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Oscilacoes

PENDULOSMecanica II (FIS-26)

Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pela

IEFF-ITA

15 de marco de 2013

R.R.Pela Oscilacoes

Oscilacoes

Roteiro

1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

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OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

Roteiro

1 OscilacoesIntroducaoOscilacoes HarmonicasPendulos

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Introducao

Sistemas que vibram: constituem uma classe deproblemas que e muito comum e muito importante.

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Introducao

Carros (um carro vibra por causa do motor e, tambem, porcausa da superfıcie da estrada)

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Introducao

Acionamento de discos de computadorAtomos em redes cristalinas

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Introducao

Cordas de violinosMaquina rotativa (ligeiramente desbalanceada)

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Introducao

Linhas de transmissao (vibracao induzida pelo vento)Asas de avioes (“flutter”)

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Introducao

Estruturas de edifıcios (comportamento de estruturassujeitas a terremotos)

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Classificacoes

Movimento oscilatorio: surge como uma resposta a umaperturbacao na presenca de forcas restauradoras.Ha dois tipos de vibracoes: livres e forcadas.

A vibracao livre ocorre quando o movimento e mantido poruma forca restauradoraA vibracao forcada e causada por uma forca externaperiodica ou intermitente aplicada ao sistema

As vibracoes podem ser tanto amortecidas quantonao-amortecidas. As vibracoes nao-amortecidascontinuam indefinidamente, pois os efeitos de atrito saodesprezados na analise.Como as forcas de atrito internas e externas estao semprepresentes, os movimentos oscilatorios sao na realidadeamortecidos.

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Sistema Massa-Mola

Usando a 2a. Lei de Newton

Mx = −kx

x+k

Mx = 0

A equacao do movimento da massa euma EDOLH de 2a. ordem.Esta mesma equacao poderia ser obtidaatraves do princıpio de conservacao daenergia:

Mx2

2+kx2

2= cte

derivando,

Mx+ kx = 0

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Sistema Massa-Mola

A solucao geral desta EDO e: x(t) = a cos(wt) + b sin(wt),

sendo w =

√k

M.

Esta funcao pode ser escrita de forma equivalente como:

x(t) = A cos(wt+ ϕ)

x(t) = A sin(wt+ φ) = A cos(wt+ φ− π

2

)O movimento de um oscilador (como este) se chamamovimento harmonico simples (MHS).

O perıodo do MHS e: T =2π

w= 2π

√M

k, ao passo que a

frequencia e f =1

T=

w

2π=

1

2π

√k

M.

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Sistema Massa-Mola

As constantes A e φ dependem das condicoes iniciais

x(0) = x0, x(0) = v0

A =

√x2

0 +(v0

w

)2

φ e tal que sinφ =x0

Ae cosφ =

v0

wA.

A constante A fornece a amplitude de oscilacao do MHS.Por outro lado, o termo wt+ φ e chamado de fase doMHS. Em t = 0, a fase e o proprio φ (que pode, por isso,ser chamado de fase inicial)

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Sistema Massa-Mola

A energia cinetica da massa (ao longo do tempo) vale:

Ec =Mv2

2=MA2w2

2cos(wt+ φ)

A energia potencial e:

Ep =kx2

2=kA2

2sin2(wt+ φ) =

MA2w2

2sin2(wt+ φ)

Ja a energia mecanica (que e constante) vale:

Emec =MA2w2

2

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Sistema Massa-Mola

Alem do valor instantaneo da energia cinetica e da energiapotencial, e interessante tambem obter um valor medio.No caso de uma grandeza periodica f(t), denomina-se ovalor medio de f o valor:

f = 〈f〉 =1

T

∫ t0+T

t0

f(t)dt

Para a energia cinetica e potencial, pode-se mostrar que:

Ec = Ep =MA2w2

4=Emec

2

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Pendulo de Torcao

Consideremos uma barra horizontalsuspensa em equilıbrio por um fio vertical.Se defletimos a barra no plano horizontal deum angulo ϕ, o fio reage com um torquerestaurador:

τ = −kϕ

k e o modulo de torcao do fio, que dependedo seu comprimento, diametro e material

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Pendulo de Torcao

Se I e o momento de inercia da barra em relacao ao eixovertical, a equacao de movimento e:

−kϕ = Iϕ

ϕ+k

Iϕ = 0

w =

√k

I

Sistemas deste tipo sao empregados em instrumentos delaboratorio muito sensıveis, como o galvanometro e abalanca de torcao utilizada na experiencia de Cavendish.

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Pendulo Simples

−Mg sin θ = MLθ

θ +g

Lsin θ = 0

Infelizmente, nao ha solucao analıtica paraesta equacao (a EDO e nao-linear).Para angulos pequenos: sin θ ∼= θ.

θ +g

Lθ = 0

Pode-se reconhecer que: w =

√g

Le

T = 2π

√L

g. Esta solucao e valida para

“pequenas oscilacoes” (pequenas amplitudesde oscilacao).

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Pendulo Simples

No caso de “grandes amplitudes”, o movimento nao eharmonico.Mas vejamos como obter o perıodo nesses casos.Suponhamos que o pendulo e abandonado (do repouso)de um angulo θ0. Usando conservacao de energia, temos:

−MgL cos θ0 = −MgL cos θ +ML2θ2

2

AteT

4, podemos dizer que θ = −

√2g

L(cos θ − cos θ0)

12 .

LogoT4∫

0

dt = −

√L

2g

0∫θ0

dθ

(cos θ − cos θ0)12

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Pendulo Simples

T = 2

√L

g

θ0∫0

dθ

(sin2( θ02 )− sin2( θ2))12

sendo sinα =sin( θ2)

sin( θ02 )

∆=

sin( θ2)

k, T = 4

√L

g

π2∫

0

dα

(1− k2 sin2 α)12

como (1− k2 sin2 α)−12 = 1 +

1

2k2 sin2 α+

3

8k4 sin4 α+ . . .

substituindo na integral, temos:

T = 2π

√L

g

[1 +

1

4sin2 θ0

2+

9

64sin4 θ0

2+ . . .

]

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Pendulo Fısico

Seja s a distancia do CM a O. Assim:

τ = −Mg sin θs

τ = Iθ

θ +Mgs

Isin θ = 0

Note que o pendulo composto equivale a um

pendulo simples de comprimento l =I

Ms.

Por isso, o ponto C (distando l de O ealinhado com o CM e O) e chamado decentro de oscilacao do pendulo fısico.

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Exemplo

Calcule o perıodo de pequenas oscilacoes do pendulo

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Solucao

Considerando um angulo θ:

(4Ma2)θ = −Mg(2a) sin θ − ka2 sin θ

subsectionθ ∼= θ,

θ +

(g

2a+

k

4M

)

T = 2π

(g

2a+

k

4M

)− 12

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Um bloco de 10,0kg esta suspenso por uma corda enrolada emtorno de um disco de 5,00 kg. Se a mola tem uma rigidezk = 200 N/m, determine o perıodo natural de vibracao dosistema.

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Solucao

Ec =Mx2

2+I0

2

(x

r

)2

I0 =mr2

2

∴ Ec =x2

2

(M +

m

2

)Ep =

1

2k(x+ x2

0)−Mgx

E =x2

2

(M +

m

2

)+

1

2k(x+ x0)2 −Mgx

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Solucao

Derivando em relacao a t:

0 = xx(M +

m

2

)+ k(x+ x0)x−Mgx(

M +m

2

)x+ k(x+ x0)−Mg = 0

Fazendo a mudanca y = x+ x0 −Mg

k(M +

m

2

)y + ky = 0

Portanto:

w0 =

√k

M + m2

= 4,00 rad/s

T =2π

w0= 1,57 s

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Desafio

Considere uma barra delgada de comprimento L que seencontra sobre um hemisferio fixo de raio r. Determine operiodo de pequenas oscilacoes da barra.

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