parte 2 - progressao aritmetica
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Progressões NuméricasPARTE 2 – Progressão
Aritmética
PARTE 2 – Progressão AritméticaNa Seqüência de Quadrados de Palitos obteve:
Quadrados Formato Palitos
Um
4
Dois
7
Tres
10
Quatro
13
Cinco
16
PARTE 2 – Progressão AritméticaA quantidade de Palitos Forneceu a Seqüência:
4 - 7 - 10 - 13 - 16
Pelo qual possui o detalhe:
a) Q2 – Q1 = 7 – 4 = 3; b) Q3 – Q2 = 10 – 7 = 3
c) Q4 – Q3 = 13 – 10 = 3 d) Q5 – Q4 = 16 – 13 = 3
Isto está dizendo que um número da seqüência subtraído do anterior fornece
sempre o mesmo valor (aqui: 3); ao qual é o mesmo que dizer que um número é
o anterior somado de um mesmo valor.
Seqüência neste estilo é Chamado: Progressão Aritmética.
PARTE 2 – Progressão AritméticaDefinição:
Seja a seqüência numérica:
: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an
Esta seqüência diz ser uma Progressão Aritmética se ocorrer:
ak = ak - 1 + r , em que r um número fixo.
Ou seja: Cada Número é o anterior somado do mesmo valor.
PARTE 2 – Progressão AritméticaNota:
Na notação:
: a1 . a2 . a3 . a4 . . . . .an
E: ak = ak - 1 + r
Tem que:
a1 é o Primeiro Termo da Progressão Aritmética
an é o Termo Geral da Progressão Aritmética
r é a Razão da Progressão Aritmética
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 1:
Para cada seqüência abaixo, verifique se é ou não uma Progressão
Aritmética:
: 11 . 15 . 19 . 23 . 27 . 31 . 35
Solução
a2 – a1 = 15 – 11 = 4; a3 – a2 = 19 – 15 = 4;
a4 – a3 = 23 – 19 = 4; a5 – a4 = 27 – 23 = 4;
a6 – a5 = 31 – 27 = 4; a7 – a6 = 35 – 31 = 4;
Ou Seja: A Diferença foi um mesmo valor, Assim trata-se de uma
Progressão Aritmética.
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 2:
: 2,0 . 4,5 . 7,0 . 9,5 . 12,0
Solução
a2 – a1 = 4,5 – 2,0 = 2,5; a3 – a2 = 7,0 – 4,5 = 2,5;
a4 – a3 = 9,5 – 7,0 = 2,5; a5 – a4 = 12 – 9,5 = 2,5;
Assim trata-se de uma Progressão Aritmética.
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 3:
: 5 . 11 . 17 . 22 . 28
Solução
a2 – a1 = 11 – 5 = 6; a3 – a2 = 17 – 11 = 6;
a4 – a3 = 22 – 17 = 5; a5 – a4 = 28 – 22 = 6;
Como houve uma diferença com resultado diferente das demais,
indica que NÃO configura uma Progressão Aritmética.
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Considere a seguinte construção geométrica: Encontrar a quantidade de Pontos na
Interseção de Retas Co-planares e que não se interceptam mais de duas e não
tenham nenhuma paralela a outra.
Solução
Duas Retas Três Retas
P
P
Q
R
Houve UM ponto de Intersecção Foram TRÊS pontos de Interseção
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Continuação
Quatro Retas Cinco Retas
P
Q
S
R
V
T
P
Q
R
S X Y T
M N
V
Houve SEIS pontos de Intersecção Foram DEZ pontos de Interseção
Com Isto Obteve a Seqüência
Retas: 2 3 4 5
Pontos: 1 3 6 10
PARTE 2 – Progressão AritméticaExemplo 4: Continuação
A seqüência de Pontos Foi
: 1 . 3 . 6 . 10
Solução
a2 – a1 = 3 – 1 = 2; a3 – a2 = 6 – 3 = 3;
a4 – a3 = 10 – 6 = 4;
Como houve diferenças com resultados diferentes dos outros , indica
que NÃO configura uma Progressão Aritmética.
PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:
TERMO GERAL
Quando se tem uma Progressão Aritmética, seus valores satisfaz:
1. a2 = a1 + r = a1 + (2 – 1 )r;
2. a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r = a1 + (3 – 1)r
3. a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r = a1 + (4 – 1)r
4. a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r = a1 + (5 – 1)r
De Forma Geral
an = a1 + (n – 1)r
PARTE 2 – Progressão Aritmética
Propriedades:
SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES
Primeiramente: Termos Eqüidistantes:
Considere a Progressão Aritmética disposta em um quadro:
Com isto:
a) O Primeiro e o n-ezimo são chamados EXTREMOS;
b) O Segundo e o n-1 estão à mesma distancia de seus extremos;
c) O Terceiro e o n-2 estão à mesma distancia de seus extremos;
Cada PAR assim são ditos serem: Eqüidistantes dos Extremos
Posição 1 2 3 ... n - 2 n - 1 n
Número a1 a2 a3 . . . an-2 an-1 an
PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:
SOMA DOS TERMOS EQUIDISTANTES
Vamos calcular cada uma das somas abaixo:
a) Primeiro com o último termo:
S1 = a1 + an
b) Segundo com o penúltimo termo:
S2 = a2 + an-1 = a1 + r + an – r = a1 + an = S1
c) Terceiro com o anti-penúltimo termo:
S3 = a3 + an-2 = a1 + 2r + an – 2r = a1 + an = S1
Etc.
Note que cada uma das somas de termos eqüidistantes dos extremos fornece sempre o mesmo
resultado que é: O Valor do Primeiro Com do Último Termo.
PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades:
SOMA DOS TERMOS DA PROGRESSÃO
A soma é: S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an
Duplicando esta Soma fica:
2.S = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an +
+ a1 + a2 + a3 + a4 + . . . . + an
Agrupando pelos termos eqüidistantes:
2.S = ( a1 + an ) + ( a2 + an-1 ) + . . . .
Pela Propriedade da Soma dos Extremos tem-se:
2S = ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + ( a1 + an ) + . . .
Ou 2.S = n . ( a1 + an ) logo: S = ( a1 + an ) / 2
PARTE 2 – Progressão AritméticaPropriedades: Resumo
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: Dada a Progressão Aritmética: :7 . 11 . 15 . 19 . . . .,
Ache o que se pede:
a) Valor do nono termo.
Solução
Primeiramente tem que achar a razão que é: r = 11 – 7 = 4
Com isto tem: Primeiro Termo: a1 = 7
Aqui: n = 9.
Logo:
a9 = 7 + ( 7 – 1 ) . 4 = 7 + 6 . 4 = 7 + 24 = 31.
Resposta: O Nono termo é 31.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor do vigésimo termo.
Solução
A razão que é: r = 11 – 7 = 4
Primeiro Termo: a1 = 7
Aqui: n = 20.
Logo:
a9 = 7 + ( 20 – 1 ) . 4 = 7 + 19 . 4 = 7 + 56 = 63.
Resposta: O Vigésimo termo é 63.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor da soma dos 20 primeiros termos.
Solução
A razão que é: r = 11 – 7 = 4
Primeiro Termo: a1 = 7
Aqui: n = 20.
Vigésimo Termo: 63 (já calculado em b)
Logo:
S20 = ( 7 + 63) . 20 / 2 = 70 . 20 / 2 = 700.
Resposta: A soma é700.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 1: b) Valor da soma dos 40 primeiros termos.
Solução
A razão que é: r = 11 – 7 = 4
Primeiro Termo: a1 = 7
Aqui: n = 40.
Vigésimo Termo: a40 = 7 + (40 – 1 ) . 4 = 7 + 39 . 4 = 7 + 156 = 163
Logo:
S40 = ( 7 + 163) . 40 / 2 = 170 . 20 / 2 = 1 700.
Resposta: A soma é: 1 700.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 3: Inserir 7 meios entre: 2 e 42.
Solução
Nota: Inserir 7 Meios indica encontrar 7 números ao qual possua a mesma variação a partir do primeiro valor até o último fornecido:
É equivalente a: Construir uma Progressão Aritmética em que os extremos são: 2 e 42
Com isto tem:
Primeiro Termo: 2 ; Quantia de Termos: 9 ( 7 + 2 )
Nono Termo: 42 : Razão: Desconhecida
Na forma geral: 42 = 2 + ( 9 – 1 ) . r assim: 42 – 2 = 8.r
Ou: 8.r = 40 daí r = 40 / 8 = 5.
Logo, a Progressão é: : 2 . 7 . 12 . 17 . 22 . 27 . 32 . 37 . 42.
Os Meios inseridos são: : 7 , 12 , 17 , 22 , 27 , 32 e 37.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
PARTE 2 – Progressão AritméticaExercício 4: Ache o total de palitos que foi usado
na confecção de todos os quadrados do
Exemplo Inicial desta Parte.
Solução
Para a sua construção usou, respectivamente: 4 – 7 – 10 – 13 e 16 palitos
Com isto tem:
Primeiro Termo: 4 ; Quantia de Termos: 5
Ultimo Termo: 16 : Razão: r = 7 – 4 = 3
Na forma da soma: S = ( 4 + 16) . 5 / 2 = 20 . 5 / 2 = 100/ 2 = 50
Resposta: 50 palitos.
Termo Geral: r.)1n(aa 1n
Soma dos Termos Eqüidistantes: n1 aa
Soma Geral: 2
n.)aa(S
n1
Progressões Numéricas
PARTE 2 - Progressão Aritmética
FIMProf. Gercino Monteiro Filho