FIS-26 — Lista-10 — Maio/2013——————————————————————————————————————————————————————

1. Um pendulo duplo consiste de duas massas iguais e duas cordas de iguais comprimento e massadesprezıvel. Usando como coordenadas generalizadas os angulos que cada corda faz com a vertical,como mostrado na Figura, obtenha as equacoes de diferenciais de movimento do sistema. Faca, emseguida, as simplificacoes que decorrem de se assumirem pequenas oscilacoes.

2. Um cilindro circular de massa m e raio r rola sem deslizar num sulco semi-circular de raio R dentrode um bloco de massa M forcado a se mover na vertical atraves de guias sem atrito. O bloco esustentado por uma mola de constante elastica k (como mostrado na figura). Usando como coor-denadas generalizadas o deslocamento vertical do bloco x e a posicao angular do cilindro ϕ (ambasmedidas em relacao a posicao de equilıbrio estatico), obtenha as equacoes de movimento do sistema.Em seguida, faca a simplificacao assumindo pequenas oscilacoes.

3. Um carro de massa M se move num plano horizontal sem atrito. O carro carrega um pendulo simplesde comprimento l e massa m (concentrada), como mostra a Figura seguinte. Duas molas iguais (cadauma de constante elastica k) sao presas no carro a uma distancia a do eixo de rotacao O do pendulosimples. Obtenha as equacoes de movimento para pequenas oscilacoes.

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4. Determine o momento no eixo do mecanismo a seguir que produz uma velocidade angular constanteω em torno do eixo x. A velocidade angular φ = p e mantida constante. O bloco retangular presoao eixo A− A tem massa m e os demais componentes tem massa desprezıvel.

5. Um plano inclinado de massa M pode deslizar livremente numa superfıcie plana horizontal. Se obloco de massa m pode deslizar pela superfıcie do plano inclinado (como mostra a Figura seguinte),obtenha as aceleracoes a1 = x1 e a2 = x2.

6. Considere uma corda flexıvel com densidade linear de massa igual a µ e presa em cada extremidade asuportes rıgidos de distancia l um do outro. A corda esta sujeita a uma tensao F , assumida constantepara pequenos deslocamentos da corda.

(a) Mostre que a energia potencial do sistema e:

V =F

2

∫ l

0

(∂y

∂x

)2

dx,

onde y e a deflexao da corda (perpendicular a seu comprimento).

(b) Aplique o princıpio de Hamilton e obtenha a equacao de onda:

∂2y

∂x2=µ

F

∂2y

∂t2.

(c) Qual a velocidade de propagacao de ondas nesta corda?

7. Mostre que se a funcao Lagrangiana L nao depende explicitamente de t entao a funcao HamiltonianaH e constante.

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8. Uma partıcula de massa m e forcada a se mover na superfıcie de um cilindro de raio a, sendo atraıdapara a origem por uma forca proporcional a distancia da partıcula a origem. Obtenha a Hamiltonianae as equacoes de Hamilton para o movimento.

9. Uma partıcula de massa m se move em apenas uma dimensao sob a acao da forca:

F (x, t) =k

x2e−t/τ ,

sendo k e τ constantes. Obtenha as funcoes Lagrangiana e Hamiltoniana. Obtenha as equacoes deHamilton para o movimento. H e constante? H e a energia total? Derive as equacoes de movimento.

10. Em 1696, Jean Bernoulli propos aos matematicos da Europa o seguinte problema: Uma conta decolar deve ir de um ponto A ate um outro ponto B deslizando ao longo de um fio rıgido; sabendoque o ponto A esta situado acima do B, mas que os pontos A e B nao pertencem a uma mesmavertical, e supondo irrelevantes os possıveis atritos, pede-se calcular que forma deve ter o fio-guia afim de que a conta sendo abandonada no ponto A chegue ao B no menor tempo possıvel. Resolvaeste problema.

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Respostas

1. 2θ + φ = (−2g/l)θ,θ + φ = (−g/l)φ.

2. 32(R− r)ϕ+ x sinϕ+ g sinϕ = 0,

(M +m)x+m(R− r)ϕ sinϕ+m(R− r)ϕ2 cosϕ+ kx = 0.

3. mlx+ 2kax+ml2φ+ (mgl + 2ka2)φ = 0,(M +m)x+ 2kx+mlφ+ 2kaφ = 0.

4. M = 112m(c2 − a2)pω sin(2φ).

5. a1 = −mg sin θm cos2 θ−M−m e a2 = mg sin θ cos θ

m cos2 θ−M−m .

6.

7.

8. H(r, pr, pθ) = 12m

(p2r +

p2θr2

)− k

r. Equacoes do movimento: pr =

p2θmr3

− kr2, pθ = 0, r = pr

m, θ = pθ

mr2.

9.

10. Cicloide ligando os pontos A e B.

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