o ensino de razÃo e proporÇÃo por meio de...
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Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação
Jakelline de Aquino Batista
O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE
ATIVIDADES
Belém – PA
2018
Jakelline de Aquino Batista
O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE
ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em
Educação da Universidade do Estado do Pará como
exigência para obtenção de título de Mestre em Educação.
Linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém-PA
2018
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)
Biblioteca do CCSE/UEPA, Belém - PA
Batista, Jakelline de Aquino
O ensino de razão e proporção por meio de atividades / Jakelline de Aquino Batista ;
orientação de Pedro Franco de Sá, 2018
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,
2018.
1. Razão e proporção- Estudo e ensino 2.Ensino por atividades. 3. Educação
matemática. I. Sá, Pedro Franco de (orient.). II. Título.
CDD. 23º ed.513.24
Jakelline de Aquino Batista
O ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO POR MEIO DE
ATIVIDADES
Dissertação apresentada ao programa de Pós-Graduação em
Educação da Universidade do Estado do Pará como
exigência para obtenção de título de Mestre em Educação.
Linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas.
Orientador: Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Banca Examinadora
___________________________________ - Orientador
Prof. Pedro Franco de Sá
Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Universidade do Estado do Pará
___________________________________ - Membro externo
Prof. José Ricardo e Souza Mafra
Doutor em Educação – Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Universidade Federal do Oeste do Pará
___________________________________ - Membro interno
Prof. Fábio José da Costa Alves
Doutor em Geofísica – Universidade Federal do Pará
Universidade do Estado do Pará
Belém-PA
2018
A toda a minha família, em especial, minha avó Elvira
Batista pelo incentivo aos estudos, orações e apoio
incondicional, aos meus pais e meu irmão, pela
educação e força em todos os momentos, minhas
maiores fonte de inspiração na vida.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por ter me dado força e ser meu guia nessa caminhada.
Aos meus pais, que sempre me incentivaram aos estudos, pela força e por acreditarem em
mim. E ao meu irmão Juscelino Júnior, por está presente em todos os momentos.
A toda minha família, em especial a minha avó Elvira Batista, pelo amparo e incentivo
aos estudos.
Ao meu orientador, Professor Dr. Pedro Franco de Sá, pelas orientações e palavras de
incentivos, ensinamentos no direcionamento deste trabalho, pela sabedoria de vida e por
contribuir em minha formação pessoal e profissional.
Aos membros da banca avaliadora, professores doutores, José Ricardo Souza Mafra e
Fábio José da Costa Alves, pelas considerações e avaliação no texto da qualificação, que
contribuíram para a escrita do texto final.
Ao meu namorado, Sérgio Rodes, pela parceria e companheirismo e aos meus queridos
Elaíne Maciel e Fábio Rodes que estiveram presente nessa caminhada, e me deram força e
incentivo.
Aos queridos colegas da 12ª turma, pelos bons momentos vivenciados nesta caminhada,
em especial, minhas amigas professoras Kamilly Félix, Sandy Dias e Renata Matni que
compartilharam de forma mais próxima neste momento da pós-graduação.
Aos meus professores da graduação de Licenciatura em Matemática, da especialização
em Educação Matemática da Universidade do Estado do Pará (UEPA), ao programa de Pós-
graduação em Educação (PPGED-UEPA), por todo conhecimento proporcionado durante a
minha trajetória acadêmica e a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES) pelo subsídio financeiro para que pudéssemos realizar este estudo.
Ao Professor Adamor, por conceder o espaço de trabalho para realização desta pesquisa
e pelos constantes auxílios para não comprometer o andamento de nossa pesquisa, aos gestores
e funcionários da escola, e aos estudantes que p
articiparam desta pesquisa que foram colaborativos e muito me ensinaram.
Aos funcionários do PPGED, em especial, Carlos Campelo, Jorge Figueiredo (Jorginho),
e ao Joaquim que foram amigáveis e prestativos nesta caminhada.
A todos os meus amigos e pessoas que contribuíram de alguma forma para a realização
deste trabalho, em especial a Thainá de Nazaré, que está sempre presente desde a graduação
fazendo parte das minhas vitórias, e que torce pelo meu sucesso.
RESUMO
BATISTA, Jakelline de Aquino. O ensino de razão e proporção por meio de atividades.
2018. 307f. Dissertação (mestrado em educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém,
2018.
Este trabalho obteve auxílio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de
Nível Superior (CAPES) e apresenta resultados de um estudo que teve o objetivo de avaliar os
efeitos da aplicação de uma sequência didática baseado no ensino por atividades de Sá (2009)
e Sá e Jucá (2014) para o ensino de razão e proporção, suas potencialidades em relação à
participação e desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem deste conteúdo. Para o
desenvolvimento desta pesquisa tivemos como base os pressupostos da Engenharia didática de
Artigue (1996) como metodologia de pesquisa, em que foram realizadas as análises prévias,
composta por uma revisão de estudos; um breve levantamento histórico a cerca da
proporcionalidade e uma consulta a 100 docentes de matemática e 100 estudantes de escola
pública, por meio da aplicação de questionários, que opinaram sobre o processo de ensino e
aprendizagem de razão e proporção. Na segunda etapa, concepção e análise a priori,
apresentamos o conjunto de atividades que compuseram uma sequência didática proposta para
a fase da experimentação a qual foi realizada em uma escola da rede pública de ensino de
Belém/PA, como também os testes (Pré-teste e Pós-teste) juntamente com as análises prévias
de cada questão e para cada atividade da sequência, em que são expostas as expectativas em
relação a cada uma das atividades. Após a descrição da experimentação, em que apresenta os
dados da experimentação constando das observações conclusões das atividades, apresentamos
a última seção que trata da análise a posteriori e validação. A última fase, análise a posteriori e
validação teve como objetivo de analisar e comparar os resultados da experimentação, bem
como o desempenho por estudantes e por questão, para isso foi utilizado recursos estatísticos,
como tabelas, gráficos comparativos, teste de hipótese, correlação linear de Pearson para
analisar o pré-teste e pós-teste realizando a avaliação pretendida. Os resultados revelam que a
sequência didática interferiu de maneira positiva na aprendizagem dos estudantes em relação
ao conteúdo de razão e proporção seja quanto à participação nas aulas, tornaram-se mais
envolvidos com o processo de aprendizagem, e também que obtiveram melhorias quanto à
linguagem e representação das notações referente ao conteúdo de razão e proporção.
Palavras – chave: Razão e proporção. Ensino por atividades. Ensino de Razão e Proporção.
Educação Matemática.
ABSTRACT
BATISTA, Jakelline de Aquino. The Teaching of Ratio and proportion by activities. 2018.
307f. Dissertação (mestrado em educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2018.
This work obtained financial support from the Coordination for the improvement of Higher
Education Personnel (CAPES) and paper presents results of a study that had the objective of
evaluating the effects of the application of a didactic sequence based on teaching by Sá (2009)
and Sá and Jucá (2014) activities for the teaching of ration and proportion, their potentialities
in relation participation and performance of students in learning this content. For the
development of this research we had as basis the assumptions of Artigue didactic engineering
(1996) as research methodology, in which the previous analyzes were carried out, composed by
a review of studies; a brief historical survey about proportionality and a consultation of 100
teachers of mathematics and 100 students of public school, through the application of
questionnaires, who opined about the process of teaching and learning ration and proportion. In
the second stage, conception and analysis a priori, we present the set of activities that composed
a didactic sequence proposed for the experimentation phase which was carried out in a public
school in Belém / PA, as well as the tests (Pre- test and post-test) together with the previous
analyzes of each question and for each sequence activity, in which the expectations regarding
each of the activities are exposed. After the description of the experiment, in which it presents
the data of the experiment consisting of the observations, conclusions of the activities, we
present the last section that deals with the a posteriori analysis and validation. The last phase, a
posteriori analysis and validation had the objective of analyzing and comparing the results of
the experimentation, as well as the performance by students and by question, for this was used
statistical resources such as tables, comparative graphs, hypothesis test, linear correlation of
Pearson to analyze the pre-test and post-test carrying out the desired evaluation. The results
show that the didactic sequence interfered positively in students' learning in relation to ration
and proportion content and also that they obtained improvements in the language and
representation of notations related to the content of ratio and proportion.
Keywords: Ratio and Proportion. Teaching by activities. Teaching of Ratio and Proportion.
Mathematics Education.
LISTA DE TABELAS
Tabela 01- Faixa etária dos professores e gênero............................................................... 48
Tabela 02- Escolaridade dos professores consultados........................................................ 49
Tabela 03- Ano de conclusão do curso de graduação dos professores............................... 50
Tabela 04- Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores.............................. 51
Tabela 05- Tempo de Experiência como professor de Matemática................................... 52
Tabela 06- Tipo de escola que atuam os professores......................................................... 54
Tabela 07- Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção... 55
Tabela 08- Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção.......... 56
Tabela 09- Métodos utilizados para introdução do conteúdo de razão.............................. 57
Tabela 10- Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção...................... 58
Tabela 11- Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão................................... 59
Tabela 12- Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção........................... 60
Tabela 13- Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de razão......... 61
Tabela 14- Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de Proporção. 62
Tabela 15- Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na
opinião dos professores...................................................................................................
64
Tabela 16- Gênero dos estudantes consultados.................................................................. 67
Tabela 17- Idade dos estudantes consultados..................................................................... 68
Tabelas 18- Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 69
Tabela 19- Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes................................... 70
Tabela 20- Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de
aprendizagem.......................................................................................................................
71
Tabela 21- Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas
escolares..............................................................................................................................
73
Tabela 22- Entendimento do conteúdo de radicais da forma como o professor ensinava o
método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos............................................
74
Tabela 23- Experiências dos estudantes egressos quanto aos recursos didáticos para
fixação dos assuntos matemáticos.......................................................................................
75
Tabela 24- Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia
o conteúdo aos estudantes egressos....................................................................................
77
Tabela 25- Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção.................... 78
Tabela 26- Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão..... 79
Tabela 27- Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre
proporção.............................................................................................................................
81
Tabela 28- Grau de dificuldades de aprendizagem de razão na opinião dos estudantes 82
Tabela 29- Grau de dificuldades de aprendizagem de proporção na opinião dos
estudantes............................................................................................................................
83
Tabela 30- Faixa etária dos Estudantes.............................................................................. 146
Tabela 31- Gênero dos estudantes...................................................................................... 147
Tabelas 32- Responsáveis pelos estudantes........................................................................ 149
Tabela 33- Exercício de atividade remunerada na família do estudante............................ 150
Tabela 34- Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes.................................. 151
Tabela 35- Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la...................................... 153
Tabela 36- Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas
escolares..............................................................................................................................
154
Tabela 37-Metodologia utilizada nas aulas de matemática................................................ 155
Tabela 38- Participação dos estudantes em experimento matemático............................... 157
Tabela 39- Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos........................ 158
Tabela 40- Entendimento da matemática da forma como o professor ensina.................... 159
Tabela 41- Exemplos de situações que envolvem a ideia de razão.................................... 161
Tabela 42 – Tipos de Conclusões da atividade 03.............................................................. 180
Tabela 43 – Tipos de Conclusão da atividade 04............................................................... 185
Tabela 44 – Tipos de Observação da atividade 05............................................................. 192
Tabela 45 – Tipos de Conclusão da atividade 06............................................................... 199
Tabela 46 – Tipos de Observação da atividade 07............................................................. 203
Tabela 47 – Tipos de Conclusão da atividade 08............................................................... 207
Tabela 48 – Tipos de Conclusão da atividade 09............................................................... 211
Tabela 49 – Tipos de Conclusão da atividade 10............................................................... 217
Tabela 50 – Tipos de Conclusão da atividade 11............................................................... 220
Tabela 51 – Tipos de conclusão da atividade 12................................................................ 224
Tabela 52 – Tipos de Conclusão da atividade 13............................................................... 227
Tabela 53- Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste...................................... 239
Tabela 54 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão....................................... 242
Tabela 55- Desempenho por estudante no pré-teste........................................................... 247
Tabela 56- Desempenho por estudante no pós-teste.......................................................... 249
Tabela 57- Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste......................................... 250
Tabela 58- Desempenho nos testes e diferença entre as médias........................................ 255
Tabela 59- Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade do
responsável feminino...........................................................................................................
260
Tabela 60- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e a dificuldade em aprender
matemática............................................................................................................
261
Tabela 61- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e auxílio nas tarefas de
Matemática..........................................................................................................................
262
Tabela 62- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o hábito de estudo de
matemática ..........................................................................................................................
263
Tabela 63- Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o Gosto pela
matemática...........................................................................................................................
265
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01 – Faixa etária dos professores e gênero............................................................ 48
Gráfico 02 – Escolaridade dos professores consultados..................................................... 49
Gráfico 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos Professores........................... 51
Gráfico 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores........................... 52
Gráfico 05 – Tempo de Experiência como professor de matemática................................. 53
Gráfico 06 – Tipo de Escola onde atuam os professores.................................................... 54
Gráfico 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e
proporção.............................................................................................................................
55
Gráfico 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção....... 56
Gráfico 09 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Razão......................... 57
Gráfico 10 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de Proporção................... 59
Gráfico 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão................................ 60
Gráfico 12 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção........................ 61
Gráfico 13 – Gênero dos estudantes Consultados ............................................................. 67
Gráfico 14 – Idade dos estudantes consultados.................................................................. 68
Gráfico 15 – Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 69
Gráfico 16 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos Estudantes............................... 70
Gráfico 17 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de
aprendizagem nesta disciplina.............................................................................................
72
Gráfico 18 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas
escolares..............................................................................................................................
73
Gráfico 19 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e
o método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos............................................
74
Gráfico 20 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos
estudantes...........................................................................................................................
76
Gráfico 21 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor
introduzia o conteúdo aos estudantes egressos...................................................................
77
Gráfico 22 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção................. 79
Gráfico 23 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão.. 80
Gráfico 24 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre
proporção.............................................................................................................................
81
Gráfico 25 – Faixa etária dos estudantes............................................................................ 147
Gráfico 26 – Gênero dos estudantes................................................................................... 148
Gráfico 27 – Responsáveis pelos estudantes...................................................................... 149
Gráfico 28 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante......................... 150
Gráfico 29 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes................................ 151
Gráfico 30 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la................................... 153
Gráfico 31 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas
escolares..............................................................................................................................
154
Gráfico 32 – Metodologias utilizadas nas aulas de matemática......................................... 155
Gráfico 33 – Participação dos estudantes em experimentos matemáticos......................... 157
Gráfico 34 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos..................... 158
Gráfico 35 – Estudantes que entendem da forma como o professor ensina....................... 159
Gráfico 36 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste.................................. 239
Gráfico 37 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste.................................. 241
Gráfico 38 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão...................................... 242
Gráfico 39 – Desempenho por estudante no pré-teste........................................................ 248
Gráfico 40 – Desempenho por estudante no pós-teste....................................................... 249
Gráfico 41 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste...................................... 252
LISTA DE QUADROS
Quadro 01 – Evolução da notação para Razão e proporção de acordo com Cajori
(1993)..................................................................................................................................
28
Quadro 02 – Classificação da confiabilidade a partir do coeficiente Alfa de Cronbach... 63
Quadro 03 – Parametrização para o cálculo do Alfa de Cronbach.................................... 63
Quadro 04 – Grau de rendimento dos estudantes na resolução de questões sobre Razão e
proporção..........................................................................................................................
90
Quadro 05 – Cronograma das sessões de ensino desenvolvido na experimentação.......... 144
Quadro 06 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E3..... 161
Quadro 07 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E6..... 162
Quadro 08 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E9..... 163
Quadro 09 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão............................... 164
Quadro 10 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E11... 165
Quadro 11 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E14... 166
Quadro 12 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E16... 166
Quadro 13 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa do estudante E9............... 168
Quadro 14 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G1......................... 169
Quadro 15 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G2......................... 170
Quadro 16 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G3......................... 171
Quadro 17 – Exemplo de razão inversa e Razão não inversa grupo G4............................ 172
Quadro 18 – Razões equivalentes resposta do grupo G1................................................... 175
Quadro 19 – Razões equivalentes resposta grupo G2........................................................ 177
Quadro 20 – Razões equivalentes resposta grupo G3........................................................ 178
Quadro 21 – Razões equivalentes resposta grupo G4........................................................ 179
Quadro 22 – Resposta atividade 04 grupo 01................................................................... 181
Quadro 23 – Resposta atividade 04 grupo 02.................................................................... 182
Quadro 24 – Resposta atividade 04 grupo 03.................................................................... 183
Quadro 25 – Resposta atividade 04 grupo 04.................................................................... 184
Quadro 26 – Resposta Grupo G1 atividade Proporção...................................................... 189
Quadro 27 – Resposta grupo G2 atividade Proporção....................................................... 190
Quadro 28 – Resposta grupo G3 atividade proporção....................................................... 191
Quadro 29 – Resposta do Grupo G4 atividade Proporção................................................. 191
Quadro 30 – Resposta grupo G1 atividade Propriedade Fundamental das Proporções..... 194
Quadro 31 – Resposta do grupo G2 atividade Propriedade Fundamental das Proporções 195
Quadro 32 – Resposta do grupo G3 atividade Propriedade Fundamental das proporções 196
Quadro 33 – Resposta do grupo G4 atividade Propriedade Fundamental das proporções 198
Quadro 34 – Resposta do grupo G1 atividade 07.............................................................. 200
Quadro 35 – Resposta do grupo G2 atividade 07.............................................................. 201
Quadro 36 – Resposta do grupo G3 atividade 07.............................................................. 201
Quadro 37 – Resposta do grupo G4 atividade 07.............................................................. 202
Quadro 38 – Resposta grupo G1 atividade 08................................................................... 205
Quadro 39 – Resposta do grupo G2 atividade 08.............................................................. 206
Quadro 40 – Resposta grupo G3 atividade 08................................................................... 206
Quadro 41 – Resposta grupo G4 atividade 08................................................................... 207
Quadro 42 – Respostas do grupo G2 atividade 09............................................................. 208
Quadro 43 – Resposta grupo G3 atividade 09................................................................... 209
Quadro 44 – Resposta do grupo G4 atividade 09.............................................................. 209
Quadro 45 – Respostas grupo G1 atividade 10.................................................................. 213
Quadro 46 – Respostas grupo G2 atividade 10.................................................................. 214
Quadro 47 – Respostas grupo G3 atividade 10.................................................................. 215
Quadro 48 – Respostas do grupo G4 atividade 10............................................................. 216
Quadro 49 – Resposta grupo G1 atividade 11................................................................... 218
Quadro 50 – Resposta do grupo G2 atividade 11.............................................................. 218
Quadro 51 – Resposta do grupo G3 atividade 11.............................................................. 219
Quadro 52 – Resposta do grupo G4 da atividade 11.......................................................... 220
Quadro 53 – Resposta do grupo G1 atividade 12............................................................. 222
Quadro 54 – Respostas grupo G2 atividade 12.................................................................. 223
Quadro 55 – Resposta grupo G3 atividade 12................................................................... 223
Quadro 56 – Respostas do grupo G4 atividade 12............................................................. 224
Quadro 57 – Respostas grupo G1 atividade 13.................................................................. 225
Quadro 58 – Respostas grupo G2 atividade 13.................................................................. 225
Quadro 59 – Respostas do grupo G3 atividade 13............................................................. 226
Quadro 60 – Respostas grupo G4 atividade 13.................................................................. 226
Quadro 61 – Confronto entre as análises a priori e análise a posteriori das atividades de
razão....................................................................................................................................
232
Quadro 62 – Confronto das análises a priori e a posteriori das atividades de Proporção.. 234
Quadro 63 – Desempenhos dos estudantes por questão no pós-teste................................ 240
Quadro 64 – Classificação da correlação conforme o coeficiente de r.............................. 257
Quadro 65 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Masculino....... 258
Quadro 66 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade...... 258
Quadro 67 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Feminino......... 259
Quadro 68 – Valores parametrizados para Dificuldade no aprendizado de Matemática... 261
Quadro 69 – Auxílio em Tarefas de Matemática............................................................... 262
Quadro 70 – Hábito de Estudo de matemática fora da escola........................................... 263
Quadro 71 – Gosto pela matemática.................................................................................. 264
LISTA DE FIGURAS
Figura 01 – Poltronas de um teatro................................................................................ 95
Figura 02: Caneta e pegada............................................................................................ 96
Figura 03: Distribuição de água doce na Amazônia...................................................... 97
Figura 04: Triângulo Retângulo..................................................................................... 98
Figura 05: O perfil dos novos corredores...................................................................... 121
Figura 06: Socialização da resposta do grupo G1.......................................................... 194
Figura 07: Socialização da resposta do grupo G3.......................................................... 197
Figura 08: Respostas dos grupos na socialização com a turma..................................... 214
Figura 09: Resolução questão 02 estudante E18........................................................... 243
Figura 10: Resolução questão 02 estudante E9.............................................................. 243
Figura 11: Resolução questão 02 estudante E15............................................................ 244
Figura 12: Resolução da questão 03 do estudante E14.................................................. 244
Figura 13: Resolução questão 03 estudante E3.............................................................. 245
Figura 14: Resolução questão 04 estudante E15............................................................ 245
Figura 15: Resolução questão 04 estudante E8.............................................................. 246
Figura 16: Resolução questão 04 estudante E13............................................................ 246
Figura 17: Pirâmide de Aprendizagem.......................................................................... 253
Figura 18 : Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral...................... 255
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 19
2 ANÁLISES PRÉVIAS ......................................................................................................... 26
2.1 RAZÃO E PROPORÇÃO: UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA ....................... 26
2.2 PANORAMA DE ESTUDOS DO PROCESSO DE ENSINO – APRENDIZAGEM DE
RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................................ 34
2.3CONSULTA A DOCENTES NO PROCESSO DE ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO
.................................................................................................................................................. 47
2.4 CONSULTA A DISCENTES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................................ 66
2.5 Síntese Das Análises Prévias .............................................................................................. 91
3 ONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI............................................................................... 93
3. 1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE................................................... 95
3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM
DOS CONTEÚDOS EM RAZÃO E PROPORÇÃO ............................................................. 100
3.2.1 Atividade 1 .................................................................................................................... 101
3.2.2 Atividade 02 .................................................................................................................. 103
3.2.3 Atividade 03 .................................................................................................................. 104
3.2.4 Atividade 04 .................................................................................................................. 107
3.2.5 Atividade 05 .................................................................................................................. 108
3.2.6 Atividade 06 .................................................................................................................. 112
3.2.7 Atividade 07 .................................................................................................................. 114
3.2.8 Atividade 08 .................................................................................................................. 116
3.2.9 Atividade 09 .................................................................................................................. 118
3.2.10 Atividade 10 ................................................................................................................ 122
3.2.11 Atividade 11 ................................................................................................................ 124
3.2.12 Atividade 12 ................................................................................................................ 126
3.2.13 Atividade 13 ................................................................................................................ 128
3.2.14 Atividade 14 ................................................................................................................ 133
3.2.15 Atividade 15 ................................................................................................................ 134
3.2.16 Atividade 16 ................................................................................................................ 134
3.2.17 Atividade 17 ................................................................................................................ 135
3.2.18 Atividade 18 ................................................................................................................ 136
3.2.19 Atividade 19 ................................................................................................................ 137
3.3 Atividades de fixação dos conteúdos em razão e proporção ............................................ 138
3.3.1Listas de questões ........................................................................................................... 139
4 EXPERIMENTAÇÃO ...................................................................................................... 143
4.1. PRIMEIRA SESSÃO ...................................................................................................... 145
4.2. SEGUNDA SESSÃO ...................................................................................................... 167
4.3. TERCEIRA SESSÃO ...................................................................................................... 173
4.4 QUARTA SESSÃO .......................................................................................................... 174
4.5 QUINTA SESSÃO ........................................................................................................... 180
4.6 SEXTA SESSÃO ............................................................................................................. 186
4.7 SÉTIMA SESSÃO ........................................................................................................... 187
4.8 OITAVA SESSÃO ........................................................................................................... 188
4.9 NONA SESSÃO ............................................................................................................... 193
4.10 DÉCIMA SESSÃO......................................................................................................... 199
4.11 DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO .................................................................................... 204
4.12 DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO .................................................................................... 212
4.13 DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO .................................................................................... 221
4.14 DÉCIMA QUARTA SESSÃO ....................................................................................... 228
4.15 DÉCIMA QUINTA SESSÃO ........................................................................................ 229
4.16 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EXPERIMENTO ........................................................ 229
5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO ................................................................ 231
5.1ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE RAZÃO..................................... 231
5.2 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE PROPORÇÃO ......................... 234
5.3 ANÁLISES A POSTERIORI DOS TESTES AVALIATIVOS....................................... 238
5.3.1Desempenho dos alunos por questão no pré-teste .......................................................... 238
5.3.2 Desempenho dos alunos por questão no pós-teste......................................................... 240
5.3.3 Comparativo do desempenho dos estudantes por questão nos testes ............................ 241
5.3.4 Desempenho por estudante no pré-teste ........................................................................ 247
5.3.5 Desempenho por estudante no pós-teste ........................................................................ 248
5.4 TESTE DE HIPÓTESE E CORRELAÇÕES ................................................................... 254
5.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON ..................................... 257
CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................... 267
REFERÊNCIAS.................................................................................................................... 269
APÊNDICES ......................................................................................................................... 274
19
1 - INTRODUÇÃO
O ensino da matemática nas escolas desde muito tempo é discutido no cenário
educacional, nos meios acadêmicos, encontros e seminários da área. Em meio a essas
discussões, percebemos que há a preocupação de apontar caminhos para uma matemática mais
acessível e com mais significados visto que para muitos estudantes a matemática ainda é vista
como a disciplina mais temida e para alguns professores as aulas se reduzem a reprodução das
“certezas” absolutas de uma ciência exata e perfeita.
Quando estudante do ensino fundamental e médio, e também na graduação em
Licenciatura em matemática com a vivência em estágios e projetos em salas de aula,
presenciamos nas escolas que a abordagem de ensino mais atuante, ou até mesmo a única vista
foi o ensino baseado na reprodução ou transmissão do conhecimento, e sabemos que esta forma
de se trabalhar nas escolas não é mérito apenas da matemática, embora em muitas falas ela seja
a única apontada e dada como exemplo, mas sabemos por meio dos índices de avaliações
nacionais assim como estudos tem apontado que para a matemática esta forma de se trabalhar
não tem demonstrado ser a forma mais eficaz.
Ainda na graduação em matemática, em participações de eventos da área e no grupo de
estudo cognição e educação matemática (GECEM) da universidade do Estado do Pará (UEPA)
dentre várias temáticas discutidas ressaltava-se também para a questão dos obstáculos
epistemológicos, isto é, as dificuldades à aprendizagem dos próprios conteúdos matemáticos e
de como o ensino de matemática de acordo com as avaliações nacionais estavam um fracasso.
Em umas dessas reuniões abordava-se a respeito de um dos instrumentos que o Brasil
dispõe para avaliar as condições de sua educação por meio da prova Brasil, assim como em
outros instrumentos a exemplo do sistema de avaliação paraense (SISPAE), e percebemos que
os estudantes apresentavam dificuldades em questões que abordavam o conteúdo de razão e
proporção, como exemplo dados da Revista de Matemática do Sispae (2014) revelam que em
um dos itens que afere a habilidade de resolver problemas que envolvam relações de
proporcionalidade, o percentual de acerto foi de apenas 35,6% o que revela que a maior parte
dos estudantes não consolidou a habilidade.
A partir de então surge o interesse ao estudo dessa temática e buscamos fazer um
levantamento dos estudos que já haviam sido realizados que versavam a respeito do processo
de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Ao realizarmos este estudo tivemos a
aprovação e publicamos no XII Encontro Nacional de Educação Matemática (ENEM) que foi
realizado em 2016, um dos eventos referência na área da Educação Matemática.
20
A compreensão de razão e proporção é a base para o trabalho com grandezas diretamente
e inversamente proporcionais, além de outros assuntos da matemática, e também de outras
disciplinas como ciências, química e física. Entretanto, dados obtidos em 2013, por meio do
Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB) indicam que os estudantes
apresentam grande dificuldade na compreensão desses conceitos. Em minha experiência em
sala, nos estágios, também pude vivenciar essa deficiência dos estudantes neste assunto,
percebendo uma grande dificuldade dos estudantes quando estudavam outro assunto que
precisava do conceito de razão e proporção já vista por eles na série anterior.
As noções e aplicabilidade de proporcionalidade, desde cedo, desenvolvemos e
vivenciamos em nossas experiências no dia-a-dia. A importância desse conceito está tão
presente dentro de outras disciplinas que são inúmeras as aplicações desse conceito à geografia,
à física, química, entre outros. E, além disso, considerar o papel da proporcionalidade como
conteúdo integrador dos diversos ramos da matemática. São diversas as situações em que este
conceito está presente: ao interpretar uma estatística ou um gráfico, nos acordes musicais, ao
analisar uma planta de imóvel ou mapa, probabilidade, ampliar ou reduzir uma foto,
principalmente situações ligadas a preços, desde cedo a criança começa a desenvolver a noção
de proporcionalidade.
O que nos indagamos é se este conceito com tal importância para a matemática, com
aplicações em outras disciplinas e para a vida dos estudantes tem algum significado para os
mesmos e de como vem se dado o processo de ensino e aprendizado deste conteúdo. Defende
Tinoco (2011) que ao dar um tratamento adequado e integrado a todos os conteúdos que se
relaciona com proporção, por meio da construção cuidadosa deste conceito permitimos
construir uma visão mais unificada da matemática. Com isso, temos algumas considerações de
estudos já realizados nessa temática do conteúdo de proporcionalidade e de suas implicações.
Os estudos de Soares e Nehring (2013); Nogueira (2010) e Maranhão (2010) buscaram
fazer uma reflexão sobre o processo de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Esses
autores concluem em seus estudos que as técnicas utilizadas pelos professores ainda seguem o
padrão tradicional de iniciar pelo conceito, seguindo de exemplos e repetição de exercício para
a memorização, e apontam para a questão das diferentes representações que o assunto de razão
e proporção pode ser trabalhado com os estudantes, seja na forma tabelar, gráfica, numérica e
ainda ressalta um enfoque para os tipos de proporcionalidade e que é importante que sejam
trabalhadas dessa forma e em diferentes contextos o que poderá propiciar nos estudantes a
apropriação do conceito e desenvolver o pensamento do raciocínio proporcional.
21
Nos estudos de Freitas e Gonçalves (2010); Lara e Oliveira (2013); Oliveira e Garcia
(2013) buscaram diagnosticar em suas pesquisas o ensino e aprendizagem de razão e proporção
pelos estudantes do ensino fundamental e médio. Nesses estudos analisados, concluiu-se que
os resultados apontam para uma não compreensão dos estudantes quanto ao conceito de razão
e proporção, não só pelos estudantes, como também uma pesquisa realizada com professores
revelou que alguns professores ao resolverem mecanicamente não interpretando o comando da
forma correta são levados aos erros, o que foi evidenciado principalmente nos problemas de
proporcionalidade inversa. Dessa forma demonstra nesses estudos que quando se resolvem,
nem sempre compreendem ou conseguem justificar suas respostas, ou seja, realizam o processo,
mas não o compreendem.
De forma geral nesses estudos o que vem nos mostrando desde os estudos teóricos como
também nos estudos diagnósticos quanto ao ensino e aprendizagem de razão e proporção é a
relação do ensino tradicional com a teoria epistemológica do empirismo, a qual esta teoria
considera que a mente é considerada como uma “tabula rasa” (que não recebeu inscrições),
nada contém e, portanto, é passiva e receptiva. Neste sentindo, consideramos essas falhas do
ensino tradicional, já debatida há tempos, em não propiciar ao estudante a possibilidade de ser
um agente ativo da sua aprendizagem e como isso irá lhe prejudicar para outros entendimentos
e tópicos desta disciplina e para com a vida.
Considerando o enfoque da dimensão didática, de acordo com Fioreze (2010) a
Proporcionalidade envolve uma relação funcional entre duas variáveis em que se faz uma
analogia com a operação multiplicação. Em entrevista a revista Nova Escola, a especialista
Terezinha Nunes (2003) afirma que no início do processo de escolarização, as primeiras noções
de proporção deveriam aparecer junto com os conceitos de multiplicação, mas frequentemente
esta relação não é enfatizada. A operação multiplicação é apenas enfocada como uma "adição
repetida" de parcelas iguais, a qual não mostra o sentido de proporção que existe por trás desse
processo.
Segundo Moraes (2005) as crianças precisam aprender a investigar, dominar as
diferentes formas de acesso à informação, desenvolver a capacidade crítica de avaliar, reunir e
organizar informações. Necessitam de metodologias que desenvolvam habilidades para
manejar e produzir conhecimento, que levem a questionamentos, a manifestações de
curiosidades e criatividades e ao seu posicionamento como sujeito de vida.
A respeito do ensino de matemática por atividades, Sá (2009) expõe:
A proposição do ensino de matemática baseado em atividades pressupõe a
possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções
22
matemáticas presentes nos objetivos da atividade. Isso é evidenciado a partir da
elaboração da mesma, até a sua realização e experimentação. (SÁ, 2009,p.18)
É importante que o professor proponha situações que faça o estudante ser conduzido a
descobertas de um conhecimento. Sobre o ensino por atividade, Sá (2009) apresenta que a
prática metodológica do ensino de matemática por atividade dá oportunidade ao aluno de
construir sua aprendizagem, por meio da aquisição de conhecimentos e redescobertas de
princípio.
É fácil percebermos nas falas de muitos estudantes e também professores quanto à
disciplina de matemática em caracterizá-la como uma disciplina que não leva o estudante a
desenvolver o senso crítico ou mesmo sendo relacionada apenas a fórmulas, técnicas e números.
Sabemos também que aquelas práticas docentes já citadas nos estudos anteriores são fundadas
nos pressupostos da ciência moderna, a qual pretende descrever a realidade por leis
deterministas, exatas, que estas requerem reformulações e adequações aos novos tempos.
Segundo Oliveira (2016, p.77) o pensamento moderno é caracterizado pelo surgimento
de uma nova realidade, centrada no indivíduo e na razão, com poder de determinação no
processo do conhecimento e da verdade. Temos nesse sentido, que a ciência passa a ser olhada
objetivamente, e a subjetividade passa a ser secundário. As características tipicamente
humanas, como a singularidade e complexidade são esquecidas pelas certezas da ciência
moderna.
Diante do exposto acima, buscamos responder o seguinte problema de pesquisa: Quais
os efeitos de uma prática pedagógica baseada no ensino por atividades, de princípios
diferentes do ensino tradicional, no que tange o desenvolvimento da apreensão de
conceitos de proporcionalidade e em relação à participação dos estudantes e seu
desempenho quanto à aprendizagem desse conteúdo?
O nosso objetivo geral é avaliar a potencialidade da aplicação de uma sequência
didática baseado no ensino por atividades de razão e proporção em relação à participação
e desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem deste conteúdo. Os objetivos
específicos são:
a) Descrever os efeitos da aplicação de uma sequência didática para o ensino de razão
e proporção por meio de atividades;
b) Analisar o desempenho dos estudantes quanto à aprendizagem do conteúdo antes e
depois da aplicação da sequência didática;
23
Ao atentarmos para a área de atuação em que está inserida nossa pesquisa, neste caso a
educação Matemática, percebemos que as discussões no campo da educação Matemática estão
relacionadas aos métodos e técnicas de ensino, formação de professores, currículo, ensino e
aprendizagem e avaliação da aprendizagem. Na busca de definir a educação matemática,
destacamos alguns autores envolvidos na área que trazem algumas contribuições a respeito
dessa temática.
Ponte (2008) caracteriza a educação matemática como sendo constituída de três campos
que não se sobrepõem como também influenciam uns aos outros. Um deles constitui um campo
de práticas sociais, que preocupa com as práticas de ensino e aprendizagem de professores e
estudantes e a produção de materiais didáticos. Por outro lado, constitui um campo de
investigação acadêmica, no qual se produz novo conhecimento sobre o que se passa no anterior.
E ainda, é um campo de formação, onde se transmite esse conhecimento a novas gerações de
professores e de investigadores como também aos professores em serviço.
Garnica (1999) institui a Educação Matemática como um “movimento”, nas práticas
sociais e, entre elas, na prática científica. E ainda destaca ao assumir a educação matemática
como um “movimento” implica não em desqualificar sua vertente prática, pretende-se, porém,
uma prática que demande necessariamente, reflexão. Esta reflexão que, sugerida pela prática,
visa a uma efetiva intervenção na ação pedagógica.
Kilpatrick (1996) caracteriza a educação matemática como um campo profissional e
científico, define como uma matéria universitária e uma profissão. É um campo de
academicismo, pesquisa e prática. Mais do que meramente artesanato ou tecnologia, ela tem
aspectos de arte e ciência. Temos, nesse sentido, que a educação matemática é vista como um
lugar de construção de novas identidades profissionais.
Diante dessas definições podemos perceber que a educação matemática é um campo que
envolve uma vasta diversificação em investigação, além do mais por ser a educação matemática
também um ramo da educação, a qual já carrega diversas concepções e desafios no seu campo
de investigação.
Para o desenvolvimento desta pesquisa, iremos utilizar como metodologia os princípios
da engenharia didática proposta por Michele Artigue (1996), autora da área de Didática da
Matemática francesa. Optamos por esta metodologia, por acreditarmos atender a nossa
investigação de pesquisa, visto que de acordo com Carneiro (2005) essa metodologia designa
produções para o ensino, derivadas de resultados de pesquisa, e também designa uma específica
metodologia de pesquisa baseada em experiências de sala de aula.
24
Esta metodologia está fundamentada numa teoria muito ampla, que envolve a teoria das
situações didáticas, dos quadros epistemológicos e dos obstáculos cognitivos, desenvolvidas
por autores da didática das matemáticas francesa, Brousseau, Douady e Chevallard. Uma
engenharia didática, segundo Artigue (1996), inclui quatro fases: 1)análises prévias; 2)
concepção e análise a priori; 3)Experimentação; 4)análise a posteriori e validação.
A primeira fase da engenharia, a etapa das análises prévias, é estruturada com objetivos
de analisar o funcionamento do ensino habitual do conteúdo, para esclarecer os efeitos do
ensino usual, as concepções dos estudantes, dificuldades e obstáculos que podem marcar a
evolução das concepções. Para atendermos esta etapa, foi realizado um levantamento dos
aspectos históricos do conteúdo de razão e proporção, bem como consulta aos docentes e
discentes para saber quanto ao processo de ensino e aprendizagem e uma revisão dos estudos
já desenvolvidos nessa temática.
Os aspectos históricos serão retratados por meio de revisão literária, apoiada em Boyer
(1974), Cajori (1993) e nos estudos de Silva (2012) e Silva (2014) em que abordam sobre o
surgimento do conteúdo de razão e proporção e aplicação dessa área de conhecimento
matemático. Em nossa revisão dos estudos fizemos um levantamento de artigos publicados nos
eventos da área, principalmente os publicados nos X e XI ENEM, dissertações nos repositórios
institucionais nos programas de pós-graduação em educação e educação matemática e
bibliotecas virtuais do PROFMAT.
Na consulta aos docentes e discentes, consultamos 100 professores e 100 estudantes da
rede pública da região metropolitana de Belém, para obter informações sobre ensino habitual
de razão e proporção, com foco nos métodos de ensino utilizados, os obstáculos de ensinar e o
grau de dificuldades que os estudantes apresentam em relação ao conteúdo. Quanto à consulta
aos discentes buscamos realizar um diagnóstico do ensino de razão e proporção na opinião dos
estudantes, quais tópicos referentes a este conteúdo sentem mais dificuldades, como se
desenvolve as aulas de matemática, bem como aplicação de um teste para verificarmos o
desempenho dos estudantes sobre este conteúdo. Utilizamos como fonte de coleta de dados,
questionários com questões fechadas e abertas relacionadas ao nosso objeto de estudo, e o grau
de confiabilidade das questões fechadas referente ao grau de dificuldade dos tópicos de razão e
proporção na opinião dos professores e estudantes foi validado pelo Alfa de Cronbach.
A segunda etapa metodológica, concepção e análise a priori, é a etapa destinada para a
elaboração das atividades que constituirão a sequência didática de ensino, revelando o que
espera sobre o comportamento dos estudantes diante da sequência. Para Sá e Alves (2011, p
151) é necessário, na construção da sequência, descrever a produção e a seleção de todo o
25
material necessário ao desenvolvimento da proposta, e ainda acrescentam que esta sequência
não precisa ser limitada por uma tendência didática vigente, mas que no caso específico da
Educação matemática, pode ser baseada somente numa das tendências da mesma ou na
conjunção de várias tendências.
Para a construção e desenvolvimento da sequência didática adotamos o ensino de
matemática por atividades, defendida por Sá (2009), a qual já citamos anteriormente, em que
busca proporcionar ao estudante, momentos de construção do conhecimento, por meio de
redescobertas de princípios e propriedades matemáticas. Nesta perspectiva, foram elaboradas
21 atividades, acerca do estudo de razão e proporção, com base nas informações abstraídas da
etapa de análises preliminares.
A terceira etapa da engenharia didática, é a fase da experimentação, neste momento será
realizada a aplicação da sequência didática produzida na etapa anterior. Para Chizzoti (1991
apud ALMOULOUD E COUTINHO, 2008, p. 63):
A experimentação significa que se recorre à experiência, ou seja, os fatos e
acontecimentos são apreendidos em um contexto de normas constantes e, por isso,
podem ser sistematicamente observados, deliberadamente organizados e sujeitos a
uma intervenção planificada para permitir inferências e previsões sobre os fatos que
se dêem nas mesmas condições. (p.63)
As atividades que constituem a sequência didática dessa pesquisa foram aplicadas em
uma escola da rede pública de ensino do município de Belém, os encontros ocorridos na sala
de aula são chamados de sessões, em que descrevemos cada um considerando as características
gerais e peculiares do lócus e dos estudantes, de forma a explicitar as condições de realização
da pesquisa, objetivos e limitações, nesse momento em meio à aplicação da sequência também
se obtém os dados, registros e observações a serem confrontadas com o que se esperava para
cada atividade já definidas nas análises a priori.
A quarta e última fase da engenharia didática, a análise a posteriori e validação, é a etapa
do confronto das informações da análise a priori com as que foram produzidas na
experimentação. Nesse momento, realizamos a análise com abordagem quantitativa (por meio
do tratamento estatístico dos resultados dos testes) e qualitativa (por meio dos registros das
atividades realizadas).
As seções de nosso estudo possuem base nas etapas da engenharia didática, assim, na
segunda seção apresentamos nossas análises prévias sobre o ensino de razão e proporção; Na
terceira, apresentamos a concepção e a análise a priori; Na quarta seção descrevemos a
experimentação; e na quinta seção realizamos a análise a posteriori e validação e em seguida
nossas considerações finais.
26
2 ANÁLISES PRÉVIAS
Nesta seção temos como objetivo apresentar os aspectos históricos do conteúdo de razão
e proporção, que nos remete desde a antiguidade com a Racionalidade clássica para
entendermos o surgimento deste conteúdo, da sua necessidade e importância para os dias atuais,
como também, um panorama de estudos que tiveram foco no ensino e aprendizagem de razão
e proporção. Em seguida analisamos informações de professores sobre o processo de ensino e
aprendizagem como também de uma consulta realizada com 100 estudantes da rede pública de
ensino, por meio de questionários, as quais foram obtidas por meio de uma pesquisa de campo.
2.1 RAZÃO E PROPORÇÃO: UMA BREVE ABORDAGEM HISTÓRICA
A observação da Natureza na antiguidade nos revelou conhecimentos importantes
empregados até os dias atuais. No período da Racionalidade Clássica, temos grandes pensadores
gregos, a exemplo de Sócrates, Platão e Aristóteles em que Aristóteles, principalmente, nos fala
que a natureza é o que temos que investigar na ciência, a partir de observação pode deduzir e
tirar conclusão para abstrair o conceito. Como exemplo, há conceitos hoje trabalhados em sala
de aula no ensino de matemática que herdamos a partir das observações que filósofos
apreciavam na natureza, temos, portanto como exemplo, no estudo de razão e proporção o
conceito de proporcionalidade.
A teoria das razões e proporções podemos encontrar nos elementos de Euclides, no qual
também identificamos várias definições divididas pelos livros III, IV, V e VII para determinar
uma razão. No livro VII encontramos uma definição parecida com a que utilizamos em nossos
dias, já que é uma definição de razão a qual se anuncia que a:b::c:d notação esta utilizada na
época, onde a, b, c e d são números, equivalentes a 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, enuncia que essa igualdade é valida
se o retângulo formado por AD tem a mesma área do retângulo formado por BC, significa em
nossa linguagem dizer que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. No entanto, a
teoria enunciada dessa forma só vale para razões entre segmentos comensuráveis, não vale para
razões entre segmentos que não sejam comensuráveis, que era um dos problemas conhecido na
matemática grega.
De acordo com Kline (1972) o livro V baseado no trabalho de Eudoxo é considerado a
maior conquista da geometria euclidiana; seus conteúdos foram mais discutidos e seu significado
foi mais debatido do que aqueles de qualquer outra parte dos elementos. Corrobora também com
este pensamento Kistemann (2008) que afirma que Eudoxo de Cnido é o primeiro a resolver
27
completamente o problema das grandezas incomensuráveis, construiu uma teoria das proporções
a qual se aplica tanto a grandezas comensuráveis quanto a grandezas incomensuráveis.
Conforme Eves (2011) Eudoxo apresenta a sua teoria das proporções de maneira a
ultrapassar a “crise” surgida na matemática grega quando da descoberta dos incomensuráveis,
que deitava por terra a teoria das proporções dos pitagóricos. Dessa forma, os matemáticos antes
de Eudoxo que usavam proporção em geral não tinham um fundamento seguro para magnitudes
incomensuráveis. Neste livro V, portanto, encontramos a teoria de razões e proporções que vale
tanto para as proporções comensuráveis quanto para incomensuráveis. Os pitagóricos devem ter
uma teoria da proporção, isto é, a igualdade de duas razões, por magnitudes incomparáveis ou
por magnitudes cuja relação poderia ser expressa por uma proporção de números inteiros.
Evolução da notação de razão e proporção
De acordo com Cajori (1993) A notação ..
.. foi usada por W. Oughtred para indicar que
os números seguintes estavam em continuidade de proporção geométrica. Em seu livro nos dá
como exemplo uma sequência que está em continuidade de proporção geométrica: ..
.. 2, 6, 18,
54, 162. Mas antes das anotações em inglês . :: . e : :: : foram introduzidas no continente
europeu, um simbolismo que consiste em linhas verticais, uma modificação do modo de escrita
de Tartaglia, que indica uma proporção “Se ℒ 3//𝑣𝑎𝑙 𝛽4//𝑐ℎ𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑟𝑎𝑛𝑛𝑜 ℒ28" , foi usado
por alguns escritores continentais. Nunca alcançou popularidade, mas manteve-se por cerca de
um século. Neste sentindo René Descartes (1619 - 21) parece ter sido o primeiro a introduzir
tal notação a | b || c | d. Em um último de 1638 ele substitui o golpe duplo do meio por um único.
Em seu livro o autor também apresenta a proporção geométrica encontrada na aritmética
Hindu Bakhsali, onde a proporção 10: 163
60= 4:
163
150 está escrita na forma
10
1
163
60
4
1
Pha 163
150
E que o árabe Al-Qalasadi, anteriormente, século XV expressa a proporção 7.12 = 84 :
144 da seguinte maneira: 144 ∴ 84 ∴ 12 ∴ 7. Regiomontanus em uma carta escreve nosso
moderno a:b:c na forma a.b.c, os pontos são sinais de separação. O uso do ponto, como
introduzido por Oughtred, não se tornou universal mesmo na Inglaterra. Já em 1651, o
astrônomo, Vincent Wing, em seu Harmônico Coeleste, induziu o cólon (:) como o símbolo da
28
razão. Este livro usa, de fato, ambas as notações para proporção. Muitas vezes se encontra A .
B :: C . D e muitas vezes A : B :: C : D.
Segundo Cajori (1993) a luta na Inglaterra entre as notações de Oughtred e Wing’s
tiveram dois momentos, antes de 1700 e entre 1700 – 1750. Nesse sentido, vamos encontrar
uma competição entre o ponto (.) e o cólon (:) como símbolos para designação da razão, durante
a segunda metade do século XVII. No início do século XVIII, o ponto ainda ocupava seu lugar
em muitos livros ingleses, mas o cólon ganhou ascendência, e na última parte do século venceu.
Dessa forma, a notação : :: : foi comumente utilizada na Inglaterra e nos Estados Unidos até o
início do século XX.
Cajori (1993) nos diz que na segunda metade do século XVIII, a notação A:B::C:D,
ganhou ascendência completa sobre A.B::C.D em quase todas as partes da Europa Continental,
mas também encontrou um rival sério na notação Leibniziana superior, A:B=C:D. Em 1693,
Leibniz expressou sua desaprovação do uso de símbolos especiais para razão e proporção, pelo
simples motivo de que os sinais de divisão e igualdade são bastante suficientes. Ele diz: "Muitos
indicam por um 𝑎 ÷ 𝑏..
..𝑐 ÷ 𝑑 que as proporções a para b e c para d são iguais. Mas eu sempre
desaprovava o fato de que os sinais especiais são usados em razão e proporção, pelo fato de
que, para razão, o sinal de divisão é suficiente e, também, por proporção, o signo de igualdade
é suficiente. [...] Eu designo proporção, ou a igualdade de duas razões pela igualdade das duas
divisões ou frações. Assim, quando eu expresso essa relação a para b é a mesma que a de c para
d, basta escrever a: b = c: d ou a / b = c / d. "
De acordo com o autor nos é dito também que o primeiro escritor influente de livros
didáticos que adotou a notação Leibniz foi Christian Wolf. Como previsivelmente visto, às
vezes ele escreveu a.b = c.d. Em 1710 ele usou tanto 3.12 :: 5.20 quanto 3: 12 = 5: 20, mas a
partir de 1713, a notação Leibniziana é usada exclusivamente.
No quadro a seguir apresentamos uma síntese da evolução na notação utilizada para
razão e proporção de acordo com as informações sobre essa evolução encontrada em Cajori
(1993).
Quadro 01 – Evolução da notação para Razão e proporção de acordo com Cajori (1993)
Autor Ano Notação utilizada para Razão e Proporção
René Descartes (1619 - 21) a | b || c | d
W.Oughtred 1632 Ele introduziu a notação 5. 10 :: 6. 12
Vincent Wing 1651 Usava A . B :: C . D ou A : B :: C : D
29
Oughtred e Wing’s Antes de 1700 Competição entre (.) e (:) para designar razão
Oughtred e Wing’s Durante 1700-1750 o cólon (:) ganhou ascendência, e na última parte do
século venceu.
Notação na Europa e
América
1651-1921 A notação : :: : foi comumente usada na Inglaterra e nos
Estados Unidos até o início do século XX
A notação de Leibniz 1708 Notação de Leibniz, a : b = c : d, é usada no Acta
eruditorum. Designa proporção, ou a igualdade de duas
razões pela igualdade das duas divisões ou frações. Dessa
forma, escreve a: b = c: d ou a / b = c / d.
Christian Wolf 1710 “3.12 :: 5.20” e também 3 : 12 = 5 : 20”
Fonte: Pesquisa Bibliográfica (2018)
Descoberta da Incomensurabilidade
A questão da incomensurabilidade trata-se de um tema que propicia ao pesquisador
inúmeras averiguações, de acordo com os escritos sua descoberta ocasionou diversas mudanças
e consequências para o conhecimento matemático. Leão (2017) aponta que, Wilbur Knorr, na
importante obra The Evolution of the Euclidean Elements – A Study of the teory of
incommensurable magnitudes and its significance for early greek geometry ( A evolução dos
elementos euclidianos – Um estudo da teoria das magnitudes incomensuráveis e seu significado
para a geometria grega antiga), é categórico ao afirmar que “três autores, setecentos anos após
o fato, oferecem-nos alguma informação das origens da teoria da incomensurabilidade, mas é
difícil julgar quanto, se há alguma, de validade histórica esta informação tem.”
De acordo com Leão (2017) esses ditos três autores seriam Páppus, Próclus e Lâmblico,
que, por meio de seus textos ponderam que o surgimento das grandezas incomensuráveis se deu
entre os pitagóricos. Ainda seguindo na linha de que a incomensurabilidade teria sua origem
entre os pitagóricos, este autor, embasado por matemáticos importantes e historiadores da
matemática (como Nicolas Boubarki, Van der Waerden, Jan Gulberg) nos apresenta concepções
seguindo a mesma linha de pensamento por estes matemáticos citados a respeito de que foi a
escola pitagórica que descobriu a incomensurabilidade do lado de um quadrado com sua
diagonal, a irracionalidade de √2 . O que leva cada vez mais, atribuir aos pitagóricos a
descoberta da incomensurabilidade.
30
Pitágoras, que viveu no séc. V a.C, é classificado na história da filosofia como um pré-
socrático e conforme Spinelli (1990) Pitágoras era considerado “sábio” pelo seu extraordinário
saber. Para os pitagóricos, de acordo com Bongiovanni (2005) todas as grandezas
(comprimento, área, volume) podiam ser associadas a um número inteiro ou a uma razão entre
dois números inteiros. Admitiam que os números racionais fossem suficientes para comparar,
por exemplo, segmentos quaisquer de reta. Dados dois segmentos, supunham que existia
sempre um segmento u que “cabia” um número inteiro de vezes num deles e um número inteiro
de vezes no outro. Sendo assim, os segmentos são comensuráveis. No entanto, num dado
momento da história descobriu-se a existência de grandezas incomensuráveis.
Em Bongiovanni (2005) também aponta que alguns historiadores associam o
aparecimento de grandezas incomensuráveis com a aplicação do teorema de Pitágoras no
triângulo retângulo em que a hipotenusa é a diagonal de um quadrado e os catetos são os lados
do quadrado. Nesse sentido, Aristóteles refere-se a uma demonstração onde se supõe que a
diagonal e o lado são comensuráveis para se chegar num absurdo com a conclusão que um
mesmo inteiro é par e ímpar. O raciocínio por absurdo foi provavelmente concebido por meio
da escola pitagórica.
Vamos supor que o lado AB e a diagonal DB sejam segmentos comensuráveis. Logo
existem um segmento u e dois inteiros m e n tais que AB = um e DB = nu. Portanto o segmento
AB mede m e o segmento DB mede n. Pelo teorema de Pitágoras, n² = m² + m², ou seja, n² =
2m². Portanto, (n/m)² = 2. Seja a/b uma fração irredutível tal que n/m = a/b. Como (a/b)² = 2
então a² = 2b². Portanto a² é par e consequentemente a é par. Como a/b é irredutível, b deve ser
ímpar. Como a é par, existe um inteiro K tal que a = 2k. Como a² = 2b² então 4k² = 2b². Logo
b é par. Conclui-se que b também é par. Absurdo, pois b é ímpar.
Com isso, a descoberta dos incomensuráveis levou a criação de uma teoria sobre razões
que envolvesse tanto grandezas comensuráveis quanto incomensuráveis. Visto que essa
descoberta destruía a generalidade da teoria das proporções, em que as demonstrações eram
baseadas no número como coleção de unidades. O segmento já não podia mais ser considerado
indivisível, mas infinitamente indivisível. Além de que outra teoria dessa descoberta foi a
necessidade de se elaborar uma teoria de divisibilidade mais ampla do que a teoria do par e
ímpar.
31
A teoria das proporções e algumas definições
O estudo de Silva (2014) nos fala que Pitágoras exercia muita influência em relação aos
seus seguidores e os mais aplicados formavam uma sociedade secreta ou irmandade, os
ensinamentos não eram escritos, mas transmitidos oralmente e mantidos em segredo entre seus
seguidores. Os membros da escola Pitagórica faziam a tatuagem de um pentagrama regular
(obtido por meio de um pentágono regular, traçando suas diagonais), o que segundo alguns
historiadores, o motivo é que o pentagrama, além de conter a razão áurea, passa a ideia de
infinito.
A essa relação da razão áurea com o pentágono regular era dado por meio da razão entre
a diagonal e a medida do lado do pentágono regular, que era obtido a esta medida igual ao 𝜑
(fhi) o que representava em valor 1, 618. Em Silva (2014) analisa-se a respeito do primeiro
registro sobre a Razão áurea o que mais tarde ficaria conhecido como Número de ouro, que foi
realizado por volta de 300 a.C pelo fundador da geometria como sistema dedutivo e
formalizado, Euclides de Alexandria. Em que há registros que dizem que este foi o matemático
que escreveu o texto mais importante sobre proporção.
Segundo Guabiraba & Kuhn (2008) a escola grega de Pitágoras estudou e observaram
muitas relações e modelos numéricos que apareciam na natureza, beleza, estética, harmonia
musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou
proporção divina. A esta razão áurea também denominada de número de ouro é representado
pela letra grega Φ (fhi), e seu valor aproximado, em que se identificou e observaram em
diversas situações é de 1,618, como dito anteriormente.
De acordo com o estudo de Guabiraba & Kuhn (2008) no Renascimento, demonstrou-
se que o corpo humano obedece à regra de ouro: o umbigo divide a altura do corpo humano em
dois segmentos que estão na razão de ouro; a altura do seu crânio e a medida da mandíbula até
o alto da cabeça; a medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax; a medida do seu ombro
à ponta do seu dedo e a medida do seu cotovelo à ponta do seu dedo; o tamanho dos dedos e a
medida da dobra central até a ponta; a medida da dobra central até a ponta dividido e da segunda
dobra até a ponta; a medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho ao chão.
No estudo de Silva (2012) são abordadas as razões e proporções segundo Nicómaco,
Boécio e Euclides, pois estes terem sido um dos pioneiros na formalização deste conteúdo.
Utilizaremos deste trabalho apenas as definições que cada um destes nos deixou para a
construção do conceito que utilizamos na atualidade acerca de proporcionalidade. Nicómaco
terá vivido no final do séc. I d.C, segundo historiadores, foi o primeiro a escrever sobre o
32
pensamento e os ensinamentos matemáticos dos pitagóricos; Boécio nascido em Roma por
volta do ano 480 d.C, traduziu Platão e Aristóteles, foi autor de livros sobre matemática, música,
teologia e escreveu livros de textos inspirados em Nicómaco; Euclides de Alexandria viveu
entre os séculos IV e III a.C, em Alexandria, e é considerado o matemático que escreveu um
dos textos mais importantes sobre proporção, e no livro V da sua obra os elementos retrata a
teoria das proporções apresentada por Eudoxo de Cnido, a qual segundo Eves (2011) esta teoria
apresentada por Eudoxo deitava por terra a teoria das proporções dos pitagóricos.
De acordo com Silva (2012), da vida e personalidade de Euclides nada de concreto se
sabe. Sua obra Os elementos é uma reunião e ordenação de trabalhos anteriores e nela aparece
claramente o caráter demonstrativo e dedutivo da matemática grega da época, um dos livros
mais reproduzidos, influentes e estudados na história do mundo ocidental. Segundo Boyer
(1974, p.76), “Os elementos não eram [...] um compêndio de todo o conhecimento geométrico,
[...] mas a exposição de ordem lógica dos assuntos básicos da matemática elementar”. Esta obra
está dividida em 13 livros, sendo os 6 primeiros de geometria plana, VII ao IX teoria dos
números, o X sobre os incomensuráveis, e do XI ao XIII sobre geometria no espaço.
Em Kline (1972) encontramos a definição 5, do livro V da obra de Euclides, que
apresenta a teoria das proporções da seguinte forma: Diz-se que as grandezas estão na mesma
razão, a primeira para a segunda e a terceira para a quarta, quando, dados quaisquer
equimúltiplos da primeira e da terceira e dados quaisquer equimúltiplos da segunda e da quarta,
os primeiros equimúltiplos simultaneamente excedem, são simultaneamente iguais ou ficam
simultaneamente aquém dos últimos.
A definição diz que:
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
se quando multiplicamos a e c por qualquer número inteiro m, digamos, e b e d por qualquer
número inteiro n, então, para todas as escolhas de m e n,
ma <nb implica mc < nd,
ma = nb implica mc = nd,
e
ma > nb implica mc > nd
Esta definição é consolidada na definição 6, do mesmo livro em que nos revela que as
grandezas que têm a mesma razão dizem-se proporcionais. Silva (2012) relata que no Livro
33
VII, Euclides faz o estudo da teoria das proporções, em termos numéricos (números naturais) e
vinte e duas definições. Na definição 20, do livro VII, encontra-se o conceito Euclidiano de
proporção, a saber: “Números são proporcionais quando o primeiro é o mesmo múltiplo, ou
parte, ou partes do segundo assim como o terceiro é do quarto”. De acordo com Silva (2012, p.
106) podemos exemplificar da seguinte forma:
12 : 6 = 22 : 11 ( 12 é o dobro de 6 e 22 é o dobro de 11), 6 : 12 = 11 : 22 (6 é a
metade de 12 assim como 11 é a metade de 22), 12 : 16 = 21 : 28 ( 12 é três
quartos de 16 assim como 21 é três quarto de 28).
Esta é uma definição de proporção que se refere a uma “proporção geométrica” que
posteriormente será trabalhada por Nicómaco, o qual divide as proporções em três tipos, tais
sendo: proporção aritmética, harmônica e geométrica, a qual é considerada como a “proporção”
por excelência.
Em Silva (2012) a definição de razão e proporção, segundo Nicómaco, no capítulo XXI
do livro 2, começa por referir que:
(...) proporção é a combinação de duas ou mais razões. Na sua definição geral,
proporção é a combinação de duas ou mais relações, mesmo que não estejam
sob a mesma razão, mas sob uma diferença ou outra qualquer. (Silva, 2012,
p.44)
Portanto, Nicómaco, define proporção como sendo um sistema de razões, por um lado,
e sendo um sistema de relações, por outro. Ainda em seu livro, Nicómaco, distinguiu três tipos
de proporções, tais sendo: Proporção aritmética, proporção geométrica e proporção harmônica.
Nas escolas, atualmente, é trabalhado com o tipo de proporção geométrica, pois foi demonstrada
que era a única que poderia ser chamada de proporção, por que os seus termos estão
relacionados pela mesma razão.
Na visão de Boécio o conceito de proporção e proporcionalidade designa o mesmo
conceito. Em seu livro II, os subcapítulos são dedicados à noção de proporção. Dessa forma,
no capítulo XV, Boécio fala no conceito que, hoje em dia, denominamos de proporção:
A proporção é, pois a associação de dois, de três ou de um número qualquer
de razões numa única razão, mesmo se não são constituídas pelas mesmas
quantidades, ou as mesmas diferenças. (...) Uma razão é uma relação
recíproca, uma espécie de sequência de dois termos, cuja reunião dá uma
proporção porque é a reunião de razões que faz a proporção. (Silva, 2012,
p.74)
34
Percebemos que é recorrente o termo “relação” para designar uma proporção tanto por
Boécio quanto para Nicómaco. Esta concepção acerca da proporcionalidade se aproxima
daquilo que Spinillo (1993, p.41) define como sendo pensamento proporcional: “o pensamento
proporcional refere-se basicamente a habilidade de estabelecer relações”, e ainda corroboramos
com Nunes (2003) em que esclarece que o conceito de proporcionalidade, em sua origem mais
simples, nada mais é do que a relação entre duas variáveis. Posteriormente, no capítulo LIII,
Boécio faz um quadro resumo das dez proporções de forma mais elucidativa daquelas
apresentadas por Nicómaco e ainda resume com esquemas as três proporções mais importantes
e a ligação aos acordes musicais o que se torna notável esta evolução em termos didáticos.
2.2 PANORAMA DE ESTUDOS DO PROCESSO DE ENSINO – APRENDIZAGEM DE
RAZÃO E PROPORÇÃO
Estudos Teóricos
A categoria dos estudos teóricos é formada por três pesquisas bibliográficas que buscam
fazer uma reflexão sobre o processo de ensino e aprendizagem de razão e proporção. Nessas
pesquisas encontram-se: Soares e Nehring (2013); Nogueira (2010) e Maranhão (2010).
Soares e Nehring (2013) realizou um estudo de análise nos livros didáticos sobre como
a proporcionalidade é apresentada nos capítulos/unidades de função afim em coleções de livros
didáticos do Ensino Médio. A metodologia utilizada foi análise documental e os instrumentos
de coleta de dados foram livros didáticos do primeiro ano do ensino médio de sete coleções
aprovadas pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD/2012).
Neste estudo foram selecionadas sete coleções, das quais apenas o volume do 1º ano de
cada obra foi analisado, devido à introdução do conceito de função e função afim serem
apresentadas neste volume. Foi realizada uma análise parcial quanto à estrutura da obra e suas
principais características, em seguida elencaram as abordagens para os critérios de análise.
Tais critérios abordam a proporcionalidade de forma (explicita ou implícita) no
capítulo/unidade de introdução a função e função afim; propõe a distinção de situações que têm
relações de natureza proporcional das que não têm; aborda a função linear como modelo da
proporcionalidade direta; explora condições que o crescimento seja identificado como
proporcionalidade direta e o decrescimento proporcionalidade inversa; propõem situações de
análise gráfica quanta as grandezas proporcionais e ainda se explora os vários sentidos na
coordenação das diferentes representações matemáticas (numéricas, algébricas, tabular, gráfica,
entre outros).
35
Os autores concluem em seu estudo que os resultados das análises dos livros
demonstram que as situações envolvendo grandezas proporcionais são exploradas mais nas
atividades propostas do que nos capítulos/unidades, a maioria dos livros explora grandezas
proporcionais de forma implícita e que apenas em dois livros apresentam em maior número
atividades de forma explícita, e que estas por sua vez, destacam mais o conceito de razão e
proporção, como algoritmo da regra de três, do que o entendimento da proporcionalidade como
função.
O artigo de Nogueira Júnior (2010) publicado no X ENEM com o título “Ensino de
Razão e proporção na perspectiva curricular em rede” faz uma explicação de uma estrutura
curricular de rede para à matemática, onde cada assunto é um nó da rede, esses nós são
conectados e cada um depende do outro para formar a rede. Ele tenta mostrar outra visão sobre
a estrutura curricular atual, uma estrutura linear, em que cada assunto vem em sequência do
outro, já o conceito de rede mostra que todos os assuntos estão interligados e que são todos
dependentes.
A pesquisa foi desenvolvida em turmas do 7º ano de uma escola militar, o assunto
abordado e tratado como nó foi razão e proporção, observou-se em diversas aulas de um
professor como esse assunto se conectava com outros assuntos dentro da matemática (nós
internos), e com assuntos de outras disciplinas (nós externos). Foram utilizados vários exemplos
para explicar razão e proporção, como densidade, velocidade média, ou seja, assuntos que tem
conexão com outras disciplinas como química e física, nós externos. Outro assunto abordado
para explicar o assunto foi à matemática financeira, uma conexão com um nó interno da rede.
Foi notado pelo autor que os estudantes já tinham visto razão e proporção em outras
disciplinas e outros assuntos da matemática, mas sem o conhecimento de que se tratava desse
assunto, mostrando que os nós internos e externos estão todos conectados em uma grande rede.
Conclui em sua pesquisa que em relação a interdisciplinaridade, a razão e proporção no 7º ano
consiste num primeiro passo, que se for bem estruturado, possibilitará uma trajetória mais
significativa na aprendizagem da matemática, como mostra dados evidenciados na pesquisa.
Maranhão (2010) realizou uma pesquisa teórica focalizando o pensamento proporcional
entre estudantes e professores da escola básica, para isso analisou duas pesquisas Miranda
(2009) e Camejo et al (2009), em que a primeira foi um modelo teórico relativo ao tema e a
segunda, foi analisado um relato sobre intervenção durante a aplicação de um questionário
aplicado a professoras que objetivava identificar o conhecimento matemático dessas
professoras dos anos iniciais. A metodologia utilizada foi a meta-análise qualitativa.
36
A autora analisou primeiramente o trabalho realizado por Miranda (2009) que propôs
um modelo para o desenvolvimento do pensamento proporcional, e em seu trabalho é destacado
que os autores recomendam que problemas de razão e proporção sejam introduzidos utilizando
os conhecimentos dos estudantes sobre multiplicação e divisão, ainda alertam para o
pensamento proporcional envolver comparações quantitativas e não-quantitativas, distinção
entre situações proporcionais e não-proporcionais.
Além disso, foram elencados treze pontos relevantes ao pensamento proporcional
concluído por Miranda (2009) e os quais Maranhão (2010) designa como objetivos para o
desenvolvimento do pensamento proporcional: (a) Utilizar estratégia pessoais para a resolução
de problemas do pensamento proporcional; (b) utilizar multiplicação e divisão para resolver
problemas envolvendo ideias de razão e proporção; (c) fazer comparações numéricas
envolvendo os racionais e também comparações não-numéricas; (d) trabalhar com igualdade
de números racionais na representação fracionária;(e)distinguir situações proporcionais e não-
proporcionais; (f) usar a ideia de covariação; (g) representar razões por meio de gráficos ou
tabelas; (h) relacionar proporcionalidade com sistemas de medidas, áreas, volumes; (i)
relacionar proporcionalidade com ideia de semelhança; (j) resolver problemas envolvendo
porcentagem, juros, descontos, taxas; (k )utilizar razões na análise de dados ou probabilidade;
(l) utilizar o pensamento proporcional envolvendo funções; (m) diferenciar grandezas
diretamente proporcionais das inversamente proporcionais.
O segundo trabalho analisado foi o realizado por Camejo et al (2009) que se baseava
em Miranda (2009) e Shulman (1986). O trabalho realizado por Camejo et al (2009) buscou
identificar o conhecimento matemático de professoras por meio da resolução de problemas que
envolvem o pensamento proporcional. Para isso, foram 15 professoras atuantes em salas de aula
de 4º e 5º ano do ensino fundamental, todas egressas do curso de Pedagogia. Nesse estudo,
concluiu-se que houve explicitação de dificuldades na compreensão de uma questão
envolvendo uma tabela de multiplicação, por parte de sete das quinze professoras. Além disso,
as autoras decidiram acrescentar ao modelo de Miranda (2009) os aspectos do pensamento
proporcional: (n) resolver problemas envolvendo razões organizadas em tabelas, gráficos, etc;
(o) resolver problemas envolvendo identificação de equivalência de frações.
Nestas pesquisas referentes aos estudos teóricos podemos perceber que apontaram para
a questão das diferentes representações que o assunto de razão e proporção pode ser trabalhado
com os estudantes, seja na forma tabelar, gráfica, numérica e ainda dá um enfoque para os tipos
de proporcionalidade, situações em que há ou não proporcionalidade e que é importante que
37
sejam trabalhadas dessa forma e em diferentes contextos o que poderá propiciar nos estudantes
a apropriação do conceito e desenvolver o pensamento do raciocínio proporcional.
Estudos Diagnósticos
A categoria dos estudos diagnósticos é formada por cinco pesquisas que apresentam
resultados de estudos que buscaram diagnosticar o ensino e aprendizagem de razão e proporção
pelos estudantes do ensino fundamental e médio. Nessas pesquisas encontram-se: Freitas e
Gonçalves (2010); Lara e Oliveira (2013); Oliveira e Garcia (2013), Silva (2005) e ainda um
estudo do VIII ENEM de Araújo, Oliveira e Gitirana (2004).
Freitas e Gonçalves (2010) em seu estudo “O raciocínio proporcional em estudantes do
sétimo ano do ensino fundamental” tiveram por objetivo investigar quais estratégias os
estudantes, do 7º ano do ensino fundamental, utilizam para resolver problemas que envolvem
proporcionalidade. Os autores utilizaram a Teoria das Situações Didáticas de Brousseau e os
procedimentos metodológicos da engenharia didática para alcançar o objetivo do trabalho. O
estudo foi realizado com dezesseis estudantes do sétimo ano do ensino fundamental que não
haviam estudado ainda os conteúdos referentes a proporcionalidade.
Os resultados apontam que os sujeitos da pesquisa possuíam noções intuitivas de
proporcionalidade e as manifestavam por meio de estratégias não convencionais. Constatou-se
também que num primeiro momento os estudantes não conseguiram diferenciar situações
proporcionais das não proporcionais devido ao contrato didático, no qual para cada pergunta
deve haver uma resposta, no entanto quando trabalhamos com questões que envolvem situações
não-proporcionais não podemos atribuir uma resposta numérica. Os autores sugerem que se
realize um trabalho que aborde os conceitos de proporcionalidade através da resolução de
problemas.
Lara e Oliveira (2013) apresentaram uma pesquisa na modalidade pôster no XI ENEM
tinha como objetivo verificar como os estudantes do ensino médio, de duas escolas do estado
da cidade de Niterói-Rio de Janeiro, resolvem questões envolvendo proporção. Os sujeitos da
pesquisa foram estudantes do 2º e 3º ano do Ensino médio. Foi utilizado um questionário que
continham problemas de proporção organizados em atividades investigativas autenticas que
envolviam situações do cotidiano.
Diante das respostas dadas pelos estudantes os autores nos falam que a maioria dos
estudantes do 3º ano conseguiu resolver os problemas sem grandes dificuldades, enquanto que
os estudantes do 2º ano apenas uma minoria obteve êxito. Como resultado, a pesquisa aponta
38
que os estudantes sentem dificuldade em justificar as suas soluções e que algumas atitudes
podem ser tomadas para melhorar a aquisição por parte dos estudantes deste conceito tão
importante, que são as atividades investigativas autênticas, pois possibilitam um enfoque nas
justificativas, ao contrário de outros exercícios em que a ênfase está nas respostas.
Oliveira e Garcia (2013) realiza um estudo a respeito da mobilização de aspectos do
raciocínio proporcional de professores, participantes do grupo de estudo “Comunidade de
Práticas de Professores que Aprendem e Ensinam Matemática – Cop Paem”, na negociação de
significados suscitadas na resolução e discussão de um problema. O artigo demonstra a
negociação de significados sobre a interpretação de razão representada na forma 𝑎 𝑏⁄ , revela as
dificuldades que até mesmo os professores de matemática enfrentam ao se depararem com esse
tipo de problema. E que os estudantes estão pensando muito mecanicamente na hora de resolver
problemas matemáticos, acabam esquecendo-se de analisar o contexto do problema, tentam
logo colocar em uma fórmula no papel e não pensam em como a questão poderia ser resolvida,
esse tipo de pensamento mecanizado muitas vezes induz ao erro.
Esse artigo demonstrou em um exemplo um problema de razão apresentado para um
grupo de professores resolverem, uma das participantes resolveu logo o problema colocando-o
em uma fórmula e chegando num resultado, deu esse resultado como certo, mas depois de parar
e analisar mais o contexto em que o problema estava inserido percebeu que cometeu um erro,
e só assim conseguiu resolver a questão. Outros participantes do experimento também
conseguiram chegar ao correto resultado pensando de maneira contextual.
Realizar esse tipo de experimento com educadores de matemática é de grande
importância, como o demonstrado nesse artigo, para mudar a visão mecanizada na hora de
resolver os problemas matemáticos, e tentar analisar o contexto pensando de forma mais lógica.
Encontramos no estudo de Silva (2005) uma pesquisa que buscou observar as
concepções de fracionários e da aprendizagem de seus estudantes, mobilizados pelos
professores na elaboração de uma sequência de ensino desse assunto para a quinta série (6º
ano), bem como suas dificuldades e autonomia durante essa construção. Dessa forma, o estudo
apresenta as diferentes concepções que aborda os números fracionários, dentre elas temos a
concepção de razão. Em sua pesquisa a autora apresenta a concepção parte-todo, concepção de
medida, quociente, razão e operador. Não sendo apenas essas existentes, mas as que são mais
utilizadas nas pesquisas.
De acordo com Silva, a fração na concepção de razão tem a comparação entre a medida
de duas grandezas, e não mais entender a fração como um número. Nesse sentido, “três quartos”
na concepção da razão, pode ser entendido como “três para quatro”, e pode remeter ao
39
raciocínio proporcional, com a representação de proporção, por exemplo, 3
4=
6
8. No entanto,
de um modo geral é afirmado em seu estudo que os professores constroem para a quinta série
Organizações Matemáticas para números fracionários, muito rígidos com tipos de tarefas que
associa, sobretudo, a concepção parte-todo em contextos de superfícies, mobilizando a técnica
da dupla contagem das partes, e pouco enfatiza a concepção de razão mobilizando a mesma
técnica.
Dessa forma, percebemos de acordo com este estudo que o não tratamento adequado
aos estudos de frações, abordando as diferentes concepções que ela abrange compromete ou
delimita o desenvolvimento de resolver diversas situações ou tarefas que apenas com uma das
concepções não poderá ser resolvida, precisaria mobilizar algumas das outras concepções,
dentre elas há tarefas que necessitaria da concepção de razão.
No artigo de Araújo, Oliveira e Gitirana (2004) publicado no VIII ENEM teve como
principal objetivo analisar o desempenho de estudantes da 4ª, 6ª, 8ª séries do ensino
Fundamental e 2ª série do ensino médio de duas escolas públicas estaduais do agreste
pernambucano quanto à resolução de problemas de proporções, bem como, comparar os
resultados entre as séries envolvidas.
Nesta pesquisa foram apresentados os resultados quanto aos erros e acertos ao longo das
séries. Constataram que no teste realizado com os estudantes, aqueles problemas em que não
havia o valor unitário explícito os estudantes tinham mais dificuldade em resolvê-los. Aos
problemas que eram dados esse valor unitário ou que ele seria a solução do problema não
apresentaram tantas dificuldades. Nos problemas em que é dado o valor unitário ou que o
mesmo é cobrado fica mais fácil a sua resolução para os estudantes.
Segundo os autores o estudo buscou apresentar tipos de problemas sobre proporções aos
quais os estudantes de diversos níveis no grau de instrução apresentam mais facilidade para a
sua resolução e quais se tornam mais complexos. Mas, salienta que é preciso investigar quais
os principais tipos de erros e acertos cometidos pelos estudantes, para que possamos tentar
compreender um pouco como se deu a apropriação desse conhecimento.
Floriani (2004) descreve e caracteriza, em seu estudo, várias estratégias que estudantes
do ensino fundamental e médio utilizam para resolver problemas multiplicativos. O objetivo da
pesquisa foi verificar nas estratégias utilizadas pelos estudantes na resolução de problemas que
envolvem o conceito de proporcionalidade, aspectos que seriam indícios da compreensão desse
conceito. A pesquisa foi realizada na cidade de Itajaí, SC, e os sujeitos foram 82 estudantes de
uma escola privada, na faixa etária de 12 a 17 anos, sendo estudantes de 6ª e 8ª série do ensino
40
fundamental e 2ª série do ensino médio. Foi solicitado aos estudantes que resolvessem nove
problemas multiplicativos do tipo isomorfismo de medidas adaptado de Vergnaud.
O desenvolvimento da pesquisa se deu apresentando aos 82 estudantes um instrumento
com problemas multiplicativos adaptados de Vergnaud (1991), do tipo isomorfismo de
medidas. Estes problemas foram organizados levando-se em consideração duas grandes
categorias, de acordo com a relação de proporção: grandezas diretamente proporcionais e
grandezas inversamente proporcionais. Dentro de cada uma dessas categorias, foram
consideradas três subcategorias, levando em consideração as relações numéricas: unitária,
múltipla e não múltipla. E ainda foram consideradas duas condições: problemas envolvendo a
mesma unidade de medida e problemas envolvendo unidades de medida diferentes.
Os resultados encontrados pelo autor na análise dos dados obtidos revelaram que nos
problemas de proporção direta unitária, as estratégias previstas que foram mais utilizadas pelos
estudantes foram as do tipo operação aritmética que ocorreu acentuadamente na 6ª série, a
segunda estratégia mais utilizada nos registros dos estudantes da 6ª série e a mais utilizada na
8ª série foi a adição sucessiva. Na 2ª série do ensino médio predominou a utilização da regra de
três como estratégia de solução para os problemas de proporção direta unitária.
Quanto as estratégias utilizadas pelos alunos nos problemas de proporção direta
múltipla, foi verificado que a estratégia fator de proporção é a mais utilizada pelos alunos como
solução nessa subcategoria de problemas na 6ª e 8ª série do ensino fundamental, bem como a
adição sucessiva também foi uma estratégia utilizada na solução dos problemas de proporção
direta múltipla por esses alunos. Na 2ª série do ensino médio, apenas duas estratégias foram
utilizadas como solução dessa subcategoria de problemas: o valor unitário e a regra de três.
De acordo com o autor na categoria dos problemas de proporção direta, os alunos do
ensino fundamental transitaram nas várias estratégias previstas para solucionar os problemas.
Da análise dos dados obtidos dos alunos da 6ª série, percebeu-se que estes, ainda, não passaram
pela instrução formal da proporcionalidade e não conhecem o algoritmo da regra de três. No
ensino médio, os alunos sustentaram a solução dos problemas prioritariamente pela estratégia
da regra de três, embora muitos tenham utilizado essa técnica de maneira incorreta quanto se
tratava dos problemas de proporção inversa.
Dentre os estudos diagnósticos analisados podemos concluir que os resultados apontam
para uma não compreensão dos alunos quanto ao conceito de razão e proporção, não só pelos
alunos, como também uma pesquisa realizada com professores revelou que alguns professores
ao resolverem as questões mecanicamente não interpretando o comando de forma correta são
levados aos erros, o que foi evidenciado principalmente nos problemas de proporcionalidade
41
inversa. Dessa forma, demonstra nesses estudos que quando se resolvem, nem sempre
compreendem ou conseguem justificar suas respostas, ou seja, realizam o processo, mas não o
compreendem.
Estudos Experimentais
A categoria dos estudos experimentais é formada por quatro pesquisas que apresentam
resultados de estudos que buscaram verificar as diferentes de técnicas para o ensino e
aprendizagem de razão e proporção pelos alunos do ensino fundamental e médio. Nessas
pesquisas encontram-se: Menezes et al (2013); Dezílio et al (2013); Agnol et al (2013), Paula
(2012), Santos (2014) e Carvalho et al (2010).
Menezes et al (2013) faz um relato de experiência em que expõe uma das várias formas
de se discutir o conteúdo de frações. Este relato foi dividido em dois momentos e tem-se como
objetivo dar um significado ao conteúdo de razão, trabalhar e discutir a matemática de maneira
crítica. O trabalho realizado foi junto ao coletivo (RE) ação, um projeto desenvolvido em uma
área periférica da cidade de Uberlândia – MG com intuito de ajudar os adolescentes daquela
região a ter oportunidade de ingressar em um curso superior.
Em relação ao primeiro momento iniciaram a discussão sobre a velocidade da internet
por meio de um slide envolvendo uma situação hipotética, a partir disso discutiu-se a ideia de
razão, sempre indagando aos educandos antes de preencher as tabelas do slide com as possíveis
respostas ou informações matemáticas. Neste encontro em que foi baseado no diálogo entre os
professores e educandos, percebe-se nas respostas dos alunos e em suas indagações que
entenderam a relação da velocidade da internet com o conteúdo matemático que naquele
momento era o conceito de razão.
No segundo momento, realizou a discussão da relação candidato por vaga entre os
participantes o professor utilizou tabelas e gráficos de forma que todos os participantes
pudessem introduzir uma discussão sobre o significado da relação candidato por vaga. Os
educandos foram questionados em cada gráfico, para saber qual turno escolheriam e ao olhar
cada gráfico os alunos entraram em contradição, após isso o significado da relação
candidato/vaga (razão) começava a fazer sentido, pelo desejo que os alunos tinham de elaborar
algo para evitar a contradição. O resultado da pesquisa apontado pelos autores demonstra que
criar cenários de investigação e neles fomentar as discussões é fundamental, ao invés de propor
exercícios no caráter de fixação, por consequência tentar produzir significados aquilo que foi
proposto como tema.
42
Dezilio et al (2013) no estudo “Resolução de problemas em uma turma de 8º ano: o
problema da proporção” tem por objetivo utilizar a resolução de problemas no ensino de
proporção. A pesquisa foi desenvolvida no município de Campos do Mourão no Paraná.
Inicialmente os autores fizeram uma revisão bibliográfica sobre a importância de utilizar a
resolução de problemas. Em seguida os autores relatam o desenvolvimento da atividade.
Os sujeitos da pesquisa foram vinte alunos do 8º ano do ensino fundamental. Estes
alunos foram divididos em cinco grupos A, B, C, D e E. A atividade aplicada foi um problema,
composto por três questões, deu-se aos alunos dois tempos de aula de 50 minutos para a
resolução. Os resultados obtidos pelos autores apontaram que os alunos sentiram dificuldade
quanto à interpretação dos problemas e aplicação de estratégias na resolução, alguns alunos
lembravam-se do método para resolver, mas não sabia aplicá-lo sendo necessárias intervenções
dos professores, com isso a leitura matemática entre os alunos deve ser praticada e incentivada.
Agnol, Leal e Fioreze (2013) no estudo “O conceito de razão em uma perspectiva crítica:
recorte de um trabalho realizado com alunos do ensino médio” traz um relato de uma oficina
realizada com alunos do terceiro ano do ensino médio de uma Escola Estadual de Porto Alegre,
Rio Grande do Sul que teve ênfase na educação financeira.
A oficina foi desenvolvida por alunos da graduação do curso de licenciatura UFRGS em
matemática em dois tempos de aula. Foi realizada uma atividade com os alunos no qual foi
dado a eles numa folha de papel um quadro que constava o preço e o peso de chocolates em
diversas formas (ovo de páscoa, barra de chocolate, bombom ou biscoito). O quadro foi
elaborado conforme uma pesquisa na época da páscoa de 2012.
Os alunos utilizaram a razão para descobrir o preço pago por cada grama de chocolate
e depois compararam os formatos de chocolate e perceberam que o Ovo é mais caro. Os
resultados obtidos pelos autores relatam que as atividades levaram os alunos a refletir sobre a
situação e utilizar o raciocínio lógico e proporcional intuitivamente para resolvê-las, mostrando
que a forma diferenciada de ensinar que levem a reflexão do aluno os torna como protagonistas
no processo de ensino e aprendizagem.
O estudo de Paula (2012) teve como objetivo investigar o ensino do tema razão como
taxa na sala de aula de matemática do 9º ano do ensino fundamental através da inserção de
tarefas que estimulassem a produção de significados dos estudos. A pesquisa foi experimental,
e foi realizada com aplicação de três tarefas para uma dupla de alunos do 9º ano do ensino
fundamental de uma escola pública da cidade de Resende – RJ.
Na revisão de literatura realizaram a diferenciação entre as concepções de frações para
que desenvolvessem as atividades a serem aplicadas estabelecendo a qual interpretação estaria
43
baseada. As atividades foram confeccionadas e apresentadas os protótipos das tarefas para
depois serem aplicadas aos alunos. As tarefas têm como objetivos principais apresentar aos
professores ideias de tarefas que foram criadas a partir de um referencial teórico, e estimular a
produção de significados aos alunos.
Quanto aos resultados encontrados pela pesquisadora indica que as tarefas estimularam
a discussão e a produção de significados dos alunos, como também possibilita aos professores
observar a relação do aluno com a operação de divisão, algo que se mostrou como uma
dificuldade encontrada para entender o resultado dessa operação, a qual foi feita na calculadora
na resolução das tarefas. Outra conclusão da pesquisadora também foi a comprovação de que o
tema do ensino de razão como taxa passa despercebido pelos alunos da educação básica.
Santos (2014) em seu estudo “Número de ouro na Educação Básica: construções
geométricas na sala de aula” apresenta resultados de atividades que foram aplicadas sobre a
relação da razão áurea com as construções geométricas e a sequência de fibonacci para turmas
do ensino fundamental em uma escola pública do município de Rio Largo/AL. Sendo como
objetivo despertar o interesse dos alunos pela matemática e trabalhar com construções
geométricas.
Nesse estudo aborda-se um pouco da história do número de ouro, também conhecido
como razão áurea, bem como curiosidades e propriedades matemáticas encontradas nesse
número e sua relação com a sequência de Fibonacci. As aplicações das atividades foram
realizadas em duas turmas do 8º ano, totalizando 81 alunos participantes da pesquisa.
Foram realizadas seis atividades, das quais as três primeiras referiam-se a história do
número de ouro por meio de vídeos, medidas do corpo pelos alunos com fita métrica e uma
atividade sobre Sequência de Fibonacci, as três últimas atividades, constituíram-se das
construções geométricas, que foram: divisão de um segmento na razão áurea, retângulo áureo
e pentágono regular.
Os resultados apontados por Santos (2014) revelam que as maiorias dos alunos em seus
registros por escrito afirmam ter gostado das atividades e que gostariam que houvesse mais
aulas sobre o conteúdo. Outra questão afirmada nas falas dos alunos foi referente ao uso dos
instrumentos de desenho, pois todos falaram que nunca haviam utilizado esquadro e compasso,
sendo assim muitos tiveram dificuldades de manuseá-los, mas estas dificuldades foram
diminuindo a medida que iam sendo aplicadas as atividades.
Carvalho et al (2010) nos traz um relato de experiência em sala de aula com alunos do
9º ano do ensino fundamental no qual foi utilizando a modelagem matemática como uma
44
alternativa pedagógica ao ensino de razão e proporção. Utilizou-se como tema o corpo humano:
altura e peso.
Os pesquisadores fizeram uma tabela da altura e peso dos estudantes. Os alunos
calcularam o Índice de Massa Corporal e perceberam que alguns estavam acima e outros abaixo
do peso. Após foi proposto aos alunos que descobrissem o peso ideal para uma pessoa que mede
1,63m para isso foi dado como informação 49,1 Kg era o ideal para uma altura de 1,59m.
Os alunos não tinham conhecimentos dos conceitos de proporção, por isso foi
necessário, para a realização das questões propostas, que os pesquisadores ensinassem esse
conteúdo. Após as devidas explicações os estudantes resolveram as questões utilizando
proporção sem grandes dificuldades.
Nos estudos de caráter experimental temos como resultado que é importante propor
situações que coloquem os alunos a investigar, imaginar, e criar significados ao que está sendo
estudado, visto que nesses estudos são relatadas experiências no ensino de razão e proporção
em que tiveram essa abordagem e observaram uma melhor interação pelos alunos, fazendo com
que se tornem mais participativo, questionando o assunto estudado e com isso possibilitando
uma aprendizagem com mais significado.
Estudos de Livros Didáticos
Nesta categoria inserimos estudos que versaram sobre a análise de livro didático para o
assunto de Razão e Proporção, entre eles estão as pesquisas de Costa (2005); Lima (2012);
Soares e Nehring (2013);
O estudo de Costa (2005) analisou e comparou os conteúdos Razões e Proporções entre
três livros didáticos, os livros e a proposta curricular correspondente à década de sua publicação,
classificaram e compararam os exercícios propostos utilizando os níveis de conhecimento
esperado dos alunos segundo Aline Robert. Teve como objetivo responder as seguintes
questões: 1) A disponibilização dos conteúdos razões e proporções nos livros didáticos estão
de acordo com o que é sugerido nos documentos dos órgãos governamentais? 2) Houve
modificações quanto ao modo de disponibilizar estes conteúdos nos livros didáticos? 3) Os
exercícios favorecem o trabalho do professor quanto ao nível de conhecimento esperado dos
alunos segundo Aline Robert?
Os procedimentos metodológicos utilizados na análise dos livros didáticos consistiram
em três etapas, das quais, a primeira etapa compreende a seleção de três livros, a procura dos
documentos curriculares e a formulação das hipóteses; a segunda etapa foi realizada a seleção
45
de variáveis por meio da construção de uma grade que servirá para a investigação quanto aos
níveis de conhecimento exigidos do aluno (técnico, mobilizável e disponível) segundo Aline
Robert; e a terceira etapa, é apresentada uma síntese analítica da classificação dos exercícios
propostos e a comparação dos mesmos com as respectivas propostas curriculares da época de
sua edição.
A escolha recaiu em três livros usados em escolas públicas. O primeiro livro, dos anos
60/70, “Matemática para escola Moderna”, do autor Scipione Di Pierro Neto. O segundo livro,
dos anos 80, Matemática de Fernando Frotta foi escolhido por ser um livro editado em 1987,
um ano após da 1ª edição da proposta curricular para o ensino de matemática (1986). O terceiro
livro, Novo Matemática na medida Certa foi escolhido por ser uma edição reformada de um
livro editado pela editora Scipione no ano 2000.
Em relação a análise dos exercícios propostos nos três livros didáticos referentes aos
conteúdos razões e proporções o autor elaborou uma grade de análise em função dos três níveis
de conhecimento esperados dos alunos segundo Aline Robert, baseado no artigo da própria
autora e na monografia de Kelly Mitie Kamiya (UNIFEO). No nível técnico o aluno aplica de
forma direta: teoremas, propriedades, definições, fórmulas, etc. No nível mobilizável o aluno
conta com a indicação explícita do que fazer para resolvê-los e no nível disponível o aluno não
conta com a indicação explícita do que fazer para resolver o exercício, ele deverá disponibilizar
seus conhecimentos, planejando sua solução.
Os resultados apontados pelo o autor em relação ao nível de conhecimento esperado no
enunciado do exercício do livro dos anos 60/70 que o nível técnico apresenta percentual inferior
em relação aos outros níveis. O nível mobilizável obteve maior percentual. Já no livro dos anos
80 há um empate entre os níveis técnico e mobilizável e estes dois são 28% inferiores ao nível
disponível. No livro dos anos 2000, o nível disponível obteve maior percentual superando em
45% o nível mobilizável e este por sua vez supera o nível técnico em 8%. Dessa forma, o nível
disponível predominou nos livros dos anos 80 e no livro dos anos 2000.
Os resultados apontados quanto à análise dos esquemas organizados do conteúdo de
Razão e proporção foi observado que em nenhum dos três livros há um tópico reservado para o
estudo de “grandezas”, para a divisão do conteúdo de “razões” não foram encontrados tópicos
para cada particularidade deste conteúdo, isto é, tópico para razões constantes, especiais como:
média aritmética, densidade, escala. Embora fossem cobrados nos exercícios propostos. No
conteúdo de proporções há uma regularidade entre esquemas dos livros e o esquema padrão.
O estudo de Lima (2012) teve como objetivo analisar o currículo de matemática
apresentado para EJA, referente ao tema proporcionalidade sob a perspectiva das atividades
46
matemáticas apresentadas por Bishop. A questão norteadora da pesquisa foi: Considerando as
atividades matemáticas propostas por Bishop, quais aspectos para o desenvolvimento do
pensamento proporcional podem ser identificados no livro didático do 8º ano da EJA ao propor
o tema e atividades para a aprendizagem acerca da proporcionalidade?
Para responder a questão norteadora, a autora analisou o livro de matemática destinado
à Educação de Jovens e Adultos do Ensino Fundamental II, referente ao 8º ano, por contemplar
em sua abordagem a proporcionalidade. O estudo foi fundamentado nas ideias relacionadas ao
currículo enculturador na perspectiva de Bishop (1999) e no que se refere ao tema
proporcionalidade, foram utilizados os cinco aspectos para o desenvolvimento do pensamento
proporcional, propostos por Maranhão e Machado (2011).
Os resultados apontados para análise do livro didático mostrou que ao abordar o tema
proporcionalidade, os autores apresentam dois dos aspectos para o desenvolvimento do
pensamento proporcional: utilizar a ideia de co-variação e utilizar a multiplicação e a divisão
para resolver problemas envolvendo proporcionalidade. Embora não tenham sido abordados
três dos aspectos definidos por Maranhão e Machado (2011) importantes para o
desenvolvimento desse pensamento: Distinguir situações proporcionais e não proporcionais;
diferenciar variáveis diretamente proporcionais das inversamente proporcionais; e fazer
comparações numéricas envolvendo os racionais e também não numéricas, ao trabalhar com
proporcionalidade. Além disso, não foram abordadas situações que não caracterizam uma
proporção.
Soares e Nehring (2013) em seu estudo buscou analisar o modo como a
proporcionalidade é apresentada por uma coleção de livros didáticos de matemática do Ensino
Fundamental. O método escolhido para atender sua pesquisa foi a análise documental e os
instrumentos de coleta de dados foram quatro livros didáticos de uma coleção aprovada pelo
PNLD/2011.
Quanto a análise de cada livro, observou-se que o livro didático do 6º ano constataram
atividades envolvendo proporcionalidade em cinco capítulos, sendo que todas envolvem
proporcionalidade implícita e apenas grandezas diretamente proporcionais. O livro do 7º ano
além das mesmas observações consideradas no livro do 6º ano verificou-se também que o
registro mais utilizado é o numérico e a conversão mais explorada é registro da língua natural
para o registro numérico e ainda que a grande maioria das atividades que envolviam o registro
tabular apresentava a tabela pronta, com apenas dois valores para cada grandeza.
Ao analisarem o livro do 8º ano identificaram um total de 51 atividades envolvendo
grandezas proporcionais e na maioria aparece a proporcionalidade de forma implícita, as
47
atividades aparecem informando o tipo de grandeza apenas para aplicar a regra como nos
exemplos anteriores das atividades, e em relação ao tipo de grandeza a maioria envolvia
grandezas diretamente proporcionais. No livro didático do 9º ano há dez atividades envolvendo
grandezas proporcionais, sendo que todas envolvem proporcionalidade implícita e grandezas
diretamente proporcionais. Em geral, os quatro livros observados verificou-se que a
proporcionalidade das grandezas envolvidas não é explorada de forma explicita, o autor
valoriza a aplicação da regra de três em detrimento ao uso de estratégias escalar e funcional.
Nos estudos em geral revisados sobre a análise dos livros didáticos, foram apresentados
resultados divergentes em relação à proporcionalidade, dos quais destacamos que os livros
atendem parcialmente às sugestões dos documentos oficiais dos órgãos governamentais, como
também deixam de abordar alguns dos aspectos considerados importantes para o
desenvolvimento do pensamento proporcional, e que a proporcionalidade das grandezas não é
explorada de forma explícita, se restringem ao conceito de função sem requerer uma análise da
proporcionalidade envolvida.
2.3 CONSULTA A DOCENTES NO PROCESSO DE ENSINO DE RAZÃO E PROPORÇÃO
Nesta subseção apresentaremos resultados de uma consulta a 100 professores de
Matemática da região metropolitana de Belém, realizada por meio de questionários aplicados
entre Novembro de 2016 e Janeiro de 2017. O objetivo com este instrumento de pesquisa foi
verificar de que forma o conteúdo de razão e proporção tem sido desenvolvido em sala de aula,
e como os professores avaliam as dificuldades dos estudantes em relação ao assunto. O modelo
do questionário foi adaptado para nosso objeto de pesquisa com base nos questionários
utilizados em pesquisa em Educação Matemática do PPGED-UEPA.
O questionário aplicado aos professores continha 18 (dezoito) questões organizadas em
dois grupos e mais 10 questões (5 de razão e 5 de proporção) de um teste para os professores
avaliarem quanto ao grau de dificuldade para a maioria dos seus estudantes. O primeiro grupo
consistiu de 5 (cinco) questões que visaram obter informações sobre o perfil pessoal e
profissional dos professores, informações sobre o sexo, faixa etária, formação acadêmica,
tempo de serviço como professor e o tipo de instituição que trabalham atualmente.
O segundo grupo consistiu de 13 (treze) questões voltadas para o nosso objeto de
investigação, as quais buscaram informações quanto à formação continuada para o ensino de
razão e proporção, metodologia e técnicas de ensino utilizadas em sala de aula, como também
quais tópicos do conteúdo em questão são abordados nas aulas e o tempo estimado para
ministrar.
48
As informações a seguir foram sistematizadas e organizadas em tabelas e gráficos para
facilitarem a análise. Na tabela 01 e seu respectivo gráfico 01 apresentamos os dados
relacionados a faixa etária e gênero dos professores consultados.
Tabela 01 – Faixa etária dos professores e gênero
Faixa etária
Gênero
Masculino Feminino
Total
21 – 25 anos 6% 2% 8%
26 – 30 anos 17% 3% 20%
31 – 35 anos 16% 5% 21%
36 – 40 anos 19% 4% 23%
41- 45 anos 6% - 6%
46 – 50 anos 6% 2% 8%
51 – 55 anos 6% - 6%
56 – 60 anos 1% 1%
Não informado 5% 2% 7%
Total 82,0 % 18% 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 01 – Faixa etária dos professores e gênero
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
6%
17% 16% 19%
6% 6% 6%1%
5%2% 3% 5% 4%0% 2% 0% 0% 2%
Masculino Feminino
49
De acordo com a tabela e o gráfico quanto ao gênero dos professores de matemática,
percebemos que os resultados apontam para uma predominância do gênero masculino de
professores no ensino de matemática (82%), outros estudos que também indicaram para esta
mesma predominância foram evidenciados nos estudos de Paula (2011) e Lopes (2015) que
realizaram pesquisas semelhantes com professores do ensino fundamental na cidade de Belém,
respectivamente, sendo (61%) e (63%) dos professores de matemática do gênero masculino.
Com esses dados, podemos pensar que esse resultado pode ser evidenciado por toda a rede de
ensino de Belém. Quanto a maior frequência de professores, esta se deu na faixa etária entre 36
e 40 anos (23%) não sendo tão relevante em relação às faixas etárias entre 26 – 30 (20%) e 31
– 35 (21%). Percebemos que esta estatística se manteve, visto que segundo os dados divulgados
pelo censo escolar de 2016 há uma concentração de docentes nas faixas etárias de 36 a 45 anos
e 26 a 35 anos (34,1% e 29,7% do total, respectivamente).
Tabela 02 – Escolaridade dos professores consultados
Formação acadêmica mais elevada Total
Graduação Sem pós-graduação lato sensu 34%
Com pós-graduação lato sensu 50%
Mestrado
Sem pós-graduação lato sensu 3%
Com pós-graduação lato sensu 13%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 02 – Escolaridade dos professores consultados
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Graduação Mestrado
34%
3%
50%
13%
Sem Pós - Graduação Lato Sensu Com Pós-graduação Lato Sensu
50
A tabela e gráfico em relação à escolaridade dos professores nos revelou que a maior
parte dos professores de matemática consultados possui somente graduação (84%) e destes o
maior percentual (50%) ficou para os que são graduados com pós-graduação lato sensu
(especialização). Para os que possuem mestrado totalizaram 16%, sendo este percentual
referente a maior titulação dos professores entrevistados. Esses dados revelam que em relação
ao estudo de Paula (2011), há uma crescente busca pela qualificação profissional, visto que
apenas 21% dos professores por ele entrevistados possuíam uma especialização e 2% mestrado.
A esta busca pela formação continuada vem nos confirmar também em um estudo mais
recente realizado por Lopes (2015) que obteve como resultado a maioria dos professores
somente com a graduação (82%), 15% dos professores com o título de mestre e ainda 3% com
doutorado. Estes dados apontam para uma considerável busca dos professores quanto a sua
qualificação profissional, visto que apesar da maioria dos professores ainda possuírem apenas
a graduação temos observado que há uma parcela relevante de professores de matemática com
pós-graduação sctrito sensu.
Temos visto que há uma necessidade de se investir na formação continuada, e ainda por
ser de tamanha importância considerando o que nos diz Nóvoa (1991) e Freire (1991), a
formação continuada é a saída possível para a melhoria da qualidade do ensino, dentro do
contexto educacional contemporâneo. Com isso, podemos dizer que melhora não só na vida
acadêmica e profissional do professor quanto implica em melhorar a sua forma de atuar em sala
de aula, bem como entender as mudanças nos currículos, ensino, avaliação, entre outros.
Tabela 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos professores
Ano de conclusão da graduação Total
1985 ⊢ 1990 2%
1990 ⊢ 1995 14%
1995 ⊢ 2000 13%
2000 ⊢ 2005 24%
2005 ⊢ 2010 17%
2010 ⊢2015 30%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
51
Gráfico 03 – Ano de conclusão do curso de graduação dos Professores
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Nesta tabela e gráfico quanto ao ano de conclusão dos professores podemos verificar
que ao contarmos a partir do ano 2000, totalizam 71% dos professores que concluíram sua
graduação nesse período. O maior percentual foi de 30% concentrado entre os anos de 2010 e
2014, sendo que também verificamos uma parcela considerável de 24% concentrados entre os
anos de 2000 e 2005. Isso nos mostra que a maior parte desses professores entrevistados
encontra-se com menos de 15 anos de graduação e que 15% com mais de 20 anos de graduação.
No estudo de Lopes (2015) encontramos resultados que também caminharam nessa direção
quanto ao ano de conclusão dos professores de matemática do ensino fundamental de Belém,
verificamos que foram constatados por ela 59% dos professores que concluíram a graduação a
contar do ano 2000 e que os professores com mais de 25 anos de experiência somaram um
percentual de 11%.
Tabela 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores
Instituição de Ensino Superior de origem Total
Instituição de Ensino Superior Pública do Estado 42%
Instituição de Ensino Superior Pública Federal 47%
Instituição de Ensino Superior Privada 10%
Não informado 1%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
2%
14%
13%
24%17%
30%
1985 ⊢ 1990 1990 ⊢ 1995 1995 ⊢ 2000
2000 ⊢ 2005 2005 ⊢ 2010 2010 ⊢2015
52
Gráfico 04 – Instituição de Ensino Superior de origem dos Professores
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
O resultado quanto a instituição de Ensino superior de origem dos professores revela
que a maioria foram oriundos de Instituição Pública 89% (42% em instituição estadual e 47%
em instituição federal) e 10% de origem privada, ficando 1% para aqueles que não informaram.
No estudo de Lopes (2015) foram encontrados também resultados próximos a este em que pelo
menos 70% dos professores foi oriundo de instituição pública. Com isso, podemos dizer que
esta realidade pode se estender por toda a rede de ensino de Belém quanto ao quadro dos
professores de matemática ter sua formação inicial majoritariamente concluída em instituições
públicas.
Tabela 05 – Tempo de Experiência como professor de Matemática
Tempo de serviço Total
1 - 5 anos 27%
6 - 10 anos 32%
11 - 15 anos 14%
16 - 20 anos 7%
21 - 25 anos 11%
26 - 30 anos 4%
31 - 35 anos 1%
Não informado 4%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
42%
47%
10%
1%
Instituição de Ensino Superior Pública do Estado
Instituição de Ensino Superior Pública Federal
Instituição de Ensino Superior Privada
Não informado
53
Gráfico 05 – Tempo de Experiência como professor de matemática
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Considerando que 4% não informou o tempo de serviço, ainda podemos concluir que o
tempo de experiência como professor de matemática que obteve um maior percentual foi entre
6 – 10 anos (32%) seguidos daqueles entre 1 – 5 anos de experiência (27%) e poucos foram os
professores que possuem tempo de experiência superior a 25 anos (5%). No estudo realizado
por Lopes (2015) também foram identificados que os professores que obtiveram maiores
frequência foram entre os anos de 6 – 10 anos (19%) e 1 – 5 anos (23%). Isto revela que os
professores entrevistados já possuem experiência em sala de aula, o que avaliamos como algo
positivo visto que a experiência do professor é de fundamental importância para a construção
do conhecimento, de acordo com Lorenzato (2008, p.9): “A experiência de magistério é
fundamental para a orientação didática do professor, porque ela aguça a percepção docente
fornecendo indicações de ordem didática”, dessa forma o saber construído pela experiência leva
o professor a aprender com seus estudantes, seja o ritmo da aula, nível de conteúdo a serem
ministrados, exemplos mais eficientes à aprendizagem, entre outros. Portanto, estes professores
entrevistados podem nos oferecer o direcionamento próximo da realidade do ensino de Belém.
27%
32%
14%
7%
11%4%
1%
4%
1 - 5 anos
6 - 10 anos
11 - 15 anos
16 - 20 anos
21 - 25 anos
26 - 30 anos
31 - 35 anos
Não informado
54
Tabela 06 – Tipo de escola que atuam os professores
Tipo de Escola onde atuam os professores Total
Somente em Escola Pública Estadual 55%
Somente em Escola Pública Municipal 17%
Escola Pública Estadual e Escola Pública
Municipal
16%
Escola Pública Estadual e Escola Privada 9%
Escola Pública Municipal e Escola Privada 1%
Escola Estadual, Municipal e Escola Privada 2%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 06 – Tipo de Escola onde atuam os professores
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os dados quanto ao tipo de escola na qual atuam os professores constatou – se que 83%
dos professores atuam somente em escola de ensino público sejam elas de dependência
administrativa municipal ou estadual. Com isso, podemos inferir que os professores consultados
conhecem da realidade do ensino público da região metropolitana de Belém. Os professores
que trabalham em escola pública e privada totalizaram 9%.
55%
17%
16%
9%
1% 2%
Somente em Escola PúblicaEstadual
Somente em Escola PúblicaMunicipal
Escola Pública Estadual eEscola Pública Municipal
Escola Pública Estadual eEscola Privada
Escola Pública Municipal eEscola Privada
Escola Estadual, Municipale Escola Privada
55
Tabela 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção
Disciplina realizada sobre o ensino de razão e proporção Total
Fez
Fundamentos da matemática Elementar 13%
Tópicos de Matemática 3%
Instrumentação para o ensino I 2%
Não Fez 69%
Não informado 13%
Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 07 – Disciplina realizada pelos professores sobre o ensino de razão e proporção
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Os resultados revelam que a maioria dos professores (69%) não realizou nenhuma
disciplina sobre o ensino de razão e proporção e 18% responderam ter tido alguma disciplina
que abordou o referido assunto, estas disciplinas foram segundo eles: fundamentos da
matemática Elementar, tópicos de matemática, Instrumentação para o ensino I. E destas a mais
expressiva com 13% foi a disciplina de Fundamentos da Matemática Elementar, seguidas de
Tópicos de Matemática (3%) e instrumentação para o ensino I (2%).
Considerando que a maioria não realizou alguma disciplina, olhamos como para isto
como sendo ponto negativo para a formação inicial destes professores visto a importância que
se tem o assunto e, além disso, o contato com o conteúdo em meios acadêmicos poderiam
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Fundamentos da
MatemáticaElementar
Tópicos deMatemática
Instrumentação para o
ensino
Não Fez Nãoinformou
Percentual (%) 13% 3% 2% 69% 13%
56
favorecer diferentes formas de conhecer e apresentar o conteúdo pedagogicamente antes de
atuarem em sala de aula. Veremos também com a tabela e gráfico seguintes que a minoria teve
curso realizado para o ensino deste assunto.
Tabela 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção
Curso realizado sobre o ensino de Razão e Proporção Total
Fez
Oficina 1%
Minicurso 3%
Curso no IMPA 1%
Formação continuada 1%
Não fez 78%
Não informado 16%
Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 08 – Curso realizado pelos professores para o ensino de Razão e Proporção
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dos professores entrevistados 16% não informaram quanto ter realizado curso sobre o
ensino de razão e proporção, mas ainda assim constatamos que 78% não realizou nenhum curso
para o ensino de razão e proporção e apenas 6% participou de algo relacionado ao assunto. Esse
resultado pode nos dizer que há uma carência na oferta de curso que aborde o tema em questão.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Oficina Minicurso Curso noIMPA
Formaçãocontinuad
a
Não fez Nãoinformado
Percentua (%) 1% 3% 1% 1% 78% 16%
57
De acordo com a tabela e gráfico 7 em relação a disciplina realizada pelos professores
referentes ao ensino de razão e proporção 69% responderam não ter realizado nenhuma
disciplina sobre, e ao observarmos os dados da tabela e gráfico 8 quanto algum curso realizado,
tivemos como resultado que 78% não realizou nenhum, com isso percebemos as lacunas
herdadas que ficam desde a formação inicial, ainda da graduação, bem como também da
formação continuada, se estas forem no ensino da matemática.
Estes dados em relação a deficiência de ter realizado alguma disciplina que abordasse o
conteúdo de razão e proporção, não se reduz apenas a este conteúdo matemático, verificamos
também que no estudo de Lopes (2015) para o ensino de radicais, a maioria dos professores
(74%) responderam que não havia realizado alguma disciplina sobre os radicais. Com isso,
podemos inferir que um dos reflexos da baixa qualidade do ensino tem também como fator a
formação dos professores que perpassam desde a sua formação inicial.
Tabela 09 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de razão
Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de razão Total
A)Pela definição seguida de exemplos e exercícios 37%
B)Com uma situação problema para depois introduzir o assunto 45%
C)Com um experimento para chegar ao conceito 3%
D)Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo 7%
B e D 2%
A e C 2%
A e B 4%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 09 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Razão
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
37%
45%
3%7%
2% 2% 4%
A)Pela definição seguidade exemplos e exercícios
B)Com uma situaçãoproblema para depoisintroduzir o assunto
C)Com um experimentopara chegar ao conceito
D)Com um modelo parasituação e em seguidaanalisando o modelo
58
No questionário foram estabelecidas as categorias experimento didático, modelagem,
definição, situação-problema e jogos para a introdução do conteúdo de razão. Os resultados
revelam que nenhum professor utilizam os jogos para a introdução deste conteúdo e que há uma
relevante parcela de professores (45%) que iniciam o conteúdo por meio de uma situação
problema, o que nos reflete uma mudança das formas tradicionais de ensino da matemática que
segue o método definição – exemplo – exercício para ensino de matemática, embora ainda tenha
sido um número expressivo (37%) de professores que utilizam de métodos tradicionalistas em
sua forma de ensinar o que defende Haddad et al (1993, p. 98) quanto a desvantagem desse
método em relação ao desenvolvimento do estudante pelo fato de “ na maioria das vezes,
impede a iniciativa, a criatividade, a autorresponsabilidade e a autodireção, que por sua vez,
impedem o desenvolvimento para a autorrealização”.
No estudo de Paula (2011) também foi verificado, que a maioria dos professores, está
tentando ou já mudaram sua prática pedagógica em sala de aula, visto que 45% dos professores
revelaram iniciar suas aulas com uma situação problema para depois introduzir o assunto.
Percebemos ainda ser forte quanto ao uso do método tradicional de ensino, embora já venha
sendo verificado algumas mudanças quanto aos métodos de ensino de matemática, acreditamos
que devido ao fortalecimento da educação matemática cada vez mais atuante nos cursos de
licenciatura, o que isso nos revela que estes professores já possuem conhecimento quanto aos
métodos, e tendências de ensino em matemática.
Tabela 10 – Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção
Métodos Utilizados para introdução do conteúdo de Proporção Total
A)Pela definição seguida de exemplos e exercícios 39%
B)Com uma situação problema para depois introduzir o assunto 42%
C)Com um experimento para chegar ao conceito 4%
D)Com um modelo para situação e em seguida analisando o
modelo
7%
E)Com jogos para depois sistematizar os conceitos 2%
Opções B e D 2%
Opções B e C 1%
Opções A e B 3%
Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)
59
Gráfico 10 – Métodos utilizados para introdução do conteúdo de Proporção
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para a introdução do conteúdo de proporção também tivemos uma considerável
porcentagem de professores (42%) que utilizam o método de iniciar com uma situação
problema para depois introduzir o assunto, mas também ficou em seguida com a segunda maior
porcentagem o método pela definição seguida de exemplos e exercícios (37%) que optaram os
professores. As menores porcentagens ficaram para os métodos por meio de um experimento
para chegar ao conceito (4%), com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
(7%), e com jogos para depois sistematizar os conceitos (2%).
Tabela 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão
Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão Total
A)Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 67%
B)Apresentar jogos envolvendo o assunto 9%
C)Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro
didático
13%
Opções A e C 8%
Opções A e B 3%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
39%
42%
4%7%
2% 2%
1%
3%
A)Pela definição seguida de exemplos e
exercíciosB)Com uma situação problema para depois
introduzir o assuntoC)Com um experimento para chegar ao
conceitoD)Com um modelo para situação e em
seguida analisando o modeloE)Com jogos para depois sistematizar os
conceitosOpções B e D
Opções B e C
Opções A e B
60
Gráfico 11 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de razão
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
No questionário foram estabelecidas as categorias lista de exercício, exercícios do livro
didático, não propõe questão, solicita que os alunos procurem as questões e jogos para a
fixação do conteúdo de razão. Percebemos que os professores utilizam como recurso o uso de
listas de exercícios (78%) com maior frequência. Seguidas de resolução dos exercícios do livro
didático (21%). Resultados como este também foram evidenciados nos estudos de Paula (2011)
e Lopes (2015) em que predomina o uso de listas de exercícios e livros didáticos para a fixação
dos conteúdos matemáticos. Percebemos ainda que em menor proporção os professores fazem
o uso de jogos para fixar o assunto (9%) o que não foi verificado o uso desse recurso para
introduzir o assunto de acordo com a tabela e gráfico 9.
Tabela 12 - Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção
Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção Total
A)Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 67%
B)Apresentar jogos envolvendo o assunto 8%
C)Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático 13%
Opções A e C 12%
Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)
67%
9%
13%
8%
3%
A)Apresentar uma lista de
exercícios para serem
resolvidos
B)Apresentar jogos
envolvendo o assunto
C)Solicitar que os alunos
resolvam os exercícios do
livro didático
Opções A e C
Opções A e B
61
Gráfico 12 – Recursos utilizados para fixação do conteúdo de Proporção
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para fixar o conteúdo de proporção, foram estabelecidas as categorias lista de exercício,
exercícios do livro didático, não propõe questão, solicita que os alunos procurem as
questões e jogos, percebemos que os professores utilizam também como recurso o uso de listas
de exercícios (67%) com maior frequência, bem como a resolução dos exercícios do livro
didático (13%). E optaram pelo o uso de jogos para fixar o assunto (8%) mais do que para
introduzir esse assunto sendo como resultado (2%) de acordo com a tabela 10.
Tabela 13 – Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de razão
Número de horas-aulas dedicadas ao ensino de razão Total
1 hora-aula 2%
2 horas-aula 5%
3 horas-aula 3%
4 horas-aulas 14%
5 horas-aulas 8%
6 horas-aulas 23%
7 horas-aulas 5%
8 horas-aulas 13%
9 horas-aulas 3%
10 horas-aulas 3%
12 horas-aulas 3%
14 horas-aulas 2%
16 horas-aulas 1%
18 horas-aulas 2%
24 horas-aulas 1%
26 horas-aulas 2%
Não respondeu 10%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
67%
8%
13%
12%
A)Apresentar uma lista de
exercícios para serem
resolvidosB)Apresentar jogos
envolvendo o assunto
C)Solicitar que os alunos
resolvam os exercícios do
livro didáticoOpções A e C
62
Quanto ao número de horas-aulas reservadas para o ensino de razão, a análise da tabela
13 nos permite verificar uma discordância entre os docentes consultados, com respostas
diversificadas que apontaram como carga horária que vão desde 1 hora-aula (2%) até 26 horas-
aulas (2%). A maioria, considerando que 10% não responderam, permeiam suas respostas em
6 horas-aulas (23%) seguidos de 4horas-aulas (14%) e 8horas-aulas (13%) o que denotam que
em média o número de horas-aulas para o ensino de razão segundo os docentes consultados
concentram-se entre 4horas-aulas e 8horas-aulas. Apesar de não encontrarmos em outros
estudos de razão que retratem a carga horária para compararmos, essa variação também ocorre
no estudo de Lopes (2015) o qual nos baseamos fazendo uso dessa pergunta em seu trabalho
para o ensino dos radicais.
Tabela 14 – Número de horas-aulas dedicadas pelos professores ao ensino de Proporção
Número de horas-aulas dedicadas ao ensino de proporção Total
1 hora-aula 1%
2 horas-aula 3%
3 horas-aula 3%
4 horas-aulas 11%
5 horas-aulas 4%
6 horas-aulas 22%
7 horas-aulas 6%
8 horas-aulas 4%
9 horas-aulas 4%
10 horas-aulas 12%
11 horas-aulas 1%
12 horas-aulas 9%
14 horas-aulas 5%
15 horas-aulas 1%
16 horas-aulas 1%
24 horas-aulas 3%
Não respondeu 10%
Total 100% Fonte: Pesquisa de campo (2017)
De acordo com a tabela 14, encontramos também uma discordância referente ao número
de horas-aulas dedicadas ao ensino de proporção entre os docentes consultados. As respostas
variaram entre 1 hora-aula (1%) a 24 horas-aulas (3%) obtendo um maior percentual nas
respostas analisadas concentradas em 6 horas-aulas (22%), seguidos de 10 horas-aulas (12%) e
4 horas-aulas (11%). Da mesma forma que não encontramos em razão outro estudo para
comparar as horas destinadas ao assunto, também não encontramos em proporção, mas o que
63
podemos verificar pelas respostas dos professores que há uma discrepância quanto ao número
de aulas declaradas para o ensino desse conteúdo pelos professores.
A partir da opinião dos professores entrevistados, buscamos identificar o grau de
dificuldade de aprendizagem em alguns tópicos de razão e proporção. Para isso, o grau de
dificuldade foi parametrizado para que pudéssemos validar o grau de confiabilidade das
informações. Um dos índices bastante usado, que permite encontrar o grau de confiabilidade de
um questionário é o Coeficiente alfa de Cronbach, que de acordo com Cortina (1993, apud
Sobreira, 2018), é uma ferramenta bastante importante e difundida em pesquisas que
apresentam o questionário como instrumento principal. Este índice de consistência interna
assume valores entre 0 e 1, de acordo com Magalhães (2008), os intervalos usados para a
classificação da confiabilidade a partir do cálculo do coeficiente Alfa de Cronbach, estão
dispostos no quadro a seguir:
Quadro 02 – Classificação da confiabilidade a partir do coeficiente Alfa de Cronbach
Confiabilidade Muito baixa Baixa Moderada Alta Muito alta
Valor do ∝ ∝< 0,30 0,30 ≤∝< 0,6 0,6 ≤∝< 0,75 0,75 ≤∝< 0,9 0,90 ≤∝
Fonte: Adaptado de Magalhães (2008)
Para calcularmos o coeficiente Alfa de Cronbach, de acordo com Leontitsis e Pagge
(2007, apud Sobreira, 2018), basta aplicar a equação a seguir:
∝ = 𝐾
𝐾−1[1 −
∑ 𝑆𝑖2
𝑆𝑇2 ] onde, temos: 𝑘 é o número de itens, ∑ 𝑆𝑖
2 é o somatório da variância dos
itens, 𝑆𝑇2 é a variância da soma dos itens e ∝ é o alfa de Cronbach. A seguir apresentamos o
quadro com a parametrização para o alfa de Cronbach para verificar o grau de confiabilidade
da aprendizagem de alguns tópicos de razão e proporção na opinião dos professores.
Quadro 03 – Parametrização para o cálculo do Alfa de Cronbach
Grau Parâmetro
Muito Fácil 1
Fácil 2
Regular 3
Difícil 4
Muito difícil 5 Fonte: Autora (2018)
Com o auxílio do Software Microsoft Office Excel para realizar os devidos cálculos
encontrou o valor de 0,89 para o coeficiente Alfa de Cronbach, o que de acordo com os estudos
64
de Magalhães (2008), este valor apresenta um grau de confiabilidade alto, o que revela que as
informações apresentadas a seguir pelos professores consultados denotam uma alta
confiabilidade.
Tabela 15 – Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na
opinião dos professores
(continua)
Conteúdo
Você costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para os alunos aprenderem
Sim Não Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito
Difícil
Não
informou
Ideias associadas a razão 99% 1% 7% 54% 35% 4% 0% -
Definição de razão 99% 1% 9% 48% 39% 3% 0% 1%
Os termos de uma razão 98% 2% 6% 53% 35% 4% 0% 2%
Razão de grandezas de
mesma espécie
98% 2% 4% 42% 45% 7% 0% 2%
Razões inversas 98% 2% 2% 31% 44% 21% 0% 2%
Razões especiais 87% 13% 2% 25% 48% 17% 1% 7%
Razões escritas na forma
percentual
97% 3% 1% 31% 49% 15% 1% 3%
Aplicações do conceito de
razão
99% 1% 3% 31% 49% 17% 0% -
Comparação por meio de
uma razão
92% 8% 3% 40% 42% 12% 0% 3%
Porcentagem 100% - 2% 23% 58% 15% 0% 2%
Problemas envolvendo
porcentagem
100% - 1% 18% 55% 24% 0% 2%
Ideia de proporção 100% - 2% 38% 52% 8% 0% 2%
Definição de proporção 100% - 3% 26% 62% 9% 0% 3%
Propriedade fundamental
das proporções
100% - 3% 24% 58% 15% 0% -
Grandezas diretamente
proporcionais
100% - 1% 20% 63% 14% 0% 2%
65
Tabela 15 – Grau de dificuldade dos estudantes na aprendizagem de razão e proporção na
opinião dos professores (continua)
Grandezas Inversamente
proporcionais
100% - - 18% 55% 23% 2% 2%
Proporções contínuas 65% 35% 1% 6% 43% 21% 1% 28%
Proporcionalidade direta e
gráfico
68% 32% 1% 4% 41% 23% 4% 27%
Situações-problema
envolvendo as
propriedades das
proporções.
95%
5%
1%
5%
49%
38%
2%
5%
Situações – problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
97%
3%
-
11%
49%
32%
4%
4%
Situações – problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑏
𝑎=
𝑐+𝑑
𝑐
86%
14%
-
4%
38%
37%
8%
13%
Situações – problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑏
𝑏=
𝑐+𝑑
𝑑
78%
22%
-
6%
37%
33%
12%
12%
Situações – problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑏
𝑎=
𝑐−𝑑
𝑐
71%
29%
-
5%
37%
30%
13%
15%
Situações – problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑏
𝑏=
𝑐−𝑑
𝑑
68% 32% - 4% 35% 28% 18%
15%
Situações –problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
69% 31% -
5%
33%
32%
19%
11%
Situações –problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
64%
36%
-
6%
33%
26%
20%
15%
Situações –problema
envolvendo a propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑=
𝑎2
𝑏2 =𝑐2
𝑑2
49%
51%
-
3%
23%
21%
21%
32%
Distribuição em partes
diretamente proporcionais
-
66
85% 15% 4% 33% 40% 8% 15%
Distribuição em partes
inversamente
proporcionais
82%
18%
-
7%
33%
42%
7%
11%
Regras de sociedade 46% 54% - 5% 22% 22% 9% 42%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Em relação ao grau de dificuldades dos estudantes em razão e proporção na opinião dos
professores, tivemos como resultado que 54% dos professores responderam que não costuma
ministrar o tópico regra de sociedade, este fato talvez se deva ocorrer devido não aparecer mais
na maioria dos livros didáticos utilizados nas escolas. Em seguida, temos as situações-
problemas envolvendo as propriedades da diferença entre os antecedentes e a que envolve o
produto dos antecedentes e consequentes com o quadrado dos antecedentes e consequentes.
Do contrário, tiveram também aqueles assuntos que receberam a afirmação dos 100%
dos professores de serem ministrados por eles, os quais foram: porcentagem, problemas
envolvendo porcentagem, ideias de proporção, definição de proporção, propriedade
fundamental das proporções, grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais. Estes foram os tópicos que aparecem como sendo indispensáveis no ensino de
razão e proporção, como também as ideias, definição e aplicação do conceito de uma razão que
obtiveram 99% da afirmação dos professores em ministrá-los.
Quanto às ideias associadas a razão, estas apresentam como o tópico mais “fácil” de ser
aprendido (54%) em relação aos demais tópicos do conteúdo de razão e proporção, seguida de
os termos de uma razão (53%) e definição de razão (48%). Em relação ao tópico mais “difícil”
apontado pelos professores temos, distribuição em partes diretamente proporcionais (42%) e as
situações envolvendo as propriedades das proporções (38%).
2.4 CONSULTA A DISCENTES NO PROCESSO DE ENSINO E APRENDIZAGEM DE
RAZÃO E PROPORÇÃO
Neste tópico apresentaremos resultados de uma consulta a 100 estudantes do 8º ano do
ensino fundamental, ou seja, alunos egressos do 7º ano série em que é vista o conteúdo de razão
e proporção de acordo com o currículo escolar, esta consulta foi desenvolvida em quatro turmas
diferentes da mesma escola em que realizamos nossa aplicação da sequência de atividades. A
pesquisa foi realizada por meio de questionários no período do mês de setembro de 2017.
67
Inicialmente, faremos a sistematização e análise das informações referentes ao perfil dos
discentes e posteriormente faremos as análises relacionadas aos dados do questionário.
Em relação a distribuição por gênero dos estudantes consultados a tabela 16 apresenta
os percentuais masculino e feminino que estiveram presente em nosso estudo.
Tabela 16 – Gênero dos estudantes consultados
Gênero %
Masculino 50%
Feminino 50%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 13 – Gênero dos estudantes Consultados
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Como podemos observar obtivemos um equilíbrio quanto ao gênero dos estudantes
consultados sendo de 50% para masculino e 50% feminino. Quanto às idades, de acordo com a
tabela 17 estas variaram entre 12 e 18 anos sendo que a concentração maior foi 43% para os
estudantes com a idade de 13 anos seguido de 36% para os alunos com 14 anos.
50% 50%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feminino
68
Tabela 17 – Idade dos estudantes consultados
Idade Percentual
12 5%
13 43%
14 36%
15 15%
18 1%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 14 – Idade dos estudantes consultados
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Verificamos que pela idade apontada pela maioria dos estudantes, constituem a média
estabelecida para idade/série do ensino fundamental que tem duração de 9 anos e a faixa etária
6 – 14 anos de acordo com a estrutura do sistema educacional brasileiro – Lei 9394/96.
Os resultados em relação aos responsáveis dos estudantes que obteve um maior
percentual (38%) foram para pai e mãe como seus responsáveis. Seguidos deste, com a segunda
maior porcentagem (14%) padrasto e mãe, como podemos observar na tabela a seguir.
5%
43%36%
15%
1%0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
12 13 14 15 18
69
Tabela 18 – Responsáveis pelos estudantes
Responsável
Masculino
Responsável Feminino
Total Mãe Avó Madrasta Tia Não tem
Pai 38% 3% - 2% - 43%
Avô 11% 10% - - - 21%
Padrasto 14% - - - - 14%
Tio 10% - - - 1% 11%
Não tem - - 11% - - 11%
Total 73% 13% 11% 2% 1% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 15 – Responsáveis pelos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Dados como este também constatou no estudo de Lopes (2015) que aplicou
questionários com alunos egressos do 9º ano para verificar o ensino e aprendizagem de radicais
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Pai/Mãe Avô/Avó Padrasto/Madrasta Tio/Tia
43%
21%
14%11%
73%
13% 11%
2%
Masculino Feminino
70
na opinião dos estudantes. No geral verificamos também que 73% dos estudantes possuem
como seu responsável feminino a mãe, e 43% como responsável masculino o pai, isto revela
que temos a mãe como principal e mais atuante na educação desses alunos. A seguir
apresentaremos a tabela 19 referente a escolaridade dos responsáveis dos estudantes.
Tabela 19 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes
Nível de Escolaridade
Responsável
Masculino Feminino
Ens. Fundamental
Maior
Concluiu 15% 5%
Não concluiu
- -
Ensino Médio
Concluiu 43% 40%
Não concluiu 10%
Ensino Superior
Concluiu 2% -
Não concluiu - 3%
Não informado 40% 42%
Total 100% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 16 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos Estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quanto ao nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes o resultado apontou
que a maioria dos responsáveis dos estudantes possui Ensino Médio completo, sendo 43% para
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
EnsinoFundamental
Completo
EnsinoMédio
Completo
Ensino médioincompleto
Ensinosuperior
Completo
Ensinosuperior
incompleto
Nãoinformou
15%
43%
0%2%
0%
40%
5%
40%
10%
0%3%
42%
Masculino Feminino
71
o responsável masculino e 40% o responsável feminino. De acordo com dados podemos inferir
também que uma parcela considerável de estudantes (40%) e (42%) desconhecem a
escolaridade dos seus responsáveis masculino e feminino, respectivamente. Com o alto número
de estudantes que não informaram a escolaridade dos seus responsáveis podemos refletir quanto
uma possível falta de diálogo referente a assuntos escolares entre os responsáveis e estes
estudantes, já que não conhecem a trajetória escolar dos mesmos.
Quando questionados em relação ao exercício de atividade remunerada dos seus
responsáveis constatamos que 75% dos responsáveis masculinos e 64% dos responsáveis
femininos exercem atividade remunerada. Também encontramos que 16% dos alunos exercem
algum tipo de atividade remunerada. Consideramos positivo o resultado dos responsáveis dos
estudantes tanto masculino como feminino possuírem em sua maioria atividade remunerada,
pois de alguma forma acreditamos que isso pode impedir de que o aluno tenha que trabalhar e
estudar para ajudar nas despesas de casa e isso fazer com que talvez prejudique em seu
rendimento escolar.
A tabela a seguir apresenta o resultado quanto ao gosto e dificuldade de aprendizagem
em matemática.
Tabela 20 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de aprendizagem
Gosto pela
matemática
Dificuldade para aprender matemática no 7º ano
Total
Não tinha
Um pouco
Muita
Não informado
Nenhum pouco 3% 8% 10% 1% 22%
Um pouco 19% 34% 7% - 60%
Muito 12% 4% 2% - 18%
Total 34% 46% 19% 1% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
72
Gráfico 17 – Gosto dos estudantes egressos pela matemática e dificuldade de aprendizagem
nesta disciplina
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com a tabela e gráfico apresentado a maioria das respostas dos alunos
classificaram como gostar um pouco de matemática (60%) e que possuem também um pouco
de dificuldade (46%) sendo 36 % os que dizem gostar um pouco e sentir um pouco de
dificuldade de aprendê-la. Quanto ao item gostar muito e sentir muita dificuldade foram
apontados 18% e 19%, respectivamente, o que consideramos o percentual baixo para os que
têm gosto pela matemática. Observamos também que 12% dizem gostar muito e não sentir
dificuldade em matemática. No estudo de Lopes (2015) encontramos uma situação semelhante
em que 36% dos alunos responderam que gostam pouco da disciplina assim como tem pouca
dificuldade, bem como ser pequeno o percentual (14%) dos alunos que gostam muito de
matemática. Diante desses dados concluímos que a maioria dos alunos possui um pouco de
gosto pela matemática e não apresenta total aversão como considerada em muitas situações a
disciplina mais rejeitada e difícil pelos alunos.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Não gosta deMatemática
Gosta um poucode matemática
Gosta muito deMatemática
3%
19%
12%
8%
34%
4%
10%
7%
2%1%
0% 0%
Não tem dificuldade paraaprender
Tem um pouco de dificuldadepara aprender matemática
Muita dificuldade paraaprender matemática
Não informou
73
Tabela 21 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares
Hábito de estudo da
matemática fora da
escola
Auxílio recebido para realizar tarefas escolares
Total Sem
auxílio
Auxílio não
especializado
Auxílio
especializado
Não
informado
Só no período de prova 16% 10% 15% 1% 42%
Só na véspera de prova 8% 6% 13% - 27%
De segunda a sexta-
feira
1% 7% - 1% 9%
Só nos finais de
semana
1% 9% 1% - 11%
Todo dia 4% 4% 1% 2% 11%
Total 30% 36% 30% 4% 100%
Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 18 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A tabela e gráfico acima nos apresenta que no geral 42% dos alunos possuem o hábito
de estudar matemática só no período de prova e que 30% não recebem auxílio para realizar as
tarefas escolares, e desses alunos, 16% estudam somente no período de prova e sem auxílio.
Podemos observar que houve um equilíbrio quanto ao auxílio recebido para realizar as tarefas
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Estuda só noperíodo de
prova
Estuda só navéspera
Estuda desegunda a sexta
Estuda só nosfinais desemana
Estuda todo dia
16%8%
1% 1% 4%10%
6% 7% 9%4%
15% 13%
0% 1% 1%1% 0% 1% 0% 2%
Sem auxílio Auxílio não especializado Auxílio especializado Não informou
74
escolares, ainda que 4% não informaram, ficaram com 30%, 36% e 30, respectivamente, para
os itens “sem auxílio”, “auxílio não especializado” e “auxílio especializado”. Consideramos
importante que o aluno receba o acompanhamento e auxílio de pessoas além do professor nas
tarefas escolares, bem como o fator quanto ao tipo de formação dos seus responsáveis que
implicam na forma de aprendizagem desses alunos possibilitando melhores rendimentos
escolares e afinidade com os conteúdos.
Tabela 22 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e o
método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos
Experiência dos alunos quanto aos
métodos de introdução de razão
Entende razão da forma como o professor
ensina
Total Sim Ás
vezes
Não Não
informado
Definição seguida de exemplos e
exercícios
11% 44% 14% - 69%
Começando uma situação problema para
depois introduzir o assunto
3% 6% 2% - 11%
Começando com um experimento para
chegar ao conceito
1% 1% - - 2%
Iniciando com jogos para depois
sistematizar os conceitos
2% 1% 1% - 4%
Nunca estudei o assunto 1% 2% 9% 2% 14%
Total 18% 54% 26% 2% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 19 – Entendimento do conteúdo de razão da forma como o professor ensinava e o
método de introdução do conteúdo aos estudantes egressos
Pesquisa de Campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
Definiçãoseguida deexemplos eexercícios
Começandocom umasituação
problema
Commeçandocom um
experimento
Inicia com jogos
11%3% 1% 2%
44%
6%1% 1%
14%
2% 0% 1%
Entende Entende às vezes Não entende
75
De acordo com a tabela e gráfico verificamos que 69% dos alunos responderam que o
método de introdução para o conteúdo de razão seguia o método tradicional “definição seguida
de exemplos e exercícios” e ainda 54% responderam entender -às vezes- a forma como o
professor ensinava, destes 44% seguia o método tradicional. Resultados semelhantes a esse
também foram encontrados no estudo de Lopes (2015) e Silva (2015) que encontraram 85% e
93% respectivamente na resposta dos alunos das aulas de matemática iniciar por este método.
Com isso podemos inferir que ainda prevalece no ensino de matemática o método mais
tradicional de ensino, não que seja visto como negativo, mas acreditamos que existam assuntos
que podemos trabalhar uma abordagem diferenciada para obter melhores resultados no processo
de ensino e aprendizagem dos alunos, visto que o ensino tradicional já venha sendo debatido de
não alcançar bons rendimentos de acordo com as avaliações da escola e também nas avaliações
nacionais. Dentre as abordagens de ensino, a educação matemática nos mostra possibilidades
de ensinar matemática de maneira mais dinâmica e com significado para o aluno seja por meio
da história do próprio conteúdo a ser ensinado, jogos, resolução de problemas, modelagem,
entre outros.
Tabela 23 - Experiências dos estudantes egressos quanto aos recursos didáticos para fixação
dos assuntos matemáticos
Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos
estudantes
Total
Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 68%
Apresentar jogos envolvendo o assunto 5%
Solicitar que você resolvesse os exercícios do Livro didático 10%
Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto 4%
Não propor questões de fixação 13%
Total 100%
Pesquisa de Campo (2017)
76
Gráfico 20 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de razão na opinião dos
estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A tabela e seu respectivo gráfico acima nos apresenta o resultado encontrado quanto ao
método para a fixação do conteúdo de razão, o que nos aponta como o mais utilizado na opinião
dos alunos pelos professores com 68%, apresentar uma lista de exercício para serem resolvidos.
Ainda que a preocupação com o ensino de matemática já venha sido discutido nos cursos e
programas de formação de professores, sabemos que não há uma receita para o ensino, mas
observamos nas pesquisas desenvolvidas na área da educação matemática apontar caminhos
que visam melhorar o rendimento escolar dos alunos em relação aos conteúdos matemáticos. A
utilização de jogos para fixação obteve um percentual baixo de 5%, de acordo com Souza
(2006) os jogos podem ser utilizados para introduzir, fixar ou concluir um conteúdo, ou seja,
preparar o aluno para aprofundar os itens já trabalhados. Assim como os jogos, outros métodos
como elaboração de sequências didáticas pelo próprio professor pode ser uma alternativa que
possibilite uma interação e motivação de diminuir bloqueios apresentados por muitos alunos
que temem a matemática e se sentem incapazes de aprendê-la.
A tabela a seguir apresenta o entendimento do conteúdo de proporção da forma como o
professor ensina e quais experiências os alunos já obtiveram quanto aos métodos de introdução
para este conteúdo.
68%
5%
10%
4% 13%
Apresenta uma lista deexercícios para seremresolvidos
Apresenta jogos envolvendo oassunto
Solicita que você resolvaexercícios do Livro didático
Solicita que você procurequestões sobre o assunto
Não propõe questões de fixação
77
Tabela 24 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia o
conteúdo aos estudantes egressos
Experiência dos alunos quanto aos
métodos de introdução de Proporção
Entende Proporção da forma como o professor
ensina
Total
Sim Ás vezes Não Não informado
Definição seguida de exemplos e
exercícios
15% 48% 7% - 70%
Começando uma situação problema para
depois introduzir o assunto
6% 3% - - 9%
Começando com um experimento para
chegar ao conceito
3% 4% 1% - 8%
Iniciando com jogos para depois
sistematizar os conceitos
1% 3% 1% - 5%
Nunca estudei o assunto - 1% 6% 1% 8%
Total 25% 59% 15% 1% 100%
Fonte: Pesquisa de campo (2017)
Gráfico 21 – Entendimento do conteúdo de proporção da forma como o professor introduzia o
conteúdo aos estudantes egressos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A tabela 24 e gráfico 21 quanto ao entendimento do conteúdo de proporção e a forma
como o professor introduzia o conteúdo mostra que assim como para o estudo de razão os
métodos de introdução do conteúdo de proporção não se distanciaram encontramos que 70%
dos professores seguem o modelo –definição seguida de exemplos e exercícios- na opinião dos
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Definiçãoseguida deexemplos eexercícios
Começandocom umasituação
problema
Começandocom um
experimento
Inicia comjogos
Nuncaestudou o
assunto
Total
Entende da forma como o professor ensina Entende às vezes
Não entende Não informou
Total
78
alunos. Sendo de 59% dos alunos que assinalaram que entendem “Às vezes” a forma como o
professor ensina, e destes 48% seguem o método tradicional. Shliemann e Carraher (1993, p.16,
APUD Pontes, 2009) entendem que “[...] o ponto de partida para a compreensão de razões e
proporções são os diversos contextos ou situações da vida em que várias quantidades físicas
estão em proporção direta com outras quantidades” e ainda destaca como grande relevância o
contexto da transação comercial, exatamente porque é nele que a criança aprende que o valor a
pagar depende da quantidade de mercadoria comprada. Dessa forma, acreditamos que fazer uso
da definição como geralmente se diz ao aluno sendo a/b = c/d, se lê “a está para b, assim como
c está para d” não fica explicado às relações envolvidas, o que salienta Spinillo (1993, p.42) “o
pensamento proporcional refere-se basicamente à habilidade de estabelecer relações”.
Tabela 25 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção
Métodos utilizados pelos professores para fixação de
proporção na opinião dos alunos
Total
Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 64%
Apresentar jogos envolvendo o assunto 3%
Solicitar que você resolvesse os exercícios do Livro didático 14%
Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto 5%
Não propor questões de fixação 13%
Outro 1%
Total 100%
Pesquisa de Campo (2017)
79
Gráfico 22 – Métodos utilizados pelos professores para fixação de proporção
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para os resultados quanto ao método de fixação do conteúdo de proporção a maioria dos
alunos também respondeu que os professores utilizam a lista de exercício para serem resolvidos
(64%) seguidos de solicitar os exercícios do livro didático (14%). Quanto à metodologia
utilizada pelo professor de matemática em Paula (2011) e Lopes (2015), 55% e 75% dos alunos,
respectivamente, afirmaram que para fixar os conteúdos matemáticos o professor apresenta uma
lista de exercícios para ser resolvidos. Com esses dados observamos que tanto na forma de
apresentar o conteúdo quanto na forma utilizada para fixar os conteúdos matemáticos, destaca-
se os métodos de ensino tradicionalista sendo pouca utilização de ensino diferenciada, como
nos dados acima, apresentar jogos envolvendo o assunto obtivemos 3% na opinião dos
estudantes.
Tabela 26 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão
Resolve questões que envolvem
razão facilmente
Relaciona razão com situações do dia-a-dia
Total Sim Ás vezes Não Não informado
Sim 6% 7% 6% - 19%
Às vezes 4% 26% 15% - 45%
Não 1% 12% 21% - 34%
Não informado - - - 2 2%
Total 11% 45% 42% 2% 100%
Pesquisa de Campo (2017)
64%
3%
14%
5% 13%
1%Apresenta uma lista deexercício para serem resolvidos
Apresenta jogos envolvendo oassunto
Solicita que você resolvaexercício do livro Didático
Solicita que você procurequestões sobre o assunto
Não propõe questões de fixação
Outros
80
Gráfico 23 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre razão
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A tabela 26 e gráfico 23 apresenta que 26% dos alunos responderam que “às vezes”
resolvem questões sobre o conteúdo de razão e relaciona com situações do dia-a-dia. Em
seguida 21% dos alunos responderam que “não” não resolvem questões que envolvem razão
facilmente e não relacionada com situações do dia-a-dia. Considerando que o total foram 45%
que deram como resposta “Ás vezes” resolver questões que envolvem razão com facilidade e
também 45% que “às vezes” relaciona esse conteúdo com situações do dia-a-dia. Neste sentido,
podemos inferir que pelas respostas desses alunos pouco foi considerado os vários contextos da
nossa vida que está inserido a aplicação desse conteúdo quando lhe foi apresentado, pois, como
visto apenas 11% conseguem relacionar o assunto com alguma situação do dia-a-dia.
De acordo com Menegat (2010) falta ao aluno construir e aprimorar certos conceitos
que facilmente poderiam ser relacionados com situações do cotidiano e não de forma isolada,
prática e mecânica, sendo um dos problemas considerado está nas séries iniciais, quando a
abordagem do conteúdo não recebe a importância devida. Dessa forma, acreditamos que para
aqueles conteúdos que tem muita aplicabilidade no cotidiano e está presente na vida do aluno
deve ser considerada essa abordagem relacionando a matemática da vida com a matemática
escolar, formalizando os conteúdos que muitas das vezes os próprios alunos já têm noção e já
trazem um significado com eles mesmo.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Resolvequestões
queenvolvem
razãofacilmente
Às vezesresolve
questõesque envolve
razãofacilmente
Não resolvequestões
queenvolvem
razãofacilmente
Nãoinformadp
6% 4% 1% 0%7%
26%
12%
0%6%
15%21%
0%
Relaciona razão com situaçõesdo dia-a-dia
Às vezes relaciona comsituações do dia-a-dia
Não relaciona razão com o dia-a-dia
Não informou
81
Tabela 27 – Capacidade dos estudantes egressos na resolução de questões sobre proporção
Resolve questões que envolvem
proporção facilmente
Relaciona proporção com situações do dia-a-dia
Total Sim Ás vezes Não Não informado
Sim 5% 6% 5% - 16%
Às vezes 5% 33% 13% - 51%
Não 3% 7% 21% - 31%
Não informado - - - 2% 2%
Total 13% 46% 39% 2% 100%
Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 24 – Capacidade dos alunos egressos na resolução de questões sobre proporção
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Na tabela acima podemos observar que os resultados encontrados para proporção não
se distanciaram dos encontrados para razão em relação se há facilidade de resolver as questões
e se os alunos conseguem relacionar com alguma situação do dia-a-dia. Verificamos que 33%
responderam “Às vezes” resolver com facilidade e relacionar com situações do dia-a-dia o
conteúdo de proporção. No total foram 39% que responderam não relacionar com situações do
dia-a-dia e 31% não conseguem resolver as questões com facilidade. Com esses dados,
verificamos que poucos alunos (13%) responderam relacionar o conteúdo de proporção com
alguma situação do dia-a-dia, o que consideramos como um resultado negativo visto que
concordamos com Vergnaud (1983, apud Menegat, 2010) em que nos diz que a multiplicação
e a proporcionalidade ocupam posição privilegiada, sendo consideradas como conceito pivô no
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Resolvequestões
queenvolvemproporçãofacilmente
Às vezesresolve
questõesque
envolvemproporçãofacilmente
Não resolvequestões deproporçãofacilmente
Nãoinformado
Relaciona proporção comsituações do dia-a-dia
Às vezes relaciona proporçãocom o dia-a-dia
Não relaciona proporção comsituações do dia-a-dia
Não informou
82
ensino de Matemática e na construção das estruturas cognitivas do pensamento. Além disso,
temos uma aplicabilidade em várias áreas e até mesmo dentro da própria matemática
relacionando com outros conteúdos, sendo também chamado de um conteúdo integrador das
disciplinas escolares. Dessa forma, se o aluno não desenvolve o pensamento proporcional desde
cedo consequentemente terá dificuldades para aprender os outros conteúdos que tem a
proporcionalidade como base ou pré-requisito para compreendê-los.
Na opinião dos estudantes egressos buscamos identificar o grau de dificuldades para
aprender alguns tópicos do conteúdo de razão, ao fazermos uso do coeficiente Alfa de Cronbach
para verificarmos a confiabilidade dos dados, encontramos o valor de 0,60 considerado como
um grau de confiabilidade moderada de acordo com a classificação de Magalhães (2008).
Tabela 28 – Grau de dificuldades de aprendizagem de razão na opinião dos estudantes
Assunto
Estudou este
assunto? Grau de dificuldade para aprender
Sim
Nã
o
Nã
o
info
rmo
u
Mu
ito
fá
cil
Fá
cil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
dif
ícil
Nã
o
info
rmo
u
Ideias associadas a razão 25% 69% 6% 2% 1% 15% - 5% 77%
Definição de razão 60% 33% 7% 5% 8% 45% 1% 1% 40%
Os termos de uma razão 44% 49% 7% - 19% 20% 2% - 56%
Razão de grandezas de mesma espécie 31% 61% 8% - 9% 19% 2% 1% 69%
Razões inversas 43% 48% 9% 8% 2% 18% 15% 2% 55%
Razões especiais 52% 45% 3% 3% 10% 30% 4% 3% 50%
Razões escritas na forma percentual 52% 45% 3% - 11% 29% 6% 6% 48%
Aplicações do conceito de razão 45% 49% 6% 4% 6% 25% 5% 5% 55%
Comparação por meio de uma razão 26% 68% 6% 2% 4% 13% 7% - 74%
Porcentagem 63% 31% 6% 5% 10% 23% 17% 8% 37%
Problemas envolvendo porcentagem 55% 40% 5% 4% 7% 19% 17% 8% 48%
Pesquisa de Campo (2017)
Quanto a tabela 28 que trata dos tópicos relacionados aos conteúdos de razão e
proporção e ao grau de dificuldade para cada tópico de acordo com as respostas dos estudantes,
tivemos os seguintes resultados.
De acordo com as respostas 69% dos estudantes responderam que não estudaram o
tópico relacionado às ideias associadas a razão, e 25% dos que responderam ter estudado
consideram regular o grau de dificuldade para aprender esse conteúdo. Acreditamos que iniciar
com as noções ou ideias associadas a razão prepara melhor o aluno para a construção da
definição do assunto a ser estudado, pois estaria fazendo relação com algo já conhecido por eles
83
e assim associariam com mais facilidade a alguma situação do seu dia-a-dia. Com esse
pensamento, acrescenta Cerullo, Sato & Chacur (2004) quando nos diz que o aluno deve
construir o conteúdo a ser aprendido por meio de aproximações sucessivas, integrando as novas
informações àquelas que já possuem em sua estrutura cognitiva.
Para o tópico definição de razão, a maioria dos alunos (60%) respondeu que já estudou
este conteúdo, o que julgamos como um resultado positivo, embora pela resposta ao item
anterior, podemos inferir que as aulas da maioria desses alunos foram iniciadas com a definição
formal do conteúdo de razão e 45% dos alunos julgaram como sendo regular o grau de
dificuldade para aprender a definição. Quanto à razão de grandezas de mesma espécie a maioria
dos alunos (61%) respondeu que não estudou este conteúdo, com isso temos que se não é
trabalhado este conteúdo o aluno desconhece a relação da razão de grandezas numa mesma
unidade, que é um dos conceitos trabalhados para o ensino de razão, e principalmente esses
exemplos são úteis na geometria, ao falar de figuras semelhantes.
Os tópicos referentes ao estudo de razão que receberam a confirmação de terem
estudado pela maioria dos estudantes, foram também, razões especiais (52%), razões escritas
na forma percentual (52%), porcentagem (63%) e problemas envolvendo porcentagem (55%).
Sendo assim, os alunos revelam que quanto ao grau de dificuldade de aprender está nos
problemas envolvendo porcentagem considerado o mais difícil (45%) dos tópicos do estudo de
razão seguido de razões especiais (39%).
A seguir apresentamos os dados revelados pelos estudantes quanto ao grau de
dificuldade para os tópicos de proporção, utilizando o método de confiabilidade alfa de
Cronbach obtivemos um valor de 0,95 considerado de alta confiabilidade.
Tabela 29 – Grau de dificuldades de aprendizagem de proporção na opinião dos estudantes
Assunto
Estudou este
assunto? Grau de dificuldade para aprender
Sim
Nã
o
Nã
o
info
rmo
u
Mu
ito
fá
cil
Fá
cil
Reg
ula
r
Dif
ícil
Mu
ito
dif
ícil
Nã
o
info
rmo
u
Ideia de proporção 58% 36% 6% 4% 8% 20% 18% 8% 45%
Definição de proporção 59% 36% 5% 3% 9% 19% 18% 10% 41%
Propriedade fundamental das
proporções 48% 45% 7% 4% 6% 15% 16% 7% 52%
Grandezas diretamente proporcionais 52% 44% 4% 3% 8% 16% 18% 8% 49%
Grandezas inversamente proporcionais 42% 52% 6% 2% 8% 14% 15% 3% 58%
84
Proporções contínuas 40% 53% 7% 4% 6% 15% 10% 5% 60%
Proporcionalidade direta 37% 56% 7% 3% 4% 12% 11% 7% 75%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
56% 36% 8% 5% 10% 18% 17% 6% 45%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎 + 𝑏
𝑎=
𝑐+𝑑
𝑐
48% 43% 9% 2% 5% 16% 17% 8% 52%
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎 + 𝑏
𝑏=
𝑐 + 𝑑
𝑑
37% 54% 9% 1% 3% 16% 15% 2% 63%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑏
𝑎=
𝑐−𝑑
𝑐
33% 58% 9% 2% 2% 15% 8% 4% 69%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑏
𝑏=
𝑐−𝑑
𝑑
33% 58% 9% 2% 3% 13% 10% 3% 69%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
34% 57% 9% 2% 2% 15% 12% 2% 67%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
28% 63% 9% 2% 2% 15% 9% - 72%
A propriedade se
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑=
𝑎2
𝑏2 =𝑐2
𝑑2 32% 59% 9% 1% 2% 14% 12% 2% 69%
Situações-problema envolvendo as
propriedades das proporções 36% 55% 9% 3% 2% 15% 10% 5% 65%
Distribuição em partes diretamente
proporcionais 43% 48% 9% 2% 5% 23% 10% 2% 58%
Distribuição em partes inversamente
proporcionais 25% 65% 10% 1% 2% 8% 9% 7% 73%
Regras de sociedade 23% 66% 11% - - 6% 8% 8% 76%
Pesquisa de Campo (2017)
Quanto aos tópicos referentes ao estudo de proporção podemos perceber que a maioria
dos alunos confirmou ter estudado a ideia de proporção (58%), o que consideramos de grande
relevância para iniciar o estudo, visto que há inúmeras aplicabilidades de proporcionalidade no
cotidiano do aluno a ser relacionada e ainda por que a criança desenvolve as noções de
proporcionalidade desde cedo por meio das experiências de vida e que muita das vezes precisa
apenas formalizar aquele conhecimento.
Para o tópico definição de proporção a maioria dos alunos (59%) afirmou ter estudado
o conteúdo e quanto ao grau de dificuldade para esse tópico o resultado concentrou entre regular
(19%) e difícil (18%). Considerando que a maioria dos alunos estudou este tópico avaliamos
como um resultado positivo, pois estes alunos poderão nos apontar sobre as dificuldades e
quanto ao desenvolvimento do conteúdo relacionado aos tópicos seguintes de
proporcionalidade, visto que quando ensinamos “presos” apenas da forma apresentada nos
85
livros didáticos, como geralmente acontece, nem sempre estes livros abordam os assuntos de
forma simples e de acordo com a realidade do aluno, ou até mesmo deixam de apresentar tópicos
fundamentais na aprendizagem do conteúdo.
Diante aos tópicos de grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais encontramos, respectivamente, 52% e 42% da aprovação dos alunos quanto ao
estudo do assunto. Pelas respostas podemos perceber que o ensino de grandezas diretamente
proporcionais obtiveram um maior resultado em relação as grandezas inversamente
proporcionais, e na hora da resolução das situações problemas geralmente os alunos erram mais
questões que envolvem grandezas inversamente proporcionais, pois não interpretam que tipo
de grandeza está envolvida e usam a técnica da regra de três de maneira incorreta o que foi
verificado no estudo de Floriani (2004).
Das propriedades listadas para os alunos apenas a propriedade fundamental das
proporções, em que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos obteve mais da metade
das aprovações (56%) dos alunos em ter estudado o conteúdo, e os tópicos que obtiveram
menores porcentagens para a confirmação de ter sido estudado pelos alunos foram os de
distribuição em partes inversamente proporcionais (25%) e regras de sociedade (23%).
A segunda parte do questionário se refere a um teste com algumas questões sobre razão
e proporção que também solicitamos aos alunos para resolver e assim nos revelar algumas
características de dificuldades neste conteúdo. As questões foram adaptadas de vestibulares ou
provas de avaliação externa, bem como de livros didáticos, e pretendiam abranger os tópicos
que geralmente são trabalhados pelos professores em sala de aula. A seguir apresentaremos as
questões e alguns comentários a respeito do desempenho dos estudantes no teste.
___________________________________________________________________________
Questão 01
Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3
desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao
total de cadeiras desse mesmo setor.
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Fonte: ENEM (2013)
Nesta questão, tínhamos como objetivo descobrir se os alunos sabiam a respeito da ideia
de razão e como representa-la de acordo com o que se pede no comando da questão. Os dados
apresentaram que apenas 5% dos estudantes acertaram a questão, 10% erraram e a maioria dos
estudantes 85% deixou em branco. Estes resultados podem nos revelar que poucos estudantes
tinham conhecimento da ideia e representação de uma razão.
Questão 02
Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento
ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da
pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.
Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?
Fonte: ENEM (2015)
A questão 02 trata de uma das razões especiais denominada de Escalas muito utilizada
nas provas de vestibulares e de avaliações externas, e de acordo com os dados revelados não
tivemos nenhum acerto a respeito desta questão, 10% dos estudantes erraram, e 90% não deixou
em branco. Os erros dos estudantes eram de valores apresentados sem nenhum cálculo para que
pudéssemos analisar quais caminhos tomaram para que chegassem ao resultado.
Questão 03
Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada
por eles, ou seja, D = 𝑛
𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e
a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule
a densidade demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a mais densamente povoada.
Fonte: Adaptada pelos autores.
87
A questão 03 aborda uma das razões especiais denominada de densidade demográfica e
tinha como intuito verificar acerca do conhecimento deste assunto pelos e suas possíveis
dificuldades. Os resultados apontaram que a maioria não conseguiu resolver a questão, sendo
90% de estudantes que deixaram em branco, 5% erraram e 5% acertaram. Os estudantes que
acertaram apenas responderam a região mais densamente povoada, mas não realizaram cálculo.
Os 5% dos estudantes que erraram tentaram utilizar a fórmula dada na questão, mas não
calcularam a densidade demográfica e também não concluíram que a região seria a mais
densamente povoada.
Questão 04
A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de
copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja,
7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil.
Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na Amazônia?
Fonte: Sispae (2014)
Em relação a questão 04 temos também umas das razões especiais muito cobrada em
provas e de muita importância para o conhecimento dos estudantes, referente a porcentagem.
Os resultados revelados pelos estudantes apontaram que a maioria 75% dos estudantes deixou
em branco esta questão, revelando um possível desconhecimento de como realizar cálculos ou
estratégias de resolução que envolve porcentagem. Tivemos também que 20% dos estudantes
erraram, visto que colocaram como resposta 3% e a correta seria 30%, e assim tivemos um
percentual de 5% dos estudantes que conseguiram acertar esta questão.
Questão 05
Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme
mostrado a seguir:
88
Massa (kg) 0,2 0,4 0,8
Preço (R$) 1,2 2,4 4,8
Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a
constante de proporcionalidade.
Fonte: Adaptada fascículo ENEM (2010)
A questão 05 refere ao pensamento proporcional em que apresenta uma tabela com
valores que estão em proporcionalidade. Percebemos que a maioria dos estudantes (90%)
deixou em branco, e 10% erraram a questão. Em relação aos erros dos estudantes, tiveram
aqueles disseram que não havia proporcionalidade, outros que não conseguiram responder
corretamente a constante de proporcionalidade e também alguns que não respondeu se havia
proporcionalidade.
Questão 06
Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3.
Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?
Fonte: Manual Compacto de Matemática (2010)
Na questão 06 temos uma das propriedades da soma de uma proporção, em que refere-
se a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou segundo termo, assim como a soma dos
últimos termos está para o terceiro ou quarto termo. Percebemos que nenhum aluno conseguiu
acertar esta questão, 5% erraram, e a maioria 95% dos estudantes deixou em branco.
Questão 07
Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade.
Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que
cada um irá receber pela venda dessa casa?
Fonte: Manual Compacto de Matemática (2010)
A questão 07 trata de uma questão de regra da sociedade em que envolve o
conhecimento sobre divisão proporcional, nesta questão não houve acertos sendo a maioria de
98% dos estudantes que deixou em branco e 2% tentaram resolver, no entanto não chegaram ao
resultado correto.
89
Questão 08
Considere o seguinte triângulo retângulo.
Uma redução correta para essa figura seria:
Fonte: Sispae (2014)
A questão 08 aborda uma situação que envolve o conhecimento de triângulos
semelhantes e proporcionalidade, em que os lados dos triângulos correspondentes possuem
medidas proporcionais. Esta questão talvez por envolver as alternativas, tivemos um percentual
de 20% dos alunos que deixou em branco, a maioria assinalou alternativa errada, sendo uma
das marcadas a alternativa D e apenas 10% conseguiu acertar a alternativa correta.
90
Questão 09
A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos
que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e
C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000.
Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?
Fonte: Coleção Ideias e Relações 6 (2002)
A questão 09 envolve o conhecimento de divisão diretamente proporcional, e pelo
resultado que encontramos mostraram que nenhum aluno conseguiu resolver a questão proposta
e apenas 5% que colocaram qualquer valor sem apresentar nenhum cálculo e erraram 95% dos
estudantes não responderam a questão.
Questão 10
Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o
preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos
de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que
Bruno deverá conferir?
Fonte: Fundação Carlos Chagas – FCC (2016)
A questão 10 refere-se a divisão inversamente proporcional, e os resultados revelados
apresentam que nenhum aluno conseguiu resolver a questão, demonstrando que talvez não
possuam conhecimento a respeito deste conteúdo e que apenas 5% dos estudante tentou e
colocou uma resposta sem cálculo e distante da resposta correta, sendo a maioria 95% dos que
deixaram em branco. A seguir apresentaremos um quadro com o rendimento dos alunos na
resolução de questões de razão e proporção.
Quadro 04 – Grau de rendimento dos estudantes na resolução de questões sobre Razão e
proporção
Questão Assunto envolvido Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)
01 Ideia de Razão 5% 10% 85%
02 Escalas 0% 10% 90%
03 Densidade demográfica 5% 5% 90%
04 Porcentagem 5% 20% 75%
05 Ideia de Proporção 0% 10% 90%
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06 Propriedade da soma 0% 5% 95%
07 Divisão proporcional 0% 2% 98%
08 Redução/ampliação
proporcional
10% 70% 20%
09 Divisão diretamente
proporcional
0% 5% 95%
10 Divisão Inversamente
Proporcional
0% 5% 95%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os dados mostrados no quadro 04 revelam que a maioria dos estudantes sentem
dificuldades em resolver questões referentes ao conteúdo de razão e proporção, e que os tópicos
apresentados com maiores dificuldades condizem com a resposta revelada pelos professores
quando consultados, sendo estas as propriedades das proporções e divisão diretamente e
inversamente proporcional, em relação aos tópicos de razão os professores apontaram que as
ideias associadas a razão apresentam como o tópico mais “fácil” de ser aprendido pelos alunos,
no entanto os resultados obtidos pelos estudantes consultados revelaram que 80% deixaram em
branco e 5% erraram, o que pode ser observado que os estudantes apresentam dificuldades nos
tópicos relacionados ao assunto de razão e proporção que podem está relacionado a
interpretação de texto das questões contextualizadas, ou também quando a dificuldade em
operações básicas que o assunto exige que o aluno possua, como visto nas questões que os
alunos não chegavam a resposta correta.
2.5 Síntese Das Análises Prévias
De acordo com as nossas análises prévias conseguimos obter um melhor entendimento
a respeito do ensino habitual a cerca do conteúdo de razão e proporção, seja pela revisão dos
estudos que nos revelaram uma visão mais ampla de como os autores defendem como deveria
ser realizado o ensino para que se desenvolvesse o pensamento proporcional pelos estudantes,
a forma como vem sendo apresentado nos livros didáticos e de como é apresentado aos alunos.
Foi possível perceber, por exemplo, que os resultados apontam para uma não
compreensão dos conceitos que envolvem o conteúdo de razão e proporção, reduzindo o
conteúdo de proporcionalidade ao ensino da técnica da regra de três. Também é abordado nos
estudos quanto a concepção de razão que se não dado o tratamento adequado possivelmente os
alunos sentirão dificuldades para compreender o conceito de proporção já que estão
92
intimamente ligados, sendo assim defendem que uma forma de obter melhores entendimentos
pelos estudantes deste conteúdo será em abordar as diversas situações em que este assunto está
empregado, relacionado com a nosso dia-a-dia, e também as diversas maneiras que podem ser
apresentados.
A consulta aos professores e alunos também nos revelou quanto aos tópicos quando
ensinados os assuntos de razão e proporção que apresentam maiores dificuldades, dentre eles
porcentagem, as propriedades das proporções, e divisão diretamente e inversamente
proporcional. Quanto a parte histórica, os estudos nos apresentam um pouco da construção deste
pensamento proporcional como a evolução da notação para razão e proporção, a relação com a
relação natureza em relação ao número de ouro, e ainda os estudos que utilizam um pouco da
história como fator motivacional também pode ser um atrativo que desperte mais interesses dos
estudantes sobre esse tema matemático que está muito presente em nossa vida.
Na seção seguinte faremos a exposição de nossa proposta e sequência de ensino.
93
3 ONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
Nesta seção descrevemos nossa proposta didática de atividades para trabalhar o assunto
de razão e proporção, a qual compõe a segunda etapa da nossa pesquisa conforme a engenharia
didática: Concepção e análise a priori. Nesta fase de acordo com Almouloud (2007) o
pesquisador deve elaborar e analisar uma sequência de situações-problema e com ela permitir
aos alunos desenvolver certas competências e habilidades, dentre elas destaca que as atividades
devem ter por objetivo: auxiliar os estudantes na construção do conhecimento e saberes de uma
maneira construtiva e significativa; e também desenvolver habilidades como, saber ler,
interpretar e utilizar as diferentes representações matemáticas e desenvolver o raciocínio lógico.
Dessa forma, adotamos a metodologia de ensino da Matemática por atividades, com
base nos estudos de Sá (2009) e Sá e Jucá (2014). O ensino de matemática por atividades
“pressupõe a possibilidade de conduzir o aprendiz a uma construção constante das noções
matemáticas presentes nos objetivos da atividade” (SÁ, 2009, p.18) e, assim é importante que
o professor proponha situações que faça o aluno ser conduzido a descobertas de um
conhecimento.
Para este momento analisamos previamente as questões do pré-teste assim como as
atividades da nossa sequência didática propostas para os alunos do 7º ano (sétimo ano) do
ensino fundamental. Conforme Brasil (1998) o ensino de matemática têm como objetivo para
o terceiro ciclo o qual se enquadra o 7º ano os seguintes critérios:
Pensamento numérico: Resolver situações-problemas envolvendo números
naturais, inteiros e racionais e a partir delas ampliar e construir novos
significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação;
Do pensamento algébrico: traduzir informações contidas em tabelas e gráficos
em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e identificar
os significados das letras;
Pensamento geométrico: resolver situações-problemas de localização e
deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas noções de direção e
sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo, elementos
fundamentais para a constituição de sistemas de coordenadas cartesianas;
Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas representações planas,
envolvendo a observação das figuras sob diferentes pontos de vista, construindo
e interpretando suas representações;
94
Do raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico: coletar, organizar e
analisar informações, construir e interpretar tabelas e gráficos, formular
argumentos convincentes, tendo por base a análise de dados organizados em
representações matemáticas diversas;
A matriz de referência do SISPAE/2014 para o ensino fundamental ainda elenca
algumas habilidades para serem desenvolvidas com os alunos no estudo de proporcionalidade.
Dentro do eixo temático Espaço e forma, identificamos a habilidade “Reconhecer a semelhança
entre figuras planas, em especial o triângulo, a partir da congruência das medidas angulares e
da proporcionalidade”, no eixo Grandezas e medidas, temos “Resolver problemas que
envolvam relações de proporcionalidade entre duas grandezas” e “aplicar o teorema de Tales
como forma de ocorrência da ideia de proporcionalidade, em diferentes contextos”.
Acreditamos que com a sequência didática a qual elaboramos para o ensino de razão e
proporção esteja de acordo e atendendo aos objetivos e recomendações dos documentos oficiais
visto que este assunto considerado como integrador encontra-se presente em diversos conteúdos
matemáticos e também de outras disciplinas.
Quanto ao desenvolvimento do raciocínio algébrico a partir de dados numéricos
buscamos também apresentar situações que o aluno reconheça o significado, no contexto real,
entre as razões ou igualdades que expressam relações entre as grandezas envolvidas. Defende
Tinoco (2011) que este tipo de raciocínio, além de ajudar em muito a resolver o problema
constitui um passo essencial para construir o conceito de função e, em geral, isso não é
percebido. Com este pensamento destaca Mora e Aymemí (2000):
Os termos de razão, proporção e proporcionalidade adquirem um significado
unificado com a noção de função linear. Essa noção é um modelo que sintetiza
diferentes linguagens, situações, expressões e fenômenos. A função linear
pode ser considerada como a matematização das noções cotidianas e utilitárias
de proporcionalidade. (Mora e Aymemí, 2000, p.83, tradução nossa).
Uma sequência didática de acordo Zabala (1998, p.18) é “um conjunto de atividades
ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que
tem um princípio e um fim conhecido tanto pelo professor como pelo aluno (...)”. Dessa forma,
as sequências didáticas podem contribuir para a concretização do conhecimento que estão em
fase de construção e permitem que progressivamente novas aquisições sejam possíveis.
Na elaboração das atividades são apresentadas algumas sugestões de elementos
considerados essenciais para Sá (2009):
95
As atividades devem apresentar-se de maneira auto-orientadas para que os
alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;
Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções
matemáticas através de três fases: a experiência, a comunicação oral das ideias
apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;
As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre
os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para
que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito
mútuo entre os alunos e adotar a postura de um membro mais experiente do
grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;
As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam
conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas
construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;
Dessa forma, elaboramos a sequência didática composta por 19 atividades para trabalhar
o conteúdo de razão e proporção e 02 atividades de fixação, constituídas de uma lista de
situações-problema de razão e outra de proporção. Além disso, apresentaremos a análise a priori
de cada questão que constituirá o pré-teste e pós-teste, assim como as análises a priori das
atividades pertencentes a nossa sequência didática.
3. 1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE
O pré-teste tem as mesmas questões do teste que pertenceu ao questionário aplicado aos
discentes consultados na etapa das análises prévias. O pós-teste será o mesmo do pré-teste. A
seguir apresentaremos e faremos a análise a priori do Pré-teste por questão.
1ª Questão: Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a
vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não
foram vendidas.
Figura 01 – Poltronas de um teatro
Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em
relação ao total de cadeiras desse mesmo setor.
96
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os estudantes, possam ter êxito na
resposta, visto que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade
referente ao conceito de uma razão.
2ª Questão: Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8
cm de comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura (
L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.
Figura 02 – Caneta e pegada
Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem obter a resposta correta, visto que
já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente ao
conceito de escalas.
3ª Questão: Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área
A que é ocupada por eles, ou seja, D = 𝑛
𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população
de 98000 habitantes e a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000
habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões
e conclua qual é a mais densamente povoada.
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a
razão especial densidade demográfica.
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4ª Questão: A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura,
a quantidade de copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no
restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil.
Figura 03 – Distribuição de água doce na Amazônia
Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na
Amazônia?
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a
porcentagem.
5ª Questão: Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa
tabela conforme mostrado a seguir:
Massa (kg) 0,2 0,4 0,8
Preço (R$) 1,2 2,4 4,8
Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual
a constante de proporcionalidade.
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente ao
conceito de proporcionalidade.
98
6ª Questão: Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza
na razão 5 para 3. Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irão
utilizar?
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a
propriedade da soma dos antecedentes e consequente de uma proporção.
7ª Questão: Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma
casa em sociedade. Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90
000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa casa?
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade referente a
distribuição em partes diretamente proporcional.
8ª Questão: Considere o seguinte triângulo retângulo.
Figura 04 – Triângulo Retângulo
99
Uma redução correta para essa figura seria
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Os estudantes podem encontrar a resposta correta, visto
que já poderão ter construído o conhecimento exigido na atividade referente ao conceito de
proporcionalidade.
9ª Questão: A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional
ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade,
concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10
000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000. Sabendo que o número total de vereadores
dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes não conseguirão resolver a questão, já que
ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Acreditamos que os estudantes encontrarão a resposta
correta, visto que já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão na atividade
referente a distribuição em partes diretamente proporcionais.
10ª Questão: Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa
de conferir o preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão
inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o
número de formulários que Bruno deverá conferir?
100
Análise a priori do pré-teste: Os estudantes pode ser que não consigam resolver a
questão, já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do pós-teste: Esperamos que os estudantes, em sua maioria, possam
ter êxito na resposta, visto que terão participado da atividade referente a distribuição em partes
inversamente proporcionais e já poderão ter construído o conhecimento exigido nesta questão.
3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM
DOS CONTEÚDOS EM RAZÃO E PROPORÇÃO
As atividades propostas para compor a nossa sequência didática abordam os seguintes
conteúdos:
O significado de uma razão
Razões inversas
Razões equivalentes
Propriedade envolvendo a razão
Escalas
Razão especial: velocidade Média
Razão especial: densidade demográfica
Porcentagem
Razão especial: IMC
Razão especial: Densidade de um objeto
Ideia de Proporção
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais
Situações de Proporcionalidade e não proporcionalidade
Propriedade fundamental das proporções
Propriedades da soma das proporções
Propriedade da diferença das proporções
Em cada atividade apresentaremos o título, o objetivo, os materiais necessários e os
procedimentos a serem realizados, e ao final de algumas atividades serão solicitados que os
alunos escrevam as observações para expor suas ideias acerca da atividade e um espaço para a
conclusão da atividade, para assim depois de observadas as regularidades poder formalizar e
sistematizar os conhecimentos matemáticos adquiridos na atividade. Será solicitado o horário
de início e término de cada atividade, com a intenção de obter o tempo médio de realização das
101
atividades para comparar com as informações dos docentes acerca do tempo de aula ao estudo
de Razão e proporção. A seguir apresentaremos as atividades com suas respectivas análises a
priori.
3.2.1 Atividade 1
Título: Razão em matemática
Objetivo: Introduzir o conceito de razão
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de Início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimentos:
Leia a folha de notícias juntamente com o quadro informativo e posteriormente faça o
que se pede.
FOLHA DE NOTÍCIAS
“Em 2017, de cada 3 desempregados no mundo, um será brasileiro”
“Um brasileiro é vítima de fraude de identidade a cada 20 segundos”
“Nove entre dez adolescentes usam jeans”
“Serão sorteados 300 telefone celulares entre 2100 inscritos na promoção”
“De cada 9 clientes 6 usam o cartão de crédito interno da loja”
“A cada 10 pessoas no Brasil, 6 estão acima do peso”
“O Estado (Pará), no entanto, ainda representa apenas 2% do Produto Interno Bruto
(PIB) brasileiro [...]”
“A área social é o grande problema a ser enfrentado no Pará. Mais um exemplo acaba
de ser divulgado pelo Ministério da Saúde: em 2012 a cada mil crianças que nascem
no Pará, 24 morrem antes de completar cinco anos”.
Em matemática a expressão “Para cada torcedor do time x existem 05 torcedores do time y.”
é equivalente a dizer que a razão entre os torcedores dos times X e Y é de 1 para 5 ou que
na situação 1 está para 5.
102
Analise as expressões a seguir e escreva a razão correspondente entre os elementos envolvidos
1) Para cada 01 homem que se declara bissexual existem 05 mulheres.
Razão correspondente:
2) De cada 100 crianças que nascem 90 crianças sobrevivem até 10 anos.
Razão correspondente:
3) Três de cada dez brasileiros são ateus.
Razão correspondente:
4) A gasolina teve um aumento de 15%.
Razão correspondente:
5) O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Razão correspondente:
6) Dos jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Razão correspondente:
7) No município de Capitão poço para cada 2 residências com acesso a rede de água
existem 8 sem acesso.
Razão correspondente:
8) A cada 04 brasileiros, 01 se declara portador de alguma deficiência.
Razão correspondente:
9) Nove entre dez crianças assistem desenho animado.
Razão correspondente:
10) No aniversário de Bragança, foram sorteados 05 prêmios para cada 100 cartas
enviadas.
Razão correspondente:
Dê 05 exemplos de situações que envolvem a ideia de razão.
Na razão ¾ o três é denominado de antecedente e o quatro de consequente.
Não existe uma regra, mas é comum que o menor valor seja o antecedente e o maior
valor seja o consequente.
Para cada razão a seguir identifique o antecedente e o consequente
1) Em 3/5 , o antecedente é : e o consequente é :
2) Em 2/4, o antecedente é : e o consequente é :
3) Em 4/5 , o antecedente é : e o consequente é :
4) Em 7/8 , o antecedente é : e o consequente é :
103
5) Em 1/3 , o antecedente é : e o consequente é :
6) Em 2/8 , o antecedente é : e o consequente é :
7) Em 4/6 , o antecedente é : e o consequente é :
8) Em 7/9 , o antecedente é : e o consequente é :
9) Em 6/7 , o antecedente é : e o consequente é :
10) Em 5/8 , o antecedente é : e o consequente é :
Análise a priori da atividade 01: Ao colocarmos as diferentes notícias divulgadas em jornais
que trabalham com a ideia de uma razão, esperamos que os alunos identifiquem uma
semelhança entre as notícias as quais estão sempre comparando as medidas de duas grandezas.
Posteriormente informaremos exemplificando o que vem a ser uma razão, e esperamos dessa
forma que não assimilem uma razão como uma fração representada por números sem
significados, visto a razão é uma das concepções de frações, identificadas por Behr et al (1983)
como sendo: parte-todo, quociente, medida, razão e operador. Após esse momento esperamos
que os alunos consigam compreender uma razão e consigam resolver as atividades que seguem.
Os alunos poderão sentir dificuldades quanto a ordem na representação de uma razão, caso isso
aconteça serão exemplificadas a importância na ordem da representação de uma razão, visto
que é importante a ordem ser considerada e por isso cada número recebe um nome.
3.2.2 Atividade 02
Título: Razões Inversas
Objetivo: Descobrir uma relação entre as razões que tem seus termos invertidos.
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Leia a folha de atividade com o quadro abaixo para que possa ser preenchido conforme
o que se pede.
Preencha o quadro a seguir:
Razão 1 Razão 2 Produto das razões
3/4 4/3
3/2 2/1
2/5 5/3
8/4 4/8
2/3 3/2
3/7 7/3
104
9/4 2/3
5/6 6/4
7/3 3/7
3/4 4/3
Quando o produto dos termos de duas razões é igual a 1 dizemos que as razões são inversas.
De 3 exemplos de razões inversas.
De 3 exemplo de razões que não são inversas.
Análise a priori da atividade 02: Nesta atividade ao completar o quadro esperamos que os
alunos verifiquem a regularidade quando temos a multiplicação das razões com seus termos
invertidos, as quais vão resultar o produto igual a 1 (um), assim para verificar ainda mais essa
ocorrência colocamos um contra exemplo, isto é, quando não possuem seus termos invertidos.
Os alunos poderão equivocar-se na operação de multiplicação, sendo levados ao erro quanto ao
produto dos antecedentes ou consequentes e não chegando ao objetivo da atividade, caso isso
aconteça pediremos que se atente para a multiplicação e refaçam as que não estiverem de
acordo.
3.2.3 Atividade 03
Título: Razões equivalentes
Objetivo: Conceituar razões equivalentes
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Para cada situação apresentada:
Leia com atenção a situação apresentada
Responda o que lhe é solicitado
Questão 01: De cada 10 torcedores do time Aningal, 06 são homens e de cada 15 torcedores do time
Beira-rio, 12 são homens.
105
a) Qual é a razão entre os torcedores do Aningal que são homens e os torcedores do Aningal
de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.
b) Qual é a razão entre os torcedores do Beira-rio que são homens e os torcedores do Beira-
rio de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.
c) Qual dos times tem mais torcedores homens?
Questão 02: De cada 08 profissionais da construção civil, 02 são mulheres e de cada 24 engenheiros,
06 são mulheres. Qual das profissões tem mais mulheres?
a) Qual é a razão entre as profissionais da construção civil e os profissionais da construção
civil de ambos os sexos? Simplifique ao máximo esta razão.
b) Qual é a razão entre as engenheiras e os engenheiros de ambos os sexos? Simplifique ao
máximo esta razão.
c) Qual das profissões tem mais mulheres?
Questão 03: De cada 05 torcedores do time Corinthians, 01 é menino e de cada 25 torcedores do time
Flamengo, 05 são meninos. Qual dos times tem mais torcedores meninos?
a) Qual é a razão os torcedores do Corinthians que são meninos e os torcedores do
Corinthians de todas as idades? Simplifique ao máximo esta razão.
b) Qual é a razão os torcedores do Flamengo que são meninos e os torcedores do Flamengo
de todas as idades? Simplifique ao máximo esta razão.
c) Qual dos dois times tem mais torcedores meninos?
Questão 04: De cada 12 mulheres que tem câncer de mama, 02 morrem e de cada 06 mulheres que tem
câncer de colo do útero, 01 morre. Qual dos dois tipos de câncer é mais mortal?
a) Qual é a razão entre a mortalidade das mulheres e o câncer de mama? Simplifique ao
máximo esta razão.
b) Qual é a razão entre a mortalidade das mulheres e o câncer de colo do útero? Simplifique
ao máximo esta razão.
c) Qual dos dois tipos de câncer é mais mortal?
Questão 05: Três de cada dez brasileiros são ateus e nove de cada trinta italianos são ateus. Há mais
ateus entre brasileiros ou italianos?
a) Qual é a razão entre o número de brasileiros ateus e o número de brasileiros? Simplifique
ao máximo esta razão.
b) Qual é a razão entre o número de italianos ateus e o número de italianos? Simplifique ao
máximo esta razão.
c) Há mais ateus entre brasileiros ou italianos?
106
Questão 06: Nove entre dez crianças acessam a internet todos os dias e dezoito entre vinte adolescentes
acessam a internet diariamente. Quem acessa mais a internet diariamente, as crianças ou os
adolescentes?
a) Qual é a razão entre o número de crianças que acessam a internet diariamente e o número
de crianças? Simplifique ao máximo esta razão.
b) Qual é a razão entre o número de adolescentes que acessam a internet diariamente e o
número de adolescente? Simplifique ao máximo esta razão.
c) Quem acessa mais a internet, diariamente, as crianças ou os adolescentes?
Preencha o quadro a seguir:
Valores
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
Razão 𝑎
𝑏
simplificada
ao máximo
Razão 𝑐
𝑑
simplificada
ao máximo
As razões 𝑎
𝑏
e 𝑐
𝑑 são iguais?
SIM
Não a =2 ; b = 4; c =8; d = 16 a = 9; b = 6; c = 6 ; d = 8 a = 8; b = 6; c = 12; d = 9 a = 8; b = 6; c =12; d = 9 a = 4; b = 8; c = 3; d = 6 a = 6 ; b = 15; c = 4; d =10 a = 6 ; b = 15; c = 4; d = 16 a = 4; b = 6; c = 9 ; d = 12
Observação:
Conclusão:
Verifique quais dos pares de razões são equivalentes ou iguais:
a) 6
3 𝑒
2
3
b) 2
5 𝑒
8
20
c) 2
3 𝑒
8
10
d) 4
10 𝑒
16
35
e) 16
40 𝑒
2
5
f) 4
10 𝑒
12
30
g) 9
15 𝑒
12
25
h) 2
8 𝑒
4
16
107
i) 8
6 𝑒
4
24
j) 6
4 𝑒
4
12
Análise a priori da atividade 03: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem
que em cada situação-problema proposta são colocadas duas situações para serem representadas
por razões e que ao simplificarem estas ao máximo irão observar que vão chegar a uma mesma
razão. Acreditamos que com a tabela poderá ser mais fácil para os alunos identificarem e
sintetizarem quando as razões são equivalentes ou não. Os alunos poderão sentir dificuldade
em representar a razão na ordem em que geralmente utilizamos, de colocar o menor valor como
o antecedente, e o maior valor como o consequente, caso isso aconteça iremos relembrá-los do
quadro informativo da atividade 02, embora dizer também que não está errado se colocado
dessa outra forma, mas que deverá seguir esta maneira até o final da atividade se assim o for.
3.2.4 Atividade 04
Título: Propriedade Razão equivalente
Objetivo: Identificar a propriedade da constante que resulta na razão equivalente
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Preencha o quadro a seguir com os dados contidos nele.
Valores
a
b
Razão obtida a
partir da
multiplicação dos
termos da razão a
b
por k e w.
k. aw. b
Simplifique ao
máximo a razão
k. aw. b
As razões a
b e
k.a
w.b são
equivalentes?
Sim
Não
a=2; b=3; k=4, w = 5
a=1; b=2 ; k=3, w = 3
a=2; b=4; k=6, w = 6
a=3; b=4; k=4, w = 3
a=6; b=5; k=4, w = 4
a=4; b=6; k=6, w = 5
a=8; b=5; k=2, w = 2
108
a=3; b=6; k=4, w = 4
a=2; b=3; k=4, w = 6
a=4; b=5; k=5, w = 5
Observação:
Conclusão:
Uma razão não se altera quando seus dois termos são multiplicados por um mesmo número.
Análise a priori da atividade 04: Essa atividade consiste em mostrar para o aluno que uma
razão não se altera quando seus dois termos são multiplicados por um mesmo número, na tabela
são colocados duas situações, quando os termos são multiplicados por um mesmo número e
quando são multiplicados por números diferentes para que possam identificar esta regularidade.
Esperamos que os alunos consigam observar o que ocorre quando os termos de uma razão são
multiplicados pelo mesmo valor e quando o antecedente e consequente são multiplicados por
valores diferentes e que ainda possam fazer uma relação com a atividade anterior em relação à
ocorrência de encontrar razões equivalentes. Acreditamos que se houver dificuldade para
alcançar o objetivo dessa atividade será caso haja erro na multiplicação dos valores o que
propiciará resultados diferentes do esperando não obtendo o que se espera para isso pediremos
que a multiplicação seja refeita.
3.2.5 Atividade 05
Título: Escalas
Objetivo: Descobrir uma relação entre a distância linear no mapa e distancia real
Material: folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Para cada situação apresentada:
Leia com atenção o texto apresentado a seguir
Em seguida responda o que lhe é solicitado em cada situação
Preencha o quadro com atenção referente a cada situação apresentada
109
m pouco sobre Escala: mapa do Brasil
Um mapa, como, por exemplo, o do Brasil, é uma representação do país, visto de cima,
em tamanho reduzido e que preserva as relações de tamanho. Ou seja, as distâncias nos mapas
são diretamente proporcionais às distâncias correspondentes na realidade. Qualquer mapa,
planta ou maquete tem uma escala. A escala do mapa indica a razão ou o coeficiente de
proporcionalidade entre as distâncias representadas e as distâncias reais. No mapa abaixo,
a escala é de 1 cm para 485 km, isto é, cada 1 cm no mapa corresponde a 485 km ( ou 48 500
000 cm) na realidade. Indica-se essa escala assim:
1 : 48 500 000 ou 1
48 500 000 = 1 cm : 485 km (Lê-se: um centímetro para quatrocentos e oitenta
e cinco quilômetros.)
Nesse mapa, por exemplo, a distância em linha reta de Porto Alegre a Cuiabá é de 3,5
cm. Como calcular a distância real entre essas duas capitais? Vamos descobrir?
Fonte: Adaptado Dante (2005)
Situação 01: Em um mapa cada cm linear corresponde a 10 m na realidade.
a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?
b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 3 cm qual é a distancia real entre
as cidades?
c) Como você fez para descobrir a distância real?
110
Situação 02: Em um mapa cada 2 cm linear corresponde a 10 km na realidade.
a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?
b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 5 cm qual é a distancia real entre as
cidades?
c) Como você fez para descobrir a distância real?
Situação 03: A distância entre duas cidades A e B é de 20.000 m. Sabendo que a cada 2 cm
linear no mapa corresponde a 20 m na realidade. Responda:
a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?
b) Qual é a distancia no mapa entre as cidades A e B?
c) Como você fez para descobrir a distância no mapa?
Situação 04: A distância entre duas cidades A e B é de 90 km. Sabendo que a cada 3 cm linear
no mapa corresponde a 10 km na realidade. Responda:
a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia linear na realidade?
b) Qual é a distancia linear no mapa entre as cidades A e B?
c) Como você fez para descobrir a distância no mapa?
Situação 05: A distância entre a cidade A e a cidade B é de 400 km. Sabendo que em um mapa
essa distância está representada por 200 cm. Responda:
a) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia linear na realidade?
Simplifique ao máximo.
b) Se a distância entre duas cidades A e B no mapa é 10 cm qual é a distancia real entre as
cidades?
c) Como você fez para descobrir a distância real?
Situação 06: A distância entre duas cidades A e B é de 20.000 m. Sabendo que a cada 2 cm
linear no mapa corresponde a 20 m na realidade. Responda:
d) Qual é a razão entre a distância linear no mapa e a distancia na realidade?
e) Qual é a distancia no mapa entre as cidades A e B?
f) Como você fez para descobrir a distância no mapa?
111
A razão entre a medida linear no mapa e a medida linear real é denominada escala do
mapa.
Preencha o quadro a seguir com base nas informações das situações apresentadas.
Situação Distancia no mapa Escala Distancia real (Distância no mapa) ÷ Escala
Situação 1
Situação 2
Situação 3
Situação 4
Situação 5
Situação 6
Observação:
Conclusão:
Análise a priori da atividade 05: Esperamos nessa atividade que os alunos identifiquem em
cada situação a relação existente entre a distância no mapa e a distância na realidade. E que a
partir disso encontre como se calcula para encontrar a distância linear real ou distância linear
no mapa, conforme as informações dadas. Acreditamos que a tabela sintetiza melhor e facilitará
a visualização dessa relação pelos alunos.
Resolva as questões seguintes:
01)A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real
entre essas duas cidades?
02)Um mapa de escala 1:300.000 apresenta uma distância de 15 cm entre os pontos A e B.
Dessa forma, a correta distância entre esses dois pontos, na realidade, é?
03)Considere um mapa geográfico cuja escala é de 1:1 000 000, e a distância em linha reta entre
duas cidades é de aproximadamente 7 cm. Qual a distância real entre duas cidades?
04)Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São
Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao
analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre as duas cidades, A e B, era 8
cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de?
05)Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma
maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A
maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250. Que medidas de comprimento e largura, em
cm, o aluno utilizará na construção da maquete?
112
3.2.6 Atividade 06
Título: Densidade demográfica
Objetivo: Introduzir a razão especial Densidade demográfica
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta, calculadora
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Para cada item a seguir:
Leia com atenção o texto apresentado a seguir
Responda o que lhe é solicitado em seguida preencha o quadro de situações
Densidade demográfica
Para saber quantidade de pessoas em certos eventos, são usados aparelhos próprios para
este fim, como catracas, que registram a entrada das pessoas em estádios de futebol, em shows,
etc. No entanto, no caso de missas em praça pública, comícios políticos, manifestações
populares, carnaval de rua, etc., não é possível fazer a contagem com esses aparelhos. Como
calcular então o número de presentes nesses eventos?
Conhecendo a área em que o evento foi realizado e supondo o número de pessoas em
cada metro quadrado, podemos estimar o número de pessoas presente. Chamamos de
densidade demográfica a razão entre a população de uma determinada região e a área
dessa mesma região. Esse dado permite calcular a distribuição da população residente em um
determinado território, permitindo a verificação das áreas mais e menos povoadas.
Fonte: Adaptado coleção ideias e relações (2002)
Situação 01: Um comício político foi realizado em uma praça que tem 4 500 m². Supondo que
havia, em média, 8 pessoas por metro quadrado.
a)Qual o número aproximado de pessoas nesse comício?
b)Qual a razão entre o número de pessoas nesse comício e a área que foi realizado?
Situação 02: No carnaval de 2017, na cidade de Juruti, a folia foi realizada numa Avenida na
Orla da cidade com 800 m². Sabendo que havia, em média, 10 brincantes por metro quadrado.
a)Qual o número aproximado de brincantes nessa Avenida?
113
b) Qual a razão entre o número de brincantes e a área dessa Avenida?
Situação 03: Um ninho de formiga é habitado por cerca de 300 mil formigas em uma área de
100 m².
a)Qual a razão entre a população de formigas e a área ocupada?
b) Simplifique ao máximo a razão anterior, o que significa para você o resultado encontrado?
Situação 04: Na escola “A sementinha” uma sala de aula da educação infantil possui 50 m² e
estudam 25 crianças nessa sala.
a)Qual a razão entre o número de crianças e a área da sala de aula da escola “A sementinha”?
b) Simplifique ao máximo a razão anterior, o que significa para você o resultado encontrado?
Situação 05: Uma missa realizada em praça pública compareceram cerca de 5 mil pessoas e
ocuparam uma área de aproximadamente 900 m².
a)Qual a razão entre o número de pessoas e a área dessa praça?
b) Simplifique ao máximo a razão anterior, o que significa para você o resultado encontrado?
Situação 06: Em uma cidade há aproximadamente 90 mil habitantes e sua área territorial são
de 30 mil km².
a)Qual a razão entre o número de habitantes e a área da cidade?
b) Simplifique ao máximo a razão anterior, o que significa para você o resultado encontrado?
Situações Número de
habitantes
Área territorial Nº de Habitantes
área
Situação 01
Situação 02
Situação 03
Situação 04
Situação 05
Situação 06
Densidade demográfica de uma região é a razão entre o número de habitantes e a área dessa
região.
Análise a priori da atividade 06: Esperamos nessa atividade que os alunos identifiquem em
cada situação a razão entre o número de habitantes e a área ocupada, e ao ver esta ocorrência
estabeleça uma relação entre elas. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre o
114
número de habitantes e a área ocupada, ser uma razão especial denominada de Densidade
demográfica. Com isso, iremos trazer uma discussão a respeito de algumas regiões serem muito
populosas e esperamos que os alunos possam interagir e internalizar como se verifica a
densidade demográfica de uma região.
-De acordo com seus conhecimentos acerca da densidade demográfica, responda as
seguintes questões:
Questão 01: Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em
quase 800 mil km² de área. Qual a densidade demográfica dessa região?
Questão 02: Em uma cidade há aproximadamente 90 mil habitantes e sua área territorial são
de 30 mil km². Qual a densidade demográfica dessa cidade?
Questão 03: Uma cidade possui 12 milhões de habitantes e ocupa uma área de 600.000 km².
Qual a densidade demográfica dessa cidade?
Questão 04: O estado de Goiás, no censo de 2014, teve a sua população avaliada em 6.500.000
habitantes. A sua área é de aproximadamente 340.000,000 Km2. Qual a densidade demográfica
do estado de Goiás?
Situação 05: O município de Rio bonito tem sua área territorial de 462 km² e a população é de
55 500 habitantes. Qual a densidade demográfica do município de Rio Bonito?
3.2.7 Atividade 07
Título: Velocidade Média
Objetivo: Descobrir uma relação entre distância percorrida e o tempo
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Para cada item a seguir:
Leia com atenção a situação apresentada
Responda o que lhe solicitado
Situação 01: Um carro viaja de uma cidade A a uma cidade B, distantes 200 km e seu percurso
demora 4 horas.
a) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso?
b) Quanto tempo ele gasta para chegar à cidade C, sabendo que a distância de B até C é de
600 km?
115
Situação 02: A estrada que liga a cidade A até a cidade B possui 600 km de comprimento,
sabendo que um carro percorreu a metade dessa distância em um intervalo de 2h.
a) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso?
b) Quanto tempo ele gasta para percorrer mais 300 km da cidade B até outra cidade?
Situação 03: Um carro percorre 180 km a cada 2h. Sabendo que gastou um intervalo de 3h
entre o percurso da cidade A até a cidade B. Responda:
a) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?
b) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a
cidade B?
c) Qual o tempo que será gasto para percorrer 360 km da cidade B até a cidade C?
Situação 04: A estrada que liga a cidade A até a cidade B possui 400 km de comprimento,
sabendo que um carro percorreu essa distância em um intervalo de 8h.
a) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso?
b) Qual a distância percorrida da cidade B até a cidade C sabendo que gastou 5h?
Situação 05: Um carro percorre 180 km a cada 2h. Sabendo que gastou um intervalo de 3h
entre o percurso da cidade A até a cidade B. Responda:
d) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?
e) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a
cidade B?
f) Divida a razão anterior, qual resultado foi obtido? O que esse resultado significa?
Situação 06: Um carro percorre 180 km a cada 2h. Sabendo que gastou um intervalo de 3h
entre o percurso da cidade A até a cidade B. Responda:
a) Qual a distância percorrida no percurso entre a cidade A e a cidade B?
b) Qual a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso da cidade A até a
cidade B?
c) Divida a razão anterior, qual resultado foi obtido? O que esse resultado significa?
Observação:
Conclusão:
116
Velocidade Média é a razão entre a distância percorrida pelo objeto e o tempo gasto para
percorrer essa distância.
Questão-desafio: Dois trens estão na mesma via, separados por 100 km. Começam a se mover
simultaneamente um em direção ao outro, mantendo uma velocidade constante de 50km/h. No
mesmo momento de partida dos trens, uma supermosca sai da locomotiva de um dos trens e
voa a 100km/h até a locomotiva do outro trem. Imediatamente, muda de direção e regressa até
a locomotiva do primeiro trem, e assim vai e vem de uma locomotiva para a outra até que os
dois trens se chocam e ela morre no acidente. Que distância foi percorrida pela supermosca?
Análise a priori da atividade 07: Esperamos nessa atividade que os alunos identifiquem em
cada situação a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, e ao ver esta ocorrência
estabeleça uma relação entre elas. Esperamos também que consiga encontrar como se calcula a
distância percorrida por determinado móvel, o tempo gasto em determinada trajetória, conforme
as informações dadas. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre a distância
percorrida e o tempo gasto, ser uma razão especial denominada de Velocidade Média.
3.2.8 Atividade 08
Título: Porcentagem
Objetivo: Descobrir uma maneira de calcular porcentagem
Material: Folha de atividade, lápis, caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Atividade adaptada: Costa (2014)
Procedimento:
Responda as questões abaixo:
1)Quanto é 1
2 x
170
1 ? ______________________________________________________
2) Quanto é 1
3 x
120
1 ? _____________________________________________________
3) Quanto é 2
3 x
1020
1 ? ____________________________________________________
4) Quanto é 1
4 x
1000
1 ? ____________________________________________________
5) Quanto é 2
4 x
2000
1 ? ____________________________________________________
117
6) Quanto é 2
4 x
1200
1 ? ____________________________________________________
1
3×
1200
1 é equivalente a “1/3 de 1200”
7) Quanto é 1/3 de 2400 ? _________________________________________________
8) Quanto é 2/4 de 1600 ? _________________________________________________
9) Quanto é 2/3 de 1200 ? _________________________________________________
10) Quanto é 1/100 de 1000 ? ______________________________________________
“1/100 de 1000” é equivalente a “um por cento de 1000”
11)Quanto é dois por cento de 300?__________________________________________
12)Quanto é quatro por cento de 200?________________________________________
13)Quanto é vinte por cento de 500?_________________________________________
14)Quanto é cinco por cento de 100?_________________________________________
15)Quanto é dez por cento de 400?__________________________________________
16)Quanto é por trinta por cento de 600?_____________________________________
A expressão “um por cento” é representada por 1%
17)Quanto é 5% de 400?__________________________________________________
18)Quanto é 10% de 200?_________________________________________________
19)Quanto é 15% de 500?_________________________________________________
20)Quanto é 25% de 300?_________________________________________________
21)Quanto é 20% de 100?_________________________________________________
22)Quanto é 4% de 800?__________________________________________________
23)Como se calcula 2% de 50?____________________________________________
24)Como se calcula 5% de 700?____________________________________________
25)Como se calcula 8% de 400?____________________________________________
26)Como se calcula 10% de 20?____________________________________________
27)Como se calcula 3% de 30?____________________________________________
118
28)Como se calcula 15% de 200?____________________________________________
29)Como se calcula 20% de 80?____________________________________________
30)Como se calcula 30% de 300?____________________________________________
31)Como se calcula 5% de uma quantidade C?_________________________________
32)Como se calcula 10% de uma quantidade C?________________________________
33)Como se calcula 15% de uma quantidade C?________________________________
34)Como se calcula 20% de uma quantidade C?________________________________
35)Como se calcula i% de 100?_____________________________________________
36)Como se calcula i% de 200?_____________________________________________
37)Como se calcula i% de 300?_____________________________________________
38)Como se calcula i% de 700?_____________________________________________
39)Como se calcula i% de 800?_____________________________________________
40)Como se calcula i% de uma quantidade C?_________________________________
Observação:
Conclusão:
Análise a priori da atividade 08: Esperamos que os alunos identifiquem que uma taxa de
porcentagem ou razão por cento será toda razão de denominador 100 e que para realizar seu
cálculo é multiplicado a quantidade pelo numerador e dividido por 100.
3.2.9 Atividade 09
Título: Índice de massa corporal
Objetivo: Conceituar Índice de massa corporal
Material: Balança, fita métrica, lápis, papel, folha de atividade;
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Nesta atividade será realizada uma dinâmica em sala com os alunos, a qual será
composta por três momentos;
No 1º momento será entregue em sala um texto informativo relacionado ao IMC o qual
apresenta o conceito, a tabela com as classificações de acordo com a OMS e como
calcular o índice de massa corporal;
119
No 2º Momento serão organizadas duas fileiras de alunos para que possamos retirar suas
medidas (altura e peso) e pedir para que possam calcular seu próprio IMC;
No 3º Momento, após calcularem seus próprios IMC iremos preencher uma tabela no
quadro com o nome de todos os alunos relacionando com a tabela quanto à classificação
sobre quem está abaixo ou acima do peso e retomando o texto lido inicialmente, e
posteriormente pediremos para que façam as atividades que seguem realizando o cálculo
do IMC e classificando na tabela dada na atividade.
Quadro 01 – A importância do IMC para a nossa Saúde
A importância do IMC para a nossa saúde
O índice de massa corporal, conhecido como IMC, de acordo com a Organização
Mundial de Saúde (OMS) é uma técnica utilizada para o diagnóstico do estado nutricional de
grupos populacionais. Esta técnica é medida por meio da fórmula: IMC = Peso(kg)/(altura(m))².
Neste cálculo leva-se em conta o peso e a altura do indivíduo, dividindo o peso pela altura
elevada ao quadrado. O IMC tem um papel importante quando entendemos o que indica essa
informação relacionada à nossa saúde. Esse índice serve para nos dar um alerta: caso você
esteja acima ou abaixo do peso ideal, é importante que tenha um maior cuidado com a sua
saúde, pois uma dessas classificações pode indicar que você estar em risco de vários
problemas de saúde. Abaixo apresentamos o quadro com as classificações de acordo com
OMS:
As pessoas abaixo do peso normalmente não estão obtendo calorias o suficiente para
abastecer o corpo. Muitas vezes, também sofrem de má nutrição, uma vez que não recebem
vitaminas e minerais o suficiente de sua alimentação. Se você estiver abaixo do peso, pode estar
em risco de sofrer dos seguintes problemas de saúde: Inibir o crescimento e desenvolvimento;
Ossos frágeis; Sistema imunológico enfraquecido; Tonturas; Quedas de cabelo, entre outros.
120
Uma prática equivocada para ganhar peso é o uso de “remédios para engordar” o
recomendável para isso é realizar uma dieta rica em nutrientes, frutas, carboidratos, proteínas
que são essenciais para o desenvolvimento e crescimento. O erro em ingerir remédios para
engordar ou “abrir apetite” está relacionado com o nosso metabolismo que vai modificando
com o decorrer da idade, pois, pesquisas afirmam que após os 25 anos de idade nós temos
tendências em engordar devido nosso metabolismo está mais lento e continuarmos comendo a
mesma quantidade, isso quer dizer que você irá engordar mais que o normal ao fazer uso de
medicamentos para engordar.
Já quando estamos muito acima do peso na classificação do IMC igual ou maior que 30,
temos que atentarmos para os problemas quanto à obesidade. Nesta classificação configura-se
quando a ingestão alimentar é maior que o gasto energético correspondente. A obesidade é o
acúmulo de gordura no corpo causado quase sempre por um consumo de energia na
alimentação, superior àquela usada pelo organismo para sua manutenção e realização das
atividades do dia-a-dia. As pessoas obesas têm maior probabilidade de desenvolver doenças
como pressão alta, diabetes, problemas nas articulações, dificuldades respiratórias e até
algumas formas de câncer.
Portanto, mais do que conhecermos como calcular o índice de massa corporal é
importante sabermos os riscos e problemas que podem ser causados quando estamos fora do
peso normal, sendo assim a prática de atividades físicas somadas a uma boa alimentação ajuda
o nosso corpo e a mente a ter um bom funcionamento trazendo benefícios a uma vida saudável
e com mais disposição para as atividades do dia-a-dia, seja no trabalho, na escola ou em casa.
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Responda as atividades seguintes:
Situação 01 (Adaptada ENEM 2011): A figura apresenta informações biométricas de um
homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir
das atividades físicas (corrida).
121
Figura 05 – O perfil dos novos corredores
a)Qual o IMC de Duilio Saba?
b)Qual o IMC de Sandra Tescari?
Situação 02: Mário, 22 anos de idade, sedentário, procurou uma academia onde se submeteu a
avaliações com o objetivo de iniciar um programa de atividade física. Na avaliação física,
forneceram alguns resultados:
Altura = 1,80 metros
Peso = 90 kg
a)Qual o IMC de Mário?
Situação 03: Considere as seguintes informações a respeito de Caio, Maria, Ana, e responda:
Nome peso (kg) altura (m) altura² (m)
Caio 113,4 1,80 3,24
Maria 45 1,50
Ana 48,6 1,80
Preencha na tabela de acordo com as situações apresentadas anteriormente e classifique
o IMC das pessoas representadas:
Dados / Nome
Duilio Saba
Sandra Tescari
Mário Caio Maria Ana
IMC (kg/m²)
Classificação de Peso
Abaixo do normal
Normal
Acima do normal
Obesidade I
Obesidade II
122
Obesidade extrema
Análise a priori da atividade 09: Nesta atividade esperamos que os alunos compreendam a
relação entre o peso e a altura de forma articulada e prática, e que ainda observem a importância
do conceito de IMC relacionado com a saúde. Acreditamos que possam sentir dificuldades no
cálculo do IMC em relação a operação de potenciação, no caso a altura elevada ao quadrado,
caso não consigam realizar a potência serão relembrados quanto ao conceito de potenciação.
3.2.10 Atividade 10
Título: Densidade
Objetivo: Introduzir o conceito de densidade de um objeto
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Para cada item a seguir:
Leia com atenção o texto apresentado
Responda o que lhe é solicitado em seguida preencha o quadro de situações
A densidade física e suas implicações no cotidiano
A densidade é uma propriedade específica de cada material que serve para identificar
uma substância. Essa grandeza pode ser enunciada da seguinte forma: a densidade é a razão
(divisão) entre massa e volume de determinado material, seja líquido, sólido ou gasoso. Então
se perguntarmos: O que pesa mais, 1 kg de chumbo ou 1 kg de algodão? Nessa situação o que
você responderia? Ou mesmo por que determinados líquidos ficam separados, como se
formassem camadas dentro de um mesmo recipiente? Para responder essas perguntas teremos
que entendermos um pouco sobre uma das propriedades específica dos materiais, também
chamada de densidade.
A densidade da água no estado sólido é menor que no estado líquido. Isso explica o fato
de o gelo flutuar na água, pois outra consequência importante da densidade dos materiais é que
o material mais denso afunda e o menos denso flutua. Você já ouviu falar sobre o mar morto?
Este recebe esse nome em razão da grande concentração de sal que possui, impossibilitando a
vida de peixes e micro-organismos. A grande quantidade de sal faz com que a densidade da
123
água seja muito alta. Essa característica atrai turistas do mundo inteiro, em face do fato de as
pessoas flutuarem com maior facilidade.
Já sabemos que a densidade é definida como a relação entre a massa de um material e o
volume por ele ocupado então isso explica também por que os navios mesmo que sejam muito
pesados não afundam na água. Visto que para que um material flutue na água, não depende do
“peso”, ou melhor, da massa, mas sim da distribuição da massa pelo volume ocupado, isto é,
da densidade. Quanto mais distribuída estiver a massa, ou seja, quanto maior for o seu volume,
menos denso será o objeto e ele flutuará.
Situação 01: Um objeto constituído de ouro maciço possui 20g em cada 1 cm³. Se o objeto
tem massa igual a 500 g. Responda:
a)Qual o volume desse objeto?
b)Qual a razão entre a massa e o volume desse objeto?
Situação 02: A massa de um determinado corpo possui 6g em cada 1cm³. Nessa perspectiva,
se um corpo tiver massa igual a 30g. Responda:
a) Qual o volume desse corpo?
b)Qual a razão entre a massa e o volume desse objeto?
Situação 03: Suponhamos que um objeto em forma de cilindro possua uma parte interna oca
em forma de um paralelepípedo. Sabendo que este objeto possui 64g em cada 10cm³, responda:
a) Qual o volume desse objeto, se a massa for 640g?
b)Qual a razão entre a massa e o volume do cilindro?
Situação 04: O elemento químico mercúrio é um metal bastante conhecido no estudo da
química e uma de suas características é que ele é o único metal que se encontra no estado físico
líquido na temperatura ambiente. Sabendo que 1360 gramas desse metal ocupam um volume
de 100 cm³.
a)Qual a massa desse metal, se o volume for 10cm³?
b) Qual a razão entre a massa e o volume ocupado por esse metal?
Situação 05: Sabendo que o volume ocupado por 420 g de gasolina é de 600 cm³.
124
a)Qual a massa de gasolina, se o volume for 6 cm³?
b)Qual a razão entre a massa de gasolina e seu volume?
Situação 06: Um bloco de ferro possui massa igual a 67500 g e volume igual 9000 cm³.
a)Qual a massa desse ferro, se o volume for 90cm³?
b)Qual a razão entre a massa desse corpo e o volume?
A densidade é uma propriedade específica de cada material que serve para identificar uma
substância. Essa grandeza pode ser enunciada da seguinte forma: a densidade é a relação entre
massa e volume de determinado material, seja liquido, solido ou gasoso.
Observação:
Conclusão:
Análise a priori da atividade 10: Esperamos nessa atividade que os alunos identifiquem em
cada situação a razão entre a massa e o volume de determinado material, e ao ver esta ocorrência
estabeleça uma relação entre elas. Esperamos também que consiga encontrar como se calcula o
volume ou a massa de determinado material, de acordo com as informações fornecidas da
densidade. Posteriormente iremos informá-los quanto à razão entre a massa e o volume de
determinado material, ser uma razão especial denominada de Densidade.
3.2.11 Atividade 11
Título: Proporções
Objetivo: Introduzir a ideia de proporção relacionada à equivalência de razões.
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta, régua
Hora de início da atividade. Hora de término da atividade:
Procedimento:
Massa Volume Razão
correspondente
Densidade
Situação 01
Situação 02
Situação 03
Situação 04
Situação 05
Situação 06
125
Leia com atenção o texto a seguir referente a receita de um bolo de chocolate
Após ler o texto responda atentamente as questões e preencha o quadro com o que se
pede;
Receita de Bolo de Chocolate
Sempre faço bolo de chocolate usando a seguinte receita de ingredientes para 20 pessoas
Bolo de Chocolate
Ingredientes
08 ovos 1
2 xícara (chá) de óleo
01 xícara (chá) de água
01 colher (sobremesa) de essência de baunilha
02 xícaras (chá) de farinha de trigo
1
2 xícara (chá) de chocolate ou cacau em pó
03 xícaras (chá) de açúcar
01 xícara (chá) de amido de milho
02 colheres (sobremesa) de fermento em pó
Rendimento: 20 porções
Leia com atenção cada enunciado:
Sérgio vai comemorar seu aniversário e convidou 40 pessoas.
No aniversário de Camila foram convidadas 80 pessoas.
Preencha o quadro seguinte estabelecendo a quantidade de ingredientes para preparar cada bolo
em questão.
Bolo da Receita dada Bolo de Sérgio Bolo de Camila
Amido
Açúcar
Farinha de trigo
Fermento em pó
126
Responda as questões a seguir:
a)Qual a quantidade de amido necessário para fazer um bolo para 40 pessoas? E para 80
pessoas?
b)Qual a quantidade de açúcar necessário para fazer um bolo para 40 pessoas? E para 80
pessoas?
c)Qual a quantidade de farinha de trigo para fazer o bolo de Sérgio, sabendo que ele convidou
40 pessoas? E o bolo de Camila?
d)Se Sérgio convidasse 60 pessoas para sua festa de aniversário, como você calcularia a
quantidade de ingredientes para que fosse preparado o bolo para 60 pessoas?
e) Ao “dobrarmos” ou “triplicarmos” uma receita, o que acontecerá com a quantidade de
ingredientes “dobram” ou “triplicam”?
Preencha o quadro a seguir:
Bolo da Receita dada Bolo de Sérgio Bolo de Camila
Razão entre amido e
Açúcar
Razão entre açúcar e
Farinha de trigo
Razão entre amido e
Fermento em pó
Observação:
Análise a priori da atividade 11: Esperamos que os alunos identifiquem a equivalência de
razões presentes nas duas situações apresentadas acima e que com isso possamos introduzir a
ideia de proporção a partir da equivalência de razões, ou seja, conceituar que uma proporção é
a igualdade entre duas ou mais razões.
3.2.12 Atividade 12
Título: Propriedade fundamental das proporções
Objetivo: Descobrir a propriedade fundamental das proporções
Material: folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de Início: ______________ Hora de Término: __________________
Procedimento:
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente colocando ao final suas observações e conclusão da atividade.
127
Veja a seguinte informação:
Dadas duas razões 𝑥
𝑦 e
𝑝
𝑞 chamamos os termos x e q de extremos e y e p de meios.
- De acordo com a informação, preencha o quadro abaixo:
Razão 1
Razão 2
Extremos
Meios
Produto
dos
meios
Produto
dos
extremos
O produto dos
meios é igual ao
produto dos meios?
SIM NÃO 3
4
6
8
2
3
4
6
4
5
6
7
2
4
5
10
5
4
4
5
4
3
8
6
2
5
6
15
3
5
4
3
6
4
3
2
Observação:
Conclusão:
Análise a priori da atividade 12: Esperamos que os alunos possam perceber que ao
realizar o produto dos extremos e o produto das razões dadas identifiquem que os resultados
são iguais quando as razões formarem uma proporção. O que poderá comprometer os alunos de
conseguir atingir o objetivo da atividade se não realizarem a operação de multiplicação de forma
correta, ou também não atentar para as razões dadas.
1)Verifique quais dos pares de razões a seguir formam uma proporção:
a) 1
2 𝑒
2
4
b) 1
3 𝑒
2
6
c) 3
5 𝑒
5
3
128
d) 6
24 𝑒
1
4
e) 1
3 𝑒
6
18
f) 4
12 𝑒
2
6
g) 2
5 𝑒
6
15
h) 1
3 𝑒
9
16
2) Calcule o valor de x nas proporções:
a) 𝑥
6=
4
12
b) 3
𝑥=
9
12
c) 3
5=
𝑥
20
d) 2
3=
8
2𝑥
e) 4
3=
8
2𝑥
f) 4
6=
2𝑥
6
g) 3𝑥
2=
9
2
3) Verifique se os números 2, 5, 6 e 15 formam nessa ordem, uma proporção.
4) Numa receita de bolo, está escrito que são necessários 2 ovos para cada 0,5 Kg de farinha
utilizada. Quantos ovos serão necessários se forem utilizados 2 kg de farinha?
5) Para fazer um refresco, misturamos suco concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas
condições 9 copos de suco concentrado devem ser misturados com quantos copos de água?
3.2.13 Atividade 13
Título: Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais
Objetivo: Conceituar grandezas diretamente e grandezas inversamente proporcionais
Material: Folha de atividade, caneta ou lápis
Hora de Início: _________________ Hora de Término: ___________________
129
Adaptada Sá e Jucá (2014)
Procedimento:
Leia cuidadosamente cada uma das situações apresentadas;
Preencha os espaços em branco dos quadros de cada situação;
Responda as questões propostas;
Situação 01: Uma torneira foi aberta para encher uma caixa com água a cada 15 min é medida
a altura do nível de água. Construímos uma tabela para mostrar a evolução da ocorrência,
seguindo o raciocínio complete o espaço em branco do quadro abaixo:
Tempo (min) Altura do nível de água (cm)
15 50
30 100
45 150
60
a)Quando os valores da primeira coluna aumentam os da segunda coluna também aumentam?
Quando dobra o valor da primeira coluna o da segunda coluna também dobra? Quando é
triplicado o valor da primeira coluna o da segunda coluna também é triplicado?
b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?
Situação 02: Se um carro percorre, em média, 80 km com 10l de álcool, esse carro consumirá
20l de álcool para percorrer 160 km. Relacionem na tabela abaixo os espaços percorridos com
a quantidade de álcool consumida para percorrê-los.
Espaço (km) 80 160 240 320
Volume (l) 10 20 60 80
a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam?
Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra? Quando é triplicado
o valor da primeira linha o da segunda linha também é triplicado?
b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?
Situação 03: O quadro abaixo relaciona o número de operários com o tempo necessário para
eles construírem um barracão, temos que 1 operário precisa de 48 dias para construir o
barracão, 2 operários terminam em 24 dias, seguindo o mesmo raciocínio complete os espaços
em branco.
130
Número de operários 1 2 4 8 16
Tempo (dias) 48 24
a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam ou
diminuem? Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra ou se
reduz a metade? Quando é triplicado o valor da primeira linha o da segunda coluna também é
triplicado ou se reduz a um terço?
b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?
Situação 04: A ração que José tem dá para alimentar 2 cachorros por um tempo de 12 dias.
Nessa perspectiva, complete o quadro abaixo relacionando com o que falta nos espaços em
branco.
Quantidade de cachorros 2 4 8
Tempo (dias) 12 6 4
a)Quando os valores da primeira linha aumentam os da segunda linha também aumentam ou
diminuem? Quando dobra o valor da primeira linha o da segunda linha também dobra ou se
reduz a metade? Quando é triplicado o valor da primeira linha o da segunda coluna também é
triplicado ou se reduz a um terço?
b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?
Situação 05: Numa atividade da escola, João teve que construir triângulo com palitos de
fósforos. Em que consistiu da seguinte maneira: o primeiro triângulo utilizou 3 palitos, para
formar o segundo triângulo foram necessários mais dois palitos, o terceiro triângulo mais 2
palitos e assim sucessivamente. Dando continuidade a essa sequência como mostra a
imagem abaixo, complete o quadro seguinte:
Triângulos Quantidade de Palitos
1 3
2 5
131
3 7
4
5
a)Quando os valores da primeira coluna aumentam os da segunda coluna também aumentam?
Quando dobra o valor da primeira coluna o da segunda coluna também dobra? Quando é
triplicado o valor da primeira coluna o da segunda coluna também é triplicado?
b)Quais grandezas estão relacionadas? Essas grandezas são proporcionais? Por quê?
Observação:
Conclusão:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Nesse
sentido, quando o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também
dobra, triplica, fica a metade.
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Isso
quer dizer que uma grandeza aumenta à mesma proporção que a outra diminui e vice-versa,
dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.
Análise a priori da atividade 13: Esperamos que os alunos possam estabelecer para cada
situação uma relação entre os valores de cada coluna das tabelas apresentadas, ou seja, que
aumentando os valores de uma coluna, a outra também aumenta na mesma proporção, quando
o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também dobra, triplica, fica
a metade, e assim por diante. A dificuldade a ser apresentada pelos alunos pode ser em pensar
que o aumento nos valores é sempre devido a uma adição, caso isso aconteça faremos uma
reflexão com os valores da tabela verificando esse raciocínio errôneo. E acreditamos que
posteriormente com a vivência de outras atividades o ajudará a construir o modelo
multiplicativo. Em relação as tabelas que apresentam grandezas inversamente proporcionais,
esperamos que os alunos possam identificar a relação entre as grandezas envolvidas, ou seja,
quando os valores de uma grandeza são multiplicados por um determinado valor, a outra
grandeza é dividida pelo mesmo valor na mesma proporção, configurando grandezas
inversamente proporcionais. O quadro que apresenta situação de grandezas não proporcionais,
132
esperamos que os alunos consigam identificar que não há uma relação proporcional entre os
valores envolvidos.
Lista de aperfeiçoamento da atividade 13
1)Identifique a seguir os pares de grandezas que são Grandezas Diretamente Proporcionais
(GDP), Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) e Grandezas Não Proporcionais (GNP):
a) A velocidade e o tempo de uma viagem. ( )
b) Quantidade de empregados de mesma capacidade de trabalho e a produção de uma fábrica.
( )
c) A idade de uma pessoa e o valor do sua massa (“peso”). ( )
d) O preço a pagar e a quantidade de um produto. ( )
e) O número de voltas em uma pista e a distância percorrida. ( )
f) A quantidade de torneiras iguais e o tempo gasto para encher um reservatório de água. ( )
g) A altura de um prédio e o número de andares. ( )
h) Hora do dia e a temperatura. ( )
i) A distância percorrida por um carro e o consumo de combustível. ( )
j) Quantidade de liquidificadores iguais e o tempo para fazer a mesma quantidade de suco. ( )
k) A quantidade de arroz em (kg) e o consumo semanal de arroz de uma família. ( )
2) O quadro abaixo relaciona a área de um terreno e a quantidade de grama usada para gramar
esse terreno. Observe o quadro:
Área do terreno Quantidade de grama
150 m² 300 kg
300 m² 600 kg
( ) Grandezas diretamente Proporcionais ( ) Grandezas Inversamente Proporcionais
3) A tabela seguinte relaciona o número de livros iguais e o número de caixas em que eles são
embalados:
Livros (número) caixas (número)
180 12
720 48
133
( ) Grandezas diretamente Proporcionais ( ) Grandezas Inversamente Proporcionais
3.2.14 Atividade 14
Título: Propriedade aditiva da proporção I
Objetivo: Descobrir a propriedade da soma dos termos de uma proporção
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente
colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.
Valores a
b
c
d
As razões a
b e
c
d formam
uma
proporção?
a + b
a
c + d
c
As
razões a+b
a e
c+d
c formam uma
proporção?
Sim Não Sim Não
a=3 b=4 c=9 e d=12
a=2 b=4 c=6 e d=12
a=3 b=5 c=9 e d=20
a=4 b=5 c=8 e d=10
a=5 b=3 c=25 e d=15
a=2 b=6 c=12 e d=18
a=4 b=6 c=24 e d=36
a=5 b=6 c=15 e d=18
a=2 b=3 c=6 e d=12
a=2 b=5 c=14 e d=35
Observação:
Conclusão:
Numa proporção a soma dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o 3º termo.
Análise a priori da atividade 14: Inicialmente, esperamos que os alunos identifiquem quando
duas razões formam ou não uma proporção. Quando for o caso afirmativo, espera-se que os
alunos observem que a soma dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o 3º termo e que isto formará também uma proporção.
134
3.2.15 Atividade 15
Título: Propriedade aditiva da proporção II
Objetivo: Descobrir a propriedade da soma dos termos de uma proporção II
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente
colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.
Valores
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
As razões 𝑎
𝑏 𝑒
𝑐
𝑑 formam
uma
proporção?
𝑎 + 𝑏
𝑏
𝑐 + 𝑑
𝑑
As
razões 𝑎+𝑏
𝑏 e
𝑐+𝑑
𝑑 formam uma
proporção?
Sim Não Sim Não
a= 1 b=2 c=4 e d=8
a= 1 b= 3 c= 2 e d=6
a= 1 b= 2 c= 2e d=4
a= 6 b= 24 c=4e d= 12
a= 1 b= 10 c=2 e d=20
a= 2 b= 3 c=6 e d= 18
a= 3 b= 12 c= 2e d= 6
a= 4 b=5 c= 8 e d= 15
a= 4 b= 12 c= 2e d= 6
a= 2 b=5 c= 6e d= 15
Observação:
Conclusão:
Numa proporção a soma dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o 4º termo.
Análise a priori da atividade 15: Inicialmente, esperamos que os alunos identifiquem quando
duas razões formam ou não uma proporção. Quando for o caso afirmativo, espera-se que os
alunos observem que a soma dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a soma
dos dois últimos termos está para o 4º termo e que isto formará também uma proporção.
3.2.16 Atividade 16
Título: Propriedade da diferença da proporção
135
Objetivo: Descobrir a propriedade da diferença dos antecedentes e consequentes de uma
proporção
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente
colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.
Valores
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
As razões 𝑎
𝑏 𝑒
𝑐
𝑑 formam
uma
proporção?
𝑎 − 𝑏
𝑎
𝑐 − 𝑑
𝑐
As
razões 𝑎−𝑏
𝑎 e
𝑐−𝑑
𝑐 formam uma
proporção?
Sim Não Sim Não a=3 b=2 c=9 e d=6
a= 7 b=5 c=14 e d=10
a=7 b=4 c=21 e d=12
a=6 b=5 c=18 e d=15
a=6 b=4 c=12 e d=9
a=5 b=4 c=15 e d=12
a=5 b=3 c = 20 e d=12
a=5 b=2 c = 15 e d=10
a=7 b=3 c=21 e d=9
a=4 b=3 c=8 e d=6
Observação:
Conclusão:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos (antecedente e consequente) está para
o 1º termo (antecedente), assim como a diferença dos dois últimos (antecedente e consequente)
está para o 3º termo.
Análise a priori da atividade 16: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem que
numa proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o 1º termo, assim como a
diferença dos dois últimos termos está para o 3º termo.
3.2.17 Atividade 17
Título: Propriedade da diferença da proporção II
Objetivo: Descobrir uma propriedade da diferença dos antecedentes e consequentes de uma
proporção II
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
136
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente
colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.
Valores
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
As razões 𝑎
𝑏 𝑒
𝑐
𝑑 formam
uma
proporção?
𝑎 − 𝑏
𝑏
𝑐 − 𝑑
𝑑
As
razões 𝑎−𝑏
𝑏 e
𝑐−𝑑
𝑑 formam uma
proporção?
Sim Não Sim Não
a=8 b=5 c=16 e d=10
a=6 b=4 c=18 e d=12
a=7 b=5 c=21 e d=15
a=6 b=5 c=24 e d=20
a=5 b=3 c=12 e d=10
a=4 b=3 c=24 e d=18
a=5 b=4 c=21 e d=12
a=5 b=4 c=10 e d=8
a=6 b=3 c=24 e d=12
a=8 b=6 c=16 e d=15
Observação:
Conclusão:
Análise a priori da atividade 17: Esperamos com essa atividade que os alunos identifiquem
que numa proporção a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º termo, assim como a
diferença dos dois últimos termos está para o 4º termo.
3.2.18 Atividade 18
Título: Propriedade da soma de uma proporção III
Objetivo: Descobrir uma propriedade da soma dos antecedentes de uma proporção
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de início da atividade: Hora de término da atividade:
Procedimento:
Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos (antecedente e consequente) está
para o 2º termo (consequente), assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º
termo.
137
Preencha com atenção o quadro abaixo e responda as perguntas cuidadosamente
colocando ao final suas observações e conclusão a respeito da atividade.
Valores 𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
As razões 𝑎
𝑏 𝑒
𝑐
𝑑 formam
uma
proporção?
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
As razões 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 e
𝑎
𝑏 formam
uma proporção?
As razões 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 e
𝑐
𝑑 formam
uma proporção?
Sim Não Sim Não Sim Não a=2 b=3 c=4 e d=6
a=3 b=2 c=9 e d=6
a=4 b=5 c=8 e d=10
a=6 b=8 c=18 e d=24
a=4 b=3 c=24 e d=18
a=7 b=3 c=21 e d=9
a=5 b=6 c=10 e d=15
a=2 b=5 c=4 e d=6
a=8 b=3 c=16 e d=5
a=12 b=14 c=24 e
d=28
Observação:
Conclusão:
Dadas duas razões 𝑎
𝑏𝑒
𝑐
𝑑, podemos formar uma nova razão somando os antecedentes e
somando os consequentes, 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑, mantemos a proporção em relação a cada razão dada
inicialmente. Assim dizemos que a soma dos antecedentes está para a soma dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Análise a priori da atividade 18: Esperamos que os alunos identifiquem que quando duas
razões formam uma proporção, ao somarmos os antecedentes e os consequentes dessas razões,
a soma entre eles também forma uma proporção com cada uma das duas razões dadas
inicialmente.
3.2.19 Atividade 19
Título: Propriedade da diferença dos termos III
Objetivo: Descobrir a propriedade da diferença dos termos de uma proporção III
Material: Folha de atividade, lápis ou caneta
Hora de Início: ________________ Hora de Término: ________________
Procedimentos:
138
Preencha com atenção o quadro abaixo colocando ao final suas observações e
conclusão a respeito da atividade.
Valores
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
As razões 𝑎
𝑏 𝑒
𝑐
𝑑
formam uma
proporção?
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
As razões 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑 𝑒
𝑎
𝑏 formam
uma proporção?
As razões 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑 𝑒
𝑐
𝑑 formam
uma proporção?
SIM NÃO SIM NÃO SIM NÃO a=18 b=20 c=9 e d=10 a=16 b=24 c=4 e d=6 a=16 b=36 c=4 e d=9 a=15 b=20 c=3 e d=5 a=15 b=25 c=3 e d=5 a=5 b=15 c=1 e d=3 a=12 b=36 c=4 e d=12 a=12 b=24 c = 4 e d = 9 a=8 b=6 c=4 e d=3 a=8 b= 5 c = 4 e d = 3
Observação:
Conclusão:
Dadas duas razões 𝑎
𝑏𝑒
𝑐
𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a diferença entre os
antecedentes e os consequentes, 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑, mantemos a proporção em relação a cada razão dada
inicialmente. Assim dizemos que a diferença dos antecedentes está para a diferença dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Análise a priori da atividade 19: Esperamos que os alunos identifiquem que quando duas
razões formam uma proporção, ao subtrair os antecedentes e os consequentes dessas razões, a
diferença entre eles também forma uma proporção com cada uma das duas razões dadas
inicialmente.
3.3 Atividades de fixação dos conteúdos em razão e proporção
As atividades de fixação da nossa sequência didática serão formadas de lista de
questões, baseados nos livros de Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr (2002), Dante (2005),
Tinoco (2011), além de questões de vestibulares, de provas militares, do SISPAE (Sistema
Paraense de Avaliação Educacional), OBMEP (Olímpiadas brasileira de Matemática da Escola
Pública) e do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio). As atividades de fixação acontecerão
durante a experimentação, após a realização de algumas atividades.
139
3.3.1 Listas de questões
Em nossa aplicação da sequência didática trabalhamos com duas listas de questões,
sendo uma referente aos tópicos de razão e a outra sobre os tópicos de proporção. Durante a
resolução das questões os estudantes colaboravam durante as correções de cada situação-
problema e também participavam com perguntas no momento da explicação, ou mesmo pediam
para que explicasse novamente quando não compreendiam a resolução. A seguir colocamos os
modelos das Listas de questões aplicadas em sala.
Lista de Exercício 01
Título: Lista de Questões sobre Razão
Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de razão equivalente, Escalas e Proporção
Material: Folha de atividade de fixação, lápis ou caneta
Procedimentos:
Resolver as seguintes questões:
01) (Adaptada Dante 2005) Calcule as razões correspondentes a cada item, considerando a
seguinte situação.
“Em uma partida de basquete a equipe de Paulinho e de Vítor marcou 80 pontos, dos quais
Paulinho fez 16 pontos e Vítor 20 pontos.”
a)Razão entre o número de pontos marcados por Paulinho e o número de pontos marcados por
Vítor (Simplifique ao máximo).
b)Razão entre o número de pontos marcados por Vítor e o número de pontos marcados pela
equipe (Simplifique ao máximo).
c)Razão entre o número de pontos marcados por Vítor e o número de pontos marcados por
Paulinho (Simplifique ao máximo).
02)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr,2002)A razão entre a altura de um bastão fixado
verticalmente no chão e a sua sombra, em determinada hora do dia, é de 5 para 3. Se a sombra
mede 72 cm, qual é a altura do bastão?
03)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr, 2002)Para fazer um refresco, misturamos suco
concentrado com água na razão de 3 para 5. Nessas condições, 9 copos de suco concentrado
devem ser misturados com quantos copos de água?
140
04)( Dante, 2005) A razão do número de acertos para o número total de questões da prova de
Flávia foi de 10
18. A partir desses dados, podemos dizer que Flávia acertou mais ou menos da
metade da prova?
05)(Adaptada ENEM-2013) Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é
o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dos limites
legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões dos
caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no
funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa
responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe
que seu caminhão pode carregar no máximo, 1500 telhas ou 1200 tijolos. Considerando esse
caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à
carga de a não ultrapassar a carga máxima do caminhão?
06)(ENEM-2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem
resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu
de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Kanazes, cruzando sozinho as
planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas. Um professor de
Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano,
desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a
pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
07)(Fuvest – SP)Um engenheiro fez a planta de um apartamento, de modo que cada centímetro
do desenho corresponde a 50 centímetros reais. Então a área real de um terraço que tem 20cm²
na planta é, em metros quadrados, igual a ?
08)(ENEM-2004)Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir
dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número
de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de
jogadas determina seu desempenho.
Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:
Jogador I – Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas.
Jogador II – Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas.
Jogador III – Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas.
Jogador IV – Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas.
Jogador V – Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas.
141
Qual desses jogadores apresentou maior desempenho?
09)( Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr, 2002) Numa maquete a altura de um edifício é de 80
cm. Qual a altura real do prédio, sabendo – se que a maquete foi construída na escala de 1 : 40?
10)(UNICAMP – SP) Na planta de um edifício em construção, cuja escala é 1 : 50. As
dimensões de uma sala retangular são 10 cm e 8 cm. Calcule a área total da sala projetada.
Nesta atividade de fixação, os alunos utilizarão seus conhecimentos adquiridos durante
o desenvolvimento das atividades de Razão matemática, razões equivalentes e escalas, como
também exercitar os assuntos da forma como são cobrados nos livros e provas externas de
vestibular.
Lista de Exercício – 02
Título: Lista de questões sobre Proporção
Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de Proporção, grandezas diretamente e
inversamente proporcionais, propriedade das proporções
Material: Folha de atividade de fixação, lápis ou caneta
Hora de Início: ____________________ Hora de término: _______________
Resolver as seguintes questões:
01)As costureiras que trabalham em uma fábrica foram divididas em dois grupos, A e B. Veja
a produção de camisas dos grupos em dois dias de trabalho:
Produção do 1º dia Produção do 2º dia
Grupo A 120 180
Grupo B 144 216
a)Escreva a razão entre o número de camisas produzidas pelo grupo A e pelo grupo B, para
cada dia. Existe proporcionalidade entre essas razões?
b)Imagine que os dois grupos produzam durante um mês, seguindo a mesma razão. Quantas
camisas o grupo B produzirá se o grupo A produzir 4 200 camisas?
02) Márcio e Larissa tiveram o mesmo aproveitamento em um concurso de perguntas e
respostas. Márcio respondeu a 30 questões e acertou 24. Larissa respondeu a 35 questões.
Quantas questões Larissa acertou?
142
03)Em uma classe a razão entre o número de meninos e o número de meninas é de 5 para 6.
Como nessa
classe o total de alunos é 33, descubra quantos são os meninos e quantas são as meninas.
______________________________________________________________________
04)Uma empresa possui atualmente 2.100 funcionários. Se a relação entre o número de efetivos
e contratados é de 5 para 2, quantos são os efetivos?
05)Dois capitais estão entre si na razão de 8 para 3 e o maior deles excede o menor em
R$25.000,00 , então a soma desses capitais é de:
06) Identifique a seguir os pares de grandezas que são Grandezas Diretamente Proporcionais
(GDP), Grandezas Inversamente Proporcionais (GIP) e Grandezas Não Proporcionais (GNP):
a) . ( ) A velocidade e o tempo de uma viagem
b) ( ) Quantidade de empregados de mesma capacidade de trabalho e a produção de uma
fábrica.
c) ( ) A idade de uma pessoa e o valor do sua massa (“peso”).
07) A soma da idade do pai e do filho é de 42 anos. A idade do pai está para a idade do filho,
assim como 5 está para 2. Determine a idade do pai e do filho.
08) A tabela abaixo relaciona a área de um terreno e a quantidade de grama usada para gramar
esse terreno. Observe a tabela:
Área do terreno Quantidade de grama
150 m² 300 kg
300 m² 600 kg
( ) Grandezas diretamente Proporcionais ( ) Grandezas Inversamente Proporcionais
09) O gerente de uma lanchonete fez a seguinte tabela para relacionar o número de
liquidificador iguais, utilizados para fazer sucos de abacaxi e o tempo gasto para fazer a mesma
quantidade desse suco. Observe a tabela:
Liquidificadores (número) Tempo (minutos)
8 12
24 4
( ) Grandezas diretamente Proporcionais ( ) Grandezas Inversamente Proporcionais
10)Dois números a e b diferem entre si em 15 unidades. Sabendo que a está para b, assim como
225 está para 150. Qual o valor de a e b?
143
4 EXPERIMENTAÇÃO
Nesta seção, apresentaremos os dados referentes a 3ª fase da engenharia didática, a qual
configura-se no momento da aplicação das nossas atividades elaborada e previstas no item
anterior das análises prévias. De acordo com Chizzotti (1991, apud Coutinho & Almouloud,
2008) temos que a experimentação se recorre a experiência, ou seja, as ocorrências vivenciadas
são apropriadas em um contexto de normas constantes e, com isso, podemos sistematizar os
fatos observados, deliberadamente organizados e sujeitos a uma intervenção planificada para
permitir inferência e previsões sobre aqueles que se dêem nas mesmas condições.
Para a nossa experimentação, inicialmente foram previstos 18 encontros os quais seriam
utilizados para aplicarmos 19 atividades, mas devido a algumas dificuldades encontradas,
tivemos que alterar algumas atividades, reelaborando e modificando algumas delas, reduzindo
para 13 atividades, pois as atividades referentes às razões especiais (da atividade 06 a atividade
10) foram apresentadas por meio de aula expositiva e assim cumprindo com o tempo disponível
pelo calendário da escola.
O lócus de pesquisa foi uma escola da rede estadual de ensino que fica situada no bairro
do telégrafo em Belém do Pará, nas dependências da escola apresentava uma boa infraestrutura,
com biblioteca, laboratório de informática, quadra de esportes, cozinha, sala de atendimento
especial; equipamentos como: Impressora, copiadora, televisão e também computadores com
internet. A escolha para desenvolvermos as atividades nessa escola se deu pela facilidade do
acesso e pelos contatos com professores e coordenadores que havíamos. Os sujeitos foram
alunos do 7º ano dessa mesma escola da rede pública de ensino.
Nosso objetivo nessa seção é descrever o desenvolvimento da aplicação de nossas
atividades assim como apresentar os dados produzidos pelos alunos e as observações que
também foram registradas em um caderno de anotações por um observador externo, como
também pelo próprio pesquisador durante o desenvolvimento dessas atividades. A
experimentação foi realizada no período de 13 de Novembro de 2017 a 21 de dezembro de
2017, somando um total de quatorze encontros que nomearemos de sessões de ensino e
detalharemos no quadro 05 as atividades desenvolvidas em cada dia.
De acordo com o diário de classe apresentado pelo professor, a turma do 7º ano era
composta por 21 estudantes regulares, sendo 1 estudantes em dependência em matemática
fazendo apenas a disciplina de matemática, um dos estudantes possuía alguma deficiência, mas
ao perguntar para o professor ele disse apenas que era PCD (Pessoa com Deficiência), não
informou qual era a deficiência e um estudante com baixa visão que nos foi avisado logo no
144
início das atividades, considerando este estudante realizávamos a explicação e orientação das
atividades na frente dele para que o mesmo pudesse fazer a leitura labial.
Como forma de garantir o anonimato dos participantes, utilizamos a letra G para
representar cada grupo, que vai do G1 ao G4 e a letra E representando cada estudante, que se
abrange do E1 ao E21. As aulas eram observadas por uma pesquisadora externa, a qual utilizava
uma ficha de observação com alguns critérios a serem identificados pela observação como
desenvolvimento da atividade, participação e comportamento dos alunos entre outros, e um
diário de campo pela própria pesquisadora durante suas observações adquiridas no
acompanhamento de cada grupo de estudante. Abaixo apresentamos o quadro com o
cronograma das atividades de ensino.
Quadro 05 – Cronograma das sessões de ensino desenvolvido na experimentação
Data C/H (90 min) Atividades Realizadas Assunto
13/11
105 min
Apresentação
Questionário Socioeconômico e Pré-
teste
Atividade 01 – Ideia de Razão
Definição de Razão
14/11 90 min Atividade 02 – Razões Inversas Razões Inversas
16/11 90 min Atividade 03 – Razões Equivalentes Razões Equivalentes
20/11 90 min Continuação da Atividade 03 Razões Equivalentes
27/11
90 min
Atividade 04 – Propriedade de Razões
Equivalentes
Propriedade de Razões
equivalentes
28/11
90 min
Aula Expositiva – Razões Especiais
Resolução de questões sobre Razão
Especiais
Razões Especiais:
Velocidade Média,
Densidade demográfica,
Escalas, Porcentagem, e
Densidade Física.
30/11
90 min
Resolução de questões sobre Razão Ideia de Razão, Razão
inversa e Razões
equivalentes
04/12 90 min Atividade 05 – Proporção Definição de Proporção
07/12
90 min
Atividade 06 – Propriedade
Fundamental das Proporções
Propriedade
Fundamental das
proporções
11/12
90 min
Atividade 07 – Grandezas Diretamente
e Inversamente Proporcionais
Grandezas diretamente
proporcionais e
Grandezas inversamente
proporcionais
145
12/12
90 min
Atividade 08 – Propriedade Aditiva da
Proporção I
Atividade 09 – Propriedade aditiva da
proporção II
Propriedade aditiva da
proporção I e II
14/12
90 min
Atividade 10 – Propriedade da
diferença da proporção I
Atividade 11 – Propriedade da
diferença da proporção II
Propriedade da diferença
da proporção I e II
18/12
90 min
Atividade 12 – Propriedade aditiva de
proporção III
Atividade 13 – Propriedade da
diferença de proporção III
Propriedade Soma e
Subtração III
19/12 90 min Resolução de questão sobre Proporção Exercício de Proporção
21/12 90 min Aplicação do Pós-teste -----
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
4.1. PRIMEIRA SESSÃO
No dia 13 de Novembro de 2017, tivemos nosso primeiro encontro, no qual fui
apresentada a turma pelo professor, em que explicou aos estudantes que ficaríamos
responsáveis de ministrar com eles um dos conteúdos de matemática referente a 4ª avaliação,
no caso o assunto de Razão e proporção. Feito isso, apresentei-me aos estudantes novamente, e
expliquei o trabalho que seria desenvolvido com eles, a maneira em que estaríamos trabalhando
juntos os conteúdos e de que forma seriam desenvolvidas nossas atividades. Os estudantes
foram bem receptivos, responderam nesse dia o questionário socioeconômico junto do pré-teste
e como houve tempo, realizamos nossa primeira atividade também.
Neste dia havia na turma quinze estudantes, os quais participaram do preenchimento do
questionário e responderam ao pré-teste também conseguimos realizar nossa 1ª atividade
denominada “Ideia de Razão”, pois os estudantes acabaram o questionário e pré-teste em pouco
tempo e ainda utilizamos um pouco do horário vago que eles tinham nesse dia após o horário
da aula de matemática. O preenchimento do questionário e resolução do pré-teste iniciou às
7h45min para os estudantes que já estavam em sala, conforme os estudantes chegavam ia sendo
entregue aos demais.
Após observarem as questões, alguns estudantes entregaram com menos de 20 minutos
decorridos do início do teste, dizendo que “não sabia nenhuma” ou “eu tentei algumas, as outras
não sei”; Foi dado um tempo de 45 min, mas todos entregaram antes. Os alunos realizaram em
146
cerca de 30 a 40 minutos a aplicação do pré-teste e questionário, até o último teste a ser
entregue. Após a resolução do pré-teste iniciamos nossa primeira atividade, com os 15 alunos
presente na sala. A seguir apresentaremos um diagnóstico da turma a qual aplicamos nossa
sequência didática e posteriormente descrevemos nossa primeira sessão de ensino.
DIAGNÓSTICO DO PERFIL DOS ESTUDANTES
Neste momento temos o intuito de caracterizar os participantes de nossa
experimentação, visto que os dados revelados por eles por meio do questionário
socioeconômico podem ser fatores que determinam ou implicam na sua forma de conceber a
matemática e ainda para a aprendizagem com a mesma, bem como de poder posteriormente
acompanhar essas respostas e compará-las com o desenvolvimento do estudante durante as
atividades e no seu desempenho no pré-teste e pós-teste.
A seguir apresentaremos os dados que serão expostos em gráficos e tabelas juntamente
com as análises dos dados obtidos na aplicação do questionário socioeconômico dos 15 alunos
presentes no primeiro encontro e também dos outros cinco alunos que responderam no nosso
segundo encontro, totalizando 20 alunos que frequentavam as aulas regularmente.
Considerando os dados obtidos no nosso questionário socioeconômico aplicado aos
alunos, verificamos que em relação a faixa etária da turma percebemos que esta obedecia ao
recomendável pelo Ministério da Educação (MEC) quanto ao quesito idade/ano visto que de
acordo com a tabela 30 e gráfico 25 abaixo, a maioria dos alunos, estava dentro da idade
considerada normal, sendo a maioria dos estudantes (40%) com 13 anos de idade e o segundo
maior percentual (25%) de alunos de 12 anos de idade e apenas 1 aluno de 17 anos, considerado
fora do recomendável da idade normal de acordo com o quesito idade/ano escolar.
Tabela 30 – Faixa etária dos estudantes
Idade Quantidade Estudantes (%)
12 5 25%
13 8 40%
14 4 20%
15 2 10%
17 1 5%
Total 20 100% Fonte: Autora (2017)
147
Gráfico 25 – Faixa etária dos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Como podemos observar a maioria dos estudantes 25% e 40% da turma tinham,
respectivamente, entre 12 e 13 anos idade, o considerado normal para o ano escolar que estavam
cursando dentro do recomendado pelo MEC sem distorção de idade/ano.
Em relação ao gênero sexual desses estudantes consultados, percebemos que a turma
era composta em sua maioria (65%) por meninos e sendo de (35%) o percentual para meninas,
o que verificamos que a nossa experimentação é composta por mais alunos do sexo masculino,
como podemos observar na tabela 31 e gráfico 26 abaixo.
Tabela 31 – Gênero dos estudantes
Gênero Quantidade Estudante (%)
Feminino 7 35%
Masculino 13 65%
Total 20 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
12 13 14 15 17 total
25%
40%
20%
10%5%
100%P
erce
ntu
al d
e A
lun
os
Idade dos Alunos
148
Gráfico 26 – Gênero dos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quanto aos responsáveis pelos alunos encontramos que os pais (55%), em sua maioria,
foram apontados como responsáveis e em seguida os avós (10%) e vimos que em menor
porcentagem, os alunos ou não possui o responsável masculino (5%) ou não possui o
responsável masculino (5%). Em relação aos responsáveis masculinos dos alunos encontramos,
em maioria, que o pai (70%) é o principal responsável, em seguida aparece o avô (20%), já para
o responsável feminino obtivemos que a mãe (65%), em sua maioria, em seguida aparece a avó
(15%).
Avaliamos este resultado como um fator positivo para a maioria desses alunos, pois os
pais constituem o núcleo da família essencial no papel responsável de educar, e principalmente
se estes pais são envolvidos com a vida escolar de seus filhos. O mesmo acontece em Paula
(2011) que constatou que a maioria dos alunos possui como responsável masculino seus pais
(90%) e também verificamos resultados aproximados em Lopes (2015) que percebeu que a
maioria dos estudantes de sua pesquisa assinalou como responsável masculino o pai (88,9%) e
como responsável feminino a mãe (91,6%). Abaixo podemos verificar esses dados na tabela 32
e gráfico 27 sobre os responsáveis dos estudantes.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Masculino Feminino Total
Percentual 65% 35% 100%
149
Tabela 32 – Responsáveis pelos estudantes
Responsável
Masculino
Responsável Feminino
Total Mãe Avó Madrasta Tia Não tem
Pai 55% 5% - 5% 5% 70%
Avô 5% 10% 5% - - 20%
Padrasto 5% - - - - 5%
Não tem - - - 5% - 5%
Total 65% 15% 5% 10% 5% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo
Gráfico 27 – Responsáveis pelos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em seguida apresentamos os dados revelados pelos alunos referentes ao seu responsável
se eles exerciam alguma atividade remunerada, e até mesmo o próprio aluno. Quanto a essa
questão os alunos responderam, em maioria, que não exercem atividade remunerada (70%),
apenas um aluno respondeu que sim (5%) e 25% não informou. Já quanto ao seu responsável
masculino, a maioria, (75%) respondeu que exerce atividade remunerada assim como seu
responsável feminino (60%) também exercem.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Pai/Mãe Avô/ Avó Padrasto/Madrasta
Tio/Tia Não tenho
Masculino 70% 20% 5% 0% 5%
Feminino 65% 15% 5% 10% 5%
150
Isto nos revela que a maioria dos alunos (70%) ainda que tenham aqueles que não
informaram (25%) pode ser que não precisem trabalhar para ajudar aos pais na questão
financeira, ou mesmo para o seu próprio sustento. Com isso, inferimos ser um ponto positivo
desses alunos no sentido de poder aproveitar melhor sua vida escolar, visto que trabalho e
estudo é uma relação desafiante para um estudante. Abaixo na tabela 33 e gráfico 28 destacam-
se esses dados referentes ao exercício de atividade remunerada na família do aluno.
Tabela 33 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante
Membro da
Família
Exerce atividade
remunerada
Não exerce atividade
remunerada
Não informado
Responsável
Masculino
75%
-
25%
Responsável
feminino
60%
25%
15% O Aluno 5% 70% 25%
Fonte: Pesquisa de Campo(2017)
Gráfico 28 – Exercício de atividade remunerada na família do estudante
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação ao nível de escolaridade dos responsáveis dos alunos consultados, os dados
revelam que (45%) dos alunos responderam que os responsáveis masculinos chegaram a
concluir até o ensino médio e ainda um percentual considerável de alunos (30%) não sabia
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Exerceatividade
remunerada
Não exerceatividade
remunerada
Nãoinformado
Total
Responsável Masculino 75% 0 25% 100%
Responsável feminino 60% 25% 15% 100%
O Aluno 5% 70% 25% 100%
151
informar, para o responsável feminino temos que (45%) não sabia informar e (30%) também
chegaram a concluir até o ensino médio. Podemos verificar estes quantitativo revelado pelos
alunos em relação ao nível de escolaridade dos seus responsáveis na tabela 34 e gráfico 29 a
seguir.
Tabela 34 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes
Nível de Escolaridade
Responsável
Masculino Feminino
Ens. Fundamental
Maior
Concluiu 5%
Não concluiu 5%
Ensino Médio
Concluiu 45% 30%
Não concluiu 15% 20%
Ensino Superior
Concluiu 5%
Não concluiu
Não informado 30% 45%
Total 100% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 29 – Nível de escolaridade dos responsáveis dos estudantes
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Esses dados observados acima revelam que a maioria não teve acesso ao ensino superior,
sejam os responsáveis masculinos ou femininos dos estudantes. E isto pode influenciar na forma
como os alunos podem ser conduzidos em casa quanto à motivação pelos estudos bem como
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
EnsinoFundamental MaiorIncomplet
o
EnsinoFundamental MaiorCompleto
EnsinoMédio
Incompleto
EnsinoMédio
Completo
EnsinoSuperior
Completo
NãoInformado
Responsável Masculino 5% 0 15% 45% 5% 30%
Responsável Feminino 0 5% 20% 30% 0 0
152
em ajuda nas tarefas extraescolares e na sua formação. Resultados nesta direção apontam no
estudo de Lopes (2015) que constatou em sua pesquisa também uma maior concentração dos
responsáveis dos estudantes tendo até o ensino médio completo, sendo de (52,8%) o percentual
dos responsáveis do sexo feminino e (47,2%) do sexo masculino revelados em sua pesquisa.
Os estudantes também foram questionados a respeito do gosto pela matemática e
também se sentem dificuldades em aprendê-la, as respostas para essas perguntas foram na
direção do meio termo, nem tanto a um extremo ao ponto de dizer que sentem muita dificuldade
ou a outro de dizer nenhum pouco da mesma forma estende quanto ao gosto pela matemática.
Pelo observado a maioria desses estudantes aponta sentir um pouco de dificuldade (70%) assim
como afirmam gostar um pouco (65%) de matemática.
Estes resultados já podem revelar uma pequena mudança quanto a forma que os alunos
“enxergam” a matemática, pois na maioria das vezes o que ouvimos seja nas escolas,
depoimentos de professores em grupos de pesquisa e mesmo em pesquisas são a grande aversão
que os alunos possuem pela matemática considerando a principal vilã das disciplinas escolares.
De acordo com esse pensamento podemos encontrar nos estudos de Onder (2009) que fala de
alunos que deixam de acreditar na sua capacidade até mesmo de conseguir aprender matemática
por considerá-la como uma disciplina difícil e complexa.
Quanto ao quadro de mudança no pensamento em relação a matemática pelos alunos
evidenciamos um estudo que converge com o resultado o qual encontramos quanto aos alunos
declararem gostar um pouco de matemática (65%) que foi o estudo de Cunha et al (2011) em
que nos apresenta uma pesquisa realizada com 388 alunos de 6º ao 9º ano de uma escola da
rede pública de Ouro Preto e os resultados indicam um número significativo de alunos que
afirmam gostar de matemática e não considerá-la tão difícil.
Sobre os estudantes gostar ou sentir dificuldade, acreditamos que as aversões por parte
de alguns ou aproximação com a disciplina por outros, está associada às frustrações com suas
notas, metodologias utilizadas pelos professores, e a própria mistificação que é criada sobre a
matemática já trazendo para a escola um pré-conceito sobre a disciplina. Apresentamos na
tabela 35 e gráfico 30 um cruzamento quanto o gosto pela matemática e dificuldade para
aprendê-la, com os dados percebemos que a maioria aponta (55%) gostar e sentir um pouco de
dificuldade para aprendê-la.
153
Tabela 35 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la
Dificuldade para
aprender matemática
Gosta de Matemática Total
Nenhum pouco Um pouco Muito
Não 5% 10% 15%
Um pouco 10% 55% 5% 70%
Muita 15% 15%
Total 30% 65% 5% 100% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 30 – Gosto pela matemática e dificuldade para aprendê-la
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com o observado no quadro acima a maioria dos estudantes (55%)
responderam gostar um pouco de matemática assim como de sentir também um pouco de
dificuldade em aprendê-la. No geral, totalizaram 65% dos estudantes que gostam um pouco de
matemática e 70% que sentem um pouco de dificuldade para aprender essa disciplina.
Quanto ao hábito de estudo de matemática fora da escola e o auxílio para realizar as
tarefas escolares 35% dos estudantes afirmaram estudar só no período de prova e sem auxílio
de alguém, em seguida 25% dos estudantes afirmaram também estudar só no período de prova
e com auxílio não especializado, conforme mostra a tabela 36 e o gráfico a seguir.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
Gosta nenhumpouco de
Matemática
Gosta um poucode Matemática
Gosta muito deMatemática
5%
10%
0
10%
55%
5%
15%
0 0
Não tem dificuldade paraaprender Matemática
Um pouco de dificuldade paraaprender Matemática
Muita dificuldade para aprendermatemática
154
Tabela 36 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares
Hábito de estudo da
matemática fora da escola
Auxílio recebido para realizar tarefas escolares
Total Sem
auxílio
Auxílio não
especializado
Auxílio
especializado
Só no período de prova 35% 25% - 60%
Só na véspera de prova 15% - 10% 25%
Segunda-Sexta - - 5% 5%
Só finais de semana 10% - - 10%
Total 60% 25% 15% 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 31 – Hábito de estudo da matemática fora da escola e auxílio nas tarefas escolares
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O auxílio não especializado que consideramos refere-se a algum membro da família do
estudante: mãe (10%), irmão/irmã (10%), Amigo/amiga (5%). Já o auxílio especializado refere-
se ao auxílio de um professor particular (15%). De acordo com a tabela, verificamos que a
maioria dos estudantes indica estudar matemática fora da escola só no período de prova e sem
ninguém para auxiliá-los (35%). Esse fator relacionado a ausência de práticas de estudos extra
classe pode refletir na aprendizagem de uma forma negativa, pois é importante que os alunos
tenham também um horário reservado de estudo fora da escola para que possa obter bons
desempenhos e métodos de conhecer sua maneira de aprender.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
Estuda só noperíodo de prova
Estuda só navéspera de prova
Estuda de Segunda-Sexta
Estuda só nos finaisde semana
35%
15%
0
10%
25%
0 0 00
10%
5%
15%
Sem auxílio
Auxílio não-especializado
Auxílio especializado
155
O nosso questionário também teve por objetivo conhecer a respeito das metodologias
utilizadas nas aulas de matemática, as formas de fixar o conteúdo que os professores utilizavam,
se os alunos já haviam participado de algum experimento e ainda se os alunos estendiam a aulas
de matemática da forma como o professor ensinava. Na tabela 37 e gráfico 32 a seguir
apresentamos o quantitativo de respostas dos alunos quanto a metodologia utilizadas nas aulas
de matemática, o que podemos perceber que a maioria dos estudantes (75%) apontam que as
aulas seguem o modelo tradicional de ensino, começando pela definição seguida de exemplos
e exercícios.
Tabela 37 – Metodologia utilizada nas aulas de matemática
Como inicia a maioria das aulas de matemática Total
Começa pela definição seguida de exemplos e exercícios 75%
Começa uma situação problema para depois introduzir o assunto 15%
Começando com um experimento para chegar ao conceito 5%
Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos 5%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 32 – Metodologias utilizada nas aulas de matemática
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Com os dados da tabela 37 e gráfico 32 referentes a metodologia utilizada configura-se
ainda a predominância do ensino tradicional. Entendemos este ensino no que concerne o modelo
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Começa peladefinição
seguida deexemplos eexercícios
Começa umasituação
problema paradepois
introduzir oassunto
Começandocom um
experimentopara chegar ao
conceito
Iniciando comjogos para
depoissistematizar os
conceitos
Total
75%
15%
5% 5%
100%
156
de aula seja apresentada na forma expositiva, sendo o aluno pouco ativo no processo e o
professor como o centro em que segue o modelo de apresentar os conteúdos pela definição
seguidos de exemplos e exercícios. Dessa forma, podemos dizer que o ensino tradicional não
tem como base o construtivismo o que de acordo com Sá (2009) as metodologias de ensino
baseadas no construtivismo, não pressupõe que a aprendizagem ocorre através de uma
transferência de conhecimento, mas através de um processo de construção do conhecimento
pelo próprio aprendiz.
Nos cursos de formação inicial e continuada em matemática estudamos a questão das
diversas metodologias de ensino que a educação matemática tem nos apresentado e vem
buscando contribuir para a melhoria do ensino da matemática, seja na forma de estimular os
alunos, motivá-los e ainda despertar o interesse para aprender a matemática, dentre elas
destacamos a história da matemática, jogos, modelagem matemática, resolução de problemas,
Etnomatemática, dentre outros. Entretanto, percebemos que estas metodologias poucas são
efetivadas nas práticas dos professores de matemática nas salas de aula, visto que constatamos
isto de acordo com os dados de nossa pesquisa como também nas pesquisas como a de Lopes
(2015), Paula (2011), Santos (2017) que realizaram consultas a docentes e discentes de
matemática da rede pública de Belém. Acreditamos que um dos fatores para estes entraves seja
a lacunas que são herdadas desde a graduação na sua formação inicial e a não realização de uma
formação continuada em que abordem saberes docentes necessários à atuação dos professores
em exercício na sala de aula.
Em relação a ter participado de algum experimento realizado pelo seu professor de
matemática 90% dos estudantes afirmaram não ter participado e apenas 10% dos alunos
responderam que sim, que foram referentes a jogos. Com esses dados, podemos dizer que essa
forma de trabalhar os conteúdos pode ser o reflexo de professores que saíram da graduação e
não buscaram ou não tiveram oportunidade para uma formação continuada, visto que
acreditamos que um dos fatores que implicam no sucesso da aprendizagem é a qualificação de
seus professores. Na tabela 37 acima percebemos que ainda é recorrente o método tradicional
referente a metodologia de ensino, a seguir apresentamos a tabela 38 e gráfico 33 que nos
revelam o quantitativo de alunos em percentual referentes à participação em algum experimento
matemático o que nos faz perceber que poucos desses alunos tiveram oportunidade de participar
de algum experimento matemático ainda que de forma simples e fazendo uso de recursos de
fáceis acesso.
157
Tabela 38 – Participação dos estudantes em experimento matemático
Você participou de algum experimento didático durante a aula de
matemática
Total
Não 90%
Sim 10%
Total 100%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 33 – Participação dos estudantes em experimentos matemáticos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Sá e Jucá (2014) reúnem em seu livro experiências didáticas de matemáticas por meio
de atividades e apresentam que estas experiências realizadas tanto no ensino fundamental como
no ensino médio de escolas da rede pública contribuíram de forma significativa para a
aprendizagem dos educandos. Com isso, acreditamos que uma forma de melhorar e superar os
índices de reprovação, rejeição e repetência dos alunos em matemática é buscar estratégias
pedagógicas de ensino que oportunizem uma melhor aprendizagem dos alunos e despertem sua
inteligência, sejam por meio de desafio ou atividades que favoreça o aprendizado.
Em relação as experiência dos alunos quanto aos recursos didáticos utilizados para
fixação dos assuntos matemáticos, a maioria, 75% responderam que o professor costuma
utilizar uma lista de exercício para serem resolvidos, 20% a partir de resoluções de questões do
livro didático e ainda 5% solicita que procure questões sobre o assunto para resolver em outras
fontes. Os percentuais obtidos encontram-se na tabela 39 a seguir.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Não Sim Total
Alunos (%) 90% 10% 100%
158
Tabela 39 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos
Para fixar os conteúdos matemáticos seu professor costuma: Total
Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 75%
Apresentar jogos envolvendo o assunto 0%
Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático 20%
Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para
resolver em outras fontes
5%
Não propõe questões de fixação 0%
Total 100% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 34 – Metodologias utilizadas de fixação dos assuntos matemáticos
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A forma de fixar o conteúdo também é importante no processo de aprendizagem e
constitui um momento que o aluno verifica o que aprendeu e o que sente dificuldade bem como
de internalizar melhor o conteúdo a partir de sua própria forma de estudar, ou seja, ajuda no
desenvolvimento da cognição do aluno. Neste momento da fixação o aluno também pode buscar
no seu interior uma forma de resolver a situação apresentada, não seguindo um modelo pronto
e acabado de resolver. Defende com Santos (2015) que cabe ao professor buscar a inteligência
e a criatividade existente no interior do aluno, sistematizando soluções para um determinado
problema, sem seguir um procedimento padronizado exclusivo para aquela situação [...] e ainda
que o lúdico, nesse caso o jogo, é uma forma complementar que sendo bem elaborado, convém
para fixar o conteúdo com maior clareza e ainda descontrair o ambiente.
0%10%20%30%40%50%60%70%80%90%
100%
Apresentaruma lista de
exercíciospara seremresolvidos
Apresentarjogos
envolvendoo assunto
Solicitar quevocê
resolvesseos exercícios
do livrodidático
Solicitar quevocê
procurassequestõessobre o
assunto pararesolver em
outrasfontes
Não propõequestões de
fixação
Total
75%
0%
20%
5% 0%
100%
159
As listas de exercício representam a forma mais apontada (75%) pelos alunos da nossa
experimentação para fixar os conteúdos. Este recurso também levam os alunos a fixar os
conceitos já conhecidos, no entanto não os motivam tanto quanto os jogos e não desenvolve a
criatividade e as tomadas de decisão que os jogos exigem. A tabela 37 apresenta as informações
apontadas pelos alunos quanto ao entendimento da matemática da forma como o professor
ensina.
Tabela 40 – Entendimento da matemática da forma como o professor ensina
Entende matemática da forma como o professor ensina Total
Sim 25%
Ás vezes 35%
Não 40%
Total 100% Fonte: Pesquisa de Campo
Gráfico 35 – Estudantes que entendem da forma como o professor ensina
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com a tabela observamos que a maioria dos estudantes apontou que não
entende da forma como o professor ensina (40%). Em seguida temos um percentual de (35%)
dos estudantes que afirmam às vezes entender matemática da forma como o professor ensina,
o que nos revela um alto percentual de estudantes que pouco ou nada entendem matemática na
forma em que é ensinada. Podemos perceber que a forma de ensino vigente não abrange a
aprendizagem de todos, e principalmente aqueles que sentem mais dificuldades de aprender,
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Sim Às vezes Não Total
Alunos (%) 25% 35% 40% 100%
160
com isso verificamos a necessidade de mudanças nas formas de ensinar do professor de
matemática capacitando-os com cursos de aperfeiçoamento, investimentos em sua formação
continuada para que assim possa melhorar sua atuação quando em exercício.
Ao término do questionário e pré-teste por volta de 8h20min realizamos também nossa
primeira atividade, pois ainda havíamos tempo e utilizamos 10 minutos do horário vago da aula
seguinte que os alunos teriam devido o professor ter faltado para concluir a primeira atividade.
A atividade 01 era referente a ideia de razão intitulada “Razão em Matemática” que tinha como
objetivo introduzir a definição de razão e também suas representações e informar as
denominações que recebem cada termo de uma razão.
Para iniciar nossa primeira atividade, primeiramente, pedimos para que os alunos
fizessem um círculo. Entreguei a cada um a ficha de atividade, solicitei que acompanhasse e
atentassem ao objetivo. Nesta atividade, era apresentado um quadro com várias notícias,
algumas retiradas de jornais outras fictícias, e assim apresentamos um quadro com notícias
diversas na folha de atividade. Essas notícias representavam razões e foi perguntado aos alunos
se gostariam de ler as notícias, cinco alunos demonstraram interesse e leram. Após lerem,
perguntei se compreendiam as notícias que acabavam de serem lidas e se sabiam representar
matematicamente as mesmas. Nenhum dos alunos confirmou, ou conseguiram reescrever
aquela informação de forma que ficassem representadas por números.
No decorrer da atividade, escolhemos algumas notícias para verificar por meio das falas
dos alunos se compreenderiam a ideia do que estávamos apresentando. E como exemplo, a
primeira notícia do quadro de atividades dizia o seguinte: “Em 2017, de cada 3 desempregados
no mundo um será brasileiro”, em seguida perguntei aos alunos, se considerando esta notícia,
caso tenhamos seis desempregados quantos seriam brasileiros?
Pelas respostas dos alunos tivemos alguns que de imediato responderam corretamente
que seriam dois brasileiros. E assim, apresentamos outros contextos que empregavam a ideia
de razão e os alunos acompanhavam atentos. Observamos também que a ideia de razão ficou
bem esclarecida de acordo com as anotações dos alunos nas questões em que foi pedido para
que eles escrevessem situações em que eles observavam do seu dia-a-dia. Assim como
mostraremos nas respostas dos alunos.
Nesta atividade notamos a importância de dar oportunidades nos métodos de ensino para
que o aluno pudesse interagir, bem como escrever ou colocar o seu ponto de vista, pois dessa
forma o professor terá como intervir melhor na aprendizagem do aluno e até mesmo para
conhecê-los, aprender e compreender da realidade dos seus alunos. A seguir apresentamos a
161
tabela 41 com o quantitativo de frases que cada aluno escreveu sobre a ideia de razão pedida na
atividade 01.
Tabela 41 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de razão
Quantidade de Frases Valor Absoluto (%)
1 3 20%
2 5 33,34%
3 2 13,33%
4 3 20%
5 2 13,33% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para efeito de análise utilizamos para esta atividade as respostas dos estudantes E3, E6,
E9, E10, E11, E14 e E16, pois estes foram os alunos que elaboraram no mínimo três frases das
cinco pedidas na atividade. Utilizamos quadros para transcrever as frases dos alunos, pois
devido alguns registros terem sido feito a lápis ficaram um pouco apagado nas imagens.
Quadro 06 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E3
Frases do estudante E3
Transcrição
“A cada 10 jovens que morrem 5 são negros”, “A cada 10 alunos 3 são deficientes”, “
A cada 5 morenas existe 1 loira” e “A cada 5 castelos 4 são de princesas”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E3
De acordo com a resposta do estudante E3 podemos observar que além das frases o estudante
também conseguiu escrever a razão correspondente que representava cada situação, isto pode está
relacionado ao fato de que já havíamos apresentado um quadro informativo anterior a esta questão, a
respeito do conceito de uma razão e sua representação. A seguir trazemos o quadro informativo com
o conceito de razão que apresentamos aos alunos após o quadro de notícias:
162
Após a apresentação do quadro informativo os alunos responderam alguns enunciados
em que pedia para que colocassem a razão correspondente a cada situação apresentada. Por esse
motivo acreditamos que o estudante E3 ao elaborar suas frases nesta questão conseguiu
facilmente colocar a representação das razões em cada frase também. Durante o
desenvolvimento desta atividade o estudante foi bastante participativo, um dos alunos que pedia
para ler os enunciados quando apresentava o quadro de notícias com exemplos de razões. O
quadro 07 abaixo apresenta as frases elaboradas pelo estudante E6 a respeito das situações que
envolvem a ideia de razão.
Quadro 07 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E6
Frases do estudante E6
Transcrição
“A cada 10 homens 7 são negros”, “ a cada 10 remistas 9 são veados” e a “cada 7
atropelados pelo Icoaraci 2 são atropelados pelo presidente Vargas”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E6
Nas respostas do estudante E6, temos que nessas frases empregadas podemos associar
que os alunos conseguem colocar situações em que mais observam em seu dia-a-dia, ou mesmo
criarem uma ideia quanto utilizar do conhecimento para “brincar” ou fazer algum tipo de
“zoação” dependendo da situação em que esteja sendo utilizadas, como a do exemplo dos
remistas, certas brincadeiras podem ofender ou caracterizar como bullying. Neste sentido, estas
são oportunidades que possibilitam a conversa com os alunos, para que seja estendida a diversas
situações sobre o respeito e tolerância com o próximo. De acordo com Tardif (2014) os
professores ocupam na escola uma posição fundamental em relação ao conjunto dos agentes
Em matemática a expressão “Para cada torcedor do time x existem 05 torcedores do time y.”
é equivalente a dizer que a razão entre os torcedores dos times X e Y é de 1 para 5 ou que
na situação 1 está para 5 .
163
escolares, pois são eles em seu trabalho cotidiano com os alunos, os principais atores e
mediadores da cultura e dos saberes escolar. E assim, concordamos que o papel do professor
não se reduz apenas as competências referidas da sua disciplina, como também na formação do
seu aluno, visão de mundo e no seu desenvolvimento pessoal.
Quadro 08 - Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E9
Frases do estudante E9
Transcrição
“A cada 10 jovens que morrem na periferia 7 são negros”, “A cada 10 alunos 5 são
meninas”, “ A cada 7 brasileiros 5 se auto declaram da cor negra ou parda” e “A cada 8
crianças 5 se acham adultos” “A cada 7 coisas que aumentam no Brasil 5 são
eletrônicos”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E9
Nessas frases empregadas pelo estudante E9 constatamos cinco situações diferentes e
bem elaboradas para o assunto de razão. Algumas delas podemos inferir que retratam das
informações que eles já possuíam ou que ouviram falar e também que podem refletir suas
vivências e realidade. As aulas temáticas em matemática podem ser também uma diferente
forma de ensinar não só o conteúdo formal como o de melhorar a compreensão dos estudantes
e esclarecer sobre saúde, história de determinado povo, esportes, cultura, dentre outros.
Concordamos com Oliveira (2015) quando nos diz que as aulas temáticas buscam cada
vez mais a atenção do aluno em sala de aula para que os mesmos possam obter cada vez mais
conhecimento, tanto no aspecto social, ético, cidadã, quanto no aspecto profissional. E
observamos que as sugestões que os próprios alunos podem nos dar, por meio de suas respostas,
são a oportunidade de abordar estas questões em sala, não deixando de lado o rigor matemático,
e ainda trazer mais significado em nossa forma de ensinar e assim como a eles em aprender. A
seguir o quadro 09 apresenta as respostas do estudante E10 para as situações que envolvem a
ideia de razão.
164
Quadro 09 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão
Frases do estudante E10
Transcrição
“A cada 10 jogadores 5 são negros” “Nove entre dez crianças assistem filme” “Em 5
negros 1 é branco”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E10
Nessas frases do estudante E10 observamos que apenas em uma delas a representação
da razão foi utilizada da forma como comumente utilizamos, como foi dado na nossa atividade
em um quadro informativo o seguinte “Não é uma regra, mas é comum que o menor valor
seja o antecedente (numerador) e o maior valor seja o consequente (denominador)” de
acordo com as respostas do estudante E10 problematizamos em sala quanto a representação das
razões, visto que foram dúvidas também de outros grupos o questionamento sobre “Qual valor
colocar na parte de cima, ou na parte de baixo da razão” expressado assim por eles, com isso
reforçamos os nomes que cada termo recebe e que a forma de representar diante a uma questão
pode ser também observado conforme a leitura de quem é lido primeiro, e assim quando
exemplificava os alunos compreendiam melhor, um dos exemplos que utilizei foi a respeito
novamente do número de meninas em relação ao total de alunos em sala, como falamos primeiro
o número de meninas e depois o total de alunos, a razão ficaria o número de meninas no
numerador e o total de alunos da sala no denominador.
Após os exemplos que utilizamos em sala, os alunos pareciam compreender melhor e
demonstravam gostar de aprender de uma forma mais dinâmica. A seguir apresentamos o
quadro 10 com os exemplos de frases elaboradas pelo estudante E11.
165
Quadro 10 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E11
Frases do estudante E11
Transcrição
“A cada 5 pessoas 3 possuem carro” ”A cada 10 moradores 4 possuem casa própria”
“A cada 4 motocicletas 2 morrem por acidentes” “A cada 3 escolas 1 é reformada” “De
5 pessoas só 3 acreditam em Deus”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E11
Verificamos que a mesma ocorrência quanto a representação das razões observadas nas
respostas do estudante E10 encontramos nas representações do estudante E11 em relação ao
colocar o menor valor embaixo e não no antecedente, o quadro posterior a esta atividade
informava aos alunos quanto a forma mais comum de representação, o que ficou esclarecido a
todos que durante a aula também perguntavam a respeito.
Em relação a esta questão do menor valor colocar “em cima” ou “na parte de baixo” foi
uma dúvida de alguns estudantes que percebemos durante a atividade se sentirem bem a vontade
para perguntar ainda que fosse o primeiro encontro a turma foi bem receptiva e colaboradora
com a atividade. Quando percebia que os estudantes respondiam corretamente ou questionavam
sobre a atividade, elogiava-os para que se sentissem ainda mais motivados, e assim um deles,
comentou: “Ainda dizem na escola que a nossa é a pior turma!”. Continuei elogiando a turma,
e disse a eles que estava gostando do envolvimento deles na atividade.
O quadro 11 a seguir apresenta as frases elaboradas pelo estudante E14 que envolvem a
ideia de uma razão.
166
Quadro 11 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E14
Frases do estudante E14
Transcrição
“A cada 11 jogadores 5 são craques” “A cada 5 atores 1 já morreu” “A cada 100
pessoas na balada 70 estão bêbadas” “A cada 9 meninos da sala 7, 3 são baderneiros”
Validade
Válida Fonte: Atividade 01 do estudante E14
Em relação as respostas do estudante E14 apresentadas no quadro 11 identificamos que
elaborou as frases e conseguiu colocar ao lado a representação das razões de forma adequada.
Este fato também evidenciou nas respostas do estudante E16 no quadro 12 a seguir, em que
também consegue além das frases, representar a razão correspondente.
Quadro 12 – Exemplos de situações que envolvem a ideia de Razão do estudante E16
Frases do estudante E16
Transcrição
“A cada 10 homens morrem 7 são negros”, “A cada 10 homens na padaria 5 gays são
espancados”, “A cada 5 pessoas na sala 1 é bonita”, “A cada 7 aviões 1 sai”.
Validade
Fonte: Atividade 01 do estudante E16
Após a questão em que pedia aos alunos que dessem os exemplos de situações que
envolviam a ideia de razão, em seguida, apresentamos o quadro informativo com a forma usual
de representar uma razão com os nomes que recebe cada termo de uma razão. Finalizamos a
167
atividade com a questão em que pedia para apenas que identificasse o antecedente e
consequente das razões dadas, poucos alunos tiveram tempo de responder.
Com esta atividade percebemos a importância em favorecermos o momento para que os
alunos possam utilizar suas próprias palavras, devido aos debates que podem ser levantados,
assim devemos dar espaços para que possam expressar seus sentimentos. Como pontos
levantados pelos alunos em suas anotações na atividade, foi referente a questão do negro,
homossexuais, violência, nos quais abordaram em seus exemplos de representação de uma
razão. Algo que pode ser discutido e refletido com os alunos em sala com mais tempo e
planejamento a respeito da temática.
4.2. SEGUNDA SESSÃO
O segundo encontro aconteceu no dia 14 de novembro de 2017 no qual realizamos a
atividade 02 de nossa sequência de atividades. Esta atividade era referente ao assunto de razões
inversas a qual foi entregue uma ficha para cada um dos 20 estudantes presentes na sala. Após
ler para os alunos o título e objetivo bem como explicar a atividade para os alunos dando lhes
as orientações necessárias, formaram 4 grupos com 5 estudantes em cada e iniciaram a atividade
por volta das 7h40min.
Nos primeiros momentos fomos a cada grupo auxiliando-os na medida em que
chamavam para sanar alguma dúvida. Uma das dificuldades encontradas pelos alunos foi em
realizar a operação de multiplicação, um dos motivos que os fizeram demorar no
desenvolvimento da atividade. Quando erravam os cálculos pedíamos que realizassem
novamente ou que utilizassem a calculadora do celular. Dessa forma, os estudantes conseguiram
realizar a atividade e preencher os quadros com os produtos das razões dadas e após preencher
e observarem as situações das razões em que o produto das razões eram iguais a 1 e de outras
não, apresentamos o quadro informativo a respeito das razões.
No decorrer da atividade alguns estudantes questionaram a respeito do inverso do
número que não fosse uma razão, como exemplo o número 2, nesse momento fui ao quadro e
exemplifiquei do inverso dos números inteiros. Para finalizar esta atividade os alunos
responderam a questão quando temos razões inversas e razões não inversas.
A seguir mostraremos as respostas dos grupos referentes a esta questão em que pedia
para que eles dessem exemplos de razões inversas e razões não inversas, os quatro grupos
conseguiram finalizar a atividade. No entanto, colocamos a resposta de um dos estudantes de
grupo G2 separada, visto que mesmo que ele estivesse participando do grupo G2, na maioria
168
das atividades gostava de fazer seu trabalho individual, ainda que ajudasse os seus colegas do
grupo em que participava. No quadro 13 apresentamos a resposta do estudante E9 referente as
razões inversas e não inversas.
Quadro 13 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa do estudante E9
Resposta do Estudante E9 Transcrição Validade
8/3 3/8
1/4 4/1
9/2 2/9
Válida
Resposta do Estudante E9 Transcrição Validade
1/3 4/2
2/3 5/2
4/1 2/1
Válida
Fonte: Atividade 02 do estudante E9
Percebemos que o estudante E9 conseguiu exemplificar corretamente as razões inversas
e quando não são inversas pelos exemplos acima apresentados. Consideramos válidas as
respostas referentes tanto às razões inversas quanto não inversas, pois foram exemplos corretos.
De acordo com as demais respostas dos grupos que apresentaremos nos quadros abaixo
acreditamos ter conseguido obter o objetivo da atividade com os alunos quanto a definição de
uma razão inversa, o grupo G1 inicialmente estava disperso, mas depois focaram na atividade
e conseguiram responder o quadro com o produto das razões em que eram dadas.
O quadro seguinte é referente aos exemplos de razão inversa e não inversa do grupo G1
composto por cinco estudantes nesta atividade.
169
Quadro 14 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G1
Grupo Estudantes Exemplos de Razões Inversas Validade
1
E1, E2, E3, E4
e E5
Válida
Transcrição
2/5 5/2
3/4 4/3
5/4 4/5
Exemplos de Razões Não Inversas Validade
Válida
Transcrição
2/3 3/5
4/2 3/4
2/3 1/4
Fonte: Atividade 02 do Grupo G1
No quadro dado aos alunos nesta atividade havia tanto razões que eram inversas quanto
razões não inversas para os alunos multiplicarem, e umas das situações que verificamos
acompanhando os grupos, e principalmente o grupo G1, que poucos lembravam o produto de
frações, sendo assim foram relembrados com os grupos e conseguiram resolver; outra situação
apresentada que nas respostas dos estudantes o produto das razões ainda que desse o mesmo
valor no numerador e denominador, os alunos não atentavam para resolver esta divisão,
somente após pedir que dividissem e encontrassem o resultado. Após perguntar a eles se dariam
para realizarmos as divisões eles conseguiram observar que a maioria das respostas resultaria
em 1.
Nesta atividade utilizamos exemplos de razões que não eram inversas para que os alunos
não concluíssem que toda vez em que fossem multiplicar duas razões o seu resultado seria,
igual a 1, como na maioria das respostas apresentadas no quadro. Além disso, para que
pudessem verificar a regularidade entre as razões que resultaria em 1, ou seja, as razões teriam
que ser inversas. Após apresentarmos o quadro informativo, os alunos disseram que a atividade
tornou fácil para identificar ou exemplificar razões inversas. No quadro a seguir apresentamos
as respostas do grupo G2 para esta atividade.
170
Quadro 15 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G2
Grupo Estudantes Exemplos de Razões Inversas Validade
2
E6, E7, E8, E9
e E10
Válida
Transcrição
5/2 2/5
3/7 7/3
3/2 2/3
Exemplos de Razões Não Inversas Validade
Válida
Transcrição
3/2 2/5
2/5 5/3
9/4 2/3
Fonte: Atividade 02 do Grupo G1
O grupo G2 tiveram também suas respostas válidas para as razões inversas e não
inversas conforme aponta o quadro acima com os exemplos que os alunos nos deram. Nesse
grupo, persistiu mesmo nos exemplos que eles elaboraram, como podemos observar no quadro
acima, não realizar a divisão das razões resultando em 1, embora soubessem que aqueles
exemplos era de razões não inversas. Dessa forma, conseguiram elaborar corretamente cada
exemplo pedido, visto que suas exemplificações de razões sejam elas inversas e não inversas
estavam corretas.
Em relação aos produtos das razões observamos que o quadro seguinte em que apresenta
as respostas referentes aos estudantes do grupo G3 foram mais atentos para colocar como
resposta o resultado igual a 1 para as razões inversas, o grupo também demonstrou não ter
dificuldades quanto a simplificar as razões, como observado nas razões não inversas ainda que
não precisasse simplifica-las os estudantes optaram por simplifica-las ao máximo para
verificarem que o produto não resultaria em 1. A seguir o quadro 16 apresenta as respostas do
grupo G3.
171
Quadro 16 – Exemplo de Razão Inversa e Razão Não Inversa grupo G3
Grupo Estudantes Exemplos de Razões Inversas Validade
3
E11, E12,
E13, E14 e
E15
Válida
Transcrição
3/7 7/3
7/9 9/7
4/3 3/4
Exemplos de Razões Não Inversas Validade
Válida
Transcrição
4/9 6/4
4/2 2/6
3/3 4/6
Fonte: Atividade 02 do Grupo G3
O grupo G3 bastante participativo e questionadores quanto a atividade, neste grupo em
que fizeram a pergunta referente ao inverso de um número que não estivesse representado em
forma de razão. Pelas respostas do grupo G3 podemos observar que conseguiram exemplificar
corretamente e consideramos válidas tanto as respostas de razões inversas quanto as não
inversas. Nas respostas desses estudantes identificamos que foram atentos para a questão do
produto das razões inversas ser igual a 1, realizando a divisão das razões. Consideraríamos
como correto e válido também mesmo que os alunos não colocassem a resposta ao lado das
razões inversas por eles elaboradas o resultado igual a 1, pois entenderíamos que apenas colocar
exemplos de razões inversas corretamente, já nos faria pensar que o objetivo da atividade teria
sido atendido.
No quadro 17 a seguir apresentaremos as respostas do grupo G4 para esta atividade
referente a questão de razão inversa e não inversa, o grupo estava composto por cinco estudantes
nesta atividade.
172
Quadro 17 – Exemplo de razão inversa e Razão não inversa grupo G4
Grupo Estudantes Exemplos de Razões Inversas Validade
4
E16, E17,
E18, E19 e
E20
Válida
Transcrição
3/7 7/3
5/2 2/5
6/4 4/6
Exemplos de Razões Não Inversas Validade
Válida Transcrição
4/9 6/4
4/2 2/6
3/2 4/6
Fonte: Atividade 02 d grupo G4
O grupo G4 teve uma boa participação no decorrer de toda a atividade, responderam o
quadro dado na atividade sem grandes dificuldades e nas suas respostas consideramos válidas
tanto as referentes aos exemplos de razões inversas quanto para as razões não inversas. Este
também foi um grupo atento para o produto das razões inversas resultar igual a 1. Os alunos
demonstraram alegria ao corrigir suas respostas e percebendo que haviam elaborado
corretamente.
Após o quadro em que os alunos preencheram da atividade referente ao produto das
razões, apresentávamos um quadro informativo a respeito das razões inversas, que segue
abaixo:
Quando o produto dos termos de duas razões é igual a 1 dizemos que as razões são inversas.
De acordo com as respostas dos quatro grupos apresentadas acima observamos que os
alunos conseguiram exemplificar corretamente as duas situações pedidas em relação aos três
exemplos de razões não inversas e de razões inversas, e avaliaram como esta sendo uma
atividade de fácil compreensão.
173
4.3. TERCEIRA SESSÃO
No dia 16 de Novembro de 2017, desenvolvemos com os alunos a atividade 03 referente
às razões equivalentes. Como haviam nos cedido os dois primeiros horários das aulas de
matemáticas dos dias de segunda-feira, terça-feira e quinta-feira, iniciávamos nossas atividades
por volta de 7h35min/7h40min da manhã. Neste dia, havia na turma 21 estudantes, os quais se
organizaram novamente em grupos e formaram os mesmos grupos que já haviam sido formados
na aula anterior, inserindo para esta atividade o estudante E21 no grupo G4, pois não estava nas
atividades anteriores em que foram formados os grupos.
Feita a organização dos grupos, distribuímos a folha de atividade e apresentei-lhes
dando as orientações necessárias, os grupos estavam atentos nas informações e pareciam
interessados em realizar a atividade. Os grupos G2, G3 e G4 demonstravam interesse para o
desenvolvimento da atividade, chamavam para tirar dúvidas quanto algumas situações-
problemas propostas por falta de interpretação de texto. Já alguns membros do grupo G1
estavam em conversas paralelas não querendo contribuir muito, fomos até eles pedindo que
colaborassem com os outros colegas e tentassem resolver a atividade junto com sua equipe.
Para esta atividade foram colocadas 10 situações problemas, com três alternativas para
os alunos responder (a, b e c) em cada. No decorrer da atividade percebemos juntamente com
o professor de matemática da turma, que na maioria das aulas estava presente, que não daria
tempo dos alunos terminarem todas as 10 situações-problemas propostas, então deixamos que
a fizessem até o que conseguissem e na próxima aula continuaríamos. Ao acompanhar os grupos
percebemos que estavam com dificuldades quanto a interpretação do que as questões pediam,
mas quando pegávamos para ler para eles novamente as questões compreendiam melhor, e
também relembramos como simplificar uma razão, pois alguns grupos perguntaram o que era -
simplificar ao máximo?- um membro do grupo G3 falou que lembrava e ensinou aos demais
colegas.
Os grupos conseguiram responder apenas até a terceira situação-problema proposta na
atividade, eles estavam achando que a atividade estava difícil a parte em que teriam que
simplificar ao máximo. “Quando era apenas para dizer qual a razão que descrevia cada situação,
estava simples e fácil, mas simplificar não” foi uma das colocações pelos grupos. Fazendo a
intervenção com os alunos e auxiliando-os na simplificação, chegaram a resolver as três
primeiras situações ficando as demais para continuarmos na próxima aula.
Neste dia também fomos interrompidos para que uma professora desse alguns avisos
aos alunos referente as provas e aos jogos internos da escola, por este motivo também perdemos
174
alguns minutos, a turma dispersou um pouco e perdeu a concentração na atividade para tratar
com os colegas do assunto dos jogos. No entanto a atividade não daria também para terminar
no mesmo dia, já que além das 10 situações problemas havia um quadro para que os alunos
preenchessem e sintetizassem melhor o objetivo da atividade.
Após o término da aula, conversamos com o professor da turma e ele aconselhou-nos
que reelaborássemos a atividade 03 no sentido de reduzir as situações propostas, se caso não
houvesse problema para a próxima aula, e as das demais atividades também, pois teríamos
pouco tempo pela frente e na semana seguinte seria iniciada a semana de provas, com isso seria
uma semana sem aula, como também estávamos próximos de acabar o ano letivo e poderia não
haver tempo necessário para realizar todas as atividades. Dessa forma, reelaboramos as
atividades futuras para que pudessem ser desenvolvidas de acordo com o tempo que teríamos
disponível levando em consideração o calendário escolar.
4.4 QUARTA SESSÃO
No dia 20/11/2017 continuamos a atividade 03 referente ao tópico de razões
equivalentes. Estavam presentes 19 alunos neste dia, eles estavam um pouco agitado devido
iniciar a semana de provas na escola, mas conseguimos organizá-los e deixa-los mais calmos
para desenvolver a atividade e eles serem liberados, pois havíamos concordado na aula anterior
que continuaríamos a atividade na segunda-feira para termina-la e em seguida eles seriam
liberados.
Com os grupos já formados e organizados, entregamos as fichas das atividades que eles
já haviam iniciado e entreguei outra adaptada, sendo que a modificação foi apenas de retirar as
quatro últimas questões e deixando somente as seis primeiras situações-problemas e logo em
seguida o quadro a ser preenchido. Como já haviam feito 3 questões da atividade na aula
anterior, para este dia restava responder apenas mais 3 situações-problemas, preencher o quadro
e escrever acerca da observação e conclusão sobre a atividade.
A cada grupo era entregue uma ficha para cada membro, ou para pelo menos 3 alunos
de cada grupo, pois percebemos na aula anterior que se entregássemos uma ficha por grupo, os
demais alunos dispersavam, apenas o que ficava com a ficha tentava fazer. Neste sentido, nas
próximas atividades continuei formando os grupos e entregando as fichas individuais ou 3 a 4
fichas por grupo, e orientei para que me entregasse apenas a ficha que representasse a
observação e conclusão do grupo todo, conforme entrasse no acordo quanto a resposta.
175
Durante o desenvolvimento da atividade percebemos que embora conversassem e
tivessem opiniões individuais a cerca da atividade, eles formulavam e entrevam num acordo,
pois ia até eles e percebíamos o envolvimento e respostas diferentes de cada integrante dos
grupos, então pediam auxílio para ajudá-los quanto a observação e conclusão representando o
grupo, considerando a opinião de todos nas respostas. Apresentamos a seguir o quadro 18 com
as observações e conclusão do grupo G1 e os comentários sobre as respostas desse grupo após
o quadro.
Quadro 18 – Razões equivalentes resposta do grupo G1
Grupos Estudantes Observações e Conclusões Validade
1
E1, E2,
E3, E4, E5
Observação:
Parcialmente
Válida
Conclusão:
Parcialmente
Válida
Transcrição
Observação: Eu observei que em todos os dias de
nossa vida agente usa a matemática
Conclusão: Tem coisas iguais e equivalentes
Fonte: Atividade 03 Grupo 01
De acordo com as respostas de cada grupo para a atividade sobre as razões equivalentes
percebemos que em geral os grupos tiveram boas observações e conclusão, sendo consideradas
algumas parcialmente válidas e outras válidas. O grupo E1, E2, E3 e E4 colocou uma
observação de maneira mais ampla, chamou atenção ao fato de que não necessariamente
escreveram algo que estivesse diretamente associado a equivalência de razão, mas acreditamos
que pelas diversas situações que empregava-se a ideia de equivalência eles compreenderam que
como escreveram acima na observação”... que em todos os dias de nossas vidas a gente usa a
matemática” o interessante que de alguma forma os alunos conseguiram colocar no papel a
importância e do quão presente está a matemática em nossa vida, e com isso podemos
possibilitar a esses alunos obter um interesse maior em aprendê-la, pois se torna mais prazeroso
aprender algo que faz sentido e tenha significado em nossa vida. Não foi o esperado de acordo
176
com o objetivo da atividade, mas consideramos que não deixa de está errado a observação que
obtiveram.
Para a elaboração da conclusão o grupo G1 por meio de auxílio que o grupo solicitava
a instrução dada foi a de voltarem mais a atenção para o quadro e observarem a respeito das
razões que estavam sendo trabalhadas naquelas situações e atentassem as perguntas que eram
feitas. Após verificar que algumas razões haviam sido simplificadas de maneira equivocada,
com erros de cálculos, o grupo conseguiu elaborar uma conclusão mais voltada para o objetivo
da atividade, como visto no quadro acima e considerada parcialmente válida.
Nesse grupo os alunos foram bem questionadores quanto a encontrar razões iguais ou
razões equivalentes, pois eles acreditavam que somente havia igualdade se fosse exatamente o
mesmo número, como exemplo 2 é igual 2, e não ter compreendido ainda que posso dizer que
2 = 4/2 como exemplo a razão ½ = ½ e ½ e 2/4. Pedimos para que utilizassem o celular para
verificarem que quando dividem encontravam o mesmo resultado na forma decimal, e que
assim as razões são equivalentes ainda que inicialmente ao olharmos para as razões não
observamos de imediato, pois é preciso simplificar as razões.
No quadro 19 a seguir apresentaremos a observação e conclusão do grupo G2
representado pelos estudantes E6, E7, E8 e E9 nesta atividade. Dividimos o quadro de forma a
apresentar duas observações e duas conclusões, pois o estudante E9 integrante do grupo na
maioria das atividades gostava de apresentar a sua resposta individual, ainda que ajudasse os
seus colegas no desenvolvimento da atividade, explicando como preencher o quadro ou realizar
o cálculo referente a alguma multiplicação, quando precisava que escrevesse para colocar o que
compreenderam em relação a atividade, ou seja, a sua observação e conclusão, o estudante E9
apresentava a sua resposta individual, o que na maioria das vezes conseguia terminar e entregar
primeiro, até mesmo que os demais grupos.
O grupo G2 era formado por alunos calmos, embora um deles estivesse sempre
querendo andar pela sala ou pela escola. O grupo nesta atividade estava participativo e
solicitava para tirar dúvidas no decorrer de toda a atividade. A seguir apresentamos as respostas
dos estudantes no quadro 19.
177
Quadro 19 – Razões equivalentes resposta grupo G2
Grupo Estudantes Observações e Conclusões Validade
2
E7, E8,
E10
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: que algumas razões são iguais
Conclusão: elas são iguais
E9
Validade
Transcrição
Observação: Eu vou dividindo ao máximo as
razões, e eu achei as razões equivalentes.
Conclusão: se eu pegar e multiplicar uma ou
mais razões posso obter correta.
Observação: Válida
Conclusão: Parcialmente
válida
Fonte: Atividade 03 grupo G2
De acordo com as observações e conclusões do grupo G2 verificamos que o aluno A9
foi bem detalhado na observação, e na conclusão utilizou o termo “correto” para dizer que
encontrou a razão igual a aquela que estavam comparando, uma razão equivalente neste sentido,
então utilizou o termo “correto” para designar uma razão igual aquela estava sendo comparado
anteriormente, nesta atividade ele não conseguiu acabar antes do previsto para aula, e sempre
que um de seus colegas apresentava alguma dúvida quando ele não conseguia explicar,
solicitava ajuda. O grupo apresentou dificuldade em preencher o quadro ao final das questões,
mas conseguiram identificar e após simplificar chegar ao resultado esperado. De acordo com a
observação e conclusão colocada pelo grupo G2 no quadro acima consideramos parcialmente
válida as respostas.
178
A seguir no quadro 20 apresentamos as respostas referentes a observação e conclusão
do grupo G3.
Quadro 20 – Razões equivalentes resposta grupo G3
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
3
E11, E12,
E13, E14,
E15
Observação:
Válida
Conclusão:
Válida
Transcrição
Observação: Eu encontrei razão igual, eu
não encontrei razão igual.
Conclusão: Tem razão igual e tem as razão
equivalente, essa matéria é bem difícil.
Fonte: Atividade 03 grupo 03
O grupo G3 estava disperso durante a atividade e com pouca motivação para responder
as questões, fomos até o grupo para pedir que tentassem e caso sentissem dificuldade pedissem
ajuda. Não sentiram dificuldade na resolução das situações propostas, o grupo G3 assim como
os demais conseguiu representar as razões dado as situações sem mais dificuldade, no decorrer
da atividade a parte que mais fui solicitada pelos grupos era em preencher o quadro.
Após preencher o quadro o grupo solicitou ajuda na elaboração da observação e
conclusão, e eu auxiliava de forma a questioná-los para que a partir das respostas deles
pudessem formular suas observações e conclusão e assim conseguiam colocar no papel alguma
ideia. Acreditamos que nesse caso o grupo observou que ao simplificar ao máximo as razões
obtiveram razões iguais e não iguais, o que está correto de acordo com a atividade e em sua
conclusão considerou que tem razão igual e razão equivalente e que a matéria é bem difícil,
portanto, consideramos que a conclusão foi válida também já que conseguiram identificar
razões iguais após simplificarem e durante o acompanhamento do grupo, disseram que a matéria
era difícil devido ter que simplificar as razões.
179
No quadro 21 apresentamos as respostas referente a observação e conclusão do 4º grupo
para a atividade 03.
Quadro 21 – Razões equivalentes resposta grupo G4
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
4
E16, E17,
E18,
E19,E20
Observação:
Válida
Conclusão:
Válida
Transcrição
Observação: Algumas razões são iguais e outras
não.
Conclusão: Os valores podem ser diferentes mais
quando simplificamos ao máximo as razões são
iguais.
Fonte: Atividade 03 grupo 04
O Grupo G4 estava bem participativos e motivados na resolução das questões propostas,
tivemos pouco auxílio neste grupo, pois havia 2 integrantes do grupo que entenderam a ideia
com facilidade e repassou aos demais colegas, observamos quando apenas chamavam para
perguntar se estava correto o que estavam fazendo. Quanto suas respostas, percebemos que
foram bem detalhados na observação, e na conclusão escreveram exatamente o que vinham
realizando na atividade, referente as simplificações dos termos e encontrar razões iguais,
consideramos válidas tanto a observação quanto a conclusão deste grupo de estudantes.
A tabela 42 abaixo identifica o quantitativo de conclusões válidas, bem como o
percentual de acordo com as respostas que os alunos obtiveram para a atividade 03.
180
Tabela 42 – Tipos de Conclusões da atividade 03
Tipos de Conclusão Estudantes (%)
Válida E11, E12, E13, E14, E16,
E17, E18, E19, E20
50%
Parcialmente Válida E1, E2, E3, E4, E5, E7, E8,
E9,E10
50%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Os alunos terminaram a atividade por volta de 9h da manhã, e brevemente foi pedida a
atenção dos grupos e formalizamos com os alunos o objetivo da atividade acerca das razões
equivalentes, considerando que os alunos colocaram boas observações e conclusões não
tivemos tanta dificuldade para que eles pudessem compreender a formalização, e apresentaram
ter entendido o conceito de razões equivalentes. Neste dia, não tivemos tempo para a resolução
de exercícios, pois os alunos acabaram quase 9h da manhã a atividade, no horário que acabava
nosso horário com a turma.
4.5 QUINTA SESSÃO
No dia 27/11/2017 ocorreu nossa quinta sessão com 16 alunos presentes. A atividade
que trabalhamos foi a atividade 04 que objetivava identificar a propriedade que resultava na
razão equivalente. Neste dia, os alunos quando entramos na sala já haviam formado os grupos,
pois o professor que sempre acompanhava as aulas organizou os que já estavam presentes,
chegamos à sala de aula por volta de 7h35min e iniciamos nossa atividade. Entreguei a cada
grupo 3 fichas de atividades e orientava que apenas uma ficha seria entregue para representar o
grupo. Posteriormente, li para a turma os procedimentos para o desenvolvimento da atividade
presente na ficha e que qualquer dúvida poderiam perguntar que iria acompanhá-los nos grupos.
Os quatro grupos formados mostraram se atentos às orientações, mas durante o
desenvolvimento da atividade alguns alunos estavam dispersos principalmente os alunos do
grupo G1, mas ainda assim conseguiram finalizar a atividade como os demais grupos colocando
suas observações da atividade. Os outros alunos de outros grupos participaram da atividade e
mostraram se mais motivados. Nesta atividade os alunos precisavam preencher o quadro dado
na atividade e perceber a regularidade que estava acontecendo.
181
Ao apresentarmos as respostas dos grupos, vamos perceber que nesta atividade nem
todos conseguiram concluir a atividade completa, conseguindo elaborar uma observação e
conclusão, no caso o grupo G1 não chegou a responder a conclusão, os demais grupos
finalizaram com a observação e conclusão. No entanto o quadro dado na atividade todos
conseguiu preencher até o final, mas as dúvidas quanto ao que escrever sobre a atividade na
observação e conclusão em todos os grupos houve dificuldades.
A seguir o quadro 22 apresenta a observação e conclusão do grupo 01 referente a
atividade 04.
Quadro 22 – Resposta atividade 04 grupo 01
Grupo
Estudantes
Observação
Validade
1
E1, E2, E3,
E5
Observação:
Parcialmente
Válida
Transcrição
Observação: Quando as razões são equivalentes
nós podemos simplificar.
Fonte: Atividade 04 grupo G1
O grupo G1 elaborou uma observação que consideramos parcialmente válida, pois a
resposta destes estudantes não ficou totalmente completa. Eles observaram que as razões
equivalentes podem ser simplificadas, o que está correto, podemos simplifica-las, mas também
podemos simplificar outras razões, não apenas razões equivalentes. Faltou ao grupo atentar para
os valores atribuídos a K e W, e perceber o que ocorria quando a estes eram atribuídos valores
iguais ou diferentes, mas vimos que o grupo participou no desenvolvimento da atividade e
conseguiu preencher todo o quadro apresentado para esta atividade.
No início da atividade este grupo não estava tanto interessado em desenvolver a
atividade, mas depois conseguiram preencher todo o quadro de acordo com os comandos nele
contido. Nesta atividade os grupos que demonstraram mais empenho e motivação foram do
grupo G3 e G4 e o aluno E9 do grupo G2 que demonstrava bastante interesse na resolução das
182
atividades, exigindo sempre silêncio para os demais colegas quando a turma estava agitada, ou
pedia que eu falasse com a turma para que não atrapalhasse quem queria estudar.
Os grupos G3 e G4, assim como o estudante E9 também conseguiram preencher todo o
quadro proposto com os dados contidos neles a serem preenchidos. As dúvidas dos alunos
estavam em saber se era para multiplicar os valores ou apenas deixar a representação da
multiplicação como mostrava no quadro, auxiliei esses grupos e como estavam com
dificuldades na operação de multiplicação, revisei brevemente com esses grupos a operação e
continuaram a preencher o quadro e caso sentissem dúvida das respostas que confirmassem
com o auxílio da calculadora.
O quadro 23 apresenta as respostas quando a observação e conclusão do grupo G2 em
relação a atividade 04.
Quadro 23 – Resposta atividade 04 grupo 02
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
2
E7, E9, E10
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
Válida
Transcrição
Observação: As razões podem ser equivalentes
sim ou não.
Conclusão: As razões podem ser iguais sim ou
não.
Fonte: Atividade 04 grupo G2
Os grupos G2 e G3 demoraram um pouco para preencher o quadro, apresentavam
desperdício de tempo com conversas paralelas, apenas um ou outro de cada grupo estava
tentando resolver a atividade. Após ver o desinteresse de alguns do grupo G2 e G3 solicitei que
ajudassem os colegas a preencher o quadro e observando as perguntas que eram feitas em cada
coluna, pois isso depois os ajudaria a elaborar a observação e conclusão da atividade, os
estudantes do grupo G3 possuíam o método de ir dividindo as tarefas, dessa forma um dos
183
integrantes resolvia as perguntas da primeira coluna, outro da segunda coluna e assim
colaborando com seu grupo conseguiram concluir.
O grupo G2 nas suas observações e conclusão não atentou para a questão do valor de k
e w quando é o mesmo valor em resultar em razões equivalentes, mas conseguiram perceber
que algumas razões eram equivalentes e outras não, como escreveram em sua observação e
consideramos válida. Na conclusão do grupo G2 consideramos parcialmente válida, devido os
estudantes não abordar quanto ao que resultava as razões poder ser iguais ou não, que era o
objetivo da nossa atividade 04. Consideramos que o grupo foi participativo, embora no início
estivessem desinteressados, conseguiram preencher todo o quadro proposto e também a colocar
uma observação e conclusão para a atividade. A seguir apresentamos o quadro 24 com as
respostas do grupo 03 para a atividade 04.
Quadro 24 – Resposta atividade 04 grupo 03
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
3
E11, E12,
E13, E15
Observação:
Válida
Conclusão:
Válida
Transcrição
Observação: percebemos que podemos
encontrar razões equivalentes sim ou não.
Conclusão: quando se multiplica o valor de
cima e o valor de baixo pelo mesmo valor são
equivalentes.
Fonte: Atividade 04 grupo 03
Nas respostas dos grupos observamos que o grupo G3 conseguiu elaborar uma boa
resposta tanto para o que observaram quanto para a conclusão, embora tenha necessitado e
solicitado a orientação para o registro das informações. E a forma de ajuda-los na elaboração
das respostas se tratava de olharmos para o quadro, observar as perguntas de cada coluna e fazer
refletirem e atentarem para o que acontecia em cada linha, de acordo com as perguntas do
184
quadro, as mesmas perguntas eram refeitas aos alunos para que pudessem falar ou nos mostrar
algum indício que os levariam a escrever as suas observações e conclusões, dessa forma juntos
conseguiram formular. Consideramos válida a resposta, já que o nosso objetivo com a atividade
era de que os alunos enxergassem que quando multiplicamos o antecedente e consequente de
uma razão por um mesmo valor, ou dividimos por um mesmo valor, encontramos razões
equivalentes.
Ao acompanhar o grupo G3 durante a atividade os estudantes que inicialmente estavam
dispersos, depois representaram um dos grupos que mostraram mais empenho para preencher
o quadro, e os questionamentos a respeito da atividade era referente aos produtos das
multiplicações se da forma que estavam resolvendo estava correto, bem como as simplificações.
A seguir no quadro 25 apresentamos as respostas do grupo 04 em relação a atividade 04.
Quadro 25 – Resposta atividade 04 grupo 04
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
4
E16, E17,
E18, E19,
E21
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
Válida
Transcrição
Observação: percebemos que quando k e w são
iguais as razões são iguais.
Conclusão: quando simplificamos ao máximo
conseguimos uma razão completa.
Fonte: Atividade 04 grupo 04
De acordo com as respostas do grupo G4 consideramos válidas as observações e
conclusão, visto que os alunos pontuaram a questão do valor ser igual para poder obter razões
iguais ou equivalentes. Ao final da atividade, formalizamos o objetivo da atividade com os
alunos e ainda acrescentamos que assim como podemos multiplicar por um mesmo valor tanto
o antecedente quanto o consequente, podemos dividir também por um mesmo valor a razão e
assim obter razões equivalentes.
185
Uma das dificuldades da atividade encontradas pelos alunos foi referente a algumas
situações, por exemplo, a razão dada inicialmente não estava na sua forma simplificada ao
máximo, na outra coluna eram dados os valores de K e W iguais para os alunos multiplicar e
na coluna seguinte para simplificar ao máximo, então após simplificarem ao máximo não
encontravam uma razão igual a dada inicialmente, apesar de que eram equivalentes. Então
expliquei em cada grupo esta questão tirando as dúvidas e contornando a situação de maneira a
sempre que puder simplificar todas as duas razões ao máximo para poder perceber a
equivalência ou dividir os valores e verificar se encontram a mesma resposta.
Durante o desenvolvimento das atividades em geral os estudantes do grupo G4
apresentavam bons questionamentos e solicitavam para tirar dúvidas que surgiam, sejam para
preencher o quadro quanto pedir uma orientação na hora de escrever as suas observações e
conclusões.
Quanto aos tipos de conclusão dos estudantes para a atividade 04 apresentamos na tabela
43 os percentuais encontrados nesta atividade.
Tabela 43 – Tipos de Conclusão da atividade 04
Tipos de Conclusão Estudantes (%)
Válida E11, E12, E13, E15 25%
Parcialmente Válida E7, E9, E10, E16, E17,
E18, E19, E21
50%
Inválida - 0%
Não registrou E1, E2, E3, E5 25%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Em relação a atividade 04 percebemos que inicialmente alguns estudantes estavam
desestimulados e sem interesse de preencher o quadro, no decorrer da atividade parecia
cansativo ter que realizar todos os cálculos fazendo multiplicações e divisões sucessivas e
apresentavam não ter motivação, ou prender sua atenção na atividade, embora depois de
conversar com os grupos conseguiram preencher em seus ritmos o quadro proposto. Outros
estudantes empenhavam em realizar os cálculos e pedia que os colegas também fizessem sua
parte para ajudar o grupo a terminar de preencher o quadro todo, o que todos os grupos
conseguiram terminar.
186
Ao final quando todos os grupos terminaram de preencher o quadro e escreverem suas
observações e conclusões da atividade, exceto um grupo G1 que fez até a observação, fizemos
a formalização da propriedade e para os alunos parecia ter ficado mais simples compreender
quando utilizamos exemplos reais empregando esta propriedade, dizendo que “assim é mais
fácil entender”. Não tivemos tempo de exercitar no mesmo dia os exercícios propostos para esta
atividade, mas nos propusemos que na aula após as razões especiais que seria dada na aula
seguinte resolveríamos uma lista de exercícios sobre questões de razões com os tópicos que já
haviam sido trabalhados nas aulas anteriores, visto que algumas delas também não nos restavam
tempo para exercitar após a formalização com os estudantes.
No encontro seguinte realizamos a sexta sessão para o ensino de razão especiais por
meio de uma aula expositiva.
4.6 SEXTA SESSÃO
No dia 28 de Novembro de 2017 tivemos nosso sexto encontro com os 16 estudantes
presentes para realizar a nossa aula expositiva a respeito das razões especiais. Como já dito
anteriormente, no nosso terceiro encontro fui chamada pelo professor de matemática da turma
a respeito do calendário escolar e de quantas aulas ainda teríamos disponíveis antes de acabar
o ano letivo. A partir disso, tomamos a decisão de realizar uma aula expositiva para serem
trabalhadas as 5 (cinco) atividades referentes as razões especiais como havíamos planejado,
visto que não teríamos tempo para todas as atividades antes programadas.
Neste dia iniciamos nossa aula às 7h35 e colocamos no quadro os seguintes tópicos de
razões especiais que trabalharíamos em nossa aula: Escalas, Velocidade Média, Densidade
demográfica, Porcentagem e Densidade física. Inicialmente, antes de falar a respeito de cada
uma, perguntei aos alunos se já tinham ouvido falar em “Razões especiais” e eles responderam
que não. E em seguida, perguntei se saberia então dizer o que era uma razão, alguns alunos
responderam exemplificando e não dando o conceito, mas consideramos correta a colocação do
aluno e apenas ressaltamos quanto a ideia de razão. Feito isso, explanamos de maneira geral as
razões especiais e posteriormente trabalhamos cada uma, começando pelas Escalas, depois
Velocidade Média, Densidade demográfica, porcentagem e por fim densidade.
A aula foi desenvolvida com a explicação de cada razão, seguida de um exemplo e era
pedido aos alunos que tentassem o exercício referente a razão especial que acabávamos de
explicar. Ou seja, explicava Escalas aos alunos, fazia um exemplo e logo em seguida íamos
187
para a folha com a lista de exercício que havia sido entregue no início da aula para resolver as
questões de Escalas.
Nas questões de escalas os alunos sentiram dificuldades em resolver, mas
compreendiam a ideia e até nos apresentava exemplo, lembrando-se de maquetes de escola que
são feitas em escalas reduzidas, conseguiam fazer o cálculo mental quando aproveitamos para
associar a ideia deles da maquete e perguntamos a medida da largura da porta da sala numa
maquete conhecendo a medida real e a escala que a maquete estava sendo representada.
Entretanto, na hora de resolver os exercícios da lista não conseguiam realizar sozinhos, mas
resolvíamos com eles no quadro e pareciam compreender.
Durante a explicação das razões especiais, os alunos estavam participativos e
respondendo as perguntas que eu fazia na hora de exemplificar cada uma delas. As razões que
sentiram mais confiança e na hora de resolver os exercícios não sentiram tanta dificuldade foi
referente à densidade demográfica, velocidade média e porcentagem. Já as questões de Escalas
e Densidade de um objeto, demonstraram compreender apenas durante a explicação quando
íamos resolver os exercícios, não conseguiam resolver sem meu auxílio, mas não que fosse
ruim, pois ao menos tentavam resolver, mas as vezes não conseguiam interpretar o comando
das questões e passar para o papel.
Terminamos nossa aula às 9h da manhã e conseguimos trabalhar todas as razões
propostas para esta aula, alguns alunos participavam durante a explicação outros estavam
conversando, e eu pedia a sua atenção ou que não atrapalhasse a aula. Acreditamos ter
conseguido ver as cinco razões especiais de maneira participativa dos alunos, embora não
seguisse o modelo de nossas atividades visando ao aluno construir ou descobrir por si próprio
ou com ajuda dos colegas quando em grupo as regularidades e conceitos matemáticos.
4.7 SÉTIMA SESSÃO
No dia 30/11/2017 realizamos nosso sétimo encontro com a turma para trabalharmos
uma lista de exercícios com o objetivo de exercitar os assuntos de ideia de razão, razões inversas
e razões equivalentes. Já que nas aulas anteriores em que foram abordados esses assuntos
tivemos pouco tempo para exercitar ou não exercitávamos devido não haver tempo. A lista de
exercício foi composta de questões no modelo de provas do ENEM e também retiradas de livros
e adaptadas como mostra no apêndice (D). Nesta aula havia 20 estudantes na turma aos quais
foram entregue a cada um a folha com a lista de exercício para ser resolvida.
188
Neste dia, chegamos à turma às 7h35min e explicamos aos estudantes que nossa aula
seria para resolução de exercícios e antes de concluir a fala um dos alunos questionou, “mas já
acabaram as atividades? Era até legal” já outra aluna continuou, “ainda bem que hoje não tem
que fazer observação e conclusão, é muito difícil”, respondi ao primeiro, bem como a turma em
geral, que não acabaram as atividades, e que naquele dia iriamos dedicar a nossa aula para a
resolução de exercícios referentes aos assuntos que já tínhamos trabalhado nas atividades
anteriores. Quanto a segunda aluna, dissemos-lhes que a questão da observação e conclusão é
importante para que melhorem seu poder de construção de pensamento, observar regularidades,
organização de ideias e escrita. E que também fazia parte da pesquisa o registro deles.
Neste dia estavam presentes 20 alunos para os quais foram entregue as listas de exercício
e em seguida foi dado um tempo de 10 min para que pudessem começar a resolução. As
questões eram contextualizadas e com isso alguns alunos tiveram dificuldades para resolvê-las
sozinhos. Após o tempo dado aos alunos para que iniciassem a resolução, percebi que não
avançaram e poucos conseguiram sair da primeira questão. Fui então ao quadro para resolver
com toda a turma e pedi que acompanhassem a resolução, e assim alguns o fizeram,
respondendo as perguntas feitas e participando da resolução.
Durante a resolução percebemos que foi um momento bastante esclarecedor quanto a
representação da razão para alguns alunos que ainda tinham dúvida de qual valor colocar no
antecedente e no consequente de uma razão. Antes de resolver a questão referente as razões
inversas perguntei aos alunos se lembravam, e dois dos alunos responderam que sim e ainda
deram exemplos. Voltei para a turma a pergunta, e dei um tempo que colocassem cada um na
sua folha os dois exemplos de razões inversas como pedia no comando da questão, todos
conseguiram sem dificuldades.
As maiores dificuldades dos alunos era interpretação da situação-problemas que
envolvia questões mais elaboradas e com um grau maior de dificuldade, mas depois que
apresentávamos uma situação semelhante e resolvia com eles, conseguiam compreender o que
a questão pedia e resolviam comigo no quadro. A aula acabou às 9h00min e conseguimos
resolver todas as questões propostas da lista de exercício. Os alunos foram participativos e
interagiram durante a resolução, respondendo e tirando dúvidas.
4.8 OITAVA SESSÃO
No dia 04/12/2017 em nosso oitavo encontro realizamos a atividade 05 da nossa
sequência de atividades para iniciarmos a ideia de proporção com os alunos. Antes de
189
iniciarmos a atividade, entregamos aos alunos uma folha com o resumo do que havíamos
trabalhado nas aulas anteriores a respeito de razão, pois os alunos faziam as atividades e me
entregavam e poucos registravam em seu próprio caderno a formalização, até mesmo pelo
tempo. Mas depois que iniciamos as atividades referentes às proporções pedimos que anotassem
em seus cadernos a formalização.
Pedimos aos alunos que se organizassem novamente em grupos para iniciarmos a nossa
atividade, entregamos a cada grupo as fichas de atividades e pedimos que acompanhassem as
orientações para o desenvolvimento desta. Estavam presentes 17 estudantes nesta atividade,
formaram os mesmos grupos das atividades anteriores Grupo G1, G2, G3 e G4. Iniciaram a
atividade às 7h40min e acabaram as 9h05min. Nesta atividade pedimos que ao final colocassem
a observação da atividade, conforme segue no quadro abaixo resposta do grupo G1:
Quadro 26 – Resposta Grupo G1 atividade Proporção
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E4
Observação:
Válida
Transcrição
Observei razões equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G1
Durante o acompanhamento da atividade com os alunos em cada grupo, observamos
algumas falas e observações que serão descritas. No grupo G1 o qual era formado por quatro
alunas, nesta atividade demonstraram ter entendido a proposta e estavam bastante atentas as
orientações, tanto que umas delas, falou “essa atividade parece que vai ser fácil, por que fala de
receitas” apresentaram gostar do tema e estar bem familiarizadas e motivadas para o
desenvolvimento da atividade.
No decorrer da atividade o grupo G1 solicitou que fôssemos auxiliá-las, pois as dúvidas
do grupo foram devidas não terem prestado atenção quanto ao rendimento do bolo da receita
dada, e assim não conseguiam associar e estabelecer a relação para o dobro de pessoas. Após
chamar a atenção dos estudantes do grupo G1 para a questão do rendimento da receita dada,
conseguiram preencher o quadro estabelecendo as proporções corretamente. Percebemos que
esta dúvida foi recorrente nos demais grupo também. Outra dúvida frequente tanto do grupo G1
quanto aos demais grupos foram referentes ao último quadro quando preenchiam com as razões,
e não interpretavam de imediato que estas razões eram equivalentes.
190
Aos estudantes nesta atividade também foi pedido que utilizassem a calculadora para
que verificassem o resultado das razões ou poderiam simplificar ao máximo e verificar se
representavam razões equivalentes, os alunos conseguiram chegar no resultado ou observação
esperada para a atividade. De acordo com a observação do grupo G1 consideramos a resposta
válida como mostrado no quadro acima, já que o objetivo de nossa atividade era introduzir a
ideia de proporção relacionada a equivalência de razões, e o grupo chegou a resposta esperada.
O quadro 27 a seguir apresenta a resposta do grupo G2 referente a atividade das
proporções.
Quadro 27 – Resposta grupo G2 atividade Proporção
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6, E7, E8,
E9, E10
Observação:
Válida Transcrição
Eu observei que as questões de ingredientes
são razões equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G2
O grupo G2 era formado por quatro alunos, dos quais um deles tinha baixa visão, e dessa
forma atentava na hora das orientações para que fossem na frente dele para que pudessem fazer
a leitura labial. Esse grupo também era participativo, demonstravam interesse e durante esta
atividade as dúvidas foram no segundo quadro para preencher relacionado as razões referentes
as quantidades de ingredientes para os bolos. O aluno do grupo que mais solicitava para
responder foi o estudante E10, um dos alunos que tinha alguma deficiência, estava sempre
participativo, com perguntas e respondendo as atividades. O estudante E9 que participava desse
grupo gostava de entregar sua ficha individual, mas também ajudava seus colegas do grupo no
desenvolvimento e na elaboração para a observação e conclusão da atividade.
Em relação a observação do grupo G2 em que escreveram: “Eu observei que as questões
de ingredientes são razões equivalentes”, consideramos uma observação válida, pois está
correta de acordo com a atividade e com o que esperávamos. Apesar de que os alunos ao
preencherem o último quadro não tenham de imediato percebido que as razões eram
equivalentes, foi pedido aos alunos que observassem se aquelas razões os fariam lembrar
algumas das nossas aulas anteriores, se seriam razões inversas ou razões equivalentes, o que
eles conseguiam observar diante o quadro preenchido por eles, ou mesmo durante toda a
atividade, o que conseguiam descrever para assim elaborar a sua observação.
191
Dessa forma o grupo de estudante, voltou-se para o quadro e conseguiram perceber que
as razões eram equivalentes, conseguindo obter a observação adequada para a atividade. O
quadro 28 apresenta a resposta elaborada pelo grupo G3 para esta atividade referente a
proporção.
Quadro 28 – Resposta grupo G3 atividade proporção
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E12,
E13
Observação:
Válida Transcrição
Eu observei que as razões no quadro acima
são equivalentes Fonte: Atividade 05 grupo G3
O grupo G3 composto por quatro estudantes estavam atentos às orientações e sentiram
poucas dificuldades, apesar de uma das alunas, a estudante E11 que fazia parte desse grupo em
quase todas as atividades dizia “A parte da observação e conclusão é mais difícil”, no entanto
no desenvolvimento da atividade compreendia a ideia rápida e ajudava seus colegas,
percebíamos que quando ia até esse grupo, essa aluna dizia que conseguia fazer a atividade,
mas quando chegava na hora de escrever não conseguia. Então, auxiliava sempre perguntando
a respeito do que ela havia feito na atividade, assim como para os demais do grupo, o que
conseguiam perceber ou identificar acontecendo no decorrer de toda a atividade, e as
perguntavam facilitavam para eles na elaboração das respostas.
Quanto à observação do grupo G3 consideramos a resposta válida, visto que os alunos
conseguiram identificar as razões equivalentes, quando foi dito que poderiam utilizar a
calculadora do celular ou simplificar ao máximo as razões, estes optaram pelo auxílio da
calculadora e concluindo a atividade conforme o esperado pelos alunos. A seguir o quadro 29
apresenta a resposta do grupo G4.
Quadro 29 – Resposta do Grupo G4 atividade Proporção
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E18,
E19, E20,
E21
Observação:
Válida
Transcrição
Ao dobrar e triplicar os números de
ingredientes mudam
Fonte: Atividade 05 grupo G4
192
O grupo G4 formado por quatro alunos seguiram corretamente as instruções previstas
no roteiro como também as orientações dadas antes da atividade com facilidade, pareciam
motivados devido ao empenho para resolver as situações propostas. Uma das dificuldades
apresentadas por esse grupo assim como os outros apresentavam, era quanto a elaboração da
resposta para a observação da atividade, nessa parte necessitou e solicitou orientação para o
registro das informações produzidas, e como nos outros grupos, o que fazia nesse momento era
voltar a eles perguntas para que os fizessem pensar sobre a atividade, e observassem o que
estavam desenvolvendo.
Um dos alunos desse grupo, o aluno A16 perguntou: “Então os ingredientes aumentam
quando aumenta os convidados?” E respondemos que poderia ser uma observação correta, se
estiverem se referindo ao primeiro quadro que também estava correto, mas que também
poderiam observar as razões do último quadro. O que percebia neste grupo que eles gostavam
de formar os registros das atividades utilizando um pouco da ideia de cada integrante e ao final
os alunos entregou a observação como colocada no quadro acima, considerada válida, pois os
alunos voltaram mais a observação para o primeiro quadro dessa atividade, a qual de fato mostra
essa relação observada pelo grupo, que os ingredientes mudam conforme o número de
convidados. A tabela seguir apresenta os tipos de observação da atividade.
Tabela 44 – Tipos de Observação da atividade 05
Tipos de observação Grupos (%)
Válida G1, G2, G3, G4 100%
Parcialmente Válida - 0%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para finalizar a atividade formalizamos o conceito de uma proporção com os alunos no
quadro de acordo com as observações encontradas em cada grupo e chegamos a seguinte
conclusão:
193
Uma Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões.
Consideramos que o objetivo da atividade foi alcançado, e que os alunos chegaram às
observações esperada para a atividade de modo a facilitar a compreensão do conceito visto que
apenas precisávamos institucionalizar uma ideia que eles já construíram no decorrer da
atividade.
4.9 NONA SESSÃO
A nona sessão de ensino ocorreu em 07/12/17, na qual aplicamos a atividade 06 que
objetivou descobrir a propriedade fundamental das proporções. Estavam presentes na sala 21
estudantes. Os grupos que já haviam sido formados desde as atividades anteriores continuaram
e apenas alguns estudantes mudaram de grupo. Neste dia os grupos ficaram assim divididos, o
grupo G1 com 6 estudantes, pois um integrante do grupo G3 ficou nesse grupo nesse dia, G2
com 5 estudantes, G3 com 4 estudantes e G4 com 6 estudantes.
Nesta atividade os alunos tiveram tempo para socializar as suas observações com a
turma, como alguns grupos não quiseram colocar suas conclusões no quadro os demais grupos
optaram para não colocar também e ficou acordado que colocariam apenas a observação. De
acordo com o quadro 30 e com a figura 06 podemos observar que os estudantes E1, E2, E3, E4
e E5 não elaboraram uma observação e conclusão válida para a atividade embora na hora da
socialização a estudante E5 representante do grupo conseguiu explicar corretamente, apenas
ficou confusa na hora de organizar a ideia no papel e posteriormente no quadro.
194
Quadro 30 – Resposta grupo G1 atividade Propriedade Fundamental das Proporções
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E4, E5, E13
Observação:
Parcialmente
válida
Conclusão:
Inválida
Transcrição
Observação: Quando as razões são iguais são
meios, e a outros extremos
Conclusão: Descobrir a propriedade
fundamental das proporções Fonte: Atividade 06 grupo G1
Figura 06 – Socialização da resposta do grupo G1
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Este grupo formado pela representante E5 a qual foi ao quadro socializar durante a
atividade estava inicialmente dispersos com conversas paralelas a respeito dos jogos que
iniciariam na semana seguinte. Precisei chamar a atenção algumas vezes, mas conseguiram
terminar a atividade, dividindo as tarefas entre os integrantes do grupo. Observamos que nesta
atividade assim como vinha acontecendo em outras anteriores, uma das dificuldades dos alunos
estava em relação à tabuada, multiplicação ou divisão. Após terem resolvidos esses pré-
requisitos conseguimos realizar a atividade sem grandes dificuldades. O quadro 31 a seguir
apresenta as respostas do grupo G2 referente a esta atividade.
195
Quadro 31–Resposta do grupo G2 atividade Propriedade Fundamental das Proporções
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
2
E6, E7, E8,
E10
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Quando as razões são igual forma
uma proporção
Conclusão: em todos os produtos dos extremos
é igual ao produto dos meios
E9
Observação:
Válida
Conclusão:
Válida
Transcrição
Observação: Razões equivalentes são iguais
quando dão o mesmo resultado
Conclusão: Quando as razões não formam
uma proporção elas não são iguais. Fonte: Atividade 06 do grupo G2
O Grupo dos estudantes E6, E7, E8, E10 conseguiram obter uma observação válida, mas
consideramos a conclusão parcialmente válida, visto que em sua observação conseguiram
observar que quando temos razões iguais formam uma proporção, o que está correto. No
entanto, na conclusão o que a torna parcialmente correta é a expressão colocada no início da
conclusão “em todos...” considerando que em todas as razões o produto dos extremos é igual
ao produto dos meios, e verificando o quadro que haviam preenchido, havia produto dos
extremos e meios que dava diferente, nas situações em que as razões não formavam uma
proporção. Isso quer dizer que apenas não atentaram na hora de repassar para o papel a
organização das ideias. Este grupo de estudantes se recusou de ir ao quadro para socializar com
a turma, mas ao final quando formalizei corrigimos juntos quanto a conclusão.
No grupo G2 mostramos um contraexemplo de que nem em todas as razões os produtos
dos extremos é igual ao produto dos meios, e que a propriedade vale para quando as razões são
iguais. Utilizamos do próprio registro dos alunos quanto a observação e conclusão que se
uníssemos a resposta da observação e conclusão ficaria correta a propriedade, mas se olharmos
somente para a conclusão ficaria sem sentido e incompreensível para saber do que se tratava
aquela conclusão.
Quanto a resposta do estudante E9 observamos que obteve uma observação e conclusão
consideradas válidas, porém chamamos a atenção para o objetivo da atividade que era a
196
propriedade fundamental das proporções e o que poderíamos observar de acordo com a
atividade para que chegássemos a esta propriedade. No quadro 32 a seguir apresentaremos as
respostas da atividade do grupo G3 sobre a propriedade fundamental das proporções.
Quadro 32 – Resposta do grupo G3 atividade Propriedade Fundamental das proporções
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E12,
E14, E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Eu observei que várias razões
são iguais
Conclusão: Quando o produto dos extremos é
igual ao produto dos meios
Fonte: Atividade 06 grupo G3
O grupo de estudantes E11, E12, E14 e E15 teve uma observação adequada para a
atividade, visto que havia várias razões iguais como descreveram. Já na conclusão
consideramos parcialmente válida, já que não ficou compreensível ao leitor que não fez a
atividade entender do que se tratava lendo apenas a conclusão, ou seja, não fica claro para quem
não fez a atividade. Mas de acordo com o observado desse grupo, expliquei durante a
formalização que se juntasse a observação e a conclusão, teríamos a resposta completa desejada
para a conclusão, que seria “Eu observei que várias razões são iguais, quando o produto do
extremo é igual ao produto dos meios”. Durante o acompanhamento desse grupo, percebemos
que apresentavam uma boa interação entre os participantes durante o momento de preencher o
quadro, já para elaborar a conclusão não tinham segurança e solicitavam ajuda, mas se
empenharam para chegar a resposta. Na figura 07 a seguir apresentamos a resposta dos
estudantes do grupo G3.
197
Figura 07 – Socialização da resposta do grupo G3
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
O estudante E14 representante do grupo de estudantes E11, E12, E14 e E15, foi ao
quadro socializar a observação que chegaram da atividade 06. O estudante colocou no quadro
a seguinte observação “Quando as razões são igual é igual ao produto dos extremos” quando
socializou perguntei se concordava com o que estava escrito no quadro, então o aluno falou que
achava que tinha esquecido uma parte e pediu que olhasse o papel, eu respondi que sem
problema poderia pegar a folha e olhar, e assim colocou na observação de acordo como havia
escrito na observação da folha de atividade. “Quando as razões são igual é igual o produto dos
meios e dos extremos”, o interessante que conseguimos observar no momento da socialização
dos estudantes que os próprios colegas já conseguem identificar o que tem de diferente na
resposta do outro, comparando com a sua.
No momento em que o estudante E14 acabou de escrever a sua observação, um
estudante de outro grupo, já se pronunciou dizendo que estava errada, foi quando intervimos e
dissemos que não estava totalmente errada, a frase só estava incompleta e foi que perguntamos
ao representante do grupo se concordava com o que havia escrito no quadro, então ele leu e
disse que estava confusa a frase, mas conseguiu explicar corretamente apenas tinha esquecido
algumas palavras.
A seguir apresentamos o quadro com as respostas do grupo G4 referente a atividade 06
sobre o propriedade fundamental das proporções.
198
Quadro 33 – Resposta do grupo G4 atividade Propriedade Fundamental das proporções
Grupo Estudantes Observação e Conclusão Validade
4
E16
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Tem que multiplicar para achar a
resposta
Conclusão: Quando o produto dos extremos são
iguais aos meios
E17, E18,
E19, E20,
E21
Observação:
Válida
Conclusão:
Válida
Transcrição
Observação: Quando as razões são iguais o
produto dos meios são iguais os do extremo.
Conclusão: Quando a razão forma uma
proporção o produto dos extremos é igual a dos
meios. Fonte: Atividade 06 grupo G4
O estudante E16 chegou a uma observação válida em que diz “Temos que multiplicar
para achar o valor” na atividade realmente os alunos separavam em coluna os valores que
representavam –os meios- e os –extremos- das razões dadas e pedia-se que multiplicassem, com
isso verificariam quando os meios resultavam no mesmo valor dos extremos. Com isso,
consideramos válida a observação do estudante, já a sua conclusão está parcialmente correta
devido a resposta ter ficado incompleta, “Quando o produto dos extremos são iguais os do
meios” faltou apenas completar a frase, colocando nesse caso, “Em toda proporção o produto
dos meios é igual ao do extremo”, mas são apenas alguns ajustes diante as respostas dos
estudantes que fica simples depois para eles de compreender.
O representante E20 do grupo de estudantes E16, E17, E18, E19 e E21 expôs a
observação do seu grupo que consideramos válida tanto como observação quanto poderia
também considera-la como a conclusão do grupo de acordo com o objetivo da atividade. Como
podemos verificar no quadro acima, os estudantes desse grupo responderam corretamente tanto
a observação quanto a conclusão, a mudança nas respostas de uma para outra foi no termo
proporção que utilizaram na conclusão em vez de razões iguais como visto na observação. O
aluno conseguiu socializar com os demais colegas sem dificuldades. Nesse grupo, as atividades
progrediam sem muito problema, seja de conversa paralela, ou falta de interesse, as ideias
fluíam bem para responder as situações colocadas, e nesta atividade a dúvida surgiu mais para
199
elaboração da conclusão, o que de acordo com o observação deles já poderíamos considerar
como uma conclusão válida.
Tabela 45 – Tipos de Conclusão da atividade 06
Tipos de Conclusão Estudantes (%)
Válida E17, E18, E19, E20, E21 23,8%
Parcialmente Válida E6,E7,E8,E9,E10,E11,E12,E14,E15,E16, 47,6%
Inválida E1,E2,E3,E4,E5,E13 28,6%
Não registrou 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A aula acabou as 9h5min neste dia, após a socialização coloquei as minhas
considerações para cada grupo e formalizei o objetivo da nossa atividade neste dia, referente a
propriedade fundamental das proporções da seguinte maneira:
Quando em duas razões x/y e p/q o produto dos meios é igual ao produto dos extremos dizemos que as
razões formam uma proporção ou que os números x, y, p e q estão em proporção.
Uma das dificuldades dos alunos foi quando na hora da explicação, dei um exemplo de
duas proporções, mas em uma delas coloquei uma incógnita e pedi que descobrissem o valor
do termo desconhecido, alguns alunos conseguiram realizar o cálculo mentalmente e
responderam, mas na outra proporção em que coloquei um valor multiplicando a incógnita não
souberam responder, com isso mostrei a técnica da regra de três para encontrar o valor do termo
desconhecido, pois ficaram surpresos quando resolvi com eles no quadro e também mostrei
outra forma de encontrar observando as proporções pela constante que foram multiplicadas seus
termos.
4.10 DÉCIMA SESSÃO
No dia 11/12/2017 ocorreu a nossa décima sessão de ensino, no qual aplicamos a
atividade 7 (Grandezas Diretamente Proporcionais e Grandezas Inversamente Proporcionais)
200
que procurou conceituar as grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais, trazendo 5 situações em quadros das quais duas de grandezas diretamente
proporcionais, duas de grandezas inversamente proporcionais e uma situação que não
representava grandezas proporcionais. Ao final da atividade os alunos colocariam suas
observações diante as 5 situações contidas nesta atividade.
Neste dia estavam presentes 19 alunos na sala, os quais formaram seus grupos para
receber a folha de atividade e acompanhar as orientações necessárias. Como iniciava a semana
dos jogos alguns alunos estavam dispersos e pouco conseguiam concentrar durante as
orientações para o desenvolvimento da atividade, mas pedimos a atenção e que fizessem
silêncio para que não atrapalhassem os demais colegas. Dada as orientações necessárias aos
estudantes, iniciaram às 7h40min a resolução das situações propostas.
Os grupos conseguiram responder as situações apresentadas na folha de atividade,
solicitando auxílio em algumas questões, observamos que levamos bastante tempo para
terminar a atividade, até mesmo por algumas interrupções da atividade por outros professores
para alguns avisos referentes aos jogos, dessa forma não conseguiram elaborar a conclusão
devido ao tempo, mas abaixo colocamos as observações desta atividade de cada grupo.
No quadro 34 a seguir apresentaremos a resposta referente a observação do grupo G1
para esta atividade 07, os estudantes desse grupo demonstravam interesse pela atividade e
estavam participativas, pedindo auxílio no decorrer da atividade e fazendo questionamentos
sobre o assunto.
Quadro 34 – Resposta do grupo G1 atividade 07
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E5
Observação:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Tem umas que aumenta o valor nas
duas colunas em outras dimunui de um lado e
aumenta no outro.
Fonte: Atividade 07 grupo G1
O grupo de estudantes formado pelos alunos E1, E2, E3 e E5 chegaram a uma
observação parcialmente válida, devido não colocarem que as colunas aumentam ou uma
coluna aumenta e a outra diminui na mesma proporção, dessa forma verificou corretamente que
uma coluna aumenta e a outra diminui, mas faltou completar com a palavra proporcionalmente.
201
Embora na resposta da observação tenham esquecido, quando completaram os quadros com os
valores que faltavam, os alunos conseguiram preencher corretamente. Para responder as
questões referentes a primeira situação, o grupo solicitou ajuda, e questionou “O que são
grandezas?” após responder ao grupo, prosseguiram a atividade e responderam nas demais
situações as grandezas envolvidas e o que era pedido nas alíneas a, b e c de cada situação. O
quadro 35 apresenta a resposta do grupo G2 para esta atividade.
Quadro 35 – Resposta do grupo G2 atividade 07
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6,E7,E8,E9
e E10
Observação:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Tem algumas situações que
aumenta as duas e tem algumas que diminui
Fonte: atividade 07 grupo G2
O grupo de estudantes E6, E7, E8, E9 e E10 teve como observação que “tem algumas
situações que aumentam as duas e tem situações que diminuem”, nessa resposta não
consideramos válida pelo final da frase quando diz que tem situações que diminuem obtendo
assim uma resposta incompleta. Observamos nesse grupo que os alunos pouco solicitaram ajuda
e também pouco interagia com seu grupo, e ainda durante a atividade o estudante E7 saiu para
fazer uma prova em outra sala, apenas dois alunos tentavam responder as questões propostas.
No quadro a seguir apresentamos a resposta do grupo G3.
Quadro 36 – Resposta do grupo G3 atividade 07
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E12.
E13, E14 e
E21
Observação:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Quando uma proporção aumenta a
outra aumenta na mesma proporção. Quando uma
aumenta na outra e a outra diminui na mesma
proporção.
Fonte: atividade 07 grupo G3
Em relação ao grupo 3 formado pelos estudantes E11, E12, E13, E14 e E21 escreveram
em sua observação que “Quando uma proporção aumenta a outra aumenta na mesma proporção,
202
e quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção” pela resposta dos alunos para a
observação consideramos apenas a segunda parte da frase válida, visto que a primeira parte
deveria quando uma grandeza aumenta a outra aumenta, ou os valores da primeira coluna
também consideraríamos válido. No decorrer da atividade este grupo de estudante foi
participativo, solicitou ajuda para preencher o quadro, por que não tinham entendido que era
para preencher, após explicar perceberam a regularidade nas colunas quando dobravam,
triplicavam ou reduzia-se a metade e assim por diante, tanto que um dos alunos respondeu que
a coluna do nível de água referente a primeira situação estava aumentando de 50 em 50, e assim
preencheu os demais quadros sem dificuldades.
Quadro 37 – Resposta do grupo G4 atividade 07
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19,
E20
Observação:
Válida
Transcrição
Observação: Quando uma aumenta a outra aumenta
na mesma proporção. Quando uma aumenta a outra
diminui na mesma proporção.
Fonte: atividade 07 grupo G4
Quanto ao grupo de estudantes A18, A19, A20 e A21 que escreveram em sua observação
“Quando uma aumenta a outra aumenta na mesma proporção”, considera-se uma observação
válida visto que compreendemos o pensamento do grupo ao dizer que as colunas aumentam na
mesma proporção, e ainda percebemos que dentre as cinco situações colocadas aos alunos
atentaram também para a situação em que representa as grandezas inversamente proporcionais,
embora ainda desconhecessem que se tratava dessa grandeza, apenas colocou também em sua
observação que “Quando uma aumenta a outra diminui na mesma proporção”. Este grupo
também solicitou ajuda, principalmente para escrever a observação, já haviam percebido que
as grandezas era proporcionais, este grupo atentou para as perguntas feitas abaixo de cada
situação, o que facilitou na hora de ajuda-los na observação.
203
Tabela 46 – Tipos de Observação da atividade 07
Tipos de observação Estudantes (%)
Válida E16, E17, E18, E19, E20 26,3%
Parcialmente Válida E1, E2, E3, E5,E6, E7, E8,
E9, E10, E11, E12, E13,
E14, E21
73,7%
Inválida 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Nesta atividade acreditamos que o objetivo tenha sido alcançado durante a formalização
no quadro com a turma, pois durante a realização da atividade com os alunos, poucos
observaram para a questão das grandezas que não são proporcionais. Isso quer dizer que ainda
que os alunos tenham observado os quadros em que as grandezas aumentavam na mesma
proporção ou para os quadros das grandezas inversamente proporcionais, só tiveram
conhecimento desses termos “Grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais” quando explicamos aos alunos de acordo com as suas observações qual
representava cada uma delas, as quais apresentamos da seguinte forma a grandeza diretamente
proporcional:
Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª grandeza. Nesse
sentido, quando o valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a metade, o da outra também
dobra, triplica, fica a metade.
E Grandezas Inversamente Proporcional:
Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os
valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª. Isso
quer dizer que uma grandeza aumenta à mesma proporção que a outra diminui e vice-versa,
dizemos que as grandezas são inversamente proporcionais.
Pelo observado, os estudantes demonstraram compreender, e diversas situações além
dessas propostas na atividade foram colocadas durante a formalização utilizando uma lista de
aprofundamento e até mesmo eles já conseguiam dar exemplos de grandezas diretamente e
204
inversamente proporcionais, assim como das situações que não representavam grandezas
proporcionais quando perguntava a eles.
Uma das grandezas exemplificada pelos alunos foi a questão da velocidade e tempo para
grandezas inversamente proporcionais, outra dita por eles foi a questão do preço e a quantidade
de determinado objeto para grandezas diretamente proporcionais, e para a situação que não
representava grandezas proporcionais não conseguiram lembrar de alguma para dizer, então
perguntei a questão da idade e o peso de uma pessoa, se representavam grandezas diretamente
proporcionais ou inversas, alguns responderam direta e logo depois a turma concordou com o
colega que disse não ser nem uma nem a outra, devido não ser grandezas que podemos
estabelecer uma proporção.
4.11 DÉCIMA PRIMEIRA SESSÃO
No dia 12 de Dezembro de 2017 realizamos nossas atividades 08 e 09 referentes as
propriedades da soma e diferença das proporções I, a qual tinha por objetivo descobrir a
propriedade da soma e da diferença do tipo I de uma proporção. Na sala estavam presentes 18
estudantes, os quais formaram seus grupos para darmos início as nossas atividades. Inicialmente
entregamos a ficha de atividade para cada grupo e explicamos os procedimentos da atividade
para os estudantes. A atividade consistia em preencher o quadro de acordo com os comandos e
o aluno teria que observar as regularidades, acontecimentos que se repetiam para poder elaborar
sua observação e conclusão.
Os estudantes conseguiram concluir as duas atividades neste dia, quanto a preencher o
quadro devido as atividades anteriores já estavam mais familiarizados e não sentiam mais tanta
dificuldade para preencher com o que se pedia. Os grupos G1, G3 e G4 apresentavam boas
atitudes de trabalhar em grupo, dividiam as tarefas e até discutiam quanto algumas
multiplicações, como observávamos acontecer no grupo G3 sobre técnicas de multiplicar que
um dos estudantes mostrava para o outro colega do grupo, e assim percebemos que com a
evolução dos alunos, rendeu o tempo para conseguirmos realizar até duas atividades por dia.
De acordo com as respostas colocadas nas observações pelos estudantes, vamos
perceber que as observações de cada grupo foram observações válidas, os estudantes
observaram principalmente para a situação de existir ou não razões que formam uma proporção.
Embora quanto as respostas para as conclusões não tenham atendido o objetivo, tiveram boas
construções de pensamento aproximando do que era desejado. Nesta atividade dei aos alunos
uma informação que não constava na folha de atividade sobre chamar de 1º termo, 2º termo, 3º
e 4º termo para os valores das proporções para elaborarem a resposta da conclusão, ou se
205
preferirem de antecedentes e consequentes, como já os conheciam devido a uma atividade já
realizada que abordavam dessa forma. Indiquei que ficaria mais simples se optassem de chamar
os valores de termos, atentando para o lugar de cada e a denominação.
Os estudantes organizaram a escrita para a conclusão da atividade conforme iremos ver
nos quadros a seguir de maneira que não consideramos válida ou ainda totalmente válida, visto
que algumas respostas não tinha como compreender a frase ou colocavam uma conclusão
correta, mas não de acordo com o objetivo da atividade. No quadro 38 apresentamos as
respostas do grupo G1 referente a atividade 08 sobre a propriedade I da soma de uma proporção.
Quadro 38 – Resposta grupo G1 atividade 08
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2,
E3, E4
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Existem razões que formam uma
proporção
Conclusão: Numa proporção a soma dos primeiros
termos são igual do último termo Fonte: Atividade 08 grupo G1
O grupo de estudantes G1 de acordo com suas respostas percebemos que obteve uma
observação válida para a atividade e escreveu da seguinte maneira a sua conclusão “Numa
proporção a soma dos primeiros termos são igual do último termo” não consideramos
totalmente válida esta resposta, mas ao acompanhar o grupo conseguiram aos poucos falar o
que conseguiam concluir da atividade de forma mais coerente, apesar de que já haviam escrito
dessa forma. Umas das dificuldades de alguns grupos estavam relacionadas aos registros que
em muitas situações conseguiam explicar corretamente, mas na hora de escrever não
conseguiam organizar, mas aos poucos foram melhorando, principalmente quando as atividades
seguiam o mesmo modelo.
206
Quadro 39 – Resposta do grupo G2 atividade 08
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6, E7, E8,
E9, E10
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Em tais razões algumas são
proporção e as outras não
Conclusão: Quando as razões são
equivalentes formam uma proporção Fonte: Atividade 08 grupo G2
De acordo com a conclusão dos estudantes E6, E7, E8 e E9 podemos observar que
chegaram a uma conclusão correta, que diz “quando as razões são equivalentes formam uma
proporção” observaram que as razões dadas algumas eram equivalentes e portanto formavam
uma proporção, e mesmo que somasse os termos como colocadas nas colunas da tabelas
chegariam a outras razões equivalentes que também formariam uma proporção. Dessa forma,
consideramos parcialmente válida a conclusão desses estudantes já que desejávamos que a
conclusão retratasse para a questão da propriedade da soma de uma proporção e não somente
se as questões formariam ou não uma proporção. O quadro 40 apresenta as respostas do grupo
G3.
Quadro 40 – Resposta grupo G3 atividade 08
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E13,
E14, E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Em algumas razões umas são
proporção e outras não são
Conclusão: Quando as razões são equivalentes
formão uma proporção
Fonte: Atividade 08 grupo G3
O grupo de estudantes formado pelo grupo G3 também tiveram em sua resposta uma
observação válida e a conclusão parcialmente válida. Percebemos que as respostas dos
estudantes evidenciaram mais para a questão de observar se as razões eram equivalentes, se
formavam proporção, por essa maneira consideramos parcialmente válida. A seguir
apresentamos o quadro 41 referente as respostas do grupo G4.
207
Quadro 41 – Resposta grupo G4 atividade 08
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19,
E20
Observação:
Parcialmente
Válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: A soma dos termos forma
proporção
Conclusão: As razões quando soma também
forma proporção
Fonte: Atividade 08 grupo G4
De acordo com as respostas do grupo G4 referente a observação e conclusão da atividade
08, consideramos parcialmente válida, visto que em suas respostas não ficaram elaboradas de
forma totalmente correta com o objetivo da atividade. No entanto, podemos perceber que o
grupo G4 já direcionou a resposta relacionando com a soma dos termos e verificando se
formariam uma proporção, apenas faltando especificar corretamente quais termos estão se
referindo nesta atividade. A tabela a seguir apresenta o percentual para os tipos de conclusão
válida
Tabela 47 – Tipos de Conclusão da atividade 08
Tipos de Conclusão Grupos (%)
Válida - 0%
Parcialmente Válida G1, G2, G3, G4 100%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Nos quadros seguintes apresentamos as respostas referentes a observação dos estudantes
para a atividade 09, quando os estudantes terminavam a atividade 08 entregava a eles a atividade
09 e explicava a cada grupo os procedimentos ainda que não fosse tão diferente do modelo da
atividade 08, mas orientava para que não houvesse dúvidas. Os primeiros grupos a terminarem
208
a atividade 08 foi o grupo de estudantes E9, E10, E11 e E12 assim como o grupo E19, E18,
E20, E17 em seguida os outros dois grupos.
O grupo G1 não registrou uma observação e nem a conclusão para a atividade embora
tivesse preenchido todo o quadro referente a atividade 09, sobre a propriedade II da soma dos
termos de uma proporção. Os estudantes do grupo G2 conseguiram elaborar a observação e
conclusão e os demais conseguiram elaborar até a observação visto que não tiveram tempo para
elaborar a conclusão, pois restavam poucos minutos para finalizar a aula e ainda precisava
formalizar com a turma o conteúdo da atividade. O quadro a seguir apresenta as respostas do
grupo G2 para a atividade 09.
Quadro 42 – Respostas do grupo G2 atividade 09
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6, E7, E8,
E9, E10
Observação:
inválida
Conclusão:
inválida Transcrição
Observação: Numa proporção dos termos são
divisíveis pelas razões
Conclusão: As proporções dos termos são iguais
Fonte: Atividade 09 grupo G2
O grupo de estudantes E5, E6, E7 registrou na observação “Numa proporção dos termos
são divisíveis pela razão” e na conclusão “As proporções dos termos são iguais” as quais
consideramos inválidas por não apresentarem sentido nas frases elaboradas. A sua conclusão
acreditamos que pode ter ficado mal elaborada, mas pelo que escreveram podemos dizer que
conseguiram observar que ao somar os termos e dividi-los também pelo seu segundo termo, e
somar os últimos termos e dizer que está para o quarto também formam proporção, pois o aluno
buscou dizer em sua conclusão fazendo referência as razões em que estavam sendo somadas.
Durante acompanhar este grupo de estudantes, poucas dúvidas surgiram e também o grupo
pouco interagia, um ou dois estudantes buscavam responder a atividade, percebia que
conseguiam preencher os quadros sem dificuldades e nesta atividade para elaborar a resposta
tanto da observação quanto conclusão não solicitou ajuda. O quadro 43 a seguir apresenta as
respostas do grupo G3 referente a atividade 09.
209
Quadro 43 – Resposta grupo G3 atividade 09
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E13,
E14, E15
Observação:
Parcialmente
válida
Conclusão:
Não registrou
Transcrição
Observação: A observação é que soma do
primeiro termo está para b e d.
Fonte: Atividade 09 grupo G3
Quanto ao grupo de estudantes A11, A12, A13 e A14 obtiveram uma observação que
consideramos parcialmente válida por não está completa, mas aproximaram do esperado para a
atividade. De acordo com a observação acima escreveram “A observação é que soma dos
primeiros termos está para b e d”, podemos observar que os alunos atentaram para a coluna
referente a soma dos termos e não observou anteriormente para a questão de ser ou não uma
proporção e por consequência a soma dos termos dizendo está para a ou b formariam também
uma proporção. Ao acompanhar este grupo durante o desenvolvimento da atividade percebia
que os componentes tinham as tarefas bem dividas na hora de preencher o quadro, ou seja, o
grupo interagia e eram ativos, auxiliando um ao outro.
Uma das integrantes do grupo em quase toda atividade questionava de ter que fazer
observação e conclusão, e nessa atividade não foi diferente, perguntou se não podia entregar
sem responder a observação e conclusão. Conversei com o grupo para que eu pudesse ouvi-los
a respeito da atividade e assim ajudassem na observação e conclusão, e foi então que
responderam “Vejo que soma a e b para depois dividir para b e a outra para d” auxiliei na
resposta em dizer que poderiam dizer “a soma dos primeiros termos está para b” utilizando do
raciocínio deles auxiliei para que escrevessem a sua observação. O quadro 44 a seguir apresenta
as respostas do grupo G4.
Quadro 44 – Resposta do grupo G4 atividade 09
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19,
E20
Observação:
válida
Conclusão:
Não registrou Transcrição
210
Observação: A soma dos dois primeiros termos
está para o primeiro termo (ou segundo, assim
como a soma dos dois últimos está para o terceiro
(ou quarto).
Fonte: Atividade 09 grupo G4
O grupo de estudantes E16, E17, E18, E19 e E20 não elaborou uma conclusão para a
atividade, mas podemos perceber que de acordo com a observação colocada pelo grupo já
conseguiram atender parcialmente ao objetivo da atividade. O grupo solicitou ajuda para
elaboração da observação, mas eles mesmos tiveram a percepção parcialmente da propriedade,
quando um dos estudantes do grupo indagou o seguinte: “Professora, essa atividade é a mesma
da anterior” outro colega do grupo ao ouvir, respondeu: “Claro que não é a mesma” então
mandei que eles observassem qual seria então a diferença da atividade 08 para atividade 09,
olhando principalmente para as colunas que estavam as somas dos termos.
A partir disso foi então que perceberam a diferença das atividades e um deles respondeu:
“Na primeira atividade divide pelo primeiro termo “a” e depois por “c” e nessa outra atividade
divide por “b” e depois por “d” né?”, após elogiá-los completei que isso se deve devido a ordem
que devemos obedecer se na primeira razão comparada está para o 1º termo, na segunda razão
vai está para o 3º termo e assim se estiver para o 2º termo a outra razão estará para o 4º termo.
E ainda, perguntei se as novas razões formavam também uma proporção. Pois, os alunos
precisavam observar que aquela relação só acontece diante de uma proporção. Os estudantes
não conseguiram atentar para a questão da proporção, embora eu tenha indagado quanto a isso,
mas consideramos uma boa evolução terem observado parcialmente a propriedade da diferença
entre os termos da atividade 08 e 09. A seguir apresentamos a tabela com os tipos de conclusão
e o percentual de cada grupo.
211
Tabela 48 – Tipos de Conclusão da atividade 09
Tipos de Conclusão Estudantes (%)
Válida - 0%
Parcialmente Válida - 0%
Inválida E6, E7, E8, E9, E10 27,8%
Não registrou E1, E2, E3, E4,E11, E13,
E14, E15, E16, E17, E18,
E19, E20
72,2%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para o término da aula faltavam 5 min o qual reservamos para que pudesse formalizar
as atividades com alunos, pedindo a atenção de todos. Como acompanhava os grupos observava
as respostas que estavam sendo produzidas e na hora de formalizar atentava para as respostas
dos alunos de forma a considera-las e perceberem que estavam no caminho certo. Quando as
atividades tinham quadros a serem preenchidos eu já desenhava no quadro desde o início da
aula o quadro para na hora de formalizar preencher algumas linhas e chamar a atenção do aluno
para a regularidade que gostaríamos que chegassem, dessa forma para a atividade 08 chegamos
a seguinte conclusão:
Propriedade da Soma do tipo I: Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está para
o 1º termo assim como a soma dos dois últimos termos está para o 3º termo.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎 + 𝑏
𝑎=
𝑐 + 𝑑
𝑐
E em relação a atividade 09 apresentamos o seguinte:
Propriedade da Soma do Tipo II: Em uma proporção, a soma dos dois primeiros termos está
para o 2º termo assim como a soma dos últimos termos está para o 4º termo.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑⇔
𝑎 + 𝑏
𝑏=
𝑐 + 𝑑
𝑑
212
Os alunos demonstraram compreender as propriedades após a formalização,
principalmente por que tentamos chamar a atenção que as regras aconteceriam diante de uma
proporção e não para quaisquer duas razões, visto que nas observações dos alunos não
conseguiam fazer esse nexo, nas próximas atividades podemos verificar que os alunos já
conseguiram melhorar suas respostas, até mesmo por se tratar de outras propriedades que
diferenciam mais pela questão de alguma operação o raciocínio seria o mesmo.
Dessa forma, terminamos nossas 02 atividades referentes as propriedades das
proporções, os estudantes já conseguiam preencher os quadros sem tantas dificuldades o
observado em geral da turma quanto as atividades que envolviam apenas o quadro a ser
preenchido e perceber a regularidade era de que os estudantes não ficavam tão comunicativos
sobre o que se estudava quanto nas atividades em que eram apresentadas diversas situações e
eles conseguiam se envolver mais. No entanto, após a formalização exemplifiquei como
poderíamos empregar estas propriedades em uma situação real, e assim alguns pareciam
compreender melhor as propriedades.
4.12 DÉCIMA SEGUNDA SESSÃO
No dia 14/12/2017 realizamos o nosso 12º encontro com 18 estudantes presentes, nossa
observadora externa e o professor de matemática da turma. Neste dia, por volta das 7h35min
iniciamos nossa atividade 10, intitulada “Propriedade da diferença dos termos de uma
proporção”, que teve como objetivo levar os alunos a observarem a regularidade diante as
proporções sobre a diferença dos termos das mesmas, como seguia no quadro da atividade a
regra referente a esta propriedade, que esta diferença também resultaria em uma proporção.
Primeiramente os alunos formaram seus grupos para receberam as orientações que
seguiam na atividade e assim poder preencher o quadro. Devido as atividades anteriores 08 e
09 seguirem o mesmo modelo de atividade, os alunos não sentiram mais tantas dificuldades e
dúvidas para executá-las, mas ao acompanhar cada grupo e olhar suas respostas na folha de
atividade, quando percebíamos que erravam alguma multiplicação auxiliava o grupo e chamava
atenção dos estudantes para que verificassem se estava correto aquele resultado dado para a
multiplicação. Então os alunos pensavam, verificavam o erro e corrigia. Pois o erro do produto
da multiplicação comprometeria identificar a regularidade ou generalização da atividade, bem
como os casos de exceção a regra.
No quadro abaixo apresentamos as respostas das observações e conclusões dos
estudantes do grupo G1 para a atividade 10.
213
Quadro 45 – Respostas grupo G1 atividade 10
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E4, E13
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Na atividade tem razões que
formam uma proporção
Conclusão: Eu percebi que se dividimos
ou simplificamos encontramos uma
proporção e a diferença dos termos
formam uma proporção
Fonte: Atividade 10 grupo G1
De acordo com as respostas dos alunos para atividade 10 percebemos que já houve um
avanço na escrita para as observações e conclusões referentes as propriedades. O grupo de
estudantes E1, E2, E3, E4 e E13 teve uma observação correta quando escreveu que “Na
atividade tem razões que formam uma proporção”, já em relação a conclusão desses estudantes,
consideramos parcialmente válida devido não está completa a sua resposta. Na conclusão, eles
escreveram: “Eu persebi que se dividimos ou simplificamos encontramos uma proporção e a
diferença dos termos forma uma proporção”, consideramos parcialmente válida já que não
especificam quais os termos da razão a diferença está relacionada. Os estudantes que foram ao
quadro para socializar foram os representantes do grupo G1, G3 e G4, embora no quadro da
sala de aula esteja descrito Grupo 1, grupo 2 e grupo 3 em que relacionava apenas a ordem de
quem foi o primeiro, segundo e terceiro grupo a socializar. Abaixo na figura X podemos ver as
respostas dos três grupos que foram socializar com a turma.
214
Figura 08 – Respostas dos grupos na socialização com a turma
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Nesta atividade alguns estudantes do grupo G1 inicialmente não estavam motivados
para preencher o quadro de respostas, um deles ouvi dizer já ter feito a sua parte e os demais
estavam com conversas paralelas que não era referente a atividade, mas após conversar sobre a
atividade e sobre o nosso horário que era curto, as estudantes continuaram e terminaram a tempo
de preencher os quadros. Ao acompanhar o grupo pude verificar que a observação já
consideravam mais simples de elaborar, o que ainda pediam auxílio era na conclusão, e assim
os ajudava na medida em que os questionava sobre a atividade, e fazia os aproveitar suas
próprias falas e repassar para o papel.
A seguir no quadro 46 apresentaremos as respostas do grupo G2 relacionada a atividade
10 sobre as propriedades das proporções.
Quadro 46 – Respostas grupo G2 atividade 10
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E7, E8, E9, E5
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Umas formam uma
proporção e outras não!
Conclusão: As proporções do primeiro
termo são iguais a do segundo termo
Fonte: Atividade 10 do grupo G2
Os estudantes E7, E8, E9 e E5 também tiveram a observação válida, visto que colocaram
“umas formam uma proporção e outras não” compreendemos a observação dos estudantes que
215
se referiam as razões formadas por eles nos quadros da folha de atividade e que estava correto
o que observaram. Em relação a resposta para a conclusão consideramos parcialmente válida
devido os estudantes não abordarem para o principal ponto da atividade que seria a diferença
dos termos, e focaram no sentido de perceber que haviam razões que formavam proporção
apenas.
Ao acompanhar este grupo de estudantes verifiquei que as tarefas nas atividades eram
divididas em pelo menos três integrantes, poucos intervenções tive durante o preenchimento do
quadro referente às operações pedindo que atentassem e também auxiliei na elaboração de sua
conclusão. Quando terminaram de preencher o quadro, não solicitaram ajuda para a conclusão,
fizeram até a observação e começaram a dispersar, querendo andar pela sala, ou visitando os
demais grupos. Foi então que falei que ainda havíamos outra atividade a ser feita, mas antes
teriam elaborar a conclusão para finalizar a atividade 10.
A técnica que utilizava para auxiliar os alunos na conclusão era pedir que me falasse
sobre a atividade, principalmente, focando no que conseguiam perceber em cada linha, se as
respostas eram todas “SIM” quando preenchiam os quadros, ou todas “NÃO” ou se havia
situações em encontravam “SIM” e depois “NÃO” na mesma linha. Então um dos integrantes
desse grupo respondeu que “Quando da proporção nos primeiros também dá proporção nos
outros termos” aproveitei da resposta para ajuda-los a melhorar a sua conclusão, mas talvez não
tenham assimilado bem e responderam como observamos no quadro acima, “as proporções dos
primeiros termos são iguais a do segundo termo” embora não esteja completa, percebemos que
os alunos já conseguiram atentar para a questão da proporção. A seguir o quadro 47 apresenta
as respostas do grupo G3 para a atividade 10.
Quadro 47 – Respostas grupo G3 atividade 10
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E12, E14,
E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Algumas razões formam
proporção
Conclusão: Na atividade tem razões que
formam uma proporção. E a diferença
também forma uma proporção
Fonte: Atividade 10 grupo G2
216
Os estudantes do grupo G3 estavam participativos durante a atividade e ao preencherem
o quadro percebíamos que já compreendia o processo de realizar as simplificações e verificar
quando formavam proporção, consideramos válida a observação quando escreveu que “algumas
razões formam proporções” já a conclusão consideramos parcialmente correta. Na conclusão,
expressaram assim: “Na atividade tem razões que formam uma proporção. E a diferença forma
uma proporção”. Quando eles dizem que a diferença forma uma proporção, mas ainda não
associam aos termos que estão envolvidos consideramos uma resposta parcialmente correta.
Um representante do grupo G3 apresentou também para os colegas a conclusão que
elaboraram para a atividade e pelo entusiasmo de ir ao quadro pareciam gostar desse momento,
já que eles diziam se sentir naquele não mais como aluno e sim queriam repassar a ideia de que
eram professores e que estavam ensinando para uma turma, além de que quando percebiam que
a resposta que eles chegavam era considerada válida ou parcialmente válida já ficavam ansiosos
pelas respostas dos outros grupos se era parecida com a sua ou se diferenciava muito, às vezes
alguns ficavam tímidos para ir ao quadro, devido o próprio grupo eleger algum colega, mas
acabavam cedendo ao pedido do grupo e indo colocar as respostas. No quadro 48 apresentamos
as respostas do grupo G4 para a atividade 10.
Quadro 48 – Respostas do grupo G4 atividade 10
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17, E18,
E19, E21
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Umas formam proporção
e outras não!
Conclusão: A diferença do primeiro
termo está para o primeiro e a do
segundo é que está para o segundo.
Fonte: Atividade 10 grupo G4
Quanto ao grupo de estudantes E20, E18, E17 e E16 podemos perceber que também
obtiveram uma observação válida ao declarar que “Algumas formam proporção e outras não”
e em relação a conclusão tiveram uma resposta quase válida se não faltasse a palavra
“proporção” em seu enunciado. De acordo com o quadro acima podemos verificar que os alunos
escreveram “A diferença do primeiro termo está para o primeiro termo e a do segundo está para
217
o segundo” os estudantes sabiam o que queriam dizer, tanto que responderam corretamente
durante acompanhá-los no desenvolvimento da atividade, mas ao repassar para o papel talvez
tenham suprimido o termo, e referente a expressão “...e a do segundo está para o segundo” um
dos alunos desse grupo quando se referia a uma proporção, chamava de primeira razão e
segunda razão, por isso consideramos a sua resposta parcialmente válida.
Dentre os integrantes do grupo formado pelos estudantes E16, E17, E18, E19, E21 havia
um aluno que estava em dependência em matemática, chegava sempre atrasado durante as
aulas, pouco interagia demonstrava sempre está com sono e quase não ajudava nas tarefas com
seu grupo. No entanto, o grupo em geral, apresentava um bom comportamento em relação a
interesse de resolver as atividades propostas, questionavam o desenvolvimento das atividades
e demonstrava gostar de resolvê-las, devido a se empenharem na resolução percebíamos que
estavam obtendo uma boa evolução em suas respostas.
Tabela 49 – Tipos de Conclusão da atividade 10
Tipos de Conclusão Grupos (%)
Válida - 0%
Parcialmente Válida G1, G2, G3 e G4 100%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Nesta atividade alguns estudantes conseguiram terminar por volta de 8h10min no caso
o grupo formado pelos estudantes E16, E17, E18, E19, E21. Em seguida os demais grupos
foram terminando, por volta de 8h15min todos já haviam finalizado, utilizei cerca de 10 min
para formalizar a atividade 10 e às 8h30min os alunos já iniciavam a atividade 11, pois
havíamos tempo e orientei que utilizassem a calculadora do celular para não demandar muito
tempo realizando cálculos. As respostas dos estudantes para a atividade 11 apresentaremos nos
quadros a seguir.
218
Quadro 49 – Resposta grupo G1 atividade 11
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E4, E13
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Na atividade tem razões que
formam uma proporção
Conclusão: Eu persebi que se dividimos ou
simplificamos encontramos uma
proporção.
Fonte: Atividade 11 grupo G1
O grupo de estudantes E1, E2, E3, E4 e E13 apresentou uma observação válida de
acordo com a atividade quando diz que “na atividade tem razões que formam uma proporção”,
está correto o que observaram já que a atividade apresenta proporções e também razões que não
formam proporções, mas na conclusão escreveram: “Eu persebi que se dividimos ou
simplificamos encontramos uma proporção” a resposta está correta e poderia fazer parte da
observação da atividade também, já para a conclusão consideramos parcialmente válido devido
não está de acordo com o objetivo da atividade que seria descobrir uma propriedade da
diferença dos termos de uma proporção.
Este grupo de estudantes conseguia simplificar corretamente os termos e verificar
quando as razões formavam proporção, em muitos casos utilizavam também a calculadora, pois
o nosso objetivo era que eles conseguissem identificar se formava ou não proporção e qual a
consequência de quando estávamos diante de uma proporção nos passos seguintes da atividade.
O quadro a seguir apresenta as respostas do grupo G2 para a atividade 11.
Quadro 50 – Resposta do grupo G2 atividade 11
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E5,E7, E8,
E9
Observação:
válida
Conclusão:
válida
Transcrição
Observação: Sempre que uma forma proporção
as outras formam
Conclusão: Se subtrair 𝑎−𝑏
𝑏 e
𝑐−𝑑
𝑑 também
formam proporção
Fonte: Atividade 11 grupo G2
219
De acordo com as respostas do grupo G2 consideramos válidas tanto a observação
quanto a conclusão do grupo. Podemos verificar que o grupo conseguiu observar em relação a
validade da propriedade diante a uma proporção, quando escreveu em sua observação que
“sempre que uma forma proporção as outras formam”, atentaram para a questão de que quando
as razões formavam proporção a diferença também formavam proporção. Quanto a conclusão
os estudantes solicitaram ajuda para elaborar, nesse sentido auxiliamos no sentido de fazer com
que atentassem para a questão dos termos das razões, quais termos estavam sendo subtraídos e
se formavam proporção. Com isso, os estudantes escreveram da forma como apresentado no
quadro acima o qual consideramos uma conclusão válida.
Quadro 51 – Resposta do grupo G3 atividade 11
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E11, E12,
E14, E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Algumas são e não são proporções
Conclusão: A diferença do primeiro termo está
para o segundo e a diferença dos últimos termos
está para o quarto
Fonte: Atividade 11 grupo G3
Em relação as respostas do grupo G3 podemos perceber que obtiveram as respostas
válida para a observação e parcialmente válida para a conclusão. Consideramos que a
observação os alunos perceberam que nem todas as razões formavam uma proporção, de acordo
com resposta. Para a conclusão observamos que os alunos conseguiram estabelecer a relação
da diferença envolvendo os seus termos conforme escreveram corretamente. Neste grupo os
alunos pediram ajuda para escrever a conclusão embora já tivessem a resposta, pois já
chamavam os termos “a” e “b” de primeiros termos e os termos “c” e “d” de últimos termos, o
auxílio com este grupo foi para a organização da frase, no entanto ainda esqueceu-se de escrever
a palavra proporção para que ficasse completa a resposta, por isto consideramos parcialmente
válida.
220
Quadro 52 – Resposta do grupo G4 da atividade 11
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19,
E21
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Algumas são proporções e outras
não
Conclusão: A diferença do primeiro termo está
para o segundo e a diferença dos últimos termos
está para o quarto
Fonte: Atividade 11 grupo G4
O grupo G4 obteve as respostas da observação considerada válida e para a conclusão da
atividade consideramos parcialmente válida devido a este grupo também não ter feito referência
em sua conclusão às proporções o que tornaria a resposta completa. Este grupo no decorrer da
maioria das atividades desenvolvidas sempre apresentou bons comportamentos e bastantes
participativos, solicitava ajuda quando apresentavam alguma dúvida e demonstravam interesse
em responder as situações propostas em cada atividade. No desenvolvimento desta atividade
não apresentaram tanta dificuldades e conseguiram obter boas respostas tanto para a observação
quanto para a conclusão.
Tabela 50 – Tipos de conclusão da atividade 11
Tipos de observação Estudantes (%)
Válida E5,E7, E8, E9 22,2%
Parcialmente Válida E1, E2, E3,E4,E13,E11,
E12, E14, E15, E16, E17,
E18, E19, E21
77,8%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
221
Na atividade 11 percebemos uma evolução nas respostas dos alunos seja para a
observação quanto na conclusão. Acreditamos que se deva ao fato de observarem durante a
formalização das atividades anteriores e assim como também da atividade 10 que formalizamos
no mesmo dia momento antes de iniciar a atividade 11. Quando no término das atividades 10 e
11 formalizamos com a turma chegando as seguintes conclusões para a atividade 10:
Propriedade da diferença do tipo I: Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos
está para o 1º termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o 3º termo.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎 − 𝑏
𝑎=
𝑐 − 𝑑
𝑐
E para a atividade 11:
Propriedade da diferença do tipo II: Em uma proporção, a diferença dos dois primeiros termos
está para o 2º termo assim como a diferença dos dois últimos termos está para o 4º termo.
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
𝑎 − 𝑏
𝑏=
𝑐 − 𝑑
𝑑
Dessa forma, no momento da formalização exemplificávamos as situações em que se
empregavam as propriedades da diferença para que os alunos melhor compreendessem como
poderiam encontrar esta propriedade em situações do dia-a-dia, acreditamos que com a
formalização e exemplo os alunos conseguiram entender as propriedades das diferenças, pois
os grupos tiveram suas observações e conclusões próximas do esperado para a atividade.
4.13 DÉCIMA TERCEIRA SESSÃO
No dia 18 de Dezembro de 2017 realizamos nosso décimo terceiro encontro, dando
continuidade a aplicação de nossa sequência didática, no qual aplicamos as atividades 12 e 13
que objetivavam, respectivamente, que os alunos descobrissem a propriedade da soma e da
diferença do tipo III de uma proporção. Neste dia, havia 19 estudantes na sala que se
organizaram em grupo para receber a ficha de atividade e acompanhar as orientações devidas
para iniciarem a resolução.
Os estudantes iniciaram o preenchimento do quadro da atividade 12 por volta de
7h40min e apresentavam já está bem seguros para preenchê-lo, até mesmo por que já haviam
222
resolvido quatro atividades nesse modelo, com isso o tempo para a resolução delas diminuiu,
sendo este um dos fatores, o fato de já estarem habituados torna-se mais fácil de resolver como
também pelo fato da operação envolvida ser a adição o que torna mais rápido para desenvolver
o cálculo.
As respostas dos estudantes também tiveram uma melhora na elaboração das
observações e conclusão, apesar de que ainda solicitavam ajuda, mas era mais na questão para
verificar se o pensamento deles estava correto para a atividade, eles mesmos já faziam as
perguntas do que conseguiam observar de regularidade no preenchimento do quadro e
escreviam o que considerava correto de acordo com o observado no quadro. Os alunos
conseguiram terminar a atividade por volta de 8h15min. No quadro abaixo apresentamos as
respostas do grupo G1 para a atividade 12.
Quadro 53 - Resposta do grupo G1 atividade 12
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3,
E4 e E5
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Razões equivalentes
Conclusão: tem mais razões proporcionais
a soma também é proporcional
Fonte: Atividade 12 grupo G1
De acordo com as respostas do grupo G1 consideramos válida a observação, visto que
o grupo observou que encontrou razões equivalentes durante a resolução da atividade. Em
relação a resposta para a conclusão do grupo, consideramos parcialmente válida, pois estava
correto o que identificaram quanto haver mais razões proporcionais ao responderem o quadro
da atividade, no entanto a parte final da resposta não está completa quando dizem que a soma
também é proporcional mas não se referindo aos termos relacionados a esta soma.
Consideramos que as respostas da conclusão já foram tornando-se melhores elaboradas, pois já
conseguimos observar que empregam o termo proporção e a soma, embora não atentaram
referente aos termos, apenas. O quadro 54 a seguir apresenta as respostas do grupo G2.
223
Quadro 54 – Respostas grupo G2 atividade 12
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6, E8, E9,
E10
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Observei várias proporções
Conclusão: a soma 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑 é outra que dá
proporção exata
Fonte: Atividade 12 grupo G2
De acordo com as respostas do grupo G2 consideramos válida a observação que
obtiveram, e parcialmente válida a conclusão, devido colocarem o termo proporção exata,
talvez para referir que a nova razão formada pela soma dos antecedentes e consequentes
também formaria proporção com as duas primeiras razões.
Quadro 55 – Resposta grupo G3 atividade 12
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E12, E13, E14 e
E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente válida Transcrição
Observação: Observei que formam
razões proporcionais
Conclusão: a soma de uma razão é
outra razão
Fonte: Atividade 12 grupo G3
O grupo G3 obteve em suas respostas a observação válida e a conclusão parcialmente
válida. Na observação escreveram que observaram razões proporcional, quanto a conclusão a
resposta ficou incompleta devido não relacionarem a soma de quais termos de uma proporção
resultaria em outra razão proporcional. O grupo G3 nesta atividade apenas dois integrantes
estavam tentando resolver e preencher o quadro, para a elaboração da observação e conclusão
não solicitaram ajuda, apenas terminaram e entregaram folha de atividade.
A seguir apresentamos o quadro 56 com as respostas do grupo G4 referente a atividade
12.
224
Quadro 56 – Respostas do grupo G4 atividade 12
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19 e
E20
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Umas formam proporções e
outras não.
Conclusão: as razões formam proporções
com a primeira e com segunda
Fonte: Atividade 12 grupo G4
Em relação ao grupo G4 podemos identificar em suas respostas que obtiveram uma
observação válida e a conclusão parcialmente válida. Na observação escreveram que umas
formam proporções e outras não, esse “umas” podemos inferir que refere-se as razões, por isso
consideramos válida. Quanto a conclusão dos estudantes do grupo G2, percebemos que faltou
apenas organizar melhor a ideia do grupo na frase, mas conseguimos identificar que
conseguiram concluir que a soma das razões dadas, quando formavam uma proporção, também
formavam proporção com a primeira razão e com a segunda.
Tabela 51 – Tipos de Conclusão da atividade 12
Tipos de Conclusão Estudantes (%)
Válida - 0%
Parcialmente Válida G1, G2, G3, G4 100%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Após os grupos terminarem de escrever suas observações e conclusões sobre a atividade
12, receberam a ficha da atividade 13 em seguida, pois alguns grupos iam terminando antes dos
demais e, portanto, receberam a atividade para que fossem adiantando, por isso decidimos que
faríamos a formalização ao final das atividades 12 e 13. A seguir apresentamos o quadro 57
com as respostas do grupo G1 da atividade 13.
225
Quadro 57 – Respostas grupo G1 atividade 13
Grupo Estudantes Observação Validade
1
E1, E2, E3, E4
e E5
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Razões equivalentes
Conclusão: A diferença de algumas
proporções também são proporção
Fonte: Atividade 13 grupo G1
De acordo com a conclusão do grupo conseguiram concluir de forma parcialmente
correta, pois da forma como escreveram leva-se a pensar que apenas algumas proporções, não
em toda a diferença também formaria proporção. No entanto, os estudantes na formalização
quando falei a respeito de sua conclusão conseguiram explanar o seu pensamento dizendo que
seria a diferença de algumas razões, por que quando preencheram o quadro perceberam que
nem todas formariam proporção, foi interessante essa fala, pois chamamos a atenção da turma
para que atentassem que a propriedade refere-se quando estamos diante a uma proporção, e por
isso colocamos o contra exemplo para que conseguissem perceber essa outra situação. O quadro
a seguir apresenta as respostas do grupo G2 para a atividade 13.
Quadro 58 – Respostas grupo G2 atividade 13
Grupo Estudantes Observação Validade
2
E6, E8, E9 e
E10
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Observei que tive que simplificar
para achar várias proporções
Conclusão: A diferença 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑 é outra que dá
diferença exata.
Fonte: Atividade 13 resposta grupo G2
De acordo com o grupo G2 podemos ver que as respostas que os alunos apresentaram
tanto para a atividade 13 se aproximaram das respostas que deram na atividade 12, que
realizaram neste mesmo dia. Um dos integrantes deste grupo disse que era a mesma atividade
e que apenas mudaria que na outra somava e nessa subtraia, ao término da atividade verificamos
226
que as respostas ficaram próximas tanto na atividade 12 quanto na atividade 13 dos grupos. O
quadro a seguir apresenta as respostas do grupo G3.
Quadro 59 – Respostas do grupo G3 atividade 13
Grupo Estudantes Observação Validade
3
E12, E13, E14
e E15
Observação:
válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Observei que formam razões
proporcionais
Conclusão: A diferença de uma razão e
outra razão proporcional
Fonte: Atividade 13 grupo G3
Os estudantes do grupo G3 obtiveram em suas respostas a observação válida e a
conclusão parcialmente válida. Podemos perceber que conseguiram observar que no quadro em
que preencheram formavam razões proporcionais algumas das razões dadas. De acordo com o
que escreveram em sua conclusão, podemos inferir que os alunos compreenderam a ideia de
que em uma proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes,
assim como cada antecedente está para o seu consequente. O quadro 60 a seguir apresenta as
respostas do grupo G4 para a atividade 13.
Quadro 60 – Respostas grupo G4 atividade 13
Grupo Estudantes Observação Validade
4
E16, E17,
E18, E19 e
E20
Observação:
Válida
Conclusão:
Parcialmente
válida
Transcrição
Observação: Umas são proporções e
outras não
Conclusão: As diferenças dos termos é
qual eles formam proporções com a
primeira e com a segunda!
Fonte: Atividade 13 grupo G4
As respostas apresentadas pelo grupo G4 foram consideradas válidas para a observação
e parcialmente válida para a conclusão. Os estudantes desse grupo conseguiram observar
também quanto à existência tanto de razões que formavam uma proporção quanto das razões
227
que não formavam proporção. Quanto à conclusão assim como o grupo G3 podemos verificar
que os estudantes do grupo G4 conseguiram entender o objetivo proposto para a atividade,
embora a forma que escreveram ficou confusa, conseguimos interpretar o raciocínio que os
alunos seguiram.
Tabela 52 – Tipos de Conclusão da atividade 13
Tipos de Conclusão Grupos (%)
Válida - 0%
Parcialmente Válida G1, G2, G3 e G4 100%
Inválida - 0%
Não registrou - 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Após os grupos entregarem as atividades 12 e 13 formalizamos os conteúdos
trabalhados com os alunos, chegando a seguinte conclusão para a atividade 12:
Dadas duas razões 𝑎
𝑏𝑒
𝑐
𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a adição entre os
antecedentes e os consequentes, 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑, mantêm a proporção em relação a cada razão dada
inicialmente. Assim dizemos que a adição dos antecedentes está para a adição dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑.
E para a atividade 13:
Dadas duas razões 𝑎
𝑏𝑒
𝑐
𝑑, podemos formar uma nova razão realizando a diferença entre os
antecedentes e os consequentes, 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑, mantêm a proporção em relação a cada razão dada
inicialmente. Assim dizemos que a diferença dos antecedentes está para a diferença dos
consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente, isto é, 𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑.
Dessa forma, quando formalizávamos o conteúdo e os alunos percebiam que em suas
respostas chegavam ao mesmo resultado ou tiveram um raciocínio que se aproximava do
esperado demonstravam alegria e ainda contribuíam no momento da formalização para tirar
alguma dúvida. Na sessão seguinte combinamos com a turma que faríamos nossa resolução de
exercício proporcionando situações que envolvem os tópicos trabalhados do conteúdo de
228
proporção e assim aproveitar para observar suas dúvidas e avançar com o raciocínio para este
conteúdo matemático.
4.14 DÉCIMA QUARTA SESSÃO
No dia 19/12/2017 realizamos nossa décima quarta sessão de ensino com o intuito de
resolver uma lista de exercício sobre o conteúdo de proporção. Neste dia havia 19 estudantes
presentes na sala, os quais receberam a nossa lista de exercício para darmos início a resolução
das questões propostas. Após entregar aos alunos a lista de questão, por volta de 7h40min
combinamos que primeiramente eles iam ler e tentar resolver as questões para depois
comentarmos no quadro cada situação-problema proposta na ficha e tirar as dúvidas. A turma
após receber a lista de exercício não ficou em silêncio para tentar resolver, dispersaram com
conversas paralelas, e poucos estudantes estavam resolvendo as questões.
Ao passar 10 min de tempo de entrega da ficha de atividade acompanhamos o
andamento da atividade, alguns alunos não tentaram resolver, mas uma parte da turma estava
empenhada na resolução. Devido ao tempo decidimos iniciar com eles a resolução no quadro e
pedi que acompanhassem com atenção para que conseguíssemos avançar com as questões e
resolver toda a lista. Neste dia o professor da turma estava presente e pediu que trabalhasse com
os alunos também o método da regra de três, devido ele ter passado um trabalho para ser
entregue pelos estudantes que envolvesse esta técnica de resolução para encontrar os termos
desconhecidos, e assim após a resolução da lista atendemos ao pedido do professor.
A lista de exercícios continha questões que envolvia o conhecimento de proporção,
grandezas diretamente proporcionais (GDP), grandezas inversamente proporcionais (GIP) e
grandezas não proporcionais (GNP) e também situações que empregava as propriedades das
proporções. No decorrer da resolução os estudantes estavam participativos e respondiam as
questões acompanhando a resolução e os cálculos que desenvolvíamos no quadro. As situações-
problema que envolvia o conceito de proporcionalidade os alunos conseguiram responder sem
grande dificuldade, assim como as questões sobre grandezas diretamente proporcionais,
inversamente proporcionas e situações de grandezas não proporcionais, em particular, os alunos
demonstravam gostar desses conceitos sobre as GDP, GIP e GNP, visto que questionavam
outras situações que envolvessem ou mesmo apresentavam exemplos que conheciam e se
poderiam identificar como algumas delas.
As questões que os alunos apresentaram mais dúvidas foram referentes as que
envolviam as propriedades das proporções, nessas situações tivemos mais atenção para que
compreendessem melhor como resolver as questões. Terminamos a resolução da lista e ainda
229
trabalhamos com regra de três conforme o professor havia pedido por volta das 9h5min neste
dia. Os estudantes foram participativos na atividade, interagiam na resolução, contribuíram e
demonstraram compreender o conteúdo, embora sentissem dificuldade na utilização das
propriedades, pelo observado a dificuldade maior era pela interpretação do texto, após ler o
enunciado da questão os alunos não compreendiam o que era para ser feito, quando colocava
para eles a propriedade conseguiam acompanhar a resolução. Na próxima sessão de ensino
aplicamos o pós-teste aos estudantes com o intuito de verificar como resolveriam as questões
de razão e proporção após a aplicação da sequência de atividades.
4.15 DÉCIMA QUINTA SESSÃO
No dia 21/12/2017 realizamos nosso décimo quinto encontro com a turma para
aplicarmos o pós-teste. Neste dia estavam presentes 21 alunos, o professor da turma na aula
anterior avisou que todos viessem para a aula deste dia por que faríamos uma atividade que
seria parte da avaliação deles, para que assim os alunos não faltassem na aplicação do pós-teste.
O nosso objetivo era de verificar como os estudantes resolveriam as questões de razão e
proporção após a aplicação da sequência de atividades sobre o assunto.
Os testes foram entregue aos alunos por volta das 7h45min, mas antes de iniciarem
agradecemos pela acolhida que eles nos deram durante todas as sessões e desejamos que
tivessem atenção com as questões e concentrassem para resolvê-las. No decorrer da aplicação
do pós-teste algumas dúvidas foram surgindo e auxiliava os estudantes. A duração do pós-teste
foi de 75 minutos, poucos estudantes ainda estavam resolvendo as questões quando acabou o
tempo da aula para entrar outro professor que já estava a espera da aula acabar para entrar em
sala. Os resultados do pós-teste serão expostos na sessão de análise a posteriori e validação que
trataremos na sessão seguinte.
4.16 CONSIDERAÇÕES SOBRE O EXPERIMENTO
A nossa experimentação permaneceu por mais de um mês na escola, iniciou no dia 13
de Novembro de 2017 e finalizou no dia 21 de dezembro de 2017, utilizamos um total de
aproximadamente 20 horas-aulas. Durante este período alguns de nossos planejamentos tiveram
que ser alterados seja por motivo de feriados e algumas paralisações da escola, sendo assim
tivemos que reelaborar algumas atividades para que conseguíssemos compensar os dias e
cumprir com o calendário escolar.
Nesta fase os momentos compartilhados nas sessões de ensino possibilitaram reflexões
e trocas de conhecimentos, em que os estudantes quando em contato com as atividades nos
230
davam indícios tanto do seu envolvimento com a atividade, atitudes e participação quanto ao
próprio desenvolvimento para o pensamento proporcional. Os estudantes demonstraram gostar
da forma em que se dava o desenvolvimento da sequência de atividades, tiveram avanço quanto
à percepção de regularidades, e apresentaram melhoria na linguagem e escrita.
Durante o desenvolvimento da sequência didática o professor da turma nos
acompanhava e disse que percebia que a turma apresentava uma boa participação resolvendo
as atividades propostas e que tínhamos domínio com a turma conseguindo alcançar os objetivos
das aulas. Após o término do experimento o professor ainda revelou que alguns dos alunos que
mais estavam precisando de ajuda conseguiram avançar e obter um bom desempenho na
avaliação interna da escola que abordava o conteúdo matemático da nossa sequência de ensino.
Em relação às dificuldades apresentadas durante a realização das sessões de ensino,
foram referentes aos conteúdos como operações básicas de matemática envolvendo números
naturais e decimais, que serviam como pré-requisito no desenvolvimento das atividades, e
também quanto à interpretação de texto em algumas situações os estudantes solicitavam
bastante ajuda. Estas dificuldades foram por nós esperada, visto que já havíamos atentado para
estas questões em nossas análises prévias. No entanto, acreditamos que os estudantes superaram
estas dificuldades de acordo com o que observávamos no decorrer das atividades.
A seção a seguir se refere a análise a posteriori e validação. Nesta fase, considerada
quarta fase da engenharia didática, mostramos as análises dos dados produzidos na pesquisa, os
resultados dos testes, e o confronto das análises a priori e análise a posteriori. Para isso, fazemos
uso da análise comparativa percentual, teste de hipótese e emprego de correlações a fim de
explanar considerações a cerca do experimento.
231
5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Esta seção tem como objetivo expor os resultados obtidos na fase de experimentação
analisando o grau de aproveitamento de cada estudante nos testes aplicados. De acordo com a
Almouloud (2007), os protocolos gerados nesta etapa, serão analisados pelo pesquisador e as
informações daí resultantes serão confrontadas com a análise a priori já realizada, em que o
objetivo é relacionar as observações com os objetivos definidos a priori e estimar a
reprodutibilidade e regularidade dos fenômenos didáticos identificados. Neste sentido
apresentaremos o grau de aproveitamento de cada estudante no decorrer da aplicação da
sequência de atividades, bem como na comparação dos dados obtidos nos testes e as
informações do questionário socioeconômico, de forma a confrontá-los com os resultados do
pré-teste, aplicado antes da sequência de atividades, e o pós-teste, aplicado após a sequência.
Para a validação da pesquisa realizamos o tratamento estatístico dos dados obtidos na
fase da experimentação, por meio da comparação percentual dos resultados dos testes, fazendo
uso de técnicas estatísticas como o teste de hipótese para amostra pareada, para que possamos
obter conclusões quantitativas sobre o pós-teste, e assim verificar se a metodologia de ensino
adotada surtiu efeito positivo no desempenho dos estudantes em resolver questões acerca do
ensino de razão e proporção.
O coeficiente de Correlação Linear de Pearson também foi utilizado, com o objetivo de
verificar se existiu ou não uma correlação positiva ou negativa entre o desempenho dos alunos
nos testes e sua situação socioeconômica, como: hábito de estudo em matemática, afinidade
com a matemática, escolaridade dos responsáveis dos participantes da pesquisa. Os resultados
dos testes e do questionário foram sistematizados em quadros, tabelas e gráficos sendo
apresentados a seguir.
5.1 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE RAZÃO
As sessões de ensino-aprendizagem de razão foram compostas de quatro atividades
enumeradas de 01 a 04, as quais cada uma possui um tema referente ao conteúdo de razão e seu
respectivo objetivo, sendo estas quatro primeiras atividades de nossa sequência referente a ideia
de razão, razões inversas, razões equivalentes e propriedade das razões equivalentes; as
atividades elaboradas para o ensino das razões especiais foram desenvolvidas por meio de uma
aula expositiva. A seguir expomos um quadro comparativo de análises confrontadas entre si,
para cada uma das quatro atividades referentes aos tópicos de razão com suas respectivas
232
análises a priori e a posteriori e validação.
Quadro 61 – Confronto entre as análises a priori e análise a posteriori das atividades de razão
Atividade Excertos Validação
1
Análise a
priori
Esperamos que os estudantes identifiquem uma
semelhança entre as notícias do quadro informativo
as quais estão sempre comparando as medidas de
duas grandezas. Os estudantes poderão sentir
dificuldades quanto a ordem na representação de
uma razão.
POSITIVA
Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram identificar a relação de
comparação entre grandezas nas razões
apresentadas. Como previsto sentiram dúvida
quanto a ordem dos valores na representação de
uma razão.
2
Análise a
priori
Por meio da observação da regularidade, os alunos
devem perceber que quando temos a multiplicação
das razões com seus termos invertidos, vão resultar
o produto igual a 1 (um). Os estudantes poderão
equivocar-se na operação de multiplicação, sendo
levados ao erro quanto ao produto dos antecedentes
ou consequentes comprometendo objetivo da
atividade.
POSITIVA Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram observar a regularidade
referente ao produto de razões inversas resultar
igual a 1, embora tenham demorado para perceber
devido a dificuldade em realizar a operação de
multiplicação, ao verificarem as razões com seus
termos invertidos resultar igual a 1, apresentamos
o quadro informativo sobre as razões inversas.
Esperamos com essa atividade que os alunos
identifiquem que em cada situação-problema
proposta apresentam duas situações para serem
233
3
Análise a
priori
representadas por razões equivalentes e que ao
simplificarem estas ao máximo irão observar que
vão chegar a uma mesma razão. Acreditamos que
com a tabela poderá ser mais fácil para os
estudantes identificarem e sintetizarem quando as
razões são equivalentes ou não.
POSITIVA
Análise a
posteriori
No decorrer da atividade ao responderem as
situações propostas os estudantes conseguiram
observar após simplificarem ao máximo que as
razões eram iguais. O quadro facilitou aos
estudantes a observarem a equivalência de razões.
4
Análise a
priori
Esperamos que os alunos consigam observar o que
ocorre quando os termos de uma razão são
multiplicados pelo mesmo valor e quando o
antecedente e consequente são multiplicados por
valores diferentes e que ainda possam fazer uma
relação com a atividade anterior em relação à
ocorrência de encontrar razões equivalentes.
POSITIVA Análise a
posteriori
Nesta atividade os estudantes conseguiram
observar a equivalência das razões ao simplificar e
dois grupos de estudantes conseguiram perceber
quando os termos eram multiplicados pelo mesmo
valor encontrava razões equivalentes, um dos
grupos colocou a resposta na observação e o outro
na conclusão, mas identificamos que os dois grupos
conseguiram atentar para os valores de K e W
dados no quadro da atividade.
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ao analisarmos os excertos referentes as atividades de razão, verificamos que as
validações das atividades foram todas positivas nos confrontos entre as análises a priori e a
posteriori.
234
5.2 ANÁLISES A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DE PROPORÇÃO
As sessões de ensino-aprendizagem referentes ao conteúdo de proporção foram compostas
de nove atividades enumeradas de 05 a 13, as quais cada uma com seu tema e objetivo, os
tópicos eram acerca de proporção, propriedade fundamental das proporções, grandezas
diretamente proporcional e grandezas inversamente proporcional, e as propriedades da soma e
subtração das proporções que foram da atividade 08 a atividade 13. A seguir no quadro 62
expomos o confronto do que esperávamos de cada atividade, as análises a priori, e o que tivemos
como respostas obtidas na fase de experimentação dessas atividades pelos alunos juntamente
com a validação.
Quadro 62 – Confronto das análises a priori e a posteriori das atividades de Proporção
Atividade Excertos Validação
5
Análise a
priori
Esperamos que os estudantes identifiquem a
equivalência de razões presentes nas duas
situações apresentadas e que com isso possamos
introduzir a ideia de proporção a partir da
equivalência de razões, ou seja, conceituar que
uma proporção é a igualdade entre duas ou mais
razões.
POSITIVA
Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram identificar a
equivalência das razões entre as quantidades de
ingredientes referentes a cada bolo. Alguns
estudantes também perceberam a relação dos
ingredientes de um bolo para o outro ser o dobro,
triplo de acordo com a quantidade de pessoas.
6
Análise a
priori
Esperamos que os alunos possam perceber que ao
realizar o produto dos extremos e o produto das
razões dadas identifiquem que os resultados são
iguais quando as razões são proporcionais. O que
poderá comprometer os alunos de conseguir
atingir o objetivo da atividade será realizar a operação de multiplicação de forma incorreta, ou
também não atentar para as razões dadas.
POSITIVA A maioria dos estudantes obteve nesta atividade
235
Análise a
posteriori
conclusões válida ou parcialmente válida, e
conseguiram atender o objetivo da atividade
verificando que quando as razões formam uma
proporção o produto dos extremos é igual ao
produto dos meios.
7
Análise a
priori
Esperamos que os alunos possam estabelecer para
cada situação uma relação entre os valores de cada
coluna das tabelas apresentadas, ou seja, que
aumentando os valores de uma coluna, a outra
também aumenta na mesma proporção, quando o
valor de uma grandeza dobra, triplica, fica a
metade, o da outra também dobra, triplica, fica a
metade, e assim por diante. Da mesma forma que
identifique quando os valores de uma grandeza
são multiplicados por um determinado o valor da
outra grandeza é dividido pelo mesmo valor na
mesma proporção, configurando grandezas
inversamente proporcionais.
POSITIVA
Análise a
posteriori
A atividade de grandezas diretamente
proporcionais e grandezas inversamente
proporcionais obtiveram pela maioria dos
estudantes respostas válidas e parcialmente
válidas. Em que conseguiam identificar quando os
valores das duas colunas aumentavam ou quando
uma aumentava a outra diminuía sendo que na
mesma proporção.
8
Análise a
priori
Inicialmente, esperamos que os alunos
identifiquem quando duas razões formam ou não
uma proporção. Quando for o caso afirmativo,
espera-se que os alunos observem que a soma dos
dois primeiros termos está para o 1º termo, assim
como a soma dos dois últimos termos está para o
236
3º termo e que isto formará também uma
proporção.
POSITIVA
Análise a
posteriori
De acordo com as respostas colocadas nas
observações pelos estudantes, vamos perceber que
as observações de cada grupo foram observações
válidas, os estudantes observaram principalmente
para a situação de existir ou não razões que
formam uma proporção. Embora quanto as
respostas para as conclusões, todas foram
parcialmente válidas, em que tiveram boas
construções de pensamento aproximando do que
era desejado.
9
Análise a
priori
Inicialmente, esperamos que os alunos
identifiquem quando duas razões formam ou não
uma proporção. Quando for o caso afirmativo,
espera-se que os alunos observem que a soma dos
dois primeiros termos está para o 2º termo, assim
como a soma dos dois últimos termos está para o
4º termo e que isto formará também uma
proporção.
POSITIVA
Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram identificar as razões
que formavam uma proporção e também
observaram para a soma dos termos percebendo
que também resultaria em uma proporção,
sentiram dificuldade para escrever o nome dos
termos ou mesmo esqueceu-se de atentar para isto,
mas pelo que escreveram podemos perceber que
conseguiram entender o objetivo.
Análise a
priori
Esperamos com essa atividade que os alunos
identifiquem que numa proporção a diferença dos
dois primeiros termos está para o 1º termo, assim
como a diferença dos dois últimos termos está para
o 3º termo.
237
10 Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram identificar a diferença
dos termos da proporção que resultaria em outra
razão proporcional as razões dadas, sendo todas as
respostas consideradas parcialmente válidas.
POSITIVA
11
Análise a
priori
Esperamos com essa atividade que os alunos
identifiquem que numa proporção a diferença dos
dois primeiros termos está para o 2º termo, assim
como a diferença dos dois últimos termos está para
o 4º termo.
POSITIVA Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram perceber a relação
entre a diferença dos termos da proporção, as suas
respostas melhoram de acordo com as atividades,
principalmente as relacionadas as propriedades.
12
Análise a
priori
Esperamos que os alunos identifiquem que quando
duas razões formam uma proporção, ao somarmos
os antecedentes e os consequentes dessas razões,
a soma entre eles também forma uma proporção
com cada uma das duas razões dadas inicialmente.
POSITIVA
Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram obter todas as
observações válidas para a atividade e a conclusão
parcialmente válida, conseguiram identificar que
quando soma os valores dos antecedentes e
consequentes forma também outra razão
proporcional com a primeira razão e com a
segunda. Quanto considerarmos parcialmente
válida foi devido esquecer algum termo ou palavra
para que ficasse a resposta completa, mas isso não
comprometia o entendimento do que os alunos
tentaram expressar em suas conclusões.
Análise a
priori
Esperamos que os alunos identifiquem que quando
duas razões formam uma proporção, ao subtrair os
antecedentes e os consequentes dessas razões, a
238
13
diferença entre eles também forma uma proporção
com cada uma das duas razões dadas inicialmente.
POSITIVA Análise a
posteriori
Os estudantes conseguiram identificar as razões
que formavam proporção e que a diferença dos
antecedentes e consequentes destas formava uma
nova razão que também era proporcional a estas
razões dadas.
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com o quadro acima, verificamos que as atividades referentes ao conteúdo
de proporção, o que prevíamos nas análises a priori de acontecer na fase da experimentação em
cada atividade, vieram a ocorrer no momento da execução das aulas, o que resultou em
validações positivas.
5.3 ANÁLISES A POSTERIORI DOS TESTES AVALIATIVOS
Neste momento iremos apresentar e analisar o resultado dos estudantes no pré-teste e pós-
teste aplicados na fase da experimentação, bem como em relação a análise por aluno e por
questão, como o comparativo quanto ao desempenho dos estudantes nos testes, de modo a
ressaltar os dados referentes ao rendimento dos mesmo, seja a maiores e menores rendimentos
de determinados tópicos, e fazer as considerações referente a sequência didática aplicada para
o ensino de razão e proporção.
5.3.1 Desempenho dos alunos por questão no pré-teste
A seguir a tabela 53 e o gráfico 36 apresentam o desempenho dos estudantes por questão
no pré-teste.
239
Tabela 53 – Desempenho dos estudantes por questão no pré-teste
Questão Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
01 5% 50% 45%
02 0% 25% 75%
03 5% 25% 70%
04 5% 30% 65%
05 0% 10% 90%
06 15% 15% 70%
07 0% 30% 70%
08 30% 40% 30%
09 0% 20% 80%
10 0% 10% 90%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 36 – Desempenho dos alunos por questão no pré-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Como podemos observar os resultados da tabela e o gráfico acima apresentam que as
maiorias das questões foram deixadas em branco pelos estudantes, sendo apenas a questão 01
referente a ideia de razão que 50% dos estudantes colocaram respostas erradas e sem cálculo,
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Questão 01
Questão 02
Questão 03
Questão 04
Questão 05
Questão 06
Questão 07
Questão 08
Questão 09
Questão 10
Acerto (%) 5% 0% 5% 5% 0% 15% 0% 30% 0% 0%
Erro (%) 50% 25% 25% 30% 10% 15% 30% 40% 20% 10%
Em branco (%) 45% 75% 70% 65% 90% 70% 70% 30% 80% 90%
240
ou que escreveram respostas não associando a nenhum número, demonstrando que não
compreendiam este conceito, e a questão de número 08 talvez por ser uma questão de múltipla
escolha, também foi uma das questões que o percentual de questões em branco foi menor, dentre
as demais questões em que o percentual de questões deixadas em branco foram superiores a
60%. A questão 06 referente a uma das propriedades da proporção apresenta 15% de acerto,
no entanto os estudantes não apresentaram o cálculo para que analisássemos quais
conhecimentos foram mobilizados para que chegassem a essa resposta.
5.3.2 Desempenho dos alunos por questão no pós-teste
A seguir apresentamos o quadro 63 e o gráfico 37 referente ao desempenho dos
estudantes por questão no pós-teste.
Quadro 63 – Desempenhos dos estudantes por questão no pós-teste
Questão Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
01 80% 10% 10%
02 5% 65% 30%
03 50% 40% 10%
04 40% 45% 15%
05 85% 10% 5%
06 50% 40% 10%
07 45% 45% 10%
08 85% 15% -
09 80% 15% 5%
10 80% 20% 0%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
241
Gráfico 37 – Desempenho dos estudantes por questão no pós-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Na análise dos dados da tabela 53 e gráfico 37, podemos perceber que a maioria das
questões apresentou pelos estudantes um percentual de acerto elevado em comparação com o
pré-teste que as maiorias das questões foram deixadas em branco. Notamos também que as
questões que obtiveram menores índices de acerto foram as questões 02 referente ao assunto de
Escalas e a questão 04 sobre porcentagem, no entanto ao analisarmos os erros dos estudantes
verificamos que os erros foram procedimentais, quanto a operações básicas ou quando envolvia
números decimais, como na questão 02.
5.3.3 Comparativo do desempenho dos estudantes por questão nos testes
A seguir apresentamos o comparativo do desempenho dos estudantes por questão na
tabela 54 e gráfico 38.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Questão 01
Questão 02
Questão 03
Questão 04
Questão 05
Questão 06
Questão 07
Questão 08
Questão 09
Questão 10
Acerto (%) 80% 5% 50% 40% 85% 50% 45% 85% 80% 80%
Erro (%) 10% 65% 40% 45% 10% 40% 45% 15% 15% 20%
Em Branco (%) 10% 30% 10% 15% 5% 10% 10% 0% 5% 0%
242
Tabela 54 – Desempenho dos estudantes nos testes por questão
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
Questões Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste
1ª 5% 80% 50% 10% 45% 10%
2ª 0% 5% 25% 65% 75% 30%
3ª 5% 50% 25% 40% 70% 10%
4ª 5% 40% 30% 45% 65% 15%
5ª 0% 85% 10% 10% 90% 5%
6ª 15% 50% 15% 40% 70% 10%
7ª 0% 45% 30% 45% 70% 10%
8ª 30% 85% 40% 15% 30% 0%
9ª 0% 80% 20% 15% 80% 5%
10ª 0% 80% 10% 20% 90% 0% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 38 – Desempenho dos alunos nos testes por questão
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com a tabela e gráfico apresentados, analisamos que os estudantes avançaram
significativamente comparados ao desempenho que obtiveram em relação ao pré-teste. Como
podemos observar a questão 05 referente ao conceito de proporção que não obteve nenhum
acerto no pré-teste avançou consideravelmente no pós-teste com um total de 85% de acerto. As
questões 02, 03, 04 e 07 que apresentaram menores índices de acertos, respectivamente, 5%,
50%, 40% e 45% no pós-teste, verificamos que a maioria dos estudantes tentou resolver estas
questões e demonstrava compreender o conceito, no entanto entre os erros apresentados,
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
243
observamos que a maioria obtiveram erros procedimentais, seja referente às quatro operações
básicas da matemática quanto quando envolvia operações com números decimais.
Quanto as questões 02, 03 e 04, são referentes as razões especiais, escalas, densidade
demográfica e porcentagem, acreditamos também que devido estas razões juntamente com
outras razões especiais terem sido abordadas em apenas uma aula e com pouco tempo para
atividade de aprofundamento tenha comprometido no desempenho dos estudantes na resolução
dessas questões. Nas figuras a seguir temos alguns dos erros apresentados pelos estudantes
nestas questões.
Figura 09 – Resolução questão 02 estudante E18
Fonte: Pós-teste estudante E18
De acordo com resposta do estudante E18 não foi colocado o cálculo da questão pelo
estudante para chegar a este resultado, a maioria dos estudantes colocou esta mesma resposta.
Como não há o cálculo de como obtiveram este resultado não conseguimos identificar qual o
raciocínio utilizaram para chegar a estas medidas encontradas para a largura e comprimento
reais da pegada. A seguir na figura 10 outra resposta foi apresentada pelo estudante E9.
Figura 10 – Resolução questão 02 estudante E9
Fonte: Pós-teste estudante E9
244
Da mesma forma encontramos na resposta do estudante E9 uma resposta sem nenhum
cálculo de como obteve este resultado. Ao compararmos estas respostas sem cálculo
apresentadas pelos estudantes E9 e E18 observamos que um deles aproximou mais da resposta
correta, no caso o aluno E18, visto que as respostas corretas seria 26,4 cm a largura real da
pegada e 40,8 cm o comprimento real, e o aluno E18 encontrou as respostas 32,4 cm e 48,8 cm
como vimos na figura 10 acima.
Figura 11 – Resolução questão 02 estudante E15
Fonte: Pós-teste estudante E15
De acordo com a resposta do estudante E15 percebemos que conseguiu destacar alguns
dados da questão e até associar corretamente quanto a escala da caneta, no entanto não
continuou a resolução, podemos inferir que pode ser por envolver uma divisão com números
decimais que tenha feito o estudante não ter continuado a resolução. Notamos que conseguiu
estabelecer de forma correta a representação da escala, pelos valores de 1,4 que representa o
comprimento no desenho da caneta e 16,8 o comprimento real.
Figura 12 – Resolução da questão 03 do estudante E14
Fonte: Pós-teste estudante E14
Ao observamos a resposta do estudante E14 percebemos que realizou o cálculo correto
para encontrar a densidade demográfica da região A, embora não dividiu corretamente a
densidade demográfica da região B, dessa maneira o levaria ao erro. E ainda não completou a
resposta dizendo qual região seria a mais densamente povoada, um conceito que foi trabalhado
com eles durante a aula expositiva. No entanto, percebemos que a ideia em relação a esta razão
245
especial ficou clara para o aluno, visto que o erro não se refere a interpretação, mas sim devido
ao cálculo incorreto. Outro estudante que também obteve um resultado nessa direção foi o
estudante E3, como podemos observar na figura 13.
Figura 13 – Resolução questão 03 estudante E3
Fonte: Pós-teste estudante E3
Na resposta do estudante E3 encontramos que ele utilizou os dados da região A para
calcular sua densidade demográfica e de acordo com o comando da questão devido a isso deve
ter utilizado a letra D para representar a região A, e B para representar a densidade demográfica
da região B, mas também equivocou-se ao resolver o cálculo da região B, e dessa forma
comprometendo o resultado, ocasionando ao erro. No entanto, poderíamos considerar que
conseguiram representar também a razão densidade demográfica corretamente.
Figura 14 – Resolução questão 04 estudante E15
Fonte: Pós- teste estudante E15
De acordo com a resposta do estudante E15 identificamos que a maioria das questões
incorretas deu como resultado o percentual de 3% para a porcentagem que representasse o
número de copos que não estava na Amazônia. Acreditamos que esse resultado apontado pelos
alunos deva-se ao número de copos que a questão abordava ser de 7 para a Amazônia e 3 para
o resto do Brasil, e os alunos tenham associado que seria 3% a resposta, mas utilizaram um
raciocínio ainda incorreto para a questão. A figura 09 apresenta também um modelo de resposta
incompleta, como podemos ver a seguir.
246
Figura 15 – Resolução questão 04 estudante E8
Fonte: Pós-teste estudante E8
Nesta resposta do estudante E8 podemos identificar que conseguiu interpretar o
enunciado e estabelecer a relação de considerar o total para 100%, no entanto no seu cálculo
verificamos que ficou incompleto e ainda realizou uma multiplicação incorreta, ao
operacionalizar o 3 vezes 100 como produto 3000, levaria ao erro. Consideramos que o aluno
conseguiu lembrar uma das formas de resolver a questão por meio de uma regra de três, embora
não conseguiu concluir a sua resposta de forma adequada. A seguir temos a figura 16 que
também apresenta uma resposta incorreta para a questão 04.
Figura 16 – Resolução questão 04 estudante E13
Fonte: Pós-teste estudante E13
De acordo com a resposta do estudante E13 podemos ver que também foi na mesma
direção da resposta do estudante E8 para a resolução por meio da regra de três, no entanto
realizou um cálculo incorreto, pois ao dividir o valor 300 o estudante dividiu por 2, sendo levado
ao erro, já que o correto seria dividir por 10 e obter a resposta certa. Podemos perceber que o
estudante “armou” corretamente a conta, mas equivocou-se ao multiplicar os valores.
Acreditamos que o aluno conseguiu interpretar corretamente, visto que considerou o total
corretamente somando o número de copos para a Amazônia e para o resto do Brasil.
De acordo com os resultados quanto aos erros apresentados pelos estudantes no pós-
teste podemos ter indícios reveladores das dificuldades nas questões que envolvem o assunto
de razão e proporção ou mesmo de conhecimentos anteriores a este conteúdo, como observado,
principalmente as operações básicas de matemática. Segundo Pinto (2000), o erro tem sido um
importante objeto de estudo para a educação matemática e começa a ser tratado como uma
possibilidade permanente na construção do conhecimento. E para Cury (2008) a análise das
247
respostas, pode ser enfocada como metodologia de ensino, partindo dos erros detectados e
levando os alunos a questionar suas respostas, para construir o próprio conhecimento.
A seguir apresentamos na tabela 55 e gráfico 39 os dados referentes ao desempenho por
aluno no pré-teste.
5.3.4 Desempenho por estudante no pré-teste
A tabela 55 e seu respectivo gráfico 39 apresentam o desempenho por aluno no pré-teste
e em seguida analisamos os dados informados quanto a estes desempenhos.
Tabela 55 – Desempenho por estudante no pré-teste
Estudante Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
E1 10% 30% 60%
E2 0% 10% 90%
E3 0% 40% 60%
E4 10% 70% 20%
E5 0% 10% 90%
E6 10% 20% 70%
E7 0% 10% 90%
E8 0% 30% 70%
E9 10% 70% 20%
E10 0% 0% 100%
E11 0% 40% 60%
E12 0% 10% 90%
E13 0% 20% 80%
E14 0% 0% 100%
E15 0% 0% 100%
E16 20% 20% 60%
E17 20% 70% 10%
E18 10% 10% 80%
E19 20% 40% 40%
E20 10% 10% 80%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
248
Gráfico 39 – Desempenho por estudante no pré-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
A partir dos dados apresentados na tabela e gráfico acima, analisamos que a maioria dos
estudantes deixaram as questões do pré-teste em branco, e os índices que mostram o percentual
de acerto para a maioria dos estudantes representam menos de 20% das questões do pré-teste.
As questões em que os alunos colocam alguma resposta representam resultados sem cálculos e
distante da resposta correta, demonstrando que não compreendem o comando da questão ou o
conteúdo que se refere. Isto revela como foi o rendimento percentual antes de nossa intervenção
em sala de aula.
A seguir apresentamos os dados referentes ao desempenho dos alunos no pós-teste,
realizado após a aplicação da sequência didática.
5.3.5 Desempenho por estudante no pós-teste
A tabela 56 e o gráfico 40 apresentam os dados relacionados ao desempenho por
estudante no nosso pós-teste.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
249
Tabela 56 – Desempenho por estudante no pós-teste
Estudante Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
E1 90% 10% 0%
E2 70% 30% 0%
E3 60% 40% 0%
E4 50% 50% 0%
E5 60% 40% 0%
E6 30% 30% 40%
E7 60% 20% 20%
E8 40% 40% 20%
E9 70% 30% 0%
E10 30% 30% 40%
E11 60% 30% 10%
E12 30% 30% 40%
E13 70% 30% 0%
E14 60% 40% 0%
E15 50% 40% 10%
E16 60% 40% 0%
E17 90% 10% 0%
E18 80% 20% 0%
E19 80% 20% 0%
E20 50% 40% 10% Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Gráfico 40 – Desempenho por estudante no pós-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Como observado na tabela e gráfico acima referente ao desempenho por aluno no pós-
teste, notamos que o destaque nesse momento retrata os índices que representam os acertos, a
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8 E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16 E17 E18 E19 E20
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
250
maioria dos estudantes apresentaram um percentual de acerto igual ou superior a 60% nas
questões do pós-teste. Como vimos anteriormente na análise por questão dos erros que os alunos
apresentavam em algumas situações, estes erros foram principalmente quanto a erros
procedimentais, erros de cálculos simples. Podemos perceber também que os índices das
questões deixadas em branco, são pequenos e na maioria dos casos não existem. A seguir na
tabela 57 e seu respectivo gráfico 40 podemos visualizar melhor o comparativo dos estudantes
no pré-teste e pós-teste
Tabela 57 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
Estudante Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste Pré-teste Pós-teste
E1 10% 90% 30% 10% 60% 0%
E2 0% 70% 10% 30% 90% 0%
E3 0% 60% 40% 40% 60% 0%
E4 10% 50% 70% 50% 20% 0%
E5 0% 60% 10% 40% 90% 0%
E6 10% 30% 20% 30% 70% 40%
E7 0% 60% 10% 20% 90% 20%
E8 0% 40% 30% 40% 70% 20%
E9 10% 70% 70% 30% 20% 0%
E10 0% 30% 0% 30% 100% 40%
E11 0% 60% 40% 30% 60% 10%
E12 0% 30% 10% 30% 90% 40%
E13 0% 70% 20% 30% 80% 0%
E14 0% 60% 0% 40% 100% 0%
E15 0% 50% 0% 40% 100% 10%
E16 20% 60% 20% 40% 60% 0%
E17 20% 90% 70% 10% 10% 0%
E18 10% 80% 10% 20% 80% 0%
E19 20% 80% 40% 20% 40% 0%
E20 10% 50% 10% 40% 80% 10%
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
252
Gráfico 41 – Desempenho por estudante no pré-teste e pós-teste
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
E1 P
RÉ
E1 P
ÓS
E2 P
RÉ
E2 P
ÓS
E3 P
RÉ
E3 P
ÓS
E4 P
RÉ
E4 P
ÓS
E5 P
RÉ
E5 P
ÓS
E6 P
RÉ
E6 P
ÓS
E7 P
RÉ
E7 P
ÓS
E8 P
RÉ
E8 P
ÓS
E9 P
RÉ
E9 P
ÓS
E10
PR
É
E10
PÓ
S
E11
PR
É
E11
PÓ
S
E12
PR
É
E12
PÓ
S
E13
PR
É
E13
PÓ
S
E14
PR
É
E14
PÓ
S
E15
PR
É
E15
PÓ
S
E16
PR
É
E16
PÓ
S
E17
PR
É
E17
PÓ
S
E18
PR
É
E18
PÓ
S
E19
PR
É
E19
PÓ
S
E20
PR
É
E20
PÓ
S
Acerto (%) Erro (%) Em branco (%)
253
De acordo com o comparativo dos estudantes no pré-teste e pós-teste observamos que a
maioria dos estudantes obteve um bom desempenho e uma evolução notável nas questões de
razão e proporção em relação aos resultados verificados no pré-teste. Diante a esta análise
comparativa podemos dizer que a aplicação da sequência de atividade por nós proposta surtiu
um efeito positivo, aumentando o rendimento destes estudantes e mais confiança ao resolver
questões que envolvam o conteúdo matemático em questão.
Quanto ao processo de ensino-aprendizagem proporcionado pelas atividades acreditamos
que um dos fatores importante para o bom desempenho seja pela oportunidade que os estudantes
obtiveram diante aos desafios de cada situação-problema, pelos estudos realizados em grupos
favoreceu que os colegas pudessem auxiliar um ao outro e assim aprendendo mais tentando
ensinar e construindo seu próprio conhecimento. Neste pensamento, a forma de aquisição do
conhecimento de acordo com estudos dos laboratórios nacionais de treinamento (National
Training Laboratories (NTL)), nos Estados Unidos apresentam a seguinte pirâmide que mostra
como melhor aprendemos.
Figura 17 – Pirâmide de Aprendizagem
Fonte: Meister (1999, apud, Sobreira, 2018, p.326)
De acordo com a figura acima percebemos que os estudantes exercem papel de alunos
ativos e obtém maiores índices de aprendizagem quando realizam discussão em grupo, praticam
fazendo e quando ensinam os outros, neste sentido as ações ativas frente ao conhecimento
possibilitam melhores condições para que a aprendizagem seja efetivada.
Em relação aos resultados do pós-teste, ao olharmos para o desempenho dos estudantes
254
E6, E10 e E12 verificamos que estes estudantes ainda tiveram um rendimento baixo na
resolução do pós-teste. Ao analisarmos a participação desses estudantes em sala, observamos
que no desenvolvimento das atividades pelo estudante E10 tínhamos que ter mais atenção, da
mesma forma com o estudante E6, visto que o estudante E10 apresentava baixa visão, com isso
fazíamos um trabalho com ele de leituras das atividades mais devagar para que pudesse fazer a
leitura labial, e o E6 era um estudante (PCD), como os dois faziam parte do mesmo grupo na
maioria das vezes, quando seus colegas não conseguiam ajuda-los, auxiliávamos cada um destes
estudantes seja por meio da leitura pausadamente e sempre a frente do estudante com baixa
visão, ou explicando cada passo detalhadamente ao estudante E6 para que conseguisse
compreender e responder a atividade. Ainda que os estudantes E6 e E10 demonstrassem
interesse em algumas atividades, às vezes não conseguiam concentrar.
Quanto ao estudante E12 em algumas situações tínhamos que chamar sua atenção devido
às conversas paralelas durante o desenvolvimento das atividades, as vezes conseguíamos que
se dedicasse em realizar as tarefas junto com seus colegas, no entanto ao olharmos para a
frequência nas aulas percebemos também que obteve falta em quatro atividades das treze que
realizamos com a turma, com isso acreditamos que estes fatores tenham influenciado no
desempenho do estudante.
5.4 TESTE DE HIPÓTESE E CORRELAÇÕES
Nesta subseção utilizaremos o teste de hipótese para compararmos duas médias da amostra
com 20 estudantes, obtidas no pré-teste (antes da aplicação da sequência de atividades) e pós-
teste (após a aplicação do experimento). Este teste é um método de inferência estatística usando
dados de um estudo científico. Ele corresponde a uma regra decisória que nos permite rejeitar
ou não rejeitar uma hipótese estatística com base nos resultados de uma amostra, em Bussab e
Morettin (2002) temos que o objetivo do teste estatístico de hipótese e fornecer uma
metodologia que nos permita verificar se os dados amostrais trazem evidências que apoiem ou
não uma hipótese formulada.
De acordo com Levin e Fox (2004) devemos formular duas hipóteses, sendo elas a
hipótese nula (𝐻0) e a hipótese de pesquisa também chamada de hipótese alternativa (𝐻1).
Neste sentido, a partir do teste de hipótese, queremos verificar, estatisticamente, a diferença
entre a média do pré-teste (𝜇1) e a média do pós-teste (𝜇2), neste caso vamos considerar a
hipótese nula (𝜇1 ≥ 𝜇2) como sendo: os alunos não obtém maior desempenho após a aplicação
da sequência didática; e a hipótese de pesquisa ou alternativa (𝜇1 < 𝜇2): os alunos obtém
255
maior desempenho após a aplicação da sequência didática.
Em nosso estudo queremos mostrar que o aproveitamento dos alunos foi maior depois da
aplicação da sequência didática, dessa maneira, segundo Levin e Fox (2004, p.246) é necessário
que utilizemos o teste unilateral para duas medições da mesma amostra. No figura x a seguir
podemos observar a regra para nossa tomada de decisão diante a situação.
Figura 18 – Regras de rejeição da hipótese nula em um teste t unilateral
Fonte: Levin e Fox (2004, apud Silva, 2015)
Para determinarmos o t calculado iremos considerar as notas absolutas dos estudantes
nos dois testes. Em nossos testes havia 10 questões, nesse caso, foram tabuladas de 0 a 10, de
acordo com o número de acertos de cada estudante, como mostra a seguir.
Tabela 58 – Desempenho nos testes e diferença entre as médias
Estudante Nota no pré-teste
(𝑿𝟏)
Nota no pós-
teste (𝑿𝟐)
Diferença (D) D²
E1 1 9 8 64
E2 0 7 7 49
E3 0 6 6 36
E4 1 5 4 16
E5 0 6 6 36
E6 1 3 2 4
E7 0 6 6 36
E8 0 4 4 16
E9 1 7 6 36
E10 0 3 3 9
E11 0 6 6 36
256
E12 0 3 3 9
E13 0 7 7 49
E14 0 6 6 36
E15 0 5 5 25
E16 2 6 4 16
E17 2 9 7 49
E18 1 8 7 49
E19 2 8 6 36
E20 1 5 4 16
N=20 ∑ 𝑋1 = 12 ∑ 𝑋2 = 119 - ∑ 𝐷2 = 623
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
De acordo com os dados da tabela, inicialmente, vamos determinar a média tanto do pré-
teste como do pós-teste, em seguida calculamos o desvio padrão das diferenças e o erro padrão
da diferença entre as médias e por fim calculamos o valor de t. Para isso, com auxílio do
Programa Microsoft Office Excel, obteve-se os seguintes resultados:
Média do desempenho no pré-teste: 𝜇1 =∑ 𝑋1
𝑁=
12
20= 0,6
Média do desempenho no pós-teste: 𝜇2 =∑ 𝑋2
𝑁=
119
20= 5,95
Desvio Padrão das diferenças: 𝑆 = 1,631112
Erro padrão da diferença entre as médias: �̅� = 0,364728
Neste sentindo para calcularmos o valor de t, utilizamos a fórmula:
𝑡 =�̅�−𝜇0
𝑆/√𝑛 =
(0,6 −5,95)−0
0,364728=
−5,35
0,364728= −14,66848 ≅ −14,70
Para uma significância de 5% e grau de liberdade (𝑔𝑙) = 20 − 1 → 𝑔𝑙 = 19, temos
que o 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 ou 𝑡 tabelado = 1,729. Conforme Levin e Fox (2004), nas pesquisas das áreas
sociais e humanas, geralmente adota-se o nível de significância igual a 0,05, e assim
verificamos na tabela de nível de significância para o teste unilateral (𝛼), de acordo com o grau
de liberdade (𝑔𝑙) o valor de 𝑡 tabelado. Como podemos perceber, de acordo com as regras de
rejeição da hipótese nula, o 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < −𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜, nesse caso devemos rejeitar a hipótese nula
e aceitar a hipótese de pesquisa, logo temos: −14,70 < −1,729.
Dessa forma, rejeitamos a hipótese nula e aceitamos a hipótese alternativa ou hipótese de
257
pesquisa e afirmamos, estatisticamente, que o experimento didático elaborado e aplicado ao
ensino de razão e proporção proporcionou aos estudantes do 7º ano do Ensino Fundamental,
um maior desempenho das habilidades nos tópicos matemáticos relacionados a este conteúdo.
5.5 COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO LINEAR DE PEARSON
Nesta subseção temos como objetivo apresentar as informações relativas ao coeficiente de
correlação linear de Pearson em que fazemos análises estatísticas em relação às variáveis
socioeconômicas, para verificar o quanto as mesmas podem ter influenciado nos resultados das
médias dos testes. Dessa forma, utilizamos o cálculo do coeficiente de correlação linear de
Pearson, calculado por meio do recurso do Excel, o qual mede o grau da correlação entre duas
variáveis de escala métrica (e a direção dessa correlação – se positiva ou negativa) entre duas
variáveis.
O coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), de acordo com Levin e Fox (2004)
possui nível de intensidade que assume apenas valores entre -1 e 1, ou seja, a correlação
classifica-se de acordo com o valor de (𝑟), como podemos ver no quadro a seguir.
Quadro 64 – Classificação da correlação conforme o coeficiente de r
Coeficiente de Correlação Classificação da Correlação
𝑟 = 1 Perfeita positiva
0,8 ≤ 𝑟 < 1 Forte positiva
0,5 ≤ 𝑟 < 0,8 Moderada positiva
0,1 ≤ 𝑟 ≤ 0,5 Fraca positiva
0 < 𝑟 < 0,1 Ínfima positiva
𝑟 = 0 Nula
−0,1 < 𝑟 < 0 Ínfima negativa
−0,5 < 𝑟 ≤ −0,1 Fraca negativa
−0,8 < 𝑟 ≤ −0,5 Moderada negativa
−1 < 𝑟 ≤ −0,8 Forte negativa
𝑟 = −1 Perfeita negativa
Fonte: Adaptada de Levin e Fox (2004)
258
Para realizarmos os cálculos de correlações de Pearson tivemos como auxílio o Software
Microsoft Office Excel para serem calculados diante as seguintes variáveis: diferença de notas
nos testes e os dados pessoais do questionário socioeconômico, como: escolaridade do
responsável masculino, escolaridade do responsável feminino, dificuldade no aprendizado de
matemática, auxílio em tarefas de matemática extraescolares, hábito de estudo de matemática e
gosto pela matemática.
Os dados utilizados para o cálculo das correlações foram obtidos dos testes aplicados aos
alunos e das informações fornecidas por meio do questionário com perguntas de caráter
socioeconômico (Cf. Apêndice C) conforme descrevemos em nossa primeira sessão de ensino.
As variáveis qualitativas foram parametrizadas para tornar possível o cálculo do coeficiente de
correlação, estes são mostrados a seguir para os vários fatores analisados.
Em nossa primeira correlação consideramos as seguintes variáveis: nível de escolaridade
do responsável masculino e a diferença das notas nos testes. Como mostra o quadro a seguir:
Quadro 65 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Masculino
Escolaridade Valor Parametrizado
Sem escolaridade ou não Informou 1
Nível Fundamental 2
Nível Médio 3
Nível Superior 4
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quadro 66 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Escolaridade
do Resp.
Masculino
E1 1 9 8 3
E2 0 7 7 1
E3 0 6 6 1
E4 1 5 4 3
E5 0 6 6 2
E6 1 3 2 1
259
E7 0 6 6 4
E8 0 4 4 3
E9 1 7 6 3
E10 0 3 3 2
E11 0 6 6 3
E12 0 3 3 3
E13 0 7 7 3
E14 0 6 6 3
E15 0 5 5 1
E16 2 6 4 3
E17 2 9 7 2
E18 1 8 7 1
E19 2 8 6 2
E20 1 5 4 1
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Ao calcularmos o coeficiente de correlação linear de Pearson (𝑟), encontramos o valor
de 𝑟 = 0,0075114 o que de acordo com o quadro de classificação temos uma correlação ínfima
negativa, neste caso não podemos inferir que a escolaridade do responsável masculino é
considerada um fator determinante no desempenho dos estudantes.
Em relação à escolaridade dos responsáveis feminino dos estudantes, expomos os
dados a seguir:
Quadro 67 – Valores parametrizados para Escolaridade do Responsável Feminino
Escolaridade Valor Parametrizado
Sem escolaridade ou não Informou 1
Nível Fundamental 2
Nível Médio 3
Nível Superior 4
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
260
Tabela 59 – Correlação entre a diferença das notas nos testes e o fator escolaridade do
responsável feminino
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Escolaridade
do Resp.
Feminino
E1 1 9 8 3
E2 0 7 7 1
E3 0 6 6 1
E4 1 5 4 2
E5 0 6 6 3
E6 1 3 2 1
E7 0 6 6 3
E8 0 4 4 2
E9 1 7 6 3
E10 0 3 3 1
E11 0 6 6 2
E12 0 3 3 2
E13 0 7 7 3
E14 0 6 6 2
E15 0 5 5 1
E16 2 6 4 1
E17 2 9 7 3
E18 1 8 7 1
E19 2 8 6 1
E20 1 5 4 1
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Quanto a correlação linear para a escolaridade do responsável feminino, encontramos
𝑟 = 0,444319, classificando-se como fraca positiva, assim como na correlação linear para a
escolaridade dos responsável masculino, temos um grau de uma fraca correlação e
consideramos que a escolaridade do responsável feminino exerce pouca influência nos
resultados encontrados nos testes aplicados.
A seguir o quadro 68 apresenta os dados referentes ao fator dificuldade no aprendizado
de Matemática.
261
Quadro 68 – Valores parametrizados para Dificuldade no aprendizado de Matemática
Possui dificuldade em Matemática Valor Parametrizado
Muito 1
Um pouco 2
Não 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Tabela 60 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e a dificuldade em
aprender matemática
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Dificuldade em
Aprender
Matemática
E1 1 9 8 3
E2 0 7 7 2
E3 0 6 6 2
E4 1 5 4 1
E5 0 6 6 2
E6 1 3 2 1
E7 0 6 6 2
E8 0 4 4 2
E9 1 7 6 2
E10 0 3 3 3
E11 0 6 6 1
E12 0 3 3 2
E13 0 7 7 2
E14 0 6 6 2
E15 0 5 5 2
E16 2 6 4 2
E17 2 9 7 2
E18 1 8 7 2
E19 2 8 6 2
E20 1 5 4 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
262
Para a correlação referente ao fator dificuldade em aprender matemática, encontramos
𝑟 = 0,17226, considerado na classificação como uma correlação também fraca positiva, ou
seja, o fato dos alunos sentirem dificuldade em matemática teve pouca interferência nos
resultados dos testes.
A seguir apresentamos o quadro 69 com os dados referentes ao auxílio recebido em
tarefas de Matemática
Quadro 69 – Auxílio em Tarefas de Matemática
Auxílio em tarefas de Matemática Valor Parametrizado
Não têm 1
Recebe ajuda de Parentes ou amigos 2
Recebe ajuda especializada 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Tabela 61 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e auxílio nas tarefas de
Matemática
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Auxílio em
tarefas de
matemática
E1 1 9 8 3
E2 0 7 7 1
E3 0 6 6 1
E4 1 5 4 1
E5 0 6 6 1
E6 1 3 2 1
E7 0 6 6 3
E8 0 4 4 3
E9 1 7 6 1
E10 0 3 3 2
E11 0 6 6 1
E12 0 3 3 1
E13 0 7 7 1
E14 0 6 6 2
263
E15 0 5 5 2
E16 2 6 4 2
E17 2 9 7 1
E18 1 8 7 1
E19 2 8 6 1
E20 1 5 4 2
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para o auxílio em tarefas extraescolares de matemática tivemos como resultado 𝑟 =
−0,03613, a qual se classifica como uma correlação ínfima negativa. Neste caso, consideramos
que este fator teve pouca interferência nos resultados dos estudantes. No quadro a seguir
apresentamos quanto ao hábito de estudo de matemática.
Quadro 70 – Hábito de Estudo de matemática fora da escola
Hábito de estudo de Matemática Valor Parametrizado
Só na véspera 1
Só no período de provas 2
Só nos fins de semana 3
De segunda a sexta 4
Todo dia 5
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Tabela 62 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o hábito de estudo de
matemática
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Hábito de
estudo de
matemática
E1 1 9 8 4
E2 0 7 7 1
E3 0 6 6 2
E4 1 5 4 2
E5 0 6 6 2
264
E6 1 3 2 1
E7 0 6 6 1
E8 0 4 4 3
E9 1 7 6 3
E10 0 3 3 2
E11 0 6 6 2
E12 0 3 3 2
E13 0 7 7 2
E14 0 6 6 2
E15 0 5 5 1
E16 2 6 4 2
E17 2 9 7 1
E18 1 8 7 2
E19 2 8 6 2
E20 1 5 4 2
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para o fator relacionado ao hábito de estudo encontramos na correlação linear de
Pearson o valor de 𝑟 = 0,184893, portanto, sendo também uma correlação fraca positiva. Com
isso, consideramos que o fator hábito de estudo não influenciou de forma determinante para os
resultados dos estudantes nos testes. O quadro 71 a seguir apresenta os dados referentes ao
gosto pela matemática.
Quadro 71 – Gosto pela matemática
Gosto pela matemática Valor Parametrizado
Nenhum pouco 1
Um pouco 2
Muito 3
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
265
Tabela 63 – Correlação entre as diferenças das notas nos testes e o Gosto pela
matemática
Estudante
Nota Pré-teste
Nota Pós-teste
Diferença
Gosto pela
matemática
E1 1 9 8 2
E2 0 7 7 2
E3 0 6 6 2
E4 1 5 4 1
E5 0 6 6 2
E6 1 3 2 2
E7 0 6 6 2
E8 0 4 4 2
E9 1 7 6 3
E10 0 3 3 1
E11 0 6 6 1
E12 0 3 3 1
E13 0 7 7 1
E14 0 6 6 2
E15 0 5 5 2
E16 2 6 4 2
E17 2 9 7 2
E18 1 8 7 1
E19 2 8 6 2
E20 1 5 4 2
Fonte: Pesquisa de Campo (2017)
Para o fator relacionado ao gosto pela matemática encontramos o valor de 𝑟 =
0,161301, a qual representa uma correlação fraca positiva. Neste sentido, o fator “gostar de
matemática” é pouco relevante nos desempenhos dos estudantes.
Dessa maneira, constatamos que as maiorias das correlações verificadas foram
consideradas como fraca positiva ou ínfima negativa entre os fatores socioeconômicos e o
desempenho dos estudantes nos testes. Com isso, acreditamos que um dos principais fatores
para que os estudantes tenham bons aproveitamentos dos conteúdos matemáticos refere-se a
forma de atuação do professor em sala, para o nosso estudo de razão e proporção entendemos
266
que o bom rendimento da maioria dos estudantes seja quanto a participação ativa no
desenvolvimento das atividades quanto ao desempenho no pós-teste se deve ao trabalho do
ensino por atividade para o referido conteúdo propiciar que o estudante participe ativamente da
construção do seu conhecimento.
267
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste estudo, nossa investigação é analisar a potencialidade de uma sequência didática
para o ensino de razão e proporção por meio de atividades. Dessa forma, tivemos como intuito
analisar os efeitos que a metodologia de ensino baseado no ensino por atividade proporciona
aos estudantes para o conteúdo matemático de razão e proporção. Para isso, fizemos análises
prévias do ensino, baseado em uma revisão de estudos dos centros de formação em nível
nacional, um breve histórico de razão e proporção, consulta a docentes e discentes paraenses
sobre o ensino e aprendizagem de nosso objeto de estudo, realizamos a elaboração e
experimentação da nossa sequência didática para analisarmos os dados obtidos e elucidarmos
conclusões de nossa pesquisa.
Após realizarmos o levantamento das pesquisas sobre razão e proporção, dentre vários
pontos relevantes, verificamos que estes apontam e propõem que o ensino deste conteúdo seja
trabalhado de forma articulada, criando significados e que promovam a reflexão do aluno. Visto
que, nos estudos teóricos e diagnósticos revelam que ainda se tem muito enraizado o
pensamento mecanizado para a resolução dos problemas, não buscando interpretá-los e
compreender. Portanto, é proposto que práticas metodológicas que coloquem os alunos a
investigar, descobrir, são defendidas nesses estudos para ajudar a melhorar o ensino e
aprendizagem não só para o desenvolvimento do raciocínio proporcional, como para outros
conteúdos e para seu desenvolvimento pessoal.
Em relação às opiniões dos docentes e discentes consultados os resultados já revelaram
uma mudança das formas tradicionais de ensino, embora ainda tenha sido um número
expressivo de professores que apontaram para o uso de métodos tradicionalistas em sua forma
de ensinar, e também os estudantes revelam que a maioria das aulas se dava de maneira
expositiva e que as aulas desenvolvidas não relacionava este conteúdo com situações do dia-a-
dia, o que acreditamos não favorecer bons rendimentos no processo de aprendizagem da
matemática pelos estudantes. As consultas aos docentes e discentes, também indicaram para
pouco uso de jogo e experiências didáticas em salas, o que traz a necessidade de elaborar e
apresentar atividades que possam ser trabalhadas em salas e que pode ser aplicadas em qualquer
ambiente de ensino, respeitando o tempo e dificuldades que os professores apontam durante
suas avaliações relacionadas à aprendizagem de seus alunos.
Quanto aos nossos resultados, pudemos perceber e verificar estatisticamente um avanço
dos estudantes em relação ao conhecimento de razão e proporção, o nível de aproveitamento
nos testes dos estudantes que participaram da aplicação da sequência didática de nossa pesquisa
268
revela que obtiveram bons resultados e rendimento no conteúdo abordado e mostra o quanto
nossa sequência pode ser proveitosa no âmbito escolar.
Durante a fase da experimentação, nos momentos em que utilizamos atividades que
abordavam situações do cotidiano ou que relacionasse coma a realidade dos estudantes pôde
observar que havia um maior envolvimento e interesse no desenvolvimento da atividade, seja
por quererem expressar uma opinião, pelos questionamentos e mesmo por perceberem que
aquele conteúdo matemático estava em diversos contextos conhecidos por eles, fazendo assim
que ficassem mais instigados e motivados para realizar a atividade.
Na análise a posteriori e validação, confrontamos as análises a priori e a posteriori, ou
seja, avaliamos o que ocorreu antes e após a aplicação da sequência didática, assim como
analisamos também o desempenho dos estudantes nos testes, realizamos os cálculos estatísticos
do teste de hipótese t, o que nos permite avaliar que a sequência surtiu efeito positivo no
desempenho dos estudantes, realizamos as correlações entre o desempenho dos estudantes no
pós-teste e os fatores socioeconômicos.
De acordo com o cálculo dos coeficientes de correlação linear de Pearson (𝑟), os quais
realizaram entre alguns fatores socioeconômicos e os desempenhos dos estudantes nos testes
não obtiveram nenhuma correlação perfeita ou forte, ou seja, valores próximos ou igual a 1,
neste sentido podemos considerar que os avanços desses estudantes na aprendizagem deva-se
a forma como o professor realizou seu trabalho em sala de aula.
Em relação a nossa aprendizagem quanto professor-pesquisador no desenvolvimento
deste estudo, pode-se dizer que os momentos de idas a campo bem como na preparação da
atividade nos possibilitaram ricas experiências pela busca de um saber mais aprofundado quanto
ao conteúdo específico, desde a história e revisão sobre o que versavam os estudos já
desenvolvidos sobre este tema em questão, além das frequentes reflexões durante a aplicação
da sequência didática referente aos aprendizados que os estudantes nos proporcionam pela
forma em que demonstram suas atitudes diante a nossa forma de ensinar, nos desafiam a
melhorar e acreditar mais em nossa capacidade e na deles neste processo complexo que é o ato
de ensinar e aprender.
Neste sentido, esperamos que este estudo venha contribuir e somar com as pesquisas
desenvolvidas na área da educação matemática trazendo discussões e reflexões para novos
estudos na área, dando continuidade aos tópicos que não foram trabalhados em nossa sequência
e assim proporcionar melhorias no ensino e aprendizagem de razão e proporção e também para
uma melhor relação dos estudantes com a matemática.
269
REFERÊNCIAS
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ZABALA, Antoni. A prática educativa: como ensinar. Trad. Ernani F. da Rosa- Porto Alegre:
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274
APÊNDICES
275
APÊNDICE A – Questionário Para Docentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO- MESTRADO
Caro(a) Professor (a),
Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de matemática encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão. As informações obtidas terão um caráter confidencial e sua identidade será preservada.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!
1- Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) Data:___/___/___
2- Faixa Etária( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( )
41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos
3 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações)
Ensino Superior.__________________Instituição:__________Ano de Conclusão_______
Especialização. __________________Instituição:___________Ano de Conclusão_______
Mestrado._______________________Instituição:___________Ano de Conclusão_______
Doutorado.______________________Instituição:____________Ano de Conclusão_______
4 - Tempo de serviço como professor de matemática?( )Menos de um ano ( )1-5 anos ( ) 6-10 anos (
)11-15 anos( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 ( )Mais de 35 anos
5 - Tipo de escola que trabalha atualmente:( )Pública Estadual ( )Pública Municipal( )Publica Federal(
)Privada( ) Outra.Qual?________________________
5- Durante sua formação de professor de matemática você fez alguma disciplina sobre o ensino de
Razão e Proporção?( ) Não ( ) Sim, qual?
6- Como professor de matemática você já participou de evento/curso sobre o ensino de Razão e
proporção?( ) Não ( ) Sim, qual?________________________.
7- Voce ensina razão do modo como aprendeu?( ) Não ( ) Sim
8-Voce ensina proporção do modo como aprendeu?( ) Não ( ) Sim
9 - Quando você ensina razão, a maioria das aulas começa:
( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) com um experimento para chegar ao conceito
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
276
( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos
12- Quando você ensina proporção, a maioria das aulas começa:
( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) com um experimento para chegar ao conceito
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos
13- Para fixar o conteúdo de razãovocê costuma:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação
( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver
14 - Para fixar o conteúdo de proporção você costuma:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto
( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático
( ) Não propõe questões de fixação
( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver
15-Você já realizou o ensinorazãopor meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim
16 - Você já realizou o ensino proporçãopor meio de experimentos? ( ) Não ( ) Sim
277
17 – Sobre razão e proporção e seus conteúdos
Conteúdo
Você
costuma
ministrar?
Grau de dificuldade para os alunos
aprenderem
SIM Não Muit
o
Fácil
Fácil Regula
r
Difícil Muito
Difícil
Ideias associadas a razão
Definição de razão
Os termos de uma razão
Razão de grandezas de mesma espécie
Razões inversas
Razões especiais
Razões escritas na forma percentual
Aplicações do conceito de razão
Comparação por meio de uma razão
Porcentagem
Problemas envolvendo porcentagem
Ideia de proporção
Definição de proporção
Propriedade fundamental das
proporções
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas Inversamente proporcionais
Proporções contínuas
Proporcionalidade direta e gráfico
Situações-problema envolvendo as
propriedades das proporções.
Situações – problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴ 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
Situações – problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑏
𝑎=
𝑐+𝑑
𝑐
278
Situações – problema envolvendo a
propriedade𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑏
𝑏=
𝑐+𝑑
𝑑
Situações – problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑏
𝑎=
𝑐−𝑑
𝑐
Situações – problema envolvendo a
propriedade𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑏
𝑏=
𝑐−𝑑
𝑑
Situações –problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Situações –problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
Situações –problema envolvendo a
propriedade 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑∴
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑=
𝑎2
𝑏2 =𝑐2
𝑑2
Distribuição em partes diretamente
proporcionais
Distribuição em partes inversamente
proporcionais
Regras de sociedade
18 – Quantas horas aulas você gasta aproximadamente para ministrar o conteúdo sobre:
Razão: ____aulas. Proporção: ____aulas
19 – Gostaria de receber alguns resultados sobre o assunto? Se sim, deixe seu email.
Avalie cada questão a seguir quanto ao grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos
1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3
desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação
ao total de cadeiras desse mesmo setor.
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (
) Muito Difícil
2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de
comprimento ao lado de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o
comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados no esquema.
279
Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (
) Muito Difícil
3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é
ocupada por eles, ou seja, D = 𝑛
𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000
habitantes e a Região B possui área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas
condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões e conclua qual é a
mais densamente povoada.
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos:( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de
copos com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou
seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para o resto do Brasil. Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na
Amazônia?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme
mostrado a seguir:
Massa (kg) 0,2 0,4 0,8
Preço (R$) 1,2 2,4 4,8
Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a
constante de proporcionalidade.
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (
) Muito Difícil
280
6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para
3. Se ele precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil (
) Muito Difícil
7. Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade.
Após determinado tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que
cada um irá receber pela venda dessa casa?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
8. Considere o seguinte triângulo retângulo.
Uma redução correta para essa figura seria
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
9. A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação: A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000.
281
Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do partido B?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
10. Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 840 formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente 6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que Bruno deverá conferir?
Grau de dificuldade para a maioria dos seus alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil
( ) Muito Difícil
282
APÊNDICE B – Questionário para Discentes egressos
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO– MESTRADO
Prezado (a) aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as
questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e
garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
1- Idade: ________ 2- Genero: ( ) Masculino ( ) Feminino Data: ____/____/____
3- Você trabalha? ( ) Não ( ) Sim
4- Quem é o seu responsável masculino?
( ) Pai ( ) Padrasto ( ) Avô ( ) Tio ( ) Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro: ______________
5- Quem é o seu responsável feminino?
( ) Mãe ( ) Madrasta ( ) Avó ( ) Tia ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro:_____
6- Até que ano estudou o seu responsável masculino? ____________
E o seu responsável feminino?_________________
7- Qual a profissão de seu responsável masculino? _____________________________
E a profissão de seu responsável feminino? ___________________________________
8- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( )Um Pouco ( ) Muito
9- Você estudou o 7° ano em que tipo de escola?
( ) Pública Estadual ( ) Pública Municipal ( ) Pública Federal ( ) Particular ( ) Outra:_________
10- Você está em dependência em Matemática no 8° ano? ( ) Não ( ) Sim
11- No 7° ano, você tinha dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( )
Muita
12- Além do horário escolar, você costumava estudar Matemática fora da escola:
( ) Só no período de prova
( ) Só na véspera da prova
( ) De segunda a sexta-feira
283
( ) Só nos finais de semana
( ) Todo dia
13- Quem lhe ajudava nas tarefas extraclasse de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( )
Mãe ( ) Irmão/Irmã ( ) Amigo/Amiga ( ) Ninguém ( ) Outro:___________________
14- Quando você estudou o conteúdo de razão, a maioria das aulas era desenvolvida como?
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) Começando uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Começando com um experimento para chegar ao conceito
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
( ) Nunca estudei este assunto
( ) Outro: ___________________________________________
15- Quando você estudou o conteúdo de proporção, a maioria das aulas era desenvolvida
como?
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) Começando uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Começando com um experimento para chegar ao conceito
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
( ) Nunca estudei este assunto
( ) Outro: ___________________________________________
16- Para fixar o conteúdo estudado de razão, o seu professor costumava:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos.
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto.
( ) Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático.
( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto
( ) Não propor questões de fixação.
( ) Outro: ____________________________________________
17- Para fixar o conteúdo estudado de proporção, o seu professor costumava:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos.
284
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto.
( ) Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático.
( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes
( ) Não propor questões de fixação.
( ) Outro: ____________________________________________
18- Você entendia o assunto de razão da forma como o professor ensinava?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes.
19- Você entendia o assunto de proporção da forma como o professor ensinava?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes.
20- Você consegue relacionar o assunto de razão com alguma situação do seu dia-a-dia?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? ____________________________
21- Você consegue relacionar o assunto de Proporção com alguma situação do seu dia-a-dia?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? ____________________________
22- Hoje, você consegue resolver as questões que envolvem razão com facilidade?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? _____________________________
23- Hoje, você consegue resolver as questões que envolvem proporção com facilidade?
( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes. Quando você não consegue? _____________________________
24. Você lembra de algum experimento desenvolvido pelo seu professor para ensinar razão?
( ) Não ( ) Sim. Qual?________________________
25. Você lembra de algum experimento desenvolvido pelo seu professor para ensinar
proporção?
( ) Não ( ) Sim. Qual?________________________
26. Preencha o quadro abaixo com base no que você estudou sobre razão e proporção.
Assunto
Grau de dificuldade para aprender
Estudou este
conteúdo?
Muito
fácil Fácil Regular Difícil
Muito
Difícil
Ideias associadas a razão
285
Definição de razão
Os termos de uma razão
Razão de grandezas de mesma espécie
Razões inversas
Razões especiais
Razões escritas na forma percentual
Aplicações do conceito de razão
Comparação por meio de uma razão
Porcentagem
Problemas envolvendo porcentagem
Ideia de proporção
Definição de proporção
Propriedade fundamental das proporções
Grandezas diretamente proporcionais
Grandezas Inversamente proporcionais
Proporções contínuas
Proporcionalidade direta
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑎. 𝑑 = 𝑏. 𝑐
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎+𝑏
𝑎=
𝑐+𝑑
𝑐
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎+𝑏
𝑏=
𝑐+𝑑
𝑑
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑏
𝑎=
𝑐−𝑑
𝑐
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑏
𝑏=
𝑐−𝑑
𝑑
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎+𝑐
𝑏+𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎−𝑐
𝑏−𝑑=
𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑
286
A propriedade se 𝑎
𝑏=
𝑐
𝑑, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜
𝑎.𝑐
𝑏.𝑑=
𝑎2
𝑏2 =𝑐2
𝑑2
Situações-problema envolvendo as
propriedades das proporções
Distribuição em partes diretamente
proporcionais
Distribuição em partes inversamente
proporcionais
Regras de sociedade
Resolva as questões a seguir:
1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no
qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras
desse mesmo setor.
2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado de uma
pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a fotografia, estão indicados
no esquema.
Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?
3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada por eles, ou seja,
D = 𝑛
𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e a Região B possui área de 8000 km²
e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica de cada uma das regiões e
conclua qual é a mais densamente povoada.
287
4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de copos com água
representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a Amazônia e 3 para
o resto do Brasil.
Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na Amazônia?
5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme mostrado a seguir:
Massa (kg) 0,2 0,4 0,8
Preço (R$) 1,2 2,4 4,8
Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a constante de
proporcionalidade.
6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele precisar
de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?
7. Duas pessoas investiram R$45 000,00 e R$ 30 000,00 na compra de uma casa em sociedade. Após determinado
tempo eles resolveram vender a casa por R$ 90 000,00. Qual a parte que cada um irá receber pela venda dessa
casa?
8. Considere o seguinte triângulo retângulo.
288
Uma redução correta para essa figura seria:
9. A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada partido
recebe. Na última eleição nesta cidade, concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que receberam a seguinte votação:
A teve 10 000 votos, b teve 20 000 votos e C, 40 000. Sabendo que o número total de vereadores dessa cidade é
21, quantos deles são do partido B?
10. Três funcionários Carlos, Bruno e Celso, decidem dividir entre si a tarefa de conferir o preenchimento de 840
formulários. A divisão deverá ser feita na razão inversa de seus tempos de serviços no tribunal, respectivamente
6, 10 e 12 anos. Qual o número de formulários que Bruno deverá conferir?
289
APÊNDICE C – Questionário para Estudantes do Experimento
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO– MESTRADO
Prezado (a) aluno (a),
Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as
questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e
garantimos que as informações prestadas serão mantidas em total anonimato.
Muito obrigada!
1-Idade: ________ Data: ____/____/____
2- Genero: ( ) Masculino ( ) Feminino
3- Você trabalha? ( ) Não ( ) Sim
4- Quem é o seu responsável masculino?
( ) Pai ( ) Padrasto ( ) Avô ( ) Tio ( ) Irmão ( ) Não tenho ( ) Outro: ______________
5- Quem é o seu responsável feminino?
( ) Mãe ( ) Madrasta ( ) Avó ( ) Tia ( ) Irmã ( ) Não tenho ( ) Outro:_____
6- Até que ano estudou o seu responsável masculino? ____________
E o seu responsável feminino?_________________
7- Qual a profissão de seu responsável masculino? _____________________________
E a profissão de seu responsável feminino? ___________________________________
8- Você gosta de Matemática? ( ) Nenhum pouco ( )Um Pouco ( ) Muito
9- Você está em dependência em Matemática? ( ) Não ( ) Sim
10- Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muita
11- Além do horário escolar, você costumava estudar Matemática fora da escola:
( ) Só no período de prova
( ) Só na véspera da prova
( ) De segunda a sexta-feira
290
( ) Só nos finais de semana
( ) Todo dia
12- Quem lhe ajudava nas tarefas extraclasse de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( )
Mãe ( ) Irmão/Irmã ( ) Amigo/Amiga ( ) Ninguém ( ) Outro:___________________
13 - A maioria das aulas de matemática é desenvolvida:
( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios
( ) Começando uma situação problema para depois introduzir o assunto
( ) Começando com um experimento para chegar ao conceito
( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos
( ) Outro: ___________________________________________
14- Para fixar o conteúdo, o seu professor costuma:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos.
( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto.
( ) Solicitar que você resolvesse os exercícios do livro didático.
( ) Solicitar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver em outras fontes
(internet, outros livros)
( ) Não propor questões de fixação.
( ) Outro: ____________________________________________
15 - Você entende matemática da forma como seu professor ensina? ( ) Sim ( ) Não ( )
Ás vezes. Quando: _________________________________________
16 - Você participou de algum experimento nas aulas de matemática? ( ) Sim ( ) Não
291
APÊNDICE D – Pós-teste
Resolva as questões a seguir:
1. Em certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse
teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.
Determine a razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de
cadeiras desse mesmo setor.
2. Um pesquisador, ao explorar uma floresta, fotografou uma caneta de 16,8 cm de comprimento ao lado
de uma pegada. O comprimento da caneta ( c ), a largura ( L ) e o comprimento ( C ) da pegada, a
fotografia, estão indicados no esquema.
Qual a largura e o comprimento reais da pegada em cm?
3. Densidade demográfica D é a razão entre o número de habitantes n e a área A que é ocupada por eles,
ou seja, D = 𝑛
𝐴. A região A tem área de 10000 km² e população de 98000 habitantes e a Região B possui
área de 8000 km² e população de 82000 habitantes. Nestas condições, calcule a densidade demográfica
de cada uma das regiões e conclua qual é a mais densamente povoada.
4. A maior parte da água doce existente no Brasil está na Amazônia. Na figura, a quantidade de copos
com água representa a razão de água doce na Amazônia e no restante do Brasil. Ou seja, 7 copos para a
Amazônia e 3 para o resto do Brasil.
Considerando a água existente no Brasil, qual a porcentagem dela que não está na Amazônia?
5. Lucas foi à feira e percebeu que o preço do tomate estava exposto numa tabela conforme mostrado a
seguir:
292
Massa (kg) 0,2 0,4 0,8
Preço (R$) 1,2 2,4 4,8
Baseado nessas informações verifique se há proporcionalidade entre os valores e qual a constante de
proporcionalidade.
6. Para pintar uma parede, um pintor deve misturar tinta branca com tinta cinza na razão 5 para 3. Se ele
precisar de 24𝑙 dessa mistura, quantos litros de cada cor irá utilizar?
7. Para cada 2 automóveis que vende, Carlos ganha R$ 200, 00 de comissão. Quanto ele recebeu de
comissão no mês que vendeu 15 automóveis?
8. Considere o seguinte triângulo retângulo.
Uma redução correta para essa figura seria:
293
9. Um bebê nasceu com 3,5 kg. Doze meses depois, estava pesando 10,5 kg.
a)É possível estimar o peso dessa criança quando ela estiver com 20 anos? Por quê?
b)As grandezas “peso” e “idade” são proporcionais? Justifique.
10. Uma torneira que despeja 15 litros de água por minuto enche um tanque em 2 horas. Se a torneira
despejasse 30l de água por minuto, encheria esse mesmo tanque em quanto tempo?
294
Apêndice E – Termo de Autorização para realizar pesquisa na Instituição
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO
TERMO DE AUTORIZAÇÃO PARA REALIZAR PESQUISA NA INSTITUIÇÃO
Caro(a) Senhor (a) Diretor (a) da Escola Santo Afonso ,
O Programa de Mestrado em Educação da UEPA está realizando a pesquisa “O ensino de razão
e proporção por meio de atividades” relacionada ao ensino de matemática do 7º ano que visa avaliar
uma proposta de ensino da referida disciplina. Pelo exposto viemos pedir autorização para realizar a
pesquisa que está sob responsabilidade dos pesquisadores Jakelline de Aquino Batista, RG nº-6296895
– Policia Civil/PA, CPF n°- 004.861.382-75 e Pedro Franco de Sá, ambos da Universidade do Estado
do Pará. Com base, nas informações descritas, eu
_____________________________________________________________________, diretor (a) da
Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso, uma instituição localizada em Belém do Pará,
em exercício, RG nº___________________, CPF nº _____________________________, AUTORIZO
os pesquisadores, a realizarem observação, registro fotográfico e/ou gravações em áudio, realizar
entrevistas, com os participantes da pesquisa que frequentam a referida instituição. Qualquer dúvida a
respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com o Programa de Mestrado em Educação da
Universidade do Estado do Pará (UEPA): Travessa Djalma Dutra s/n. Belém-Pará- CEP: 66113-010;
Fone: (91)4009-9552. Os pesquisadores acima citados se comprometem a:
1. Obedecer às disposições éticas de proteger os participantes da pesquisa, garantindo-lhes o máximo de benefícios.
2. Assegurar a privacidade das pessoas citadas nos documentos institucionais e/ou contatadas
diretamente, de modo a proteger suas imagens, bem como garante que não utilizará as
informações coletadas em prejuízo dessas pessoas e/ou da instituição, respeitando deste
modo as Diretrizes Éticas da Pesquisa Envolvendo Seres Humanos, nos termos estabelecidos na Resolução CNS N° 466/2012, e obedecendo as disposições legais
estabelecidas na Constituição Federal Brasileira, artigo 5°, incisos X e XIV e no Novo
Código Civil, artigo 20.
Belém, ________ de ____________________ de 2017
_______________________________________________________________
Assinatura de um dos pesquisadores
_______________________________________________________________
Diretor (a) da Escola Estadual de Ensino Fundamental Santo Afonso, em exercício.
295
Apêndice F – Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE MESTRADO EM EDUCAÇÃO
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Caro(a) Senhor (a) responsável,
O Programa de Mestrado em Educação da UEPA está realizando a pesquisa “O ensino de razão e
proporção por meio de atividades relacionada ao ensino de matemática para o 7º ano e que visa avaliar
uma proposta metodológica de ensino da referida disciplina. Pelo exposto viemos convidar o aluno
__________________________________________________ para participar como voluntário (a) da
referida pesquisa, sob responsabilidade dos pesquisadores Profa. Jakelline de Aquino Batista e Prof. Dr.
Pedro Franco de Sá, ambos da Universidade do Estado do Pará.
A participação de seu filho (a) à pesquisa será realizada nas dependências da Escola de Ensino
Fundamental Santo Afonso e não atrapalhará no andamento de suas atividades regulares, a participação
dele ocorrerá por meio das seguintes atividades: responder a questionários e participar de atividades
elaboradas relacionadas ao conhecimento matemático do 7º ano, planejadas com o objetivo de tornar o
processo de aprendizagem deste conteúdo mais significativo. Em nenhum momento seu (sua) filho (a)
será identificado (a). Os resultados da pesquisa serão publicados e ainda assim a identidade dele (a) será
mantida em sigilo. Você ou seu filho (a) não terão gasto ou ganho financeiro por participar da pesquisa.
Não há riscos aos participantes de nenhuma natureza, seja ela física ou psicológica. Os benefícios serão
de natureza acadêmica com um estudo sobre o ensino de matemática. Seu filho (a) é livre para deixar
de participar da pesquisa a qualquer momento sem nenhum prejuízo ou coação. Aos pais é garantido o
livre acesso as informações e esclarecimentos referentes à pesquisa.
Uma via original deste Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ficará com você. Qualquer dúvida
a respeito da pesquisa, você poderá entrar em contato com o Programa de Mestrado em Educação da
Universidade do Estado do Pará (UEPA): Travessa Djalma Dutra s/n. Belém-Pará- CEP: 66113-010;
Fone: (91)4009-9552.
Belém, ________de _______________________de 2017
_______________________________________________________________
Assinatura de um dos pesquisadores
Eu,______________________________________________________________________ aceito ou
autorizo meu filho (a), a participar da pesquisa citada acima, voluntariamente, após ter sido devidamente
esclarecido (a).
________________________________________
296
Responsável pelo Participante da pesquisa
Apêndice G – Frequência dos Estudantes no experimento
Est
udan
te Novembro de 2017 Dezembro de 2017
Frequên
cia (%) 13 14 16 20 27 28 30 4 7 11 12 14 18 19 21
E1 P P P P P P P P P P P P P P P 100%
E2 F P P P P P P P P P P P P P P 93%
E3 P P P P P P P P P P P P P P P 100%
E4 P P P P F P P P P F P P P P P 87%
E5 P P P P P P F F P P F P P P P 80%
E6 P P P F F P P P P P P F P P P 80%
E7 P P P P P P P P P P P P F P P 93%
E8 F P P P F P P P P P P P P P P 87%
E9 P P P P P P P P P P P P P P P 100%
E10 P P P P P F P P P P P F P P P 87%
E11 P P P P P P P P P P P P F F P 87%
E12 F P P P P F P P P P F P P F P 74%
E13 P P P P P P P P P P P P P P P 100%
E14 P P P P F P P F P P P P P P P 87%
E15 F P P P P P P F P F P P P P P 80%
E16 P P P P P F P P P P P P P P P 93%
E17 P P P P P P P F P P P P P P P 93%
E18 P P P P P P P P P P P P P P P 100%
E19 P P P P P F P P P P P P P P P 93%
E20 P P P P F F P P P P P F P P P 87%
E21 F F P F P P P P P P F P P P P 74%
297
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação
Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
66113-200 Belém-PA
www.uepa.br/mestradoeducaca