2.

Noções deMatemática Elementar

1 Notação cientí�ca

Para escrever números muito grandes ou muito pequenos é mais cómodo usar anotação cientí�ca, que consiste em escrever um número na forma

x = a× 10n. (1)

n é o expoente de 10. Temos

100 = 1

101 = 10

102 = 100

103 = 1000 . . . (2)

Vemos portanto que 10n quer dizer 1 seguido de n zeros.

Para números menores que 1 usam-se os expoentes negativos:

10−1 =1

101= 0.1

10−2 =1

102= 0.01

10−3 =1

103= 0.001 . . . (3)

Vemos portanto que 10−n é �0.� seguido de n casas decimais, sendo a última um1 e todas as outras 0.

Exemplo 7, 5× 102 = 7, 5× 100 = 750

1

1.1 Regras

1.10n × 10m = 10n+m (4)

2.10n

10m= 10n−m (5)

1.2 Pre�xos

1. Kilo=K=103; mili=m=10−3;

2. Mega=M=106; micro=µ = 10−6;

3. Giga=k=109; nano=n=10−9;

4. Tera=T=1012; pico=p=10−12;

2 Álgebra Básica

• �Oito vezes o meu número de laranjas é 32� quer dizer

8x = 32.

Quanto é x? Podemos dividir os dois termos da equação por 8:

8x

8=

32

8⇒ x = 4.

• �O meu número de laranjas mais 3 é 7� quer dizer

x + 3 = 7.

Quanto é x? Podemos adicionar −3 aos dois termos, e �ca

x + 3− 3 = 7− 3⇒ x = 4.

• �O meu número de laranjas a dividir por 2 é 2� quer dizer

x

2= 2.

Quanto é x? Podemos multiplicar por 2 os dois termos, e �ca

x

2× 2 = 2× 2⇒ x = 4.

2

Em geral,

a

bx + c = d⇒

a

bx = d− c⇒ (6)

x =b

a(d− c).

3 Manipulação de parêntesis

1. Propriedade distributiva:

a(b + c) = ab + ac. (7)

2. Expansão de um quadrado:

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b

= a2 + ba + ab + b2 = a2 + 2ab + b2. (8)

3. Uma factorização importante

a2 − b2 = (a + b)(a− b). (9)

4 Fracções

1. Multiplicação de fracçõesa

b× c

d=

ac

bd. (10)

2. Divisão de fracçõesa

bc

d

=a

b× d

c=

ad

bc. (11)

3. Para somar (ou subtrair) fracções há que reescrevê-las de forma a terem omesmo denominador:

a

b± c

d=

ad

bd± cb

bd=

ad± bc

bd. (12)

3

5 Potências

A notação cientí�ca é um caso particular da aplicação de potências. Como hápouco,

x0 = 1

x1 = x

x2 = x× x

x3 = x× x× x (13)

x−1 = 1/x1

x−2 = 1/x2

x−n = 1/xn

As regras são

1. Multiplicação

xnxm = xn+m (14)

2. Divisãoxn

xm= xn−m (15)

3. Exponenciação(xn)m = xnm (16)

4. Radicaisx1/n = n

√x. (17)

O que é n√

x? É um número y tal que yn = x:

n√

x = y ⇒ yn = x. (18)

A raiz mais comum é a quadrada:

2√

x = y ⇒ y2 = x. (19)

6 Funções

O que é uma função?

É uma operação que transforma elementos de um dado conjunto A em ele-mentos de outro conjunto B, sendo que a cada elemento de A corresponde apenas

4

um elemento de B (mas o mesmo elemento de B pode ser a imagem de várioselementos de A).

Por exemplo, se deixarmos cair um corpo do cimo de uma torre e pudermosmedir a distância que ele vai percorrendo e o tempo em que percorre essa dis-tância, então temos os conjuntos A=tempo de queda e B=distância percorrida.Se representarmos os elementos de A por t e os elementos de B por x, então afunção que faz a correspondência entre os elementos de A e B é

x = f(t) = 4.9t2. (20)

A ilustração deste exempo está na �gura 1.

Figura 1: A função �queda livre� transforma os tempos em distâncias

Outro exemplo: o preço a pagar por uma dada quantidade de laranjas. TemosA=quantidade de laranjas (m, em kg) e B=preço a pagar (p, em euros). Então,se o preço por kg for 2 euros, temos

p = f(m) = 2m. (21)

Agora imaginemos que temos de pagar 50 cêntimos pelo saco que contém as laran-jas, independentemente da quantidade de laranjas a comprar. Então a funçãopreço passa a ser

p = f(m) = 2m + 0.5. (22)

As funções podem ser descritas por expressões analíticas simples, como as dosexemplos anteriores, mas também podem ter expressões muito mais complicadas.Podem ainda ser expressas por tabelas, sem que haja alguma fórmula que se lheadapte.

5

7 Representação grá�ca

Quando queremos representar uma função

y = f(x)

recorremos a um grá�co. No eixo horizontal colocamos os valores de x e no eixovertical colocamos os valores de y. Vejamos os grá�cos das funções dos exemplosanteriores nas �guras 2 e 3:

Figura 2: O grá�co da função x = 4, 9t2

Figura 3: O grá�co da função p = 0, 5 + 2m

Vejamos ainda outro exemplo: a posição de um carro que viaja à velocidadev=60 km/h. Temos então que a distância percorrida (d, em km) é uma funçãodo tempo de viagem (t, em h). A correspondência é simplesmente

d = 60t, (23)

6

e o grá�co é também uma linha recta (�gura 4).

Figura 4: O grá�co da função d = 60t

O seguinte grá�co (�gura 5) refere-se também à distância percorrida por umcarro. Como interpretar este grá�co?

Figura 5: Que função é esta? O que aconteceu ao carro?

8 Logaritmos

O logaritmo de um número na base a de�ne-se assim:

Se x = ay então y = loga x. (24)

Por outras palavras, o logaritmo de x na base a é o número y a que é precisoelevar a para se ter ay = x.

7

Por agora os logaritmos que nos interessam são os de base 10. Por isso, emvez de escrever log10 escrevemos simplesmente log. Temos

x = 10y ⇒ y = log x. (25)

Por exemplo, 1000 = 103 quer dizer que log 1000 = 3.

Propriedades do logaritmos

1. Valores notáveislog 1 = 0 (26)

(porque 100 = 1).log 10 = 1 (27)

(porque 101 = 10)

2. log do produtolog(ab) = log a + log b (28)

3. log da divisãolog

a

b= log a− log b (29)

4. log do expoentelog(an) = n log a (30)

O grá�co da função logaritmo (ver a �gura 6) mostra que o seu crescimentoé lento: y = log x varia pouco relativamente a x. Na verdade, enquanto x tomaos valores 1, 10, 100, 1000, 10000,..., y toma os valores 0,1,2,3,4,...

Ex.: calcular log(5, 6× 107)

9 Regras de três simples (proporcionalidade)

Se 1,8 kg de laranjas custa 3 euros, quanto custa 0,6 kg? Uma forma rápida de nãonos enganarmos é fazer uma regra de três simples, exprimindo a proporcionalidadeentre a quantidade de laranjas e o seu preço

1, 8 kg → 3 euros

0, 6 kg → x euros (31)

Temos então que

x =0, 6× 3 euros

1, 8= 1 euro. (32)

8

Figura 6: O grá�co da função log x (nota: log 1 = 0 e log 0 não está de�nido.A escala é muito grande e parece que o primeiro ponto é 0. Não é. O primeiroponto é x = 1.)

10 Ângulos

Uma volta completa são 360o graus

♦ Um jogador de futebol disse um dia que �a sua vida tinha levadouma volta de 360o�...

A partir dos 360o os ângulos voltam a repetir-se. Por exemplo:

• 400◦ = 360◦ + 40◦ ≡ 40◦

• 3601◦ = 10× 360◦ + 1◦ ≡ 1◦

10.1 Medida de graus em radianos

Os ângulos podem também exprimir-se em radianos. Como se indica na �gura7, o ângulo em radianos vale

θ =s

r, (33)

em que s é o comprimento do arco subtendido pelo ângulo e r é o raio da circun-ferência.

Como já sabemos que o perímetro da circunferência vale 2πr, então a voltacompleta em radianos (360o) vale

θ(360◦) =2πr

r= 2π. (34)

9

Figura 7: De�nição de radiano

Para determinar qualquer outro ângulo podemos usar uma regra de 3 simples.Por exemplo, quanto é 45o em radianos?

360◦ → 2π rad

45◦ → θ rad

e

θ =45× 2π

360=

π

4. (35)

Outra forma de fazer as conversões é simplemente usar os factores de conversão:

• de graus para radianos: multiplicar por π/180

• de radianos para graus: multiplicar por 180/pi

♦ Quanto é um radiano em graus?

11 Senos e co-senos

A de�nição de seno e co-seno faz-se através da �gura 8. É importante notar queo triângulo é recto, isto é, um dos seus ângulos internos é 90o.

♦ As três coisas básicas que se devem saber sobre triângulos rectân-gulos:

1. Um dos seus ângulos intermos é 90o.

2. Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2.

10

Figura 8: De�nições de seno e co-seno

3. A soma dos seus três ângulos internos é 180o (válido para qualquertriângulo).

Temos que

sin θ =cateto opostohipotenusa

=b

a(36)

e

cos θ =cateto adjacente

hipotenusa=

c

a(37)

Através do teorema de Pitágoras podemos demostrar uma igualdade muitoimportante:

sin2 θ + cos2 θ = 1. (38)

♦ Com efeito, temos,

sin2 θ + cos2 θ =b2

a2+

c2

a2=

b2 + c2

a2=

a2

a2= 1.

O círculo trigonométrico (�gura 9) também nos ajuda a compreender estasfunções. O círculo trigonométrico tem raio=1 e por isso a hipotenusa dos triân-gulos que vamos desenhar nesse círculo é 1. Assim temos que sin θ = b/1 = b ecos θ = c/1 = c

O valor de cos θ lê-se no eixo dos xx. Em θ = 0 o segmento que de�ne θcoincide com o raio. Portanto cos θ = 1 em θ = 0. À medida que o ângulovai aumentando o segmento que de�ne θ diminui de comprimento. Em θ = 90◦

é mesmo zero. Portanto cos 90◦ = 0. Quando passamos ao segondo quadrante(90◦ < θ < 180◦) passamos a ter valores de cos θ negativos. Em θ = 180◦ ocomprimento do segmento é igual ao raio=1, mas tem valor negativo. ortanto

11

Figura 9: O círculo trigonométrico

cos 180◦ = −1. Se �zermos então o grá�co da função cos θ (em que a cada valorde θ, na horizontal, se faz corresponder o seu valor de cos θ, na vertical), obtemosa �gura 10.

Figura 10: A função co-seno

Podemos fazer a mesma representação para o seno. Desta vez obtemos a�gura 11

Podemos representar as duas funções no mesmo grá�co, tal como está na�gura 12.

12

Figura 11: A função seno

Figura 12: As funções seno e co-seno

11.1 Identidades Trigonométricas importantes

Seguem-se algumas identidades que podem ser úteis no trabalho com as funçõesseno e co-seno:

1. sin2 θ + cos2 θ = 1

2. sin 2θ = 2 sin θ cos θ

3. cos 2θ = cos2 θ − sin2 θ

4. sin2 θ2

= 12(1− cos θ)

5. cos2 θ2

= 12(1 + cos θ)

6. 1− cos θ = 2 sin2 θ2

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7. sin(a± b) = sin a cos b± cos a sin b

8. cos(a± b) = cos a cos b∓ sin a sin b

9. sin a± sin b = 2 sin[12(a± b)] cos[1

2(a∓ b)]

10. cos a + cos b = 2 cos[12(a + b)] cos[1

2(a− b)]

11. cos a− cos b = 2 sin[12(a + b)] sin[1

2(b− a)]

12 A importância das funções trigonométricas naacústica

Muitos movimentos periódicos são descritos por uma função seno ou co-seno. Porexemplo, as oscilações numa corda podem ser sinusoidais (ver �gura 13)

Figura 13: A função seno numa corda

Se num dado instante de tempo (fotogra�a) �zermos a correspondência entrex (coordenada horizontal dos pontos da corda, com origem no rapaz da direita,p. ex.) e y (altura dos pontos da corda medida a partir da posição de repouso),então obtemos o grá�co de um seno ou co-seno (�gura 13).

Também podemos pensar no movimento de uma massa ligada a uma mola(�gura 14). Se agora �zermos a correspondência entre t (tempo decorrido) e y(altura da massa relativamente à posição de equilíbrio), então também vamosobter o grá�co do co-seno.

Finalmente, e o mais importante para nós, o som é descrito através de funçõestrigonométricas. Como já vimos, o som corresponde à propagação de zonas decompressão e rarefacção do ar. Se �zermos um grá�co em que x é a distânciada fonte (no caso da �gura um altifalante) e y a densidade das moléculas de ar,então obteremos o grá�co de um seno ou de um co-seno. Isto está ilustrado na�gura 15.

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Figura 14: A função seno numa mola

Figura 15: A função seno no som

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