progressão geométrica

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PROGRESSO GEOMTRICA D39 Resolver situao-problema envolvendo propriedades de uma progresso aritmtica ou geomtrica (termo geral ou soma).PROGRASSO GEOMTRICA TEXTO PARA A PRXIMA QUESTO (Puccamp 2000) A MQUINA A VAPOR: UM NOVO MUNDO, UMA NOVA CINCIA. 1 As primeiras utilizaes do carvo mineral verificaramse esporadicamente at o sculo Xl; ainda que no fosse sistemtica, sua explorao ao longo dos sculos levou ao esgotamento das jazidas superficiais (e tambm a fenmenos de poluio atmosfrica, lamentados j no sculo XIII). A necessidade de se explorarem jazidas mais profundas levou logo, j no sculo XVII, a uma dificuldade: a de ter que se esgotar a gua das galerias profundas. O esgotamento era feito ou fora do brao humano ou mediante uma roda, movida ou por animais ou por queda-d'gua. Nem sempre se dispunha de uma queda-d'gua prxima ao poo da mina, e o uso de cavalos para este trabalho era muito dispendioso, ou melhor, ia contra um princpio que no estava ainda formulado de modo explcito, mas que era coerentemente adotado na maior parte das decises produtivas: o princpio de se empregar energia no-alimentar para obter energia alimentar, evitando fazer o contrrio. O cavalo uma fonte de energia melhor do que o boi, dado que sua fora muito maior, mas so maiores tambm suas exigncias alimentares: no se contenta com a celulose - resduo da alimentao humana -, mas necessita de aveia e trevos, ou seja, cereais e leguminosas; compete, pois, com o homem, se se considera que a rea cultivada para alimentar o cavalo subtrada da cultivada para a alimentao humana; pode-se dizer, portanto, que utilizar o cavalo para extrair carvo um modo de utilizar energia alimentar para obter energia no-alimentar. Da a no-economicidade de sua utilizao, de modo que muitas jazidas de carvo que no dispunham de uma queda d'gua nas proximidades s puderam ser exploradas na superfcie. Ainda hoje existe um certo perigo de se utilizar energia alimentar para se obter energia no-alimentar: num mundo que conta com um bilho de desnutridos, h quem pense em colocar lcool em motores de automveis. Esta ser uma soluo "econmica" somente se os miserveis continuarem miserveis. 2 At a inveno da mquina a vapor, no fim do sculo XVII, o carvo vinha sendo utilizado para fornecer o calor necessrio ao aquecimento de habitaes e a determinados processos, como o trato do malte para preparao da cerveja, a forja e a fundio de metais. J o trabalho mecnico, isto , o deslocamento de massas, era obtido diretamente de um outro trabalho mecnico: do movimento de uma roda d'gua ou das ps de um moinho a vento. 3 A altura a que se pode elevar uma massa depende, num moinho a gua, de duas grandezas: o volume d'gua e a altura de queda. Uma queda d'gua de cinco metros de altura produz o mesmo efeito quer se verifique entre 100 e 95 metros de altitude, quer se verifique entre 20 e 15 metros. As primeiras consideraes sobre mquinas trmicas partiram da hiptese de que ocorresse com elas um fenmeno anlogo, ou seja, que o trabalho mecnico obtido de uma mquina a vapor dependesse exclusivamente da diferena de temperatura entre o "corpo quente" (a caldeira) e o "corpo frio" (o condensador). Somente mais tarde o estudo da termodinmica demonstrou que tal analogia com a mecnica no se verifica: nas mquinas trmicas, importa no s a diferena temperatura, mas tambm o seu nvel; um salto trmico entre 50C e 0C possibilita obter um trabalho maior do que o que se pode obter com um salto trmico entre 100C e 50C. Esta observao foi talvez o primeiro indcio de que aqui se achava um mundo novo, que no se podia explorar com os instrumentos conceituais tradicionais. 4 O mundo que ento se abria cincia era marcado pela novidade prenhe de consequncias tericas: as mquinas trmicas, dado que obtinham movimento a partir do calor, exigiam que se considerasse um fator de converso entre energia trmica e trabalho mecnico. A, ao estudar a relao entre essas duas grandezas, a cincia defrontou-se no s com um princpio de conservao, que se esperava determinar, mas tambm com um princpio oposto. De fato, a energia "qualquer coisa" que torna possvel produzir trabalho - e que pode ser fornecida pelo calor, numa mquina trmica, ou pela queda d'gua, numa roda/turbina hidrulica, ou pelo trigo ou pela forragem, se so o homem e o cavalo a trabalhar - a energia se conserva, tanto quanto se conserva a matria. Mas, a cada vez que a energia se transforma, embora no se altere sua quantidade, reduz-se sua capacidade de produzir trabalho til. A descoberta foi traumtica: descortinava um universo privado de circularidade e de simetria, destinado degradao e morte. 5 Aplicada tecnologia da minerao, a mquina trmica provocou um efeito de feedback positivo: o consumo de carvo aumentava a disponibilidade de carvo. Que estranho contraste! Enquanto o segundo princpio da termodinmica colocava os cientistas frente irreversibilidade, morte, degradao, ao limite intransponvel, no mesmo perodo histrico e graas mesma mquina, a humanidade se achava em presena de um "milagre". Vejamos como se opera este "milagre": pode-se dizer que a inveno da mquina a vapor nasceu da necessidade de explorao das jazidas profundas de carvo mineral; o acesso s grandes quantidades de carvo mineral permitiu, juntamente com um paralelo avano tecnolgico da siderurgia - este baseado na utilizao do coque (de carvo mineral) - que se construssem mquinas cada vez mais adaptveis a altas presses de vapor. Era mais carvo para produzir metais, eram mais metais para explorar carvo. Este imponente processo de desenvolvimento parecia trazer em si uma fatalidade definitiva, como se, uma vez posta a caminho, a tecnologia gerasse por si mesma tecnologias mais sofisticadas e as mquinas gerassem por si mesmas mquinas mais potentes. Uma embriaguez, um sonho louco, do qual s h dez anos comeamos a despertar. 6 "Mais carvo se consome, mais h disposio". Sob esta aparncia inebriante ocultava-se o processo de decrscimo da produtividade energtica do carvo: a extrao de uma tonelada de carvo no sculo XIX requeria, em mdia, mais energia do que havia requerido uma tonelada de carvo extrada no sculo XVIII, e esta requerera mais energia do que uma tonelada de carvo extrada no sculo XVII. Era como se a energia que se podia obter da queima de uma tonelada de carvo fosse continuamente diminuindo. 7 Comeava a revelar-se uma nova lei histrica, a lei da produtividade decrescente dos recursos no-renovveis; mas os homens ainda no estavam aptos a reconhec-la. (Laura Conti. "Questo pianeta", Cap.10. Roma: Editori Riuniti, 1983. Traduzido e adaptado por Ayde e Veiga Lopes) 1. O texto descreve o crescimento na produo de carvo, o qual foi cada vez mais acelerado, durante certo perodo. Isto , o acrscimo na produo a cada dcada, no era constante e sim maior que o acrscimo havido na dcada anterior. Muitos

fenmenos desse tipo podem ser descritos matematicamente por funes exponenciais. Funes exponenciais e progresses geomtricas podem ser relacionadas de maneira natural. Por exemplo, para todo n inteiro e positivo, a funo f(x)=5.(3) relaciona-se com a progresso geomtrica (a), de termo geral a=f(n), na qual a) a razo 3 b) a razo 3 c) a = 30 d) a = 60 e) os termos decrescem 2. (Udesc 96) Se o primeiro termo vale 2 e a razo 3, ento os termos gerais da Progresso Aritmtica e da Progresso Geomtrica correspondentes so: a) 2 + 3n e 2.3/3 b) 2 + 3n e 3/2 c) 3n - 1 e 2.3 d) 3 + 2n e 3.2 e) 3n - 1 e (2/3).3 3. (Ufsc 2000) Determine a soma dos nmeros associados (s) proposio(es) VERDADEIRA(S). 01. A razo da P.A. em que a=-8 e a=30 r=2. 02. A soma dos termos da P.A. (5, 8, ..., 41) 299. 04. O primeiro termo da P.G. em que a=3 e a=3/16 12. 08. A soma dos termos da P.G. (5, 5/2, 5/4, ...) 10. 4. (Uepg 2001) Assinale o que for correto. 01) As razes da funo f(x) = x-3x-4 so os dois primeiros termos de uma P.A. decrescente. Ento, o terceiro termo dessa P.A. vale 15 02) A sucesso (s , 2s , 3s, ...) com s 0, uma P.G. crescente. 04) A razo da P.G. (e, e, e, ...) e 08) Numa P.A. de nmero mpar de termos, o primeiro termo 3 e o ltimo termo 27. Assim, o termo mdio dessa P.A. vale 15 16) A razo da P.A. (log4, log12, log36, ...) log3 5. (Fgv 99) Calcule as seguintes somas

(08) Uma P.A. e uma P.G., ambas crescentes, tm o primeiro e o terceiro termos respectivamente iguais. Sabendo que o segundo termo da P.A. 5 e o segundo termo da P.G. 4, a soma dos 10 primeiros termos da P.A. 155. Soma ( )

7. (Ufg 2003) Uma faculdade oferece, em seu vestibular, 80 vagas para o curso de Direito e 110 vagas para o curso de Economia. Nos ltimos trs anos, o nmero de candidatos inscritos para o curso de Economia - 1.980 em 1999; 2.035 em 2000; 2.090 em 2001 - cresceu segundo uma progresso aritmtica e o nmero de inscritos para o curso de Direito - 960 em 1999; 1.200 em 2000; 1.500 em 2001 - cresceu segundo uma progresso geomtrica. Com base nessas informaes, julgue os itens abaixo: ( ) Em 2001, o curso de Direito teve 18,75 candidatos inscritos por vaga. ( ) Mantendo-se a mesma tendncia de crescimento para o nmero de candidatos inscritos nos dois cursos, em 2002, o nmero de candidatos por vaga ser maior para o curso de Direito do que para o curso de Economia. ( ) Se a faculdade aumentasse o nmero de vagas no curso de Direito para 110, o nmero de candidatos por vaga nos anos de 1999, 2000 e 2001 formaria uma progresso geomtrica de razo 1,25. ( ) Considerando o nmero de inscritos nos anos de 1999, 2000 e 2001 para o curso de Direito, para que o nmero de candidatos por vaga permanecesse constante, o nmero de vagas oferecidas deveria ter crescido segundo uma progresso geomtrica. 8. (Mackenzie 2003) Se a sequncia (2, 1/2, 4, 1/4, 6, 1/8, ....) formada por termos de uma progresso aritmtica alternados com os termos de uma progresso geomtrica, ento o produto do vigsimo pelo trigsimo primeiro termo dessa sequncia :

6. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposio(es) CORRETA(S). (01) Se os raios de uma sequncia de crculos formam uma P.G. de razo q, ento suas re