pg progressão geométrica -...

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PG – Progressão Geométrica

1. (Uel 2014) Amalio Shchams é o nome científico de uma espécie rara de planta, típica do noroeste do continente africano. O caule dessa planta é composto por colmos, cujas características são semelhantes ao caule da cana-de-açúcar. Curiosamente, seu caule é composto por colmos claros e escuros, intercalados. À medida que a planta cresce e se desenvolve, a quantidade de colmos claros e escuros aumenta, obedecendo a um determinado padrão de desenvolvimento que dura, geralmente, 8 meses. * No final da primeira etapa, a planta apresenta um colmo claro. * Durante a segunda etapa, desenvolve-se um colmo escuro no meio do colmo claro, de modo que, ao final da segunda etapa, o caule apresenta um colmo escuro e dois colmos claros. * Na terceira etapa, o processo se repete, ou seja, um colmo escuro se desenvolve em cada colmo claro, como ilustra o esquema a seguir.

1ª Etapa 2ª Etapa 3ª Etapa 4ª Etapa

1 colmo claro.

1 colmo escuro e 2

colmos claros.

3 colmos escuros e 4 colmos claros.

7 colmos escuros e 8 colmos claros.

E assim sucessivamente.

a) Represente algebricamente a lei de formação de uma função que expresse a quantidade

total de colmos dessa planta ao final de n etapas. Apresente os cálculos realizados na resolução desse item.

b) Ao final de 15 etapas, quais serão as quantidades de colmos claros e escuros dessa planta? Apresente os cálculos realizados na resolução desse item.

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2. (Uel 2014) João publicou na Internet um vídeo muito engraçado que fez com sua filha

caçula. Ele observou e registrou a quantidade de visualizações do vídeo em cada dia, de acordo com o seguinte quadro.

Dias Quantidade de visualizações

do vídeo em cada dia

1 7x

2 21x

3 63x

... ...

Na tentativa de testar os conhecimentos matemáticos de seu filho mais velho, João o desafiou a descobrir qual era a quantidade x, expressa no quadro, para que a quantidade total de visualizações ao final dos 5 primeiros dias fosse 12705. a) Sabendo que o filho de João resolveu corretamente o desafio, qual resposta ele deve

fornecer ao pai para informar a quantidade exata de visualizações representada pela incógnita x? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.

b) Nos demais dias, a quantidade de visualizações continuou aumentando, seguindo o mesmo padrão dos primeiros dias. Em um único dia houve exatamente 2066715 visualizações registradas desse vídeo. Que dia foi este? Apresente os cálculos realizados na resolução deste item.

3. (Ufg 2013) A figura a seguir ilustra as três primeiras etapas da divisão de um quadrado de lado L em quadrados menores, com um círculo inscrito em cada um deles.

Sabendo-se que o número de círculos em cada etapa cresce exponencialmente, determine: a) a área de cada círculo inscrito na n-ésima etapa dessa divisão; b) a soma das áreas dos círculos inscritos na n-ésima etapa dessa divisão.



4. (Espcex (Aman) 2013) Um fractal é um objeto geométrico que pode ser dividido em partes,

cada uma das quais semelhantes ao objeto original. Em muitos casos, um fractal é gerado pela repetição indefinida de um padrão. A figura abaixo segue esse princípio. Para construí-la, inicia-se com uma faixa de comprimento m na primeira linha. Para obter a segunda linha, uma faixa de comprimento m é dividida em três partes congruentes, suprimindo-se a parte do meio. Procede-se de maneira análoga para a obtenção das demais linhas, conforme indicado na figura.

Se, partindo de uma faixa de comprimento m, esse procedimento for efetuado infinitas vezes, a soma das medidas dos comprimentos de todas as faixas é a) 3 m

b) 4 m

c) 5 m

d) 6 m

e) 7 m

5. (Ufrgs 2013) A sequência representada, na figura abaixo, é formada por infinitos triângulos

equiláteros. O lado do primeiro triângulo mede 1, e a medida do lado de cada um dos outros

triângulos é 2

3 da medida do lado do triângulo imediatamente anterior.

A soma dos perímetros dos triângulos dessa sequência infinita é a) 9. b) 12. c) 15. d) 18. e) 21. 6. (Pucrj 2013) A sequência (2, x, y, 8) representa uma progressão geométrica.

O produto xy vale: a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16



7. (Espm 2013) Um empréstimo de R$10.000,00 foi pago em 5 parcelas mensais, sendo a

primeira, de R$ 2.000,00, efetuada 30 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em

relação à anterior. Pode-se concluir que a taxa mensal de juros simples ocorrida nessa transação foi de aproximadamente: a) 2,78% b) 5,24% c) 3,28% d) 6,65% e) 4,42% 8. (Espm 2013) Para que a sequência ( 9, 5, 3) se transforme numa progressão geométrica,

devemos somar a cada um dos seus termos um certo número. Esse número é: a) par b) quadrado perfeito c) primo d) maior que 15 e) não inteiro 9. (Ufsm 2013) No Brasil, falar em reciclagem implica citar os catadores de materiais e suas

cooperativas. Visando a agilizar o trabalho de separação dos materiais, uma cooperativa decide investir na compra de equipamentos. Para obter o capital necessário para a compra, são depositados, no primeiro dia de cada mês, R$600,00 em uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,6% ao mês. A expressão que representa o saldo, nessa aplicação, ao final de n meses, é

a) n100.600 1,006 1 .

b) n100.000 1,06 1 .

c) n10.060 1,006 1 .

d) n100.600 1,06 1 .

e) n100.000 1,006 1 .

10. (Fgv 2013) Uma mercadoria é vendida com entrada de R$500,00 mais 2 parcelas fixas

mensais de R$576,00. Sabendo-se que as parcelas embutem uma taxa de juros compostos de 20% ao mês, o preço à vista dessa mercadoria, em reais, é igual a a) 1.380,00. b) 1.390,00. c) 1.420,00. d) 1.440,00. e) 1.460,00.



11. (Unesp 2013) Uma partícula em movimento descreve sua trajetória sobre

semicircunferências traçadas a partir de um ponto 0P , localizado em uma reta horizontal r, com

deslocamento sempre no sentido horário. A figura mostra a trajetória da partícula, até o ponto

3P , em r. Na figura, 1O,O e 2O são os centros das três primeiras semicircunferências

traçadas e R, R

2,

R

4seus respectivos raios.

A trajetória resultante do movimento da partícula será obtida repetindo-se esse comportamento

indefinidamente, sendo o centro e o raio da n-ésima semicircunferência dados por nO e

n n

RR ,

2 respectivamente, até o ponto nP , também em r. Nessas condições, o comprimento

da trajetória descrita pela partícula, em função do raio R, quando n tender ao infinito, será

igual a

a) 22 R.π

b) 32 R.π

c) n2 R.π

d) 7

R.4

π

e) 2 R.π 12. (Ufsj 2013) Sabendo que a soma do 2º, 3º e 4º termos de uma progressão geométrica

(PG) é igual a 140 e que a soma dos 8º, 9º e 10º termos é 8960, é CORRETO afirmar que

a) a razão dessa PG é 10. b) seu primeiro termo é 14. c) a razão dessa PG é 2. d) o quinto termo dessa PG é 320.

13. (Epcar (Afa) 2013) A sequência 8

x, 6, y, y3

é tal, que os três primeiros termos formam

uma progressão aritmética, e os três últimos formam uma progressão geométrica. Sendo essa sequência crescente, a soma de seus termos é

a) 92

3

b) 89

3

c) 86

3

d) 83

3



14. (Uepb 2013) Sendo n n

1 1 1S ,

3 9 3 onde n é um número natural não nulo, o menor

valor de n para o qual n4

S9

é:

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

15. (Uepb 2012) Na figura abaixo, temos parte do gráfico da função

x2

f(x)3

e uma

sequência infinita de retângulos associados a esse gráfico.

A soma das áreas de todos os retângulos desta sequência infinita em unidade de área é a) 3

b) 1

2

c) 1 d) 2 e) 4 16. (Ufrgs 2012) Na figura abaixo, ABCD é um quadrado e os triângulos sombreados são

triângulos semelhantes tais que as alturas correspondentes formam uma progressão

geométrica de razão 1

.2

Se o perímetro do triângulo ABC é 1, a soma dos perímetros dos quatro triângulos sombreados é

a) 9

.8

b) 11

.8

c) 13

.8

d) 15

.8

e) 17

.8



17. (Ime 2012) O segundo, o sétimo e o vigésimo sétimo termos de uma Progressão Aritmética

(PA) de números inteiros, de razão r, formam, nesta ordem, uma Progressão Geométrica (PG),

de razão q, com q e r (natural diferente de zero). Determine:

a) o menor valor possível para a razão r; b) o valor do décimo oitavo termo da PA, para a condição do item a. 18. (Unesp 2012) O artigo Uma estrada, muitas florestas relata parte do trabalho de reflorestamento necessário após a construção do trecho sul do Rodoanel da cidade de São Paulo. O engenheiro agrônomo Maycon de Oliveira mostra uma das árvores, um fumo-bravo, que ele e sua equipe plantaram em novembro de 2009. Nesse tempo, a árvore cresceu – está com quase 2,5 metros –, floresceu, frutificou e lançou sementes que germinaram e formaram descendentes [...] perto da árvore principal. O fumo-bravo [...] é uma espécie de árvore pioneira, que cresce rapidamente, fazendo sombra para as espécies de árvores de crescimento mais lento, mas de vida mais longa.

(Pesquisa FAPESP, janeiro de 2012. Adaptado.)

Considerando que a referida árvore foi plantada em 1º de novembro de 2009 com uma altura de 1 dm e que em 31 de outubro de 2011 sua altura era de 2,5 m e admitindo ainda que suas alturas, ao final de cada ano de plantio, nesta fase de crescimento, formem uma progressão geométrica, a razão deste crescimento, no período de dois anos, foi de a) 0,5. b) 5 10

–1/2.

c) 5. d) 5 10

1/2.

e) 50. 19. (Uespi 2012) Em outubro de 2011, o preço do dólar aumentou 18%. Se admitirmos o mesmo aumento, mensal e cumulativo, nos meses subsequentes, em quantos meses, a partir de outubro, o preço do dólar ficará multiplicado por doze? Dado: use a aproximação

1512 1,18 .

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16



20. (Ulbra 2012) Carlos aplicou R$ 500,00 num banco a uma taxa de juros compostos de 20% ao ano. Sabendo que a fórmula de cálculo do montante é M = C(1+i)

n, onde M é o montante, i a

taxa de juros, C o valor da aplicação e n o período da aplicação, qual o tempo necessário

aproximado para que o montante da aplicação seja R$ 8.000,00? Dados: log 2 = 0,301 e log 12 = 1,079 a) 20 meses e 14 dias. b) 12 anos, 6 meses e 10 dias. c) 15 anos, 2 meses e 27 dias. d) 15 anos e 10 dias. e) 12 anos.



Gabarito: Resposta da questão 1:

a) Sejam nc e ne , respectivamente, o número de colmos claros e o número de colmos

escuros ao final de n etapas. Tem-se que 1e 0 e n 1ne 2 , para n 2; 1c 1 e

n nc e 1, para n 2. Portanto, a quantidade total de colmos dessa planta, ao final de n

etapas, é dada por nn nc e 2 1.

b) Após 15 etapas, o número de colmos escuros é igual a 15 12 16384, e o número de

colmos claros é 16384 1 16383. Resposta da questão 2:

a) Como 63x 21x

3,21x 7x

segue-se que a quantidade de visualizações diárias do vídeo

cresce segundo uma progressão geométrica de razão 3. Logo, para que a quantidade total

de visualizações ao final dos 5 primeiros dias seja 12705, deve-se ter

53 1 1815

7x 12705 x3 1 121

x 15.

b) O número de visualizações no dia n é dado por n 17 15 3 . Portanto, o resultado pedido é

tal que

n 1 n 1

n 1 9

7 15 3 2066715 3 19683

3 3

n 10,

isto é, no décimo dia houve exatamente 2066715 visualizações do vídeo. Resposta da questão 3:

a)

2

1L

A2

π

2

2

2

3

2

n n

LA

4

LA

8

LA

2

π

π

π

b) Na primeira etapa temos 1 círculo (4

0).

Na segunda etapa temos 4 círculos (41).

Na terceira etapa temos 16 círculos (42).

Logo, na etapa n termos n 14 círculos. Portanto, a soma das áreas de todos os círculos da etapa n será dada por:



2 2n 1

n

L L4

42

ππ

Resposta da questão 4:

[A]

Os comprimentos das faixas constituem uma progressão geométrica infinita, sendo 1a m o

primeiro termo 2

q3

a razão.

Portanto, a soma dos comprimentos de todas as faixas é dada por

nx

mlim S 3m.

21

3

Resposta da questão 5: [A] A soma pedida é igual a

2 4 13 1 3 9.

23 91

3


[E] Sabendo que o produto de termos equidistantes dos extremos é igual a uma constante, temos

que x y 2 8 16.


[E]

Como as parcelas crescem segundo uma progressão geométrica de razão 1,1 e primeiro termo

igual a 2000, segue que o montante pago foi de

5(1,1) 1

2000 2000 6,10511,1 1

R$ 12.210,20.

Logo, os juros cobrados correspondem a 12210,2 10000 R$ 2.210,20 e, portanto, a taxa de

juros simples na transação é igual a

2210,2100% 4,42%.

10000 5




[C] Seja x o número procurado. Temos

2 2 2( 5 x) ( 9 x) (3 x) 25 10x x 27 6x x

x 13,

ou seja, um primo ímpar menor do que 15. Resposta da questão 9:

[A] A expressão que fornece o saldo ao final de n meses é

n2 n

n

n

1,006 1600 1,006 600 1,006 600 1,006 600 1,006

1,006 1

1,006 1603,6

0,006

100.600[(1,006) 1].

Resposta da questão 10: [A] O preço à vista da mercadoria é igual a

2

576 576500 500 480 400

1,2 (1,2)

R$ 1.380,00.


[E]

Seja nC o comprimento da trajetória.

Temos

n n

R R RC R ,

2 4 2π π π π

que corresponde à soma dos termos de uma progressão geométrica infinita. Portanto,

nn

Rlim C 2 R.

11

2

ππ




[C]

22 3 4 2

28 9 10 8

a a a 140 a (1 q q ) 140,

a a a 8960 a (1 q q ) 8960

onde q é a razão da P.G.

Dividindo a segunda equação pela primeira, temos:

6q 64 q 2.

Resposta da questão 13: [C] P.A. (x, 6, y) x + y = 6 2 x = 12 – y

P.G. (6, y, y + 8/3) y

2 – 6y – 16 = 0 y = 8 ou y = –2

y = 8 x = 4

y = –2 x = 14 (não convém, pois a sequência é crescente).

Portanto, a soma dos elementos da sequência será: 4 + 6 + 8 + 8 + 8/3 = 86/3. Resposta da questão 14: [A]

Como nS é a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo

igual a 1

,3

e razão também igual a 1

,3

temos

n

n

n

11

1 3S

131

3

1 11 .

2 3

Portanto,

n

n

n

n 2

4 1 1 4S 1

9 2 3 9

1 81

3 9

1 1

3 3

n 2,

isto é, o menor valor natural de n para o qual n4

S9

é n 3.




[D]

Como a medida da base de cada um dos retângulos é igual a 1, segue-se que a soma pedida é

dada por

2 32 2 2

f(1) f(2) f(3)3 3 3

2

32

13

2.


[D]

Perímetro (01) L L L 2 1

L L L 2 1Perímetro (02)

2 2


4 4


8 8

.

Logo, P(01)+P(02)+P(03)+P(04) = 1 1 1 15

1 .2 4 8 8


2

7

27

a x

a x 5 r

a x 25 r

a) considerando a sequência (a2, a7, a27

) como P.G., temos:

2 2 3x

x 5.r x.(x 25.r) 25r 15r 0 r 0 ou r = 5

Admitindo 3x

r = 5

e que a P.A. possui elementos inteiros, o valor mínimo possível para x é

5. Portanto, r = 3.

b) a18 = a2 + 16.r = 5 + 16.3 = 53




[C] 2009 : 1 dm 2010: 2011: 2,5 cm = 25 dm Temos então uma P.G. de três termos, determinando sua razão, temos: 25 = 1 q

3-1

25 = q2

q = 5 q = 5. Portanto, a razão de crescimento anual no período de 2 anos foi 5. Resposta da questão 19: [D] Seja p o preço do dólar, em outubro de 2011, antes do aumento.

Queremos calcular após quantos meses o preço do dólar será 12p.

Como o preço do dólar n meses após outubro é dado por np (1,18) , temos que


[C]

O tempo necessário aproximado para que o montante da aplicação seja R$ 8.000,00 é tal que

n n

n4

n4

8000 500 (1 0,2) 16 1,2

122

10

12log2 log

10

4 log2 n (log12 log10)

4 0,301 n (1,079 1)

1,204n

0,079

n 15,24 anos.

Efetuando as conversões indicadas, obtemos:

15 a 0,24 12 m 15 a 2,88 m

15 a 2 m 0,88 30 d

15 a 2 m 26,4 d.

n n

n 15

p (1,18) 12p (1,18) 12

(1,18) 1,18

n 15.


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