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Ondas

ONDASMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

23 de maio de 2013

R.R.Pela Ondas

Ondas

Roteiro

1 OndasModos normais de VibracaoOndas SonorasEfeito Doppler

R.R.Pela Ondas

OndasModos normais de VibracaoOndas SonorasEfeito Doppler

Roteiro

1 OndasModos normais de VibracaoOndas SonorasEfeito Doppler

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Modos normais de Vibracao

Vamos considerar uma corda de comprimento L presa nasduas extremidades. Condicoes de contorno:

y(0, t) = y(L, t) = 0

Nao e conveniente expressar as ondas em termos de ondasprogressivas. Vamos voltar a equacao de onda

∂2y

∂2x=

1

v2∂2y

∂t2

E, com base na expressao obtida para ondas estacionarias,supomos:

y(x, t) = F (x)G(t)

Esse metodo se chama metodo de separacao de variaveis e,apesar de parecer simplificado e sem devido rigor, e capaz deproduzir a solucao exata.

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Substituindo F (x)G(t) na EDP:

F′′(x)G(t) =

1

v2F (x)G

′′(t)

Portanto:F

′′(x)

F (x)=

G′′(t)

v2G(t)

Uma forca que so depende de x e igual a outra forca que sodepende de t: isso so e possıvel quando as forcas saoconstantes

F′′(x)

F (x)=

G′′(t)

v2G(t)= λ

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Caso λ = σ2 > 0Portanto: F (x) = A sinhσx+B coshσxComo F (0) = F (L) = 0⇒ B = A = 0, logo este caso naoconvem.Caso λ = 0F (x) = Ax+BComo F (0) = F (L) = 0⇒ B = A = 0, logo este caso naoconvem.Caso λ = −k2 < 0F (x) = A sin(kx) +B cos(kx)Como F (0) = 0⇒ B = 0

F (L) = 0⇒ o unico modo de A nao ser zero e sek =

nπ

L, por outro lado: G

′′(t)− w2G(t) = 0, w = kv.

Portanto: G(t) = cos(wt+ δ).

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yn(x, t) = A sin(nπxL

)cos

(nπvt

L+ δ

)o que pode ser escrito como:

yn(x, t) = sin(nπxL

)[an cos

(nπvt

L

)+ bn sin

(nπvt

L

)]este e conhecido como um modo normal de vibracao da corda.Trata-se de uma onda estacionaria de frequencia bem definida:

fn =nv

2L

e tambem com um comprimento de onda bem definido:

λn =2L

n

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O movimento geral da corda e dado por uma superposicao detodos os modos normais:

y(x, t) =

∞∑n=1

sin(nπxL

)[an cos

(nπvt

L

)+ bn sin

(nπvt

L

)]As constantes an e bn podem ser obtidas atraves das

condicoes iniciais y(x, 0) = y0(x) e∂y

∂t(x, 0) = y1(t).

y0(x) =

∞∑n=1

an sin(nπxL

)y1(x) =

∞∑n=1

bnnπv

Lsin(nπxL

)R.R.Pela Ondas



L∫0

y0(x) sin(mπx

L

)dx =

∞∑n=1

an

L∫0

sin(nπxL

)sin(mπx

L

)︸︷︷︸

L

2δmn

dx

∴ am =2

L

L∫0

y0(x) sin(mπx

L

)dx

Analogamente:

∴ bm =2

mπv

L∫0

y1(x) sin(mπx

L

)dx

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Exemplo

Uma corda sob tensao T e com densidade linear µ e presa nasposicoes x = 0 e x = L.

1 Deduza as seguintes expressoes (para a energia cineticaK e potencial U da corda):

K =1

2µ

∫ L

0

(∂y

∂t

)2

dx, U =1

2T

∫ L

0

(∂y

∂x

)2

dx.

Para os proximos itens, considere que em t = 0, a cordaparte do repouso com a seguinte configuracao:

y(x, 0) = 2a sin

(2πx

L

)+ 3a sin

(πxL

),

onde a e uma constante com dimensao de comprimento.2 Qual a expressao para y(x, t)?3 Obtenha a energia total E(t) em funcao de a, L, T e µ.

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Ondas Sonoras – Motivacao

Esta presente nas nossas vidas

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Sonar

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Apreciacao cultural e projeto de ambientes

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Projeto de componentes eletronicos

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Controle de ruıdo sonoro

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Ondas Sonoras

Corpos em vibracao produzem sons.O som chega aos nossos ouvidos se propagando atravesde um meio material.As ondas sonoras na atmosfera sao ondas longitudinais,associadas a variacoes de pressao, ou seja, acompressoes e rarefacoes.Frequencias audıveis ao ser humano: entre 20Hz e 20kHz.

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Modelo matematico

Vamos abordar o caso unidimensional.Consideremos uma porcao de ar de largura ∆x.Nas extremidades dessa porcao de ar, ha pequenosdeslocamentos de u(x) e u(x+ ∆x).

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Modelo matematico

Volume inicial: V = A∆x

Volume final: V + ∆V = A∆x+A∆u ∴ ∆V = A∆u

Aplicando a 2a lei de Newton (sendo p(x) a pressao):

ρ0A∆x∂2u

∂t2= −A(p(x+ ∆x)− p(x)) = −A∆x

∂p

∂x

Suponha que o processo de expansao do gas sejagovernado por uma relacao entre pressao e volume dadapor p(V )

Por exemplo, processo isotermico p(V ) = k/V .Por exemplo, processo adiabatico p(V ) = k/V γ .

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Modelo matematico

Seja p0 = p(V ) a pressao inicial (antes da onda decompressao/rarefacao).A pressao p = p(V + ∆V ) depois da onda e

p ∼= p0 +∂p

∂V∆V = p0 + V

∂p

∂V

∆V

V

Como B = −V ∂p

∂Ve o modulo de elasticidade (bulk

modulus) e∆V

V=

∆u

∆x∼=∂u

∂x

p ∼= p0 −B∂u

∂x

∂p

∂x= −B∂

2u

∂x2

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Modelo matematico

Equacao de onda:

∂2u

∂t2=B

ρ0

∂2u

∂x2

Velocidade do som:

v =

√B

ρ0

Esta velocidade depende do processo deexpansao/rarefacao da onda sonora (se e isotermico, se eadiabatico, por exemplo), pois B depende disso.

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Exemplo

Para um processo adiabatico: B = −V ∂p

∂V= γkV −γ = γp

v =

√γp

ρ0=

√γRT

M

No caso do ar (80% N2 e 20% O2), tem-se:

{γ ∼= 1,40

M ∼= 0, 0289 kg/mol∴ v ∼= 347 m/s a T = 27 ◦C

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Efeito Doppler – Motivacao

Cultura: Big Bang Theory

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Aviao cruzando a barreira do som

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Cuidados na gestacao

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Medicao de velocidade

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Meteorologia

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Efeito Doppler

Efeito Doppler: uma mudanca no comprimento de ondarecebido quando uma fonte emissora (e/ou um receptor)estao em movimento.No caso do som, o movimento e dito ser em relacao aoreferencial de repouso da atmosfera, em relacao ao qual osom se propaga com velocidade vsom.Supomos, em princıpio, que a velocidade da fonte e doobservador sao menores que vsom.Se a fonte esta em repouso (no referencial O) e oobservador se movimenta na direcao da fonte(aproximando-se desta), ele cruza com as frentes de ondaem intervalos de tempo menores que o perıodo.

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Efeito Doppler

As ondas emitidas pela fonte sao caracterizadas por:

u = u0 cos(kx− wt+ δ)

Mas, no referencial em movimento:

x = x′ ± vobst

{+ : afastamento− : aproximacao

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Efeito Doppler

Para o referencial O′ em movimento:

u = u0 cos(kx′ ± kvobst− wt+ δ)

A nova frequencia e:

w′ = w ∓ kvobs

∴ f ′ = f

(1∓ vobs

vsom

){− : afastamento+ : aproximacao

Quando fonte e observador se movimentam:

f ′ =

1∓ vobsvsom

1±vfontevsom

f

{sinal superior: afastamentosinal inferior: aproximacao

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Efeito Doppler

Quando o movimento se da numa direcao diferentedaquela que une fonte e observador, na expressao doefeito Doppler, e preciso tomar a componente davelocidade que contribui para a aproximacao ou oafastamento.

f ′ =

(1 +

vobs cos θ

vsom

)f

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Efeito Doppler

Suponhamos agora que a fonte se mova com velocidadesupersonica (vfonte > vsom).Neste caso, a fonte chega num ponto antes da frente deonda emitida.

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Efeito Doppler

Todas as ondas geradas pela fonte entre F0 e F ficamcontidas dentro de um cone com vertice em F e eixo F0Fcujas geratrizes sao as envoltorias das frentes de onda ecujo angulo de abertura e:

sinα =vsomvfonte

Este cone chama-se cone de Mach; α e o angulo de Machevfontevsom

> 1 e o chamado numero de Mach.

As ondas emitidas nas vizinhancas de F0 chegam a P nomesmo instante de tempo. Na regiao perpendicular asuperfıcie do cone de Mach, a acumulacao das frentes deonda que chegam simultaneamente a P produz uma ondade choque.

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