parte 2 - progressao aritmetica

23
Progressões Numéricas PARTE 2 Progressão Aritmética

Upload: estatisticas-ciepe

Post on 23-Jun-2015

6.918 views

Category:

Education


7 download

TRANSCRIPT

Page 1: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

Progressões NuméricasPARTE 2 – Progressão

Aritmética

Page 2: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaNa Seqüência de Quadrados de Palitos obteve:

Quadrados Formato Palitos

Um

4

Dois

7

Tres

10

Quatro

13

Cinco

16

Page 3: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaA quantidade de Palitos Forneceu a Seqüência:

4 - 7 - 10 - 13 - 16

Pelo qual possui o detalhe:

a) Q2 – Q1 = 7 – 4 = 3; b) Q3 – Q2 = 10 – 7 = 3

c) Q4 – Q3 = 13 – 10 = 3 d) Q5 – Q4 = 16 – 13 = 3

Isto está dizendo que um número da seqüência subtraído do anterior fornece

sempre o mesmo valor (aqui: 3); ao qual é o mesmo que dizer que um número é

o anterior somado de um mesmo valor.

Seqüência neste estilo é Chamado: Progressão Aritmética.

Page 4: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaDefinição:

Seja a seqüência numérica:

: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an

Esta seqüência diz ser uma Progressão Aritmética se ocorrer:

ak = ak - 1 + r , em que r um número fixo.

Ou seja: Cada Número é o anterior somado do mesmo valor.

Page 5: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaNota:

Na notação:

: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an

E: ak = ak - 1 + r

Tem que:

a1 é o Primeiro Termo da Progressão Aritmética

an é o Termo Geral da Progressão Aritmética

r é a Razão da Progressão Aritmética

Page 6: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 1:

Para cada seqüência abaixo, verifique se é ou não uma Progressão

Aritmética:

: 11 . 15 . 19 . 23 . 27 . 31 . 35

Solução

a2 – a1 = 15 – 11 = 4; a3 – a2 = 19 – 15 = 4;

a4 – a3 = 23 – 19 = 4; a5 – a4 = 27 – 23 = 4;

a6 – a5 = 31 – 27 = 4; a7 – a6 = 35 – 31 = 4;

Ou Seja: A Diferença foi um mesmo valor, Assim trata-se de uma

Progressão Aritmética.

Page 7: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 2:

: 2,0 . 4,5 . 7,0 . 9,5 . 12,0

Solução

a2 – a1 = 4,5 – 2,0 = 2,5; a3 – a2 = 7,0 – 4,5 = 2,5;

a4 – a3 = 9,5 – 7,0 = 2,5; a5 – a4 = 12 – 9,5 = 2,5;

Assim trata-se de uma Progressão Aritmética.

Page 8: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 3:

: 5 . 11 . 17 . 22 . 28

Solução

a2 – a1 = 11 – 5 = 6; a3 – a2 = 17 – 11 = 6;

a4 – a3 = 22 – 17 = 5; a5 – a4 = 28 – 22 = 6;

Como houve uma diferença com resultado diferente das demais,

indica que NÃO configura uma Progressão Aritmética.

Page 9: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Considere a seguinte construção geométrica: Encontrar a quantidade de Pontos na

Interseção de Retas Co-planares e que não se interceptam mais de duas e não

tenham nenhuma paralela a outra.

Solução

Duas Retas Três Retas

P

P

Q

R

Houve UM ponto de Intersecção Foram TRÊS pontos de Interseção

Page 10: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Continuação

Quatro Retas Cinco Retas

P

Q

S

R

V

T

P

Q

R

S X Y T

M N

V

Houve SEIS pontos de Intersecção Foram DEZ pontos de Interseção

Com Isto Obteve a Seqüência

Retas: 2 3 4 5

Pontos: 1 3 6 10

Page 11: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Continuação

A seqüência de Pontos Foi

: 1 . 3 . 6 . 10

Solução

a2 – a1 = 3 – 1 = 2; a3 – a2 = 6 – 3 = 3;

a4 – a3 = 10 – 6 = 4;

Como houve diferenças com resultados diferentes dos outros , indica

que NÃO configura uma Progressão Aritmética.

Page 12: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:

TERMO GERAL

Quando se tem uma Progressão Aritmética, seus valores satisfaz:

1. a2 = a1 + r = a1 + (2 – 1 )r;

2. a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r = a1 + (3 – 1)r

3. a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r = a1 + (4 – 1)r

4. a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r = a1 + (5 – 1)r

De Forma Geral

an = a1 + (n – 1)r

Page 13: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão Aritmética

Propriedades:

SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES

Primeiramente: Termos Eqüidistantes:

Considere a Progressão Aritmética disposta em um quadro:

Com isto:

a) O Primeiro e o n-ezimo são chamados EXTREMOS;

b) O Segundo e o n-1 estão à mesma distancia de seus extremos;

c) O Terceiro e o n-2 estão à mesma distancia de seus extremos;

Cada PAR assim são ditos serem: Eqüidistantes dos Extremos

Posição 1 2 3 ... n - 2 n - 1 n

Número a1 a2 a3 . . . an-2 an-1 an

Page 14: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:

SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES

Vamos calcular cada uma das somas abaixo:

a) Primeiro com o último termo:

S1 = a1 + an

b) Segundo com o penúltimo termo:

S2 = a2 + an-1 = a1 + r + an – r = a1 + an = S1

c) Terceiro com o anti-penúltimo termo:

S3 = a3 + an-2 = a1 + 2r + an – 2r = a1 + an = S1

Etc.

Note que cada uma das somas de termos eqüidistantes dos extremos fornece sempre o mesmo

resultado que é: O Valor do Primeiro Com do Último Termo.

Page 15: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:

SOMA DOS TERMOS DA PROGRESSÃO

A soma é: S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an

Duplicando esta Soma fica:

2.S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an +

+ a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an

Agrupando pelos termos eqüidistantes:

2.S = ( a1 + an ) + ( a2 + an-1 ) + . . . .

Pela Propriedade da Soma dos Extremos tem-se:

2S = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + . . .

Ou 2.S = n . ( a1 + an ) logo: S = ( a1 + an ) / 2

Page 16: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades: Resumo

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 17: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: Dada a Progressão Aritmética: :7 . 11 . 15 . 19 . . . .,

Ache o que se pede:

a) Valor do nono termo.

Solução

Primeiramente tem que achar a razão que é: r = 11 – 7 = 4

Com isto tem: Primeiro Termo: a1 = 7

Aqui: n = 9.

Logo:

a9 = 7 + ( 7 – 1 ) . 4 = 7 + 6 . 4 = 7 + 24 = 31.

Resposta: O Nono termo é 31.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 18: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor do vigésimo termo.

Solução

A razão que é: r = 11 – 7 = 4

Primeiro Termo: a1 = 7

Aqui: n = 20.

Logo:

a9 = 7 + ( 20 – 1 ) . 4 = 7 + 19 . 4 = 7 + 56 = 63.

Resposta: O Vigésimo termo é 63.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 19: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor da soma dos 20 primeiros termos.

Solução

A razão que é: r = 11 – 7 = 4

Primeiro Termo: a1 = 7

Aqui: n = 20.

Vigésimo Termo: 63 (já calculado em b)

Logo:

S20 = ( 7 + 63) . 20 / 2 = 70 . 20 / 2 = 700.

Resposta: A soma é700.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 20: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor da soma dos 40 primeiros termos.

Solução

A razão que é: r = 11 – 7 = 4

Primeiro Termo: a1 = 7

Aqui: n = 40.

Vigésimo Termo: a40 = 7 + (40 – 1 ) . 4 = 7 + 39 . 4 = 7 + 156 = 163

Logo:

S40 = ( 7 + 163) . 40 / 2 = 170 . 20 / 2 = 1 700.

Resposta: A soma é: 1 700.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 21: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 3: Inserir 7 meios entre: 2 e 42.

Solução

Nota: Inserir 7 Meios indica encontrar 7 números ao qual possua a mesma variação a partir do primeiro valor até o último fornecido:

É equivalente a: Construir uma Progressão Aritmética em que os extremos são: 2 e 42

Com isto tem:

Primeiro Termo: 2 ; Quantia de Termos: 9 ( 7 + 2 )

Nono Termo: 42 : Razão: Desconhecida

Na forma geral: 42 = 2 + ( 9 – 1 ) . r assim: 42 – 2 = 8.r

Ou: 8.r = 40 daí r = 40 / 8 = 5.

Logo, a Progressão é: : 2 . 7 . 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.

Os Meios inseridos são: : 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 e 37.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 22: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 4: Ache o total de palitos que foi usado

na confecção de todos os quadrados do

Exemplo Inicial desta Parte.

Solução

Para a sua construção usou, respectivamente: 4 – 7 – 10 – 13 e 16 palitos

Com isto tem:

Primeiro Termo: 4 ; Quantia de Termos: 5

Ultimo Termo: 16 : Razão: r = 7 – 4 = 3

Na forma da soma: S = ( 4 + 16) . 5 / 2 = 20 . 5 / 2 = 100/ 2 = 50

Resposta: 50 palitos.

Termo Geral: r.)1n(aa 1n

Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa

Soma Geral: 2

n.)aa(S

n1

Page 23: PARTE 2 - Progressao Aritmetica

Progressões Numéricas

PARTE 2 - Progressão Aritmética

FIMProf. Gercino Monteiro Filho