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Introducao a Mecanica Analıtica

INTRODUCAO A MECANICA ANALITICAMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

14 de maio de 2013

R.R.Pela Mecanica Analıtica

Introducao a Mecanica Analıtica

Roteiro

1 Introducao a Mecanica AnalıticaIntroducaoVınculos e Coordenadas GeneralizadasPrincıpio dos Trabalhos Virtuais


Introducao a Mecanica AnalıticaIntroducaoVınculos e Coordenadas GeneralizadasPrincıpio dos Trabalhos Virtuais

Roteiro

1 Introducao a Mecanica AnalıticaIntroducaoVınculos e Coordenadas GeneralizadasPrincıpio dos Trabalhos Virtuais



Motivacao

No estudo da Mecanica Classica conduzido ate agora,ficou clara a importancia das leis de Newton.Usando a 2a Lei de Newton e dadas as condicoes iniciais,somos capazes de obter as equacoes de movimento deum sistema e descrever seu movimento.



Motivacao

No entanto, a leis de Newton so podem ser usadas setodas as forcas agindo num sistema sao conhecidas.

Em muitas situacoes, isto complica o problema.Nesse sentido, dois metodos foram desenvolvidos parafacilitar a solucao dos problemas: Lagrange e Hamilton.

Estes metodos nao sao resultados de novas teorias naMecanica, mas sim sao derivados das leis de Newton.



Motivacao

Realidade virtual



Vantagens da Mecanica Analıtica

Uso de coordenadas generalizadasNao ha preferencia alguma por coordenadas retangularesx, y, z, mas sim as que forem mais convenientes.Podem ser coordenadas generalizadas, um angulo, umaposicao, uma velocidade, um momento angular, ou umcomprimento ao quadrado, etc. – desde que obedecam aalgumas exigencias. Ha uma grande flexibilidade.



Vantagens da Mecanica Analıtica

Uso de grandezas escalares em vez de vetoriaisSao metodos baseados em energia.Isto evita muitas confusoes tıpicas de vetores (comosentido positivo do movimento).

Mecanica Analıtica: base das Mecanica Estatıstica eQuantica.



Vınculos

Equacao de movimento:

mid2~ridt2

= ~Fi = ~F(ext)i +

∑j

~Fji

sendo ~Fji a forca da partıcula j sobre a partıcula i(~Fii , ~0).Esta equacao, de certa forma, assume que a partıculapode movimentar em qualquer lugar do espaco.



Vınculos

Isto nem sempre e verdadeFrancamente, isto nunca e verdade: o espaco livre e umaidealizacaoPor exemplo:

1 o trem de um parque de diversoes (felizmente) tem seumovimento restringido aos trilhos

2 as bolhas de bilhar se movem estritamente na superfıcie deuma mesa de sinuca.



Vınculos

Nos casos em que o movimento e restrito por algumaimposicao externa, dizemos que o sistema possui vınculos(que sao dados pela propria imposicao externa).Para expressar a restricoes impostas pelos vınculos,escrevemos algumas equacoes matematicas querelacionam as coordenadas entre si.Os vınculos podem ser holonomicos, quando a restricaotem a forma:

f(~r1, ~r2, · · · , t) = 0

ou entao, nao-holonomico, caso nao seja possıvelencontrar uma equacao como antes.



Vınculos

Exemplos de vınculos holonomicos.Partıcula se movendo no plano xy : z = 0.Corpo rıgido: (~ri − ~rj)

2 − c2ij = 0.

Exemplos de vınculos nao-holonomicos:Quando a restricao envolve desigualdades, como z ≥ 0.

Quando a restricao depende de derivadasd~ridt

.



Vınculos

Os vınculos sao um conceito classico idealizado: nenhummovimento segue uma restricao perfeita na MecanicaQuantica (devido ao Princıpio da Incerteza).



Vınculos

Um vınculo holonomico pode envolver uma forca que ateassume valores infinitos, se for o caso – na realidade, ascoisas sao mais suaves.



Vınculos

Um vınculo holonomico (que e o que iremos considerar nocurso) reduz o numero de variaveis independentes em 1.Por exemplo, se z = 0, entao so estao livres x e y. De umaforma geral:

f(~r1, ~r2, · · · , t) = 0 implica x1 = g(y1, z1, ~r2, ~r3, · · · , t)

ou seja, x1 e dependente das demais coordenadas, assimbasta encontrar y1(t), z1(t), ~r2(t), · · · que automaticamentex1(t) fica determinado.As vezes, conforme o vınculo, pode ser interesanterealizar uma mudanca de coordenadas, como

x2 + y2 + z2 = R2

seria uma boa escolha mudar para θ e φ (comocoordenadas independentes)



Coordenadas generalizadas

O conjunto de coordenadas independentes capazes deespecificar completamente o problema e chamado decoordenadas generalizadas.Em princıpio, na ausencia de forcas, todos os sistemas decoordenadas sao iguais (x, y, z e o mais simples).No entanto, as forcas quebram essa simetria: algunssistemas de coordenadas funcionam melhor que outros.As coordenadas generalizadas oferecem uma maneiranatural de lidar com sistemas sob a acao de tais forcas.



Coordenadas generalizadas

Para descrever completamete um sistema de N partıculaspodem ser necessarias 3N coordenadas. No entanto, seexistirem k vınculos holonomicos, o numero decoordenadas (generalizadas) cai para n = 3N − k.Esse numero n e chamado de numero de graus deliberdade e as coordenadas generalizadas saorepresentadas por:

q1, q2, q3, · · · , qn

A seguir, veremos como encontrar a equacao de evolucaotemporal de cada coordenadas generalizadas.



Princıpio dos Trabalhos Virtuais

Existe um metodo de estudar o equilıbrio de um corporıgido que dispensa o calculo das reacoes vinculares,reduzindo o numero de equacoes a serem resolvidas.Este metodo esta apoiado num princıpio – conhecidocomo Princıpio dos Trabalhos Virtuais – que foi:

Imaginado por AristotelesAperfeicoado por Galileu e StevinEnunciado de forma geral em 1717 pelo matematico suıcoJohanm BernoulliColocado, por Lagrange, na posicao singular que aindahoje ocupa de princıpio basico para todas as MecanicasAvancadas




Deslocamento virtual: de um deslocamento elementar(infinitesimal) possıvel de se imprimir a um sistema e queseja compatıvel com os vınculos.

Veja que o deslocamento virtual e hipotetico (isto e, apenaspensado, nao realizado) e e concebido sem que o tempopasseE um deslocamento imaginario a “tempo congelado” querespeita os vınculos

Para distinguir um deslocamento virtual e umdeslocamento real, e costume escrever δ~r para o primeiroe d~r para o segundo.




Se um sistema de N partıculas e descrito com ncoordenadas generalizadas qj(j = 1, · · · , n), entao:

~r1 = ~r1(q1, q2, · · · , qn, t)~r2 = ~r2(q1, q2, · · · , qn, t)

...~rN = ~rN (q1, q2, · · · , qn, t)

Imaginando, entao, que cada partıcula recebeu sofreu umligeiro deslocamento virtual e sua posicao passou de ~ripara ~ri + δ~ri, onde temos:

δ~ri =

n∑j=1

∂~ri∂qj

δqj

Note a ausencia de ∆t




Sendo ~Fi a forca total que age na partıcula i, entaotrabalho virtual de ~Fi e:

δWi = ~Fi.δ~ri

O trabalho total realizado sobre o sistema e:

δW =

N∑i=1

~Fi.δ~ri

Separando em duas partes: ~Fi = ~F(a)i + ~fi, onde ~fi e a

soma de todas as forcas de vınculos agindo na partıcula ie ~F

(a)i as forcas aplicadas agindo em i.

OBS.: quando uma forca nao e vincular, ela e chamada deforca aplicada.




As forcas de vınculos holonomicos realizam trabalhovirtual nulo (geralmente porque sao normais aodeslocamento ao deslocamento virtuais realizados):

δW =

N∑i=1

~F(a)i .δ~ri =

N∑i=1

n∑j=1

~F(a)i .

∂~ri∂qj

δqj

Princıpio dos trabalhos virtuais:“A condicao necessaria e suficiente para que um

sistema permaneca em equilıbrio e que seja nula a somados trabalhos virtuais das forcas aplicadas ao sistema,num deslocamento reversıvel qualquer.”




A demonstracao de que e condicao necessaria e simples.Por outro lado, a demonstracao de que e condicaosuficiente e complicada e, por isso, omitiremos.Veja que a condicao de equilıbrio implica

~Fi = ~0 = ~F(a)i + ~fi

Assim, δW =

N∑i=1

~Fi.δ~ri = 0.

A vantagem de usar esse princıpio para obter o equilıbrioe que as forcas de vınculo nao aparecem nas equacoes,somente aperecem forca aplicadas (que, em geral, saoconhecidas).


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