Razão, Proporção, Porcentagem e Regra de Três

Matemática básica

Razão

É a divisão de dois números

5 120 4

122 110 5

De cada 10 alunos, 2 gostam de Matemática

Um dia de sol, para cada dois de chuva

De cada 20 habitantes, 5 são analfabetos

RazãoComparação

3 ou 3:55

4,5 ou 4,5:22

Antecedente

Consequente

Exemplo - Razão

A Maria e o João dividiram uma pizza entre si. A Maria ficou com 4 fatias da pizza e o João ficou com 5 fatias.Qual é a razão entre o número fatias da Maria e o número de fatias do João?

Resposta: A razão é de 4:5 (lê-se 4 para 5).

Exercícios – Razão

1. A distância entre duas cidades num mapa de escala 1:2000 é de 8,5 cm. Qual a distância real entre essas duas cidades?

2. Pedrinho resolveu 20 problemas de Matemática e acertou 18. Cláudia resolveu 30 problemas e acertou 24. Quem apresentou o melhor desempenho?

3. Uma equipe de futebol obteve, durante o ano de 2010, 26 vitórias, 15 empates e 11 derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Proporção

É a igualdade entre duas razões

dc

ba

ou ( a : b = c : d )

lê-se : “a está para b, assim como c está para d ”

Proporção

dc

ba

MeiosExtremos

( a : b = c : d )

Meios

Extremos

Propriedade Fundamental: O produto dos meios é igual ao produto dos extremos

Exemplo - ProporçãoNuma escola a proporção entre o número de professores e o número de auxiliares é de 16 para 2.Sabendo que o número total de funcionários é de 108, quantos professores e quantos auxiliares existem na escola?

𝑅𝑎𝑧 ã 𝑜𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠❑⇒ 16𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

2𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

𝑅𝑎𝑧 ã 𝑜𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 á𝑟𝑖𝑜𝑠𝑒𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠❑⇒ (16+2 )=18 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠

2𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

182 =

108𝑥 ❑

⇒18 . 𝑥=108 .2❑

⇒𝑥=

108 .218 ❑

⇒𝑥=12𝑎𝑢𝑥𝑖𝑙𝑖𝑎𝑟𝑒𝑠

162 =

𝑥12❑

⇒2 .𝑥=16 .12❑

⇒𝑥=16 .122 ❑

⇒𝑥=96𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠

Exercícios - Proporção1) João e Pedro resolveram trabalhar juntos para resolverem

um problema hidráulico em um prédio, serviço pelo qual receberão R$ 990,00. Como João trabalhou durante 6 horas e Pedro durante 5 horas, como eles deverão dividir com justiça os R$ 990,00 que serão pagos por essa tarefa?

2) Três sócios A, B e C resolvem abrir uma pizzaria. O primeiro investiu 30 mil reais, o segundo 40 mil reais e o terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for distribuído aos sócios de forma que a quantia recebida seja diretamente proporcional ao valor investido, determine quanto cada um recebeu.

Porcentagem

𝒙%=𝒙

𝟏𝟎𝟎Forma Percentual Forma Unitária

25%=25100=

14=0,25

Exercícios – Calcule:

1) 10% de 29 + 4,2% de 172) 5,3% de 18,45 – 3,4% de 2,73) 0,4% de 125 + 16% de 234,254) 4% de 1.439,25 + 30% de 17.4325) 45% de 208 – 15% de 23 + 80% de 12

Grandezas Diretamente Proporcionais

Duas grandezas variáveis são diretamente proporcionais quando, aumentando ou diminuindo uma delas numa determinada razão, a outra aumenta ou diminui nessa mesma razão.

x y ou x y

ExemploGrandezas Diretamente Proporcionais

Num supermercado comum:1 pacote de biscoito = R$ 2,002 pacotes de biscoito = R$ 4,003 pacotes de biscoito = R$ 6,004 pacotes de biscoito = R$ 8,005 pacotes de biscoito = R$ 10,00

Quantidade e gasto são grandezas diretamente proporcionaisQuando aumento a quantidade, aumento o gasto

Grandezas Inversamente Proporcionais

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando (ou diminuindo) uma delas numa determinada razão, a outra diminui (ou aumenta) na mesma razão.

x y ou x y

ExemploGrandezas Inversamente Proporcionais

Um automóvel para percorrer 120 km, gasta:1 hora rodando a 120 km/h2 horas rodando a 60 km/h3 horas rodando a 40 km/h4 horas rodando a 30 km/h6 horas rodando a 20 km/h

Velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionaisQuando aumento a velocidade, diminuo o tempo

Regra de 3 Simples

Grandezas Diretamente Proporcionais• Num certo instante do dia, um poste com 12 m de

altura projeta uma sombra de 3 m no chão. Qual o comprimento da sombra de uma pessoa localizada ao lado do poste, medindo 1,6 m de altura, neste mesmo instante?

3,0 m 1,6 m

12 m x m

Continuação

Grandezas Diretamente Proporcionais• Quanto maior a altura, maior a sombra!

3,0 m 1,6 m

12 m x m

Altura do Objeto Altura da Sombra

3,0 m 12 m

1,6 m X m

31,6=

12𝑥

3. 𝑥=1,6 .12

𝑥=1,6 .123𝑥=6,4𝑚

Regra de 3 Simples

Grandezas Inversamente Proporcionais• Um avião voando a uma velocidade de 300 km/h faz

o percurso entre duas cidades em 2 horas. Se aumentarmos a velocidade do avião, para 400 km/h, qual será o tempo necessário para fazer o mesmo percurso?

A BVelocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Continuação

• Grandezas Inversamente ProporcionaisQuanto maior a velocidade, menor será o tempo!

A BVelocidade = 300 km/h → Tempo = 2 horas

Velocidade = 400 km/h → Tempo = x horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h 2 horas

400 km/h X horas

Velocidade do Avião Tempo da Viagem

300 km/h x horas

400 km/h 2 horas

300400=

𝑥2 300.2=400. 𝑥

𝑥=1,5h𝑜𝑟𝑎𝑠

Exercícios de Regra de 3 Simples1. Aplicando R$ 500,00 na poupança o valor dos juros em um

mês seria de R$ 2,50. Caso seja aplicado R$ 2 100,00 no mesmo mês, qual seria o valor dos juros?

2. Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter?

3. Uma usina produz 500 litros de álcool com 6 000 kg de cana – de – açúcar. Determine quantos litros de álcool são produzidos com 15 000 kg de cana.

4. Uma equipe de 5 professores gastaram 12 dias para corrigir as provas de um vestibular. Considerando a mesma proporção, quantos dias levarão 30 professores para corrigir as provas?

Regra de 3 Composta

Grandezas Diretamente Proporcionais• Uma família de 8 pessoas consome 5 kg de carne em

2 dias. Quantos kg de carne essa família irá consumir em 4 dias se dois membros da família estiverem ausentes?

Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 diasX Kg 6 pessoas 4 dias

Menos pessoas, menos consumo de carne

Menos dias, menos consumo de carne

Grandezas Diretamente Proporcionais

Continuação

Quantidade Carne Pessoas na Família Dias5 Kg 8 pessoas 2 diasX Kg 6 pessoas 4 dias

5𝑥=

86 .24 5 .6 .4=𝑥 .8 .2 120=16 . 𝑥

𝑥=7,5 𝑑𝑖𝑎𝑠

Regra de 3 Composta

Grandezas Inversamente Proporcionais• Quinze pessoas trabalhando 8 horas por dia durante

5 dias conseguem limpar um certo terreno. Quantas horas por dia 10 pessoas precisariam trabalhar para limpar o mesmo terreno em 6 dias?

Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 15 pessoas 5 diasX h / dia 10 pessoas 6 dias

Menos pessoas, mais horas de trabalho por dia

Menos dias, mais horas de trabalho por dia

Grandezas Inversamente Proporcionais

ContinuaçãoHoras por Dia Pessoas Dias

8 h / dia 15 pessoas 5 diasX h / dia 10 pessoas 6 dias

8𝑥=

1015 .

65

Horas por Dia Pessoas Dias8 h / dia 10 pessoas 6 diasX h / dia 15 pessoas 5 dias

8 .15 .5=𝑥 .10 .6 600=60 . 𝑥

𝑥=10h𝑜𝑟𝑎𝑠𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑖𝑎

Exercícios1. Um texto ocupa 6 páginas de 45 linhas cada uma, com 80 letras (ou

espaços) em cada linha. Para torná-lo mais legível, diminui-se para 30 o número de linhas por página e para 40 o número de letras (ou espaços) por linha. Considerando as novas condições, determine o número de páginas ocupadas.

2. Se 6 impressoras iguais produzem 1000 panfletos em 40 minutos, em quanto tempo 3 dessas impressoras produziriam 2000 desses panfletos?

3. Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14 m de uma maquete de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão necessários para produzir 350 m de uma maquete de fazenda com 120 cm largura?

4. Uma empresa tem 750 empregados e comprou marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados, a quantidade de marmitas adquiridas seria suficiente para quantos dias?