2 Pré-Cálculo para Leigos

Todo vocabulário é matematicamente correto e claro. Tomamos liberdades em alguns pontos deste livro para tornar a linguagem mais abordável e provável. É mais divertido assim.

Pré-cálculo é seu próprio tópico especial de matemática. Veja só, alguns estados, como a Califórnia, não possuem nenhum padrão de conjunto que os alunos precisam aprender para oficialmente dominar o pré-cálculo Como um resultado, o assunto de pré-cálculo varia entre as cidades, escolas e professores individuais. Como não sabemos o que seu professor quer que você absorva deste curso, abordamos quase todos os conceitos de pré-cálculo. Abordamos áreas que talvez você nunca vai usar. Mas tudo bem. Apenas use este livro de acordo com suas necessidades individuais.

Se você usar este livro apenas para apropriadamente abrir uma porta ou como um destruidor de bugs, você não vai ter o que precisa. Sugerimos duas alternativas:

� Procure apenas o que você precisa saber quando você precisar saber. Este livro é útil para isto. Use o Índice Remissivo, a Tabela de Conteúdos, ou, melhor ainda, o rápido Índice encontrado na frente deste livro para encontrar o que precisa.

� Comece pelo início e leia todo o livro, capítulo por capítulo. Esta é uma boa maneira de lidar com este assunto porque os tópicos, às vezes, são baseados nos anteriores. Mesmo se você for um gênio da matemática e quiser detalhar uma seção que pensa que conhece, pode acabar lembrando de algo que esqueceu. Recomendamos começar pelo início, e, lentamente, passar por todo o material. Quanto mais prática você tiver, melhor.

Convenções Usadas neste LivroPara que a leitura deste livro seja consistente e hábil, ele usa as seguintes convenções:

� Termos matemáticos são escritos em itálico para indicar sua introdução e para te ajudar a encontrar suas definições.

� Variáveis também são escritas em itálico para distingui-las das letras comuns.

� O passo a passo dos problemas está sempre em negrito para te ajudar a identificá-los mais facilmente.

� O símbolo para números imaginários é um i minúsculo.

Introdução 3

Suposições TolasNão podemos supor que, apenas, porque absolutamente amamos matemática, você compartilha o mesmo entusiasmo pelo assunto. Podemos supor, porém, que você abriu este livro por alguma razão: Você precisa de uma lembrança sobre o assunto, precisa aprender pela primeira vez, está tentando reaprender para a faculdade, ou precisa ajudar seu filho em casa a entender. Também podemos supor que você já foi exposto, pelo menos em parte, a muitos dos conceitos encontrados neste tópico porque pré-cálculo realmente leva geometria e conceitos de Álgebra II para o próximo nível.

Também supomos que você está disposto a trabalhar. Embora pré-cálculo não seja o único objetivo dos cursos de matemática por aí, é ainda um curso de matemática de nível mais alto. Você vai ter de trabalhar um pouco, mas você sabia disto, não sabia?

Também temos muita certeza de que você é uma alma aventureira e escolheu esta aula porque pré-cálculo não é necessariamente uma matéria exigida no ensino médio. Talvez porque você ama matemática como nós, ou porque não tem nada melhor para fazer da vida, novamente como nós, ou porque o curso vai melhorar sua performance na faculdade. Obviamente, você conseguiu passar por alguns conceitos bem complexos em Geometria e Álgebra II. Podemos supor que, se você chegou tão longe, vai chegar ainda mais. Nós vamos ajudar!

Como este Livro Está OrganizadoEste livro está dividido em quatro seções lidando com os conceitos mais frequentemente ensinados e estudados em pré-cálculo.

Parte I: Con�gure, Resolva e Faça o Grá�coOs capítulos na Parte I começam com uma revisão do material que você já sabe de Álgebra II. Então, revisamos números reais e como operá--los. A partir daí abordamos funções, incluindo polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas, e fazemos gráficos delas, resolvemos e executamos operações nelas.

Parte II: Os Fundamentos da TrigonometriaOs capítulos na Parte I começam com uma revisão de ângulos, triângulos retos e proporções trigonométricas. Então, criamos o glorioso círculo unitário. Gráfico de funções trigonométricas pode ou não ser uma revisão, dependendo do curso de Álgebra II que você teve, então, mostramos a você como fazer o gráfico pai das seis funções trigonométricas básicas e explicamos como transformar estes gráficos para chegar aos mais complicados.

6 Pré-Cálculo para Leigos

10 Parte I: Configure, Resolva e Faça o Gráfico

você aprendeu anteriormente em matemática, e então damos alguns exemplos de para onde o pré-cálculo vai te levar a seguir:

� Álgebra I e II: Lidar com números reais e resolver equações e desigualdades.

Pré-cálculo: Expressar desigualdades de uma nova maneira chamada notação de intervalo.

Antes, suas soluções para desigualdades eram dadas como notação de conjunto. Por exemplo, uma solução pode ser x > 4. Em pré-cálculo, você expressa esta solução como um intervalo: (4, ∞). (Veja mais no Capítulo 2).

� Geometria: Resolver triângulos retos, onde todos os lados são positivos.

Pré-cálculo: Resolver triângulos não-retos, onde os lados não são necessariamente sempre positivos.

Você aprendeu que um comprimento nunca pode ser negativo. Bem, em pré-cálculo você usa números negativos para lados de triângulos para mostrar onde estes triângulos ficam no plano coordenado (podem estar em qualquer lugar dos quatro quadrantes).

� Geometria/trigonometria: Usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o comprimento dos lados de um triângulo.

Pré-cálculo: Organizar as informações em um pacote correto conhecido como círculo unitário (veja a Parte II).

Neste livro, damos a você um atalho para encontrar os lados dos triângulos, que é um atalho ainda mais curto para encontrar os valores trigonométricos para os ângulos nestes triângulos.

� Álgebra I e II: Fazer gráfico de equações em um plano coordenado.

Pré-cálculo: Fazer gráfico de uma maneira totalmente nova, com o sistema de coordenada polar (veja o Capítulo 11).

Diga adeus aos bons e velhos tempos de gráfico no plano Cartesiano. Você tem uma nova maneira de fazer gráfico, e ela envolve andar em círculos. Não estamos tentando te enlouquecer; na verdade, coordenadas polares podem te trazer ótimas figuras.

� Álgebra II: Lidar com números imaginários.

Pré-cálculo: Adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos fica chato quando os números complexos estão em formato retangular (A + Bi). Em pré-cálculo, você vai se familiarizar com algo novo chamado de forma polar e vai usar isto para encontrar soluções de equações que você nem sabia que existiam.

16 Parte I: Configure, Resolva e Faça o Gráfico

Grá�cos de igualdades versus desigualdadesQuando você entendeu como fazer gráfico de uma linha em um plano coordenado, você aprendeu a pegar valores domínio (x) e plugá-los na equação para resolver para o intervalo (y). E então você passou pelo processo múltiplas vezes, expressou cada par como um ponto coordenado, e conectou os pontos para formar uma linha. Alguns matemáticos chamam isso de método plug and chug.

Depois de um tempo neste trabalho tedioso, alguém disse, “Espera um pouco! Existe um atalho”. Este atalho é chamado de formato inclinação-interseção — y = mx + b. A variável m significa a inclinação (slope) da linha (veja a próxima seção), e b significa a interseção y (intercept – ou onde a linha cruza o eixo y). Você pode mudar equações que não estão escritas no formato inclinação-interseção resolvendo por y. Por exemplo, fazer gráfico de 2x – 3y = 12 exige que você subtraia 2x de ambos os lados primeiro para obter –3y = –2x + 12. Então você divide todos os termos por –3 para obter . Este gráfico inicia em –4 no eixo y; para encontrar o próximo ponto, você move para cima dois e para a direita três (usando a inclinação). Inclinação é sempre a fração porque é inclinada — neste caso ⅔.

Desigualdades são usadas para comparações, que são uma grande parte do pré-cálculo. Elas mostram uma relação entre duas expressões (estamos falando de maior do que, menor do que ou igual a). Fazer gráfico de desigualdades começa exatamente da mesma maneira que fazer gráfico de igualdades, mas, no final do processo de gráfico (você ainda coloca a equação no formato inclinação-interseção e gráfico), você tem duas decisões a tomar:

� A linha está sombreada – y <ou y> – ou a linha está sólida – y ≤ ou y ≥?

� Você sombreia abaixo da linha — y < ou y ≤ — ou você sombreia acima da linha — y > ou y ≥? Simples desigualdades (como x < 3) expressam todas as respostas. Para desigualdades, você mostra todas as respostas possíveis sombreando o lado da linha que funciona na equação original.

Por exemplo, ao fazer gráfico de y < 2x – 5, você segue estes passos:1. Inicie em –5 no eixo y e marque um ponto.2. Mova para cima dois e para a direita um para encontrar um

segundo ponto.3. Ao conectar os pontos, você produz uma linha reta que será

sombreada.4. Sombreie a metade inferior do gráfico para mostrar todos

os pontos possíveis na solução.

Obtendo informações de grá�cosDepois de se acostumar com pontos de coordenada e gráficos de equação de linhas no plano coordenado, típicos livros de matemática e

20 Parte I: Configure, Resolva e Faça o Gráfico

Por exemplo, a calculadora que usamos inicia uma raiz quadrada como (então todas as informações que digitarmos depois disto estão automaticamente dentro do sinal de raiz quadrada até fecharmos os parênteses. Por exemplo, (4 + 5) e

(4) + 5 representam dois cálculos diferentes e, logo, dois valores diferentes (3 e 7, respectivamente). Algumas calculadoras inteligentes até resolvem a equação para você. Num futuro próximo, você provavelmente nem terá de assistir aulas de pré-cálculo; a calculadora vai assistir no seu lugar!

Ok, agora você está pronto para pegar o voo do pré-cálculo. Boa sorte para você e curta a viagem!