tutorial precalculo registrado

8/3/2019 Tutorial Precalculo Registrado

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TUTORIAL DE PRE-CALCULO

AUGUSTO CESAR DE CASTRO BARBOSA

CLAUDIA FERREIRA REIS CONCORDIDO

2009


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ISBN: 978-85-910456-0-0


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Introducao

Os problemas referentes ao ensino de Calculo Diferencial e Integral I tem motivadodiversos trabalhos de pesquisa na area de educacao matematica. Em varias partes do mundoe comum encontrar altos ndices de reprovacao nesta disciplina. A reprovacao e, em grandeparte, fruto do baixo conhecimento de matematica por parte dos calouros. Uma proposta

pedagogica bastante utilizada para se enfrentar o problema e oferecer uma disciplina nosmoldes de Pre-Calculo aos alunos que ingressam na Universidade. Tal disciplina possibilitaao aluno rever conceitos importantes de matematica basica, assim como aprofunda-los.

Com frequencia, os estudantes apresentam grandes dificuldades no entendimentodo conceito de funcao e na construcao e interpretacao de seus graficos. Alem disso, e co-mum tambem verificar que uma parcela significativa de estudantes possui deficiencias nasoperacoes elementares com numeros racionais, na teoria elementar de polinomios e nos con-ceitos basicos de geometria. Ocorrem tambem situacoes em que o estudante, apesar deter um conhecimento razoavel dos pre-requisitos, nao os domina no nvel exigido em umadisciplina de Calculo.

Essas deficiencias se agravam pelo fato de os alunos demonstrarem muita dependencia

do acompanhamento do professor para desenvolver seu estudo e dirigir seu raciocnio.A questao que se coloca entao e a escolha do caminho que se deve tomar de modo a

dar a formacao mnima necessaria ao estudante que ingressa na Universidade.

Em 2003, propusemos a criacao de uma disciplina de Pre-Calculo para os alunosrecem ingressantes na UERJ, que possuam Calculo I na grade curricular. Ela foi oferecidanos dois perodos letivos de 2003 com o nome de Matematica Instrumental, sem fazer parteda grade curricular dos cursos de graduacao e nao podendo ser aproveitada como disciplinaeletiva na contagem de creditos.

Esta disciplina desenvolveu-se atraves do esquema de Ensino Colaborativo, visandoaumentar a participacao e a interacao entre os alunos no processo de aprendizagem. Esse

metodo envolve um conjunto de abordagens para a educacao e algumas vezes e chamado deaprendizagem de pequenos grupos. O objetivo principal desta tecnica e criar um ambienteque envolva os estudantes na construcao de conhecimentos de forma solidaria e os leve apensar sobre esses conhecimentos que eles construiram.

Cada turma ficou a cargo de um instrutor. Os instrutores eram alunos dos perodosfinais do curso de Licenciatura em Matematica, escolhidos atraves de exame curricular eentrevista, e recebiam por esta tarefa uma bolsa de treinamento oferecida pela Sub-Reitoriade Graduacao da UERJ. No primeiro dia de aula realizou-se um teste e, a partir da notasobtidas, as turmas foram divididas em grupos de 4 ou 5 estudantes de maneira a se ter o mais

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4

alto grau de heterogeneidade no que tange ao seu nvel de conhecimento em Matematica.Nas aulas, a exposicao dos conceitos era breve, seguida da aplicacao de listas de

exerccios de fixacao, as quais eram desenvolvidas em grupo e corrigidas durante as aulas. As

atividades se desenvolveram neste esquema, com os estudantes ajudando e sendo ajudadospelos companheiros do grupo. Durante a resolucao dos exerccios, em caso de duvida, osgrupos podiam solicitar a ajuda do instrutor. Vale mencionar que as atividades desenvolvidasem sala estavam sempre focadas na compreensao conceitual.

Os estudantes foram avaliados de forma continuada, atraves de listas de exercciose provas. Estas listas, denominadas Listas de Avaliacao, foram desenvolvidas como tarefasemanal por cada grupo. As provas eram individuais e, junto com as Listas de Avaliacao,compunham a nota final de cada aluno, dada atraves da formula

NF =P1 + P2 + P3 + ML

4.

Nesta formula,

NF nota final Pj nota das provas individuais ML media das Listas de Avaliacao

A nota final servia apenas como um referencial para o aluno, uma vez que a disciplinanao reprovava.

A experiencia que acabamos de descrever nao corresponde a disciplina que havamos

inicialmente idealizado. Os alunos inscritos cursaram a disciplina Matematica Instrumentalsimultaneamnte com suas disciplinas regulares, inclusive com o proprio Calculo Diferencial eIntegral I. Essa sobreposicao criou dificuldades que, em muitos casos, levaram ao abandonoda disciplina. Acreditamos que a maneira mais eficiente de funcionamento desta disciplinae que ela seja oferecida no perodo anterior aquele em que o aluno cursar Calculo I.

A partir dessa experiencia, decidimos organizar um tutorial com base no material uti-lizado na disciplina Matematica Instrumental. Esse material consiste das listas de exercciosde fixacao e de avaliacao, assim como das provas aplicadas durante o curso.

Este livro fornece ao estudante um conjunto de exerccios selecionados, dispostosem ordem crescente de dificuldade, visando a revisao e a fixacao dos principais conceitos damatematica basica. No entanto, sugerimos que o estudante realize um estudo teorico antes

de resolver os exerccios que tratem de conteudos nao estudados ou mal compreendidos porele.

Gostaramos de agradecer a Sub-Reitoria de Graduacao (SR1) pelo apoio dado aoProjeto atraves da concessao de uma Bolsa de Estagio Interno a aluna de graduacao SabrinaFerreira Santana para digitacao e construcao de figuras e graficos.


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Instrucoes

Como ja foi mencionado, este tutorial nao pretende substituir livros-textos de matema-tica do Ensino Medio e sim possibilitar ao estudante fazer um trabalho minucioso de revisaodos principais topicos de matematica elementar, cujo domnio e imprescindvel para umprimeiro curso de Calculo Diferencial e Integral.

Da mesma forma que foi implementado na disciplina Matematica Instrumental, oprimeiro passo no desenvolvimento desse trabalho e a realizacao da avaliacao inicial, com oobjetivo de verificar o nvel do estudante no que diz respeito ao conhecimento e as habilidadesem Matematica. A partir da, o estudante tera um referencial para aferir de forma maisefetiva o seu desenvolvimento em cada etapa desse tutorial.

O tutorial e composto por dez modulos destinados aos exerccios. Cada um dessesmodulos esta dividido em secoes e pode envolver um, dois ou tres assuntos distintos. Naultima secao de cada modulo, e feita uma revisao sobre os assuntos ali abordados.

A avaliacao do estudante sera feita atraves de tres provas. A partir da media a-ritmetica dessas tres provas e da comparacao com a nota da Avaliacao Inicial, o estudantetera um referencial para aferir a evolucao do domnio dos principais topicos de matematica

basica.A primeira prova abrange os seguintes assuntos: Conjuntos Numericos e Introducao

as Expressoes Algebricas; Introducao ao Estudo de Funcoes, Funcao Afim, Equacoes e I-nequacoes de Primeiro Grau; Funcao Quadratica, Equacoes e Inequacoes do Segundo Grau.Na segunda prova sao avaliados os conhecimentos do estudante acerca de Numeros Complexose Polinomios; Propriedades de Funcoes e Funcao Modular; Funcao Exponencial e FuncaoLogartmica. Na terceira e ultima prova abordamos questoes de Polgonos; Circunferenciase Area de Figuras Planas; Trigonometria; Funcoes Trigonometricas Inversas.

Caso a nota final (media das tres provas) seja inferior a 7,0 (sete), o estudante deverefazer as Listas de Exerccios de Revisao localizadas ao final de cada modulo e fazer aAvaliacao Final (Modulo 15) - um teste sobre todo o programa. Se a nota nesta Avaliacao

for inferior a 7,0, recomendamos que o estudante retorne aos livros-textos para um estudomais minucioso dos conceitos matematicos abordados.

Os autores gostariam de receber um e-mail com a opini ao a respeito do materialutilizado e de que forma ele pode ter sido util na preparacao para a disciplina CalculoDiferencial e Integral I.

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Professor Augusto Cesar de Castro Barbosa ([email protected])Doutor em Fsica (IF-UFF)Departamento de Matematica Aplicada

Instituto de Matematica e EstatsticaUniversidade do Estado do Rio de Janeiro

Professora Claudia Ferreira Reis Concordido ([email protected])Doutora em Matematica (IM-UFRJ)Departamento de Analise MatematicaInstituto de Matematica e EstatsticaUniversidade do Estado do Rio de Janeiro


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Modulo 1

AVALIACAO INICIAL

1. Calcule o valor de cada expressao:

(a) 4 +1

11 1

2+

3

4=

(b)1

4+ 0, 19 :

4 0, 8 : 0, 5 12

=

(c)1256 253(52)3 257 =

2. Sendo A =] , 1[, B =] 5, 2[ e C =] 1, 4], obtenha:(a)A B (b)A B (c)A C

3. Encontre o domnio da funcao f(x) =

x + 2

x 2 .

4. Seja a funcao y = f(x) representada pelo grafico abaixo. Construa o grafico da funcaoy = 1 f(x + 2).

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8 MODULO 1. AVALIAC AO INICIAL

5. Considere as funcoes f, g : IR IR tais que g(x) = 2x + 1 e g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1.Calcule f(7).

6. Esboce os graficos das funcoes a seguir:

(a)f(x) = 2x 3 (b)f(x) = 6x x2 8

7. Resolva as seguintes equacoes:

(a)73x+4 = 492x3 (b)log3 (x 1)2 = 2

8. Se DE e paralelo a BC, determine x na figura abaixo:

9. Dois pescadores P1 e P2 estao na beira de um rio de margens paralelas e conseguem ver umbote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63m, os angulos BP1P2 = e BP2P1 = eque tg = 2 e tg = 4, calcule a distancia entre as margens (em metros).

10. Determine p para que a reta de equacao 2x + 3y p = 0 intercepte o eixo das ordenadasno ponto de ordenada 5.

11. Uma caixa sem tampa tem V m3 de volume. O comprimento da base e o dobro dalargura. O material da base custa R$ p por metro quadrado, ao passo que o material daslaterais custa R$ q por metro quadrado. Expresse o custo total do material em funcao dotamanho da base.


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1.1. RESOLUC AO 9

1.1 RESOLUCAO

1.

(a)4 +1

11 1

2+

3

4=

176

44+

4

44 22

44+

33

44=

191

44m.m.c(2, 4, 11) = 44

(b)1

4+ 0, 19 : (4 8

10:

5

10 1

2) =

1

4+

19

100: (4 8

10.10

5 1

2) =

1

4

+19

100

: (4

8

5 1

2

) =

1

4+

19

100: (

40

10 16

10 5

10) =

1

4+

19

100:

19

10=

1

4+

19

100.10

19=

1

4+

1

10=

5

20+

2

20=

7

20

(c)1256.253

(52)3.257=

(53)6.(52)3

(52)3.(52)7=

518.56

56.514=

518656+14

= 51258

= 5128 = 54 = 5.5.5.5 = 625

2. A=] , 1[ B=] 5, 2[ C=] 1, 4]

(a)

A B =] 5, 1[

(b)


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A B =] , 2]

(c)

A C =

3. f(x) =

x + 2

x

2

x 2 = 0 x = 2x + 2 0 x 2Df = {x IR | x = 2 x 2}

4.

5. g(x) = 2x + 1 f(7) =?g(f(x)) = 2x2 + 2x + 1g(f(x)) = (g f)(x) = 2(f(x)) + 1 = 2x2 + 2x + 1 2(f(x)) = 2x2 + 2x f(x) = x2 + xf(7) = 72 + 7 = 56


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1.1. RESOLUC AO 11

6. (a)f(x) = 2x 3 f(0) = 3 f(1) = 1

(b)f(x) = 6x x2

8a = 1 < 0 concavidade para baixo; = b2 4ac = 62 4.(1).(8) = 36 32 = 4V = ( b

2a,

4a) = (3, 1); f(0) = 8

f(x) = 6x x2 8 = 0 x = b+ 2a

=6 + 4

2.(1) =6 + 2

2Zeros de f: x1 =

6 + 22 = 2 e x2 =

6 22 = 4

7. (a) 73x+4 = 492x3

73x+4 = (72)2x3

73x+4 = 74x6

3x + 4 = 4x

6

4x

3x =

4 + 6 x = 10S = {10}(b) log3(x 1)2 = 2 (x 1)2 = 32 x 1 = 3x1 = 2, x2 = 4 S = {2, 4}


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8. Da figura segue que

Logo,6 + 3

12=

6

x 9

12=

6

x x = 12.6

9= 8

9.

tg =h

63 x = 2 tg =h

x= 4

h = 126 2xh = 4x

4x = 126 2x 6x = 126 x = 21 h = 84m

10. 2x + 3y p = 0 3y = p 2x y = 13

p 23

xx = 0, y = 5 5 = 13 p p = 15

11. V = c.l.h = 2l.l.h = 2l2hcusto da base: R$ p.l.2l = R$ 2l2pcusto das laterais: R$ q.l.h.2+R$ q.2l.h.2 =R$ 6lhqcusto total: c = 2l2 p + 6lhq

Mas h =V

2l2, entao c = 2l2 p +

6lqV

2l2= 2l2 p +

3qV

l


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1.2. PONTUAC AO DA PROVA 13

1.2 PONTUACAO DA PROVA

1a

Q : 0.9 p (0.3 p cada item)2aQ : 0.9 p (0.3 p cada item)3aQ : 0.5 p4aQ : 1.0 p5aQ : 0.7 p6aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)7aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)8aQ : 1.0 p9aQ : 1.0 p10aQ : 1.0 p11aQ : 1.0 p

OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questao, retire 0.2 p.


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Modulo 2

Conjuntos Numericos e Introducao as

Expressoes Algebricas

2.1 PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS

1. Represente, por extensao, os conjuntos:

(a) A = {x IN | x > 6} (b) B = {x IN | x 5}(c) C = {x IN | 2 < x < 7}

2. Considere uma operacao simbolizada pelo sinal , definida para os numeros naturais a eb pela seguinte formula: a b = a + 2b. Calcule o valor de 4 3 e de 2 5.

3. Calcule as potencias : a = 33 , b = (2)3 , c = 32 e d = (2)3. Escreva os numerosa,b,c,d em ordem crescente.

4. Represente, usando a notacao de intervalos, os seguintes subconjuntos de IR:

(a) (b)

5. Represente sobre a reta real cada um dos seguintes conjuntos:

(a) A = {x IR | 1 x 2}(b) B = {x IR | 0 < x < 3}

(c) C = {x IR | x 0 ou x > 1}(d) D = {x IR | 1 x < 0 ou x 3}

15


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16MODULO 2. CONJUNTOS NUMERICOS E INTRODUC AO AS EXPRESSOES ALGEBRICAS

6. Sendo E = {x IR | 3 x < 1}, F = {x IR | x 3} e G = {x IR | 1 < x 5},obtenha:

(a) E F (b) E F (c) F G (d) F G (e) E G (f) E G

7. Efetue:

(a) (+9) + (+15) =(b) (220) + (309) =(c) (15) + (+3) =(d) (+15) + (3) =

(e) (+15) (+3) =(f) (8) (10) =(g) (+6) (2) =(h) 5 + 9 =

(i) 3 4 =(j) 13 + 7 =(k) 6 + 4 1 =(l) 2 (12) =

8. Efetue:

(a) (+5) (+7) =(b) (5) (7) =(c) (5) (+7) =

(d) 0 (3) =(e) (15) : (3) =(f) (15) : (+3) =

(g) (+15) : (

3) =(h) 0 : (+8) =

9. Calcule:

(a) (4)2 =(b) (1)6 =(c) (3)3 =

(d) (2)0 =(e) (+3)0 =(f) (+3)2 =

(g) 32 =(h) 16 =

10. Aplique as propriedades das potencias:

(a) (7)3

(7)5

=(b) (1)4 (1)0 =(c) a15 : a =

(d) [(12)3

]6

=(e) [(3)4]0 =(f) (34)2 : (32)3 =

11.Calcule:

(a) {[(0 2) (0 + 4)] + [(0 6) (0 + 8)]} =(b) 15 [(30) : 2] + [(18) : (2)] [(8) : (8)] =(c) [5 (1)3] + [(6)2 : (3)] =(d) (4)2 {(5) (+2)3 + [(14) : (2) (3)] (+8)} =

12. Determine:

(a) | 183| = (b) |0| = (c) |+34| = (d) | 1, 8| =

13. Dados n = 3 e m = 3

2, efetue as operacoes indicadas e classifique as afirmacoes emV(verdadeira) ou F(falsa):


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2.2. SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS 17

(a) n + m e racional.(b) n m e irracional.

(c) m2 e irracional.(d) m3 e irracional.

2.2 SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS

1. Aplicando a decomposicao em fatores primos, determine o mdc dos numeros:(a) 30 e 48 (b) 125 e 35 (c) 198, 126 e 54

2. Aplicando o processo das divisoes sucessivas, determine o mdc dos numeros:(a) 72 e 40 (b) 90 e 54

3. Aplicando a decomposicao em fatores primos, determine o mmc dos numeros:(a) 12 e 15 (b) 8,12 e 20 (c) 32, 48 e 80

4. Determine pela decomposicao simultanea em fatores primos o mmc dos numeros:(a) 8,15 e 20 (b) 12, 15, 20 e 36

5. Escreva na forma decimal os numeros racionais:

(a) 810 (b) 2310 (c) 48100 (d) 12 (e) 34

6. Escreva na forma irredutvel os numeros racionais:

(a) 6212

(b)20

54(c) 3

21(d)

72

9

7. Escreva na forma de fracao:(a) 2, 9 (b) 0, 3 (c) 0, 001 (d) 2, 08

8. Relacione com >, < ou = :

(a)14

,2

3

(b) 34

,6

8

(c) 56

,4

3

(d) 42

,5

4

(e)4

3, 1

(f)2

3,

5

6,

3

4

9. Efetue:


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(a)

+5

8

1

8

=

(b) 1

6 1

4=

(c)3

8

+

+5

6

=

(d)1

3

1

4

=

(e) +1

2 (2) =(f) (4) (0, 25) =

(g)

+5

11

: (+2) =

(h) 3

8 : +3

2 =(i) (0, 5) : (0, 2) =

10. Calcule o valor numerico das expressoes:

(a) (5) (+2, 3) (0, 25) + (+5, 3) =

(b)

+1

10

+ (2, 7)

+12

10

(3) =

2.3 TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS

1. Calcule:

(a)

+2

3

4= (b)2

3

4= (c)

+1

2

5= (d)1

2

5=

2. Calcule, quando for possvel, em ZZ:

(a) 100 (b) 81 (c) 327 (d) 3125

3. Calcule o valor numerico das expressoes:

(a) 14 + (2)4 (2)3 + 07 + 320 + 8 22 =(b) (0, 5)2 : 5 2 (0, 3 1, 2 0, 72 : 2, 4) =

(c)

1

4

2 4

5+

2

5:

2

3

3=

(d) 38 + 161/4 (2) + 271/3 =

(e) 21 + 6

2

3

2

1

3

1=

(f) 4 (0, 5)4 + 0, 25 + 82/3 =

(g)93 274 37

1

3 2432

=

4. Simplifique as expressoes:

(a) 2

150 454 + 624 (b)3

24 3813

9 + 3

3

5. Racionalize os denominadores das expressoes:

(a)210

(b)5

2

5(c)

13

2(d)

2

2 +

3


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2.3. TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS 19

6. Efetue:

(a)2 +

3

1 5 +2 31 +

5

= (b)1

1 2 1

2 + 1=

7. Desenvolva os seguintes produtos notaveis:

(a) (2x + 3)2

(b) (2a2 3)2

(c) (a + b c)2(d)

k

2 2

3

k

2+

2

3

(e) (2a2 + 3b) (2a2 3b)

8. Fatore ao maximo as expressoes:

(a) 4ax 8ay(b) x2 + 6x + 9

(c) a4 b4

(d)3

5a 1

5b

(e) 5x2

+ 20x + 20(f) x3 10x2 + 25x

9. Simplifique:

(a) (m 1)2 (m + 1) (m 1)

(b)x2 + xy

2x

(c)4ac + 10ac2

12a2c

(d) (x 2)2 + x2 2(x 1)2

(e)a4 + a3b ab3 b4

a2 b2(f)

7ax + ay + 7bx + by

ax ay + bx by

10. Efetue as operacoes indicadas:

(a)x + 1

x 1 +x 1x + 1

=

(b)a + 2b

x + a a 2b

x a 4bx 2a2

x2 a2 =

(c)x + 3

2(x + 1) (x + 1)

2

(x + 3) (x 3) =

(d)x2 + 8x + 16

3x + 6 x

2 45x + 20

=

(e)

1 +

a ba + b

:

1 a b

a + b

=


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2.4 RESPOSTAS DOS EXERCICIOS

2.4.1 1a LISTA

1. (a) A = {7, 8, 9,...} (b) B = {1, 2, 3, 4, 5} (c) C = {3, 4, 5, 6}2. 4 3 = 10 e 2 5 = 123. a = 27, b = 8, c = 1

9, d = 1

8; {8, 1

8,

1

9, 27}

4.(a) ], 32

] (b) [

3, 6[

5.

6.

(a) {x IR | 3 x < 1}(b) {x IR | x 3}(c) {x IR | 1 < x 3}

(d) {x IR | x 5}(e) (f) {x IR | 3 x 5x = 1}

7.(a) + 24(b) 529

(c) 12(d) + 12

(e) + 12(f) + 2

(g) + 8(h) + 4

(i) 7(j) 6

(k) 9(l) + 10

8. (a) +35 (b) +35 (c) 35 (d) 0 (e) +5 (f) 5 (g) 5 (h) 09. (a) 16 (b) +1 (c) 27 (d) 1 (e) 1 (f) +9 (g) 9 (h) 110. (a) (7)8 (b) (1)4 (c) a14 (d) (12)18 (e) (3)0 (f) 3211. (a)

20 (b) 38 (c)

17 (d) 85

12. (a) 183 (b) 0 (c) 34 (d) 1, 8

13. (a) F (b) V (c) V (d) F

2.4.2 2a LISTA

1. (a) 6 (b) 5 (c) 18


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2.4. RESPOSTAS DOS EXERCICIOS 21

2. (a) 8 (b) 18

3. (a) 60 (b) 120 (c) 480

4. (a) 120 (b) 180

5. (a) 0, 8 (b) 2, 3 (c) 0, 48 (d) 0, 5 (e) 0, 756. (a) 31

6(b)

10

27(c) 1

7(d)

8

17. (a) 29

10(b)

3

10(c) 1

1000(d)

208100

8. (a) 14

1 (f)

2

3 |h|


24/193


9. Efetue:

(a) (+7) + (+4) =(b) (15) + (3) =(c) (

12) + (

9) =

(d) (+195) + (+187) =

(e) (+7) (+12) =(f) (4) (4) =(g) (+6)

(

2) =(h) 9 + 14 =

(i) + 12 + 9 =(j) 3 + 12 =(k) 5 + 3

1 =

(l) 17 (8) =

10. Efetue:

(a) (+3) (8) =(b) (6) 0 =(c) (9) (4) =

(d) (+15) : (+3) =(e) (12) : (6) =(f) (20) : (+5) =

(g) (+8) : (1) =(h) 0 : (4) =

11. Calcule:

(a) (

3)4 =

(b) (1)5 =(c) (4)3 =

(d) (

2)1 =

(e) (+3)1 =(f) (5)2 =

(g) 23

=(h) 42 =

12. Aplique as propriedades das potencias:

(a) (+3)7 (+3) =(b) (4)10 : (4)2 =(c) m5 m8 =(d)

(a3 b2)5ab

, ab = 0

(e) (52)4 : (52)2 =

(f) [(+5)4]2 =

(g) [(2)0]3 =(h) [(a2 b3)2]3, ab = 0

13. Calcule:

(a) {[(24 22) + 22] 20} + 20 =(b) (32) : [(24) : (3)] [(+8) (2)] =(c) 42 (5 72) =(d) (31 + 51) (3 + 5)1

(e) {[(2)2]3 : (2)3} + [(1)10 (1)5] =(f) (2)3 + (1)0 25 32 53 : 25 =

(g)(2)2 327(3 + 5)0 2 =


25/193

2.5. PRIMEIRA LISTA DE REVIS AO 25

14. Calcule o valor de:

(a) (27) 23 (b) (1) 79 (c) 31 (d) 810,25

15. Escreva na forma de fracao:

(a) 0,125 (b) 0,75 (c) 11, 5 (d) 32, 75

16. Escreva os numeros racionais na forma decimal:

(a)3

5(b)

5

3(c)

1

6(d) 4

9

17. Escreva na forma irredutvel as fracoes:

(a) 8118

(b) 246

(c) 68144

(d) 7550

18. Determine o valor de r dado pela expressao r =mmc(a, b)

mdc(a, b), onde a = 23 32 52 11

e b = 22 32 5 72.

19. Numa disputa de arremessos de bola ao cesto, foram obtidos os seguintes resultadospelos competidores:

Alberto acertou 11 bolas em cada 18 arremessos; Andre acertou 5 bolas em cada 12 arremessos; Lucas acertou 5 bolas em cada 9 arremessos; Marcos acertou 7 bolas em cada 15 arremessos; Pedro acertou 1 bola em cada 2 arremessos;Nessa disputa, quem se saiu melhor?

20. Escreva em ordem decrescente as fracoes:

(a)1

8 ,7

6 ,3

4 ,2

3

(b)3

5,

2

10,

4

15

(c) 9

4 , 9

5 , 9

8

(d) 310

,1

6,

4

9

(e) 2, 1

5 , 5

3

(f)1

6,

5

8,

3

4

21. Efetue:


26/193


(a)

+5

6

2

3

=

(b)

3

47

8=

(c)2

5

+

+53

=

(d)2

3

3

4

=

(e) +2

7 2

3 =(f) (5) (+0, 75) =

(g)

+1

4

: (+3) =

(h) 4

9 : +2

5 =(i) (+2, 3) : (5, 6) =

22. Calcule:

(a)

+3

4

3=

(b)3

4

3=

(c)3

4

3=

(d)115

217

0=

(e)

+1

3

4=

(f)1

3

4=

23.Calcule o valor numerico das expressoes:

(a)

1

7

34

2+

3 12

2:

109

4=

(b)

1 1

2

3

4

+

1

51 4

5

2 =(c)

1

2

4:

1

2 (41)2 +1

6

0=

(d)0, 1 0, 010, 2 0, 02

=

(e)

4, 7

0, 3 +7

2

: (2, 5 0, 6)2

=

(f)(2)2 327(3 + 5)0 2 =

(g)1

2

2

+3

2

2+

2

3

31

3

2=

(h)

25

9+

9

16

1/2

:

1

2+

3

5

9 80

=

24. Qual e o valor de

25 16 + 30 327 ?

25. Simplifique as expressoes:

(a)

80 +

20

(b) 3

5 +

45 220

(c)

3

16 + 3

543125

(d)

8 +

32 +

72 50(e) (125

2

3 + 161

2 + 3431

3 )1

2

26. Racionalize os denominadores:

(a)7

3

(b)3 3

73

72

(c)

5

10 2(d)

6 26 +

2


27/193


27. Fatore as expressoes:

(a) x3 + x2 x 1(b) 16x4 1

(c) x2 + 2x3 + 19(d) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz

28. Calcule

2 +

3 +

2 32

.

29. Efetue, usando produtos notaveis:

(a) (2 +

3)2

(b) (3 1)2(c) (5 + 2

3)2

(d) (

3 + 1)(

3

1)

(e)

7 24 7 + 24

30. Racionalize o denominador de cada uma das seguintes fracoes:

(a)1

2 + 1(b)

35 2 (c)

2

3 + 2

2

31. O numero

4 + 2

3

4 23 e racional ou irracional? Justifique.


28/193


2.5.1 RESPOSTAS DA 1a LISTA DE REVISAO

1. (c) e (e)

2.(a) {x IR | 2 < x < 1}; ] 2, 1[(b) {x IR | 3 < x 8}; ] 3, 8]

(c) {x IR | x 2}; [2, [(d) {x IR | x 1/2}; ] , 1/2]

3.

4. A B =] 3, 2[ e A B = [0, 1]5. (d)

6.

7. (a) 16 (b)0 (c)2/5 (d)5,25 (e)2 (f)0

8. a = 3, b = 2, c = 8, d = 4, e = 5/3, f = 0, 333..., g = 7, h = 3/79.

(a) + 11(b) 18

(c) 21(d) + 382

(e) 5(f) 0

(g) + 8(h) 5

(i) + 21(j) 9

(k) 7(l) 25

10. (a) 24 (b) 0 (c) +36 (d) +5 (e) +2 (f) 4 (g) 8 (h) 011. (a) 81 (b) 1 (c) 64 (d) 2 (e) 3 (f ) 25 (g) 8 (h) 1612. (a) (+3)6 (b) (4)8 (c) m13 (d) a14b9 (e) 5 (f) (+5)8 (g) 1 (h) a12b1813. (a) 24 (b) 12 (c) 60 (d) 1/15 (e) 9 (f ) 0 (g) 714. (a) 9 (b) 1 (c) 1 (d) 1/315. (a) 1/8 (b) 3/4 (c) 23/2 (d) 131/416. (a) 0, 6 (b) 1, 666... (c) 0, 1666... (d) 0, 444...17. (a) 9/2 (b) 4 (c) 17/36 (d) 3/2


29/193


18. 5390

19. Alberto

20.

(a) 76 , 34 , 23 , 18

(b)3

5,

4

15,

2

10

(c) 98 , 95 , 94(d) 4

9,

1

6,

310

(e) 15 , 53 , 2

(f)3

4,

5

8,

1

621. (a)+3/2 (b)+1/8 (c)+19/15 (d)+1/2 (e)4/21 (f)3, 75 (g)+1/12 (h)10/9 (i)0, 422. (a) 27/64 (b) 27/64 (c) 64/27 (d) 1 (e) 1/27 (f) 1/2723. (a) 1/28 (b) 17/3 (c) 3 (d) 1/2 (e) 7, 29 (f) 7 (g) 25/9 (h) 59/624. 0

25. (a) 6

5 (b) 2

5 (c) 3

2 (d) 7

2 (e) 6

26. (a)7

3

3 (b)3 3

72

7 (c)

50 + 2

5

6 (d)5

2 327. (a) (x + 1)2(x 1) (b) 16

x 1

2

x +

1

2

x2 +

1

4

(c)

x +1

3

2(d) (x + y + z)2

28. 6

29. (a) 7 + 4

3 (b) 4 23 (c) 37 + 203 (d)2 (e)530. (a)

2 1 (b) 5 + 2 (c) 6 42

31. Racional, pois e igual a 2.


30/193



31/193

Modulo 3

Introducao ao Estudo de Funcoes,

Equacoes e Inequacoes

3.1 QUARTA LISTA DE EXERCICIOS

1. Determine os graficos cartesianos dos produtos A B e B A, onde:(a) A = {2, 4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4, 5};(b) A = {x IR | 1 x < 6} e B = {y IR | 3 < y 5}.

2. A figura abaixo mostra o grafico de A B. Represente A e B por notacao de intervalo edesenhe o grafico de B A.

3. Observe a relacao R de A em B representada no diagrama de flechas a seguir:

31


32/193

32MODULO 3. INTRODUC AO AO ESTUDO DE FUNC OES, EQUAC OES E INEQUAC OES

(a) De o domnio e o conjunto-imagem de R.(b) Represente R por extensao.(c) Represente R no plano cartesiano (grafico de R).

4. Sejam A = {1, 4, 9} e B = {2, 2, 3}. Represente, por extensao e em diagramas deflechas, estas relacoes:

(a) R1 = {(x, y) A B | x + y 6};(b) R2 = {(x, y) A B | y2 = x};(c) R3 = {(x, y) A B | x y > 3}.

5. Dados os conjuntos A = [2, 2] e B = [4, 4], faca os graficos das seguintes relacoes:(a) R1 = {(x, y) A B | y = x2};(b) R2 =

{(x, y)

A

B

|y = x + 1

}.

6. Caracterize num grafico as regioes do plano caretesiano que satisfazem as relacoes binariasabaixo:

(a) R =

(x, y) IR2 | x 4

;

(b) R =

(x, y) IR2 | 1 x 4

;

(c) R =

(x, y) IR2 | 2 x 3 1 y 1

;

(d) R =

(x, y) IR2 | |x| 3

.

7. Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}, B = {4, 6, 7, 8} e a relacao f de A em B tal quef = {(1, 6), (2, 4), (3, 7)}. Determine:(a) o conjunto de partida;(b) o conjunto de chegada;(c) o domnio de f;(d) o conjunto imagem de f;(e) o diagrama representativo de f;(f) o grafico cartesiano de f.


33/193

3.2. QUINTA LISTA DE EXERCICIOS 33

8. Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e R : A B definida porR =

{(x, y)

A

B

|y = x + 3

}.

(a) De os pares ordenados de R.(b) Faca a representacao em diagrama.(c) De o domnio e a imagem de R.(d) Construa o grafico de R.

9. Se A = {x IR | 1 x 3} e B = {y IR | 1 x 4}, qual e o domnio e a imagem darelacao R = {(x, y) A B | y = 2x}?

3.2 QUINTA LISTA DE EXERCICIOS

1. Estabeleca se cada um dos esquemas das relacoes abaixo define ou nao uma funcao deA = {1, 0, 1, 2} em B = {2, 1, 0, 1, 2, 3}. Justifique.

2. Qual e a notacao das seguintes funcoes de IR em IR?

(a) f associa cada numero real ao seu oposto;(b) g associa cada numero real ao seu cubo;


34/193


(c) h associa cada numero real ao seu quadrado menos 1;(d) k associa cada numero real ao numero 2.

3. Quais das relacoes de IR em IR cujos graficos aparecem a seguir sao funcoes? Justifique.

4. Qual e a notacao das seguintes funcoes?

(a) f e a funcao de IQ em IQ que associa cada numero racional ao seu oposto adicionado de 1;(b) g e a funcao de ZZ em IQ que associa cada numero inteiro a potencia de base 2 dessenumero;(c) h e a funcao de IR em IR que associa cada numero real ao seu inverso.

5. Seja f a funcao de IR em IR definida por f(x) = x2 3x + 4. Calcule:(a) f(1) (b) f(12) (c) f(13) (d) f(3) (e) f(1 2)

6. Seja f a funcao de ZZ em ZZ definida por f(x) = 3x 2. Calcule:(a) f(2) (b) f(3) (c) f(0) (d) f(3

2)

7. Seja f a funcao de IR em IR definida por f(x) =

1, se x IQx + 1, se x IQ . Calcule:


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3.3. SEXTA LISTA DE EXERCICIOS 35

(a) f(37) (b) f(

2) (c) f(

4) (d) f(

3 1) (e) f(0, 75)

8. Seja f a funcao de IR em IR definida por f(x) =2x

3

5 . Qual e o elemento do domnio

que tem 34

como imagem?

9. A funcao f e definida por y = 3x 1. Qual e a imagem do elemento 5?

10. Dada a funcao f definida por y = 2x + 5, qual e o elemento do domnio cuja imagempela funcao f e 11?

3.3 SEXTA LISTA DE EXERCICIOS

1. Construa os graficos das seguintes funcoes de IR em IR:

(a) y = x + 3 (b) y = x + 2 (c) y = 2x 3 (d) y = 2x + 4

2. Construa, num mesmo sistema cartesiano, os graficos das funcoes f(x) =x

3

e g(x) =

x

3

.

3. Dados os graficos das funcoes de IR em IR, obtenha a lei de correspondencia de cada umadessas funcoes:

4. O custo C de producao de x litros de certa substancia e dado por uma funcao afim de x,


36/193


com x > 0, cujo grafico esta representado abaixo:

Nessas condicoes, o custo de R$810,00 corresponde a producao de quantos litros?

5. Faca o grafico da funcao de IR em IR dada por f(x) =

3, se x 23

2x, se 2 x 2

34

x +9

2, se x 2

.

6. Em cada item, obtenha a equacao da reta que:

(a) passa pelos pontos (2, 3) e (3, 5);(b) passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular igual a 3.

7. Verifique se os pontos A, B e C estao alinhados quando:

(a) A(0, 2), B(3, 1), C(4, 5) (b) A(2, 6), B(4, 8), C(1, 7)

8. Determine o zero de cada uma das seguintes funcoes:

(a) f(x) = 5x + 10 (b) f(x) = x (c) f(x) = (x 1)2 (x + 2)2

9. Resolva as equacoes:(a) 3x 5 = 2x 4(b) 2 5x = 2x + 3

(c)z

5 3z

20=

z

10 3

(d)2x + 4

2 9x 7

8=

x + 12

4 11 + 9x

16(e) 3y (5 y) = 4y + 3


37/193

3.4. SETIMA LISTA DE EXERCICIOS 37

10. De o conjunto solucao em IR da equacao do 1ograu

(3x + 1)(x 1) 3(x + 2)2 = 9.

11. Resolva as inequacoes:

(a)2 x

3>

5x 12

(b) 3(x 1) + 5 < 4

x 12

(c)

x

2+ 1 >

x

5 1

3

(d)x

3+

x 12

+ x x 25

x 34

(e)10x 15

5 4x 0

12. Encontre os valores de x para os quais esta definida a funcao

f(x) = (x 1)(x + 4).

3.4 SETIMA LISTA DE EXERCICIOS

1. Resolva os seguintes sistemas de equacoes:

(a)

2x + 3y = 75x 3y = 7

(b) 5x 2y = 12x + 3y = 8

(c)

x y = 1x

3 y

2= 1

(d)

2x + y = 115x = 3y

(e) 3x + 2y = 262x + 3y = 29

(f)

3x 4z = 24y + 3z = 1

x + 6y + 5z =8

3

2. Diga, sem resolver, se os sistemas abaixo sao determinados, indeterminados ou impossveis:

(a)

x + 2y = 42x + 4y = 8

(b)

8x + 10y = 184x + 5y = 15

(c)

5a + 8b = 1013a + b = 34

3. Resolva os seguintes sistemas de inequacoes:

(a)

3x 5 > 2x 15x + 2 > 3x

(b)

3x 5

2> 2x

x 35

< x


38/193



3.5.1 4a LISTA

1.

2. A = [2, 4[ e B =]1, +[


39/193


3. (a) D(R) = {1, 3, 4, 5}, I(R) = {2, 4, 6, 8} (b) R = {(1, 2), (1, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 8(c)

4. (a) R1 = {(0, 2), (0, 2), (0, 3), (4, 2), (4, 2)}(b) R2 = {(4, 2), (4, 2), (9, 3)}(c) R2 = {(4, 2), (9, 2), (9, 2), (9, 3)}

5.


40/193


6.

7. (a) A = {1, 2, 3, 4} (b) B = {4, 6, 7, 8} (c) Df = {1, 2, 3} (d)Imf = {4, 6, 7}(e) (f)

8. (a) R = {(0, 3); (1, 4);(2, 5)} (c) DR = {0, 1, 2} , ImR = {3, 4, 5}


41/193


(b) (d)

9. D = {x IR | 1 x 2} , I = {y IR | 2 x 4}

3.5.2 5a LISTA

1.(a) nao define funcao de A em B, pois o elemento 2 A nao esta associado a nenhumelemento de B.(b) nao define funcao de A em B, pois o elemento 1 A esta associado a dois elementos deB.(c) e (d) definem funcoes de A em B, pois todo elemento de A esta associado a um unicoelemento de B.

2.(a) f : IR

IR

x x(b) g : IR IR

x x3

(c) h : IR

IRx x2 1

(d) k : IR IRx 2

3. (a) e funcao.(b) nao e funcao de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos (x, 0), comx < 9, encontra o grafico da relacao em dois pontos.(c) nao e funcao de IR em IR, pois qualquer reta vertical conduzida pelos pontos ( x, 0), com3 < x < 3, nao encontra o grafico da relacao.(d) e funcao.(e) e funcao(f) nao e funcao de IR em IR, pois a reta vertical conduzida pelo ponto (5 , 0) encontra ografico da relacao em mais que dois pontos e as retas verticais conduzidas pelos pontos(x, 0), com x = 3, nao encontram o grafico da relacao.4.

(a) f : IQ IQx x + 1

(b) g : ZZ IQx 2x

(c) h : IR IRx 1/x

5. (a) 8 (b) 11/4 (c) 46/9 (d) 7 33 (e) 4 + 26. (a) 4 (b) 11 (c) 2 (d) nao tem significado, pois 3/2 ZZ


42/193


7. (a) 1 (b) 1 +

2 (c) 1 (d)

3 (e) 1

8. 3/8 9. 14 10. 3

3.5.3 6a LISTA

1.

2.

3. (a) y =3

4x +

1

2(b) y = x

2+ 3

4. 26 l


43/193


5.

6. (a) y = 2x 1 (b) y = 3x 27. (a) Nao (b) Sim

8. (a)

2 (b) 0 (c)

1/2

9. (a) x = 1 (b) x = 1/7 (c) z = 60 (d) x = 3 (e) Impossvel10. S = {2/7}11.

(a) {x IR | x < 7/17}(b) {x IR | x > 4}(c) {x IR | x > 40/9}

(d) {x IR | x 51/113}(e) {x IR | x < 5/4 x 3/2}

12. {x IR | 1 x 4}

3.5.4 7a LISTA

1.(a) x = 2, y = 1(b) x = 1, y = 2

(c) x = 9, y = 8(d) x = 3, y = 5

(e) x = 4, y = 7(f) x = 2/3, y = 1/2, z = 1

2. (a) Indeterminado (b) Impossvel (c) Determinado

3. (a) x > 4 (b) As inequacoes sao incompatveis


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3.6 SEGUNDA LISTA DE REVISAO

1. Dados os subconjuntos de IR, A = [2, 5[, B =]1, 6] e C =] , 4], desenhe os graficosdos seguintes produtos cartesianos:

(a) A B (b) B A (c) C B (d) A C

2. Seja R uma relacao de A = {2, 1, 0, 1, 2} em B = {8, 4, 1, 0, 1, 4, 8} expressa pelaformula y = x3, com x A e y B. Faca um diagrama e diga se R e uma funcao de A em B.

3. Considerando que os graficos abaixo representam funcoes, estabeleca o domnio e a ima-

gem de cada uma:

4. Seja a funcao f definida por y = x2 + 3x + 2. Calcule f(1).

5. A funcao f e definida de ZZ em ZZ por f(x) = x2 4.(a) Calcule f(1), f(0), f(5) e f(5).(b) Determine x de modo que se obtenha f(x) = 0.(c) Calcule, se existir, x ZZ, tal que f(x) = 4.


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3.6. SEGUNDA LISTA DE REVIS AO 45

6. Uma pessoa, hoje com 35 anos, nasceu com 50cm de altura e atingiu a estatura atual, de1,84m, aos 20 anos. Qual dos seguintes graficos pode representar a altura dessa pessoa emfuncao de sua idade ?

7. Construa o grafico de cada uma das funcoes:(a) f(x) = 2x

(b) f(x) = 3x

(c) f(x) =1

2x

(d) f(x) = 13

x

(e) y = 2x + 5

(f) y = x 2(g) y = 3x 4

(h) y =4 3x

2

8. Determine a lei de funcao em cada um dos graficos:


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9. Uma funcao e definida de IR em IR por g(x) =

1, se x < 2x + 1, se 2 x 2

3, se x > 2.

Esboce o grafico de g.

10. O grafico da funcao f(x) = ax + b corta o eixo Ox no ponto de abscissa -7 e o eixo Oyno ponto de ordenada 8. Calcule a e b.

11. Identifique o coeficiente angular e o coeficiente linear das seguintes retas:

(a) y = 2x 5 (b) y = x + 12

(c) y =

2x (d) y = (x 1)2 x2

12. Obtenha a equacao da reta que passa pelos pontos (1,3) e (-2,-6).


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13. Uma reta passa pelo ponto (3,5) e seu coeficiente linear e o dobro de seu coeficienteangular. Qual e a equacao dessa reta ?

14. Uma funcao f e definida por f(x) = kx + 3. Sabendo que f(1) + f(2) = 8, determineo valor de f(1).

15. A raiz da funcao y = kx + 3 e 2. Determine k.

16. Resolva as seguintes equacoes de 1o grau:

(a) 22(x+5) = 3x2 (b) 3(x+2)+2 = 5+2(x1)+x (c) 3(x+2) = 2(x7)+x+20

17. De o conjunto solucao da equacao do 1ograu em IR:

x + 1

x 1 +2x 5x 3 = 3.

18. Resolva as equacoes literais na variavel x:

(a) ax + bx + c = 2a + 2b + c (b)x b

a+

x

a + b= 2

19. Dona Clara, de 52 anos, tem dois filhos: um de 23 anos e o outro de 26 anos.(a) Ha quanto tempo a soma das idades dos tres era 65 anos?(b) Daqui a quanto tempo a soma das idades dos tres sera igual a 128 anos?

20. Sao dadas as funcoes f(x) = 3x + 1 e g(x) =4

5x + a. Sabendo que f(1) g(1) = 2

3,

calcule o valor de a.

21. Seja a funcao definida por f(x) = mx + n, com m,n

IR. Se f(2) = 3 e f(

1) =

3,

calcule m e n.

22. Resolva, em IR, as inequacoes:


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(a) 3 x 1 + x(b) x + (x + 1) > 3(1 x)

(c)x + 1

x + 2 >x + 3

x + 4(d) 1 2x + 3 < x + 5

(e) (4 3x)(2x 7) > 0

(f)x + 2

1

x 2

(g)1

x 1 +2

x 2 3

x 3 < 0

23. Qual e o domnio da funcao definida por f(x) =

x + 1

1 2x ?

24. Considere as funcoes f(x) = 2x + 3 , g(x) = 2 3x e h(x) = 4x 12

definidas em IR.

Para que valores de x IR tem-se:(a) f(x) g(x) (b) g(x) < h(x) (c) f(x) h(x)

25. Qual o menor inteiro que satisfaz a desigualdade 3(x + 1) 3 > 2x ?

26. Resolva os sistemas abaixo:

(a)

x 3y = 32x y = 14

(b)

0, 1x + 0, 5y = 0, 353, 1x 2y = 2, 1

(c)x + 2y = 4

2x + 4y = 8

(d)

4x 5y = 3x + 5y = 7

(e) x + 2y z = 22x y + 2z = 63x y z = 4

27. Observe a figura:

As duas retas representam equacoes de 1o grau com duas variaveis. Pode-se afirmar que o


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sistema representado por essas equacoes:(a) nao tem solucao.(b) tem como solucao o conjunto {(2, 0), (2, 0)}(c) tem como solucao o conjunto {(0, 3), (0, 3)}

(d) tem infinitas solucoes.(e) tem uma unica solucao.

28. Calcule m e n de modo que o sistema

2mx + 3y = 54x + 6y = n

seja indeterminado.

29. Resolva os seguintes sistemas de inequacoes:

(a)

3x 5 > 2x 15x + 2 > 3x

(b) 5x 4 < 3x + 83x + 10 < 8 + 5x

(c)

3x 5 > 4xx 3 < 5x


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1.

2.

3.

(a) D = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}, Im = {2, 3, 4, 5}(b) D = {x IR | 2 x 4}, Im = {y IR | 4 y 2}(c) D = {x IR | 2 x 4}, Im = {y IR | 1 y < 6}(d) D = {x IR | 3 x < 5}, Im = {y IR | 1 y < 3}(e) D = [4, 4], Im = [3, 5](f) D = [3, 4[, Im = {3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}

4. 6

5. (a) f(1) = 3, f(0) = 4, f(5) = 21, f(5) = 21 (b) x = 2 (c) x = 0


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6. c

7.

8. (a) y = 3x + 72

(b) y = 2x + 4 (c) y = 23

x + 3 (d) y = 2x 49.

10. a = 8/7 e b = 8

11. (a) a = 2, b =

5 (b) a =

1/2, b = 1/2 (c)

2, b = 0 (d) a =

2, b = 1

12. y = 3x 13. y = x + 2 14. 5 15. 3/2

16. (a) S = {6/7} (b) S = (c) S = IR 17. S = {7/3}18. (a) S = {2}, com a = b (b) S = {a + b}19. (a) Ha 12 anos (b) Daqui a 9 anos

20. 38/15 21. m = 2, n = 1


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22.(a) {x IR | x 2}(b) {x IR | x > 2/5}(c)

{x

IR

| 4 < x 1

}(g) {x IR | x < 1 3/2 < x < 2 x > 3}23. {x IR | 1 x < 1/2}24. (a)x 1/5 (b)x > 1/2 (c)x IR25. 126. (a) x = 9, y = 4 (b) x = 1, y = 1/2 (c) Indeterminado(d) x = 2, y = 1 (e) x = 2,y = 2/3,z = 4/3

27. (a) 28. m=1, n=10

29. (a) {x IR | x > 1} (b) {x IR | 1 < x < 6} (c) Incompatveis


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Modulo 4

Funcao Quadratica, Equacoes e

Inequacoes do Segundo Grau

4.1 OITAVA LISTA DE EXERCICIOS

1. Determine os valores de p para que seja do 2o grau a funcao real f, definida porf(x) = (p2 5p + 4)x2 4x + 5.

2. Determine os valores de m para que o conjunto solucao da equacao x2 + 2mx + (m2 3m + 5) = 0, em IR, seja o conjunto vazio.

3. Determine os zeros reais das funcoes:(a) f(x) = x2 3x + 3(b) f(x) = x2 2x + 2(c) f(x) = x2 + 4x + 4

(d) f(x) = x2 + 3x 4(e) f(x) = 2x2 4x

4. Resolva a equacao x2

4

3x + 12 = 0.

5. Obtenha uma equacao do 2o grau de razes:

(a) 2 e 3 (b) 1/2 e 3/2 (c) 0, 4 e 5

6. Determine os zeros reais das funcoes:

(a) f(x) = x4 5x2 + 4 (b) f(x) = x4 x2 6

53


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54MODULO 4. FUNC AO QUADRATICA, EQUAC OES E INEQUAC OES DO SEGUNDO GRAU

4.2 NONA LISTA DE EXERCICIOS

1. Encontre o vertice de cada uma das parabolas:(a) y = x2 4 (b) y = 2x2 5x + 2

2. Determine m na funcao real f(x) = 3x2 + 2(m 1)x + (m + 1) para que seu valormaximo seja 2.

3. Construa os graficos das seguintes funcoes:

(a) y = 2x2 5x + 2 (b) y = x2 2x + 1 (c) y = x2 x 3

4. Estude o sinal das seguintes funcoes quadraticas:

(a) y = x2 5x + 6 (b) y = x2 + 6x 9 (c) y = 2x2 + 7x 11

5. Resolva as inequacoes:

(a) 2x2 + 3x + 1 < x(1 + 2x) (b) 1 < x2 4 (c) 4x2 + x 5

2x2 3x 2 > 0

6. Determine o domnio das funcoes reais:

(a) f(x) =

2x 1x2 4 (b) f(x) =

2x2 xx2 + 2x

7. Determine m IR para que mx2 + 2x + 3 > 0 para todo x real.

4.3 DECIMA LISTA DE EXERCICIOS

1. Resolva os seguintes sistemas de equacoes:

(a)

x2 + y2 = 34x y = 2

(b)

x2 + y2 = 41x + y = 9

(c)

x + y = 5xy = 6

(d)

x2 + y2 = 5xy = 2


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4.4.1 8a LISTA

1. p = 1 e p = 4 2. m < 5/33. (a) x = 1 ou x = 2 (b) / (c) x = 2 (d) / (e) x = 0 ou x = 24. 2

3 5. (a) x2 + x 6 = 0 (b) 4x2 + 4x 3 = 0 (c) x2 5, 4x + 2 = 0

6. (a) x = 1 ou x = 1 ou x = 2 ou x = 2 (b) x = 3 ou x = 3

4.4.2 9a LISTA

1. (a) (0, 4) (b) (5/4, 9/8)2. 2 ou 13.

4.

(a) y > 0 (x < 2 x > 3); y < 0 2 < x < 3(b) y < 0, x = 3; / x tal que y > 0(c) y < 0, x; / x tal que y > 05.

(a) S = (b) 2 x < 1 1 < x 2(c) S = {x IR | x < 5/4 1/2 < x < 1 x > 2}6. (a) D = {x IR | 2 < x 1/2 x > 2} (b) D = {x IR | x 0 x 3}7. m > 1/3


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4.4.3 10a LISTA

1.

(a) x1 = 5, y1 = 3 x2 = 3, y2 = 5(b) x1 = 4, y1 = 5 x2 = 5, y2 = 4(c) x1 = 2, y1 = 3 x2 = 3, y2 = 2(d) x1 = 1, y1 = 2 x2 = 2, y2 = 1 x3 = 1, y3 = 2 x4 = 2, y4 = 1


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4.5. TERCEIRA LISTA DE REVIS AO 57

4.5 TERCEIRA LISTA DE REVISAO

1. Considere a funcao f(x) = x2 x + 3. Calcule x de modo que f(x)f(1)

= 5.

2. Calcule o valor de m a fim de que uma das razes da equacao 3x2 mx 15 = 0 seja 3.

3. Forme uma equacao de 2o grau cujas razes sejam 1 +

2 e 1 2.

4. Qual o valor de k para que na equacao (k

2)x2

(k + 16)x + 18 = 0 a soma das razes

seja 7 ?

5. Determine os zeros de cada funcao abaixo:

(a) f(x) = x2 4x 5 (b) y = x2 2x + 6 (c) f(x) = 4x2 + 20x + 25

6. Determine o parametro real k, de modo que a funcao f(x) = x2 2x + k tenha:(a) dois zeros reais diferentes; (b) um zero real duplo; (c) nenhum zero real.

7. Calcule a de modo que a soma dos quadrados dos zeros da funcao f(x) = x2 + (a 5)x (a + 4) seja igual a 17.

8. Ache as razes das equacoes: (a) x4 13x2 + 36 = 0 (b) 4x4 17x2 + 4 = 0

9. Esboce os graficos das funcoes a seguir:

(a) f(x) = x2 5x + 6 (b) y = x2 + 2x + 5 (c) f(x) = x2 + 3x

10. Sabe-se que a parabola definida pela funcao y = x2 10x + c tem vertice no eixo dasabscissas. Assim sendo, o valor de c devera ser um numero:

(a) multiplo de 2.(b) multiplo de 3.(c) multiplo de 4.

(d) divisor de 32.(e) divisor de 100.

11. Sabendo-se que o grafico abaixo e uma parabola, a unica funcao que este grafico pode


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representar e:

(a) x(x + 2)

(b) x(x2

+ 2)(c) (x + 2)(x + 1)/2(d) x(x 4)(e) x(x2 4)

12. O lucro mensal L de um posto de gasolina e dado em funcao do numero x de carros quela abastecem por: L = 24000x x2 108000. Qual a quantidade de carros que deve serabastecida durante um determinado mes para que o lucro seja maximo?

13. Na figura abaixo, estao representadas as funcoes y = x e y = x2 9. A regiao A,sombreada na figura, em conjunto com sua fronteira, representa o seguinte subconjunto doplano IR2:

(a) A = {(x, y) IR2 | 3 x 3}(b) A = {(x, y) IR2 | 3 x 3 x2 9 y}


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(c) A = {(x, y) IR2 | 3 x 3 y x}(d) A = {(x, y) IR2 | x y x2 9}(e) A =

{(x, y)

IR2

|x2

9

y

x}

14. Considere a seguinte tabela:

t f(t)0 31 42 7

(i) A unica dentre as expressoes algebricas abaixo que pode representar a funcao f apresen-

tada na tabela e:(a) f(t) = t + 3

(b) f(t) = 2t + 3

(c) f(t) =3

2t +

5

2

(d) f(t) = t2 + 3

(e) f(t) = 2t + 3

(ii) Apresente uma outra funcao F que satisfaca os dados da tabela.

15. Considere a funcao f(x) = x2. Na figura abaixo estao representados na reta numericaos numeros reais

1, , 0, 1, e um determinado valor de x.

Localize o numero real que expressa o valor correspondente de f(x) nesta reta.

16. Resolva as seguintes inequacoes:

(a) 2x2 + x 15 < 0 (b) x2 + 3

3 3x 1

4> 2 (c)

3x2 8x + 4x2 6x + 5 > 0

17. Determinar os valores de k, para que o trinomio (k + 1)x2 2(k 1)x + 3k 3 sejanegativo para qualquer valor de x.


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18. Determine o domnio da funcao dada por:

(a) f(x) =

x2 + 1x2

4x

(b) f(x) =

x 2

x2 + x

6

19. Determine o conjunto solucao da inequacaox2 6x + 5

(x + 1)(x2 7x + 10) 0.


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1. x =

3

x = 4 2. 4 3. x2

2x

1 = 0 4. 5

5. (a) 5 e 1 (b) Nao tem razes reais (c) 5/26. (a) k < 1 (b) k = 1 (c) k > 1

7. 4 8. (a) 2 3 (b) 2 1/29.

10. (e) 11. (a) 12. 12000 13. (e) 14(i). (d)

15.

16. (a) 3 < x < 5/2 (b) x > 3 x < 3/4 (c) x < 2/3 1 < x < 2 x > 517. k < 218. (a) {x IR | x > 3 1 x < 4} (b) {x IR | x > 3 x = 2}19. {x IR | 1 < x 1 2 < x < 5 x > 5}


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Modulo 5

PRIMEIRA PROVA

1. Resolva as expressoes:

(a)

+

3

2

2 2 3

4

+5

2

+1

2

2:7

4+

1

2

2

(b)

(0, 2)3 + 125

12 3

1

3

51

2

2. Simplifique:

(a)

1

t 1 +1

t + 1

1t

1t2

(b)x4 y4

x4

2x2

y2

+ y4

3. Em cada item abaixo, determine se a curva dada e o grafico de uma funcao de x. Se foro caso, obtenha o domnio e a variacao da funcao; caso nao seja funcao, justifique:

63


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64 MODULO 5. PRIMEIRA PROVA

4. Uma fabrica produz oleo de soja sob encomenda, de modo que toda producao e co-mercializada. O custo de producao e composto de duas parcelas. Uma parcela fixa, in-dependentemente do volume produzido, corresponde a gastos com aluguel, manutencao deequipamentos, salarios, etc.; a outra parcela e variavel, depende da quantidade de oleo fa-bricado.

No grafico que segue, a reta r representa o custo de producao e a reta s descreve ofaturamento da empresa, ambos em funcao do numero de litros comercializados. A escalae tal que uma unidade representa 1000 reais no eixo das ordenadas e 1000 l no eixo dasabscissas.

(a) Determine, em reais, o custo correspondente a parcela fixa.(b) Determine o volume mnimo de oleo a ser produzido para que a empresa nao tenhaprejuzo.

5. Determine o domnio da funcao y =

x2 6x

x2 3x + 2


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65

6. Resolva o sistema:

2x + 3y

5= 10 y

3

4y

3x

6 =

3x

4 + 1

7. Uma funcao quadratica tem o eixo dos y como eixo de simetria. A distancia entre os zerosda funcao e de 4 unidades, e a funcao tem -5 como valor mnimo. Encontre a expressao quedefine essa funcao quadratica.

8. Uma fabrica produz p(t) = t2 + 2t pares de sapatos, t horas apos o incio de suas ativi-dades diarias. Se a fabrica comeca a funcionar as 8 horas da manha, determine o numero depares de sapatos que serao produzidos entre 10 e 11 horas.

9. A populacao P (em milhares de habitantes) de uma dada cidade, de 1992 a 2002 estamostrada na tabela. (Sao dadas as estimativas intermediarias)

t 1992 1994 1996 1998 2000 2002P 697 715 734 780 800 816

(a) Esboce um grafico de P como uma funcao do tempo.(b) Use o grafico para estimar a populacao em 1999.


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5.1 RESOLUCAO DA PROVA

1.

(a)

3

2

2 2 3

4

+5

2

+1

2

2:7

4+

1

2

2

=

9

4 2 3

4

+5

2

+

1

4

:5

4

2

=

9

430

8

+

1

4

:

25

16

=9

4+ 30

8+ 1

4

: 25

16

=

18

8+

30

8+

2

8

:

25

16

=50

8 16

25= 2 2 = 4

(b)(0, 2)3 + 1251

2

31

3

51

2

=

2

10

3+

1

25

12

3 13 5 12

=

2

3

103

+

1

25

12

313 512

= 2323 53

+ 152 12 3 13 5 12

= 1

53+

1

52

12 3 13 5 12

=1 + 5

53

12 3 13 5 12


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5.1. RESOLUC AO DA PROVA 67

= 4

53

1

2

31

3

51

2

(Sugestao1

53= 53)

= 2 5 32 3 13 5 12 = 2 51 3 13

=2 3 13

5=

2 3

3

5

2.

(a)

1

t 1 +1

t + 11

t 1

t2

=

t + 1 + t 1t2 1t 1

t2

=2t

t2 1 t2

t 1

=2t

(t 1)(t + 1) t2

t 1 =2t3

(t 1)2(t + 1)

(b)x4 y4

x4

2x2

y2

+ y4

=(x2 + y2)(x2 y2)

(x2

y2

)2

=x2 + y2

x2

y2

3.(a) Sim, o grafico e de uma funcao de x.D(f) = {x IR | 3 x 2}Imf = {y IR | 2 y 3}(b) Nao, o grafico nao e de uma funcao de x, pois cada x (4, 4) esta associado a doiselementos do conjunto de chegada.(c) Nao, o grafico nao e de uma funcao de x, pois existem infinitos elementos do conjuntode chegada associados a x = 1 .(d) Sim, o grafico e de uma funcao de x.

D(f) = {x IR | 3 x < 4}Imf = {y IR | 2 y 3}

4.reta r custo de producao (y1 = a1x + b1)reta s faturamento da empresa (y2 = a2x)(a) y1(0) = b1 = R$10.000, 00


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(b) y1 = y2 a1x + b1 = a2x x = b1a2 a1

x =10

9

5 3

5

=106

5

=50

6V m = 8, 33 103la2 =

90

50=

9

5a1 =

40 1050

=3

5

5.

y =

x2 6x

x2 3x + 2x2 3x + 2 = 0 x = 3

982

=

21

x2

6x = 0 x(x 6) = 0 x = 0, x = 6

0 1 2 6x2 6x + 0 0 +

x2 3x + 2 + + + 0 0 + + +f(x) + 0 / + / 0 +

Df = {x IR | x 0, x 6, 1 < x < 2}

6.2x + 3y

5= 10 y

3

4y 3x6

=3x

4+ 1

6x + 9y = 150 5y8y 6x = 9x + 12

6x + 14y = 1508y 15x = 12 y =

150 6x14

8 150 6x14

15x = 12 600 24x 105x = 84 129x = 516 x = 4

y =

150

24

14 =

126

14 = 9 S = {(4, 9)}

7. V =

b

2a,

4a

= (0, 5), uma vez que a funcao tem o eixo y como eixo de simetria.

Da, b = 0 e 4a

= 5 c = 5. Alem disso, x1 = 2 e x2 = 2, pois a distancia entre oszeros e de 4 unidades e existe a simetria em relacao ao eixo y. Mas,

x1 x2 = ca

(2) 2 = 5a

a = 54

.


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5.1. RESOLUC AO DA PROVA 69

Logo, f(x) = ax2 + bx + c =5

4x2 5

8.p(t) = t2 + 2t

p = p(3) p(2) = 32 + 2 3 (22 + 2 2)= 9 + 6 4 4 = 15 8 = 7

9. (a)

(b)y y1y2 y1 =

x x1x2 x1

P1 = (1998, 780)

P2 = (2000, 800)

y 78020

=x 2000

2 y = 10x

20000 + 780

y = 10x 19220P(t) = 10t 19220P(1999) = 19990 19220 = 770


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5.2 PONTUACAO DA PROVA

1a

Q : 1.0 p (0.5 p cada item)2aQ : 1.0 p (0.5 p cada item)3aQ : 1.0 p (itens (a) e (d) 0.3 p cada, sendo 0.15 p referente ao domnio e 0.15 p referentea imagem; itens (b) e (c) 0.2 p cada com justificativa correta)4aQ : 1.5 p (item (a) 0.5 p e item (b) 1.0 p)5aQ : 1.0 p6aQ : 1.0 p7aQ : 1.0 p8aQ : 1.0 p (erro de conta -0.5 p)9aQ : 1.5 p (0.5 p cada item)

OBS: Em caso de erro de conta em uma dada questao diferente da oitava, retire 0.2 p.


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Modulo 6

Numeros Complexos e Polinomios

6.1 DECIMA PRIMEIRA LISTA DE EXERCICIOS

1. Resolva as seguintes equacoes em IC:(a) x2 4x + 5 = 0 (b) x2 2x + 4 = 0

2. Determine o numero para que z = (2 4) + ( 2)i seja imaginario puro.

3. Efetue:

(a) (2i)2

(b) (

5i)2

(c) (2 + 4i)(3 + 2i)

(d) 2 + 7i + 2i(5 3i)(e) (2i 3)(4 + i) 3i(2 + i)

(f) 52 + i2

(g) (2 + 3i)(2 3i)(h) 2 + (3 i) + (1 + 2i) + i(i) 1 (2 + i) + (5 i) (3 7i)(j) (2 + i)2 i(2 + i)(2 i)

4. Determine x IR de modo que z = (2x + i)(1 xi) seja um numero real.

5. Determine z IC tal que :(a) z2 = 16 (b) z2 = 2i

6. Sejam os numeros complexos z1 = (2x +1) + yi e z2 = y + 2i. Determine x e y de modoque z1 + z2 = 0.

7. Efetue:

71


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72 MODULO 6. NUMEROS COMPLEXOS E POLINOMIOS

(a) 1 + 2i i(1 + i) (b) 7 4i 7 + 4i (c) 3i + 4(2 i) (3 2i)

8. Dados z1 = 4 + 3i e z2 =

3

i, determine:

(a) z1 + z2 (b) z1 + z2 (c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).

9. Sejam os numeros complexos z1 = 1 + 2i e z2 = 3 + i, determine:(a) z1 z2 (b) z1 z2 (c) Compare os resultados obtidos em (a) e (b).

10. Determine z IC de modo que (z)2 = 2i.

11. Efetue:

(a) 3 2i4 i (b)

5 + 3i3 + i (c)

3 + 4i2i (d)

4 + 3ii

12. Obtenha o conjugado de z =2 + i

7 3i .

13. Determine a IR de modo que z = 1 + 2i2 + ai

seja real.

14. Determine x

IR de modo que z =

2 + xi

1 xiseja imaginario puro.

15. Efetue:

(a) i108

(b) i63

(c) i462

(d) i73

(e) i17 i(f) i31

(g) i78

(h)1 + i9

3 + i27(i)

i45 + i37

i78

16. No plano de Gauss, as imagens de z1, z2, z3 sao, respectivamente, (3, 2), (4, 1) e (3, 0).(a) Escreva z1, z2, z3 na forma algebrica.

(b) Qual e a imagem do complexo z1 2z2?

17. Calcule os modulos dos seguintes numeros complexos:

(a) 1 + i(b)

3 i

(c) 2i(d) (3 + 4i) (2 i) + 4

(e) i(3 + 4i)

(f)2 3i1 i

(g) i62 + i123


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6.2. DECIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS 73

6.2 DECIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCICIOS

1. Discuta, em funcao de m, o grau g do polinomio p(x) = (m2

4)x2

+ (m 2)x 3.

2. Seja o polinomio p(x) = x4 3x2 5. Calcule o valor de p(2) 17p(3).

3. Determine a, b e c de modo que o polinomio p(x) = (a b + 1)x2 + (b 2c)x + (2c 1)seja identicamente nulo.

4. Determine m, n e p que verificam

(m n)x2

+ (3m + 2n)x + (2n p) 5x 1.

5. Sejam os polinomios f(x) = x3 + 2, g(x) = 2x3 + 4x2 3x 5 e h(x) = 12

x2 1. Deter-mine:(a) f(x) + g(x) (b) g(x) h(x) (c) f(x) h(x)

6. Sejam os polinomios f(x) = 2x 3, g(x) = 4 x e h(x) = x2 x + 1. Determine opolinomio p(x) = f(x) g(x) + h(x).

7. Sejam os polinomios p1(x) = x3 + ax2 + bx + c e p2(x) = bx

2 + 4x 3. Determine a, b e cde modo que p1(x) 2p2(x) = x3 + x2 + x + 1.

8. Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisao de f(x) por g(x) em cada caso:

(a) f(x) = 2x2 5x + 3 e g(x) = 2x 1;(b) f(x) = x3 4x2 + 3 e g(x) = x2 2x;(c) f(x) = x4 1 e g(x) = x2 + 1.

9. Determine a e b de modo que o resto da divisao de x3

5x2

+ ax + b por x2

+ 3x sejaigual a 12x 7.

10. Determine k de modo que o polinomio x3 2x + k seja divisvel por x 1.

11. Aplicando o Teorema do resto, determine o resto da divisao de f(x) por g(x) em cadacaso:(a) f(x) = x4 3x2 + 5x 1 e g(x) = x + 2;


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(b) f(x) = x3 + x2 + x + 1 e g(x) = x 3;(c) f(x) = x50 + x25 + 1 e g(x) = x + 1.

12. Encontre m para que o resto da divisao de f(x) = 2x3 mx2 x + 5 por g(x) = x + 3seja igual a 3.

13. Calcule o quociente e o resto da divisao de f(x) por g(x) em cada caso, utilizando odispositivo de Briott-Ruffini:(a) f(x) = 3x3 4x2 x + 1 e g(x) = x 2;(b) f(x) = x5 3x3 + x2 1 e g(x) = x + 1;(c) f(x) = x6 1 e g(x) = x 1.

14. Determine o valor de m para que o resto da divisao de 2x3 5x2 + 3x m por x 12

seja igual a3

2.

6.3 DECIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS

1. Fatore o polinomio p(x) = x3 7x2 + 17x 15, sabendo que suas razes sao 3, 2 + i e 2 i.

2. Considere em IC, a equacao x2 4x + 13 = 0.(a) Encontre suas razes. (b) Fatore x2 4x + 13.

3. Escreva uma equacao de 3o grau cujas razes sao 1, 1 e 2.

4. Considere a equacao x3 + 6x2 + 13x + m = 0.

(a) Determine m, sabendo que 2 e uma de suas razes.(b) Determine as demais razes dessa equacao.

5. A respeito da equacao (x 2)5(x 1)2(x + 3)4 = 0, determine:(a) suas razes e as respectivas multiplicidades;(b) seu grau;(c) seu conjunto solucao.


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6.3. DECIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCICIOS 75

6. Escreva uma equacao polinomial cujas razes sao i, i e 2, com multiplicidade 2, 2 e 1,respectivamente.

7. Resolva, em IC, a equacao x4 8x3 + 18x2 16x + 5 = 0, sabendo que 1 e raiz tripla dessaequacao.

8. Escreva uma equacao polinomial de coeficientes reais, com grau mnimo, de modo que 2,3 e 2 i sejam razes simples.

9. Resolva a equacao x4 5x2 10x 6 = 0, sabendo que duas razes sao 1 e 3.

10. Sejam r1 e r2 as razes da equacao 3x2 x + 5 = 0. Calcule:

(a) r1 + r2 (b) r1r2 (c)1

r1 +1

r2 (d) r21 + r22

11. Resolva a equacao x3 + 5x2 2x 24 = 0, sabendo que uma das razes e o quadruplo dasoma das outras duas.

12. Pesquise as razes racionais da equacao 2x4 9x3 + 4x2 + 21x 18 = 0.

13. Pesquise as razes inteiras da equacao x3 + 2x2 x 2 = 0.


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6.4.1 11a LISTA

1. (a) S = {2 i, 2 + i} (b) S = {1 3i, 1 + 3i} 2. = 23. (a) 4 (b) 5 (c) 2 + 16i (d) 4 + 17i (e) 11 i (f) 21/4 + 5i (g) 13(h) 4 + 2i (i) 3 + 5i (j) 3 i4. 2/25. (a) 4i (b) 1 + i ou 1 i 6. x = 3/2, y = 27. (a) 2 i (b) 8i (c) 11 3i8. (a) 1

2i (b) 1

2i (c) z

1+ z

2= z

1+ z

29. (a) 5 5i (b) 5 5i (c) z1 z2 = z1 z210. 1 + i ou 1 i11. (a) 14/17 (5/17)i (b) 9/5 (2/5)i (c) 2 + (3/2)i (d) 3 + 4i12. 11/58 (13/58)i 13. 4 14. 215. (a) 1 (b) i (c) 1 (d) i (e) 0 (f ) i (g) 1 (h) (2 i)/5 (i) 2i16. (a) z1 = 3 + 2i, z2 = 4 i e z3 = 3 (b) (5, 4)17. (a)

2 (b) 2 (c) 2 (d) 5

2 (e) 5 (f)

26/2 (g)

2

6.4.2 12a LISTA

1. m = 2 m = 2 g = 2, m = 2 g = 1, m = 2 g = 02. 8 3. a = 0, b = 1, c = 1/2 4. m = 1, n = 1, p = 35. (a) 3x3 + 4x2 3x 3 (b) 2x3 + 7

2x2 3x 4 (c) 1

2x5 x3 + x2 2

6. x2 6x + 13 7. a = 19, b = 9, c = 58. (a) q(x) = x 2 e r(x) = 1 (b) q(x) = x 6 e r(x) = 12x + 3(c) q(x) = x2 1 e r(x) = 09. a = 12, b = 7 10. 111. (a) 7 (b) 43 + 4 (c) 1 12. 49/913. (a) q(x) = 3x2 + 2x + 3 e r = 7 (b) q(x) = x4 x3 2x2 + 3x 3 e r = 2(c) q(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 e r = 0

14. 1


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6.4.3 13a LISTA

1. (x

3)

(x2

4x + 5)

2. (a) S = {2 + 3i, 2 3i} (b) (x 2 3i) (x 2 + 3i)3. k(x3 2x2 x + 2) = 0, com k = 04. (a) 10 (b) 2 + i e 2 i

5. (a)

razes multiplicidades2 51 2

3 4(b) 11 (c) S = {2, 1, 3}

6. k(x5 2x4 + 2x3 4x2 + x 2) = 0, com k = 07. S =

{1, 5

}8. x4 9x3 + 31x2 49x + 30 = 09. S = {1, 3, 1 + i, n 1 i}10. (a) 1/3 (b) 5/3 (c) 1/5 (d) 29/911. S = {4, 3, 2}12. Sao razes 1, 2, 3 e 3/2.13. Sao razes 1, 1 e 2.


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6.5 QUARTA LISTA DE REVISAO

1. Obtenha x e y para que o numero complexo z = (x + 6) (y2 16)i seja:

(a) um numero real (b) um numero imaginario puro

2. Considere as seguintes afirmativas:

I. O produto de dois numeros irracionais e um numero irracional.II. A soma de um numero racional com um numero irracional e um numero irracional.III. Se um numero natural a e divisor do produto de dois outros naturais b e c entao a edivisor de b ou de c.IV. O produto de um numero complexo pelo seu conjugado e um numero real.Pode-se afirmar que :(a) todas as afirmativas sao falsas;(b) todas as afirmativas sao verdadeiras;(c) apenas a afirmativa IV e verdadeira;(d) apenas as afirmativas I e III sao falsas;(e) apenas a afirmativa I e falsa.

3. Se a soma de dois numeros complexos e 1 e o seu produto tambem e 1. Qual e a somados quadrados dos dois numeros?

4. Determine x IR de modo que z = (x + 2i)(1 + i) seja imaginario puro.

5. Determine a e b em z1 = (a2 16) + 3i e z2 = 4 + (b 1)i de modo que z1 z2 = 0.

6. Dados os numeros complexos z1 =1

2+ 3i e z2 = 2 5i, calcule:

(a) 2z1 + z2 (b) z2 z1 (c) z1 z2 (d) z22

7. Obtenha o numero complexo z, tal que

z

1 i +z + 2

1 + i =

3

2 +

7

2i.

8. Efetue:

(a) (2 + 3i) + (4 + i) + (3 2i)(b) (1 i) + 3 + (2 + i)(c) (1 + i) (1 i)(d) 4i (1 3i) (2 + i)

(e) (4 + i)(3 2i) + (2 + i)(f) (2 + 3i) (1 + i)(2 i)(g) (2 3i)2

(h)

1 + 2i2

3(i) (4 + i)(3 i)(j)

2 + i

i(k) |8 6i|(l) |3 i|


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6.5. QUARTA LISTA DE REVIS AO 79

9. Qual e o inverso de z = 1 2i ?

10. Qual e o numero complexo que satisfaz a igualdadez

2 z

4= 1

6+

2

3i ?

11. Coloque na forma a + bi a expressao1 i1 + i

+i

i 2.

12. Determine o conjugado do numero complexo z =4 8i1 + 2i

.

13. Ache o modulo dos numeros complexos:

(a) (3 i)(2 + i) (b) 1 + 4ii

(c)(4 3i)(12 5i)

2i

14. Considere os polinomios A(x) = x2 x + 1; B(x) = 2x2 + 3 e C(x) = x3 x + 2.Represente sob a forma de polinomio reduzido e de o grau de:

(a) A 2B + C (b) (A B)2 3(C+ B)

15. Dado o polinomio P(x) = 2x3 x2 + x + 3, calcule P(2) 2P(1)P

1

2

.

16. Sendo P(x) = x2 2x + 1, calcule:(a) P(i) (b) P(1 + i) (c) P(2 i)

17. Determine o polinomio de 2o grau p(x) tal que p(0) = 3, p(1) = 7 e p(2) = 9.

18. Determine a, b e c de modo que

(a 1)x3 + (a b)x2 + (2b c)x 4x3 x2 + 5x.

19. Dados: A(x) = (m + 1)x2 + (n 1)x + l e B(x) = mx2 + nx 3l.Calcule m, n e l, para que A(x) + B(x) 0.


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20. Se p(x) e um polinomio de grau 5, qual e o grau de [p(x)]3 + [p(x)]2 + 2p(x)?

21. Um polinomio P(x) e tal que P(x) + x P(2 x) x2

+ 3. Calcule o valor de P(2).

22. Sejam os polinomios p1(x) = 2x2 + ax + b e p2(x) = cx

2 + (b 1)x 3. Determine a, b ec de modo que p1(x)+p2(x) seja o polinomio nulo.

23. Sejam dois polinomios, f(x) e g(x), tais que f(x) = ax2 + (b 1)x + 3 e g(x) =bx2 + (a + 2)x 1. Determine a e b de modo que f(x) + g(x) seja um polinomio indepen-dente de x.

24. Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisao de f(x) por g(x) em cada caso:

(a) f(x) = 6x3 x2 2x + 4 e g(x) = 3x 2;(b) f(x) = 5x4 + 3x3 2x2 + 4x 1 e g(x) = x2 4;(c) f(x) = x4 + x3 5x2 + x 6 e g(x) = x2 + x 6.

25. Sendo f(x) = x4 + px3 + q e g(x) = x3 + 2x2, determine p e q de modo que o restoda divisao de f(x) por g(x) seja igual a x2+3. Determine tambem o quociente dessa divisao.

26. Encontre a para que a divisao do polinomio x2 + ax 5 por x 3 seja exata.

27. Aplicando o teorema do resto, determine o resto da divisao de f(x) por g(x), em cadacaso:

(a) f(x) = 3x3 4x + 2 e g(x) = x 12

;

(b) f(x) = 4x3 + 5x2 6x 1 e g(x) = x 2;(c) f(x) = 3x2 + 4ix + 3i e g(x) = x 1.

28. Determine m de modo que f(x) = x4 + 3x3 x2 + mx 1 seja divisvel por g(x) = x 2.

29. Um polinomio p(x), dividido por x 1, da resto 2 e, dividido por x + 1, da resto 3. Quale o resto da divisao de p(x) por (x 1)(x + 1) ?


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6.5. QUARTA LISTA DE REVIS AO 81

30. Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto da divisao def(x) = x4 21x2 10x 1 por g(x) = x 5.

31. O polinomio f(x) = x3 + px + q, quando dividido por g(x) = x 2, deixa resto 10.Sabendo que o quociente desta divisao e x2 + 2x + 5, obtenha p e q.

32. Determine o valor de m para que a divisao de f(x) = 2x4 x3 + 5x + m por g(x) = x + 1seja exata.

33. Escreva uma equacao de 4o grau cujas razes sao 0, 2, 3i e 3i.

34. Resolva em IC a equacao x46x3 +9x2 + 6x10 = 0, sabendo que duas razes sao 1 e 1.

35. Escreva uma equacao polinomial cujas razes sao 3 2i, 3 + 2i e 1, cada uma commultiplicidade 1.

36. Escreva uma equacao de coeficientes reais, com grau mnimo, de modo que i

2 e i

3sejam razes simples.

37. Em relacao a equacao x3 3x2 + 2x + 1 = 0, calcule:(a)

1

r1+

1

r2+

1

r3(b)

1

r1r2+

1

r1r3+

1

r2r3(c) r21 + r

22 + r

23

(Sugestao: utilize a identidade (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc))

38. Resolva a equacao 3x3 + 5x2 + 4x 2 = 0.


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1. (a)

x

IR e y =

4 (b)

y

IR e x =

6

2. d 3. 14. 2 5. a = 25, b = 46. (a) 3 + i (b) 3/2 8i (c) 16 + (7/2)i (d) 21 20i7. z = 1/2 + (9/2)i

8.(a) 3 + 2i(b) 4(c) 2i

(d) 1 + 6i(e) 8 + 12i(f) 1 + 2i

(g) 5 12i(h) 5/8 + (

2/8)i

(i) 13 + i

(j) 1 2i(k) 10(l) 2

9. 1/5 + (2/5)i 10. 2/3 + (8/9)i11. 1/5 (7/5)i 12. 12/5 + (16/5)i13. (a) 5

2 (b)

17 (c) 65

2/2

14. (a) x3 + 5x2 2x 3, grau 3 (b) 9x4 7x2 + 12x, grau 415. 38/7 16. (a) 2i (b) 1 (c) 2i17. 73x

2 + 53x + 3

18. a = 5, b = 6, c = 7

19. m = 1/2, n = 1/2, l = 020. 15 21. 5

22. a =

2, b = 3, c =

2 23. a = 1/2, b =

1/2

24. (a) q(x) = 2x2 + x e r(x) = 4 (b) q(x) = 5x2 + 3x + 18 e r(x) = 16x + 71(c) q(x) = x2 + 1 e r(x) = 0

25. p = 3, q = 3; q(x) = x + 1

26. 4/3 27. (a) 3/8 (b) 25 (c) 3 + 7i28. 35/2 29. 1

2x + 5

2

30. q(x) = x3 + 5x2 + 4x + 10 e r = 49

31. p = 1, q = 0 32. 2

33. k(x4 2x3 + 9x2 18x) = 0, com k = 034. S =

{3 + i, 3

i,

1, 1

}35. k(x3 7x2 + 19x 13) = 0, com = 036. x4 + 5x2 + 6 = 0

37. (a) 2 (b) 3 (c) 538. S = {13 , 1 + i, 1 i}


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Modulo 7

Propriedades de Funcoes e Funcao

Modular

7.1 DECIMA QUARTA LISTA DE EXERCICIOS

1. Sejam as funcoes reais f e g, definidas por f(x) = x2 x 2 e g(x) = 1 2x. Pede-se:(a) obter as leis que definem f g e g f;

(b) calcular (f g)(2) e (g f)(2);(c) determinar os valores do domnio da funcao f g que produzem imagem 10;

2. Sejam f(x) =

x 1 e g(x) = 2x25x+3. Determine os domnios das funcoes fg e gf.

3. Sejam as funcoes f(x) =x + 1

x 2 definida para todo x real e x = 2 e g(x) = 2x + 3 definidapara todo x real. Pedem-se:

(a) o domnio e a lei que define f g;(b) o domnio e a lei que define g f;

4. Sejam as funcoes reais f(x) = 2x + 1, g(x) = x2 1 e h(x) = 3x + 2. Obtenha a lei quedefine (h g) f.

5. Sejam as funcoes g(x) = 2x 3 e (f g)(x) = 2x2 4x + 1. Determine a lei da funcao f.

83


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84 MODULO 7. PROPRIEDADES DE FUNC OES E FUNC AO MODULAR

6. Sejam f e g as funcoes reais definidas por

f(x) = x2

4x + 3 se x

2

2x 3se x < 2 e g(x) = 2x + 3.

Obtenha as leis que definem (f g) e (g f).

7. Indique qual das funcoes abaixo e injetora, sobrejetora ou bijetora:

8. Para as funcoes em IR abaixo representadas, qual e injetora? E sobrejetora? E bijetora?


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7.1. DECIMA QUARTA LISTA DE EXERCICIOS 85

9. Nas funcoes que seguem classifique em:

(i) injetora. (ii) sobrejetora. (iii) bijetora. (iv) nao e sobrejetora nem injetora.(a) f : IR IR tal que f(x) = 2x + 1(b) g : IR

IR tal que g(x) = 1

x2

(c) h : IR IR+ tal que h(x) = |x 1|(d) p : IR IR tal que p(x) = 1

x(e) q : IR IR tal que q(x) = x3

10. Nas funcoes reais que seguem classifique em:

(i) injetora. (ii) sobrejetora. (iii) bijetora. (iv) nao e sobrejetora nem injetora.

(a)

x 1 se x 10 se 1 < x < 1x + 1 se x 1

(b)

3x 2 se x 2x 2 se x < 2 (c)

4 x2 se x 1x2 6x + 8 se x > 1

11. Nas funcoes abaixo de IR em IR, obtenha a lei de corresponencia que define a funcaoinversa:

(a) f(x) = 2x + 3 (b) g(x) = x3 + 2 (c) h(x) = 3

1 x3

12. Seja a funcao de IR em IR+, definida por f(x) = x2. Qual e a funcao inversa de f?

13. Obtenha a funcao inversa de f : A IR+, onde A = {x IR|x 1} e f(x) = (x 1)2.

14. Seja a funcao bijetora f, de IR 2 em IR 1, definida por f(x) = x + 1x 2. Qual e a funcao

inversa de f?

15. Seja a funcao f, de IR {2} em IR {4}, definida por f(x) = 4x 3x + 2

. Qual e o valor

do domnio de f1 com imagem 5?


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16. Represente f e f1 em um mesmo grafico, sendo f a funcao real definida por:

(a) f(x) = 2x + 3 (b) f(x) = x3

+ 2

17. Estude, segundo os valores do parametro m, a variacao (crescente, decrescente ou cons-tante) da funcao y = (m 1)x + 2.

18. Sobre a funcao f, de [a, b] em IR, cujo grafico se ve abaixo, e verdade que:

(a) f tem apenas duas razes reais;

(b) f e crescente no intervalo [0, b];

(c) f(e) > f(d);

(d) f(x) 0 para todo x no intervalo [d, e];(e) f(x) > 0 para todo x no intervalo [a, 0].

7.2 DECIMA QUINTA LISTA DE EXERCICIOS

1. Construa os graficos das seguintes funcoes reais:


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7.2. DECIMA QUINTA LISTA DE EXERCICIOS 87

(a) f(x) = |3 2x|(b) f(x) = |x2 5x + 6|

(c) f(x) = |9 x2

|(d) f(x) = |2x 1| 3(e) f(x) = |x2 4| + 2(f) f(x) = |x| x

(g) f(x) = |x 2| + 2x + 1(h) f(x) = x2 4|x| + 2(i) f(x) =

|2x

1

|+

|x + 1

|(j) f(x) = ||2x + 3| 4|(k) f(x) = ||x2 1| 2|

(l) f(x) =

x|x| se x = 00 se x = 0

2. Resolva as seguintes equacoes em IR:

(a) |3x 1| = 2(b)

|x2

3x

1

|= 3

(c) |3x + 2| = |x 1|(d) |x2 + x 5| = |4x 1|

(e) |2x 5| = x 1

(f) |2x2

+ 15x 3| = x2

+ 2x 3(g) |x 2| x|x + 1| = 2

3. Resolva em IR as inequacoes que seguem:

(a) |4 3x| 5(b) 1 < |x 1| 3(c) |x2 5x + 5| < 1(d)

2x 33x 1 > 2(e) ||x| 2| > 1

(f) |2x + 1| + 4 3x > 0(g) |x2 4x| 3x + 6 0(h) |3x + 2| |2x 1| > x + 1(i) |x + 3| |1 x|

(j) |x| + 3|x| 1 2

4. Determine o domnio das funcoes:

(a) f(x) =1

|x 2| 3 (b) f(x) =

|x| 5


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7.3.1 14a LISTA

1.(a) (fg)(x) = 4x22x2 e (gf)(x) = 5+2x2x2 (b) (fg)(2) = 18, (gf)(2) =7 (c) x = 2 ou x = 3/22. D(f g) = {x IR|x 1/2 x 2}; D(g f) = {x IR|x 1}3. (a) D(f g) = IR {1/2} ; D(g f) = 2x + 4

2x + 1(b) D(g f) = IR {2} ;

(g f)(x) = 5x 4x 2

4. [(h g) f](x)= 12x2 + 12x + 2 5. f(x) = x2 + 2x 1

2

6. (f g)(x) = 4x2 + 4x se x 124x + 3 se x < 12 e (g f)(x) = 2x2

8x + 9 se x 24x 3 sex < 27. (a) injetora (b) sobrejetora (c) bijetora (d) nao e injetora nem sobrejetora

8. (a) injetora (b) bijetora (c) sobrejetora (d) nao e injetora nem sobrejetora

9. (a) iii (b) iv (c) ii (d) iii (e) iii

10. (a) ii (b) i (c) ii

11. (a) f1(x) =x 3

2(b) g1(x) = 3

x 2 (c) h1(x) = 31 x3

12. E a funcao de IR em IR definida por f1(x) = x.

13. f1

: x IR+ 1 x A14. E a funcao de IR {1} em IR {2}, definida por f1(x) = 2x + 1

x 1 .15. 17/7

16.

17. Se m > 1, y e crescente. Se m < 1, y e decrescente. Se m = 1, y e constante.


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18. (d)

7.3.2 15a LISTA

1.


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2.(a) S = {1, 1/3}(b) S = {1, 1, 2, 4}(c) S = {3/2, 1/4}

(d) S = {6, 1, 1, 4}(e) S = {4, 2}

(f) S = {13, 6}(g) S = {0}


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3.(a) S = {x IR | 1/3 x 3}(b) S = {x IR | 2 x < 0 2 < x 4}(c) S = {x IR | 1 < x < 2 3 < x < 4}(d) S = {x IR | 1/4 < x < 5/8 x = 1/3}(e) S = {x IR | x < 3 1 < x < 1 x > 3}(f) S = {x IR | x < 5}(g) S = {x IR | 3 x 6}(h) S = {x IR | x < 2 x > 0}(i) S = {x IR | x 1}(j) S = {x IR | x 5 1 < x < 1 x 5}4. (a) D =

{x

IR

|x

=

1

x

= 5

}(b) D =

{x

IR

|x

5

x

5

}


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7.4 QUINTA LISTA DE REVISAO

1. Sejam as funcoes reais f e g, definidas f(x) = x2 4x + 1 e g(x) = x2 1. Obtenha asleis que definem f g e g f.

2. Nas funcoes reais f e g, definidas por f(x) = x2 + 2 e g(x) = x 3, obtenha as leis quedefinem:

(a) f g (b) g f (c) f f (d) g g

3. Considere a funcao em IR definida por f(x) = x3 3x2 + 2x 1. Qual e a lei que definef(

x), f(1/x) e f(x

1)?

4. Dadas as funcoes reais definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determine o valor dea de modo que se tenha f g = g f.

5. Sejam as funcoes reais f(x) = 1 x, g(x) = x2 x + 2 e h(x) = 2x + 3. Obtenha a leique define h (g f).

6. Sejam as funcoes reais f(x) = 2x+7 e (f

g)(x) = x2

2x+3. Determinar a lei da funcao g.

7. Sejam as funcoes reais g(x) = 2x+3 definida para todo x real e x = 2 e (fg)(x) = 2x + 5x + 1

definida para todo x real e x = 1. Determine a lei da funcao f.

8. Sejam as funcoes reais f e g definidas por

f(x) = x2 + 2 se x 1

1x 2 se 1 < x < 14 x2 se x 1

e g(x) = 2 3x.

Obtenha as leis que definem f g e g f.

9. Nas funcoes seguintes, classifique em:

(i) injetora (ii) sobrejetora (iii) bijetora (iv) nao e sobrejetora nem injetora


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7.4. QUINTA LISTA DE REVIS AO 93

(a) f : IR IR tal que f(x) = |x| (x 1);

(b) g : IN IN tal que g(x) = 3x + 2;

(c) h : IR ZZ tal que h(x) = [x].

(d) f : IR IR, f(x) =

x2 , x 0x , x < 0

(e) g : IN IN, g(x) =x , x par

x + 1

2, x mpar

(f) h : IR IQ, h(x) =

2x , x IQ[x] , x (IR IQ)

Observacao: A funcao h, conhecida como funcao maximo inteiro ou funcao parte inteirade x, e definida como h(x) = [x] = n, tal que n x < n + 1.

10. Determine o valor de b em B = {y IR | y b} de modo que a funcao f de IR em Bdefinida por f(x) = x2

4x + 6 seja sobrejetora.

11. Nas funcoes abaixo de IR em IR, obtenha a lei de correspondencia que define a funcaoinversa:

(a) f(x) =4x 1

3(b) f(x) = (x 1)3 + 2 (c) f(x) = 3x + 2

12. Obtenha a funcao inversa da funcao f : IR+ B, onde B = {y IR | y 4} ef(x) = 4 x2.

13. Sejam os conjuntos A = {x IR | x 1} e B = {y IR | y 2} e a funcao f de A emB definida por f(x) = x2 2x + 3. Obtenha a funcao inversa de f.

14. Seja f : IR IR definida por f(x) = x 12

.

(a) Obtenha f1 (b) Represente f e f1 no mesmo grafico.

15. Seja f uma aplicacao de A =

{1, 2, 3, 4

}em B =

{2, 4, 7, 9

}definida por:

f(1) = 4, f(2) = 2, f(3) = 7 e f(4) = 9.Pergunta-se: (a) existe f1 ? (b) como se define f1 ?

16. Seja f uma aplicacao de IR em IR definida por f(x) = |x + 1| + |x 3|. Pede-se:(a) construir o grafico de f;(b) dizer se f e invertvel.


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17. Esboce os graficos das funcoes inversas de f em cada caso:

18. Resolva as seguintes equacoes em IR:

(a) f(x) = |x + 2| = 3(b) f(x) = |x2 4x + 5| = 2(c) f(x) = |4x 1| |2x + 3| = 0(d) f(x) = |x2 2x 2| = |x2 x 1|

(e) f(x) = |3x + 2| = 2x 3(f) f(x) = |3x 2| = 3x 2(g) f(x) = 2x|1 x| |x2 4| + x 10 = 0

19. Construa os graficos das seguintes funcoes reais:

(a) f(x) = |2x 1|(b) f(x) =

|x2 + 4x

|(c) f(x) = |3x 4| + 1(d) f(x) = |x2 1| 2(e) f(x) = |x + 1| x + 3

(f) f(x) = |x2 2|x| 3|(g) f(x) =

||2x

2

| 4

|(h) f(x) = |x + 1| |x 1|(i) f(x) = ||x| 2|(j) f(x) = ||x + 2| |x 2||


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20. Resolva em IR as inequacoes que seguem:

(a) f(x) = |2x + 4| < 3(b) f(x) =

|4x

7|

1

(c) f(x) =2x 33x 1 > 2

(d) f(x) = |x2 6x + 5| + 1 < x(e) f(x) = |x 1| 3x + 7 0

(f) f(x) = |x2 x 4| > 2(g) f(x) =

|x + 2

|+

|2x

2

|> x + 8

(h) f(x) = 3|x + 1| |x 1| 2x2 4x(i) f(x) = |x| + |2x 6| |x + 6|(j) f(x) =x 1x + 1 > 2


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1. (f

g)(x) = x4

6x2 + 6, (g

f)(x) = x4

8x3 + 18x2

8x

2. (a) (f g)(x) = x2 6x + 11 (b) (g f)(x) = x2 1(c) (f f)(x) = x4 + 4x3 + 6 (d) (g g)(x) = x 63. f(x) = x3 3x2 2x 1, f(1/x) = 1

x3 3

x2+ 2

x 1, f(x 1) = x3 6x2 + 11x 7

4. a = 1 5. [h (g f)](x) = 2x2 2x + 7

6. g(x) =x2 2x 4

27. f(x) =

2x + 4

x 1 para x = 1

8. (f g)(x) =

9x2 12x + 6 se x 113x

se 1/3 < x < 1

9x2 + 12x se x 1/3

(g f)(x) =

3x2 4 se x 12x 7x 2 se 1 x < 1

3x2 10 se x 19. (a) (ii) (b) (i) (c) (ii) (d) (iii) (e) (ii) (f) (ii)

10. b = 2

11. (a) f1(x) =3x + 1

4(b) f1(x) = 1 + 3

x 2 (c) f1(x) = x3 2

12. f1 : B

IR+, f

1(x) =

4

x

13. f1 : B A, f1(x) = 1 + x 214. (a) f1(x) = 2x + 1

15. (a) Existe (b) f1(4) = 1, f1(2) = 2, f1(7) = 3, f1(9) = 4


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16.

(b) Nao e invertvel.

17.

18.(a) S = {1, 5}

(b) S = {1, 3}(c) S = {2, 1/3}(d) S = {3/2, 1/3, 1}

(e) S =

(f) S = {x IR | x 2/3}(g) S = {3}

(i) S =

{2, 0

}(j) S = {2}(k) S = {4}

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