Prova P01Oscilacoes

OSCILACOES FORCADASMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

26 de marco de 2013

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Roteiro

1 Prova P01

2 OscilacoesOscilacoes AmortecidasOscilacoes Forcadas

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Resultado

M: 65DP: 19

Conceito NL 3

MB 2B 9R 3I 12D 5

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O balanco de energia

Ja vimos que a equacao de oscilador amortecido e:

Mx+ ρx+ kx = 0

Multiplicando por x:

Mxx+ kxx = −ρx2 ,

Mxx+ kxx =dEMEC

dt, e

ρx2 e a potencia da forca de atrito viscoso = Fv

Note quedEMEC

dt< 0, isto e, a energia mecanica sempre

diminui.

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Exemplo

A barra tem uma massa de 3,00 kg. Se a rigidez da mola ek = 120 N/m e o amortecedor tem um coeficiente deamortecimento c = 1,00 kN.s/m, determine a equacaodiferencial que descreve o movimento em termos do angulo θde rotacao da barra. Alem disso, qual deveria ser o coeficientede amortecimento para um movimento criticamenteamortecido?

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Exemplo

Considerando um pequeno deslocamento angular θ.

Analisando os torques em relacao ao ponto C:

−k(θ−θ0)L2 − cθb2 −MgL

2=ML2

3θ

ML2

3θ + cb2θ + k(θ − θ0)L2 +Mg

L

2= 0

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Exemplo

Com a mudanca α = θ − θ0 +MgL

2kα2

ML2

3α+ cb2α+ kL2α = 0

α+3cb2

ML2α+

3k

Mα = 0

9c2b4

M2L4=

4.3.k

MSubstituindo:

α+ 360α+ 120α = 0→ amortecimento supercrıtico

Para amortecimento crıtico:

ccr = 2

√Mk

3

(L

b

)2

= 60,9 Ns/m

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Introducao

Vamos estudar agora o efeito produzido sobre o osciladorpor uma forca externa F (t). Estudaremos dois casos paraF (t):

F (t) = F0 → degrau de amplitude F0

F (t) = F0 sinwt

O primeiro caso e bastante simples de ser analisado, mastem uma importancia capital em projetos de controladores.No segundo caso a forca externa e periodica comfrequencia angular w, que pode coincidir ou nao com afrequencia natural do proprio oscilador.A EDO de um oscilador forcado e:

Mx+ ρx+ kx = F (t)

EDOL nao homogenea de 2a ordem.

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Resposta ao degrau

Se F (t) = F0 = kx0, entao a resposta do oscilador sera:

x(t) = x0 + xH(t) (1)

A solucao completa e a mesma do caso homogeneo, amenos de um deslocamento (“shift”) de x0.

xH(t) =

Aeλ1t +Beλ2t, amortecimento supercrıticoAe−γt sin(wdt+ φ), amortecimento subcrıticoe−γt(A+Bt), amortecimento crıtico

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Resposta ao degrau

Entrada degrau: aparece muito em problemas deengenharia.Os sistemas fısicos comumente admitem um modelosimplificado de sistema massa-mola.Quando e necessario controlar um sistema fısico,geralmente se aplica uma forca F (t) (ou uma correnteI(t), ou uma tensao E(t)) para que ele se comporte comodesejado.O caso em que F (t) = kx0 e muito comum:, geralmentedeseja-se que o sistema (considerado inicialmente emrepouso na posicao x = 0) atinja a posicao x0 (a novaposicao de equilıbrio) o mais rapido possıvel e aıpermaneca.Vamos vislumbrar como isso e possıvel para o casosubcrıtico (o mais comum).

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Resposta ao degrau

Nas hipoteses de condicoes iniciais nulas, a solucao e:

x(t) = x0

[1− e−γt sin(wdt+ β)

sinβ

]sendo β o suplementar do argumento do complexo−γ + iwd.

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Resposta ao degrau

Para esta situacao, a resposta x(t) aparece plotada nafigura seguinte

Mp: “overshoot” (mede o quanto o primeiro pico se afasta,percentualmente de x0): Mp = e−π cot β

tr: tempo de subida (“rise time”): tr ∼=π − βwd

ts: tempo de estabilizacao (“settling time”):

ts ∼=3

γ(para ± 5%)

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Resposta a forcantes senoidais

F (t) = F0 sin(wt)

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Exemplo

O ventilador tem uma massa de 25,0 kg e esta fixo aextremidade de uma viga horizontal que tem uma massadesprezıvel. A pa do ventilador esta montada excentricamenteno eixo de tal maneira que ela e equivalente a uma massadesequilibrada de 3,50 kg localizada a 100 mm do eixo derotacao. Se a deflexao estatica da viga e de 50,0 mm, comoresultado do peso do ventilador, determine a amplitude davibracao de estado estacionario do ventilador se a velocidadeangular da pa do ventilador e 10,0 rad/s.

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Solucao

Solucao: Podemos substituir a viga por uma mola. Se adeformacao estatica e 50,0 mm, entao kxe =Mg

∴ k =Mg

xe= 4950 N/m. O ventilador desequilibrado

corresponde a uma massa de 3,50 kg a 100 mm do eixo→ F = mw2r. Isto faz com que a reacao normal da viga variecom o tempo da forma N = N0 + F sinwt. Assim o sistemamassa-mola (na verdade, ventilador-viga) e excitado por umaforca senoidal. Sua amplitude de vibracao, em regime, e:

X = F |G(iw)|

sendo G(s) =1

Ms2 + k. Logo: X =

mw2r

|k −Mw2|

X = 14,6 mm

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Exemplo

O motor eletrico de 30,0 kg mostrado na figura seguinte esuportado por 4 molas, cada uma com elasticidade de200 N/m. Se o rotor e desequilibrado de tal maneira que seuefeito e equivalente a 4,00 kg de massa localizados a 60,0 mmdo eixo de rotacao, determine a amplitude de vibracao quandoo rotor esta girando a w0 = 10,0 rad/s. O fator deamortecimento e

c

ccr= 0,150.

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Solucao

O motor desequilibrado e modelado por uma massa dem = 4,00kg a r = 60,0mm do eixo de rotacao. Isto correspondea uma forca F0 = mw2r. Logo, a normal que o motor troca coma plataforma e:

N = N0 + F0 sin(wt)

A excitacao senoidal causa, em regime, uma deformacao comamplitude:

X = F0|G(iw)|

G(s) =1

Ms2 + cs+ 4k

Como ccr =√16kM = 309,84 Ns/m⇒ c = 46,48 Ns/m

G(iw) =1

4k −Mw2 + icw=

1

−2200 + 464,8i∴ |G(iw)| = 4,448×10−4m/N

Como F0 = 24N,X = 10,7mmR.R.Pela Oscilacoes

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Ressonancia

Consideremos um oscilador excitado por uma perturbacaoperiodica de frequencia angular w. A resposta do oscilador eperiodica com frequencia angular w e com amplitude igual:

A =F0√

(k −Mw2)2 + (ρw)2

A questao que levantamos e: para qual valor de w, o osciladorvibra com amplitude maxima? Para responder a esta questaodevemos minimizar o denominador, o que ocorre para

wr = w0

√1− 2γ2

w20

= w0

√1− 1

2Q2

sendo Q =ω0

2γ

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Ressonancia

Esta e a frequencia angular de ressonancia. As curvas deA(w) apresentam um pico neste valor, pico este que e tao maisestreito quanto menor γ (maior for o fator de qualidade).O valor wr e conhecido como frequencia de ressonancia deamplitude. E possıvel ocorrer ressonancia na velocidade maspara um valor de w diferente de wr. Vejamos:

em regime: x(t) = A(w)w cos(wt+ θ)

Logo, a velocidade (em regime permanente) variasenoidalmente no tempo com amplitude

F0w√(k −Mw2)2 + (ρw)2

Fazendo a maximizacao encontramos w = w0

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