4)(x + 1) > 0 ⇔ x < −1 ∨ x > 4,

ou seja, o conjunto solucao da inequacao e ]−∞,−1[∪]4,+∞[.Se se pretende resolver a inequacao (x− 4)(x + 1) ≤ 0, basta observar de novo o quadro e concluir que

(x− 4)(x + 1) ≤ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 4

Exemplo 2 Considere-se a seguinte inequacao

x− 34− x

≤ 1

Tem que se colocar o segundo membro da inequacao a zero e depois transformar o primeiro membro numproduto/quociente de expressoes.

x− 34− x

≤ 1 ⇔ x− 34− x

− 1 ≤ 0

⇔ x− 34− x

− 4− x

4− x≤ 0

⇔ x− 3− 4 + x

4− x≤ 0

⇔ 2x− 74− x

≤ 0

Aplicando a tabela descrita no exemplo anterior, os factores anulam-se para72

e 4, respectivamente. Assim atabela tem a forma

72 4

2x− 7 − 0 + 1 +

4− x +1

2 + 0 −2x−7

4−x − 0 + S/S −

Note-se que, quando x = 4, o denominador anula-se e a inequacao nao faz sentido e, por isso, e usual escrever-se S/S, que significa Sem Significado. Pretende-se os valores que tornam negativa ou nula a fraccao. Assim o

conjunto solucao e]−∞,

72

]∪]4,+∞[.




1. Determine, em R, o conjunto solucao das seguintes inequacoes

(a)1

x− 2− 3

x + 1≥ 0

(b)x(x− 1)x(x + 2)

≤ −3

(c)x + 2x + 8

>x− 2x + 3

(d)x + 3

3− 4

x + 2<

x

3

(e)1

x2 + x≥ 1

x2 − x− 1

x2 − 1

(f)5

3x− 1+

209x2 − 1

<2

3x− 1

(g)x− 1x + 4

≤ x− 5x− 1

2. Exercıcio 3 das paginas 58 e 59 do livro adoptado: Calculo I (vol. I).


Pre-Calculo 2005 5 Generalidades sobre Funcoes

5 Generalidades sobre Funcoes

5.1 Nocao de Funcao. Domınio e Contradomınio

Definicao: Sejam A e B conjuntos nao vazios. Uma funcao f : A → B e uma correspondencia que associa acada elemento x ∈ A um unico elemento y = f(x) ∈ B. Formalmente podemos escrever:

∀x ∈ A,∃1y ∈ B : y = f(x)

Nota: ∃1 le-se “existe um e um so” ou “existe um unico”.O conjunto A diz-se o domınio de f e o conjunto B o conjunto de chegada de f .O subconjunto de B dado por

f(A) = {y ∈ B : y = f(x) com x ∈ A} ⊆ B

diz-se o contradomınio (ou conjunto das imagens) de f .Os elementos do domınio designam-se por objectos e os do contradomınio por imagens.

a)

•P

•Q

A • P ′

• Q′

B

• R′

b)

•P

•Q

A • P ′

• Q′

B

•R

c)

•P

•Q

A • P ′

• Q′

B

•R

d)

•P

•Q

A • P ′

• Q′

B

• R′

Apenas c) e d) sao funcoes. Em a) o ponto P tem “duas imagens”, portanto contraria o facto de para cada xexistir um e um so y tal que y = f(x). Em b) o ponto R (ponto do domınio) “nao tem imagem”.Usar-se-ao as notacoes Df para domınio da funcao f e CDf para contradomınio de f .

5.2 Funcoes Reais de Variavel Real

Se A ⊆ R e B = R A funcao f diz-se funcao real de variavel real, se o domınio, Df , e um subconjunto deR e o conjunto de chegada e R (f : Df ⊆ R −→ R). O contradomınio de f e, neste caso,

CDf = f(Df ) = {f(x) : x ∈ Df} = {y ∈ R : y = f(x) ∧ x ∈ Df}

Chama-se grafico de uma funcao f , real de variavel real, ao subconjunto de R2 definido por

Grf = {(x, y) ∈ R2 : x ∈ Df e y = f(x)}.

x

y

Df

CDf

Grf

Grafico de f com domınio Df

e contradomınio CDf



x

y

a

•

•

•

Nao e o grafico de uma funcao,porque a recta x = a intersectaa curva em mais do que um ponto.

Para que uma curva represente o grafico de uma funcao, qualquer recta vertical intersecta a curva no maximonum ponto.

Quando a funcao e dada pela sua expressao analıtica, o domınio e o maior subconjunto de R onde a expressaotem significado. Por exemplo

g(x) = x3 − 3x, Dg = R; h(x) =1

x− 1, Dh = R \ {1}

Exercıcios Resolvidos

Considere as funcoes definidas por:

f(x) =

√2x− 4−x2 + 3x

e g(x) = 3−√

x + 1.

(a) Determine os domınios das funcoes f e g.

(b) Calcule os zeros de f e g e determine, caso existam, f(0) e g(0).

(c) Indique o contradomınio de g.

(d) Indique os domınios de:

(d.1) f + g;

(d.2)f

g

Resolucao:

(a) Como a expressao que define a funcao f e uma raiz quadrada, o radicando tem que ser nao negativo, e,sendo o radicando uma fraccao, o denominador nao pode ser nulo.

Df ={

x ∈ R :2x− 4−x2 + 3x

≥ 0 ∧ −x2 + 3x 6= 0}

2x− 4−x2 + 3x

≥ 0 ⇔(2x− 4 ≥ 0 ∧ −x2 + 3x > 0

)∨(2x− 4 ≤ 0 ∧ −x2 + 3x < 0

)Vamos determinar os zeros de 2x− 4 e de −x2 + 3x:

2x− 4 = 0 ⇔ x = 2

−x2 + 3x = 0 ⇔ x(−x + 3) = 0 ⇔ x = 0 ∨ −x + 3 = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 3(lei do anulamento do produto)



0 2 3−x2 + 3x − 0 + + + 0 −2x− 4 − − − 0 + + +

2x− 4−x2 + 3x

+ ND − 0 + ND −

Df = {x ∈ R : x < 0 ∨ 2 ≤ x < 3}

= ]−∞, 0[∪[2, 3[

A funcao g apenas envolve um radicando portanto,

Dg = {x ∈ R : x + 1 ≥ 0} = [−1,+∞[

(b) Os zeros de f sao os pontos do domınio de f que anulam a funcao:

{x ∈ Df : f(x) = 0} = {2}.

Como a funcao nao esta definida em 0, nao existe f(0).

Os zeros de g sao os pontos do domınio de g que anulam a funcao, i.e., {x ∈ Dg : g(x) = 0}.

g(x) = 0 ⇔ 3−√

x + 1 = 0 ⇔√

x + 1 = 3 ⇔ x + 1 = 9︸︷︷︸(ha equivalencia porque x≥−1)

⇔ x = 8.

Assim, g(x) = 0 se e so se x = 8.

O valor g(0) = 3−√

0 + 1 = 2.

(c) CDg = {y ∈ R : y = g(x) ∧ x ∈ Dg}.√

x + 1 ≥ 0 ⇔ −√

x + 1 ≤ 0 ⇔ 3−√

x + 1 ≤ 3

Assim, como√

x + 1 assume qualquer valor maior ou igual a zero, CDg =]−∞, 3].

(d.1) A funcao soma e a funcao definida por:

f + g : Df+g −→ Rx 7−→ f(x) + g(x)

Df+g = Df ∩Dg = (]−∞, 0[∪[2, 3[) ∩ [−1,+∞[= [−1, 0[∪[2, 3[.

(d.2) A funcao quociente e a funcao definida por:

f

g: D f

g−→ R

x 7−→ f(x)g(x)

em que

D fg

= Df ∩Dg ∩ {x ∈ R : g(x) 6= 0} = ([−1, 0[∪[2, 3[) ∩ R \ {8} = [−1, 0[∪[2, 3[.

Exercıcios proposto

Determine os domınios de f e g, Df e Dg, sendo f dada por f(x) =√

x + 1x2 − 4

e g dada por g(x) =√−x

x2 + 1.



5.3 Restricao de uma funcao

Dada uma funcao f : Df ⊆ R → R e A um subconjunto de Df , podemos definir uma nova funcao r :A ⊆ Df → R dada por r(x) = f(x), ∀x ∈ A. As funcoes f e r tem a mesma expressao analıtica masA = Dr ⊆ Df . Esta funcao designa-se por restricao de f a A e indica-se

r = f |A .

Exemplo: A restricao da funcaoh : R \ {1} −→ R

x 7−→ 1x− 1

ao conjunto A =]−∞, 1[ eh |A : ]−∞, 1[ → R

x 7→ 1x− 1

O contradomınio de h e R \ {0} e o contradomınio de h |A e ]−∞, 0[.

5.4 Funcoes definidas por ramos

Considere-se a funcao

x

y

21−1

1.5 •◦

•

y = f(x)

f(x) =

x2 − 1

2se x < 2

2− x se x ≥ 2

Por exemplo f(3) = 2− 3 = −1 e f(1) =12(12 − 1) = 0. Observe-se que f(2) = 2− 2 = 0 e f(2) 6= 3

2 =

22 − 12

.

5.4.1 A funcao modulo

A funcao modulo pode ser encarada como uma funcao definida por ramos:

x

y

1−1

1y = |x| |x| =

{x se x ≥ 0−x se x < 0




Seja f a funcao definida por f(x) = |x2 − 3x + 2|.

(a) Reescreva a expressao analıtica de f sem usar o sımbolo | |.

(b) Determine o conjunto A ⊆ R por forma a que a proposicao “f(x) < 1, se e so se x ∈ A” seja verdadeira.

Resolucao:

(a) Comecemos por analisar o sinal de x2 − 3x + 2.

x2 − 3x + 2 = 0 ⇔ x =3±

√9− 8

2⇔ x = 2 ∨ x = 1. Assim, x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1).

O produto sera positivo se os dois factores tiverem o mesmo sinal e negativo se os factores tiverem sinaiscontrarios. Entao:

1 2x− 1 − 0 + + +x− 2 − − − 0 +

(x− 1)(x− 2) + 0 − 0 +

x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1) > 0 se x ∈]−∞, 1[∪]2,+∞[e

x2 − 3x + 2 = (x− 2)(x− 1) < 0 se x ∈]1, 2[

Podemos agora definir a funcao f por ramos da seguinte forma:

f(x) =

x2 − 3x + 2 se x ≤ 1 ∨ x > 2

−x2 + 3x− 2 se 1 < x ≤ 2

Repare que f(1) = f(2) = 0 sendo portanto indiferente calcular o valor da funcao nestes pontos num ounoutro ramo.

(b) Pretende-se determinar o conjunto

A = {x ∈ R : |x2 − 3x + 2| < 1} = {x ∈ R : −1 < x2 − 3x + 2 < 1}

Resolvendo as duas inequacoes temos:

−1 < x2 − 3x + 2 ⇔ x2 − 3x + 3 > 0 x2 − 3x + 2 < 1 ⇔ x2 − 3x + 1 < 0

A equacao x2 − 3x + 3 = 0 nao tem raızes A equacao x2 − 3x + 1 = 0 admite as raızes

reais. x =3−

√5

2e x =

3 +√

52

.

Portanto x2 − 3x + 3 > 0,∀x ∈ R Portanto x2 − 3x + 1 < 0,∀x ∈

]3−

√5

2,3 +

√5

2

[

O conjunto A e a interseccao dos conjuntos solucao das duas inequacoes,

A = R ∩

]3−

√5

2,3 +

√5

2

[=

]3−

√5

2,3 +

√5

2

[


Reescreva a expressao analıtica das seguintes funcoes, sem usar o sımbolo modulo:

(a) f(x) = |x− 1|;

(b) g(x) = |x| − 3.



5.5 Injectividade e sobrejectividade

Definicao: Uma f : A → B diz-se injectiva se a objectos distintos correspondem imagens distintas, i.e.,

∀x, x′ ∈ A, x 6= x′ ⇒ f(x) 6= f(x′)

ou equivalentemente, se a cada elemento do contradomınio corresponde um unico elemento do domınio (aimagens iguais correspondem objectos iguais), i.e.,

∀x, x′ ∈ A, f(x) = f(x′) ⇒ x = x′.

Definicao: f diz-se sobrejectiva se todos os elementos do conjunto de chegada sao imagem de algum elementodo domınio, i.e.,

∀y ∈ B,∃x ∈ A : f(x) = y

ou equivalentemente, se o contradomınio coincide com o conjunto de chegada, i.e., CDf = B

Definicao: Uma funcao diz-se bijectiva se e injectiva e sobrejectiva, i.e.,

∀y ∈ B, ∃1x ∈ A : y = f(x).

Obs.: Sendo f uma funcao real de variavel real, f e sobrejectiva se o seu contradomınio e R, i.e., CDf = R e e bijectivase

∀y ∈ R, ∃1x ∈ Df : y = f(x).

x

y

1

y = ex

x

y

1

π2

y = cos x

Injectiva e nao sobrejectiva Nao injectiva e nao sobrejectiva

x

y

π2

−π2

y = tan x

x

y

y = x3

Sobrejectiva e nao injectiva Injectiva e sobrejectiva - bijectiva


Considere as funcoes definidas por:

f(x) =√

x; g(x) = x2; j(x) =1x

(a) Determine os seus domınios.



(b) Determine os seus contradomınios.

(c) Indique, justificando, se as funcoes sao injectivas e/ou sobrejectivas.

Resolucao: Vamos resolver o exercıcio apenas para a funcao j.

(a) Dj = R \ {0}.

(b) CDj = R \ {0}.

(c) A funcao j e injectiva:

j(x) = j(x′)( com x, x′ ∈ Dj) ⇐⇒1x

=1x′⇐⇒ x = x′.

A funcao j nao e sobrejectiva, ja que 0 nao e imagem denenhum ponto do domınio de j. Por outras palavras, o con-tradomınio (CDj = R \ {0}) nao coincide com o conjuntode chegada (R).

x

y

•

1

1

j(x) = 1x

5.6 Paridade de Funcoes

Definicao: Um conjunto D ⊆ R diz-se simetrico em relacao a origem se cada elemento do conjunto D tem oseu simetrico em D, i.e.,

∀x ∈ Df ,−x ∈ D

Definicao: Seja Df ⊆ R simetrico em relacao a origem . A funcao real f : Df → R diz-se par se

f(−x) = f(x),∀x ∈ Df

As funcoes pares tem graficos simetricos em relacao ao eixo das ordenadas.

x

y

•

a

•

−a

Definicao: Seja Df ⊆ R simetrico em relacao a origem. A funcao real f , definida em Df diz-se ımpar sef(−x) = −f(x), para todo o x ∈ Df .As funcoes ımpares tem graficos simetricos em relacao a origem do referencial.

x

y

•

a

b

•

−a

−b




Estude, quanto a paridade, as funcoes definidas por:

(a) f(x) = x|x|; (b) h(x) =√

x; (c) j(x) =

x2 + 1 se x < 0

2x se x > 0

Resolucao: (a) Podemos definir a funcao f por ramos e tracar o seu grafico:

f(x) =

{x2 se x ≥ 0−x2 se x < 0

x

y

1−1•

y = f(x)

O domınio de f e R que e um conjuntosimetrico. Como,

f(−x) = −x| − x|= −x|x| = −f(x),∀x ∈ R,

a funcao f e ımpar.

(b) O domınio de h, Dh = R+0 , nao e um conjunto simetrico, portanto a funcao h nao e par nem ımpar.

(c) O domınio da funcao j, Dj = R \ {0}, e um conjunto simetrico. Graficamente pode observar-se que afuncao nao e par nem ımpar. Como provar analiticamente esta afirmacao?Repare que j(−1) = (−1)2 + 1 = 2 e j(1) = 2 · 1 = 2, logo j(1) = j(−1). Esta igualdade permiteconcluir que a funcao nao e ımpar, mas nao permite concluir que a funcao e par. Contudo, por exemploj(−2) = (−2)2 + 1 = 5 e j(2) = 4, e portanto, j(−2) 6= j(2), logo j nao e par. Podemos entao afirmar que afuncao j nao e par nem ımpar.

Exercıcios do livro adoptado Calculo I (vol. I): Ex. 6, 7, ..., 10 p.194; Ex.11 p.195; Ex. 15, 16 p.196

5.7 Funcoes Monotonas

Definicao: Uma funcao f : Df ⊆ R → R diz-se monotona (em sentido lato) se

∀x, y ∈ Df , x < y ⇒

f(x) ≤ f(y) (f monotona crescente)

f(x) ≥ f(y) (f monotona decrescente)

Uma funcao f : Df ⊆ R → R diz-se estritamente monotona se

∀x, y ∈ Df , x < y ⇒

f(x) < f(y) (f estritamente monotona crescente)

f(x) > f(y) (f estritamente monotona decrescente)


Estude quanto a monotonia as seguintes funcoes:

(a) f(x) = −x3 + 1;

(b) h(x) =1

|x|+ 2.



Resolucao:

(a) Sejam x1, x2 ∈ R, tais que x1 < x2. Entao, como x31 < x3

2, resulta que −x31 > −x3

2. Portanto

f(x1) = −x31 + 1 > −x3

2 + 1 = f(x2),

ou seja, f e monotona decrescente (em sentido estrito).

(b) Observe que a funcao e sempre positiva e e par, ou seja simetrica relativamente ao eixo das ordenadas.Considerando os pontos x1 = −1, x2 = 0 e x3 = 1, tem-se x1 < x2 < x3. Calculando os valores de hnestes pontos vem:

h(x1) =1

| − 1|+ 2=

13

= h(x3)( porque f e par ); e h(x2) =12.

Assim, h(x1) < h(x2) e h(x2) > h(x3), logo h nao e monotona.

5.8 Funcao Limitada

Uma funcao f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se o seu contradomınio e um conjunto limitado, isto e, se existemA,B ∈ R, tais que A ≤ f(x) ≤ B,∀x ∈ Df . Equivalentemente, f : Df ⊆ R → R diz-se limitada se existeM ∈ R+ tal que

|f(x)| ≤ M, ∀x ∈ Df .


Considere as funcoes f : [1,+∞[→ R, dada por f(x) = 1− 1x

e g : R \ {0} → R, dada por g(x) = 1− 1x

.

x

y

1

•

1

y = f(x)

x

y

1

1

y = g(x)

1. Mostre que a funcao f e limitada.

2. Mostre que a funcao g nao e limitada.

Resolucao:

1. Como o domınio de f e [1,+∞[, x ≥ 1 e portanto 0 <1x≤ 1. Entao:

−1 ≤ −1x

< 0 =⇒ 0 ≤ 1− 1x

< 1

e portanto f e limitada (sendo A = 0 e B = 1).

Se usarmos a segunda definicao de funcao limitada, basta tomar M = 1.

2. No caso da funcao g, se x estiver proximo de 0 o valor de |g(x)| torna-se muito elevado. Seja M > 0 um

numero positivo arbitrario. Entao, existe xM 6= 0 tal que |g(xM )| > M , por exemplo, xM =1

2M + 1:

|g(xM )| =

∣∣∣∣∣1− 11

2M+1

∣∣∣∣∣ = |1− 2M − 1| = | − 2M | = 2M > M

Podemos interpretar este facto graficamente. Qualquer que seja a recta horizontal y = M , encontramos sempreum valor de x para o qual |g(x)| esta acima da recta considerada, i.e., |g(x)| > M . Portanto, g nao e limitada.



5.9 Funcoes com parametros ou famılias de funcoes

Dada uma funcao f : D ⊆ R → R podemos obter uma nova funcao fazendo uma translacao do grafico de f aolongo do eixo das abcissas ou ao longo do eixo das ordenadas, g(x) = f(x− c) ou g(x) = f(x)− c, em que ce um parametro real.No caso g(x) = f(x− c), o domınio de g e

Dg = {x ∈ R : x− c ∈ Df}.

Se g(x) = f(x)− c, o domınio de g coincide com o domınio de f .

x

y

c=−1 c=0 c=1 c=2

y = f(x− c)

x

y

c=−1

c=0

c=1

y = f(x)− c

Nota: g(x) = f(x − c) representa uma translacao de f sobre o eixo dos xx segundo (c, 0) (para a direita sec > 0 e para a esquerda se c < 0).

5.10 Funcoes polinomiais

Uma funcao polinomial1 e uma funcao de domınio R da forma

P (x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0

em que os coeficientes ai sao numeros reais.Se an 6= 0 a funcao polinomial diz-se ter grau n.Se P tem grau ımpar o seu contradomınio e R e se P tem grau par o seu contradomınio e um intervalo da forma]−∞, α] se an < 0, ou [β, +∞[ se an > 0.

Exemplos:

1. Se P (x) = −3x + 1 o seu contradomınio e R.

2. Se Q(x) = −2x2 + 3, o seu contradomınio e ]−∞, 3]

A determinacao de raızes 2 (zeros) de polinomios reveste-se de grande importancia daı que surja o seguinte

Teorema: Um polinomio de grau n > 0 tem n raızes em C (nao necessariamente reais nem distintas), contandoque uma raiz de ordem m e considerada como correspondente a m raızes.

Por exemplo o polinomio de grau 6, P (x) = (x2 +3)(x+2)4 tem duas raızes complexas conjugadas (portanto distintas),r1 = −

√3i, r2 =

√3i e uma raiz real de multiplicidade 4, r3 = −2.

1Ver seccao sobre polinomios.2z e uma raiz de P , se e so se P (z) = 0, ou seja, se e so se (x− z) e um factor de P . z e uma raiz de ordem m de P

se e so se (x− z)m e um factor de P mas (x− z)m+1 ja nao e factor de P .



5.11 Funcoes racionais

Funcoes racionais sao funcoes do tipo

f(x) =P (x)Q(x)

em que P e Q sao polinomios. Ja sabemos que o seu domınio e o conjunto

Df = {x ∈ R : Q(x) 6= 0}.


1. Indique o domınio de:

(a) f(x) =x− 1

x2 − 2x + 5

(b) g(x) =x2 − 1

x3 − 3x− 2x.

5.12 Funcao Composta

Definicao: Sejam f e g duas funcoes reais de variavel real. A funcao composta g apos f , g ◦ f , e definida por:

g ◦ f : D ⊆ R −→ Rx 7−→ (g ◦ f)(x) = g (f(x)) ,

com D = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg}.

Se o contradomınio de f e um subconjunto do domınio de g, CDf ⊆ Dg, entao o domınio da funcao g ◦ f eDf .


Considere as funcoes f , g e h definidas por:

f(x) =√

x, g(x) = x2 e h(x) =1

x− 1

Determine os domınios e as expressoes analıticas de

g ◦ f, f ◦ g, h ◦ f, f ◦ h.

Resolucao:Df = R+

0 ; Dg = R; Dh = R \ {1}.

Entao,Dg◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dg} =

{x ∈ R : x ∈ R+

0 ∧√

x ∈ R}

= R+0 .

Df◦g = {x ∈ R : x ∈ Dg ∧ g(x) ∈ Df} =

x ∈ R : x ∈ R ∧ x2 ∈ R+0︸︷︷︸

cond. universal

= R.

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(√

x)

=(√

x)2 = |x| = x (porque x ≥ 0)

e(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f

(x2)

=√

x2 = |x|.

Considerem-se agora as funcoes f e h:

Dh◦f = {x ∈ R : x ∈ Df ∧ f(x) ∈ Dh} ={x ∈ R : x ∈ R+

0 ∧√

x 6= 1}

= R+0 \ {1} = [0, 1[∪]1,+∞[.



Df◦h = {x ∈ R : x ∈ Dh ∧ h(x) ∈ Df} ={

x ∈ R : x 6= 1 ∧ 1x− 1

≥ 0}

= {x ∈ R : x 6= 1 ∧ x− 1 > 0} =]1,+∞[.

Os domınios, como no caso anterior, sao distintos. Vejamos agora as expressoes analıticas das duas funcoes.

(h ◦ f)(x) = h(f(x)) = h(√

x)

=1√

x− 1

(f ◦ h)(x) = f(h(x)) = f

(1

x− 1

)=

√1

x− 1.

5.13 Inversa de uma Funcao

Definicao: Seja f : Df ⊂ R → R uma funcao injectiva. Sendo assim, para todo o y ∈ CDf existe umunico x ∈ Df , tal que y = f(x), ou seja, existe uma funcao f−1 : CDf −→ R, com contradomınio Df ,definida por:

f−1(y) = x se e so se f(x) = y, y ∈ CDf

Tal funcao designa-se por funcao inversa de f .Se f admite funcao inversa, f diz-se invertıvel. Neste caso a funcao inversa e unica!

x

y

•

a

f(a)

•

f(a)

a

f(x)

f−1(x)y = x

Observacao: O grafico de f−1 e obtido do grafico de f por simetria em relacao a recta y = x.

Teorema: Se f e uma funcao invertıvel e f−1 e a sua inversa, entao

(f−1 ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ Df ;

(f ◦ f−1)(y) = y, ∀y ∈ Df−1 = f(Df ) = CDf .

A composta f ◦ f−1 e a funcao identidade i1 : CDf −→ CDf e a composta f−1 ◦ f e a funcao identidadei2 : Df → Df (i1(y) = y e i2(x) = x).


1. Determine a inversa da funcao h(x) =1

x− 1.

Resolucao: A funcao h e injectiva, o seu domınio e R \ {1} e o seu contradomınio e R \ {0}. Para determinar

a expressao da inversa vamos resolver a equacao y =1

x− 1em ordem a x (nao esquecendo o domınio e o

contradomınio de h):

y =1

x− 1⇐⇒ (x− 1)y = 1 ⇐⇒ x =

1 + y

y= 1 +

1y.



Assim, a funcao inversa, h−1, de h e:

h−1 : R \ {0} −→ R

x 7−→ 1 +1x

Observe que, efectivamente,

(h ◦ h−1

)(a) = h

(1 +

1a

)=

11 + 1

a − 1= a e

(h−1 ◦ h

)(b) = h−1

(1

b− 1

)= 1 +

11

b−1

= b.

Exercıcios do livro adoptado Calculo I (vol. I): Ex. 2, 3, ..., 6 p.221; Ex. 7, 9, 10, 11, 13 p.222


Pre-Calculo 2005 6 Funcao logarıtmica e funcao exponencial

6 Funcao logarıtmica e funcao exponencial

6.1 Logaritmos

Definicao: Chama-se logaritmo de b (b > 0) na base a (a positivo e a 6= 1) ao expoente a que e preciso elevara base a para obter b, isto e,

loga b = y ⇐⇒ ay = b.

Em qualquer base, loga 1 = 0 porque a0 = 1 e loga a = 1 porque a1 = a.

Observe-se que:aloga b = b e loga ay = y.

Logaritmo neperiano: se a base e e (numero de Neper) escrevemos ln em vez de log, ou seja, ln c = loge c.

6.1.1 Propriedades

Se u, v > 0, a > 0 e a 6= 1, entao:

1. loga (uv) = loga u + loga v,

2. loga (uv ) = loga u− loga v,

3. loga(uv) = v loga u,

4. loga c = logb clogb a (mudanca de base).

Exemplo: Usando algumas das propriedades acima referidas temos que:

log5

(√54

53

)= log5 52 − log5 53 = 2− 3 = −1.

6.2 Funcao Exponencial

Definicao: Chama-se funcao exponencial de base a, a > 0 e a 6= 1, a correspondencia

f : R −→ Rx 7−→ ax,

Quando e referida “funcao exponencial”sem especificar a base, subentende-se que a base e e (numero de Neper)e a funcao e dada por f(x) = ex.

6.2.1 Propriedades da exponencial

Sejam a > 0 e x, y ∈ R, entao:

1. a−x =1ax

.

2. (ax)y = axy.

3. axay = ax+y.

4. (ab)x = axbx,∀b > 0

5. a0 = 1.



6.2.2 Funcao Exponencial de Base a com a > 1

x

y

1

1

a

y = ax

(a>1)

• Domınio R. Contradomınio R+.

• Contınua em todo o domınio.

• A funcao e estritamente crescente em R e portanto injectiva.

• Nao tem zeros. O grafico intersecta o eixo das ordenadas noponto (0, 1).

• Admite a assımptota horizontal y = 0 quando x → −∞.Nao tem assımptotas verticais nem oblıquas.

limx→+∞

ax = +∞ e limx→−∞

ax = 0.

6.2.3 Funcao Exponencial de Base a com 0 < a < 1

x

y

1

1

a

y = ax

(0<a<1)

• Domınio R. Contradomınio R+.


• A funcao e estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

• Nao tem zeros. O grafico intersecta o eixo das ordenadas noponto (0, 1).

• Admite a assımptota horizontal y = 0 quando x → +∞.Nao tem assımptotas verticais nem oblıquas.

limx→−∞

ax = +∞ e limx→+∞

ax0.


1. Resolva a equacao ex = e−x.

Resolucao: Observe-se que a funcao exponencial e injectiva e nunca se anula. Assim,

ex = e−x ⇐⇒ ex − e−x = 0 ⇐⇒ e2x − 1ex

= 0 ⇐⇒ e2x = 1(∧ex 6= 0) ⇐⇒ x = 0

ouex = e−x ⇐⇒ x = −x ⇐⇒ x = 0 (pela injectividade)

2. Determine os valores de x tais que 2x ≤ 12

.

Resolucao:

2x ≤ 12⇐⇒ 2x ≤ 2−1 ⇐⇒ x ≤ −1 (por ser estritamente crescente)

3. Determine o conjunto solucao de cada uma das condicoes :

(a) 4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0



(b)1− 23x−1

3x2−2 − 9≥ 0

(c) x2ex+1 − xex+2 < 0

Resolucao:

(a) Como 4x = (22)x, temos,

4x − 3 · 2x + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 22x − 3 · 2x + 2 ≤ 0. (1)

Substituindo y = 2x em (1), vem:

y2 − 3y + 2 ≤ 0 ⇐⇒ 1 ≤ y ≤ 2,

porque a funcao dada pela equacao y2 − 3y + 2 e representada graficamente por uma parabolade zeros 1 e 2 e concavidade voltada para cima. Entao, como a funcao exponencial f(x) = 2x ecrescente,

20 ≤ 2x ≤ 21 ⇐⇒ 0 ≤ x ≤ 1.

Assim, o conjunto solucao da inequacao e [0, 1].

(b) Comecemos por determinar os zeros do numerador e do denominador:

1−23x−1 = 0 ⇐⇒ 23x−1 = 1 ⇐⇒ 23x−1 = 20 ⇐⇒ 3x−1 = 0 ⇐⇒ x =13

(pela injectividade)

3x2−2 − 9 = 0 ⇐⇒ 3x2−2 = 32 ⇐⇒ x2 − 2 = 2 ⇐⇒ x2 − 4 = 0 ⇐⇒ x = 2 ∨ x = −2

Como a funcao exponencial de base maior do que 1 e crescente, podemos construir a seguinte tabelade variacao de sinal:

−2 13 2

1− 23x−1 + + + 0 − − −3x2−2 − 9 + 0 − − − 0 +

1− 23x−1

3x2−2 − 9+ ND − 0 + ND −

Assim, o conjunto solucao da inequacao dada e:

C.S. = ]−∞,−2[ ∪[13, 2[

(c) Podemos por em evidencia o factor xex+1 para podermos aplicar a lei do anulamento do produto:

x2ex+1 − xex+2 = xex+1(x− e)

Assim,xex+1(x− e) = 0 ⇐⇒ xex+1 = 0 ∨ (x− e) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ x = e

Como ex+1 > 0,∀x ∈ R, o sinal de xex+1 apenas depende do sinal de x. Entao,

0 e

xex+1 − 0 + + +x− e − − − 0 +x2ex+1 − xex+2 + 0 − 0 +

O conjunto solucao da inequacao e:C.S. =]0, e[



4. Determine a e b para que a expressao y = a + bx+1 defina uma funcao cujo grafico intersecte o eixo dasordenadas (yy) no ponto de ordenada 7 e tenha por assımptota a recta de equacao y = 2.

Resolucao: O grafico da funcao de equacao y = a + bx+1 resulta da translacao associada a (−1, a) dografico da funcao dada por y = bx. Como a recta y = 0 e a unica assımptota do grafico de y = bx, arecta y = a e a unica assımptota do grafico de y = a + bx+1. Podemos entao afirmar que a = 2.

Como o grafico da funcao passa pelo ponto (0, 7), substituindo x = 0 e y = 7 na equacao que traduz aexpressao da funcao, temos

7 = 2 + b0+1 ⇐⇒ b = 5.

A funcao que satisfaz as condicoes do problema e

y = 2 + 5x+1.

6.3 Funcao Logarıtmica

Definicao: Chama-se funcao logarıtmica de base a, com a > 0 e a 6= 1, a correspondencia

g : R+ −→ Rx 7−→ loga x,

A funcao logarıtmica e a inversa da funcao exponencial, isto e,

f : R −→ R+

y 7−→ x = ayf−1 = g : R+ −→ R

x 7−→ y = loga x

Note-se que, pelas propriedades dos logaritmos temos(f−1 ◦ f

)(x) = loga ax = x

e (f ◦ f−1

)(y) = aloga y = y.

6.3.1 Funcao Logarıtmica de Base a, com a > 1

x

y

1 a

1

y = loga x

(a>1)

• Domınio R+. Contradomınio R.


• A funcao e estritamente crescente em R e portanto injectiva.

• A funcao tem um unico zero em x = 1. O grafico de g naointersecta o eixo das ordenadas.

• x = 0 e a unica assımptota ao grafico de g.

limx→+∞

loga x = +∞ e limx→0+

loga x = −∞.



6.3.2 Funcao Logarıtmica de Base a, com 0 < a < 1

x

y

1a

1

y = loga x

(0<a<1)

• Domınio R+. Contradomınio R.


• A funcao e estritamente decrescente em R e portanto injectiva.

• O grafico de g intersecta o eixo das abcissas no ponto (1, 0) enao intersecta o eixo das ordenadas.

• x = 0 e a unica assımptota ao grafico de g.

limx→+∞

loga x = −∞ e limx→0+

loga x = +∞.


1. Simplifique a expressao e3 ln 2−ln x.

Resolucao: Aplicando as propriedades 6.1.1 e 6.2.1,

e3 ln 2−ln x = eln 23−ln x = eln 8x =

8x

.

Observe que esta simplificacao so e valida em

D = {x ∈ R : x > 0} =]0,+∞[.

2. Determine o conjunto solucao das condicoes:

(a) 2 ln x− ln(x− 1) = 2 ln 2

(b) log3 x ≤ 0

(c) x log2 (x + 1) > x

Resolucao:

(a) Comecemos por observar que o domınio da expressao 2 ln x− ln(x− 1) e

x > 0 ∧ x > 1 ⇐⇒ x > 1.

Aplicando as propriedades 6.1.1 temos, para x > 1,

2 ln x− ln(x− 1) = 2 ln 2 ⇐⇒ lnx2 = ln(x− 1) + ln 22

⇐⇒ lnx2 = ln((x− 1)22) ⇐⇒ x2 = ((x− 1)22) ⇐⇒ x = 2

Como x = 2 esta no domınio da expressao, resulta que o conjunto solucao e C.S. = {2}.

(b) O domınio da funcao dada por f(x) = log3 x e ]0,+∞[.Como a funcao f(x) = log3 x e monotona crescente,

log3 x ≤ 0 ⇐⇒ log3 x ≤ log3 1 ⇐⇒ x ≤ 1

Atendendo ao domınio da expressao, resulta que o conjunto solucao da inequacao dada e

C.S. =]0, 1].



(c) O domınio da funcao dada por f(x) = log2 (x + 1) e

D = {x ∈ R : x + 1 > 0} =]− 1,+∞[.

Entao, para x ∈]− 1,+∞[,

x log2 (x + 1) > x ⇐⇒ x(log2 (x + 1)− 1) > 0 (2)

O produto e positivo se:log2 (x + 1)− 1 > 0

x > 0ou

log2 (x + 1)− 1 < 0

x < 0(3)

Como

log2 (x + 1)− 1 = 0 ⇐⇒ log2 (x + 1) = 1 ⇐⇒ x + 1 = 21 ⇐⇒ x = 1 (pela injectividade)

e a funcao dada por f(x) = log2 (x + 1)− 1 e crescente, (3) vem:x > 1

x > 0ou

x < 1

x < 0

Sistematizada esta informacao num quadro de sinal, temos:

−1 0 1log2 (x + 1)− 1 ND − − − 0 +

x − − 0 + + +x(log2 (x + 1)− 1) ND + 0 − 0 +

Atendendo ao domınio D, o conjunto solucao da inequacao (2) e:

C.S. =]− 1, 0[∪]1,+∞[.

3. Caracterize a inversa das funcoes definidas por:

(a) f(x) = 2 + ex−1

(b) g(x) = log10 (2− x)

Resolucao:

(a) O domınio de f e Df = R.O contradomınio de f e CDf =]2,+∞[:Como a funcao exponencial e sempre positiva,

ex−1 > 0,∀x ∈ R =⇒ 2 + ex−1 > 2,∀x ∈ R

(Note-se que o grafico de f obtem-se a partir de uma translacao do grafico da funcao exponencialsegundo o vector (1, 2).)Para determinar a expressao da inversa vamos resolver a equacao y = 2 + ex−1 em ordem a x:

y = 2 + ex−1 ⇐⇒ ln (y − 2) = ln ex−1 ⇐⇒ x = 1 + ln (y − 2)

Assim, a inversa de f e f−1 definida por:

f−1 : ]2,+∞[ −→ Rx 7−→ 1 + ln(x− 2).



(b) O domınio de g e:Dg = {x ∈ R : 2− x > 0} =]−∞, 2[,

e o seu contradomınio e CDg = R.Para determinar a expressao da inversa vamos resolver a equacao y = log10 (2− x) em ordem a x:

y = log10 (2− x) ⇐⇒ 10y = 2− x ⇐⇒ x = 2− 10y

Entao, a inversa de g e dada por:

g−1 : R −→ Rx 7−→ 2− 10x.

e o seu contradomınio e ]−∞, 2[.


1. Seja f a funcao definida em R+ por f(x) = log2 (8x2)− log2 x.

(a) Mostre que f(x) = 3 + log3 x, para qualquer x ∈ R+

(b) Determine a abcissa do ponto de interseccao do grafico f com a recta de equacao y = 8.

2. Considere a funcaog : [0,+∞[ → R

x 7→ ln (1 + x)− x,

(a) Recorrendo a funcao derivada de g, mostre que g e decrescente.

(b) Tendo em conta a alınea anterior e o valor de g(0),indique, justificando, se e verdadeira ou falsa aafirmacao: g(x) < 0,∀x ∈ R+.


Pre-Calculo 2005 7 Funcoes trigonometricas

7 Funcoes trigonometricas

Considerem-se dois eixos ortogonais Ox e Oy. Relativamente a este sistema de eixos coordenados, os angulosorientados tem uma posicao em que o vertice esta na origem das coordenadas e o lado origem coincide com osemi-eixo positivo Ox. Nestas condicoes, diz-se que o angulo e do 1o, 2o, 3o ou 4o quadrante conforme o ladoextremidade se situe num daqueles quadrantes, respectivamente.

7.1 Funcoes Trigonometricas

No que se segue, definiremos as funcoes trigonometricas (seno, cosseno e tangente) utilizando um cırculo deraio r.

•

x

y P (x,y)

θ

r=√

x2+y2

Seja P (x, y) um ponto qualquer da circunferencia, e designe-se por r a distancia da origem O ao ponto P e porθ o angulo que o vector

−−→OP faz com o semieixo positivo das abcissas. Entre os tres numeros x, y e r podem

estabelecer-se as seguintes razoes:

sen θ =y

r, r 6= 0 cos θ =

x

r, r 6= 0 tan θ =

sen θ

cos θ=

y

x, x 6= 0

A cada valor do angulo θ corresponde um e um so valor de cada uma das tres razoes consideradas, as quaispor este facto sao funcoes do angulo θ. Tais funcoes sao chamadas funcoes circulares ou Funcoes Trigo-nometricas.Se tomarmos r = 1 conclui-se que sen θ = y e cos θ = x. Ao cırculo orientado de centro na origem e raiounitario chama-se cırculo trigonometrico.Em seguida apresenta-se uma tabela de valores das funcoes trigonometricas, anteriormente definidas, paraalguns angulos do 1o Quadrante.

θ (Graus) 0o 30o 45o 60o 90o

θ (Radianos) 0 π6

π4

π3

π2

sen θ 0 12

√2

2

√3

2 1cos θ 1

√3

2

√2

212 0

tan θ 0√

33 1

√3 nao definida

As funcoes trigonometricas sao funcoes periodicas, i.e.,

∃p > 0 : f(x + p) = f(x), ∀x ∈ Df

Ao menor valor positivo p que satisfaca a igualdade acima da-se a designacao de perıodo da funcao f .As funcoes trigonometricas nao sao injectivas pois sao periodicas.

7.2 Identidades Trigonometricas

Formula Fundamental da Trigonometria

sen2 x + cos2 x = 1 (4)



Dividindo ambos os membros da identidade por cos2 x, vem:

tan 2x + 1 =1

cos2 x. (5)

Formulas da soma e da diferenca de dois angulos

sen(x± y) = senx cos y ± cos x sen y

(6)

cos(x± y) = cos x cos y ∓ senx sen y

As identidades trigonometricas seguintes sao consequencia das formulas anteriores.

tan (x + y) =tanx + tan y

1− tanx tan ysen(2x) = 2 senx cos x

tan(x− y) =tanx− tan y

1 + tanx tan ycos(2x) = cos2 x− sen 2x

Formulas da duplicacao dos angulos

cos(2x) = 2 cos2 x− 1 cos2 x =12(1 + cos (2x))

cos(2x) = 1− 2 sen2 x sen 2x =12(1− cos (2x))

Formulas de transformacao logarıtmica

senx + sen y = 2 sen(

x + y

2

)cos(

x− y

2

)senx− sen y = 2 sen

(x− y

2

)cos(

x + y

2

)cos x + cos y = 2 cos

(x + y

2

)cos(

x− y

2

)cos x− cos y = −2 sen

(x + y

2

)sen(

x− y

2

)

7.3 Graficos das funcoes trigonometricas

7.3.1 Funcoes seno e cosseno

x

y

π2

1

3π2

−1

π 2π−π

y = sen x

• Domınio: R. Contradomınio: [−1, 1].

• sen(−x) = − senx,∀x ∈ R (a funcaoe ımpar)

• A funcao e periodica de perıodo 2π:

sen(x + 2kπ) = senx , ∀k ∈ Z.

• Zeros:

senx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z



x

y

1

2π

π

−1

π2

3π2

−π2

y = cos x

• Domınio: R. Contradomınio: [−1, 1].

• cos(−x) = cos x,∀x ∈ R (a funcao epar)

• A funcao e periodica de perıodo 2π:

cos(x + 2kπ) = cos x,∀k ∈ Z.

• Zeros:

cos x = 0 ⇔ x = kπ + π2 , k ∈ Z

Verificam-se as seguintes identidades, qualquer que seja x ∈ R:

sen(

π2 − x

)= cos x cos

(π2 − x

)= sen x sen (π − x) = senx

cos (π − x) = − cos x sen (π + x) = − senx cos (π + x) = − cos x

7.3.2 Funcao tangente

x

y

π2

−π2

π−π

y = tan x

• Domınio:{x ∈ R : x 6= π

2 + kπ, k ∈ Z}

.

Contradomınio: R.

• tan (−x) = − tanx,∀x ∈ R (a funcao eımpar)

• A funcao e periodica de perıodo π:

tan (x + kπ) = tanx,∀k ∈ Z.

• Zeros: tanx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z

7.4 Equacoes trigonometricas

1. Consideremos a equacao senx = c, c ∈ [−1, 1].

Pretende-se determinar as amplitudes x cujo seno e igual a c.

Seja α ∈ [0, 2π] tal que senα = c. Usando a identidade sen (π − α) = senα temos

x = α ∨ x = π − α =⇒ senx = sen α.

Atendendo a periodicidade da funcao seno, vem:

senx = sen α ⇐⇒ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z

Exemplo: sin(x) = 12 ⇔ x = π

6 + 2kπ ∨ x = π − π6 + 2kπ, k ∈ Z.

2. A solucao geral da equacao cos x = cos α e:

x = ±α + 2kπ, k ∈ Z

3. A solucao geral da equacao tanx = tan α e:

x = α + kπ, k ∈ Z




1. Simplifique a seguinte expressao:

sen(α− π

2

)+ cos (3π − α).

Resolucao: Usando as propriedades das funcoes seno e cosseno em 7.3.1, temos

sen(α− π

2

)+ cos (3π − α) = sen

(−(

π2 − α

))+ cos (2π + π − α) =

= − sen((

π2 − α

))+ cos (π − α) = − cos α− cos α = −2 cos α

2. Calcule tanx

2sabendo que senx = 3

5 e π2 ≤ x ≤ π.

Resolucao: Usando as formulas (5) e (6), temos que

tan 2(x

2

)=

1cos2

(x2

) − 1. (7)

e usando 7.2cos2

(x

2

)=

1 + cos x

2.

Assim, dado que senx = 35 ,

cos2 x = 1− sen2 x = 1− 925

=1625

Como x ∈ 2oQ, cos x = −45 . Logo,

cos2(x

2

)=

1− 45

2=

110

.

Entao,

tan 2(x

2

)=

1110

− 1 = 9.

Como x ∈ 2oQ, tanx

2= −3.

3. Considere a funcao g : [0, π] −→ R definida por g(x) = senx + sen (2x).

(a) Determine os zeros da funcao g;

(b) Estude, quanto a existencia de assımptotas, a funcao h definida em [0, π] \{π

2

}por h(x) =

g(x)cos x

.

Resolucao:

(a) Pretendemos resolver a equacao g(x) = 0, com x ∈ [0, π]. Como,

senx + sen (2x) = 0 ⇔ senx = − sen (2x) ⇔ senx = sen (−2x) ⇔

⇔ x = −2x + 2kπ ∨ x = π − (−2x) + 2kπ, k ∈ Z ⇔ x = 2kπ3 ∨ x = −π − 2kπ, k ∈ Z.

Queremos os valores de k ∈ Z, tais que:

x =2kπ

3∈ [0, π] ou x = −π − 2kπ ∈ [0, π],

ou seja,

0 ≤ 2kπ3 ≤ π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3

2 ou 0 ≤ −π − 2kπ ≤ π ⇔ −1 ≤ k ≤ −12

a que correspondem os valores de k = 0 e k = 1 no primeiro caso, e k = −1 no segundo. Os zerosda funcao g sao, portanto,

0,2π

3, π.



(b) Pelo facto do domınio de h ser um conjunto limitado, nao tem sentido procurar assımptotas naoverticais. Sendo h contınua em todo o seu domınio ( [0, π]\{π}), so podera haver assımptotavertical em x =

π

2. Como,

limx→(π

2)−

h(x) = +∞ e limx→π

2+

h(x) = −∞,

a recta de equacao x =π

2e assımptota vertical do grafico de h.


1. Considere a funcao f , de domınio R \ {1}, definida por f(x) = ex

x−1

(a) Estude a funcao f quanto a monotonia e quanto a existencia de extremos relativos.

(b) Resolva a equacao ln[f(x)] = x

(c) Estude a funcao f quanto a existencia de assımptotas verticais e horizontais do seu grafico.

2. Sabendo que

sen(π

2+ a)

=513

, tan(7π − b) =43

e que a ∈ 4o Q, b ∈ 2o Q, calcule

a) sen(a + b); b) cos(a− b); c) cos(

π4 + b

).

3. Resolva as seguintes equacoes trigonometricas:

(a) cos x +√

3 senx = 1; (b) cos 4x− sen 4x = 0;(c) cos 2x = 2− 3 senx; (d) sen (x + π/6) = senx;(e) cos (2x + π/4) = cos x; (f) cos x = 1− 5 senx tanx .

4. Usando as formulas da soma de dois angulos (6), mostre que:

(a) sen(x + π

2

)= cos x; (b) cos

(x + π

2

)= − senx;

(c) sen 2x = 12(1− cos 2x); (d) cos2 x = 1

2(1 + cos 2x) .

5. Considere a funcao f , de domınio [0, 2π] definida por

f(x) =

1 + ln (π − x) se 0 ≤ x < π

cos (2x) se π ≤ x ≤ 2π

(a) Estude f quanto a continuidade.

(b) Determine os zeros de f .

(c) Seja α ∈ [π, 2π] tal que cos α = 23 . Determine f(α).

6. Considere as funcoes f e g de domınio R, definidas por f(x) = 13 + 2e1−x e g(x) = 2 senx− cos x.

(a) Estude a funcao f quanto a existencia de assımptotas paralelas aos eixos coordenados.

(b) Resolva a equacao f(x) = g(π), apresentando a solucao na forma ln(ke), onde k representa umnumero real positivo.


Pre-Calculo 2005 8 Sucessoes reais

8 Sucessoes reais

8.1 Conceitos fundamentais

Definicao: Uma sucessao e uma funcao de domınio N. Se o conjunto de chegada e R, entao designa-se porsucessao real.Portanto, uma sucessao real e uma funcao

u : N → Rn 7→ u(n) = un

que se denota usualmente por (un)n∈N.

• un e o termo geral (define a expressao analitica da sucessao, por exemplo un = 2n − 1),

• n e a ordem do termo un,

• {un : n ∈ N} e o conjunto dos seus termos (ou seja, e o contradomınio da sucessao).

Por exemplo, a sucessao de termo geral an = 2n e a funcao em que a imagem de cada numero natural e odobro desse numero: a imagem de 1 e 2, a imagem de 2 e 4, e assim sucessivamente. Obtem-se a sequencia

2, 4, 6, 8, . . .

O grafico desta sucessao e o seguinte:

n

y

1

2

2

4

3

6

4

8

5

10


Considere a sucessao de termo geral un = (−1)n.

(a) Calcule os primeiros termos da sucessao.

(b) Mostre que todos os termos de ordem par sao positivos.

(c) Esboce o grafico da sucessao.

Resolucao:

(a) Substituindo no termo geral n por 1, obtemos

u1 = (−1)1 = −1.

Logo o primeiro termo e −1. Para determinar o segundo termo, substituımos n por 2. Assim sendo,

u2 = (−1)2 = 1.

Repetindo o processo, os primeiros termos da sucessao dada sao

−1, 1,−1, 1,−1, 1,−1, . . .



(b) Se n e um numero par, entao pode ser escrito na forma n = 2k, para algum k ∈ N. Portanto

un = u2k = (−1)2k = ((−1)2)k = 1k = 1

que e positivo.

(c) O grafico da sucessao e

n

y

−1

1

−2

2

1 2 3 4 5 6 7 8


Dada a sucessao real (an)n∈N definida por an =2n− 9n + 3

,

(a) Determine o termo de ordem 8.

(b) Averigue se 5/2 e termo da sucessao.

(c) Mostre que, se n > 10, entao an > 0.

Resolucao:

(a) Basta substituir n por 8 no termo geral:

a8 =2 · 8− 98 + 3

=711

.

Logo o 8◦ termo e 711 .

(b) Pretende-se saber se existe n ∈ N tal que an = 5/2. Para tal, devemos resolver a equacao

2n− 9n + 3

=52, com n ∈ N.

Entao

2n− 9n + 3

=52⇔ 4n− 18− 5n− 15

n + 3= 0 ⇔ −n− 33

n + 3= 0 ⇔ n = −33 ∧ n 6= −3.

Como −33 /∈ N, a equacao anterior e impossıvel em N e concluımos que 5/2 nao e termo da sucessao.

(c) Se n > 10, entao 2n − 9 > 2 · 10 − 9 = 11 e n + 3 > 10 + 3 = 13. Logo, para n > 10, as expressoes2n−9 e n+3 sao positivas e atendendo a que o quociente de dois numeros positivos e ainda um numeropositivo, provamos o pretendido.

Uma sub-sucessao de (un)n∈N e uma sucessao que se obtem de (un)n∈N suprimindo alguns dos seus termos edenota-se por (unk

)k∈N.Por exemplo, se un = (−1)n, entao u2n = 1 e uma sub-sucessao de (un)n∈N.



8.1.1 Sucessoes definidas por recorrencia

Uma sucessao pode ser definida por recorrencia, i.e., sao dados o(s) primeiro(s) termo(s) da sucessao e algumalei que nos permite determinar os restantes. Por exemplo, a sucessao (an)n∈N dada por

a1 = 4a2 = 1an+2 = an + an+1, n ∈ N

esta definida por recorrencia. Quais sao os termos desta sucessao? O primeiro e segundo sao, respectivamente,4 e 1, conforme e indicado. Para determinarmos os restantes olhemos para a terceira expressao:

an+2 = an + an+1.

Esta expressao indica que cada termo e soma dos dois termos que o antecedem. Por exemplo, o terceiro termoe (substituindo na expressao anterior n por 1)

a3 = a1 + a2 = 4 + 1 = 5.

O quarto termo e (substituindo agora n = 2)

a4 = a2 + a3 = 1 + 5 = 6

e assim sucessivamentea5 = a3 + a4 = 5 + 6 = 11,

a6 = a4 + a5 = 6 + 11 = 17,

. . .


Considere a sucessao definida por {a1 = −4an+1 = an + 2, n ∈ N (8)

(a) Determine os quatro primeiros termos da sucessao dada.

(b) Qual sera o termo geral da sucessao?

Resolucao:

(a) Conforme e indicado no sistema, a1 = −4. Para determinarmos a2, basta substituir n por 1 na equacaoan+1 = an + 2; logo a2 = a1 + 2 = −4 + 2 = −2. Substituindo agora n por 2 e 3, obtemosa3 = a2 + 2 = 0 e a4 = a3 + 2 = 2.

(b) O primeiro termo da sucessao e −4 e an+1 − an = 2, i.e., a diferenca entre dois termos consecutivos e 2.O termo geral sera

an = −6 + 2n.

Notemos que an+1 − an = [−6 + 2(n + 1)]− [−6 + 2n] = 2 e a1 = −6 + 2 = −4. Logo esta sucessaosatisfaz a condicao (8).

Sera esta sucessao unica? Neste momento nao temos meios de dar resposta a esta questao; posterior-mente, aquando do estudo das progressoes, veremos como poderıamos justificar a unicidade da sucessao.



8.2 Monotonia

Teorema: Seja (an)n∈N uma sucessao real. A sucessao e monotona

• crescente se an+1 − an ≥ 0, para todo n ∈ N;

• decrescente se an+1 − an ≤ 0, para todo n ∈ N;

• estritamente crescente se an+1 − an > 0, para todo n ∈ N;

• estritamente decrescente se an+1 − an < 0, para todo n ∈ N.

Por exemplo, a sucessao an = 1/n e estritamente decrescente, uma vez que

an+1 − an =1

n + 1− 1

n=

−1n(n + 1)

< 0,

para todo n ∈ N. Observemos que toda a sucessao estritamente crescente (respectivamente “estritamentedecrescente”) e crescente (respectivamente “decrescente”). Uma sucessao constante, por exemplo, un = 4 esimultaneamente crescente e decrescente, sendo portanto monotona.


Estude a monotonia das sucessoes de termo geral:

(a) an = 3 +√

n.

(b) bn =n + 2n + 1

.

(c) cn = n2 − 11n + 10.

(d) dn = (−2)n.

(e){

e1 = 4en+1 = en + 2n + 1, n ∈ N

Resolucao:

(a) Devemos estudar o sinal de an+1 − an. Como n + 1 > n, entao√

n + 1 >√

n. Logo, an+1 − an =[3 +

√n + 1]− [3 +

√n] =

√n + 1−

√n > 0, e portanto a sucessao e monotona crescente.

(b) Devemos estudar novamente o sinal de bn+1 − bn:

bn+1 − bn =(n + 1) + 2(n + 1) + 1

− n + 2n + 1

=(n + 3)(n + 1)− (n + 2)(n + 2)

(n + 2)(n + 1)=

−1(n + 2)(n + 1)

< 0,

uma vez que, como n ∈ N, entao n + 2 > 0 e n + 1 > 0. Logo (bn)n∈N e monotona decrescente.

(c) Como cn+1 − cn = 2n − 10 e esta expressao toma valores positivos ou negativos3, dependendo do valorde n, concluımos que a sucessao dada nao e monotona.

(d) Atendendo a que d1 = −2, d2 = 4 e d3 = −8, entao d1 < d2 e d2 > d3. Portanto a sucessao e naomonotona.

(e) Uma vez queen+1 = en + 2n + 1 ⇔ en+1 − en = 2n + 1

e 2n + 1 e sempre positivo, concluımos que a sucessao dada e monotona crescente.3Por exemplo, se n = 3, 2n− 10 < 0, e c4 < c3; mas se n = 6, entao 2n− 10 > 0 e portanto c7 > c6.



8.3 Sucessoes limitadas

Definicao: Uma sucessao (an)n∈N e

• limitada superiormente se existe M ∈ R tal que an ≤ M , para todo n ∈ N;

• limitada inferiormente se existe m ∈ R tal que an ≥ m, para todo n ∈ N;

• limitada se existem m,M ∈ R tais que que m ≤ an ≤ M , para todo n ∈ N.

M e um majorante e m um minorante do conjunto dos termos da sucessao.Ainda existe uma outra maneira de definirmos sucessao limitada: uma sucessao e limitada se existe M ∈ R+

tal que |an| ≤ M , para todo n ∈ N.


Prove que sao limitadas as sucessoes

(a) an = 2/n.

(b) bn = (−1)n 2n

n + 3.

Resolucao:(a) Como n ≥ 1, entao 0 < 1/n ≤ 1. Logo 0 < 2/n ≤ 2 e portanto 0 e um minorante do conjunto dos termos

da sucessao e 2 um majorante.

(b) Podemos escrever a sucessao dada como

bn =

2n

n + 3, se n e par

− 2n

n + 3, se n e ımpar

Alem disso, efectuando a divisao de 2n por n + 3, obtemos2n

n + 3= 2− 6

n + 3.

Logo, para n par:

n ≥ 2 → n + 3 ≥ 5 → 0 <6

n + 3≤ 6

5→ −6

5≤ − 6

n + 3< 0 →

45≤ 2− 6

n + 3< 2.

Para n ımpar, obtemos

n ≥ 1 → n + 3 ≥ 4 → 0 <6

n + 3≤ 6

4=

32→ −2 < −2 +

6n + 3

≤ −12.

Portanto −2 < bn < 2, ou seja, e limitada.


Considere a sucessao definida por an =n + 8n + 1

.

(a) Mostre que a sucessao e decrescente.

(b) Mostre que a sucessao e limitada.

Resolucao:

(a) Uma vez que an+1 − an =−7

(n + 2)(n + 1)< 0, provamos o pretendido.

(b) Uma vez que a sucessao e monotona decrescente, o seu primeiro termo, a1 = 9/2, e um majorante doconjunto dos termos da sucessao. Facilmente se ve que, para todo n ∈ N, an > 0. Logo 0 e umminorante e concluımos assim que 0 < an ≤ 9/2.



8.4 Progressoes aritmeticas e geometricas

8.4.1 Progressoes aritmeticas

Definicao: Seja (an)n∈N uma sucessao. Dizemos que a sucessao e uma progressao aritmetica de razao r ∈ Rse a diferenca entre quaisquer dois termos consecutivos da sucessao e constante, i.e.,

an+1 − an = r, ∀n ∈ N.

Por exemplo, a sucessao un = 2n− 3 e uma progressao aritmetica de razao 2 pois un+1 − un = 2.A sucessao de termo geral vn = 1/n nao representa uma progressao aritmetica porque vn+1−vn nao e constante(a diferenca depende de n).Da definicao decorre que uma progressao aritmetica e sempre monotona, sendo crescente ou decrescente con-soante r e nao negativo ou nao positivo, respectivamente.

Teorema: O termo geral de uma progressao aritmetica (an)n∈N de razao r e an = a1 + (n− 1)r.Logo, se conhecermos o primeiro termo da progressao e a razao, podemos determinar o seu termo geral.

Dada uma sucessao (an)n∈N, definimos S1, S2, S3, . . . , Sn como sendo

S1 = a1

S2 = a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3...

Sn = a1 + a2 + a3 + . . . + an

Sn representa a soma dos n primeiros termos da sucessao (an)n∈N.

Teorema: Se (an)n∈N e uma progressao aritmetica, entao Sn =a1 + an

2n.

Podemos generalizar esta formula para o caso seguinte: supor que pretendıamos calcular a soma dos termosconsecutivos da sucessao:

ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an, k ≤ n.

Neste caso viriaak + ak+1 + ak+2 + . . . + an =

ak + an

2(n− k + 1)︸︷︷︸

numero de termos

.

Notacao:n∑

i=k

ai = ak + ak+1 + ak+2 + . . . + an.


Sabendo que (un)n∈N e uma progressao aritmetica e que u5 = −7 e u12 = −28,

(a) determine a razao da progressao;

(b) escreva a expressao do termo geral da sucessao;

(c) determine a soma dos 20 primeiros termos da sucessao;

(d) calcule50∑i=3

ui.

Resolucao:

(a) Uma vez que u5 = u1 + (5− 1)r e u12 = u1 + (12− 1)r, entao substituindo pelos valores dados, vem{−7 = u1 + 4r−28 = u1 + 11r

⇔{

r = −3u1 = 5

Logo a razao e igual a −3.



(b) O termo geral e dado por un = u1 + (n− 1)r = 5 + (n− 1)(−3) = −3n + 8.

(c) A soma consecutiva dos 20 primeiros termos e igual a

S20 =u1 + u20

220 = −470.

(d)50∑i=3

ui =u3 + u50

2(50− 3 + 1) = −3432.

Notemos que o numero de termos da soma e igual a 50− 3 + 1.

8.4.2 Progressoes geometricas

Definicao: Seja (an)n∈N uma sucessao. Dizemos que a sucessao e uma progressao geometrica de razaor 6= 0 se o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos e constante, i.e.,

an+1

an= r, ∀n ∈ N.

Teorema: O termo geral de uma progressao geometrica (an)n∈N de razao r e dado por an = a1rn−1.

Teorema: Se (an)n∈N e uma progressao geometrica, entao Sn = a11− rn

1− r, para r 6= 1.

De um modo geral,n∑

i=k

ai = ak1− rn−k+1

1− r.


Dada a sucessao definida por

un =5 · 2n

3n+1,

(a) Mostre que (un)n∈N representa uma progressao geometrica.

(b) Calcule S18.

Resolucao:

(a) Devemos comecar por determinar o quocienteun+1

un:

un+1

un=

(5 · 2n+1)(3n+1)(3n+2)(5 · 2n)

=23.

Comoun+1

une constante, provamos que a sucessao dada e uma progressao geometrica de razao 2

3 .

(b) A soma e igual a

S18 = u11− r18

1− r=

109· 1− (2/3)18

1− (2/3)=

103

(1−

(23

)18)

.




Sabendo que (an)n∈N e uma progressao geometrica com a1 = 3 e a6 = 96,

(a) Determine a razao da progressao geometrica.

(b) Escreva o termo geral da sucessao.

(c) Calcule30∑

i=10

ai.

Resolucao:

(a)a6 = 96 ⇔ 3 · r5 = 96 ⇔ r5 = 32 ⇔ r = 2

Logo a razao e igual a 2.

(b) O termo geral e an = a1 · rn−1 = 3 · 2n−1.

(c)30∑

i=10

ai = a101− 221

1− 2= 3 · 29(221 − 1).

Notemos que o numero de termos da soma e igual a 30− 10 + 1 = 21.

8.5 Convergencia de uma sucessao

Consideremos a sucessao real an = 1 +1n

. O seu grafico e o seguinte:

n

y

1

2

2

1

3

1

4

1

5

1

6

1

7

1

O que se verifica e que, a medida que n aumenta, o valor de an aproxima-se de 1. Escrevemos limn→+∞

an = 1

ou simplesmente lim an = 1.

Definicao: Seja (an)n∈N uma sucessao real. Dizemos que a sucessao e convergente se existe um numero realL tal que, a medida que n cresce, os termos da sucessao aproximam-se de L. Escrevemos lim an = L.Formalmente, dizemos que a sucessao converge para L se

∀ε > 0, ∃N ∈ N : n ≥ N → |an − L| < ε

Se tal real L nao existe, dizemos que a sucessao e divergente.

Teorema: O limite de uma sucessao, se existir, e unico.

Por exemplo, tomemos as duas seguintes sucessoes:

un = 2n− 6 e vn = (−1)n.

Os graficos das duas sucessoes sao, respectivamente



n

y

−4

−21 2 3 4 5

2

4

6

6(un)n

n

y

−1

1

1 2 3 4 5 6 7 8

(vn)n

Os termos da sucessao (un)n aumentam indefinidamente; dizemos que lim un = +∞.Os termos da sucessao (vn)n vao oscilando entre −1 e 1 consoante n e ımpar ou par, respectivamente. Umavez que o limite de uma sucessao quando existe e unico, concluımos que esta sucessao nao tem limite.Ambas as sucessoes sao divergentes.

Definicao: Se lim an = +∞ dizemos que a sucessao (an)n e um infinitamente grande positivo. Formalmentedizemos,

lim an = +∞⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N → an > M ;

Se lim an = −∞ a sucessao diz-se um infinitamente grande negativo. Formalmente temos:

lim an = −∞⇔ ∀M ∈ R, ∃N ∈ N : n ≥ N → an < M ;

Se lim an = 0 a sucessao e um infinitesimo. Formalmente,

lim an = 0 ⇔ ∀ε > 0, ∃N ∈ N : n ≥ N → |an| < ε.

8.6 Limites notaveis

Segue a lista de alguns limites “notaveis”, i.e., alguns dos limites frequentemente usados e cuja determinacaonao e simples.

• lim1n

= 0,

• lim n√

a = 1, onde a > 0;

• lim n√

n = 1;

• lim an

= 0 se −1 < a < 1= 1 se a = 1= +∞ se a > 1nao existe se a ≤ −1

• lim(1 +

a

n

)n= ea.

8.7 Propriedades aritmeticas dos limites

Sejam (an)n e (bn)n duas sucessoes convergentes, tais que lim an = a e lim bn = b, com a, b ∈ R. Entao

1. lim(an ± bn) = a± b;

2. lim(an · bn) = a · b;

3. liman

bn=

a

bse b 6= 0;

Observacao: Se a = ±∞ e b ∈ R, entao:

• lim(an ± bn) = ±∞;

• Se b 6= 0 entao lim(an · bn) = ±∞, dependendo do sinal de b.

• Se b 6= 0 entao liman

bn= ±∞, dependendo do sinal de b.



8.8 Teoremas sobre limites

Teorema: Toda a sucessao limitada e monotona e convergente.

Este resultado nao nos permite determinar o limite mas garante a sua existencia. Frequentemente e usado emsucessoes definidas por recorrencia.

Teorema: Sejam (an)n e (bn)n duas sucessoes convergentes para a e b respectivamente. Se a partir de certaordem, se verifica an ≤ bn, entao a ≤ b.

Teorema das sucessoes enquadradas Dadas tres sucessoes (an)n∈N, (bn)n∈N e (cn)n∈N tais que

1. an ≤ bn ≤ cn, a partir de certa ordem;

2. lim an = lim cn,

entao existe lim bn e lim an = lim bn = lim cn.


Calcule o limite das seguintes sucessoes:

(a) an =3n− 5n + 1

.

(b) bn =4n5 + 3n2 − n− 5

3n2 − 2n + 10.

(c) cn = −n2 + n + 7.

(d) dn =2n − 3n+2

2n−1 + 3n+1.

(e) en = sin(nπ).

(f) fn = sin(nπ

2

).

(g) gn =(−1)n+3n + 1

n3 + 1.

(h) hn =√

n2 + 2n + 3−√

n2 + 2n.

(i) in =(2n + 1)!n!

(2n− 1)!(n + 1)!.

(j) jn =sinn

n.

(m) mn =(

n + 1n + 4

)n

.

Resolucao:

(a) lim3n− 5n + 1

= limn

(3− 5

n

)n

(1 +

1n

) = lim3− 5

n

1 +1n

=3− 01 + 0

= 3.

(b) lim4n5 + 3n2 − n− 5

3n2 − 2n + 10= lim

n2

(4n3 + 3− 1

n− 5

n2

)n2

(3− 2

n+

10n2

) = lim4n3 + 3− 1

n− 5

n2

3− 2n

+10n2

= +∞.



(c) lim (−n2 + n + 7) = lim n2

(−1 +

1n

+7n2

)︸︷︷︸

↓−1

= −∞.

(d) lim2n − 3n+2

2n−1 + 3n+1= lim

3n

((23

)n

− 32

)3n

((23

)n

· 2−1 + 3) = lim

(23

)n

− 32(23

)n

· 2−1 + 3=

0− 90 + 3

= −3.

(e) Como sin(nπ) = 0, para todo n ∈ N, entao lim en = 0.

(f) Observe-se que:

• Se n e da forma 1 + 4k, vem, f1+4k = sinπ

2= 1

• Se n e da forma 2 + 4k, vem, f2+4k = sinπ = 0

• Se n e da forma 3 + 4k, vem, f3+4k = sin3π

2= −1

• Se n e da forma 4 + 4k, vem, f4+4k = sin 2π = 0

com k = 0, 1, 2, . . ..

Entao fn toma somente os valores 1, 0,−1. Logo nao existe limite da sucessao dada porque podemosescolher subsucessoes de (fn)n com limites distintos.

(g) Para n par, gn =−n + 1n3 + 1

e para n ımpar, gn =n + 1n3 + 1

. Como lim−n + 1n3 + 1

= limn + 1n3 + 1

= 0, resulta

que lim gn = 0.

(h) lim(√

n2 + 2n + 3 −√

n2 + 2n) = lim(√

n2 + 2n + 3−√

n2 + 2n)(√

n2 + 2n + 3 +√

n2 + 2n)√n2 + 2n + 3 +

√n2 + 2n

=

= lim(n2 + 2n + 3)− (n2 + 2n)√

n2 + 2n + 3 +√

n2 + 2n= lim

3√n2 + 2n + 3 +

√n2 + 2n

= 0.

(i) lim(2n + 1)!n!

(2n− 1)!(n + 1)!= lim

(2n + 1)(2n)(2n− 1)!n!(2n− 1)!(n + 1)n!

= lim(2n + 1)(2n)

n + 1= +∞

(j) Como −1 ≤ sinn ≤ 1, entao−1n

≤ sinn

n≤ 1

n. Pelo teorema das sucessoes enquadradas, como

lim−1n

= lim1n

= 0, concluımos que limsinn

n= 0.

(m) Procedendo a divisao de n + 1 por n + 4, obtemosn + 1n + 4

= 1 +−3

n + 4. Logo

lim(

n + 1n + 4

)n

= lim

[(1 +

−3n + 4

)n+4

·(

1 +−3

n + 4

)−4]

= e−3 · 1−4 = e−3.


Seja (an)n∈N a sucessao definida por recorrencia{a1 = 3

an+1 =12an + 4, para n ≥ 1

Sabendo que a sucessao converge, determine o seu limite.



Resolucao: Designemos por L o valor do limite. Como a sucessao converge, lim an = lim an+1 e portanto

lim an+1 = lim(

12an + 4

)⇔ L =

12L + 4 ⇔ L = 8.

Logo a sucessao converge para 8.


Sejam a ∈]− 1, 1[ e b ∈ R. Considere a sucessao (sn)n∈N de termo geral

sn = b(1 + a + a2 + . . . + an−1).

Mostre que

lim sn =b

1− a.

Resolucao: Se a = 0, e obvio.Suponhamos agora que a 6= 0. Uma vez que 1 + a + a2 + . . . + an−1 e a soma consecutiva de termos de umaprogressao geometrica de razao a, entao

1 + a + a2 + . . . + an−1 =1− an

1− a.

Como |a| < 1, esta sucessao converge para1

1− a. Logo

lim sn =b

1− a.


Calcule o limite da sucessao cujos primeiros termos sao

√2,

√2√

2,

√2√

2√

2, . . .

Resolucao: Designemos por an o termo geral desta sucessao. Entao

a1 = 212

a2 =(2 · 2

12

) 12 = 2

12+ 1

4

a3 =(2 · 2

12+ 1

4

) 12 = 2

12+ 1

4+ 1

8

...

De um modo geralan = 2

12+ 1

22+ 1

23+...+ 1

2n .

Como12

+122

+123

+ . . . +12n

e a soma consecutivas dos termos de uma progressao geometrica de razao 1/2, temos que

lim(

12

+122

+123

+ . . . +12n

)= lim

(12·1−

(12

)n1− 1

2

)= 1,

entao lim an = 2lim�

12+ 1

22+ 1

23+...+ 1

2n

�= 21 = 2.




1. Escreva os 5 primeiros termos das seguintes sucessoes:

(a) an =3 · (−1)n

n!;

(b) an = cos(nπ

4

);

(c) a1 = 4 e an+1 =1

1 + an, n ∈ N;

(d) an =n∑

i=1

(−1)i;

(e) an =12

+(

12

)2

+ . . . +(

12

)n

.

2. Estude a monotonia de cada uma das seguintes sucessoes e verifique se sao limitadas:

(a) an =15n

;

(b) an =2n− 33n + 4

;

(c) an = cos(nπ

2

);

(d) an = 1−(

32

)n

;

(e) an = 3 +(−1)n

n;

(f) an =

(32

)n

n!;

(g) an =n2 + 1

n.

3. Averiguue se cada uma das seguintes sucessoes e convergente ou divergente, e no caso de convergencia,indique o respectivo limite.

(a) an = n(n− 1);

(b) an =3 + 5n2

n + n2;

(c) an =√

n

n + 1;

(d) an =2n

3n+1;

(e) an =(−1)n(n + 2)

n3 + 4;

(f) an =(

1 +3

n + 2

)2n+1

;

(g) an = ln(n + 1)− ln(n);

(h) an =cos2(n)

2n.


Pre-Calculo 2005 9 Limites e Continuidade

9 Limites e Continuidade

9.1 Definicao de Limite

No que se segue considere-se uma funcao f : D ⊆ R → R e a ∈ R tal que D contem um intervalo aberto decentro em a com possıvel excepcao do ponto a.Definicao: Diz-se que f tem limite l ∈ R quando x tende para a em D,

limx→a

f(x) = l,

se para toda a sucessao (xn)n∈N, de elementos de D, distintos de a, que tende para a ( limn→+∞

xn = a), a

correspondente sucessao das imagens (f(xn))n∈N tende para l ( limn→+∞

f(xn) = l).

Exemplo: Seja f(x)=1

x + 1com Df =R\{−1}. Considerando a sucessao

xn =1+(−1)n

n→ 1 tem-se que lim

n→+∞f(xn) =

12.

n

xn

1

xn

f(xn)

1

0.5

Contudo, este exemplo nao demonstra que limx→1

f(x) = 12 , porque foi considerada uma sucessao particular xn =1+ (−1)n

n .

Para mostrarmos que limx→1

f(x) = 12 vamos considerar uma sucessao (xn)n qualquer, que convirja para 1 e tal que

xn ∈ D \ {1}, ∀n ∈ N, assim temos

limn→+∞

f(xn) = limn→+∞

1xn + 1

=1

limn→+∞

xn + 1=

11 + 1

=12.

Como limn→+∞

f(xn) e independente da sucessao (xn)n escolhida, pode garantir-se que limx→1

f(x) = 12 .

Observacoes:

1. Pode existir limx→a

g(x) e a /∈ Dg . Vejamos por exemplo a funcao g

definida por g(x) = x−1x2−1 , com domınio Dg = R \ {1,−1} e

limx→1

g(x) = limx→1

x− 1x2 − 1

= limx→1

x− 1(x− 1)(x + 1)

= limx→1

1x + 1

=12.

Repare-se quex− 1

(x− 1)(x + 1)=

1x + 1

∧ x 6= 1. Como se trata do

limite quando x tende para 1, x e efectivamente diferente de 1.

x

y

1

12 •◦

g(x)= x−1x2−1



2. O limite da funcao num ponto nao e necessariamente a imagem dafuncao no ponto. Considere-se por exemplo a funcao,

h(x) =

1

x + 1se x 6= 1

2 se x = 1,

limx→1

h(x) = limx→1

1x + 1

=12

e h(1) = 2.x

y

•

1

2

12 •◦

h(x)

9.2 ContinuidadeSeja I um intervalo aberto de numeros reais.Definicao: Seja f : I → R. A funcao f e contınua em a ∈ I se e so se existe lim

x→af(x) e

limx→a

f(x) = f(a).

f e contınua a direita de a quando limx→a+

f(x) = f(a).

f e contınua a esquerda de a quando limx→a−

f(x) = f(a).

Se f nao for contınua em a, f diz-se descontınua em a.

Observacao: Uma funcao diz-se descontınua no ponto a se nao existe limx→a

f(x) ou existe limx→a

f(x) mas e diferente de

f(a).

Continuidade num intervalo

1. f diz-se contınua num intervalo I se f e contınua em todos os pontos desse intervalo.

2. Uma funcao e contınua em [a, b] se for:

(a) contınua em ]a, b[;

(b) contınua a direita do ponto a;

(c) contınua a esquerda do ponto b.

Obs.: Considerando f : [a, b] → R, os pontos do domınio de f , estao a direita de a e a esquerda de b, i.e., a ≤ x ≤ b.Daı que no calculo dos limites nos extremos do intervalo se pense apenas em lim

x→a+f(x) e lim

x→b−f(x).

• As funcoes elementares conhecidas (polinomiais, racionais, trigonometricas, potencias, exponencial e logarıtmica)sao funcoes contınuas no seu domınio.

• Uma funcao contınua em I e contınua em qualquer subintervalo de I .

9.3 Propriedades dos Limites1. Unicidade do Limite: Se existe, em R, lim

x→af(x) entao esse limite e unico.

2. Seja c uma constante real. Se f(x) = c, ∀x ∈ R entao limx→a

f(x) = c, ∀a ∈ R

3. Sejam limx→a

f(x) = l e limx→a

g(x) = m com l,m ∈ R.

• Se c ∈ R, limx→a

cf(x) = cl;

• limx→a

(f(x)± g(x)) = l ±m;

• limx→a

(f(x) g(x)) = l m;



• limx→a

f(x)g(x)

=l

mse m 6= 0;

Se n for um numero natural qualquer, tem-se:

• limx→a

[f(x)]n = ln

Se P (x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a0 entao lim

x→aP (x) = anln + an−1l

n−1 + · · ·+ a0

• limx→a

n√

f(x) = n√

l supondo que l ≥ 0 quando n e par.

9.4 Propriedades das Funcoes ContınuasPropriedades Aritmeticas: Se f : Df ⊆ R → R e g : Dg ⊆ R → R sao funcoes contınuas em a ∈ Df ∩Dg entao asseguintes funcoes tambem sao contınuas em a:

(a) f ± g; (b) fg; (c) fg , se g(a) 6= 0.

Composicao de Funcoes: Se f : D ⊆ R → R tem limite l ∈ R quando x tende para a e g : Dg ⊆ R → R e contınua eml(∈ Dg) entao a funcao composta g ◦ f tem limite g(l) quando x tende para a:

limx→a

g(f(x)) = g( limx→a

f(x)) = g(l)

Como consequencia, a composicao de funcoes contınuas e contınua.

Exemplos: h(x) = sin(x2) e g(x) = ln(1 + cos2 x) sao funcoes contınuas em R.

Como a funcao s(x) = sin x e a funcao p(x) = x2 sao contınuas em R, a funcao h = s◦p e contınua em R. Analogamente,como a funcao l(x) = lnx e contınua em R+ e a funcao c(x) = cos x e contınua em R, a funcao r(x) = 1 + cos2 x econtınua em R. Por consequencia, atendendo a que r(x) > 0,∀x ∈ R, a funcao g = l ◦ r e contınua em R.


1. Considere a funcao real de variavel real dada por f(x) =

−x2 + 7x− 122x2 − 5x− 3

, x > 3

−2, x = 3

2x− k, x < 3

(a) Determine k ∈ R por forma a que exista limx→3

f(x).

(b) Para que valores de k encontrados f e contınua em x = 3?

Resolucao:

(a) Como a funcao e definida por ramos, ao fazermos x tender para 3, temos que considerar o que se passa sex < 3 ( lim

x→3−f(x)) e o que se passa com x > 3 ( lim

x→3+f(x)).

Comecemos por calcular limx→3+

f(x) = limx→3+

−x2 + 7x− 122x2 − 5x− 3

.

Vamos simplificar a funcao racional:

−x2 + 7x− 12 = 0 ⇔ x =−7±

√49− 48−2

⇔ x = 3 ∨ x = 4

2x2 − 5x− 3 = 0 ⇔ x =5±

√25 + 244

⇔ x = 3 ∨ x = −12

Assim, como x 6= 3 porque se trata do limite quando x tende para 3, podemos afirmar que as seguintesexpressoes sao iguais:

−x2 + 7x− 122x2 − 5x− 3

=−(x− 3)(x− 4)2(x− 3)(x + 1

2 )=

4− x

2x + 1



e portanto,

limx→3+

−x2 + 7x− 122x2 − 5x− 3

= limx→3+

4− x

2x− 1=

17

Para que exista limx→3

f(x) e necessario que os limites laterais sejam iguais, e e dessa igualdade que obtemos

o valor de k:

limx→3+

f(x) = limx→3−

f(x) ⇔ limx→3+

−x2 + 7x− 122x2 − 5x− 3

= limx→3−

(2x− k) ⇔ 17

= 6− k ⇔ k =417

(b) Como limx→3

f(x) 6= f(3) a funcao nao e contınua em 3, logo, nao existe um valor de k para o qual f sejacontınua.No entanto, se k = 8 a funcao e contınua a esquerda de 3.

2. Calcule, caso existam, os limites de cada uma das funcoes nos pontos indicados:

(a) limx→a

f(x) para a = 12 , 0 e 1, com f definida por

f : [0, 1] → Rx 7−→ x+1

x−2 ;

(b) limx→a

f(x) para a = 0, 1 e 2, com f(x) =

1

x+1 , x > 1

2x, x ≤ 1;

(c) limx→a

x− a

|x− a|, com a ∈ R.

Resolucao:

(a) Para a = 12 o limite coincide com a imagem da funcao no ponto:

limx→ 1

2

x + 1x− 2

=12 + 112 − 2

= −1;

Como a funcao so esta definida a direita de 0, para a = 0 calcula-se o limite lateral a direita:

limx→0

x + 1x− 2

= limx→0+

x + 1x− 2

= −12;

Como a funcao so esta definida a esquerda de 1, o limite quando x tende para a = 1 e igual ao limite lateralesquerdo:

limx→1

x + 1x− 2

= limx→1−

x + 1x− 2

= −2;

(b) limx→0

f(x) = limx→0

2x = 0 (calcula-se no 2o ramo)

limx→2

f(x) = limx→2

1x + 1

=13

(calcula-se no 1o ramo)

Para a = 1, calculam-se os limites laterais:

limx→1−

f(x) = limx→1−

2x = 2 limx→1+

f(x) = limx→1+

1x + 1

=12

Como limx→1−

f(x) 6= limx→1+

f(x), nao existe limx→1

f(x);

(c) Como |x − a| = x − a, para valores a direita de a, e |x − a| = −(x − a), para valores a esquerda de a,tem-se:

limx→a+

x− a

|x− a|= lim

x→a

x− a

x− a= 1

elim

x→a−

x− a

|x− a|= lim

x→a

x− a

−(x− a)= −1

Como os limites laterais sao diferentes, o limite nao existe.




Estude a continuidade das seguintes funcoes, nos respectivos domınios:

1. f(x) =

x2, x ≥ 0

1, x < 02. g(x) =

x2, x > 0

1, x < 03. h(x) =

|x|, x 6= 0

−1, x = 0

4. i(x) =

x3 + x, x ≥ −1

1− x, x < −15. j(x) =

2x + 1, x > 3

−x2 + 3x, x ≤ 3

6. l(x) =

|x + 1|, x ∈ [−2, 0]

1x , x ∈]0, 2[

x2 − 4x, x ∈ [2, 4]

9.5 Limites Infinitos e Limites no InfinitoDefinicao: Diz-se que f tem limite +∞ quando x tende para a em D,

limx→a

f(x) = +∞,

se para toda a sucessao (xn)n∈N, de elementos de D, distintos de a, que tende para a ( limn→+∞

xn = a), a correspondente

sucessao das imagens (f(xn))n∈N tende para +∞ ( limn→+∞

f(xn) = +∞).

Definicao: Diz-se que f tem limite l quando x tende para +∞ em D,

limx→+∞

f(x) = l,

se para toda a sucessao (xn)n∈N, de elementos de D, que tende para +∞ ( limn→+∞

xn = +∞), a correspondente sucessao

das imagens (f(xn))n∈N tende para l ( limn→+∞

f(xn) = l).

Definicao: Diz-se que f tem limite +∞ quando x tende para +∞ em D,

limx→+∞

f(x) = +∞,

se para toda a sucessao (xn)n∈N, de elementos de D, que tende para +∞ ( limn→+∞

xn = +∞), a correspondente sucessao

das imagens (f(xn))n∈N tende para +∞ ( limn→+∞

f(xn) = +∞).

Definem-se de modo analogo limx→a

f(x) = −∞, limx→−∞

f(x) = l, limx→−∞

f(x) = +∞, limx→+∞

f(x) = −∞ e limx→−∞

f(x) =−∞.

Convem sublinhar que +∞ e −∞ nao sao numeros reais e quando limx→a

f(x) = +∞ ou limx→a

f(x) = −∞, diz-se que nao

existe em R o limite de f(x) quando x tende para a.

Exercıcio resolvido

Vejamos que nao existe limx→+∞

sinx.

Se considerarmos as sucessoes xn = 2nπ e yn = 2nπ + π2 , ambas sao infinitamente grandes, ou seja, tendem para +∞,

no entanto, tem-se:sin(xn) = sin(2nπ) = 0 → 0



esin(yn) = sin

(2nπ +

π

2

)= 1 → 1.

Se o limite existisse, seria unico e portanto qualquer sucessao (f(xn))n deveria convergir para esse limite, independente-mente da escolha da sucessao (xn)n.De forma analoga se prova que nao existem os seguintes limites:

limx→−∞

sinx, limx→+∞

cos x, limx→−∞

cos x, limx→+∞

tanx, limx→−∞

tanx.

9.6 Propriedades dos Limites InfinitosO teorema da unicidade do limite enunciado anteriormente para limites finitos pode generalizar-se a limites infinitos.

As propriedades aritmeticas dos limites finitos poderao tambem ser generalizadas a limites infinitos depois de estabele-cida uma aritmetica dos limites infinitos.

Aritmetica dos LimitesNo caso em que a aplicacao das propriedades do limite conduzam a resultados do tipo descrito abaixo, por abuso de

linguagem escreve-se

−(+∞) = (−∞) (+∞) + (+∞) = (+∞) (−∞) + (−∞) = (−∞)

(±∞) + a = (±∞) ∞ ·∞ = ∞ ∞ · a = ∞, se a 6= 0

10+

= +∞ 10−

= −∞ 1∞

= 0

0+∞ = 0 0−∞ = +∞

No produto de limites infinitos e valida a regra de sinais usada no produto de numeros reais.

No caso de sermos conduzidos a um destes tipos

00,∞∞

, ∞ · 0, +∞−∞, +∞0, 00, 1∞.

diz-se que temos uma indeterminacao.

Se no calculo de um limite, surgir uma indeterminacao, tal nao significa que o limite nao exista. Dever-se-a proceder amanipulacao da expressao analıtica da funcao em estudo por forma a averiguar a existencia, ou nao, desse limite.

Alguns limites que conduzem a indeterminacoes sao designados limites notaveis e sao fundamentais no calculo de limites.

Indeterminacao Limites Notaveis

00

limx→0

sinx

x= 1 lim

x→0

cos x− 1x

= 0 limx→0

ln (x + 1)x

= 1 limx→0

ex − 1x

= 1

1∞ limx→+∞

(1 +

a

x

)x

= ea, a ∈ R

∞∞ lim

x→+∞

ex

xp= +∞, p ∈ R lim

x→+∞

lnx

xp= 0, p ∈ R+

0 · ∞ limx→0+

xp lnx = 0, p ∈ R+




Calcule, caso existam, cada um dos seguintes limites:

1. limx→+∞

1x− 3

2. limx→3

1x− 3

3. limx→2−

12− x

4. limx→−1+

1x2 − 1

5. limx→2

ln(x− 2) 6. limx→0

e1x

Resolucao:

1. limx→+∞

1x− 3

= 0 (porque limx→+∞

(x− 3) = +∞ e o inverso de um infinitamente grande e um infinitesimo).

2. limx→3

1x− 3

=?

Vamos calcular os limites laterais:lim

x→3−

1x− 3

= −∞ (como x → 3− tem-se (x− 3) → 0− e “ 10− = −∞”)

limx→3+

1x− 3

=10+

= +∞ (tem-se (x− 3) → 0+ e “ 10+ = +∞”)

Como os limites laterais sao diferentes, nao existe limx→3

1x− 3

.

(Para determinarmos se um limite tende para 0 por valores a direita (0+) ou por valores a esquerda (0−), bastatermos em conta o sinal da funcao a direita e a esquerda de 0. Neste caso a funcao y = x−3 e positiva para valoressuperiores a 3 e negativa para valores inferiores a 3.)

3. limx→2−

12− x

= +∞ (e “ 10+ ” porque a funcao y = 2− x e positiva a esquerda de 2).

4. limx→−1+

1x2 − 1

= −∞ (e “ 10− ” porque a funcao y = x2 − 1 e negativa para valores a direita de −1 que estao

proximos de −1. O grafico da funcao y = x2 − 1 e uma parabola com a concavidade voltada para cima).

5. limx→2

ln(x− 2) = limx→2+

ln(x− 2) = −∞(Note-se que funcao so esta definida a direita de 2 e “ln(0+) = −∞”).

6. limx→0

e1x =?

Vamos determinar os limites laterais quando x tende para 0:

limx→0+

e1x = +∞ ( lim

x→0+

1x

= +∞ e “e+∞ = +∞”)

limx→0−

e1x = 0 ( lim

x→0−

1x

= −∞ e “e−∞ = 0”)

Como os limites laterais sao diferentes, nao existe limx→0

e1x .



1. limx→+∞

3x − 2x

3x+1 + 2x−32. lim

x→+∞

3x2 − x− 10x2 − x− 2

3. limx→2

√x−

√2

x− 24. lim

t→0

1− cos(t)sin(t)

5. limt→2

e2t−4 − 1t− 2

6. limt→+∞

x2 sin1x

7. limx→−∞

xex 8. limx→+∞

(√x−

√x + 1

)9. lim

x→+∞

(ln(3x2 + 2)− ln(x2)

)10. lim

x→π2

+

cos(x)1− sin(x)

Resolucao:

1. limx→+∞

3x − 2x

3x+1 + 2x−3= lim

x→+∞

1− 2x

3x

3 + 2x−3

3x

=13

.

(Dividimos o numerador e o denominador pela exponencial de maior base, neste caso 3x.)



2. limx→+∞

3x2 − x− 10x2 − x− 2

= limx→+∞

3− 1x −

10x2

1− 1x −

2x2

= 3.

(Dividimos o numerador e o denominador pela maior potencia de x.)

3.

limx→2

√x−

√2

x− 2= lim

x→2

(√

x−√

2)(√

x +√

2)(x− 2)(

√x +

√2)

( multiplicando pelo conjugado)

= limx→2

x− 2(x− 2)(

√x +

√2)

= limx→2

1√

x +√

2(como x 6= 2 podemos simplificar a expressao)

=1

2√

2=√

24

4. limt→0

1− cos(t)sin(t)

= limt→0

1− cos(t)t

· t

sin(t)= 0 · 1 = 0.

5. Como limy→0

ey − 1y

= 1 e 2t− 4 → 0 quando t → 2,

limt→2

e2t−4 − 1t− 2

= limt→2

2e2t−4 − 12(t− 2)

= 2 limt→2

e2t−4 − 12t− 4

= 2 · 1 = 2.

6. Como limy→0

sin (y)y

= 1 e limx→+∞

1x

= 0, tem-se:

limx→+∞

x2 sin1x

= limx→+∞

xsin 1

x1x

= “ +∞ · 1′′ = +∞.

7. limx→−∞

xex = limx→−∞

x

e−x= lim

y→+∞

−y

ey= 0 (Recorremos a uma mudanca de variavel y = −x.)

8.

limx→+∞

(√x−

√x + 1

)= lim

x→+∞

(√

x−√

x + 1)(√

x +√

x + 1)(√

x +√

x + 1)(multiplicando pelo conjugado.)

= limx→+∞

x− (x + 1)(√

x +√

x + 1)

= limx→+∞

−1(√

x +√

x + 1)= 0

9. limt→+∞

(ln(3x2 + 2)− ln(x2)

)= lim

t→+∞ln

3x2 + 2x2

= ln(

limt→+∞

3x2 + 2x2

)= ln 3

(Usamos as propriedades aritmeticas dos logaritmos e a continuidade da funcao logarıtmica, que nos permite “tro-car” o limite com o logaritmo)

10.

limx→π

2+

cos(x)1− sin(x)

= limx→π

2+

cos(x)(1 + sin(x))(1− sin(x))(1 + sin(x))

(repare-se que x 6= π2 e portanto sinx 6= 1)

= limx→π

2+

cos(x)(1 + sin(x))1− sin2(x)

= limx→π

2+

cos(x)(1 + sin(x))cos2(x)

(usando a formula fundamental da trigonometria)

= limx→π

2+

1 + sin(x)cos(x)

= −∞(

quando x → π

2

+, tem-se que sinx → 1 e cos x → 0−

)



Exercıcios Resolvidos (Levantamento de indeterminacoes do tipo ∞0, 00, 1∞)


1. limx→0+

(1 + 2x)1x 2. lim

x→+∞x

1x 3. lim

x→0+xx

Resolucao:

1. limx→0+

(1 + 2x)1x = lim

x→0+

(1 +

21x

) 1x

= e2 (porque 1x−−−−→x→0+ +∞)

2. limx→+∞

x1x =?

Recorde-se que ab = eb ln a. Assim,x

1x = e

1x ln x = e

ln xx

Comolim

x→+∞

lnx

x= 0,

resulta que,lim

x→+∞x

1x = e0 = 1.

3. limx→0+

xx =?

Analogamente ao exercıcio anteriorxx = ex ln x

Comolim

x→+∞x lnx = 0,

resulta que,lim

x→+∞xx = e0 = 1.

Exercıcios PropostosCalcule, caso existam, os seguintes limites:

1. limx→+∞

5x2

x2 + 102. lim

x→+∞

(1 +

2x

)x

3. limx→0

cos x− 13x2

4. limx→+∞

ln(5 + x)4 + x

5. limx→2

(2x−

√4x2 − x

)6. lim

x→3−

13− x

7. limh→0

(a− h)4 − a4

h8. lim

x→1

x− 1√(x− 1)2

9. limx→+∞

x(e

1x − 1

)

10. limt→0

1− cos(t)t

11. limx→0

ex − 1e2x − 1

12. limx→0

sin x2

x

13. limx→0

[cos(2x)]1

x2 14. limx→0+

(1x

)x

15. limx→0+

x1

ln x

Estude a continuidade da funcao

f(x) =

1

1+ln x , x ∈]0, 1]

0, x = 0

no seu domınio.



9.7 AssımptotasAssımptotas nao verticais

Seja f : D ⊆ R → R uma funcao tal que D contem um intervalo da forma ]a,+∞[, para algum a ∈ R. A recta deequacao y = mx + b e uma assımptota ao grafico de f a direita se

limx→+∞

[f(x)− (mx + b)] = 0,

Seja f : D ⊆ R → R uma funcao tal que D contem um intervalo da forma ] −∞, a[, para algum a ∈ R. A recta deequacao y = mx + b e assımptota ao grafico de f a esquerda se

limx→−∞

[f(x)− (mx + b)] = 0.

• Se existirem, em R, os limites m = limx→+∞

f(x)x

e b = limx→+∞

[f(x)−mx] entao y = mx + b e a equacao de uma

assımptota ao grafico de f a direita.

• Se existirem, em R, os limites m = limx→−∞

f(x)x

e b = limx→−∞

[f(x)−mx] entao y = mx + b e a equacao de uma

assımptota ao grafico de f a esquerda.

Exemplos:

1. A funcao f(x) = ex nao tem assımptota nao vertical a direita porque limx→+∞

ex

x= +∞, mas y = 0 e uma

assımptota nao vertical (horizontal) a esquerda porque limx→−∞

ex = 0 ;

2. A funcao g(x) = lnx nao tem assımptota nao vertical a esquerda porque o domınio de g e R+. Por outro lado

limx→+∞

lnx

x= 0, ou seja, g podia ter uma assımptota com declive m = 0. Mas, como nao existe finito o limite que

determina o coeficiente b, limx→+∞

g(x)−mx = limx→+∞

lnx = +∞, conclui-se que g nem sequer admite assımptota

nao vertical a direita.

Assımptotas verticais

Seja f : D ⊆ R → R, l ∈ R e a ∈ R tal que D contem um intervalo aberto de centro em a com possıvel excepcao doponto a. A recta de equacao x = a diz-se uma assımptota vertical ao grafico de f se se verifica uma das condicoes:

limx→a+

f(x) = ±∞ ou limx→a−

f(x) = ±∞

Observacoes:

• Uma funcao contınua nao tem assımptotas verticais nos pontos do seu domınio.

• A recta de equacao x = a pode ser assımptota e a ∈ D. Por exemplo, seja f definida por

f(x) =

1x , x 6= 0

0 x = 0

f tem domınio R e x = 0 e assımptota vertical ao grafico de f porque limx→0+

f(x) = +∞ e limx→0−

f(x) = −∞.

Exemplos:

1. A funcao f(x) = lnx tem um assımptota vertical x = 0, porque limx→0+

lnx = −∞ (nao faz sentido calcular o

limite a esquerda de 0 porque o domınio da funcao e R+);

2. A funcao f(x) = sin xx nao tem assımptotas verticais, recorde que lim

x→0

sinx

x= 1.




Determine as equacoes das assımptotas ao grafico de cada uma das funcoes:

1. f(x) = x+1x−1

2. g(x) = (x + 1)e1x

Resolucao:

1. limx→1−

f(x) = −∞ e limx→1+

f(x) = +∞,

logo a recta x = 1 e assımptota vertical ao grafico de f .

m = limx→±∞

f(x)x

= limx→±∞

x + 1x2 − x

= 0 e b = limx→±∞

f(x) = 1, logo a recta y = 1 e assımptota horizontal

bilateral ao grafico de f .

2. limx→0+

g(x) = +∞ e limx→0−

g(x) = 0, logo x = 0 e assımptota vertical.

m = limx→+∞

g(x)x

= limx→±∞

(x + 1)e1x

x= lim

x→±∞

[(1 +

1x

)e

1x

]= 1

b = limx→+∞

(g(x)− x) = limx→±∞

((x + 1)e

1x − x

)= lim

x→±∞

((x + 1)e

1x − (x + 1) + 1

)= lim

x→±∞

[(x + 1)(e

1x − 1)

]+ 1 = lim

x→±∞

[x + 1

x· e

1x − 1

1x

]+ 1 = 1 · 1 + 1 = 2

A recta y = x + 2 e assımptota oblıqua bilateral ao grafico de g.


Determine, caso existam, as assımptotas dos graficos de cada uma das seguintes funcoes:

1. f(x) =x2 − 7x + 10

x− 6;

2. g(x) = ln(x2 − 2x + 2);

3. h(x) =√

4x2 − 2x + 3;

4. i(x) = e−1x ;

5. i(x) =lnx

x.


Pre-Calculo 2005 10 Derivadas

10 Derivadas

10.1 Derivada de uma Funcao num Ponto. Funcao DerivadaDefinicao: Seja a um ponto de um intervalo aberto I contido no domınio Df da funcao f , ou seja, a ∈ I ⊆ Df . Aderivada da funcao f no ponto a e definida pelo limite

f ′(a) = limx→a

f(x)− f(a)x− a

,

ou equivalentemente,

f ′(a) = limh→0

f(a + h)− f(a)h

,

caso o limite exista e seja finito. A funcao f e derivavel em I ⊆ Df se admite derivada em todos os pontos de I .

A funcao que a cada elemento a ∈ Df em que f admite derivada faz corresponder f ′(a) designa-se por funcao derivadade f . Note que Df ′ ⊆ Df mas os dois domınios podem ser diferentes.


Mostre que a funcao f dada por f(x) = |x| nao e derivavel em 0. Determine a funcao derivada, f ′, de f .

Resolucao: Observe-se que

f(x) ={

x se x > 0−x se x ≤ 0

Como os limites laterais

limx→0+

f(x)− f(0)x− 0

= 1

limx→0−

f(x)− f(0)x− 0

= −1

sao diferentes concluimos que nao existe limx→0

f(x)− f(0)x− 0

, ou seja, nao existe a derivada de f no ponto 0. Contudo, a

funcao derivada de f esta definida em Df ′ = R \ {0} e e dada por:

f ′(x) ={

1 se x > 0−1 se x < 0 .

10.2 Interpretacao Geometrica da DerivadaSeja f uma funcao real de variavel real. Uma recta que passa por dois pontos distintos do grafico de f diz-se recta secanteao grafico de f .

x

y

s

f(x)

•

a

f(a)

•

b

f(b)

A equacao da recta secante, s, ao grafico de f em (a, f(a)) e (b, f(b)), e dada por

y =f(b)− f(a)

b− a(x− a) + f(a).

Ao declive da recta secante,f(b)− f(a)

b− a



chama-se taxa de variacao da funcao f no intervalo [a, b].

A recta tangente ao grafico de f no ponto (a, f(a)) tem declive f ′(a) e sua equacao e

y = f ′(a)(x− a) + f(a).

x

y

•

f(x)

a

f(a)


1. Determine a recta tangente ao grafico da funcao dada por f(x) = x2 no ponto de abcissa x0 = −1.Resolucao:Por definicao de derivada de uma funcao num ponto, x0, temos,

f ′(x0) = limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= limx→x0

x2 − x20

x− x0= lim

x→x0

(x− x0)(x + x0)x− x0

= limx→x0

(x + x0) = 2x0 ∈ R

Como x0 e um numero real arbitrario, f e derivavel em R.A recta tangente ao grafico de f no ponto x0 = −1 tem declive f ′(−1) (derivada de f no ponto x0 = −1) e e dadapor:

y = f ′(−1)(x + 1) + f(−1) = −2x− 1.

2. Seja f : R −→ R cujo grafico e uma recta, r. Mostre que a tangente ao grafico da funcao em qualquer ponto e apropria recta r.

Resolucao:Consideremos a funcao f(x) = ax+b, com a, b ∈ R (cujo grafico e uma recta com declive a e ordenada na origemb), derivavel em R. A derivada de f e dada por:

limx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= limx→x0

a(x− x0)x− x0

= a,

i.e, f ′(x0) = a para qualquer numero real x0.Se fizermos x0 = 1, a equacao da recta tangente ao grafico de f neste ponto e dada por

y = f ′(1)(x− 1) + f(1) = ax + b.

Efectivamente, qualquer que seja o ponto x0 ∈ R a recta tangente coincide com o grafico da propria funcao:

y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) = a(x− x0) + ax0 + b = ax + b.

10.3 Regras de DerivacaoSejam f e g funcoes derivaveis no conjunto D ⊆ R e α, β ∈ R. Entao:

• αf + βg e derivavel em D e (αf + βg)′ = αf ′ + βg′ (“linearidade”);

• fg e derivavel em D e (fg)′ = f ′g + fg′;

• f

ge derivavel em D desde que

f

gesteja definida em D e

(f

g

)′=

f ′g − fg′

g2;

• (fα)′ e derivavel em D e (fα)′ = αfα−1f ′, desde que fα e fα−1 estejam definidas.



As funcoes racionais, polinomiais, trigonometricas, exponencial e logarıtmica sao funcoes derivaveis no seu domınio.

Derivadas de funcoes elementares:

Funcao Derivadak (constante) 0

a0 + a1x + ... + anxn a1 + ... + anxn−1

un nun−1u′

sinu u′ cos ucos u −u′ sinu

tanu u′

cos2 u = (1 + tan u2)u′

eu u′eu

au u′au ln a

lnu u′

u

loga u u′

u ln a


1. Determine a funcao derivada de cada uma das funcoes:

(a) f(x) = x3 − 5x2 + 1;

(b) g(x) =x + 32x− 1

;

(c) h(x) = 3√

(2x− 1)2.

Resolucao:

(a) f ′(x) = (x3 − 5x2 + 1)′ = (x3)′ − (5x2)′ + (1)′ = 3x2 − 10xDf ′ = Df = R;

(b) g′(x) =(

x + 32x− 1

)′=

(x + 3)′(2x− 1)− (x + 3)(2x− 1)′

(2x− 1)2=

−7(2x− 1)2

Dg′ = Dg = R \{

12

};

(c) h′(x) =(

3√

(2x− 1)2)′

=23(2x− 1)

23−1(2x− 1)′ =

43 3√

2x− 1

Dh = R e Dh′ = R \{

12

}.


1. Determine a funcao derivada de cada uma das funcoes:

(a) f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);

(b) g(x) =x

(x− 4)2;

(c) h(x) =(x− 1)3

(x + 1)2;

(d) r(x) = ex2;

(e) q(x) = 5x2−x;

(f) p(x) = (1− x2) lnx;

(g) j(x) = 1− lnx

x.

10.4 Derivada da Funcao CompostaSejam f : J → R derivavel em J e g : I → R derivavel em I , com g(I) ⊆ J .A funcao composta h = f ◦ g : I → R e derivavel em I e

h′(x) = f ′(g(x))g′(x),∀x ∈ I.



Observacao: A regra de derivacao da funcao composta e frequentemente chamada regra da cadeia.A derivada da funcao f ◦ g ◦ h : I → R, com f : L → R derivavel em L, g : J → R derivavel em J e h : I → Rderivavel em I , com h(I) ⊆ J e g(h(I)) ⊆ L, e dada por:

[f(g(h(x)))]′ = f ′( g(h(x)) ) [g(h(x))]′ = f ′(g(h(x))) g′(h(x))h′(x),∀x ∈ I


1. Determine a derivada de cada uma das funcoes:

(a) h(x) = sin(3x2 + 5);

(b) r(x) = ln(x2 − 5x);

(c) s(x) = 3tan (√x).

Resolucao:

(a) A funcao h e a composta de f apos g, h = f ◦ g, com f e g dadas por f(x) = sin x e g(x) = 3x2 + 5. Aderivada de f e f ′(x) = cos(x) e a derivada de g e g′(x) = 6x, logo

h′(x) = (f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x) = cos(3x2 + 5) (6x) = 6x cos(3x2 + 5).

(b) A funcao r e a composta r = f ◦ g, em que f e g sao dadas por f(x) = lnx e g(x) = x2 − 5x, com

derivadas, respectivamente, f ′(x) =1x

e g′(x) = 2x− 5. Entao,

r′(x) = (f(g(x))′ = f ′(g(x))g′(x) = f ′(x2 − 5x)(2x− 5) =2x− 5x2 − 5x

.

(c) Vamos decompor a funcao s. Sejam f, g e h dadas por f(x) =√

x, g(x) = tanx e h(x) = 3x. As derivadasdestas funcoes sao:

f ′(x) =1

2√

x,∀x > 0; g′(x) = sec2 x, ∀x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z; h′(x) = 3x ln 3,∀x ∈ R.

Como s(x) = h(g(f(x))), a derivada de s e dada por:

s′(x) = h′(g(f(x)))g′(f(x))f ′(x)

= 3tan (√x) sec2(√

x) 12√

xln 3,∀x ∈

{x ∈ R : x > 0 ∧ x 6= π

2+ kπ, k ∈ Z

}Exercıcios Propostos

1. Determine a derivada de cada uma das funcoes:

(a) f(x) = ex

x−1 ;

(b) g(x) = ln(2− ex);

(c) h(x) = cos(x2 − 1).

10.5 Derivada da funcao inversaSeja f : Df → R uma funcao invertıvel com inversa f−1 : CDf → R. Se f e derivavel em D e f ′ nunca se anula, entaof−1 e derivavel em f(D) e tem-se

∀y ∈ f(D), (f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y)).

Observacao: Note-se que se y = f(x) entao x = f−1(y) e portanto (f−1)′(y) =1

f ′(x).




1. Determine a derivada da inversa da funcao definida por f(x) =√

x.Resolucao:A funcao f(x) =

√x e invertıvel e tem derivada f ′(x) = 1

2√

xnao nula no intervalo I =]0,+∞[. Portanto, a sua

inversa e derivavel em f(]0,+∞[) =]0,+∞[ e

∀y ∈]0,+∞[, (f−1)′(y) =112y

= 2y.

2. Considere a funcao f : R → R, definida por f(x) = 5x7 +6x3 +x+9. Sabendo que f e invertıvel e f(−1) = −3,determine (f−1)′(−3).

Resolucao:A funcao f e uma funcao invertıvel e tem derivada f ′(x) = 35x6 + 18x2 + 1 nao nula em R. Assim, a inversa def e derivavel em R e

(f−1)′(−3) =1

f ′(f−1(−3))

De f(−1) = −3 resulta que f−1(−3) = −1, logo

(f−1)′(−3) =1

f ′(−1)=

154

.


1. Considere a funcao f : R → R, definida por f(x) = 4x3+x+2. Sabendo que f e invertıvel, determine (f−1)′(2).

10.6 Derivadas de ordem superior a primeiraSeja f derivavel em D e f ′ tambem derivavel em D. Podemos obter uma nova funcao f ′′ : D → R, tal que f ′′(x) =(f ′)′(x),∀x ∈ D a que se chama funcao derivada de segunda ordem ou segunda derivada. Este processo pode serrepetido para obter a funcao derivada de ordem n que se denota por f (n) (desde que as sucessivas derivadas existam).De modo analogo, a funcao f ′ designa-se tambem por derivada de primeira ordem.

• A notacao de Leibniz e tambem muito usada para designar derivadas:

f ′(x) =df(x)dx

=d

dxf(x) e f (n)(x) =

dnf(x)dxn

=dn

dxnf(x).


1. Seja f(x) = cos x,∀x ∈ R. Determine a derivada de ordem n da funcao f .

Resolucao:f ′(x) = − sinx; f ′′(x) = − cos x; f ′′′(x) = sin x; f (4)(x) = cos x = f(x).

Podemos, neste caso, obter uma regra para a derivada de qualquer ordem da funcao f :

f (2k)(x) = (−1)k cos x e f (2k−1)(x) = (−1)k sinx, ∀k ∈ N.

Obs.: Se n par, n = 2k para algum k ∈ N, se n ımpar, n = 2k − 1 para algum k ∈ N.


1. Encontre as derivadas de 2a ordem das funcoes y(x) = sin x e y = x.

2. Encontre a derivada de 3a ordem da funcao g(x) = ln |x|.

3. Encontre todas as derivadas ate a 7a ordem da funcao f(x) = ex.



10.7 Aplicacao das derivadas ao estudo de funcoes

10.7.1 Monotonia

Teorema: Seja f uma funcao derivavel num intervalo I ⊆ Df . Se

• f ′(x) ≥ 0, ∀x ∈ I , entao f e monotona crescente em I;

• f ′(x) ≤ 0, ∀x ∈ I , entao f e monotona decrescente em I;

• f ′(x) > 0, ∀x ∈ I , entao f e estritamente monotona crescente em I;

• f ′(x) < 0, ∀x ∈ I , entao f e estritamente monotona decrescente em I;

• f ′(x) = 0, ∀x ∈ I , entao f e constante em I .

Definicao: Seja f : Df ⊆ R → R com contradomınio CDf . O ponto c ∈ Df e

• ponto de maximo (resp. mınimo) global de f se f(c) e o maximo (resp. mınimo) de CDf , i.e.,

f(x) ≤ f(c),∀x ∈ Df (maximo global) f(x) ≥ f(c),∀x ∈ Df (mınimo global)

• ponto de maximo (resp. mınimo) local se existe um intervalo aberto I que contem c tal que c e ponto de maximo(resp. mınimo) global de f no conjunto Df ∩ I , i.e.,

f(x) ≤ f(c),∀x ∈ Df ∩ I (maximo local) f(x) ≥ f(c),∀x ∈ Df ∩ I (mınimo local)


1. Dada a funcao f(x) = (x− 1)3

(a) caracterize f ′;

(b) estude o sinal de f ′;

(c) estude a monotonia de f .

Resolucao:

(a) f ′ fica caracterizada com a determinacao da sua expressao analıtica e respectivo domınio. A expressaoanalıtica da primeira derivada de f e dada por f ′(x) = 3(x−1)2 e Df ′ = R, pois f e uma funcao polinomial.

(b) Se x = 1 tem-se f ′(x) = 0 e se x 6= 1 tem-se f ′(x) > 0.

(c) Como f ′(x) ≥ 0, f e monotona crescente em R.

2. Seja f definida por f(x) = e−x2. Estude f quanto a monotonia em R.

Resolucao: Como f ′(x) = −2xe−x2temos,

0f ′(x) + 0 −f(x) ↗ 1 ↘

A funcao f e crescente em ]−∞, 0[, decrescente em ]0,+∞[ e tem em 0 o maximo (absoluto) f(0) = 1.

10.7.2 Convexidade, Concavidade e Pontos de Inflexao

Seja f uma funcao definida em Df ⊆ R e D ⊆ Df .

Definicao: Diz-se que f e convexa (concava) em D se para qualquer intervalo [a, b] ⊆ D, o grafico da funcao nao estaacima (resp. abaixo) da recta secante nos pontos a e b.

Se f e convexa (concava), diz-se que tem a concavidade voltada para cima (resp. para baixo).

Definicao: O ponto c ∈ Df e ponto de inflexao da funcao f se em x = c o seu grafico muda o sentido da concavidade.



x

y

•

a

•

b

•

c

Funcao convexa

x

y

•

•

a b

•

c

Funcao concava

x

y

•

c

concava

convexa

Ponto de inflexaoSe f ′ for derivavel, pode estudar-se a concavidade de f a partir do sinal da segunda derivada, f ′′.Seja I ⊆ Df ′ um intervalo onde f ′ e derivavel. Se

• f ′′(x) > 0, ∀x ∈ I , entao f e convexa em I;

• f ′′(x) < 0, ∀x ∈ I , entao f e concava em I .

Observe-se que se f e convexa (concava) em I a recta tangente ao grafico de f em qualquer ponto c ∈ I fica abaixo(acima) do grafico de f , numa vizinhanca de c.

Na figura seguinte estao representados os graficos de algumas funcoes e respectivas derivadas:

(a)x

y

f(x)

•

a x

y

f ′(x)•

x

y

f(x)

(b)

x

y

f ′(x)•◦

b•◦

(c)x

y

f(x)

•

c x

y

f ′(x)•◦

•◦

Em (a) o sentido da concavidade muda no ponto a, i.e, a e ponto de inflexao de f . Repare-se que no intervalo onde f econvexa (resp. concava), f ′ e crescente (resp. decrescente) .Em (b) a funcao f e convexa (tem concavidade voltada para cima) e a funcao f ′ e crescente em ]−∞, b[ e em ]b, +∞[.Note-se que a funcao f nao e derivavel no ponto x = b.Em (c) a funcao f e concava em ]−∞, c[ e convexa em ]c,+∞[. Apesar de nao existir derivada de f em x = c, c e pontode inflexao.


1. Estude os intervalos de concavidade da funcao f(x) = x ln |x|.

Resolucao:Comecemos por determinar o domınio de f .

Df = {x ∈ R : |x| > 0} = R \ {0}.

Assim, podemos definir a funcao f por ramos da seguinte forma:

f(x) ={

x lnx se x > 0x ln(−x) se x < 0

A derivada da funcao f e definida por

f ′(x) ={

lnx + 1 se x > 0ln (−x)− 1 se x < 0



e a segunda derivada de f por

f ′′(x) =1x

,∀x ∈ R \ {0}

Estudemos o sinal de f ′′

0f ′′(x) − ND +f(x) _ ND ^

Podemos concluir que f e

• convexa em R+

• concava em R−

• nao tem pontos de inflexao porque 0 /∈ Df .


1. Estude a monotonia, os extremos e o sentido das concavidades das seguintes funcoes:

(a) f(x) = ex3−3x;

(b) g(x) = x3 − 6x2;

(c) h(x) = 1 + sin(2x);

(d) r(x) = ln(√

1 + x2).


Pre-Calculo 2005 Referencias

Iaci Malta, Sinesio Pesco e Helio Lopes. Calculo a Uma Variavel — Uma Introducao Ao Calculo, volume I. EdicoesLoyola, Sao Paulo, Brasil, 2002.

Iaci Malta, Sinesio Pesco e Helio Lopes. Calculo a Uma Variavel — Derivada e Integral, volume II. Edicoes Loyola, SaoPaulo, Brasil, 2002.

Virgınia Santos. Apontamentos manuscritos de apoio a disciplina de calculo. (currıculo antigo).

Jaime Carvalho e Silva. Princıpios de Analise Matematica Aplicada. McGraw-Hill, Portugal, 1994.

Paula Rocha. Calculo. Edicao da Universidade de Aveiro, Portugal, 1994.

Serge Lang. A First Course in Calculus. Springer, New York, EUA, 1993.

Elon Lages Lima. Curso de Analise. Instituto de Matematica Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, Brasil, 1982.

Joseph W. Kitchen. Calculo. McGraw-Hill, Madrid, Espanha, 1986.


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