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Gravitacao

GRAVITACAOMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

4 de junho de 2013

R.R.Pela Gravitacao

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Roteiro

1 GravitacaoIntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria

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IntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria

Roteiro

1 GravitacaoIntroducaoLei da Gravitacao UniversalCampo Gravitacional, Energia Potencial GravitacionalCampo CentralEquacao da Trajetoria

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Motivacao

Movimento dos corpos celestes: um problema que temintrigado o homem desde o inıcio da civilizacao.

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Motivacao

Gregos: a Terra ocupa o centro geometrico do Universo eos corpos celestes se movem em torno dela.

Primeira hipotese: corpos celestes descrevem trajetoriascirculares concentricas tendo a Terra como centro comum.Tal hipotese, entretanto, nao concordava com asobservacoes.

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Motivacao

Solucao: Teoria dos Epiciclos, formulada por Ptolomeu.

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Motivacao

Essa descricao foi aceita como correta ate que, no seculoXVI, o monge polones Nicolau Copernico propos que omovimento dos planetas, incluido a Terra, fosse feitorelativamente ao Sol, que estaria no seu centro.A ideia havia sido proposta por Aristarco no seculo III a.C.

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Motivacao

A hipotese de Copernico auxiliou Kepler a descobrir as leisdo movimento planetario.O passo seguinte foi a discussao da dinamica demovimento planetario e a interacao responsavel por ele.Foi nesse ponto que Isaac Newton deu sua notavelcontribuicao, a Lei da Gravitacao Universal.

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Lei da Gravitacao Universal


A interacao gravitacional entre dois corpos pode ser expressa poruma forca central, atrativa, proporcional as massas dos corpos einversamente proporcional ao quadrado da distancia entre eles.

Matematicamente:

~F = −Gmm′

r2ur

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Se nao tivermos massas puntiformes, mas uma delasestiver distribuıda numa linha, numa superfıcie ou numvolume, teremos, respectivamente:

1 Linha: ~F = −Gm∫λdl

r2ur

2 Superfıcie: ~F = −Gm∫σdA

r2ur

3 Volume: ~F = −Gm∫ρdv

r2ur

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Exemplo

A massa M esta uniformemente distribuıda ao longo de umdisco de raio a. Determine a intensidade da forca gravitacionalentre o disco e a partıcula de massa m localizada a umadistancia x acima do disco. Forneca sua resposta em funcaode M , m, x, a e da constante de gravitacao universal G.

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Campo Gravitacional

Este conceito e analogo ao de campo eletricoDependen apenas de 1 corpo, diferentemente da forca(que depende de dois corpos).E definido como a razao entre a forca gravitacional e amassa (de um corpo de teste).

~g =~F

m′= −Gm

r2ur

O sinal de menos indica que o campo gravitacional edirigido sempre para a massa que o produz.

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Campo Gravitacional

De forma analoga ao campo eletrico, um campogravitacional pode ser representado por linhas de forca.

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Campo Gravitacional

O campo gravitacional tambem admite uma lei analoga aLei de Gauss para o campo eletrico. No caso gravitacional:∮

S

~g · d ~A = −4πGmint(S)

No caso de uma esfera, a lei de Gauss e util para mostraro seguinte teorema.

A interacao gravitacional entre uma massa de formaarbitraria M e uma massa puntiforme m e igual a interacaoentre M e um corpo esferico homogeneo de massa m,desde que o centro do corpo esferico coincida com aposicao da massa puniforme.Demonstracao: Exercıcio.

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Energia Potencial Gravitacional

TeoremaToda forca radial cuja intensidade depende exclusivamente daposicao relativa (de 2 partıculas) e conservativa.

Forcas deste tipo sao chamadas de “centrais”Demonstracao: Por hipotese, ~F = F (r)r. Como F (r) euma “funcao bem comportada”, e suficiente provar que~∇× ~F = ~0. Em coordenadas esfericas:

~∇× ~F =1

r2 sin θ

∣∣∣∣∣∣∣∣r rθ r sin θφ∂

∂r

∂

∂θ

∂

∂φF (r) 0 0

∣∣∣∣∣∣∣∣ = ~0

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Energia Potencial Gravitacional

Consequencia: a Forca Gravitacional e conservativa.Podemos associar uma energia potencial (gravitacional),

de modo que ~F = −~∇Ep. Como ~F = −Gmm′

r2r e

~∇Ep =∂Ep

∂rr +

∂Ep

∂θ

θ

r+∂Ep

∂φ

φ

r sin θ, temos

∂Ep

∂r= −Gmm

′

r2. Tomando Ep(∞) = 0:

Ep = −Gmm′

r

Para um sistema de partıculas:

Ep = −G∑pares

mimj

rij= −G

2

N∑i=1

N∑j=1

mimj

rij

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Campo Central

O problema gravitacional de 2 corpos pode ser estudado,de um modo mais facil, como um problema de 1 partıculasujeita a uma forca central f(r).

Se um corpo e muito mais “pesado” que o outro, isto e facil(e o que vamos considerar aqui).Procure pensar como seria se os 2 corpos tem massascomparaveis.

Entretanto, ha situacoes em que f(r) tem expressaodiferente da forca gravitacional – como as forcasintermoleculares de Van der Walls.Vamos estudar inicialmente algumas propriedades geraisdos campos centrais e depois vamos particularizar para ocaso gravitacional.

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Campo Central

Ja vimos que toda forca central e conservativa. Issosignifica que a energia mecanica de um corpo se movendonesta condicao e conservada.Por outro lado, se a forca e central, seu torque em relacaoa origem e nulo e por conseguinte, o momento angulartambem e conservado.

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Exemplo de motivacao

O onibus espacial de 80,0 t esta numaorbita circular com 320 km de altitude,sobre a linha do Equador. Quando oonibus espacial passa sobre o campusda Un. Federal do Amapa (UNIFAP) emMacapa (longitude: −51,085◦), nosentido oeste-leste, seus dois motoresdo sistema de manobra orbital (cada umcom empuxo de 27,0 kN) sao acionados,ocasionando uma frenagem (forca paratras no onibus) por 150 s. Determine olocal em que o onibus estaciona naTerra.

Dados: R = 6371 km (raioda Terra) e g0 = 9,825m/s2 (gravidade nasuperfıcie)

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Leis de Kepler

1 Lei das Orbitas: Os planetas descrevem orbitas elıpticascom o sol num dos focos.

2 Lei das Areas: Uma linha que liga o planeta ao soldescreve areas iguais em tempos iguais.

3 Lei dos Perıodos: O quadrado do perıodo de revolucaode um planeta e diretamente proporcional ao cubo de suadistancia media ao sol.

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ExemploKepler concluiu que:(I) As orbitas dos planetas sao planas.(II) As orbitas dos planetas sao elıpticas e o Sol ocupa um dosfocos.(III) O raio vetor varre areas iguais em tempos iguais(velocidade areolar constante).(IV) O quadrado do perıodo de revolucao e proporcional aocubo do semi-eixo maior da orbita.Newton, entre outras coisas, descobriu que a forcagravitacional e uma forca central e isto implicaobrigatoriamente a validade de SOMENTE as afirmacoes:a I e IIb I e IIIc II e III

d III e IVe I, II, III e IV

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