noções de matemática...

Ensino Médio | Modular 1

APRESENTAÇÃO

Este módulo faz parte da coleção intitulada MATERIAL MODULAR, destinada às três

séries do Ensino Médio e produzida para atender às necessidades das diferentes rea-

lidades brasileiras. Por meio dessa coleção, o professor pode escolher a sequência que

melhor se encaixa à organização curricular de sua escola.

A metodologia de trabalho dos Modulares auxilia os alunos na construção de argumen-

tações; possibilita o diálogo com outras áreas de conhecimento; desenvolve as capaci-

dades de raciocínio, de resolução de problemas e de comunicação, bem como o espírito

crítico e a criatividade. Trabalha, também, com diferentes gêneros textuais (poemas,

histórias em quadrinhos, obras de arte, gráficos, tabelas, reportagens, etc.), a fim de

dinamizar o processo educativo, assim como aborda temas contemporâneos com o ob-

jetivo de subsidiar e ampliar a compreensão dos assuntos mais debatidos na atualidade.

As atividades propostas priorizam a análise, a avaliação e o posicionamento perante

situações sistematizadas, assim como aplicam conhecimentos relativos aos conteúdos

privilegiados nas unidades de trabalho. Além disso, é apresentada uma diversidade de

questões relacionadas ao ENEM e aos vestibulares das principais universidades de cada

região brasileira.

Desejamos a você, aluno, com a utilização deste material, a aquisição de autonomia

intelectual e a você, professor, sucesso nas escolhas pedagógicas para possibilitar o

aprofundamento do conhecimento de forma prazerosa e eficaz.

Gerente Editorial

Noções de Matemática Financeira

© Editora Positivo Ltda., 2013Proibida a reprodução total ou parcial desta obra, por qualquer meio, sem autorização da Editora.

DIRETOR-SUPERINTENDENTE: DIRETOR-GERAL:

DIRETOR EDITORIAL: GERENTE EDITORIAL:

GERENTE DE ARTE E ICONOGRAFIA: AUTORIA:

ORGANIZAÇÃO:EDIÇÃO DE CONTEÚDO:

EDIÇÃO:REVISÃO:

ANALISTAS DE ARTE:PESQUISA ICONOGRÁFICA:

EDIÇÃO DE ARTE:ILUSTRAÇÃO:

PROJETO GRÁFICO:EDITORAÇÃO:

CRÉDITO DAS IMAGENS DE ABERTURA E CAPA:

PRODUÇÃO:

IMPRESSÃO E ACABAMENTO:

CONTATO:

Ruben FormighieriEmerson Walter dos SantosJoseph Razouk JuniorMaria Elenice Costa DantasCláudio Espósito GodoyJorge Luiz Farago / Lucio Nicolau dos Santos CarneiroÂngela Ferreira Pires da TrindadeÂngela Ferreira Pires da Trindade / Cintia Cristina Bagatin LapaMiriam Raquel Moro Conforto / Rose Marie WünschAna Izabel Marques ArmstrongGiselle Alice Pupo / Tatiane Esmanhotto KaminskiTassiane SauerbierAngela Giseli de SouzaDivanzir Padilha / Jack ArtO2 ComunicaçãoMarcos Devoyno© iStockphoto.com/Jorge Delgado; © iStockphoto.com/Dario Sabljak; LatinStock/Corbis/DK Limited; Mary Evans Picture Library; © 2001-2009 HAPP Media Ltd/Klaus Post; P. Imagens/PithEditora Positivo Ltda.Rua Major Heitor Guimarães, 17480440-120 Curitiba – PRTel.: (0xx41) 3312-3500 Fax: (0xx41) 3312-3599Gráfica Posigraf S.A.Rua Senador Accioly Filho, 50081300-000 Curitiba – PRFax: (0xx41) 3212-5452E-mail: [email protected]@positivo.com.br

Todos os direitos reservados à Editora Positivo Ltda.

Dados Internacionais para Catalogação na Publicação (CIP)

(Maria Teresa A. Gonzati / CRB 9-1584 / Curitiba, PR, Brasil)

Neste livro, você encontra ícones com códigos de acesso aos conteúdos digitais. Veja o exemplo:

Acesse o Portal e digite o código na Pesquisa Escolar.

@MAT809Cubos

@MAT809

F219 Farago, Jorge Luiz.Ensino médio : modular : matemática : noções de matemática financeira /

Jorge Luiz Farago, Lucio Nicolau dos Santos Carneiro ; ilustrações Divanzir Padilha, Jack Art. – Curitiba : Positivo, 2013.

: il.

ISBN 978-85-385-7226-8 (livro do aluno)ISBN 978-85-385-7227-5 (livro do professor)

1. Matemática. 2. Ensino médio – Currículos. I. Carneiro, Lucio Nicolau dos Santos. II. Padilha, Divanzir. III. Art, Jack. IV. Título.

CDU 373.33

SUMÁRIO

Unidade 1: Noções de Matemática Financeira

Razão, porcentagem e proporção 5

Juros simples 10

Juros compostos 12

Progressão geométrica e Matemática Financeira 17

Taxas equivalentes 20

Desconto 24

Noções de Matemática Financeira4

Noções de Matemática Financeira

1

A Álgebra não é senão a Geometria escrita e a Geometria não é

senão a Álgebra figurada.

EVES, Howard. Introdução à história da matemática. São Paulo: Unicamp, 2011. p. 525.


Razão, porcentagem e proporção

Leia a seguinte reportagem.

2 a cada 5 jovens preferem internet a sair com os amigosPesquisa aponta que tecnologia é cada vez mais essencial na vida dos adolescentes de todo o mundo.

A internet é o recurso mais valioso de sua vida? Pense bem antes de responder: é mais perigoso passar um tempo offline do que ficar sem comida ou até respirar? Um estudo conduzido pela Cisco fez perguntas similares para jovens de até 20 anos que moram em 14 países diferentes (incluindo o Brasil). Os resultados foram bastante curiosos, pois mostram a importância dos eletrônicos na vida dos adolescentes de hoje.

A resposta que mais recebeu destaque é a de que 1 a cada 3 pesquisados acredita que a internet é um bem precioso para a humanidade, tanto quanto ar, água e abrigo. Ela seria “parte integral da vida”. Já metade dos jovens acredita que o nível de importância entre esses itens é “bastante similar”.

Outras questões envolviam escolher a rede ou alguns itens que também são desejados por pessoas dos 15 aos 20 anos. Dos pesquisados, 64% preferem o acesso à internet a um carro, enquanto 40% dispensariam encontros e saídas com os amigos para permanecer conectados.

A pesquisa ainda aponta o crescimento da tecnologia móvel, já que cerca de 60% dos jovens escolheram celulares, tablets ou computadores portáteis como a tecnologia mais importante entre seus gadgets. [...]

KLEINA, Nilton. 2 a cada 5 jovens preferem internet a sair com os amigos. Disponível em: <http://www.tecmundo.com.br/internet/15029-2-a-cada-5-jovens-preferem-internet-a-sair-com-os-amigos.htm>. Acesso em: 4 mar. 2012.

Com base nas informações do texto, responda às questões:

Reescreva nas formas de razão e porcentagem a informação dada no título da reportagem.

Escreva na forma de razão e porcentagem o resultado das respostas dadas com relação à internet ser um bem precioso para a humanidade.

Supondo que o número de pessoas pesquisadas tenha sido de 5 800, determine a quantidade que respondeu preferir acesso à internet a um carro.

Relembrando, tem-se:

A razão do número real a para o número real b é dada por a

b, com b ≠ 0.

Porcentagem é toda razão a

b, com b = 100. Usa-se % para representar essa razão.

Exemplos:

11

10011= %

3

20

15

10015= = %

Proporção

Segundo dados do IBGE, de acordo com o Censo 2010, o Brasil possui 190 732 694 habitantes. Destes, 97 342 162 são mulheres. No Censo 2000, o Brasil tinha 169 799 170 habitantes, dos quais 86 224 018 eram mulheres.

De acordo com essas informações, calcule o que se pede, arredondando para um número inteiro.

a) A porcentagem de mulheres no Brasil de acordo com o Censo 2000.

b) A porcentagem de mulheres no Brasil de acordo com o Censo 2010.

c) O que você observou em relação aos percentuais de mulheres no Brasil do Censo 2000 e do Censo 2010?

d) Quando a população brasileira chegar a 236 508 540, qual será o número de mulheres, supondo que a proporção continue a mesma?

e) Qual foi o percentual de aumento da população, do Censo de 2000 para 2010?

f) Supondo que o número de mulheres aumente sempre na mesma proporção que a população, quando a população brasileira chegar a 236 508 540, quantas mulheres existirão no Brasil?

Relembrando:

Proporção é uma igualdade entre duas razões.a

b

c

d=

Propriedade fundamental da proporçãoa

b

c

dad bc= ⇔ =

Índice de

aumento

@MAT1918


1. Mariana comprou ações de uma empresa e as vendeu um mês depois pelo valor corresponden-te a três quartos do preço que pagou. Qual a ra-zão entre o preço de venda e o preço de compra?

2. (UFRJ) A organização de uma festa distribuiu gratuitamente 200 ingressos para 100 casais. Outros 300 ingressos foram vendidos, 30% dos quais para mulheres. As 500 pessoas com in-gressos foram à festa.

a) Determine o percentual de mulheres na festa.

b) Se os organizadores quisessem ter igual nú-mero de homens e de mulheres na festa, quantos ingressos a mais eles deveriam dis-tribuir apenas para as pessoas do sexo femi-nino?

3. Uma cooperativa agrícola comprou 100 sacas de soja por R$ 3.000,00. No mês seguinte houve um aumento de 25% no preço da saca. Quantas sa-cas a cooperativa poderá comprar com a mesma quantia?

4. Um automóvel que custava R$ 25.000,00 sofreu um acréscimo de 10%. Após esse aumento as vendas caíram. Por isso os fabricantes resolveram dar um desconto de 10% na compra à vista desse automóvel. Qual o preço final desse carro?

5. Um fogão teve um reajuste de 8% e passou a cus-tar R$ 702,00. Qual era o preço do fogão antes desse reajuste?

6. (UFV – MG) Uma indústria fabrica dois tipos de produto, X e Y, com custo por unidade de R$ 4,00 e R$ 10,00, respectivamente. Sabendo que essa indústria vendeu 260 unidades dos produtos X e Y com preços 50% e 40%, respectivamente, aci-ma do seu valor de custo, obtendo R$ 2.680,00 com a venda, determine a quantidade de cada produto.

Ensino Médio | Modular

FÍSICA

7

FÍSICAMATEMÁTICA

7. Por meio de um testamento, foram doados R$ 210.000,00 a duas instituições de caridade. A razão entre as quantias recebidas pelas insti-tuições A e B, nesta ordem, é igual a 4 para 3. Determine a quantia que cada instituição rece-beu.

8. Gabriela tem um automóvel que faz 10 km/L com gasolina e 7 km/L com etanol. Ao chegar a um posto de gasolina, verificou os seguintes preços para os combustíveis:

Etanol R$ 1,799

Gasolina R$ 2,389

© D

ream

stim

e.co

m/M

icha

el F

lippo

Com qual combustível é financeiramente mais vantajoso Gabriela abastecer o seu automóvel? Justifique.

Matemática Financeira A Matemática Financeira estuda o valor do dinheiro no tempo e de que forma isso se relaciona a

aplicações, pagamentos de empréstimos ou avaliação financeira de objetos.Na Matemática Financeira, usam-se termos muito específicos. Conheça alguns deles.Observe o seguinte anúncio:

Lavadora e secadora de roupas

R$ 2.600,00 à vista

ou

12 x de R$ 231,00

Total a prazo: R$ 2.772,00

Taxa de juros: 1% a.m.

© S

hutt

erst

cok/

ART

BOXC

OM


Capital (C)Todo valor monetário que é usado para emprestar ou aplicar durante certo tempo é chamado de

capital.

No anúncio, qual o valor do capital?

Juro (j)O valor cobrado como custo do empréstimo para quem empresta ou a remuneração do capital para

quem aplica é chamado de juro.

Determine o valor cobrado de juro pela compra a prazo, de acordo com o anúncio.

Montante (M)A soma do capital com o juro é o montante, ou seja, M = C + j.

Qual o montante do anúncio?

Taxa de juros (i)O valor do juro em um intervalo de tempo, expresso como uma porcentagem do capital, é deno-

minado taxa de juros.Exemplo:10% a.a. (a.a. significa "ao ano")5% a.s. (a.s. significa "ao semestre")8% a.m. (a.m. significa "ao mês")16% a.d. (a.d. significa "ao dia")

Qual a taxa de juros do anúncio?

Período de tempo (n)Os períodos de uma aplicação ou empréstimo mais comuns são diário, mensal, bimestral, trimestral,

semestral e anual. Essa quantidade de períodos é indicada por n, e ela deve ser expressa sempre no mesmo período da taxa de juros.

Qual o valor de n do anúncio?

Usa-se a letra i para

representar a taxa de juros, porque ela é

abreviatura da palavra inglesa interest, que

significa juro.


FÍSICA

9

FÍSICAMATEMÁTICA

Juros simples

Regime de capitalização simples no qual se aplica um capital por determinado período, a certa taxa. Os juros incidem sempre sobre esse capital inicial.

Vamos supor que foi aplicado, a juros simples, um capital de R$ 1.000,00, durante 4 meses, a uma taxa de 2% a.m.

Tem-se que:C = 1 000n = 4 mesesi = 0,02 a.m.De acordo com a definição desse regime de capitalização, preencha a tabela a seguir.

Mês Capital Juro Montante do período

1 1 000 1 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 20,00 R$ 1.020,00

2 1 000 2 · 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 40,00

3

4

Qual o montante ao completar os 4 meses de aplicações?

Gestão Financeira – tecnólogoO tecnólogo em Gestão Financeira atua no planejamento financeiro, na organização, captação e

gestão de investimentos de recursos de uma empresa. Analisa o mercado financeiro e as tendências econômicas do país e do mundo que possam influenciar o desempenho da empresa.

O mercado de trabalho para o tecnólogo em Gestão Financeira é bem amplo e está em alta devido ao bom momento econômico que o Brasil está passando. Esse profissional pode trabalhar em corretora de valores, bancos, departamento financeiro de qualquer empresa, instituições de crédito, distribuidora de valores imobiliários ou abrir negócio próprio como consultor financeiro.

No curso de Tecnólogo em Gestão Financeira, há muitas disciplinas que envolvem cálculos, entre elas Matemática Financeira, Estatística e Gestão de Investimentos.

© S

hutt

erst

ock/

Mon

key

Busi

ness

Imag

es


Represente por meio de gráfico essa aplicação.

De modo geral, para resolver essa e outras situações de juros simples, tem-se:

Juro MontanteJ = C · i · n M = C + J

1. Antonio aplicou R$ 4.300,00 a juros simples, durante 5 meses, a uma taxa de 0,5% a.m. Qual o montante final dessa aplicação?

2. Beatriz tomou emprestado R$ 2.000,00 à taxa de juros simples de 3% a.m., comprometendo--se a pagar depois 3 meses. Quanto Beatriz pa-gará de juro?

3. Um carro é vendido por R$ 15.000,00 à vis-ta. Carlos propôs comprá-lo a prazo, com uma entrada de 20% mais uma parcela de R$ 13.080,00 após três meses. Qual a taxa men-sal de juros simples da proposta feita por Carlos?

4. Daniel aplicou R$ 7.000,00 a uma taxa de juros simples de 18% a.a. No ato do resgate, são pa-gos 15% de imposto de renda (IR) sobre os ju-ros. Ao final de 5 meses, qual o valor resgatado por Daniel?


FÍSICA

11

FÍSICAMATEMÁTICA

5. Um produtor de soja tem um estoque de 10 000 sacas e recusa a oferta de compra de R$ 12,00 por saca na esperança de conseguir preço melhor no futuro. Quatro meses depois, vende o estoque por R$ 22,00 a saca. Sabendo que a taxa de juros simples de mercado é de 15% a.m., determine o lucro ou prejuízo que esse produtor teve sobre o valor inicial de oferta de compra.

6. Um capital de R$ 4.112,50 foi dividido em duas partes, de forma que a primeira foi aplicada a juros simples, à taxa de 3% a.m., durante cinco meses. A outra parte foi aplicada durante oito meses, à taxa de 4% a.m., também a juros sim-ples. Qual o valor correspondente a cada parte, sabendo que as duas aplicações renderam o mes-mo juro?

7. Um capital foi aplicado durante 8 meses, à taxa de 6% a.m., a juros simples. No final do prazo, o montante foi reaplicado durante 10 meses, a ju-ros simples, à taxa de 8% a.m. Determine o valor do capital inicial aplicado sabendo que o mon-tante final foi de R$ 399.600,00.

Juros compostos

Regime de capitalização composta no qual se aplica um capital por determinado período a certa taxa. Os juros incidem sempre sobre o capital acumulado.

Vamos supor que foi aplicado, a juros compostos, um capital de R$ 1.000,00, durante 4 meses, a uma taxa de 2% a.m.

Tem-se que:C = 1 000n = 4 mesesi = 0,02 a.m.

Aplicação

de juros

compostos

@MAT1208


De acordo com a definição desse regime de capitalização, preencha a tabela a seguir.

Mês Capital Juro Montante do período

1 1 000 0,02 · R$ 1.000,00 = R$ 20,00 R$ 1.020,00

2 1 020 0,02 · R$ 1.020,00 = R$ 20,40

3

4

Qual o montante ao completar os 4 meses de aplicações?

De forma geral, no processo do cálculo do montante, a juros compostos, tem-se:

n = 1 n = 2 n = 3

M1 = C + C · i C = M1 C = M2

M1 = C · (1 + i) M2 = M1 · (1 + i) M3 = M2 · (1 + i)

M2 = C · (1 + i) · (1 + i) M3 = C · (1 + i)² · (1 + i)

M2 = C · (1 + i)² M3 = C · (1 + i)³

Assim:

O montante de uma aplicação de um capital C, a juros compostos, a uma taxa fixa i, após n períodos, é dado por:

Mn = C · (1 + i)n

Vamos resolver algumas situações no regime de capitalização composta.

1. Qual o montante gerado da aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de 1% a.m. durante um ano?

2. Sete anos de aplicação a uma taxa de 10% a.a. gerou um montante de R$ 12.666,66. Qual foi o capital aplicado?


FÍSICA

13

FÍSICAMATEMÁTICA

Comparando o montante a juros simples e a

juros compostosQual a diferença entre os regimes de capitalização?

Observe a seguir o gráfico comparativo entre os montantes a juros simples e a juros compostos de um capital de R$ 1.000,00, à taxa de 12% a.a., dos prazos de 1 a 12 anos.

Ao longo do tempo, qual o regime de capitalização que gera mais juros?

Observe, no gráfico a seguir, que o crescimento do capital a juros simples é linear, enquanto o aumento do capital a juros compostos tem crescimento exponencial.

3. Foram aplicados R$ 2.500,00 durante 5 meses, gerando um montante de R$ 2.760,20. Qual foi a taxa de juros dessa aplicação?

4. Por quantos meses deve-se aplicar R$ 1.000,00 a uma taxa de 1,5% a.m. para chegar a um montante de R$ 1.077,28?


O regime de capitalização composta é o mais utilizado no mercado financeiro. Os juros simples são usados quando o tempo de aplica-ção é menor que uma unidade de tempo, pois é o único período em que esses juros são mais vantajosos que os compostos. Por exemplo, se a unidade de tempo em que a taxa de juros é aplicada for ano, é mais vantajoso usar os juros simples para períodos menores que um ano. Para capitais de mesmo valor, aplicados sob a mesma taxa de juros, mas em regimes de capitalização diferentes, simples e compostos,

ao final do primeiro período os juros gerados serão iguais. Após isso, os juros compostos serão maiores. O mercado financeiro em ge-ral, seja ele particular ou público, emprega os juros compostos, seja para aplicar seja para emprestar dinheiro.

Os juros simples geralmente são aplicados no cálculo de juros de mora, em que a taxa per-centual cobrada por atraso de pagamento em um determinado período é menor que uma unidade de tempo.

1. Luiz aplicou R$ 10.000,00 durante 10 anos a uma taxa de 12% a.a., a juros compostos. Qual o mon-tante resgatado?

2. Henrique aplicou R$ 1.500,00 por 6 meses a uma taxa de 8% a.m. no regime de capitalização compos-ta. Determine o juro dessa aplicação.

3. Em 11 meses, Tatiana terá uma dívida de R$ 746,00 a ser paga. Qual o capital que ela deve aplicar na atualidade, à taxa de 2% a.m., a juros compostos, para que no final da aplicação ela tenha o valor necessário para quitar a dívida?


FÍSICA

15

FÍSICAMATEMÁTICA

4. Angela aplicará R$ 1.000,00, a juros compostos, à taxa de 1,2% a.m. até dobrar sua aplicação. Qual será o tempo da aplicação?

5. Uma loja está vendendo uma geladeira por R$ 1.500,00 com pagamento sendo feito 2 meses após a compra. Se o cliente optar para pagamento no ato da compra, ou seja, à vista, a loja dá um desconto de 5%. Qual a taxa de juros compostos mensal, embutido, para pagamento em 2 meses?

6. Silvia aplicou R$ 6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte na aplicação do tipo A, à taxa de 2% a.m., e outra na aplicação do tipo B, à taxa de 1,5% a.m. Ela deixou o dinheiro nas duas aplicações durante seis meses e, ao resgatá-lo, os montantes foram iguais. Determine que valor foi investido em cada tipo de aplicação.


Na Matemática Financeira, a capitalização composta, muito utilizada no mercado financeiro, é baseada no estudo da progres-são geométrica. O juro que incide sobre o montante do período anterior é denominado “juro sobre juro”.

Observe uma situação em que um capital foi aplicado sob o regime de capitalização composta.

Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado durante três meses a uma taxa de 10% ao mês. A seguir, calcule o montante gerado em cada mês (período).

Progressão geométrica e

Matemática Financeira

Divanzir

Padilha. 2

008. Digita

l.

a) Qual é o valor da aplicação na data 0 ou data focal 0?

b) Qual é o valor da aplicação no final do 1.º mês ou na data focal 1?

c) Qual é o valor da aplicação no final do 2.º mês ou na data focal 2?

d) Qual é o valor da aplicação no final do 3.º mês ou na data focal 3?


FÍSICA

17

FÍSICAMATEMÁTICA

Assim, o montante, após 3 meses, é R$ 13.310,00. O juro gerado nesse processo é R$ 3.310,00. Se essa capitalização fosse a juros simples, então o montante seria R$ 13.000,00 e o juro R$ 3.000,00.

Comparando as capitalizações (simples e composta) em cada período, tem-se:

Capitalização simples:

(10.000, 11.000, 12.000, 13.000, 14.000,...) PA (r = 1.000)

1.° mês 2 .° mês 3 .° mês 4 .° mês

Capitalização composta:(10.000, 11.000, 12.100, 13.310, 14.641,...) PG (q = 1,1)

1.° mês 2 .° mês 3 .° mês 4 .° mês

Na capitalização simples, os montantes em cada período formam uma PA, enquanto, na capitalização composta, formam uma PG.

Generalizando o exemplo anterior, para o capital inicial C, a taxa i, o montante Mn no período n, tem-se:

Aplicação na data 0 (data focal 0).

0) C

Ao final do 1.º mês:

1) C + C · i = C (1 + i)


2) C (1 + i) + i · C (1 + i) = C (1 + i)(1 + i) = C (1 + i)²


3) C (1 + i)² + i · C (1 + i)² = C (1 + i)²(1 + i) = C (1 + i)³

Ao final do enésimo mês o montante será:

Mn = C · (1 + i)n

Em que: M – montante (valor futuro)

C – capital (valor presente)

i – taxa unitária

n – número de períodos

(1 + i)n – fator de capitalização

Esse fator de capitalização pode ser obtido com o au-xílio de uma calculadora científica ou financeira ou por tabelas.

Agora, usando a relação do montante, determine o montante gerado por um capital de R$ 10.000,00 aplicado durante três meses a uma taxa mensal de 10%.

Na relação Mn = C(1 + i)n, quando comparada ao termo

geral an = a1 · qn − 1, tem-se:

an é denominado valor futuro (VF) ou montante (Mn), que corresponde ao capital acrescido de juros;

a1 é o valor presente ou capital inicial (C), que corresponde ao capital aplicado no tempo 0, ou seja, no tempo presente;

q é igual a (1 + i) em que i é a taxa de juros na forma decimal.

Observe que o expoente da relação Mn = C(1 + i)n é n, pois na Matemática Financeira n IN, logo, quando n = 0 (data focal 0), o montante é igual ao capital inicial.

No termo geral da PG an = a1 · qn − 1, o expoente é n − 1 e n IN*, isto é, não existe termo a0 na posição 0, ou seja, quando n = 0. Nessa relação, a1 corresponde a M1, ou seja, o montante quando n = 1.


1. Um capital é aplicado em um fundo de ren-da fixa cujo rendimento mensal é de 4% em relação ao mês anterior. Se não forem feitos resgates, a sequência dos valores mensais aplicados nesse fundo será:

a) uma progressão aritmética de razão 4.

b) uma progressão aritmética de razão 0,04.

c) uma progressão geométrica de razão 0,4.

d) uma progressão geométrica de razão 0,04.

e) uma progressão geométrica de razão 1,04.

2. (UP – PR) Em Matemática Financeira a fórmu-la Mn = C · (1 + i)n fornece o montante Mn gerado pela aplicação, a juros compostos, de um capital C num período n de meses com a taxa fixa mensal i. Então, observando a sequ-ência formada pelos montantes, mês a mês, isto é, M1, M2, M3, ..., Mn, é correto afirmar:

a) É uma progressão aritmética de razão C.

b) É uma progressão geométrica de razão (1 + i).

c) Não é nem progressão aritmética nem pro-gressão geométrica.

d) É uma progressão aritmética de razão C(1 + i).

e) É uma progressão geométrica de razão C.

3. O limite do cheque especial ou do cartão de cré-dito é um recurso que algumas pessoas utilizam quando não têm saldo em suas contas para rea-lizar uma compra ou pagar uma conta. Porém, nem todas as pessoas sabem realmente quanto vão pagar, pois desconhecem o cálculo dos ju-ros cobrados pelo uso do limite disponibilizado pelo banco. Para entender um pouco melhor essa situação, será utilizado um caso real:

Maria Eduarda realizou compras para a sua casa entre móveis e eletroeletrônicos e pagou essas despesas, utilizando o limite do cartão de crédito. Ela gastou R$ 10.000,00. A taxa cobrada pelo banco é de 8% ao mês. Se Ma-ria Eduarda for pagar essa dívida após seis meses, qual será o valor que deverá pagar? Determine os juros gerados.

4. João Pedro aplicou R$ 8.000,00 a juros com-postos em uma aplicação bancária que rende 1,5% ao mês, por um ano. Qual será o mon-tante recebido por João Pedro ao final do pe-ríodo? Determine os juros gerados.

5. Um capital é aplicado a uma taxa de 5% ao mês. Após quantos meses esse capital terá seu valor dobrado? E triplicado?

(Use: log 2 = 0,3, log 3 = 0,48 e log 1,05 = 0,02)

6. (UNESP – SP) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: (Dado: 1,01361 36)

a) 290,00

b) 286,00

c) 282,00

d) 278,00

e) 274,00


FÍSICA

19

FÍSICAMATEMÁTICA

Taxas equivalentes

Taxas equivalentes são taxas que produzem montantes iguais em períodos de capitalização diferentes, aplicadas durante um mesmo tempo, sobre o mesmo capital.

Para compreender melhor o que são taxas equivalentes, responda às seguintes situações:

Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, diz acadêmico de OxfordPara professor, jovens teriam impacto na sociedade se ganhassem milhões e doassem

parte do salário para causas sociais

Um cientista político da renomada Universidade de Oxford saiu a público para defender que jovens idealistas entrem para carreiras no sistema financeiro.

Will Crouch, especialista em ética do Centro Uehiro para Ética Prática de Oxford, argumentou que os jo-vens teriam mais impacto na sociedade se, em vez entrar para ONGs, por exemplo, escolhessem uma carreira milionária e doassem parte de sua renda para causas sociais.

Seria “como Robin Hood, mas ganhando o dinheiro em vez roubar”, comparou. Desde a crise econômica que começou com a quebra do banco Lehman Brothers, em setembro de 2008,

banqueiros e profissionais do mercado financeiro têm sido alvo de críticas, acusados de egoísmo, ganância e falta de consciência moral.

A Bolsa de Valores de Londres, símbolo do mercado, continua sendo alvo de manifestantes do movimento Occupy London, acampados do lado de fora da Catedral de St. Paul, nas proximidades do pregão.

Entretanto, Crouch alega que os jovens que descartam carreiras no setor financeiro por desconfiança da integridade ética da profissão podem estar tomando a decisão errada.

“O benefício direto que um só trabalhador no setor Filantrópico pode gerar é limitado, enquanto as doações filantrópicas de um banqueiro podem prover uma ajuda indireta dez vezes maior que a maioria das pessoas”, afirmou o professor.

Analisando a renda típica de um investidor profissional e o custo de tratar a tuberculose nos países desenvolvi-dos, Crouch estimou que um “ricaço com consciência ética” pode salvar 10 mil vidas com metade do seu salário.

Crouch, que diz doar 20% de sua renda como acadêmico para caridade – percentual que ele pretende elevar para 50% no futuro –, é o fundador da organização 80 Hours, voltada para a maximização de doações sociais.

O nome da organização vem da estimativa do professor de que a vida profissional de uma pessoa dura em média 80 mil horas.

Para o especialista em ética, as opções de carreira profissional precisam ser avaliadas para além do estereótipo relacionado a seus valores morais. [...]

ESTADAO.COM. Jovens éticos devem abraçar carreira no setor financeiro, diz acadêmico de Oxford. Disponível em: <http://economia.estadao.com.br/noticias/economia,jovens-eticos-devem-abracar-carreira-no-setor-financeiro-diz-academico-de-oxford,93349,0.htm>. Acesso em: 16 mar. 2012.


Situação 1Paulo aplicou R$ 1.000,00 a juros simples durante 12 meses a uma taxa de 1% a.m.Ricardo aplicou R$ 1.000,00 a juros simples durante um ano a uma taxa de 12% a.a.Qual foi a diferença entre os montantes de Paulo e Ricardo ao final do período de aplicação?

Pode-se dizer que a taxa de juros, no regime de capitalização simples de 1% a.m., é equivalente a 12% a.a.? Justifique.

Situação 2Ana aplicou R$ 1.000,00 a juros compostos, durante 12 meses, a uma taxa de 1% a.m.Beatriz aplicou R$ 1.000,00 a juros compostos, durante 1 ano, a uma taxa de 12% a.a.Ao final dos doze meses, Ana e Beatriz tiveram o mesmo montante?

Pode-se dizer que a taxa de juros, no regime composto de 1% a.m. é equivalente a 12% a.a.? Justifique.

Taxas equivalentes no regime de capitalização

simplesObserve que, na situação 1, as taxas equivalentes são proporcionais aos respectivos tempos de

aplicação.Sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes e n1 e n2 os tempos de aplicação, considerando um capital C,

tem-se:J1 = C · i1 · n1

i1 · n1 = i2 · n2J2 = C · i2 · n2C · i1 · n1 = C · i2 · n2


FÍSICA

21

FÍSICAMATEMÁTICA

Nessas condições, responda:A taxa de 12% a.s. é equivalente a que taxa mensal?

Taxas equivalentes no regime de capitalização

compostaObserve que, na situação 2, não se pode proceder da mesma maneira que no regime de capitalização

simples para determinar a taxa equivalente.Pela definição, as taxas equivalentes produzem montantes iguais se aplicadas sobre um mesmo

capital e durante um mesmo tempo.Sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes e n1 e n2 os tempos de aplicação, considerando um capital

C, tem-se:M1 = C · (1 + i1)n1

(1 + i1)n1 = (1 + i2)n2M2 = C · (1 + i2)n2

C · (1 + i1)n1 = C · (1 + i2)n2

Nessas condições, responda:A taxa de 12% a.a. é equivalente a que taxa mensal?


Para resolver as atividades seguintes, considere 1 ano = 365 dias e 1 mês = 30 dias.

1. Determine a taxa anual, equivalente a juros simples, das seguintes taxas:

a) 0,04% a.d.

b) 1,3% a.m.

c) 2,8% a.b.

d) 6,1% a.t.

e) 15,2% a.s.

2. Determine a taxa semestral, equivalente a ju-ros compostos, das seguintes taxas:

a) 1,3 a.m.

b) 2,8% a.b.


FÍSICA

23

FÍSICAMATEMÁTICA

© S

hutte

rsto

ck/J

ojje

c) 6,1% a.t.

d) 15,2% a.a.

3. Carolina investiu R$ 12.000,00, a juros com-postos, à taxa de 6% a.s. pelo prazo de 7 meses. Qual o juro recebido desse investi-mento?

4. Carlos aplicou R$ 5.000,00, a juros compos-tos, à taxa de 18% a.a. pelo prazo de 5 me-ses. Qual o montante no final dessa aplica-ção?

Desconto

Desconto é uma ideia associada ao abatimento de um valor delimitado, em determinadas condições.

No comércio, é muito comum a oferta de descontos que são proporcionais ao valor do bem ou serviço. Normalmente, essa oferta ocorre por um período definido denominado liquidação.

Suponha que na vitrine de uma loja esteja exposto o selo ao lado, ou seja, são oferecidos descontos de 30%. Se o preço de uma calça é R$ 180,00, responda:

Índice de

redução

@MAT1422


a) Qual percentual do valor da calça será pago, devido aos descontos?

b) Qual o valor a ser pago pela calça com desconto?

c) Qual o valor do desconto dado?

No sistema financeiro, o conceito de desconto ocorre em situações em que uma empresa vende um produto a prazo.

Quando um produto é vendido a prazo, o comprador assina uma promessa de pagamento dentro de determinado tempo, de comum acordo. O vendedor, tendo a necessidade de receber antes do prazo acordado com o comprador, cede os direitos de recebimento a uma instituição financeira, na forma de duplicata, em troca do recebimento do dinheiro antecipadamente. A instituição financeira cobra por essa antecipação na forma de um desconto que depende da taxa desse desconto e do prazo de antecipação.

Essa prática é muito comum no mercado financeiro e apresenta uma sistemática de cálculo bem definida, conhecida como desconto comercial ou bancário.

No desconto comercial, tem-se o valor nominal ou valor de face (valor do título a ser descontado), indicado por N; o prazo de vencimento do título, indicado por n; a taxa de desconto da operação, indicada por d e expressa em porcentagem por período; e o desconto comercial, indicado por D.

Desconto simplesO desconto simples é semelhante ao cálculo do regime de capitalização simples. Nos juros simples,

é utilizada a fórmula J = Cin. No desconto simples, o valor do juro é substituído pelo desconto, o capital pelo valor nominal, a taxa de juros pela taxa de desconto.

Assim:

O desconto comercial ou bancário é dado por:D = N ∙ d ∙ nO valor descontado ou valor líquido é dado por:Vd = N – D

Em uma situação, uma duplicata de R$ 16.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes do vencimento, a uma taxa comercial de 2% a.m., por uma loja.


FÍSICA

25

FÍSICAMATEMÁTICA

1. Uma nota promissória de R$ 11.000,00 será descontada 45 dias antes do vencimento, à taxa de 2,1% a.m., por um comerciante. De-termine:

a) o desconto;

b) o valor recebido pelo comerciante.

2. Uma empresa descontou uma duplicata no valor nominal de R$ 25.000,00 em um banco 36 dias antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. Sabendo que o banco cobrou 1% de taxa de adminis-tração sobre o valor nominal da duplicata no dia do desconto, determine:

a) o desconto comercial;

b) o valor descontado;

c) o valor líquido recebido pela empresa.

Nessas condições, responda:

a) Qual o valor nominal, o prazo de vencimento da duplicata e a taxa de desconto?

b) Qual o desconto comercial dado?

c) Calcule o valor recebido pela loja.


Desconto compostoO conceito de desconto composto é análogo ao de desconto simples. Utiliza-se a fórmula de juros

compostos, M = C (1 + i)n, substitui-se o montante M por valor nominal N, o capital pelo valor atual ou valor presente indicado por V e a taxa de desconto indicada por i. Assim, tem-se:

O valor atual ou valor presente é dado por:

N = V · (1 + i)n ou VN

in

=+( )1

Em uma determinada situação, uma empresa tem um título no valor de R$ 16.000,00 que tem vencimento para daqui a 4 meses. Determine o valor atual desse título e o valor do desconto sabendo que a taxa de desconto composto é de 2% a.m.

1. Uma indústria tem uma duplicata no valor de R$ 100.000,00 que vencerá daqui a três me-ses. Qual o valor atual de resgate consideran-do que o banco pratica uma taxa de desconto composto de 1,5% a.m.?

2. Qual o valor do desconto concebido em uma transação de desconto composto de uma du-plicata, no valor de R$ 22.000,00, resgatada 5 meses antes do seu vencimento a uma taxa de 2,5% a.m.?

3. Uma empresa descontou, em um banco, uma duplicata com prazo de antecipação de 72 dias e valor nominal de R$ 20.000,00, recebendo um valor líquido de R$ 19.280,00. Qual a taxa de desconto mensal utilizada pelo banco?

4. Um banco pagou R$ 5.811,00 por uma dupli-cata de valor nominal de R$ 6.000,00 aplicando uma taxa de desconto comercial de 2,1% a.m. Com quantos dias de antecipação essa dupli-cata foi resgatada?


FÍSICA

27

FÍSICAMATEMÁTICA

3. Em uma operação de desconto composto, uma empresa recebeu R$ 13.257,81 de uma duplicata no valor de R$ 15.000,00, que ven-ceria em 5 meses. Qual a taxa de juros cobra-da pelo banco?

4. Uma pessoa tem uma dívida de R$ 2.500,00 para ser paga daqui a três meses. Quanto ela deverá aplicar hoje para, a uma taxa de juros compostos de 1,5% a.m., ter o montante ne-cessário para pagar a dívida no prazo?

5. Uma empresa tem duas duplicatas a vencer. A primeira, no valor de R$ 50.000,00, vence da-qui a dois meses. A outra duplicata, no valor de R$ 70.000,00, vence daqui a cinco meses. Quanto, no mínimo, a empresa deve aplicar hoje, a juros compostos, a taxa de 2% a.m., para poder honrar com seus compromissos?

1. (ENEM) Um experimento con-siste em colocar certa quanti-dade de bolas de vidro idênti-cas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resulta-do do experimento, concluiu--se que o nível da água é fun-ção do número de bolas de vidro que são colocadas den-tro do copo.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Número de bolas (x) Nível de água (y)

5 6,35 cm

10 6,70 cm

15 7,05 cm

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bo-las (x)?

a) y = 30x.

b) y = 25x + 20,2.

c) y = 1,27x.

d) y = 0,7x.

e) y = 0,07x + 6.Noções de Matemática Financeira28

6. (UFPE) Quando o preço da unidade de deter-minado produto diminuiu 10%, o consumo au-mentou 20% durante certo período. No mesmo período, de que percentual aumentou o fatura-mento da venda deste produto?

a) 8% b) 10% c) 12%

d) 15% e) 30%

7. (UFES) Um empregado recebe um salário men-sal para trabalhar 8 horas diárias. Trabalhando 2 horas extras todo dia, ele tem acréscimo de 50% em seu salário. Quanto ele ganha a mais por hora extra?

a) 50% b) 60% c) 80%

d) 100% e) 120%

8. (UFMG) Uma loja aumenta o preço de um de-terminado produto cujo valor é R$ 600,00 para, em seguida, a título de promoção, vendê-lo com desconto de 20% e obter ainda os mesmos R$ 600,00. Para que isso aconteça, o aumento percentual do preço deverá ser de:

a) 20%

b) 25%

c) 30%

d) 40%

9. (FGV – SP) Um capital aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% ao mês, triplica em:

a) 75 meses;

b) 80 meses;

c) 85 meses;

d) 90 meses;

e) 95 meses;

10. (ESPM – SP) Um capital de R$ 6.000,00 é aplica-do por 4 meses a juros compostos de 2% a.m. Qual é o valor dos juros resultantes dessa aplica-ção?

Você pode usar um dos dados a seguir:

1,024 = 1,08241,24 = 2,07361,02 · 4 = 4,08

a) R$ 6.494,40

b) R$ 6.480,00

c) R$ 6.441,60

d) R$ 494,40

e) R$ 480,00

2. (ENEM) Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, ali-mentos não perecíveis para doar a uma comuni-dade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo e passaram a tra-balhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quanti-dade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de:

a) 920 kg. b) 800 kg. c) 720 kg.

d) 600 kg. e) 570 kg.

3. (ITA – SP) Uma empresa possui 1000 carros, sen-do uma parte com motor a gasolina e o restan-te com motor “flex” (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 1000 carros, 36% dos carros com motor a gasolina e 36% dos carros com motor “flex” sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após essa con-versão, 556 dos 1000 carros dessa empresa são bicombustíveis, pode-se afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a:

a) 246. b) 252. c) 260.

d) 268. e) 284.

4. (FGV – SP) Um aparelho de TV é vendido por R$ 1.000,00 em dois pagamentos iguais, sem acréscimo, sendo o 1°. como entrada e o 2°. um mês após a compra. Se o pagamento for feito à vista, há um desconto de 4% sobre o preço de R$ 1.000,00. A taxa mensal de juros simples do financiamento é aproximadamente igual a:

a) 8,7% b) 7,7% c) 6,7%

d) 5,7% e) 4,7%

5. (UF – CE) José e João possuem uma empresa cujo capital é de R$ 150.000,00. José tem 40% de participação na sociedade e deseja aumentar a sua participação para 55%. Se João não deseja alterar o valor, em reais, de sua participação, o valor que José deve empregar na empresa é:

a) R$ 110.000,00

b) R$ 170.000,00

c) R$ 82.500,00

d) R$ 90.000,00

e) R$ 50.000,00Ensino Médio | Modular

FÍSICA

29

FÍSICAMATEMÁTICA

30

Anotações


Anotações

MATEMÁTICA

32

Anotações

noções de matemática...

Documents