pg apostila 2 -...

www.nsaulasparticulares.com.br Página 1 de 14

PG – apostila 2

1. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos,

representados por * e #. Uma palavra de comprimento n, n 1, é formada por n escolhas

sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma palavra de comprimento 1 e

#* *# é uma palavra de comprimento 4. Usando esse alfabeto minimalista,

a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?

b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho

menor ou igual a N? 2. (Ufrgs 2015) Para fazer a aposta mínima na Megassena uma pessoa deve escolher 6

números diferentes em um cartão de apostas que contém os números de 1 a 60. Uma pessoa

escolheu os números de sua aposta, formando uma progressão geométrica de razão inteira. Com esse critério, é correto afirmar que a) essa pessoa apostou no número 1. b) a razão da PG é maior do que 3. c) essa pessoa apostou no número 60. d) a razão da PG é 3. e) essa pessoa apostou somente em números ímpares. 3. (Udesc 2015) Os números reais a, b e c são tais que a progressão geométrica

1S {5a b, b, 48, } e a progressão aritmética 2S {c, a b, 6a c, } possuem razões

opostas. Então, o valor de é a b c igual a:

a) 3 b) 20 c) 13 d) 15 e) 10 4. (Pucrs 2015) O resultado da adição indicada 0,001 0,000001 0,000000001 é

a) 1

9

b) 1

10

c) 1

99

d) 1

100

e) 1

999


5. (Espcex (Aman) 2015) Na figura abaixo temos uma espiral formada pela união de infinitos

semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a

a) .π

b) 2 .π

c) 3 .π

d) 4 .π

e) 5 .π

6. (Unesp 2015) Para cada n natural, seja o número

n

n vezes n vezes

K 3 3 3 ... 3 2 2 2 ... 2 .

Se n , para que valor se aproxima nK ?

7. (Uemg 2015) Gastos com cartão movimentaram R$455 bilhões no 1º semestre.

Valor representa alta de 16,3% em relação ao mesmo período de 2013

“As transações feitas com cartões de débito e crédito no primeiro semestre de 2014 somaram

R$ 455 bilhões, segundo dados divulgados nesta terça-feira (19) pela Associação Brasileira

das Empresas de Cartões de Crédito e Serviços (Abecs)...” http://g1.globo.com/economia/noticia/2014/08/gastos-com-cartao-movimentaram-r-455-bilhoes-

no-1-semestre.html. Acesso em 20/8/2014 Analisando a reportagem acima e considerando constante a alta dos gastos, em bilhões de reais, com a movimentação do cartão (crédito e débito), entre 2013 e 2014, nos próximos anos, podemos supor que, em 2020, no mesmo período, serão movimentados com cartão aproximadamente

a) 117,11 10 bilhões de reais.

b) 117,75 10 bilhões de reais.

c) 119,03 10 bilhões de reais.

d) 118,38 10 bilhões de reais.


8. (Ufrgs 2015) Considere o padrão de construção representado pelo desenho abaixo.

O disco A tem raio medindo 1. O disco B é tangente ao disco A no ponto P e passa pelo

centro do disco A. O disco C é tangente ao disco B no ponto P e passa pelo centro do disco

B. O disco D é tangente ao disco C no ponto P e passa pelo centro do disco C. O processo

de construção dos discos é repetido infinitamente. Considerando a sucessão infinita de discos, a soma das áreas dos discos é

a) .4

π

b) .3

π

c) 2

.3

π

d) .π

e) 4

.3

π

9. (Uem-pas 2015) Sejam 1 2 3(a ,a ,a ,....) e 1 2 3(b ,b ,b ,....), com , i ia ,b respectivamente,

uma progressão aritmética (PA) e uma progressão geométrica (PG) infinitas. Nessas

condições, assinale o que for correto.

01) Se 1 2 3a a a 3 e 1 21

a a ,2

então a razão da PA é 1

.2

02) Se 1b 1 e a razão da PG é 1, e se n , então a soma dos n primeiros termos dessa

PG é zero. 04) Se todos os ia forem positivos, então a PA é crescente.

08) Se a razão da PG for negativa, então a PG é decrescente.

16) Se 44a 16 10 e 4

12a 32 10 , então 5101a 21 10 .


TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Leia o texto para responder à(s) questão(ões). Pesquisas mostram diferenças numéricas significativas entre as várias regiões do Brasil no que diz respeito ao número de fiéis distribuídos pelos diversos grupos religiosos. Os católicos, por exemplo, tem uma maior participação no total da população nas regiões Nordeste

e Sul, ultrapassando 80% da população no Nordeste contra uma média nacional de 74%. Por

outro lado, Rio de Janeiro e Rondônia são os estados com menor população de católicos. Considere que nos anos seguintes a publicação dos dados constantes no quadro abaixo, o

número de fiéis das religiões orientais cresceu 20% ao ano em progressão geométrica

enquanto que o número de fiéis afro-brasileiros cresceu 25% ao ano em progressão

aritmética. Números de fiéis por grupos religiosos no Brasil

REGIÃO NORTE Nº. DE FIÉIS

Católicos 9.285.000

Evangélicos 2.550.000

Afro-Brasileiro 5.500

Orientais 15.000

Espiritualista 50.500

Outras Religiões 156.500

Sem Religião 849.500

TOTAL 12.911.000

Fonte: Texto adaptado – www.mercator.ufc.br – Revista de Geografia da UFC, 2009.

10. (Uepa 2015) Sendo log(1,2) 0,08 e log(2,0736) 0,32, o tempo necessário para que o

número de fiéis das religiões orientais seja 16.104 a mais do que o valor constante no quadro

acima é: a) 72 meses b) 60 meses c) 48 meses d) 40 meses e) 36 meses 11. (Ufg 2014) Devido às condições geográficas de uma cidade, um motorista, em seu veículo,

desloca-se pelas ruas somente nas direções norte-sul e leste-oeste, alternando o deslocamento entre essas direções. Cada um desses deslocamentos foi medido em intervalos iguais de tempo, nas duas direções e com o mesmo número de medições em ambas, obtendo-se os seguintes dados:

- direção norte-sul: 1x 1km, 2x 3 km e 3x 5 km;

- direção leste-oeste: 1y 1km, 2y 2 km e 3y 4 km.

Sabendo que o motorista inicia seu deslocamento na direção norte-sul, que este padrão de deslocamento manteve-se ao longo de todo o percurso e que a soma das distâncias

percorridas no sentido norte-sul foi de 36 km, determine a soma dos deslocamentos do

motorista, em km, no sentido leste-oeste.


12. (Uem 2014) Uma sequência infinita de quadrados é construída da seguinte forma: dado

um quadrado iQ , constrói-se outro quadrado iQ 1, cujos vértices estão sobre os lados de iQ

e de tal forma que a distância de qualquer vértice de iQ 1 ao vértice de iQ mais próximo dele

é igual a 1/3 do lado de iQ .

Sobre essa sequência de quadrados, assinale o que for correto. 01) O lado do quadrado iQ 1 é igual a 5/9 do lado do quadrado iQ .

02) A área do terceiro quadrado construído é menor do que a metade da área do primeiro quadrado.

04) A sequência formada pelas áreas dos quadrados construídos dessa forma é uma progressão geométrica de razão 5/9.

08) A sequência formada pelos lados dos quadrados construídos é uma progressão aritmética

de razão 5 / 3. 16) As diagonais de todos os quadrados construídos se intersectam no mesmo ponto. 13. (Uepa 2014) Os museus são uma das formas de comunicar as produções científicas entre

as gerações. Um exemplo dessa dinâmica é a comunicação da ideia de que “nada que é humano é eterno”, sugerida por um sistema composto por um motor e engrenagens exposto num museu de São Francisco, nos EUA. Suponha que esse sistema é composto por um motor elétrico que está ligado a um eixo que o faz girar a 120 rotações por minuto (rpm), e este, por meio de um parafuso sem fim, gira uma engrenagem a uma velocidade 20 vezes menor que a velocidade do próprio eixo e assim sucessivamente.

Texto Adaptado: Revista Cálculo, Agosto 2013. Um sistema similar ao sistema descrito acima contém n engrenagens, todas ligadas umas às outras por meio de eixos e parafusos sem fim, que fazem cada uma das engrenagens girar 20 vezes mais lentamente do que a engrenagem anterior. Nestas condições, o número n de

engrenagens necessárias para que a velocidade da última engrenagem seja igual a 0, 015 rpm

é: a) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. 14. (Pucrj 2014) Vamos empilhar 5 caixas em ordem crescente de altura. A primeira caixa tem

1m de altura, cada caixa seguinte tem o triplo da altura da anterior. A altura da nossa pilha de

caixas será: a) 121 m b) 81 m c) 32 m d) 21 m e) 15 m


15. (Uema 2014) Numa plantação tomada por uma praga de gafanhotos, foi constatada a

existência de 885.735 gafanhotos. Para dizimar esta praga, foi utilizado um produto químico em uma técnica, cujo resultado foi de 5 gafanhotos infectados, que morreram logo no 1º dia. Ao morrerem, já haviam infectado outros gafanhotos. Dessa forma, no 1º dia, morreram 5 gafanhotos; no 2º dia, morreram mais 10; no 3º dia, mais 30 e assim sucessivamente. Verificando o número de mortes acumulado, determine em quantos dias a praga de gafanhotos foi dizimada. 16. (Enem PPL 2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa

afirmação. Ele usou uma população inicial de 510 bactérias X e encerrou a observação ao

final de uma hora.

Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.

Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de

a) 2 52 10

b) 1 52 10

c) 2 52 10

d) 3 52 10

e) 4 52 10 17. (Fgv 2014) a) Um sábio da Antiguidade propôs o seguinte problema aos seus discípulos:

“Uma rã parte da borda de uma lagoa circular de 7,5 metros de raio e se movimenta saltando em linha reta até o centro. Em cada salto, avança a metade do que avançou no salto anterior. No primeiro salto avança 4 metros. Em quantos saltos chega ao centro?”

b) O mesmo sábio faz a seguinte afirmação em relação à situação do tem A: “Se o primeiro salto da rã é de 3 metros, ela não chega ao centro.” Justifique a afirmação.

18. (Ufrgs 2014) Considere o padrão de construção representado pelos desenhos abaixo.

Na etapa 1, há um único quadrado com lado 1. Na etapa 2, esse quadrado foi dividido em nove quadrados congruentes, sendo quatro deles retirados, como indica a figura. Na etapa 3 e nas seguintes, o mesmo processo é repetido em cada um dos quadrados da etapa anterior. Nessas condições, a área restante, na etapa 5, é

a) 125

.729

b) 125

.2187

c) 625

.729

d) 625

.2187

e) 625

.6561

19. (Pucrj 2014) A Copa do Mundo, dividida em cinco fases, é disputada por 32 times. Em cada fase, só metade dos times se mantém na disputa pelo título final. Com o mesmo critério em vigor, uma competição com 64 times iria necessitar de quantas fases? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9


20. (Uerj 2014) Um feirante vende ovos brancos e vermelhos. Em janeiro de um determinado

ano, do total de vendas realizadas, 50% foram de ovos brancos e os outros 50% de ovos

vermelhos. Nos meses seguintes, o feirante constatou que, a cada mês, as vendas de ovos

brancos reduziram-se 10% e as de ovos vermelhos aumentaram 20%, sempre em relação ao

mês anterior. Ao final do mês de março desse mesmo ano, o percentual de vendas de ovos vermelhos, em relação ao número total de ovos vendidos em março, foi igual a: a) 64% b) 68% c) 72% d) 75% 21. (Uema 2014) Considere a seguinte situação sobre taxas de juros no mercado financeiro,

em que o cálculo é efetuado por uma composição de juros determinado pelo coeficiente

n

1 i , sendo i a taxa de juros e n o período (tempo). Este coeficiente é multiplicado ou

dividido, de acordo com a natureza da operação, do empréstimo ou da aplicação. O Sr. Borilo

Penteado tomou um empréstimo de a R$800,00 juros de 5% ao mês. Dois meses depois,

pagou R$400,00 e, um mês após o último pagamento, liquidou o débito. O valor do último

pagamento, em reais, é de a) 1.282,00. b) 926,10. c) 882,00 d) 526,10. e) 506,10. TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES:

A sequência de figuras acima ilustra três passos da construção de um fractal, utilizando-se como ponto de partida um triminó: o nível I é constituído de uma peça formada por três

quadrados de 1cm de lado cada, justapostos em forma de L. No segundo passo, substitui-se

cada quadrado do fractal de nível I por um triminó, que tem os comprimentos dos lados de seus quadrados adequadamente ajustados à situação, de forma a se obter o fractal de nível II, conforme ilustrado acima. No terceiro passo, obtém-se, a partir do fractal de nível II, também substituindo-se cada um de seus quadrados por um triminó com os lados de seus quadrados ajustados, o fractal de nível III. O processo continua dessa forma, sucessiva e indefinidamente,

obtendo-se os fractais de níveis n I, II, III, ... .

22. (Upf 2014) Com base nessas informações, a partir de que nível a área da figura se torna

menor que 21cm ?

a) Nível 3. b) Nível 4. c) Nível 5. d) Nível 6. e) Nível 7. 23. (Upf 2014) Uma vez que n representa o nível do fractal, a área do fractal de nível n é:

a)

n1

32

b)

n3

2

c)

nn 1 1

34

d)

n 1

33

4

e) (1 n)n3 2


Gabarito: Resposta da questão 1:

a) palavras com uma letra: 2 palavras com duas letras: 2

2

palavras com três letras: 23

E assim sucessivamente. Portanto, o número de palavras de comprimento menor do que 6 será dado por:

2 4 9 16 32 62.

b) Utilizando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.G, temos:

N

6

N 1 6

N 1 6

N 1

2 2 110

2 1

2 2 10

2 10 2

2 1000002

20

19

2 1024 1024 1000002

2 512 1024 1000002

Logo, N 1 20 N 19.

Resposta da questão 2: [A] A única PG que obedece às condições da questão é (1, 2, 4, 8, 16, 32). Portanto, com certeza esta pessoa apostou no número 1. Resposta da questão 3: [E]

Sejam q e r, respectivamente as razões de 1S e 2S .

De 2S , vem

2(a b) c ( 6a c) b 4a.

Logo, tem-se que 1S {a, 4a, 48, } e, portanto, 4a

q 4.a

Em consequência, dado que q e

r são opostas, encontramos r 4 e 48

4,4a

o que implica em a 3. Daí, temos b 12 e

c 5, pois b 4a e a b c 4.

Por conseguinte, o valor de a b c é 10.


Resposta da questão 4:

[E] Lembrando que o limite da soma dos termos de uma progressão geométrica de primeiro termo

1a e razão 1 q 1 é dado por 1a,

1 q temos

3 6 9

3

3

3

0,001 0,000001 0,000000001 10 10 10

10

1 10

1

10 1

1.

999

Resposta da questão 5: [B]

Comprimento de uma semicircunferência de raio 2 r

r : r2

ππ

Logo, a soma pedida será dada por:

S 1 2 4 8 ...

S (1 2 4 8 ...)

1S

11

2

S 2

π π π π

π

π

π

Resposta da questão 6: Tem-se que

n n

n n

n n

1 11 1 1 1

2 4 2 2 4 2n

1 11 1

1 12 21 12 2

1 12 2

1 11 1

2 2

K 3 3 3 2 2 2

3 2

3 2 .

Se n , então n

10

2

e, portanto, segue que nK 3 2 1.

Resposta da questão 7: Sem resposta. Gabarito Oficial: [D] Gabarito SuperPro®: Sem resposta.

Supondo uma taxa de crescimento constante de 0,163, tem-se que o resultado pedido é dado

por 6 3455 (1,163) 1,13 10 bilhões de reais



[E]

Área do círculo maior: 2A 1π π

O raio do segundo círculo é 1

2 do raio do primeiro, portanto a segunda área será

2

21

A .2 4

ππ

A sequência das infinitas áreas é uma P.G. de razão 1

q .4

Daí, a soma dos infinitos termos desta sequência será dada por:

4S

1 31

4

π π


01 + 16 = 17. [01] Verdadeira.

2 2 2 2

1 1

a r a a r 3 a 1

1 1a 1 a

2 2

Logo, a razão da P.A. será dada por 1 1

r 1 .2 2

[02] Falsa, pois n

n

n

1 1 1( 1) 1

S1 1 2

que é igual a zero se n for par e igual a 1 e se n

for ímpar.

[04] Falsa. A P.A. poderia ser constante, como no exemplo (5, 5, 5, 5, ).

[08] Falsa. A P.G. será alternante. [16] Verdadeira, pois

4 4 412 4

4 4 4 4101 12 101 101 101

a a 8 r 32 10 16 10 8 r r 2 10

a a 89 r a 32 10 89 2 10 a 10 (32 2 89) a 210 10



[C]

O número de fiéis das religiões orientais após n anos é dado por nna 15000 (1,2) , com n

sendo um número natural.

Queremos calcular n de modo que na 15000 16104 31104. Logo, segue que

n n

n

31104 15000 (1,2) (1,2) 2,0736

log(1,2) log2,0736

n log(1,2) log2,0736

log2,0736n

log(1,2)

0,32n

0,08

n 4.

Portanto, a resposta é 4 12 48 meses. Resposta da questão 11:

Norte Sul: P.A. (1, 3, 5, ...)

n na 1 (n 1) 2 a 2n 1

Como a soma do termo é 36, temos:

1 2n 1 n36 n 6

2

Leste- Oeste (n = 6) P.G. (1, 2, 4, 8, ...)

6

6

1 2 1S 63km

2 1


02 + 04 + 16 = 22.

2 22 a 2a

AD3 3

a 5AD

3


[01] Falsa. O lado do quadrado iQ 1 é igual a 5

3 do lado do quadrado iQ .

[02] Verdadeira, pois

2 25a 25a

9 81

e

2 225a a.

81 4

[04] Verdadeira, pois

2a 5 5

.3 9

[08] Falsa, pois é uma P.G de razão 5

.3

[16] Verdadeira. Na figura acima os triângulos PAF, PDG, PCH e PBE são congruentes pelo caso LAL, portanto, o ponto P é equidistante dos pontos A, B, C, e D. Portanto, P é centro do quadrado ABCD. Resposta da questão 13:

[A] De acordo com as informações, obtemos

n

n

n 3

1200,015 20 8000

20

20 20

n 3.

Observação: rpm é uma unidade de frequência, que é o número de revoluções por unidade de

tempo. Resposta da questão 14:

[A]

A altura da pilha é igual a 1 3 9 27 81 121m.

Resposta da questão 15: O número total de gafanhotos mortos após n dias constitui a progressão geométrica

n 1(5,15, 45, , 5 3 , ).

Daí, temos

n 1 n 1

n 1 11

5 3 885735 3 177147

3 3

n 12.

Portanto, a resposta é 12 dias.



[E]

Uma hora corresponde a 4

4 de hora. Logo, ao fim de uma hora, o número de bactérias X foi

de 4 52 10 . Resposta da questão 17:

a) As distâncias percorridas pela rã constituem uma progressão geométrica de primeiro

termo igual a 4 e razão 1

.2

Logo, se n é o número de saltos necessários para que a rã

alcance o centro, então

n

n

n

11

7,5 124 7,5 1

1 8 21

2

1 1

2 16

n 4.

b) Supondo que a rã pudesse dar tantos saltos quanto quisesse, teríamos

nn

3lim S 6.

11

2

Portanto, como 6 7,5, concluímos que a rã não chegaria ao centro.

Resposta da questão 18: [E]

A sequência é uma P.G. de razão 5

9

2 3 45 5 5 5

1, , , , ,9 9 9 9

O quinto termo é 4

5 625.

9 6561

Resposta da questão 19: [B] O número de times em cada fase corresponde aos termos da progressão geométrica

(64, 32, , 2). Logo, sendo n o número de fases pedido, temos:

n 1

1 n 512 64 2 2 n 6.

2



[A]

Seja 2q a quantidade total de ovos vendidos em janeiro. Assim, o resultado pedido é dado por

2

2 2

(1,2) q 1,44100% 100%

2,25(1,2) q (0,9) q

64%.

Resposta da questão 21: [E]

O montante da dívida após 2 meses é 2800 (1 0,05) R$ 882,00. Pagando R$ 400,00, o

saldo devedor fica em 882 400 R$ 482,00. Portanto, o valor do último pagamento é igual a

482 (1 0,05) R$ 506,10.


[C] De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão 3/4, representada pela sequência abaixo:

... ,

256

243 ,

64

81 ,

16

27 ,

4

9 ,3

Como 243 < 256 concluímos que a partir do nível 5 a área da figura se torna menor que 1. Resposta da questão 23: [D] De acordo com o texto as áreas formam uma P.G. de razão 3/4, representada pela sequência abaixo:

... ,

256

243 ,

64

81 ,

16

27 ,

4

9 ,3

Apresentando a fórmula do termo geral da P.G., temos:

n 1

n3

a 3 ,4

onde 3/4 é a razão da P.G.

pg apostila 2 -...

Documents